Projektion und _AC_ eine gegebene Richtung in der Karte. Man kann die
Aufgabe, von _A'_ aus eine Tangente mit der Projektion _AC_ an die
gegebene Geländefläche zu legen, in der üblichen Weise durch Zeichnung
des Profils in der Richtung _AC_ lösen.[2] Man denke sich nun in der
Karte durch _A_ eine beliebige Gerade _g_ gelegt und ihre Punkte mit
den gleichkotierten des Profils geradlinig verbunden. Diese Geraden
sind die Schichtlinien einer geradlinigen Fläche, und jede von ihnen
kann als Streichlinie einer durch _g_ hindurchgehenden Ebene aufgefaßt
werden. Wie in § 82 wird jede dieser Ebenen bestimmt durch den Winkel
α, den ihre Streichlinien mit denen der Ebene bilden, auf der _g_ eine
Fallinie ist. Diejenigen der genannten Ebenen, die durch die Tangenten
hindurchgehen, die man von _A'_ aus in der Profilebene _A'AC_ an
die Fläche legen kann, liegen im allgemeinen höher oder tiefer als
die benachbarten unter ihnen; der Winkel α ist also für sie größer
oder kleiner als für die benachbarten. Man kann also jene Ebenen und
damit die Berührungspunkte _B_ der Tangenten finden, indem man für α
die größten oder kleinsten Werte aufsucht, wozu man sich des in § 83
angegebenen Verfahrens der Hilfskurve bedienen kann (Fig. 84).
[2] Beim Umklappen des Profils in die Zeichenebene möge _A'_ in
den durch den kleinen Kreis und die beigeschriebene Kote 45
bezeichneten Punkt übergehen.
Will man nun von _A'_ aus den Berührungskegel an die gegebene Fläche
legen, so wird man durch _A_ eine Schar von Geraden _AC_ ziehen und
nach dem eben beschriebenen Verfahren die Berührungspunkte _B_ der von
_A_ aus zu ziehenden Tangenten bestimmen. Dabei kann man sich beständig
derselben Hilfsgeraden _g_ bedienen. Einschaltung von Schichtlinien in
der Nähe von _B_ erhöht die sonst nicht große Zeichengenauigkeit.
§ 86. =Beispiel.= Die eben besprochene Aufgabe der Konstruktion des
Berührungskegels einer Geländefläche findet ihre praktische Anwendung
in der für militärische Zwecke wichtigen Frage nach dem _Horizont_, der
von einem bestimmten Punkte aus sichtbar ist. Die Fig. 85 gibt dafür
ein Beispiel. Bei _A_ (Höhe 85) ist ein 20 Meter hoher Standplatz,
Aussichtsturm oder dgl. errichtet; in der Karte ist der vor und nach
Errichtung des Turmes von _A_ aus sichtbare Horizont eingezeichnet.
Die von der Turmspitze aus nicht sichtbaren Geländeteile sind durch
Schraffur hervorgehoben.
[Illustration: Fig. 85 a.]
[Illustration: Fig. 85.]
Selbstverständlich stimmen die Ergebnisse dieser Konstruktion mit
der Wirklichkeit nur dann angenähert überein, wenn der gefundene
Gesichtskreis genügend klein ist; andernfalls spielt natürlich die
Krümmung der Erdoberfläche, die dann nicht mehr vernachlässigt werden
darf, eine gewisse Rolle.
§ 87. =Ansicht des Geländes.= Aus einer gegebenen Karte die Ansicht des
Geländes zu konstruieren. Unter Ansicht wird die Projektion auf eine
vertikale Bildfläche verstanden. – Bei einer Ansicht aus sehr weiter
Ferne wird es sich um eine Parallelprojektion handeln, während bei
gegebenem Aussichtspunkt eine Zentralprojektion in Frage kommt, deren
Zentrum eben dieser Punkt ist.
[Illustration: Fig. 86.]
=a) Parallelprojektion.= Es genügt, die Richtung der projizierenden
Strahlen zur Bildebene senkrecht anzunehmen, da die schiefe
Parallelprojektion in ähnlicher Weise auszuführen ist. Man zeichnet
(Fig. 86) den Grundriß der Bildebene als Gerade _xx_ in den Plan und
projiziert zunächst genügend viele Punkte des Planes auf sie, besonders
den Umriß (§ 78; man zeichne an die Schichtlinien Tangenten, die
auf _xx_ senkrecht stehen) und einzelne hervortretende Stellen des
Geländes. Auf die anzufertigende Ansicht (Aufriß) überträgt man sodann
jeden der projizierten Punkte mittels einer Senkrechten auf _xx_,
deren Länge gleich der zugehörigen Kote ist. Die Höhenlinien würden in
wagerechte Geraden des Bildes übergehen.
In der Fig. 86 ist noch der Verlauf eines Weges, die Lage eines
umfriedigten Platzes und eines hohen Gebäudes angegeben. Das letztere,
dessen Dachspitze 30 m über dem Boden angenommen ist, ragt nur mit
einem Teile über dem Horizont hervor.
§ 88. =b) Zentralprojektion.= Man zeichnet (Fig. 85) wieder den
Grundriß der Bildebene als Gerade _xx_ in den Plan, und projiziert vom
Projektionszentrum _A_ (Höhe 85 + 20 = 105) aus genügend viele Punkte
auf sie; dazu hat man die Verbindungsgeraden von _A_ mit jedem der zu
projizierenden Punkte _P_ zu graduieren und dadurch die Höhenzahlen
der Schnittpunkte _P'_ mit der Bildebene zu bestimmen. Nach § 3 kann
man das zeichnerisch ausführen, wie auch in der Figur angedeutet ist.
Man zieht im Grundriß _AP_ bis zum Schnittpunkte _X_ mit der Geraden
_xx_, errichtet senkrecht zu _AP_ in _A_ die zu _A_, in _P_ die zu _P_
gehörige Höhe und verbindet ihre Endpunkte. Diese Verbindungsgerade
schneidet das auf _AP_ in _X_ errichtete Lot in _P''_, und es ist
_XP''_ gleich der Höhe des Bildpunktes _P'_ über _xx_. Man kann
aber auch rechnerisch verfahren; im vorliegenden Falle ist dies
besonders mit dem Rechenschieber sehr bequem, wenn man gleich mit den
Höhendifferenzen gegen _A_ rechnet und die Ergebnisse von der Geraden
_yy_ an aufträgt, die im Bilde der Höhe von _A_ entspricht.
Besonders ist auch der von _A_ aus sichtbare Horizont zu zeichnen, wie
in § 86 angegeben. Die Fig. 85 a stellt ein Bild der zu § 86 gehörigen
Fig. 85 dar, oder genauer gesagt, eine Ansicht des Geländes von der
Spitze (Höhe 105) des in _A_ errichteten Turmes, und zwar innerhalb
des durch die Bildgrenzen bestimmten Ausschnittes. Die gestrichelte
Kurve des Bildes zeigt den vor Errichtung des Turmes von der Stelle _A_
(Höhe 85) aus sichtbaren Horizont; er verdeckt den ganzen Hintergrund
des Geländes und läßt deutlich erkennen, welche Wirkung es hat,
wenn der Standplatz bei _A_ um 20 m erhöht wird. In der Figur sind
ferner der Verlauf eines Weges und die Ansicht zweier im Grundriß
gleich großer umfriedigter Plätze angegeben. Dies läßt die bekannte
Tatsache erkennen, daß die in der Nähe von _A_ gelegenen Gegenstände
größer erscheinen als die entfernteren; aber man sieht auch, daß die
Zeichengenauigkeit um so geringer ist, je weiter der abzubildende
Gegenstand von der Bildebene entfernt ist. Übrigens ist daran zu
erinnern, daß den Geraden des Grundrisses im allgemeinen keineswegs
gerade Linien im Bilde entsprechen; z. B. sind die Umzäunungen der
Plätze nicht geradlinig, weil diese auf gekrümmten Flächen gelegen sind.
V. MASZBESTIMMUNGEN UND BEZIEHUNGEN ZUR ZEICHNERISCHEN ANALYSIS
Die nächsten Paragraphen sollen kurz zeigen, in welcher Weise man
Maßbestimmungen der Längen, Flächen- und Rauminhalte an einer
Geländefläche auszuführen hat.
[Illustration: Fig. 87.]
§ 89. =Längenmessung.= Um die Länge eines ebenen Kurvenbogens
zu bestimmen, ersetzt man ihn durch einen aus genügend kleinen
geradlinigen Stücken bestehenden Polygonzug, dessen Teile, längs
einer Geraden aneinandergesetzt, die gesuchte Länge angenähert
ergeben (Rektifikation). Man kann den Kurvenbogen auf die Gerade
durch Abgreifen mit einer genügend kleinen Zirkelöffnung übertragen.
Dabei hat man jedoch zu beachten, daß sich zwar, je kleiner die
Zirkelöffnung, um so mehr der kleine Bogen der zugehörigen Sehne
anschmiegt, aber sich auch um so mehr die durch vielmaliges
Aneinandersetzen des Zirkels entstehenden Fehler häufen. Das Übertragen
auf die Gerade kann man vermeiden, wenn man den Zirkel selbst zur
Summierung der Sehnen benutzt. Ist (Fig. 87) _ABCD...U_ der zu messende
Bogen, so setzt man zuerst den Zirkel in _A_ und _B_ ein, lüftet ihn
bei _A_ und dreht ihn um _B_ in die Lage _BA'_, die Kurventangente in
_B_; dann lüftet man ihn bei _B_ und öffnet ihn bis _C_, lüftet ihn bei
_A'_ und dreht ihn um _C_ in die Lage _CA''_, die Tangente in _C_, usw.
Die Punkte _A_, _A'_, _A''_, ... _A^*_ liegen angenähert auf einer
Evolvente der gegebenen Kurve (§ 42), und es ist der gesuchte Bogen
[arc](_AU_) ≈ [line](_A^*U_).
Besser ist ein kleines gekordetes Meßrädchen (Kurvimeter), mit dem
man, die Radebene senkrecht zur Papierebene haltend, den Kurvenbogen
abfährt, wobei die ganzen Umdrehungen durch ein Zählwerk angegeben
werden. Man prüft das Kurvimeter durch Ausmessen einer geradlinigen
oder kreisförmigen Strecke bekannter Länge. – Die Länge eines
Kurvenbogens auf einer Geländefläche bestimmt man, indem man das
Längenprofil der Kurve konstruiert (§ 47) und dieses rektifiziert.
_Aufgabe._ Ein Flugzeug hat einen in die Karte des überflogenen
Geländes eingetragenen Weg zurückgelegt, wobei zugleich die erreichten
Höhen an genügend vielen Stellen vermerkt sind. Es soll die wirkliche
Länge des Luftweges ermittelt werden.
Man hat dazu nur nötig, das Längenprofil der Raumkurve entsprechend dem
gezeichneten Wege und den darin vermerkten Höhenangaben zu zeichnen,
wie in § 47 angegeben, und die Bogenlänge dieses Profils nach dem
soeben Auseinandergesetzten zu ermitteln.
§ 90. =Flächenmessung.= Zur praktischen Ausmessung eines ebenen
willkürlich begrenzten Flächenstückes hat man sich gewisser
Annäherungsmethoden zu bedienen, deren Berechtigung in der
Integralrechnung streng bewiesen wird, oder man benutzt ein Planimeter.
=a) Quadratteilung.= Fast für alle hier in Frage kommenden
Zwecke ausreichend ist es, ein Blatt Millimeterpauspapier über
das Flächenstück zu decken. Man zählt die eingeschlossenen
Quadratmillimeter ab und nimmt von den durch die Begrenzungslinie
durchschnittenen entweder die Hälfte zu oder schätzt ihre Anteile ab.
Das ergibt angenähert den Flächeninhalt in Quadratmillimetern; um ihn
in den Flächeneinheiten des Maßstabes der Karte zu erhalten, hat man
zu ermitteln, wie viele Quadratmillimeter auf eine Flächeneinheit der
Karte gehen. Für den häufigeren Gebrauch im selben Maßstab zeichnet man
ein dazu gehöriges genügend engmaschiges Quadratnetz auf Pauspapier
oder ritzt es mit der Zirkelspitze auf eine dünne Zelluloidplatte, wie
sie etwa zu photographischen Films verwendet wird und also leicht zu
beschaffen ist. Man legt die geritzte Seite auf die Karte.
§ 91. =b) Einteilung in Streifen gleicher Breite.= Statt der
Quadrateinteilung kann man auch eine Anzahl paralleler Geraden in
gleichem genügend kleinen Abstande δ auf Pauspapier oder einen Film
zeichnen; zwischen je zwei Geraden fügt man noch die Mittellinien (in
der Fig. 88 gestrichelt) ein. Abgesehen von den Kappenstücken, die
nicht mehr die Breite δ haben (geschrafft), kann man den zwischen zwei
Geraden _a_ und _b_ enthaltenen Flächenteil nach der _Simpsonschen
Regel_ (Th. Simpson 1743, Joh. Kepler hat schon 1615 dieselbe Regel
zur Raumberechnung benutzt – Keplersche Faßregel) bestimmen. Man nimmt
das Mittel der Anfangs- und Endsehne, ½(_a_ + _b_), sodann die Summe
aller ausgeschnittenen Sehnen, ∑_s_, endlich noch die doppelte Summe
der Mittellinien aller Streifen, 2∑_m_; die Gesamtsumme dieser drei
Werte, mit ⅓δ multipliziert, liefert den Flächeninhalt meist mit großer
Genauigkeit:
_F_ ≈ ⅓δ((_a_ + _b_)/2 + ∑_s_ + 2∑_m_).
Die beiden Summen ∑_s_ und ∑_m_ kann man durch einen angelegten
Papierstreifen messen, auf dem man die einzelnen Sehnen durch
Aneinanderfügen schon beim Anlegen summiert, oder auch mit dem
Streckenrädchen des Kurvimeters, oder auch mit der Millimeterteilung
des Rechenschiebers, nachdem man an dem Glasläufer einen kleinen über
der Millimeterteilung schleifenden Papierzeiger befestigt hat.
[Illustration: Fig. 88.]
Die abgeschnittenen Kappen können oft mit genügender Annäherung als
Parabelabschnitte aufgefaßt und alsdann nach der Lambertschen Regel zu
⅔_a_α und ⅔_b_β berechnet werden, wobei α und β ihre Breiten bedeuten
(Joh. Heinr. Lambert 1727–1777).
§ 92. =c) Andere Streifeneinteilung.= Statt daß man das Flächenstück
in gleich breite Streifen zerlegt, kann man oft einfacher und nicht
minder genau als nach der Simpsonschen Regel nach folgendem von C.
Runge angegebenen zeichnerischen Ausgleichungsverfahren vorgehen. Man
ersetzt das Stück der Begrenzungslinie zwischen den beiden Geraden des
Streifens durch eine senkrecht zu ihnen verlaufende gerade Strecke
der Art, daß die in der Fig. 89 mit Schraffen versehenen dreieckigen
Zipfel einander flächengleich werden. Wenn es sich um genügend kleine
Dreiecke handelt, kann die Abgleichung nach dem Augenmaß sehr genau
ausgeführt werden, und wenn vollends die Figur auf Millimeterpapier
gezeichnet ist, hat man durch Auszählung und Abschätzung der wenigen
in den Zipfeln befindlichen Quadratmillimeter eine gute Prüfung. Man
verwandelt auf diese sehr empfehlenswerte Art das krummlinig begrenzte
Flächenstück in eine Summe von Rechtecken, deren Breite man oft, wenn
die Kurve weniger gekrümmt verläuft, ziemlich groß annehmen kann.
Danach läßt sich der Inhalt leicht berechnen:
_F_ ≈ ∑δ_y_.
[Illustration: Fig. 89.]
[Illustration: Fig. 90.]
§ 93. =d) Planimeter.= Am schnellsten und auch wohl am genauesten
bedient man sich zur Flächenmessung eines Planimeters, wie es in
seiner einfachsten Form des _Polarplanimeters_ in Fig. 90 angedeutet
ist. _PD_ ist eine um den Nadelspitzpol _P_ drehbare Stange beliebiger
Länge, so daß also _D_ einen Kreis beschreibt; _DF_ ist eine in _D_
drehbare Stange der Länge _l_, deren Fahrstift _F_ die Berandung des
auszumessenden Flächenstückes einmal umfährt; _R_ ist ein auf der
Zeichenebene rollendes, nicht gleitendes Rad vom Radius _r_, dessen
Winkeldrehung ω an einer Teilung abgelesen werden kann. Man zeigt mit
Hilfe der Integralrechnung, daß, wenn der Pol _P_ außerhalb der zu
umfahrenden Fläche liegt, der gesuchte Flächeninhalt gleich _l_ · ω_r_
ist; meist gibt die Teilung der Meßrolle dieses Produkt unmittelbar an.
§ 94. =Geneigte Fläche.= Wenn die Ebene der auszumessenden ebenen
Fläche unter dem Winkel α gegen die Horizontalebene der Karte geneigt
ist, so ergibt sich der wahre Flächeninhalt aus dem seiner Projektion,
indem man diese durch cos α dividiert. Das sieht man sogleich ein,
wenn man sich die Fläche und ihre Projektion durch Ebenen, die auf
der Schnittgeraden der Fläche und der Projektionsebene senkrecht
stehen, in genügend schmale Streifen der Breite δ zerlegt denkt. Die
mittleren Längen des Streifens und seiner Projektion verhalten sich wie
1 : cos α, daher, da die Breite dieselbe ist, auch ihre Flächeninhalte,
daher auch die Flächen selbst.
Diese Bemerkung kann man bisweilen benutzen, um praktisch von einem
begrenzten Teile einer Geländefläche den Flächeninhalt zu bestimmen,
nämlich dann, wenn sie sich in Bezirke teilen läßt, innerhalb deren die
Horizontalneigung genügend konstant ist, was sich übrigens sehr leicht
am Verlauf der Fallinien erkennen läßt.
[Illustration: Fig. 91.]
§ 95. =Flächeninhalt einer Böschungsfläche.= Wie in § 65 gezeigt,
ist jede Böschungsfläche auf eine Ebene abwickelbar, und zwar so,
daß nach und nach jede ihrer geradlinigen Fallinien in die Ebene zu
liegen kommt. Da bei der Abwickelung außer den Längen die Winkel
zwischen den Kurven der Böschungsfläche sich nicht ändern, so gehen
die Schichtlinien in Kurven über, die auf den geradlinigen Fallinien
auch nach der Abwickelung senkrecht stehen. Man betrachte nun einen
von zwei beliebigen Schichtlinien und zwei geradlinigen Fallinien
begrenzten Streifen einer Böschungsfläche. Sein Flächeninhalt bleibt
bei der Abwickelung in die Zeichenebene, wodurch die Figur _ACDB_
(Fig. 91) entstehen möge, ebenfalls ungeändert. Es seien _MP_, _NQ_ die
Abwickelungen zweier naher Fallinien von der Länge _l_; sie schneiden
das Flächenstück _MPQN_ aus, das um so mehr als Trapez betrachtet
werden kann, je näher _MP_ und _NQ_ aneinander liegen. Ist _RS_ die
Mittellinie des Trapezes, _m_ ihre Länge, so ist seine Fläche gleich
_l_ · _m_; demnach der Flächeninhalt des ganzen Stückes _ABCD_ gleich
_l_ · ∑_m_, wo ∑_m_ nichts anderes als die Bogenlänge der mittleren
Schichtlinie _EF_ ist. Man findet daher den Flächeninhalt einer von
zwei Schichtlinien und zwei Fallinien der wahren Länge _l_ begrenzten
Böschungsfläche, indem man _l_ mit der Bogenlänge der mittleren
Schichtlinie multipliziert.
Die Ausführung kann unmittelbar an der Karte der Böschungsfläche
vorgenommen werden, da ja bei jeder Fläche die Schichtlinien mit ihren
Projektionen kongruent sind. Übrigens braucht man die erwähnte mittlere
Schichtlinie nicht erst zu konstruieren, sondern nimmt einfacher
und genauer aus den Bogenlängen der begrenzenden Schichtlinien das
arithmetische Mittel. Sind λ die aus der Karte zu entnehmende konstante
Horizontalentfernung der beiden Schichtlinien, _k₁_ und _k₂_ ihre
Höhenzahlen, so ist _l_ = √(λ² + (_k₁_ – _k₂_)²), also als Hypotenuse
eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten λ und (_k₁_ – _k₂_),
diese in Einheiten des Höhenmaßstabes gemessen, leicht zu zeichnen.
Da man nach § 66 eine Geländefläche, die durch genügend viele
Schichtlinien gegeben ist, gleich der erachten kann, die aus schmalen
Streifen von Böschungsflächen zusammengesetzt ist, so läßt sich das
eben auseinandergesetzte Verfahren auch benutzen, um angenähert die
Inhalte beliebiger gekrümmter Flächenstücke zu bestimmen. Eine große
Genauigkeit wird man freilich nicht zu erwarten haben.
§ 96. =Rauminhalt eines begrenzten Geländeteiles.= Es ist eine
wichtige Aufgabe der technischen Praxis, den Rauminhalt von Erdmassen
zu bestimmen. Wenn die Begrenzung ganz willkürlich ist, muß man sich
wie beim Flächeninhalt gewisser Annäherungsmethoden bedienen, deren
Berechtigung und Genauigkeit in der Integralrechnung gezeigt wird. Man
denkt sich den auszumessenden Körper in eine Anzahl so dünner Schichten
zerlegt, daß sie ohne merklichen Fehler als zylindrische Scheiben
betrachtet werden können, deren Inhalt gleich dem Produkt aus ihrer
Dicke δ und ihrem Querschnitt _q_ ist. Haben alle Schichten des Körpers
die gleiche Dicke δ, so ist das Volumen des Körpers _v_ = δ · ∑_q_, wo
∑_q_ die Summe aller Querschnitte bedeutet. Die gewöhnliche Zerlegung
ist die in wagerechte Schichten. Die Querschnitte werden also durch
die Schichtlinien der Fläche begrenzt. Man kann jeden Querschnitt nach
irgendeinem der in §§ 90 bis 93 angegebenen Verfahren bestimmen. Aber
auch _v_ selber kann man nach denselben Verfahren ermitteln. Denn
trägt man die gemessenen Werte der Querschnitte als Ordinaten zu den
zugehörigen Höhenzahlen als Abszissen auf und verbindet ihre Endpunkte
durch eine glatte Kurve, so ist die Maßzahl des Flächeninhalts, der
von dieser Kurve, der Abszissenachse und den Anfangs- und Endordinaten
begrenzt wird, gleich _v_.
§ 97. =Aufgabe: Rauminhalt einer Lagerstätte.= Zur Erläuterung der
in den letzten Paragraphen besprochenen Maßbestimmungen soll jetzt
eine dem bergmännischen Anwendungsgebiet entnommene Aufgabe etwas
ausführlicher besprochen werden.
Eine nutzbare unterirdische Lagerstätte wird in der Regel durch eine
Anzahl von Bohrlöchern erschlossen, die erkennen lassen, wie weit sich
die Lagerstätte in wagerechter und lotrechter Richtung erstreckt.
Da mit Rücksicht auf die Kosten die Zahl solcher Bohrlöcher auf das
Mindestmaß beschränkt werden muß, wird aus den Bohrergebnissen die
Gestalt der Lagerstätte nur in groben Umrissen entnommen werden
können, und daher werden alle darauf bezüglichen Konstruktionen und
Maßbestimmungen nur als erste Annäherungen an die Wirklichkeit zu
betrachten sein; das ist auch bei der Lösung der folgenden Aufgabe
nicht zu vergessen.
Ein Kohlenlager ist durch eine Reihe von Bohrlöchern angefahren und
durchteuft. Man soll den Rauminhalt des Lagers ermitteln.
Zunächst einige allgemeine Bemerkungen zur Ausführung der Aufgabe. Man
wird vor allem die beiden topographischen Flächen zu bestimmen suchen,
die den oberen Teil (das Hangende) und den unteren (das Liegende) der
Lagerstätte begrenzen, indem man nach § 48 die Schichtlinien durch
Längenprofile ermittelt. Das geschieht am besten in einer besonderen
Karte, nachdem man darin die Lage der Bohrlöcher übertragen und die
Tiefenangaben vermerkt hat, in denen jedesmal die Lagerstätte angebohrt
und durchteuft wurde. Nunmehr bestimmt man die Schichtenquerschnitte
nach § 90 bis 93, trägt die Werte graphisch zu den Höhenzahlen als
Ordinaten auf, und planimetriert zur Bestimmung des Rauminhalts die
entstehende Kurve, wie in § 96 angegeben.
[Illustration: Fig. 92.]
§ 98. =Ausführung der Aufgabe.= Es verlohnt sich, die nähere Ausführung
etwas eingehender zu besprechen, weil dabei eine Menge Nutzanwendungen
der früheren Sätze zum Vorschein kommen. Das soll nun jetzt geschehen.
– Gegeben ist die Karte des Geländes (Fig. 92 – Schichtlinien
ausgezogen –) und darin verzeichnet die Lage der Bohrlöcher, so daß man
daraus die Höhenzahlen ihrer Mundlöcher entnehmen kann. Außerdem sind
zu jedem Bohrloch gegeben die Koten (Teufen), in denen das Hangende
angebohrt sowie das Liegende erreicht ist. Das folgende Verzeichnis
enthält diese Angaben für die 13 mit _A_ bis _N_ bezeichneten
Bohrlöcher.
+---------+----------+-----------+-----------+
|Bohrloch | Mundloch | Hangendes | Liegendes |
+=========+==========+===========+===========+
| _A_ | + 90 m | +47 m | –30 m |
| _B_ | +103 m | +26 m | – 6 m |
| _C_ | +112 m | +12 m | +10 m |
| _D_ | + 72 m | +70 m | –25 m |
| _E_ | + 55 m | +50 m | + 1 m |
| _F_ | + 87 m | +42 m | –14 m |
| _G_ | + 98 m | +15 m | + 7 m |
| _H_ | + 85 m | +45 m | –15 m |
| _I_ | + 84 m | +20 m | + 7 m |
| _K_ | + 60 m | +11 m | + 9 m |
| _L_ | +108 m | +10 m | + 5 m |
| _M_ | +103 m | +20 m | – 2 m |
| _N_ | + 71 m | +40 m | 0 m |
+---------+----------+-----------+-----------+
Zur Bestimmung der Schichtlinien wird man möglichst solche
Längenprofile wählen, die nahezu in Richtung der Fallinien verlaufen;
man wird also für das Liegende vom Punkte tiefster Kote (_A_), für das
Hangende vom Punkte höchster Kote (_D_) möglichst radial ausgehen, also
z. B. namentlich das Profil _CBADEK_ benutzen, sodann den Linienzug
_IHFG_, wobei man die aus dem vorigen Linienzug interpolierte Höhenzahl
des Kreuzungspunktes von _AD_ und _FH_ schon als bekannt benutzen darf,
usw. Hat man genügend viele Zwischenpunkte mit runden Höhenzahlen
ermittelt, so zeichnet man zuerst die Schichtlinien, von denen die
meisten Punkte bekannt sind. Das erleichtert auch die Zeichnung der
übrigen an den Stellen, an denen sie sich nicht durch Querschnitte
genügend scharf bestimmen lassen.
Im vorliegenden Fall hat die Lagerstätte die Form einer
unregelmäßig gestalteten Linse, wie es in der Natur manchmal bei
Braunkohlenlagerstätten vorkommt. In der Fig. 92 sind die Schichtlinien
des Liegenden gestrichelt, die des Hangenden punktiert gezeichnet.
In der Zeichnung findet sich sowohl eine Schichtlinie +10 für das
Hangende wie auch eine für das Liegende; von jeder gehört aber nur
ein Teil der eigentlichen Lagerstätte an; das kommt daher, daß
sich Hangendes und Liegendes in einer Raumkurve durchsetzen, deren
Projektion zwischen den beiden Schichtlinien +10 verläuft. Man
konstruiert ihre genauere Lage (– · – ·) am einfachsten mittels einiger
Querschnitte, von denen in der Figur einer (bei _L_) angedeutet ist.
Wenn die Schichtlinien alle gezeichnet sind, kann die Planimetrierung
beginnen. Dabei treten in der vorliegenden Figur noch zwei kleine
Erschwerungen auf, die zu beachten sind. Erstens wird verlangt, daß
von dem Volumen nur derjenige Teil bestimmt wird, der innerhalb der
geradlinigen Grubengrenzen _gg_ und der dadurch bestimmten lotrechten
Ebenen gelegen ist. Die Querschnitte sind daher jedesmal nur bis zu
diesen Geraden zu planimetrieren. Zweitens aber tritt die Lagerstätte
zutage, und daher wird ihre Gestalt durch das Gelände beeinflußt. Die
Ausbißlinie _aa_ ist nach § 72 konstruiert worden; beim Planimetrieren
muß ersichtlich jedesmal der Teil der Schichtlinie des Hangenden, der
von der Ausbißlinie umfaßt wird, durch den entsprechenden Teil der
Schichtlinie des Geländes ersetzt werden. Das hat man beim Umfahren mit
einem Polarplanimeter berücksichtigt, und dann folgende Querschnitte in
willkürlichen Einheiten _p_ des Planimeternonius – Mittel aus mehreren
Beobachtungen – erhalten:
Höhenzahl: Querschnitt:
Liegendes: –30 m 21,5 p
–20 m 171 p
–10 m 336 p
± 0 m 826 p
+10 m 1284,5 p
Hangendes: +10 m 1268 p
+20 m 977 p
+30 m 668,5 p
+40 m 434 p
+50 m 241 p
+60 m 77 p
+70 m 4,5 p
Zugleich ergab eine Fläche, die im Maßstab der Zeichnung gemessen 40000
m² entsprach, planimetriert 1598 _p_.
[Illustration: Fig. 93.]