ergibt die Kurve der Fig. 93. Sie besteht aus zwei Ästen, einem für
das Hangende (rechter Ast) und einem für das Liegende (linker Ast),
die sich in einem Punkte schneiden. Zur Bestimmung des Rauminhalts
hat man die durch sie und die Abszissenachse begrenzte Fläche zu
ermitteln. Die Planimetrierung lieferte in willkürlichen Einheiten
_q_ des Planimeternonius, deren Wert übrigens von _p_ verschieden
sein kann, das Volumen 549 · _q_, während zugleich eine Fläche, die
1000 · _p_ · 100 m Kubikeinheiten entsprach – in der Figur durch das
Rechteck angezeigt –, 1097 · _q_ ergab. Daraus folgt für das gesuchte
Volumen der Wert
549·_q_ · (100000·_p_·m)/(1097·_q_) · (40000 m²)/(1598·_p_)
= 1253100 m³.
Es wäre sicher nicht richtig, das Schlußergebnis auf so viele Stellen
anzugeben, und man wird sich etwa mit der runden Zahl 1250000 m³
begnügen müssen, zumal eine Abschätzung der Genauigkeit auf Grund der
gegebenen Daten nicht einfach ist.
§ 99. =Zeichnerische Analysis.= Die in den vorstehenden Paragraphen
auseinandergesetzten und angewandten Verfahren der Projektionen mit
Höhenzahlen lassen sich nicht nur auf _geometrische_ Aufgaben, sondern
auch auf die praktisch zeichnerische Behandlung _analytischer_ Fragen
mit Nutzen anwenden. Man kann diesen Teil der angewandten Mathematik,
dessen Entstehung erst wenige Jahrzehnte zurückliegt, und dessen
Ausbau noch keineswegs abgeschlossen ist, passend als graphische oder
_zeichnerische Analysis_ bezeichnen. Ihre Ergebnisse finden in fast
allen Zweigen der Technik, in der Vermessungskunde, der technischen
Physik, der Ballistik usw. mehr und mehr Anwendung. Im Folgenden
mögen einige einfachere Gegenstände dieses Gebietes besprochen
werden, die mit den vorhergehenden Betrachtungen zum Teil aufs engste
zusammenhängen.
§ 100. =Funktionsskale.= Es bedeute _x_ eine reelle Veränderliche und
_y_ = _f_(_x_) eine beliebige eindeutig umkehrbare – d. h. zu jedem
Wert von _y_ gehört ein Wert von _x_ – reelle Funktion von _x_, gegeben
durch irgendeine Rechenvorschrift oder durch eine Zahlentafel, derart,
daß ihr zeichnerisch im rechtwinkligen Cartesischen Koordinatensystem
(_x_, _y_) eine Kurve zugeordnet werden kann. Einen Punkt _P_ der Kurve
(Fig. 94 mit _y_ = √_x_) mit der Abszisse _x_ (= 3) projiziere man
parallel zur Abszissenachse auf die Ordinatenachse nach _Q_, so daß
_OQ_ = _y_ (= √3 = 1,73) ist, schreibe aber an _Q_ den zu _P_ gehörigen
Abszissenwert _x_ (= 3). Wenn man so für genügend viele Punkte
verfährt, erhält man die Skale der Funktion _y_ = _f_(_x_). Die Fig. 94
stellt die Entstehung der Funktionsskale _y_ = √_x_ dar.[3]
[3] Weitere Beispiele sind in dem Bändchen von Paul
Luckey, Einführung in die Nomographie, dieser
mathematisch-physikalischen Bibliothek zu finden.
[Illustration: Fig. 94.]
Auf der Vorderseite eines gewöhnlichen Rechenschiebers befinden
sich die Skalen der Funktion _y_ = log₁₀_x_ in zwei verschiedenen
Maßstabseinheiten.
Die Funktionsskalen tragen im allgemeinen eine ungleichmäßige
Einteilung; gleichmäßig ist sie nur im Falle einer linearen Funktion
_y_ = _ax_ + _b_, weil die zugehörige Kurve hier eine gerade Linie ist.
Wenn die Teilung einer Funktionsskale so dicht ist, daß eine
Zwischenschaltung weiterer Funktionswerte nach dem Augenmaße möglich
ist, kann man im Sinne der zeichnerischen Analysis die Funktion als
durch ihre Skale völlig bestimmt ansehen.
Denkt man sich die Fig. 94 um einen rechten Winkel aus der Papierebene
so geschwenkt, daß die _x_-Achse senkrecht zur Zeichenebene nach oben
gerichtet ist, dann stellt die Skale der Funktion nichts weiter dar
als die kotierte Projektion der Kurve (vgl. § 68), die durch die Skale
gestuft ist.
Um von irgendeiner analytisch oder tabellarisch gegebenen Funktion die
Skale herzustellen, ist es natürlich nicht erst nötig, die zugehörige
Kurve zu zeichnen. Man braucht nur auf der gewählten Geraden, dem
_Träger_ der Skale, von einem beliebig angenommenen Nullpunkte aus
mit der gewählten Maßstabseinheit den zu _x_ gehörigen Funktionswert
_f_(_x_) = _y_ abzutragen und an den Endpunkt dieser Strecke die Zahl
_x_ anzuschreiben.
[Illustration: Fig. 95.]
Wenn die Funktion nicht eindeutig umkehrbar ist, also zu einem Wert von
_y_ mehrere Zahlenwerte von _x_ gehören, ist ihre Darstellung durch
eine Skale zwar auch möglich, aber man muß dann mehrfach bezifferte
(gebrochene) Skalen in Kauf nehmen, die, auf demselben Träger
gezeichnet, sich ganz oder zum Teil überdecken (vgl. Fig. 95).
§ 101. =Konstruktion besonderer Funktionsskalen.= Einige Skalen lassen
sich leicht durch eine einfache geometrische Konstruktion finden. So z.
B. die Skalen für sin _x_ und tg _x_ für spitze Winkel, wie aus der
Fig. 96 ersichtlich ist. Die Skale für sin _x_ gibt zu gleich die für
cos _x_, wenn man neben den Strich mit der Zahl _x_ in Graden noch die
Zahl 90° – _x_ schreibt, und ebenso findet man die Skale für ctg _x_
aus der für tg _x_. Man kann diese z. B. dann benutzen, um für zwei
Punkte einer Karte eines ebenen Geländes, deren Höhenunterschied gleich
1 ist, den Fallwinkel φ zu bestimmen; denn die in der Karte gemessene
Entfernung der Projektionen beider Punkte ist gleich ctg φ.
[Illustration: Fig. 96.]
Besonders wichtig ist die Konstruktion der Skale für die linear
gebrochene Funktion
_y_ = (_ax_ + _b_)/(_cx_ + _d_),
wo _a_, _b_, _c_, _d_ vier Konstanten sind, von denen es ersichtlich
genügt, die drei Verhältnisse _a_ : _b_ : _c_ : _d_ zu kennen. Wenn
_c_ = 0, so würde die Funktion eine ganze lineare sein, ihre Skale
also gleichmäßig geteilt. Wenn _c_ ≠ 0, aber _ad_ – _bc_ = 0, wäre die
Funktion gar nur eine Konstante, wie sofort aus dem Ausdruck
_y_ = _a_/_c_ + (_ad_ – _bc_)/(_c_(_cx_ + _d_))
folgt, in den man die Funktion überführen kann. Sieht man von diesen
Ausnahmefällen ab, und bezeichnet man mit _y₁_, _y₂_, _y₃_, _y_ die
vier zu _x₁_, _x₂_, _x₃_, _x_ gehörigen Funktionswerte, so ist – man
kann sich davon durch Ausrechnung leicht überzeugen –
(_y₂_ – _y₁_)/(_y₃_ – _y₁_) : (_y₂_ – _y_)/(_y₃_ – _y_)
= (_x₂_ – _x₁_)/(_x₃_ – _x₁_) : (_x₂_ – _x_)/(_x₃_ – _x_),
d. h. die Doppelverhältnisse von je vier Werten von _x_ und den
zugehörigen Werten von _y_ sind einander gleich, und daraus
folgt bekanntlich, daß die Punktreihe _P₁_, _P₂_, _P₃_, _P_ mit
den Abszissen _x₁_, _x₂_, _x₃_, _x_ auf einer Geraden I aus der
Punktreihe _Q₁_, _Q₂_, _Q₃_, _Q_ mit den Abszissen _y₁_, _y₂_,
_y₃_, _y_ auf einer Geraden II durch Projizieren gewonnen werden
kann (Fig. 97). Zur Konstruktion einer _projektiven Skale_ _y_ =
(_ax_ + _b_) : (_cx_ + _d_) kann man also folgendermaßen verfahren.
Gegeben sei der Träger der Skale, die Gerade II, ferner der
Anfangspunkt der Skale, d. h. der Punkt mit dem Teilstrich 0, und der
Maßstab, wodurch zugleich der Punkt mit dem Teilstrich 1 der Skale
bestimmt ist. Nunmehr zeichnet man auf einer beliebigen Geraden I
irgendeine gleichmäßige Teilung. Man verbindet sodann miteinander die
Punkte der Teilstriche 0 und ebenso die Punkte der Teilstriche 1. Der
Schnittpunkt _S_ dieser Verbindungsgeraden ist der Mittelpunkt des
Strahlbüschels, das die Skale I auf die Skale II projiziert. (Fig. 98.)
Natürlich gibt es auf einer Geraden unzählig viele projektive Skalen
mit denselben Punkten 0 und 1; denn eine projektive Skale ist erst
durch die Angabe von drei Punkten eindeutig bestimmt, entsprechend den
drei Konstantenverhältnissen _a_ : _b_ : _c_ : _d_.
[Illustration: Fig. 97.]
[Illustration: Fig. 98.]
§ 102. _Aufgabe._ Eine Strecke _AB_ = 5 cm soll mit einer solchen
Skale versehen werden, daß an jedem Punkte abgelesen werden kann, in
welchem Teilverhältnis der beiden Abschnitte die Strecke durch ihn
geteilt wird. Ist _P_ ein Punkt der Strecke, _AP_ = _y_, und _x_ die
Skalenstelle von _P_, so soll _AP_ : _PB_ = _x_ oder
_y_/(_AB_ – _y_) = _x_
sein; daher ist
_y_ = _x_/(1 + _x_) · _AB_.
[Illustration: Fig. 99.]
Zur Konstruktion der Skale _y_ auf _AB_ überlegt man, daß dem Punkte
_A_ der Wert _x_ = 0, der Mitte von _AB_ der Wert _x_ = 1, dem Punkte
_B_ der uneigentliche Wert _x_ = ∞ beizuschreiben ist. Man zieht also
z. B. durch _A_ eine beliebige Gerade _AC_ mit gleichmäßiger Teilung,
die überdies auch in _A_ beginnen kann. Nun verbindet man den Teilpunkt
1 dieser Geraden _AC_ mit der Mitte von _AB_, den Teilpunkt ∞ der
Geraden mit dem Punkte _B_ (d. h. man zieht durch _B_ eine Parallele zu
_AC_); beide Verbindungslinien schneiden sich in _S_, dem Mittelpunkte
des projizierenden Strahlenbüschels (Fig. 99).
Der Leser mag ferner die Skale 1 : _x_ zeichnen.
§ 103. =Zusammengesetzte Funktionsskalen.= Wenn _y_ als Funktion von
_x_ durch eine Skale gegeben ist und ebenso _y_ als Funktion von
_u_, so kann man den funktionalen Zusammenhang zwischen _x_ und _u_
einfach dadurch graphisch herstellen, daß man die beiden Skalen mit
den zusammengehörigen Werten von _y_ aneinanderlegt. Ein einfaches
Beispiel dafür geben die drei Thermometerskalen nach Celsius, Réaumur
und Fahrenheit, wenn man sie sich auf demselben Thermometer angebracht
denkt (Fig. 100); sie entsprechen folgenden drei linearen Funktionen:
[Illustration: Fig. 100.]
_C_ = _x_, _R_ = 4/5_x_, _F_ = 9/5_x_ + 32.
Auf der Vorderseite des gewöhnlichen Rechenschiebers findet sich im
oberen Teile die Skale _y_ = lg _x_, im unteren dieselbe Skale im
doppelten Maßstab, d. h. die Skale _y_ = 2 lg _u_; durch den Strich des
Glasläufers wird daher die Beziehung lg _x_ = 2 lg _u_ = lg _u²_ oder
_x_ = _u²_, _u_ = √_x_ vermittelt.
Ebenso leicht ist es auch, wenn _y_ = _f_(_x_) und _x_ = φ(_u_) je
durch eine Skale dargestellt sind, die Skale herzustellen, die den
funktionalen Zusammenhang _y_ = _f_(φ(_u_)) = ψ(_u_) zwischen _y_ und
_u_ liefert, oder, anders gesprochen, die graphische Elimination von
_x_ auszuführen. Es würde an sich genügen, neben die Bezifferung _x_
der Skale _y_ = _f_(_x_) den zugehörigen Wert von _u_ zu schreiben, wie
ihn die Skale φ(_u_) ergibt, nur würde man dann keine zur Interpolation
brauchbare Skale mit gleichen Unterschieden der Veränderlichen _u_
erhalten. Um die dazu erforderliche Zwischenschaltung der _u_-Werte mit
befriedigender Genauigkeit ausführen zu können, zeichnet man zuerst in
einem Koordinatensystem (_x_, _y_) mit einer _x_-Achse, die zugleich
Träger der Skale φ(_u_) ist, und einer _y_-Achse, die zugleich Träger
der Skale _f_(_x_) ist, die Kurve _y_ = _f_(_x_). Nun kann man leicht
zu jedem Teilstrich der Skale φ(_u_) den zugehörigen Teilstrich der
Skale ψ(_u_) auf dem in der Fig. 101 durch die Pfeile angedeuteten Wege
finden.
[Illustration: Fig. 101.]
§ 104. =Netzteilung.= Für viele Zwecke der zeichnerischen Analysis ist
es wichtig, eine Kurve (_K_), die in einem Koordinatensystem (_x_,
_y_) gezeichnet vorliegt, in eine andere (κ) zu verwandeln, die sich
auf ein Koordinatensystem (ξ, η) bezieht, wobei ξ = φ(_x_), η = ψ(_y_)
gegebene funktionale Beziehungen zwischen _x_ und ξ, _y_ und η bedeuten
sollen. Wäre die Gleichung der vorgelegten Kurve (_K_) bekannt, etwa
_F_(_x_, _y_) = 0, und wären auch die Funktionen φ(_x_) und ψ(_y_) in
analytischer Form gegeben, so würde man nur ξ, η an Stelle von _x_, _y_
einzuführen zu haben, um die Gleichung Φ(ξ, η) = 0 der verwandelten
Kurve (κ) zu erhalten. Aber hier handelt es sich darum, _zeichnerisch_
die Aufgabe zu lösen, wenn die Kurve (_K_) und die Funktionen φ(_x_)
und ψ(_y_) graphisch gegeben sind.
Man trägt auf einer ξ-Achse die Skale ξ = φ(_x_) auf und ebenso
auf einer η-Achse die Skale η = ψ(_y_), wodurch ein im allgemeinen
ungleichmäßig geteiltes Netz bestimmt ist, wie die Fig. 103 angibt.
Jedem Koordinatenpaar _x_, _y_ entspricht in diesem Netze ein Punkt,
der entweder auf einen Schnittpunkt der Netzgeraden fällt, oder dessen
Lage durch Schätzung leicht zu ermitteln ist. Auf diese Weise kann man
die gegebene Kurve (_K_) Punkt für Punkt in dieses Netz übertragen und
erhält so die verwandelte Kurve (κ).
[Illustration: Fig. 102.]
Beispielsweise geht die Ellipse mit den Halbachsen _a_ und _b_, deren
Hauptachsenrichtungen mit den Koordinatenachsen _x_, _y_ und deren
Mittelpunkt mit dem Ursprung zusammenfällt, deren Gleichung also
_x²_/_a²_ + _y²_/_b²_ = 1
lautet, durch Umzeichnung in ein Netz mit den Skalen ξ = _x²_, η = _y²_
in die Gerade mit der Gleichung
η/_a²_ + ξ/_b²_ = 1
über, die die Skalen in den Teilstrichen _a²_ und _b²_ trifft und
also leicht zu zeichnen ist. Das wurde auch für schiefwinklige Achsen
gelten, wenn _a_, _b_ dann konjugierte Halbmesser bedeuten.
Man kann von dieser Bemerkung eine Anwendung auf folgende Aufgabe der
praktischen Mathematik machen. Es liegt eine eiförmige Kurve gezeichnet
vor, und es besteht die Vermutung, daß sie angenähert eine Ellipse sei;
wie ist das festzustellen? Man wird zunächst angenähert den Mittelpunkt
und zwei konjugierte Durchmesser der Kurve bestimmen, indem man ein ihr
umschriebenes Parallelogramm mit seinen Mittellinien zeichnet. Dadurch
ist zugleich ein schiefwinkliges Koordinatensystem _x_, _y_ gegeben,
durch das die Punkte der Kurve festgelegt werden können. Man zeichnet
jetzt das ungleichmäßig geteilte Netz ξ = _x²_, η = _y²_, und in dieses
trägt man genügend viele Punkte der eiförmigen Kurve ein; sie werden,
den vier Quadranten der Kurve entsprechend, angenähert auf vier Seiten
eines Parallelogramms liegen. Die Abweichung der Punkte von diesen
Geraden läßt auch die Abweichung der Eilinie von der Ellipse erkennen.
Wenn man über die Punkte, die angenähert auf einer Geraden liegen,
einen Faden spannt oder eine auf einen Film geritzte Gerade legt, kann
man in den meisten Fällen genau genug die Abweichungen ausgleichen
und dadurch die Längen für die konjugierten Halbmesser der Ellipse
bestimmen, die die Eilinie am besten darstellt (Fig. 103).
[Illustration: Fig. 103.]
§ 105. =Logarithmenpapier.= Besonders wichtig ist ein Netz
mit logarithmischer Einteilung. Solche Netze sind in Form von
Logarithmenpapier käuflich zu haben. Es gibt zwei Arten davon:
bei der einen ist sowohl die Abszissenachse, wie auch die
Ordinatenachse logarithmisch geteilt, bei der anderen nur die eine
der Koordinatenachsen. Ihre Verwendung wird aus folgenden Beispielen
hervorgehen.
Wenn es sich darum handelt, die polytropische Kurve mit der Gleichung
_pv^κ_ = _c_
zu zeichnen, wo κ, _c_ zwei Konstanten, _p_ und _v_ aber Druck und
Volumen eines Gases bedeuten, das sich adiabatisch ausdehnt, so setze
man
ξ = lg _v_, η = lg _p_, _C_ = lg _c_
und erhält
η + κξ = _C_,
d. h. im Koordinatennetz ξ, η eine gerade Linie. Man wird hier also
die erste Art des doppelt logarithmisch geteilten Papiers benutzen
(Fig. 104).
[Illustration: Fig. 104.]
Wenn man mit einem gut eingeschossenen Gewehr nach einem Punkte _O_
einer ebenen senkrechten Scheibe oftmals schießt, so werden die
Einschläge sich in der Nähe von _O_ häufen und mit wachsendem Abstande
von _O_ an Zahl abnehmen. _Gauß_ hat als Maß für die Häufigkeit eines
Treffers im Abstande ξ von _O_ den Ausdruck (Fehlergesetz)
_z_ = _e^{–ξ²}_
angegeben, dem die Häufigkeit proportional ist, unter der Annahme, daß
sie in allen von _O_ ausgehenden Richtungen dieselbe sei. Setzt man
η = lg _z_, lg _e_ = 0,4343,
so wird
η = –0,4343 · ξ².
Bei Verwendung einfach logarithmisch geteilten Papiers ergibt dies
eine Parabel. Setzt man noch ξ = √ζ, d. h. bringt man noch auf der
gleichmäßig geteilten Skale des Logarithmenpapiers eine quadratische
Teilung an, so geht die Parabel in die Gerade
η = –0,4343 · ζ
über (Fig. 105).
[Illustration: Fig. 105.]
§ 106. =Darstellung einer Funktion von zwei Veränderlichen durch ein
Rechenblatt.= Es sei _z_ = _f_(_x_, _y_) die darzustellende Funktion
der beiden voneinander unabhängigen Veränderlichen _x_ und _y_. Ihr
geometrisches Bild ist eine Fläche, wenn man die Werte von _z_ als
Höhen senkrecht über einer Ebene in den Punkten mit den Koordinaten
_x_, _y_ aufträgt. Zu jedem festen Werte von _z_ gehört eine Kurve
bestimmter Höhe auf der Fläche, d. h. eine ihrer Schichtlinien. Die
Projektionen der Schichtlinien auf die als Zeichenebene gedachte
_xy_-Ebene liefern die Karte der Fläche und somit eine geometrische
Darstellung der Funktion durch Schichtenlinien _f_(_x_, _y_) = konst.
im Koordinatensystem (_x_, _y_). An den Schichtenlinien hat man
sich die zugehörigen Werte von _z_ als Höhenzahlen angeschrieben zu
denken, genau so, wie es bisher bei der kartenmäßigen Darstellung der
Geländeflächen geschehen ist. Es ist nicht nötig, daß die Funktion in
entwickelter Form _z_ = _f_(_x_, _y_) gegeben sei; für eine Gleichung
der Form _F_(_x_, _y_, _z_) = 0 ist dieselbe Darstellung möglich. Diese
Darstellung hat man ein _Rechenblatt_ (Nomogramm, Abakus) der Funktion
oder der Gleichung genannt.
[Illustration: Fig. 106.]
In der Fig. 106 ist das Rechenblatt der Funktion z dargestellt, die
durch die Gleichung
_z_² + _xz_ + _y_ = 0
gegeben ist. Die Schichtlinien sind alle Geraden. Man kann das
Rechenblatt zur zeichnerischen Auflösung einer beliebigen quadratischen
Gleichung mit reellen Wurzeln
_z_² + _pz_ + _q_ = 0
nach der Unbekannten z gebrauchen. Man sucht im Rechenblatt den Punkt
mit den Koordinaten _p_, _q_ und sieht nach, welche Schichtgeraden
durch ihn hindurchgehen; die Zahlen der Schichtgeraden, die
nötigenfalls durch schätzendes Zwischenschalten zu bestimmen sind,
geben die reellen Wurzeln der Gleichung an. Liegt der Punkt auf
der einhüllenden Parabel _x_² = 4_y_, so hat die Gleichung eine
Doppelwurzel, liegt er im Innern dieser Parabel, so hat die Gleichung
keine reelle Wurzeln.
In ähnlicher Weise läßt sich die Gleichung
_z^n_ + _xz^m_ + _y_ = 0
und noch allgemeiner die Gleichung
φ(_z_) + _x_ψ(_z_) + _y_ = 0
behandeln, wo φ(_z_), ψ(_z_) beliebige Funktionen bedeuten können,
die analytisch oder tabellarisch oder auch zeichnerisch durch Kurven
oder Funktionsskalen gegeben sein können. In allen diesen Fällen sind
die Kurven des Rechenblattes gerade Linien. Solche Rechenblätter sind
natürlich besonders leicht herzustellen.
§ 107. =Rechenblatt mit ungleichmäßiger Teilung.= Auch wenn die Kurven
konstanter Werte von _z_ zunächst keine geraden Linien ergeben, kann
man doch häufig durch Benutzung von Skalen auf den Koordinatenachsen
bewirken, daß die Kurven des Rechenblattes Geraden werden. Zum Beispiel
wenn die Gleichung
φ(_z_) + ξ(_x_) · ψ(_z_) + η(_y_) = 0
vorliegt, die eine Verallgemeinerung der vorhergehenden ist, so wird
man das Netz der Skalen ξ(_x_), η(_y_), wie in § 103 angegeben worden
ist, benutzen können; die Schichtlinien in diesem Netze ξ, η sind dann
gerade Linien, denn es ist
φ(_z_) + ξ · ψ(_z_) + η = 0
für jeden Wert von _z_ die Gleichung einer Geraden.
Die Zustandsgleichung eines vollkommenen Gases lautet
_pv_ = _RT_,
wobei _p_ den Druck, _v_ das Volumen, _R_ die Gaskonstante, _T_
die absolute Temperatur des Gases bedeuten. Die Isothermen _T_ =
konst. sind, im Koordinatensystem _p_, _v_ gezeichnet, gleichseitige
Hyperbeln; im System
ξ = lg _p_, η = lg _v_
dagegen ergeben sich dafür gerade Linien. Bei Benutzung doppelt
geteilten Logarithmenpapiers läßt sich mithin für die obige
Zustandsgleichung ein Rechenblatt mit dem Lineal allein herstellen.
Wenn man sich auf doppelt geteiltem Logarithmenpapier mit den Skalen
ξ = lg _x_, η = lg _y_ die Geraden _z_ = _xy_ zeichnet, so kann das
entstandene Rechenblatt als Multiplikationstafel dienen; denn in ihm
liegt der Punkt mit den Koordinaten _x_, _y_, den Faktoren, jedesmal
auf der Geraden mit der Höhenzahl _xy_, dem Produkte (Fig. 107).
[Illustration: Fig. 107.]
ALPHABETISCHES SACHVERZEICHNIS
Abtrag und Aufschüttung 19.
– – – eines Dammes 18, 53;
einer Halde 22, 52.
abwickelbare Flächen 41.
Analysis, zeichnerische 77 ff.
Ansicht des Geländes 65 ff.
Anstieg einer Geraden 3;
– einer Ebene 7;
– einer Raumkurve 32.
asymptotisches Einmünden 44.
Ausbißlinie = Ausschnittlinie 21, 35, 54.
ausgezeichnete Fallinien 43.
Ausschachten einer Grube 24.
bauchig gekrümmt 40.
Berührungen im Raume 29.
Berührungsebene einer Fläche 37.
– durch eine gegebene Gerade 56, 58.
Berührungskegel an einer Fläche 62.
Binormale 35.
Bogenlänge 67.
Böschung einer Geraden 3;
– einer Ebene 7;
– einer Halde 23;
– einer Raumkurve 32.
Böschungsfläche 47;
– einer Raumkurve 49.
– Flächeninhalt 71.
Böschungskegel 15.
Böschungslinie 32, 50.
Böschungsmaßstab einer Ebene 7.
Böschungsstreifen 48.
cos _x_, ctg _x_, Skale 80.
Dachausmittelung 21.
Demarkationslinie 41.
Drehen einer Ebene 12.
Drehfläche 17.
Durchdringungspunkte einer Raumkurve mit einer
Geländefläche 52.
Ebene 6;
–n gegebener Böschung 15;
– gleicher Böschung 10;
mit parallelen Gefällemaßstäben 9.
ebener Platz, Anlage 19.
Einfallen einer Ebene 7.
Einschalten eines Punktes 4, 31.
Ellipse 23, 24;
angenäherte – 84.
elliptisch gekrümmt 40.
Enveloppe = Hüllkurve 28.
Evolute und Evolvente 29.
Fallen und Streichen einer Ebene 7.
Fallinien 6, 37, 38, 41;
ausgezeichnete – 43.
Fallwinkel einer Geraden 3.
Fehlergesetz, Gaußsches 86.
Fehlerkurve 28.
Firstlinie eines Daches 22.
Flächen, krumme 17.
Flächeninhalt einer Böschungsfläche 71.
Flächenmessung 68.
Flugzeug, durchmessener Weg 68.
Funktionsskalen 78 ff.
Funktion von zwei Veränderlichen, zeichnerische
Darstellung 87.
gebrochene Skale 79.
Gefälle einer Geraden 3, 5;
– einer Ebene 6, 15;
– einer Fläche 38.
– Kurven konstanten –s 50.
Geländefläche 1, 26.
geologische Schicht, Ausbißlinie einer 21, 36.
Gipfelpunkt 41.
glatte Kurve 27.
Graduierung einer Geraden 4, = Stufung.
Grat, Gratlinie 47, 48.
Grenzlinie einer ebenen Schicht 21;
– einer Böschungsfläche 51.
Grube, Ausschachten einer – 24.
Halde, Aufschüttung einer – 22.
Hangendes einer Lagerstätte 73.
Hauptnormale 34.
Hauptpunkte 31.
Hauptschichtlinien 26.
Hilfskurve 61, 63.
Höhenlinien 1;
Einschalten von – 36.
Höhenzahl 1, 2 = Kote.
Horizont 62, 64.
Hüllkurve 28.
hyperbolisch gekrümmt 40.
hyperbolisches Paraboloid 17.
Intervall einer Geraden 5;
– einer Raumkurve 32.
Isobathe 1, = Tiefenlinie.
Isohypse 1, = Höhenlinie, Schichtlinie.
Jochpunkt 42.
Kammweg 44.
Karte eines Geländes 26.
Keplersche Faßregel 69; = Simpsonsche Regel.
Korrektionskurve 28.
Kote 1, 2, = Höhenzahl.
kotierte Projektion 2;
– Ebene 2.
Kreiskegel, Kreiszylinder 16.
Kreispunkt 43.
krumme Oberflächen 17.
Krümmung einer Fläche 39.
Krümmungsmittelpunkt, –kreis 29.
Krümmungsgrenze = Demarkationslinie 41.
Kurven im Gelände 30.
Kurvimeter 68.
kürzester Abstand zweier windschiefer Geraden 11.
Lagerstätte, Rauminhalt einer – 73 ff.
Lambertsche Regel 69.
Längenmessung 89.
Längenprofil einer Raumkurve 31.
Liegendes einer Lagerstätte 73.
linear gebrochene Funktion, Skale 80 ff.
Logarithmenpapier 85.
Lot von einem Punkte auf eine Ebene 11.
Luftlinie 3.
Maßbestimmungen 67 ff.
Maßstab der Zeichnung 3.
Meßrädchen 68.
Mulde, Ausstrichlinie einer – 54.
Muldenpunkt 42.
Multiplikationstafel 89.
Mündungspunkt 44.
Nabelpunkt 43.
negativ gekrümmt 40.
Netzteilung 83.
Niveaulinien 1.
Normale einer Kurve 33;
– einer Fläche 37.
Normalebene 32, 38.
Normalschnitt 38.
Nullinie 52.
Pantograph = Storchschnabel 27.
Paraboloid, hyperbolisches 17.
parabolisch gekrümmt, –e Kurve 41;
–er Punkt 45.
parallele Gefällemaßstäbe 9.
Parallelkurven 29.
Parallelprojektion 65.
Plan des Geländes 26.
Planierungsfläche 32, 52.
Planimeter 70.
Planum = ebener Platz 19.
polytropische Kurve 85.
positiv gekrümmt 40.
Profil = Querprofil 19, 35;
scheinbares – 55.
projektive Skale 81.
projizierender Zylinder 30.
quadratische Gleichung, zeichnerische Lösung 87 ff.
Querprofil 19, 35.
Rauminhalt 72;
– einer Lagerstätte 73.
Raumkurve, Darstellung 30.
Rechenblatt 87 ff.
Rechenschieberskalen 78, 82.
Rektifikation 67.
Relief eines Geländes 30.
Rinne im Gelände 47.
Rückenlinie 44.
Rungesches Verfahren der Flächenmessung 70.
sattelförmig gekrümmt 40.
Sattelfalte 55.
Schacht, Tiefes eines –es 36.
Schattengrenze 62.
scheinbares Profil 55;
–rer Umriß 62.
Schicht, Ausbißlinie einer geologischen – 21.
Schichtenplan 1, 26.
Schichtlinien 1, 6, 31, 41.
Schmiegungsebene 33.
Schnitt zweier Geraden 5;
– einer Fläche mit einer Ebene 35;
– zweier Flächen 51;
– einer zylindrischen Fläche mit dem Gelände 55.
Schnittgerade zweier Ebenen 8.
Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene 10.
Schnittwinkel zweier Ebenen 13.
Schraffur einer Karte 39.
Schraubenfläche 17, 33.
sichtbarer Teil des Geländes 53.
Simpsonsche Regel 69.
sin _x_, Skale 79.
Skale einer Funktion 78 ff.
Spiegellineal 28.