Schichtlinien gegebenen Geländefläche lassen sich von jedem Punkte aus
zwei Kurven von konstantem Gefälle (Böschungslinien, § 50) ziehen,
wenn nur das Gefälle nicht größer ist als das der Fallinien der Fläche
in den Punkten der beiden Kurven. Um diese zu konstruieren, ermittle
man zunächst aus dem gegebenen Böschungsverhältnis das Intervall
der Böschungslinie. Unter der Voraussetzung, daß die Schichtlinien
genügend nahe gezeichnet sind, zieht man mit dem Intervall als Radius
um den gegebenen Punkt als Mittelpunkt einen Kreis. Entweder schneidet
dieser eine der beiden nächstfolgenden Hauptschichtlinien in zwei
Punkten, die auch zusammenfallen können, oder er schneidet sie nicht;
im letzteren Falle ist das gegebene Gefälle zu groß, im ersteren sind
reelle Böschungslinien der vorgeschriebenen Böschung von dem gegebenen
Flächenpunkte aus möglich, und man erhält weitere Punkte von ihnen,
indem man dieselbe Konstruktion von jedem der beiden Schnittpunkte
aus fortsetzt. Wenn man die erhaltenen Punkte in geeigneter Weise
verbindet, bekommt man die gesuchten Böschungslinien mit oder ohne
Kehren (Fig. 72). Im allgemeinen gehen von jedem Flächenpunkte zwei
verschiedene Böschungslinien aus, längs deren das Gefälle einen
gegebenen Wert hat.
Die auf einer Geländefläche angelegten Wege, Eisenbahnlinien u. dgl.
verlaufen in der Regel auf längere Strecken mit unveränderlichem
Gefälle. Die Konstruktion von Böschungslinien hat daher ein gewisses
praktisches Interesse. Wenn auch durch Aufschüttung und Abtrag des
Geländes größere Krümmungen eines anzulegenden Weges vermieden werden,
so wird seine Führung doch im allgemeinen durch eine Böschungslinie
bestimmt. Dabei wird besonders die im folgenden Paragraphen erörterte
Aufgabe benutzt.
[Illustration: Fig. 73.]
§ 71. _Aufgabe._ Bei der Lösung der Aufgabe, zwei gegebene Punkte
einer Fläche durch eine Kurve von konstanter Steigung zu verbinden,
hat man sich eines geometrischen Näherungsverfahrens zu bedienen.
Man konstruiert zunächst, von dem einen der gegebenen Punkte _A_
(Fig. 73) ausgehend, eine solche Böschungslinie, die in der Nähe des
andern gegebenen Punktes _B_ die durch diesen gehende Schichtlinie
schneidet. Die Ausführung der Konstruktion zeigt, ob das benutzte
Intervall zu groß oder zu klein ist, wonach man es zu verbessern hat.
Mit dem verbesserten Intervall wiederholt man dieselbe Konstruktion
usw., und nähert sich auf diese Weise mehr und mehr dem passenden
Werte des Intervalls. Zweckmäßig ist es dabei, den Punkt _B_ zwischen
zwei der gezeichneten Böschungslinien einzuschließen; _AB₁_, _AB₂_,
... seien solche Näherungskurven, _B₁'B₁_ und _B₂'B₂_ ... seien die
zugehörigen Intervalle. Man trage in den Punkten _B₁_, _B₂_, _B₃_ usw.
diese zugehörigen Intervalle normal zur Schichtlinie, also längs der
Fallinien auf und verbinde die erhaltenen Endpunkte durch eine glatte
Kurve (§ 38); diese gestattet das gesuchte Intervall zu entnehmen.
§ 72. =Schnitt zweier Flächen.= Das Verfahren, nach dem die
Schnittlinie einer Geländefläche mit einer Ebene konstruiert wird, läßt
sich genau ebenso anwenden auf die Bestimmung der Schnittkurve zweier
beliebiger Flächen miteinander. Denn die Punkte dieser Schnittkurve
gehören beiden Flächen gemeinsam an, müssen also auf den gleichhohen
Schichtlinien der beiden Flächen gelegen sein: man erhält sie als
Schnittpunkte gleichkotierter Schichtlinien.
Davon macht man sehr häufig Gebrauch bei der Bestimmung der Grenzlinie
einer Böschungsfläche mit der gegebenen Geländefläche. Darauf bezieht
sich die Fig. 74, in der die Aufschüttung einer Halde oder eines Dammes
mit wagerechter Krone dargestellt ist. Die wagerechte Verbindungslinie
der beiden Punkte _A_ und _B_ (Höhe 20) kann etwa als Führungslinie
eines auf einem Gestänge angelegten Schienengeleises für Kippwagen
aufgefaßt werden, von dem aus die Halde aufgestürzt wird. Kennt man
den Böschungswinkel, unter dem das Fördergut der Halde sich ablagert,
so kann man nach § 65 ihre Schichtlinien als Parallelkurven der
Geleisführung konstruieren. Die Schnittpunkte dieser Parallelkurven mit
den gleichkotierten Schichtlinien des Geländes bestimmen alsdann nach
dem oben Gesagten die Schnittkurve der Halde mit dem Gelände. – Die
damit gelöste Aufgabe ist eine Erweiterung der in § 32 besprochenen.
[Illustration: Fig. 74.]
§ 73. =Durchdringungspunkte einer Raumkurve mit einer Geländefläche.=
Man legt durch die gegebene Raumkurve eine beliebige Fläche, bestimmt
deren Schnittkurve mit dem Gelände, wie in § 72 angegeben, und
konstruiert schließlich die gemeinsamen Punkte dieser Schnittkurve mit
der gegebenen Raumkurve. Offenbar wird man die Hilfsfläche selber nur
in der Nähe der Durchdringungspunkte benötigen.
[Illustration: Fig. 75.]
Als Hilfsfläche nimmt man zweckmäßig die windschiefe Planierungsfläche
(§ 51), weil ihre Schnittkurve mit dem Gelände, die _Nullinie_, am
besten darüber Aufschluß gibt, welche Teile der Raumkurve oberhalb des
Geländes und welche unterhalb gelegen sind (Fig. 75; die Nullinie ist
ganz gestrichelt).
Die Bestimmung der Durchstoßpunkte einer Kurve mit dem Gelände ist
oft bei der Linienführung einer Eisenbahnlinie oder dgl. in gebirgigem
Gelände auszuführen. Sie zeigt dann, an welchen Stellen die Bahnlinie
in den Erdkörper eindringt, welche Erdbewegungen, Tunnelanlagen u. dgl.
vorzunehmen sind.
Um zu bestimmen, ob ein Punkt des Geländes von irgendeinem anderen
Punkte aus _sichtbar_ ist, braucht man nur festzustellen, ob die
Verbindungsgerade das Gelände nicht trifft. Es genügt dazu, diese
Gerade zu graduieren und nachzusehen, ob in der Projektion für jeden
Punkt der Geraden die Höhenzahl auch nicht kleiner ist als für
denselben Punkt auf dem Gelände.
IV. AUFGABEN UND ANWENDUNGEN
§ 74. =Zweck der Aufgaben.= In den folgenden Paragraphen werden
eine Reihe von Aufgaben besprochen, die zu ihrer Lösung der in den
früheren Abschnitten entwickelten Konstruktionen bedürfen. Zumeist
sind sie praktischen Fragen entsprungen oder doch unmittelbar auf
solche anwendbar, die sich bei der Benutzung der Karte eines Geländes
darbieten. Der Kürze wegen sind den gestellten Aufgaben nicht die
Lösungen in ausführlicher Darstellung, sondern nur allgemeine Angaben
über den einzuschlagenden Weg beigegeben, die indessen in jedem Falle
zur Konstruktion ausreichen. Der Leser wird gut tun, die angedeutete
Lösung wirklich zeichnerisch auszuführen, und zwar dürfte es sich in
der Regel empfehlen, den Maßstab mindestens doppelt so groß zu wählen,
als ihn die Figuren angeben, die ja nur als Skizzen dienen sollen.
§ 75. =Aufschüttung und Abtrag eines Eisenbahndammes= zu konstruieren,
von dem die Führungslinie, die Breite, das Gefälle und die
Dammböschungen gegeben sind. Die Dammkrone bildet einen Streifen der
zur gegebenen Führungslinie gehörigen Planierungsfläche (vgl. § 51).
Man graduiert die Führungslinie nach dem gegebenen Gefälle – in der
Figur ist das Gefälle in der Kurve geringer angenommen als auf der
geraden Strecke –, wodurch dann zugleich auch die beiden Begrenzungen
der Dammkrone mit graduiert sind. Jetzt zeichnet man nach § 69
beiderseits die Böschungsflächen der Dammbegrenzungen, schließlich
nach § 72 die Schnittlinien mit dem Gelände. In der Figur 76 sind die
ursprünglichen, aber durch den Damm verschütteten oder durch den Abtrag
weggenommenen Schichtlinien des Geländes punktiert gezeichnet; und die
ausgezogenen Schichtlinien stellen somit diejenigen des Geländes _nach_
der Anlage des Dammes dar.
[Illustration: Fig. 76.]
§ 76. =Die Ausstrichlinie einer Mulde mit dem Gelände zu bestimmen.=
Die Mulde soll ellipsoidische Gestalt haben mit einer lotrechten
Hauptachse; ihre Abmessungen sind durch zwei lotrechte Hauptschnitte
gegeben (Fig. 77).
[Illustration: Fig. 77.]
Die Schichtlinien der Mulde sind Ellipsen (Fig. 78), deren Hauptachsen
aus den beiden gegebenen Querprofilen zu entnehmen sind. Die Ellipsen
werden hier am einfachsten nach der bekannten Papierstreifenmethode
gefunden. Durch die Schnittpunkte dieser Ellipsen mit den
gleichkotierten Höhenlinien des Geländes ist dann, wie in der vorigen
Aufgabe, die gesuchte Verschneidung bestimmt. Wenn es nur auf diese
Verschneidung ankommt, braucht man von den Ellipsen ersichtlich
jedesmal nur die Punkte in der Nähe der gleichkotierten Schichtlinien
zu bestimmen.
[Illustration: Fig. 78.]
§ 77. =Schnittkurve einer zylindrischen Fläche mit dem Gelände.= Diese
Aufgabe kommt in der Geologie vor, wenn es sich darum handelt, die
Ausstrichlinie einer gefalteten Schicht (Sattelfalte) zu ermitteln.
Durch die Beobachtung gefunden seien das Streichen und Einfallen
der Schicht an irgendeinem Punkte, d. h. Streichen und Fallen der
Zylindergeraden; ferner sei gegeben ein scheinbares Profil der
Schicht, d. h. die Schnittkurve des Zylinders mit einer beliebig
gegebenen Ebene. In der Fig. 79 sei _g_ eine Zylindergerade, deren
Graduierung aus dem beobachteten Streichen und Fallen ermittelt sei.
Der Gefällemaßstab der Ebene des aufgenommenen Profils _p_ sei (_E_),
ebenfalls aus den beobachteten Daten konstruiert. Um die gesuchte
Schnittkurve zu zeichnen, bestimme man zunächst die Höhenlinien des
Zylinders. Zu dem Zwecke ziehe man durch die Punkte des scheinbaren
Profils _p_, das durch die Streichlinien seiner Ebene (_E_) gestuft
ist, die erzeugenden Geraden des Zylinders, d. h. man ziehe Parallelen
zu _g_, und graduiere diese, von den Punkten des Profils _p_ ausgehend,
mit dem gleichen Intervalle wie _g_. Die Verbindung der Punkte gleicher
Höhenzahlen dieser Geraden ergibt die erwähnten Schichtlinien (in der
Figur gestrichelt); sie sind untereinander kongruent und gehen aus
einer von ihnen durch Parallelverschiebung längs der Richtung _g_
hervor (vgl. § 21). Sie schneiden die gleichkotierten Höhenlinien des
Geländes in Punkten der gesuchten Grenzkurve.
[Illustration: Fig. 79.]
Wenn man sich aus steifem Papier ein Muster der Schichtlinie des
Zylinders ausschneidet und darauf mindestens zwei Punkte bezeichnet,
durch die die entsprechenden Mantelgeraden gehen sollen, so kann
man sich damit die Konstruktion der Grenzkurve sehr erleichtern.
Denn durch Parallelverschiebung des Musters längs zweier gestufter
Mantelgeraden kann man die Schnittpunkte der Geländeschichtlinien mit
den gleichkotierten des Zylinders unmittelbar finden, ohne erst diese
zeichnen zu müssen.
§ 78. =Um eine gegebene Geländefläche einen Zylinder mit wagerechten
Mantelgeraden zu umschreiben.= Die Richtung _g_ der wagerechten
Mantelgeraden des Zylinders sei gegeben. Man hat dann nur an die
Schichtlinien der Geländefläche Tangenten zu legen, die der gegebenen
Richtung parallel sind. Der geometrische Ort der Berührungspunkte ist
die Berührungskurve der Fläche und des Zylinders. Sie ist der _Umriß_
der Fläche, wenn diese in der gegebenen Richtung aus sehr weiter Ferne
betrachtet wird (Fig. 80 gestrichelt).
[Illustration: Fig. 80.]
[Illustration: Fig. 81.]
§ 79. =Durch eine gegebene wagerechte Gerade die Berührungsebenen an
eine Geländefläche zu legen.= Die gesuchten Berührungsebenen stimmen
mit denen überein, die sich durch dieselbe Gerade _g_ an den der
Fläche umschriebenen Zylinder legen lassen, dessen Mantelgeraden
ebenfalls wagerecht und zu _g_ parallel sind. Man konstruiere also
diesen Zylinder, wie in § 78 angegeben. Man lege weiter senkrecht zu
den Mantelgeraden ein Querprofil (§ 54). Es wird auch die gegebene
Gerade _g_ in einem bestimmten Punkte schneiden. Die Tangenten von
diesem Punkte an das Querprofil sind die Durchschnittsgeraden der
gesuchten Berührungsebenen mit der Querschnittsebene. Daraus sind die
Berührungspunkte und die Gefällemaßstäbe der Berührungsebenen leicht zu
entnehmen (Fig. 80 u. 81).
§ 80. =Umschriebener Zylinder mit beliebig gegebener Richtung der
Mantelgeraden.= Die gegebene Richtung sei durch eine gestufte Gerade
_g_ dargestellt. Man legt parallel zu ihr eine genügende Anzahl
Vertikalschnitte durch die gegebene Geländefläche, zeichnet die
zugehörigen Profile (§ 54) und legt an sie Tangenten in Richtung der
gegebenen Geraden. Die Berührungspunkte _B_ überträgt man aus der
Profilzeichnung wieder in die Karte der Fläche und erhält so darin
diejenige Kurve _b_, möglicherweise mehrere, längs denen der oder die
Zylinder die Fläche berühren (Fig. 82 und 83). In der Figur sind vier
zu _g_ parallele Querprofile gezeichnet, die mit 1 bis 4 angemerkt
sind; der Deutlichkeit wegen ist 3 um 30 und 4 um 10 Höheneinheiten
niedriger gelegt, als der Wirklichkeit entspricht. An jedes Profil
lassen sich hier zwei zu _g_ parallele Tangenten legen, es kommen also
je zwei Berührungspunkte _B_, zwei Berührungskurven _b_ und daher auch
zwei Zylinder zum Vorschein, von denen der eine von unten, der andere
von oben der Fläche umschrieben ist.
Überträgt man zu den Berührungspunkten _B_ auch ihre Höhenzahlen aus
der Profilzeichnung, so läßt sich sehr leicht für jeden Zylinder die
Schar der Schichtlinien konstruieren. Da jede Schar aus kongruenten
Kurven besteht, die auseinander durch Parallelverschiebung längs der
Richtung _g_ hervorgehen, so genügt es, je eine der Schichtlinien
zu zeichnen. Man hat zu dem Zweck durch die Punkte _B_ die zu _g_
parallelen Erzeugenden zu ziehen und sie, von _B_ ausgehend mit
demselben Intervall wie _g_ zu graduieren. Die Verbindungslinien der
Punkte gleicher Höhenzahlen ergeben die gesuchten Schichtlinien _s_; in
der Figur ist für den einen Zylinder die Schichtlinie _s_ = 110, für
den anderen die Schichtlinie _s_ = 50 gezeichnet worden.
[Illustration: Fig. 82.]
§ 81. =Berührungsebene.= Man kann die eben ausgeführte Konstruktion des
umgeschriebenen Zylinders benutzen, um an eine gegebene Geländefläche
eine Berührungsebene zu legen, die durch eine gegebene Gerade geht.
– Ist _g_ die gegebene Gerade, so konstruiert man zunächst, wie
eben gezeigt, den umschriebenen Zylinder, dessen Mantelgeraden die
Richtung _g_ haben. Eine Schichtlinie _s_ dieses Zylinders genügt zur
Konstruktion der gesuchten Berührungsebene. Denn zieht man von dem
Punkte der gegebenen Geraden _g_, der genau die Höhe _s_ hat, an die
Schichtlinie _s_ die Tangente (in der Figur 82: _s_ = 110 und _s_ =
50, Berührungspunkte _T_), so ist diese eine Streichlinie der durch
_g_ gehenden Berührungsebene des Zylinders. Diese Berührungsebene
berührt aber auch die gegebene Geländefläche, und man findet ihren
Berührungspunkt _B^*_ als Schnittpunkt der Mantelgeraden _TB^*_ mit der
Berührungskurve _b_. In der Figur sind zwei solche Berührungspunkte
(_B^*_ und _W_) und demnach zwei verschiedene Berührungsebenen
vorhanden; ihre Gefällemaßstäbe (in der Figur angegeben) sind leicht zu
zeichnen.
§ 82. =Andere Konstruktion des umschriebenen Zylinders und der
Berührungsebene.= Die eben auseinandergesetzte Konstruktion der
Berührungsebene ist wegen der zahlreichen Querschnitte, die zu zeichnen
sind, wenig bequem und auch wenig genau; doch ist sie, etwa zur Prüfung
des folgenden Verfahrens, dann gut brauchbar, wenn man die ungefähre
Lage der Berührungspunkte kennt und daher mit wenigen Vertikalschnitten
auskommt.
[Illustration: Fig. 83.]
Der zweite Weg zur Lösung der Aufgabe, an eine Geländefläche eine
Berührungsebene zu legen, die durch eine gegebene Gerade geht, ist
zwar etwas weniger leicht verständlich, aber zeichnerisch einfacher
und meist auch genauer als der obige. – Wenn man von den Punkten
der gegebenen Geraden _g_ an die gleichkotierten Schichtlinien der
Fläche Tangenten legt, so stellen diese die Schichtlinien einer
geradlinigen Fläche dar, die durch die Gerade _g_ geht und die
Geländefläche berührt. Die Berührungskurve (_hh_ in der Fig. 82) ist
als Ort der Berührungspunkte leicht zu zeichnen. Auf ihr muß auch
der Berührungspunkt der gesuchten Tangentialebene liegen; und da
diese durch _g_ geht, ist sie auch berührende Ebene der geradlinigen
Hilfsfläche und hat mit ihr die durch den Berührungspunkt gehende
Gerade _ḡ_ gemeinsam, die, da sie horizontal verläuft, zugleich eine
ihrer Schichtlinien ist. Demnach ist die Aufgabe gelöst, wenn die durch
_g_ gehenden Berührungsebenen der Hilfsfläche gefunden sind.
Man betrachte nun alle durch _g_ gehenden Ebenen, das Ebenenbüschel
mit der Achse _g_; jede von ihnen ist bestimmt durch den Winkel, den
sie mit einer festen ebenfalls durch _g_ gehenden Ebene bildet, etwa
derjenigen (_E_), auf der _g_ eine Fallinie ist. Jede der Ebenen ist
daher auch bestimmt durch den Winkel α, den ihre Streichlinien mit
denen der genannten festen Ebene (_E_) bilden, d. h. mit der zu _g_
senkrechten Richtung.
Zu diesen Ebenen gehören auch alle solche, deren Streichlinien zugleich
der geradlinigen Hilfsfläche angehören, also auch die gesuchten
Berührungsebenen. Man fasse eine solche Ebene ins Auge und verfolge
den Verlauf der geradlinigen Hilfsfläche in der Nähe der Geraden _ḡ_,
die sie mit der Ebene gemeinsam hat. Dann sind drei Möglichkeiten
vorhanden: entweder berührt die Ebene die Fläche von unten, dann
liegen die zu _ḡ_ benachbarten Geraden der Fläche sämtlich oberhalb
der Ebene; oder die Ebene berührt die Fläche von oben, dann verlaufen
die zu _ḡ_ benachbarten Geraden der Fläche sämtlich unterhalb der
Ebene; oder drittens die Ebene durchsetzt berührend die Fläche in
der Geraden _ḡ_, was eintritt, wenn die Fläche hier sattelförmig
verläuft. Im erstgenannten Falle ist der oben erwähnte Winkel α für
die Berührungsebene kleiner als für benachbarte durch _g_ gehende
Ebenen; im zweiten Falle ist er größer. In diesen beiden Fällen wird
man demnach zur Konstruktion der Berührungsebenen die Veränderungen des
Winkels α zu verfolgen haben, den die von Punkten der Geraden _g_ an
die gleichkotierten Schichtlinien der Fläche gezogenen Berührenden mit
der auf _g_ senkrechten Richtung einschließen, und darunter diejenigen
Winkel auszusuchen haben, die größer oder kleiner als die benachbarten
sind, d. h. die ein Maximum oder Minimum bilden. Das Aussuchen dieser
größten und kleinsten Werte des Winkels α nach dem Augenmaß erfordert
ziemliche Übung, wenn die danach ausgeführte Konstruktion einigermaßen
genau sein soll. Man lege dann ein Zeichendreieck gegen _g_ unter dem
Winkel α an, den man als größten oder kleinsten geschätzt hat, und
prüfe durch Parallelverschieben des Dreiecks längs eines zweiten die
Richtigkeit der Schätzung.
§ 83. =Gebrauch einer Hilfskurve.= Durch die folgende Überlegung und
das Zeichnen einer Hilfskurve kommt man genauer zum Ziel (Fig. 82).
Statt den Verlauf des Winkels α selber kann man nämlich auch den
Verlauf einer stetigen Funktion von α, etwa tg α verfolgen, z. B.
indem man eine zu tg α proportionale Strecke jedesmal als Ordinate zur
Höhenzahl als Abszisse aufträgt, die die zugehörige Streichlinie hat.
Zu dem Zweck ziehe man in einem beliebigen nicht zu kleinen Abstand zu
_g_ eine Parallele _g'_; das rechtwinklige Dreieck _kAC_, das bestimmt
wird durch den auf _g_ gelegenen Punkt der Höhe _k_ und die durch ihn
gehenden Streichlinien _Ck_ der Hilfsfläche und _Ak_ (senkrecht auf
_g_) der Ebene (_E_), ergibt
_CA_ = _kA_ · tg α,
und da für alle so entstehenden Dreiecke die entsprechenden Stücke
_kA_ konstante Längen haben, so sind die _CA_ entsprechenden Stücke
proportional zu tg α. Man trägt die Stücke _CA_ von _A_ aus auf _kA_
ab (_C₁A_ = _CA_) und erhält so eine Kurve (1), die den Verlauf von
tg α wiedergibt. Die Maxima, Minima dieser Kurve und, für den erwähnten
dritten Fall einer sattelförmigen Berührung, die Wendepunkte mit einer
zu _g_ parallelen Tangente geben diejenigen Werte von _kA_ · tg α,
zu denen eine einer Berührungsebene zukommende Streichlinie der
Hilfsfläche gehört. Um sie zu zeichnen, hat man nur durch einen solchen
Punkt _M₁_ der Kurve eine Senkrechte _k_{m}M₁D_ zu _g_, _g'_ zu ziehen,
_DE_ = _DM₁_ zu machen, dann ist _k_{m}E_ die gesuchte Streichlinie;
sie schneidet die Berührungskurve _hh_ im Berührungspunkte _B_
der gesuchten Berührungsebene, deren Gefällemaßstab danach leicht
herzustellen ist. Dieselbe Konstruktion ist bei dem Wendepunkt _W₁_
ausgeführt: man zieht _k_{w}W₁G_ senkrecht zu _g_, _g'_, macht _GH_ =
_GW₁_ und zieht _k_{w}H_, die Streichlinie der gesuchten berührenden
Ebene, wodurch zugleich deren Berührungspunkt _W_ als Schnitt mit
der Kurve _hh_ erhalten wird. Die Genauigkeit der Konstruktion kann
noch leicht verbessert werden, wenn man die symmetrische Kurve (2)
zeichnet; man macht _C₂A_ = _CA_ usw.
Übrigens ist noch eine dritte Kontrolle für die gesuchten
Berührungspunkte dadurch gegeben, daß die Berührungskurve _hh_ der
Hilfsfläche und die Berührungskurven _b_ der umschriebenen Zylinder
(§ 80) sich in den gesuchten Punkten _B^*_ und _W_ schneiden müssen.
§ 84. =Schattengrenze.= Wenn die als parallel anzunehmenden
Sonnenstrahlen ein hügeliges Gelände in einer gegebenen Richtung
bescheinen, so liegt ein Teil des Geländes im Schatten. Die Grenze
dieses Schattens ist die Schnittkurve der Geländefläche mit dem
Zylinder, der ihr in der Richtung der Strahlen von oben umschrieben
werden kann. Nachdem man diesen Zylinder nach § 80 oder 82 bestimmt
hat, wozu eine Schichtlinie und zwei gestufte Mantelgeraden genügen,
findet man die gesuchte Schnittkurve mit dem Gelände nach § 77,
am einfachsten nach dem Verfahren des verschiebbaren Musters. Der
Leser führe die Konstruktion an der Fig. 82 aus: mindestens zwei der
Mantelgeraden 1 bis 4 sind zu stufen, indem von der Schichtlinie _s_ =
110 des oberen Zylinders das Intervall von _g_ wiederholt abgetragen
wird; von der genannten Schichtlinie ist auf steifem Papier ein
Muster zu verfertigen, dieses von Stufe zu Stufe der Mantelgeraden zu
verschieben, die Schnittpunkte mit den gleichkotierten Schichtlinien
des Geländes sind aufzusuchen und diese Punkte durch eine glatte Kurve
zu verbinden. Die Schattengrenze wird hier im unteren Teile der Fig. 82
gelegen sein.
§ 85. =Von einem gegebenen Punkte an eine Geländefläche den
Berührungskegel zu zeichnen. Scheinbarer Umriß, Horizont.= Eine
Lösung dieser Aufgabe liegt auf der Hand: man führt durch den im
Raume gegebenen Punkt _A'_ genügend viele Vertikalschnitte, zeichnet
die zugehörigen Profile der Fläche und legt an diese von _A'_ aus
Tangenten; die Berührungspunkte, in die Karte übertragen, ergeben
die gesuchte Berührungskurve. Zweckmäßig nimmt man die Profile, die
in der Karte durch die Tangenten von _A_, der Projektion von _A'_,
an die Schichtlinien der Fläche bestimmt sind, weil man an ihnen
am leichtesten verfolgen kann, wie weit es nötig ist, die Profile
wirklich zu zeichnen. Aber dieses Verfahren ist aus denselben Gründen,
wie sie oben beim umschriebenen Zylinder (§ 82) angegeben wurden,
praktisch wenig bequem und von geringer Genauigkeit. Folgender Weg ist
bequemer, oft auch genauer. Er beruht auf einer Überlegung, die eine
Erweiterung der in § 82 angegebenen darstellt.
[Illustration: Fig. 84.]