eine lotrechte Ebene schneidet und diese samt der Schnittfigur in
die Zeichenebene umklappt, so erhält man ein _Querprofil_ der Fläche
längs der gegebenen Richtung (Fig. 48). Oft ist es zweckmäßig, um die
Zeichnung nicht zu verwirren, oder bei Benutzung einer Karte, das
Querprofil auf eine besondere Zeichnung zu übertragen: das geschieht
längs der gegebenen Richtung mittels des Zirkels oder einfacher
mittels eines angelegten geraden Papierstreifens (Fig. 48 a).
§ 55. =Anwendung.= Die Konstruktion von Ausschnittlinien und
Querprofilen kommt sehr oft bei Aufgaben des Tiefbaues, bei
geologischen oder bergmännischen Fragen vor. Zum Beispiel, wenn man
an irgendeiner Stelle des Geländes das Streichen und Fallen einer (in
erster Annäherung als eben angenommen) geologischen Schicht beobachtet
hat, so ist es von Wichtigkeit, die (mutmaßliche) Ausbißlinie dieser
Schicht zu kennen, um dadurch zu wissen, an welchen Stellen des
Geländes man mit einiger Aussicht auf Erfolg durch Schürfarbeit die
Schicht bloßlegen und vielleicht abbauen kann; oder wie tief ein
Schacht, der an einer gegebenen, dem Verkehr zugänglichen Stelle
anzulegen ist, niedergebracht werden muß, bis er die Schicht erreicht.
[Illustration: Fig. 49.]
Man hat dann zunächst aus dem beobachteten Einfallen und Streichen
die Schichtlinien der Ebene und damit ihren Gefällemaßstab nach § 11
zu konstruieren, alsdann, wie im vorigen Paragraphen angegeben, ihre
Ausbißlinie (in der Figur gestrichelt) mit der Fläche herzustellen,
schließlich durch den Schacht in der durch die Fallinie der Ebene
gegebenen Richtung ein Querprofil durch das ganze Gelände zu legen.
Daraus ist dann die Teufe des Schachtes zu entnehmen. Dies ist in der
Fig. 49 ausgeführt.
§ 56. =Einschalten von Höhenlinien.= Für manche konstruktiven Zwecke
reichen oft die vorhandenen Höhenlinien nicht an allen Stellen der
Karte aus, um die verlangten Konstruktionen mit genügender Genauigkeit
auszuführen. Dann wird es erforderlich, zwischen die vorhandenen
noch andere Höhenlinien einzuschalten. Zweckmäßig kann das mit Hilfe
von Querprofilen geschehen, die man an den betreffenden Stellen der
Karte in genügender Anzahl legt, und aus denen man die erforderlichen
Punkte für die zu konstruierenden Zwischenschichtlinien entnimmt (vgl.
Fig. 50).
[Illustration: Fig. 50.]
[Illustration: Fig. 51.]
Wenn die Höhenlinien nur schwach gekrümmt sind, kann man mittels
eines einfach anzulegenden Maßstabes Punkte der einzuschaltenden
Schichtlinien mit genügender Annäherung auffinden, wie das aus der
Fig. 51 hervorgeht; bei geradlinigen Schichtlinien wäre dieses
Verfahren streng richtig.
Am genauesten und in jedem Falle anzuwenden sind die Längenprofile quer
zu den Schichtlinien (längs der Fallinien, vgl. § 58), und zwar so, wie
es im § 48 gezeigt worden ist.
§ 57. =Berührungsebene und Normale einer Fläche.= Um in einem gegebenen
Punkte der Fläche die Berührungsebene zu konstruieren, bedenke man, daß
diese von einer durch den Punkt gehenden wagerechten Ebene in einer
wagerechten Geraden geschnitten wird; diese Gerade ist eine Tangente
der Fläche in dem gegebenen Punkte, also auch eine Tangente an die
durch den Punkt gehende Höhenlinie der Fläche. Da den Berührungen auf
der Fläche auch Berührungen in der Karte entsprechen (§ 44), so ist
demnach auf dem Plane die Normale der Höhenlinie in dem gegebenen
Punkte (mit dem Spiegellineal zu zeichnen) die Projektion einer
Fallinie der gesuchten Berührungsebene. Konstruiert man das durch
die Richtung dieser Fallinie bestimmte Querprofil der Fläche nach
§ 54, so ist die Fallinie an ihm in dem gegebenen Punkte Tangente.
Ihr Böschungsmaßstab ist also auch der Gefällemaßstab der gesuchten
Berührungsebene (vgl. Fig. 52 u. 52 a).
[Illustration: Fig. 52.]
[Illustration: Fig. 52 a.]
Die Flächennormale ist das Lot auf der Berührungsebene im
Berührungspunkte. Da es in der eben erwähnten Profilebene liegt, fällt
seine Projektion mit der der Fallinie der Berührungsebene zusammen.
Sein Gefällemaßstab hat nach § 6 das reziproke Intervall desjenigen der
Berührungsebene, ist ihm entgegengesetzt gerichtet und daher wie dort
angegeben zu bestimmen.
§ 58. =Normalebene, Fallinien einer Fläche.= Irgendeine die
Flächennormale enthaltende Ebene heißt _Normalebene_ der Fläche; sie
schneidet die Fläche in einem _Normalschnitt_, die Berührungsebene in
einer Tangente der Fläche. Durch jeden Flächenpunkt gehen also unzählig
viele Tangenten, von denen im allgemeinen nur eine, die zugleich
Tangente der durch den Berührungspunkt gehenden Schichtlinie der Fläche
ist, horizontal läuft. Die anderen verlaufen paarweise mit demselben
Anstieg, bis auf eine, deren Gefälle mit dem der Ebene übereinstimmt.
Es ist zugleich das größte unter allen betrachteten und wird _Gefälle
der Fläche_ in dem betreffenden Punkte genannt. Geht man von einem
Punkte der Fläche in Richtung des eben erwähnten größten Gefälles, der
Fallrichtung, also senkrecht zur Schichtlinie, weiter zu einem Punkte
der nächsten Schichtlinie, von da in derselben Weise weiter und so
fort, so durchläuft man eine _Fallinie_ der Fläche.
Die Fallinien stehen auf den Schichtlinien senkrecht. Um sie zu
konstruieren (Fig. 53 u. 54), bedient man sich zweckmäßig des
Spiegellineals: man errichtet, von einem Punkte einer Schichtlinie
ausgehend, auf ihr mittels des Spiegellineals die Normale, setzt
an sie in einem Punkte, der etwa mitten bis zur nächstfolgenden
Schichtlinie gelegen ist, die Normale zu dieser an, usw. Diese
Normalen hüllen die gesuchte Fallinie ein, deren Tangenten sie sind
(§ 41). Dabei ist es erforderlich, daß genügend viele Schichtlinien zu
Verfügung stehen; nötigenfalls werden zuvor einige einzuschalten sein
(§ 56).
[Illustration: Fig. 53.]
[Illustration: Fig. 54.]
§ 59. =Schraffur einer Karte.= Die Fallinien einer Geländefläche geben
die Richtung des langsam herabfließenden Wassers an. Im allgemeinen
geht durch jeden Punkt der Fläche genau eine Fallinie; über die
besonders zu erwähnenden Ausnahmen s. weiter unten § 61.
Der Anstieg längs der Fallinien einer Fläche ist im allgemeinen
veränderlich; man pflegt in der Kartenkunde das stärkere oder
schwächere Gefälle des Geländes durch stärkeres oder schwächeres
Ausziehen der Fallinien kenntlich zu machen, um dadurch einen
erhabenen Eindruck der Karte hervorzurufen. Dazu benutzt man meistens
eine dem Gefälle entsprechend abgetönte Schraffur. Die Richtung der
Schraffenstriche stimmt mit der Richtung der Fallinien überein.
§ 60. =Krümmung einer Fläche.= Hinsichtlich der Punkte, die eine
Fläche außer dem Berührungspunkte in seiner Nachbarschaft mit der
Berührungsebene gemeinschaftlich haben kann, sind drei verschiedene
Fälle möglich, wenn man von besonderen Ausnahmen absieht.
Entweder hat die Oberfläche mit ihrer Berührungsebene in der
Umgebung des Berührungspunktes weiter gar keinen Punkt gemeinsam;
die Berührungsebene verläuft dort dann also ganz auf einer Seite der
Fläche. Dann heißt die Fläche in dem betrachteten Berührungspunkte
_bauchig_ (positiv oder elliptisch gekrümmt). Vgl. 55 und 55 a. Das
Ellipsoid gibt dafür ein Beispiel in jedem seiner Punkte.
[Illustration: Fig. 55.]
[Illustration: Fig. 55 a.]
Oder zweitens die Berührungsebene durchdringt in der Nähe des
Berührungspunktes die Fläche so, daß die Schnittkurve beider im
Berührungspunkte einen Doppelpunkt besitzt. Dann heißt die Fläche
daselbst _sattelförmig_ (negativ oder hyperbolisch gekrümmt). Vgl.
Fig. 56 und 56 a. Das einschalige Hyperboloid oder das hyperbolische
Paraboloid ist in jedem seiner Punkte sattelförmig; die Schnittkurve
besteht hier aus den beiden, sich im Berührungspunkte schneidenden
erzeugenden Geraden.
[Illustration: Fig. 56.]
[Illustration: Fig. 56 a.]
Oder drittens: die Berührungsebene dringt zwar ebenfalls in der Nähe
des Berührungspunktes in die Fläche ein, aber so, daß die Schnittkurve
beider nur einmal durch den Berührungspunkt geht. Dann heißt die
Fläche in dem betreffenden Punkte _parabolisch_ gekrümmt. Vgl. Fig. 57
und 57 a. Ein Kegel mit beliebiger Basis ist in jedem seiner Punkte
parabolisch gekrümmt. Flächenstücke, deren sämtliche Punkte parabolisch
gekrümmt sind, lassen sich ohne Dehnung und Faltung derartig verbiegen,
daß sie Teile einer Ebene werden, oder, was dasselbe besagt, man kann
sie auf eine Ebene abwickeln; daher heißen solche Flächen abwickelbar.
[Illustration: Fig. 57.]
[Illustration: Fig. 57 a.]
Es kann vorkommen, daß auf einer und derselben Fläche sowohl
bauchige wie sattelförmige Teile vorhanden sind. Sie werden dann
getrennt durch eine Kurve, die _Krümmungsgrenze_ (Demarkationslinie,
parabolische Kurve), in deren Punkten die Fläche parabolisch gekrümmt
ist. Ein Beispiel dafür ist die in der Fig. 27 auf S. 18 abgebildete
glockenförmige Umdrehungsfläche: _DD_ bezeichnet die Krümmungsgrenze,
der obere Teil ist bauchig, der untere sattelförmig.
§ 61. Der =Verlauf der Schicht- und Fallinien= längs einer
Geländefläche ist äußerst mannigfaltig und scheinbar sehr regellos.
Jedoch kann man oft aus dem bloßen Anblick dieser Linien in der Karte
geometrische Eigenschaften der Fläche an der betrachteten Stelle
herauslesen; und es ist für die Beschäftigung mit der Kartenkunde sehr
wichtig, sich darin eine gewisse Übung zu verschaffen.
Da die Schichtlinien als Linien gleichen Wasserstandes aufgefaßt werden
können, müssen sie auf einer nicht willkürlich begrenzten Geländefläche
stets geschlossen sein. Keine zwei Schichtlinien verschiedener Höhen
können sich schneiden. Bei Ausschluß überhängender Teile des Geländes
gilt dies auch von den Projektionen der Schichtlinien in der Karte. Im
allgemeinen geht durch jeden Punkt des Planes genau eine Schichtlinie;
es gibt jedoch gewisse Ausnahmepunkte.
§ 62. =Gipfel-, Mulden- und Jochpunkt.= Zunächst gibt es solche
Punkte, durch die keine Schichtlinie geht oder, genauer gesagt, deren
zugehörige Höhenlinie auf den Punkt selbst zusammengeschrumpft ist. Es
sind die Punkte, die höher oder tiefer liegen als sämtliche Punkte
ihrer Umgebung. Sie heißen _Gipfel-_ oder _Muldenpunkte_, je nachdem
die benachbarten Schichtlinien, von ellipsenähnlicher Gestalt, kleinere
oder größere Höhenzahlen haben (Fig. 58).
[Illustration: Fig. 58.]
[Illustration: Fig. 59.]
Sodann gibt es solche Punkte, durch die zwei, vielleicht auch mehrere
Schichtlinien (derselben Höhenzahl) hindurchgehen. Der gewöhnlichste
dieser Punkte ist der _Jochpunkt_, die tiefste Stelle zwischen zwei
Erhebungen und Ausgangsstelle zweier durch einen Bergrücken getrennter
Täler, oder auch, was dasselbe bedeutet, die höchste Stelle zwischen
zwei Tälern und Ausgangsstelle zweier durch ein Tal getrennter
Bergrücken (Fig. 59). Besondere Fälle treten ein, wenn mehrere Täler
und mehrere Bergrücken von einem gemeinsamen Punkte entspringen, wovon
die Fig. 60 ein Beispiel gibt.
[Illustration: Fig. 60.]
Die Berührungsebene in einem Gipfel- oder Mulden- oder Jochpunkte ist
wagerecht, wie sich auch aus einer Betrachtung der Querprofile sogleich
ergibt. Da sie in der Umgebung eines Gipfelpunktes ganz oberhalb der
Fläche, in der Umgebung eines Muldenpunktes ganz unterhalb liegt, so
ist die Fläche in diesen Punkten bauchig (§ 60). In einem Jochpunkt ist
sie dagegen sattelförmig.
§ 63. =Wasserscheide und Talweg.= Im allgemeinen geht durch jeden
Punkt einer Geländefläche genau eine Fallinie; aber auch hiervon
gibt es Ausnahmen. Durch jeden Gipfel- und jeden Muldenpunkt gehen
unzählig viele Fallinien, ebendie, welche die benachbarten elliptischen
Schichtlinien der Umgebung senkrecht durchschneiden. Die Fig. 61 zeigt
den Verlauf dieser Fallinien, wie ihn eine genauere Betrachtung,
die hier zu weit führen wurde, erkennen ließe: die Fallinien
berühren nämlich sämtlich die gemeinsame große Achse der Ellipsen
im Mittelpunkt, dem in Rede stehenden Gipfel- oder Muldenpunkt,
bis auf eine, die in Richtung der kleinen Achse verläuft. Wenn die
Schichtlinien in der Umgebung eines Gipfel- oder Muldenpunktes
angenähert konzentrische Kreise sind, wie es z. B. bei einer
Umdrehungsfläche mit senkrechter Drehachse (vgl. Fig. 27 Seite 18)
eintreten kann, dann verlaufen natürlich die Fallinien radial, und
keine von ihnen ist bevorzugt (Kreispunkt oder Nabelpunkt).
[Illustration: Fig. 61.]
In der Nähe eines Jochpunktes verlaufen die Schichtlinien der Fläche
angenähert wie Hyperbeln mit gemeinsamen Hauptachsenrichtungen und
gemeinsamem Mittelpunkt. Den Verlauf der Fallinien zeigt die Fig. 62:
durch den Jochpunkt selbst gehen zwei Fallinien in Richtung der
Hauptachsen.
[Illustration: Fig. 62.]
Auf manchen Flächen treten Fallinien auf, in deren Umgebung sich
die benachbarten um so enger zusammendrängen, je näher sie an jenen
liegen. Solche Fallinien sollen _ausgezeichnete Fallinien_ heißen.
Es kann ferner vorkommen, daß auf einer solchen ausgezeichneten
Fallinie ein oder mehrere Punkte liegen, in denen benachbarte Fallinien
wirklich einmünden oder aus denen sie entspringen, oder daß sich
ihr die benachbarten Fallinien asymptotisch nähern (in einem sehr
fernen Punkte einmünden). Eine derartige ausgezeichnete Fallinie mit
Mündungspunkten (einschließlich asymptotischen Einmündens) heißt
_Talweg_, falls die benachbarten Fallinien im Sinne abnehmender Höhen
einmünden oder sich ihr im absteigenden Sinne asymptotisch nähern.
Dagegen heißt sie _Kammweg_ (Rückenlinie, Wasserscheide), falls die
Fallinien im Sinne aufsteigender Höhen einmünden, d. h. aus ihnen
entspringen. Eine ausgezeichnete Fallinie kann in ihrem Verlauf teils
Talweg, teils Wasserscheide, teils keins von beiden sein. Der Name
Talweg, der übrigens als deutsches Fremdwort in die französische
Sprache eingedrungen ist (le thalweg), rührt von dem deutschen
Wasserbaumeister _Wiebeking_ († 1842) her. Die Begriffe des Talwegs und
der Wasserscheide spielen bei der Festsetzung politischer Grenzen eine
Rolle.
§ 64. _Fortsetzung._ Für jeden Gipfelpunkt, der kein Kreispunkt ist,
bildet die in der Längsrichtung des Gipfels hindurchgehende Fallinie
einen Kammweg; denn die benachbarten Fallinien entspringen, sie
berührend, aus ihr im Gipfelpunkte (vgl. Fig. 61). Und für jeden
Muldenpunkt, der nicht zugleich Kreispunkt ist, bildet die in der
Längsrichtung die Mulde durchziehende Fallinie einen Talweg. Die
Fig. 63 gibt den Verlauf eines Kammwegs _K_ und eines Talwegs _T_ mit
sehr fernen Ursprungs- und Mündungspunkten wieder. Einem solchen Talweg
entspricht in der Natur der Weg eines genügend langsam fließenden
und schmalen Baches, der durch allmähliche Vereinigung kleinerer
Wasseradern entsteht. Ein Kammweg bildet die Grenze zwischen zwei
Abflußgebieten des Geländes.
[Illustration: Fig. 63.]
Von einem Jochpunkte (Fig. 62) gehen zwei ausgezeichnete Fallinien
aus; der einen nähern sich benachbarte Fallinien im aufsteigenden, der
anderen im absteigenden Sinne. Man darf aber im allgemeinen weder die
erste als Kammweg noch die zweite als Talweg bezeichnen. Wenn die von
einem Jochpunkte nach einer Mulde herabführende ausgezeichnete Fallinie
die Mulde nicht in der Längsrichtung, sondern in der Querrichtung
durchläuft, ist sie gewiß in diesem Stücke des Geländes kein Talweg.
Die Fig. 64 gibt dies an; und die Fig. 65 das Gegenstück dazu, wo
wirklich die Joch und Mulde verbindende Fallinie ein Talweg ist.
[Illustration: Fig. 64.]
Auch wenn das von einem Joch herabziehende Tal sich so verflacht,
daß die Fallinien sich zwar der durch den Jochpunkt gehenden
ausgezeichneten Fallinie nähern, aber doch nicht in asymptotischer
Weise, kann diese nicht Talweg sein. In der Natur würde dem etwa ein
Tal entsprechen, das nicht zur Entstehung eines Wasserlaufes, sondern
zu einer Art Sumpfbildung Anlaß gibt. Umgekehrt können aus einem
Hochmoore Wasseradern abgehen, ohne daß dort von einer eigentlichen
Wasserscheide gesprochen werden kann (Fig. 66).
[Illustration: Fig. 65.]
Bemerkenswert ist noch der Fall, wenn auf einer ausgezeichneten
Fallinie ein parabolischer Punkt der Geländefläche gelegen ist (§ 60).
Die Fig. 67 gibt davon ein Beispiel. In dem parabolischen Punkte hat
hier die Schichtlinie, auf der er liegt, eine Spitze, und in ihr
endigen alle Fallinien, die – wie in der Figur angegeben – aus größeren
Höhen kommen. Die ausgezeichnete, durch den parabolischen Punkt gehende
Fallinie ist also in ihrem oberen Teile gewiß ein Talweg. Ob sie es
dagegen auch in ihrem unteren Teile ist, hängt davon ab, ob sich dort
ebenfalls ein Mündungspunkt befindet (in der Figur ist das nicht der
Fall).
[Illustration: Fig. 66.]
Da durch eine Karte immer nur ein beschränkter Teil des Geländes
gegeben sein kann, so wird es praktisch unmöglich sein, bei
Geländeflächen ein asymptotisches Einmünden genau festzustellen, und
man wird daher auch in dem Falle von einem Talweg und einem Kammweg
reden, wenn genügend viele benachbarte Fallinien der Zeichnung
innerhalb der Zeichengenauigkeit in die ausgezeichnete Fallinie
übergehen.
[Illustration: Fig. 67.]
[Illustration: Fig. 68.]
Um in einer Geländekarte alle Talwege und Wasserscheiden zu finden,
wird man unter den Fallinien zunächst die ausgezeichneten aufsuchen,
d. h. diejenigen, in deren Nähe sich die übrigen mehr und mehr
zusammendrängen. Unter ihnen hat man aber nur diejenigen beizubehalten,
auf denen Mündungspunkte der übrigen gelegen sind, oder in die
genügend viele benachbarte Fallinien innerhalb der Zeichengenauigkeit
übergehen. Talweg und Kammweg sind durch die Art der Annäherung, ob bei
fallender oder steigender Höhe, leicht zu unterscheiden.
Die Schichtlinien sowohl wie die Fallinien verlaufen immer stetig,
können aber Ecken, Doppelpunkte und dergleichen Ausnahmestellen haben.
Ecken treten ein, wenn das Gelände Grate oder scharf ausgeschnittene
Rinnen besitzt. Da in jedem Punkte eines einfachen Grates zwei
verschiedene Berührungsebenen an die Geländefläche möglich sind,
gehen durch diesen Punkt auch zwei verschiedene Fallinien; ein Grat
enthält daher die Ursprungspunkte von Fallinien und wird demnach zu
den Wasserscheiden zu rechnen sein, obwohl er im allgemeinen selbst
keine Fallinie ist. Dasselbe gilt entsprechend von einer Rinne
(vgl. Fig. 68). Die allgemeine Untersuchung solcher Stellen einer
Geländefläche ist schwierig, erfordert weitergehende Hilfsmittel und
würde daher hier zu weit führen.
[Illustration: Fig. 69.]
§ 65. =Böschungsfläche.= Eine Fläche, auf der sämtliche Fallinien
Geraden sind, heißt Böschungsfläche. Es genügt dazu offenbar nicht, daß
die Projektionen der Fallinien sämtlich gerade Linien sind, sondern
es ist weiter notwendig, daß die Schichtlinien auf jeder einzelnen
von ihnen jedesmal gleiche Stücke ausschneiden. Daraus folgt, daß die
Schichtlinien äquidistante Kurven sind (Fig. 69).
Alle Punkte derselben geradlinigen Fallinie haben dieselbe
Berührungsebene. Eine Böschungsfläche ist daher in jedem ihrer Punkte
parabolisch gekrümmt (§ 60). Sie ist demnach eine abwickelbare Fläche,
d. h. man kann eine bewegliche Ebene so auf ihr ohne Gleiten abrollen,
daß sie sie immer längs einer Geraden berührt; umgekehrt kann man daher
auch die Fläche auf einer Ebene so abwickeln, daß immer Berührung längs
einer Geraden besteht.
Von den Böschungsflächen macht man sehr häufig bei der Aufführung von
Erdarbeiten, bei der Aufschüttung von Dämmen, Halden u. dgl. Gebrauch.
Davon wird in den Aufgaben noch wiederholt die Rede sein.
§ 66. =Böschungsstreifen.= Bei der zeichnerischen Darstellung einer
Geländefläche durch ihre Schichtlinien ist es oft zweckmäßig, diese
nötigenfalls durch Einschalten nach § 56 so dicht nebeneinander
verlaufen zu lassen, daß jeder zwischen zwei aufeinanderfolgenden
Schichtlinien enthaltene Teil einer Fallinie innerhalb der
Zeichengenauigkeit als geradlinig zu betrachten ist. Das bedeutet
dann also, daß jeder zwischen zwei aufeinanderfolgenden Schichtlinien
enthaltene Streifen einer Geländefläche als Teil einer Böschungsfläche
anzusehen ist: Böschungsstreifen. Man kann demnach sagen, daß eine
Geländefläche durch ihre Schichtlinien »mit genügender Genauigkeit«
gegeben ist, wenn ein jeder innerhalb zweier aufeinanderfolgenden
Schichtlinien gelegene Streifen durch den zugehörigen Böschungsstreifen
ohne merklichen Fehler ersetzt werden kann.
§ 67. =Gratlinie.= Eine Böschungsfläche ist vollständig bestimmt,
wenn der Böschungswinkel und eine ihrer Höhenlinien gegeben ist;
denn die Fallinien sind die Normalen der gegebenen Höhenlinie, der
Böschungswinkel bestimmt ihre Stufung, und die Schichtlinien lassen
sich sodann als Parallelkurven zu der gegebenen Höhenlinie konstruieren
(§ 65). Alle ebenen Parallelkurven haben eine gemeinsame Evolute
(§ 43), die Hüllkurve ihrer gemeinsamen Normalen; faßt man also die
Parallelkurven und ihre Normalen als die Projektionen der Schicht- und
Fallinien einer Böschungsfläche auf, so entspricht der Evolute eine auf
der Fläche gelegene Raumkurve, längs der sich benachbarte Fallinien
schneiden. Sie bildet also einen scharfen Grat der Fläche und heißt
daher ihre _Gratlinie_. Eine aufgewehte Schneewächte gibt oft ein Bild
einer Böschungsfläche und ihrer Gratlinie (Fig. 69 bei _g_).
[Illustration: Fig. 70.]
§ 68. =Ebene Raumkurven.= Wenn eine Raumkurve und eine Fläche gegeben
sind, so ist leicht festzustellen, ob die Kurve auf der Fläche gelegen
ist. Denn dies ist nur der Fall, wenn die Punkte der Kurve auf den
gleichkotierten Schichtlinien der Fläche liegen.
Raumkurven, deren sämtliche Punkte derselben Ebene angehören,
heißen eben. Um von einer gegebenen Raumkurve festzustellen, ob sie
eben ist, hat man durch drei ihrer Punkte nach § 9 eine Ebene zu
legen und nachzusehen, ob ihre Streichgeraden die Kurve in Punkten
schneiden, deren Höhenzahlen mit denen der zugehörigen Schichtlinien
übereinstimmen (Fig. 70). Die Schmiegungsebene (§ 52) einer ebenen
Raumkurve fällt mit der Ebene der Kurve zusammen. Wenn die Ebene der
Kurve lotrecht steht, wird die Projektion der Kurve durch eine Gerade
mit im allgemeinen ungleichmäßiger Stufung dargestellt.
§ 69. =Böschungsfläche einer Raumkurve.= Zu jedem Punkte einer
gegebenen Raumkurve läßt sich ein Kegel gegebener Böschung
konstruieren, der den Punkt als Spitze hat. Sämtliche so konstruierten
Böschungskegel derselben Böschung hüllen eine Fläche ein, eine
_Böschungsfläche_ der Raumkurve; sie besteht aus zwei Teilen, die sich
längs der Raumkurve durchschneiden. Jede ihrer Schichtlinien ergibt
sich als Hüllkurve gleichkotierter Kreise, nämlich der Schichtkreise
jener Böschungskegel. In der Karte der Fläche liegen die Mittelpunkte
dieser Kreise auf der Projektion der Raumkurve, und ihre Radien
erhält man aus dem Höhenunterschiede zwischen Mittelpunkt und zu
konstruierender Schichtlinie durch Multiplikation mit dem gegebenen
Böschungsverhältnis (Fig. 71).
[Illustration: Fig. 71.]
Von jedem Punkte der Raumkurve geht nach beiden Seiten eine Fallinie
der Böschungsfläche aus; die beiden zugehörigen Berührungsebenen (vgl.
§ 65) schneiden sich in der zugehörigen Tangente der Raumkurve, und
die Projektion dieser Tangente halbiert den Winkel der Projektionen
der beiden Fallinien. Man beachte übrigens, daß im allgemeinen ein
die Projektion der Raumkurve normal durchsetzendes Querprofil der
Böschungsfläche nicht ein Dreieck ergibt, sondern eine krummlinige
Schnittfigur. Die Figur bringt das zum Ausdruck.
[Illustration: Fig. 72.]