hohen Mauern zu decken._ Der Gefällemaßstab des Daches ist gegeben.
Nach § 14 sind die Schnittlinien benachbarter Dachflächen die
Winkelhalbierenden der Schichtlinien, zu denen auch die wagerechten
Begrenzungen gehören. Dadurch entstehen (Fig. 33) an den kürzeren
Vierecksseiten dreieckige Bedachungen, an den längeren viereckige,
deren Schnittgerade, die »Firstlinie« des Daches, durch Verbindung der
Dreiecksspitzen erhalten wird. Sie ist im allgemeinen nicht horizontal.
Aus ästhetischen Rücksichten pflegt man daher den über dem tiefsten
Punkt der Firstlinie gelegenen Dachteil gesondert mit so flachem
Gefälle zu decken, daß dieser Teil des Daches von unten praktisch nicht
sichtbar ist. Man führe eine solche Konstruktion aus.
[Illustration: Fig. 33.]
§ 31. _Fortsetzung._ Da sich drei nicht derselben Geraden parallele
Ebenen stets in einem Punkte treffen, so muß von dem Schnittpunkte
zweier Schnittlinien, die zwei Dachebenen miteinander bilden, stets
eine dritte Schnittlinie ausgehen. Daher geht auch die Firstlinie durch
den Schnittpunkt der beiden Dachkanten der in ihr zusammentreffenden
Dächer hindurch; sie halbiert auch deren Winkel (Fig. 33). Sind demnach
diese beiden Dachkanten parallel, so ist auch die Firstlinie parallel
und daher horizontal.
Diese Bemerkungen erleichtern oft die Konstruktionen. Ein Beispiel mit
einer einspringenden Ecke gibt die Fig. 34.
[Illustration: Fig. 34.]
§ 32. =Aufschüttung einer Halde.= Von einer wagerechten Ebene
(Fig. 35, Höhe 50), an die sich ein ebener Abhang anschließt, ist ein
horizontales Geleise _gg_ auf Trägern über den Abhang hinausgebaut,
um von dort Schlacken auf den Abhang zu kippen. Das Geleise geht erst
gerade, dann im Halbkreise, dann wieder gerade zurück. Die Böschung der
Halde ist gegeben.
[Illustration: Fig. 35.]
[Illustration: Fig. 35 a.]
Bei voller Aufschüttung besteht die Halde, soweit das Geleise
geradlinig ist, aus je zwei dachartig aneinandergesetzten Ebenen; ihr
Gefällemaßstab ist aus der gegebenen Böschung zu konstruieren. Längs
des halbkreisförmigen Geleises besteht die Halde aus zwei geraden
Kegeln, die einander längs des Geleises durchdringen. Ihre Böschung
stimmt mit der gegebenen ebenfalls überein; ihre Spitzen liegen
lotrecht zum Mittelpunkte des kreisförmigen Geleiseteils, im Querprofil
(Fig. 35 a) bei _S₁_ und _S₂_. Die Kegel schneiden die Geländeebenen
in zwei Kegelschnitten (Ellipsen – wie in der Fig. 35 –, Parabeln
oder Hyperbeln, je nachdem die Böschung des ebenen Abhanges kleiner,
ebensogroß oder größer als die der Halde ist); ihre großen Hauptachsen
liegen in der Symmetrieebene des Geleises. Ein Querschnitt durch diese
gibt auch die Längen dieser Hauptachsen und die Mitten der Ellipsen;
dazu senkrechte Querschnitte durch die Ellipsenmitten liefern die
Längen der kleinen Achsen. Daraus lassen sich bekanntlich die Ellipsen
konstruieren. Auf ihnen schneiden sich gleichkotierte Schichtlinien der
Geländeebene und der Haldenfläche, nämlich sowohl der Böschungsebenen
wie der Böschungskegel; diese Schnittpunkte werden daher beim Ziehen
der Ellipsen von Nutzen sein.
§ 33. =Ausschachten einer Grube.= An einem ebenen Abhang soll eine
Grube mit kreisförmiger wagerechter Grundfläche und gegebener Böschung
ausgeschachtet werden.
[Illustration: Fig. 36.]
[Illustration: Fig. 36 a.]
Die Lösung dieser Aufgabe ist der vorigen ähnlich und in Fig. 36
angegeben. Der Grubenrand ist eine Ellipse, deren Mittelpunkt und
Hauptachsen aus dem Querschnitt (Fig. 36 a) zu entnehmen sind.
Auf der Horizontalprojektion dieser Ellipse schneiden sich die
gleichkotierten Streichlinien der Geländeebene und die Schichtkreise
des Böschungskegels.
§ 34. =Tunnelmündung.= An einem ebenen geneigten Abhang soll eine
Tunnelmündung angelegt werden. Die horizontale Mittelachse des Tunnels
und sein Querschnitt sind gegeben; die Tunnelmündung ist auch in wahrer
Gestalt zu konstruieren.
In der Fig. 37 sei rechts der Gefällemaßstab der gegebenen
Geländeebene, _a_ (Höhe 6) die Tunnelachse, Fig. 37 a sei der gegebene
Querschnitt. Da die Gerade _aa_ zugleich die Schnittgerade der
vertikalen Schnittebene längs der Tunnelachse mit der Zeichenebene,
und nachdem sie durch die gegebenen Streichlinien gestuft ist, auch
mit der gegebenen Ebene angibt, braucht man nur senkrecht zu ihr
in den Punkten mit den entsprechenden Koten die Querdimensionen des
Tunnels, wie sie das Profil angibt, abzutragen und in den Endpunkten
Parallelen zur Tunnelachse zu ziehen; diese ergeben die Schichtlinien
des die Tunnelwand darstellenden Zylinders. Ihre Schnittpunkte mit
gleichkotierten Schichtlinien der gegebenen Ebene sind Punkte der
gesuchten Tunnelmündung. Die wahre Gestalt dieser Tunnelmündung ist
durch Drehen der Ebene um die Schichtlinie der Tunnelsohle in die
horizontale Lage nach § 18 zu bestimmen: der Abstand der Streichlinien
nach der Drehung ist die Hypotenuse in einem Dreieck, dessen Katheten
das ursprüngliche Intervall und die mit 1 bezeichnete, aus dem
gegebenen Profil zu entnehmende Einheit des Höhenmaßstabs sind (vgl.
links in der Fig. 37).
[Illustration: Fig. 37.]
[Illustration: Fig. 37 a.]
Bei der Ausführung des in Fig. 37 gezeichneten Beispiels, bei dem das
Profil aus einem symmetrischen Trapez und einem darüber gesetzten
Halbkreise besteht, genügt es, die vier Ecken des Trapezes und den
obersten Punkt des Halbkreises festzulegen. Denn die entstehenden
Figuren der Tunnelmündung in der Karte und in wahrer Gestalt bestehen
alsdann in einem Viereck und einer darübergesetzten Halbellipse, in
der die ursprünglichen horizontalen und vertikalen Kreishalbmesser
konjugierte Halbmesser geworden sind; die Ellipsen sind daher leicht zu
zeichnen, wie das in den Elementen der darstellenden Geometrie gezeigt
wird.
III. DARSTELLUNG DER GELÄNDEFLÄCHEN
§ 35. =Hauptschichtlinien.= In der Einleitung wurde bereits von
der Darstellung einer Geländefläche durch ihre Schichtlinien,
die Schnittkurven mit wagerechten Ebenen, gesprochen, und in den
vorhergehenden vorbereitenden Abschnitten ist davon auch schon bei der
Darstellung der einfachen Flächen – Ebene, Zylinder, Kegel, Kugel –
Gebrauch gemacht worden.
Im folgenden sei nun die Gestalt der Geländefläche willkürlich
angenommen, jedoch vorausgesetzt, daß sie im allgemeinen glatt genug
verlaufe, so daß man sie durch die _gezeichneten_ Schichtlinien als
hinreichend gegeben ansehen kann. Diese Schichtlinien, die gewöhnlich
Schichten gleicher Dicke entsprechen, und deren Höhenzahlen auch
gewöhnlich runde Zahlen sind, werden bisweilen _Hauptschichtlinien_ der
Fläche genannt.
Die kotierte Projektion der Hauptschichtlinien eines Geländes auf
eine wagerechte Zeichenebene liefert bei nötiger Verkleinerung eine
_Karte_ oder einen Plan des Geländes. Allen folgenden Betrachtungen
wird ein solcher Schichtenplan zugrunde gelegt; an ihm können alle
Konstruktionen usw. ausgeführt werden. Daher werden im Folgenden auch
unter Schichtlinien, Fallinien usw. schlechtweg ihre Abbildungen (d. h.
verkleinerten Projektionen) auf einer Karte verstanden, wenn nicht etwa
aus dem Zusammenhange hervorgeht, daß die Originale des Geländes selbst
gemeint sind.
§ 36. =Zeichnerische Bemerkungen.= Zunächst mögen einige Bemerkungen
über die zeichnerische Ausführung der Konstruktionen eingeflochten
werden, von denen im folgenden die Rede sein wird. In den beiden
vorhergehenden Abschnitten war fast alles mit dem Lineal, dem Zirkel,
Maßstab und Transporteur ausführbar. Diese elementaren Geräte werden
im folgenden nicht immer genügen, wie das in der Natur der Sache
liegt, wenn sich die Konstruktionen nicht auf gerade Linien und Kreise
beschränken sollen.
Oft wird es von Vorteil oder geboten sein, die Konstruktionen nicht an
der vorhandenen Karte selbst auszuführen. Dann zeichnet man sich den
erforderlichen Teil des Geländes auf ein besonderes Zeichenblatt ab,
entweder mittels Pauspapiers, nachdem man eine Anzahl wichtiger Punkte
und etwa das Gradnetz des Geländes besonders festgelegt hat, oder
besser und genauer mit einem Storchschnabel (Pantographen).
Man kann damit zugleich die herauszuzeichnenden Teile der Karte in
vergrößertem Maßstabe wiedergeben, was oft sehr nützlich ist.
[Illustration: Fig. 38.]
§ 37. Der =Storchschnabel= (Pantograph; Christoph Scheiner, † 1650)
besteht (Fig. 38) aus zwei durch eine Parallelogrammführung (_CD_ =
_ES_, _CE_ = _DS_) verbundenen Stangen _AC_ und _BC_ mit gemeinsamem
Drehpunkt _C_; aus der Ähnlichkeit der Dreiecke _ADS_ und _ACB_ folgt
_AS_ : _AB_ = _AD_ : _AC_. Wenn also der Punkt _A_ des Apparates am
Zeichentisch oder Reißbrett festgemacht wird, bei _S_ sich ein über
der abzuzeichnenden Karte beweglicher Fahrstift (scharfe Spitze, die
durch eine daneben angebrachte ein wenig längere Stütze dicht über der
Karte geführt wird), bei _B_ der auf dem Papier zeichnende Bleistift
befindet, so liefert der letztere eine Vergrößerung im Verhältnis
_AD_ : _AC_. Ist _SB'_ = _AC_, so beschreibt _B'_ dieselbe Figur wie
_S_.
Für die hier in Frage kommenden Zwecke genügt meist ein ganz
einfacher Apparat, wie er für weniges Geld zu haben ist. Man wird
ihn nötigenfalls ein wenig ausrichten und seine Vergrößerung prüfen
müssen. Dies geschieht, indem man mit dem Fahrstift eine bekannte
Strecke durchläuft und sie mit der vom Bleistift gezeichneten Strecke
vergleicht.
§ 38. =Glatte Kurve.= Oft wird verlangt, durch eine Reihe passend
gegebener Punkte eine glatte Kurve zu legen. Diese Aufgabe ist bis zu
einem gewissen Grade willkürlich, weil der Begriff der »glatten Kurve«
nicht bestimmt genug ist. Man zieht eine solche Kurve mit Benutzung
des _Kurvenlineals_. Auch die Schichtlinien sind so zu zeichnen, aber
nicht, wie es manchmal zu sehen ist, mit willkürlichen Wellen und
Zacken dazwischen, die viele Konstruktionen ganz unausführbar machen
würden.
§ 39. =Spiegellineal.= Um an eine durch Zeichnung gegebene ebene Kurve
in einem gegebenen Punkte die Tangente oder Normale zu konstruieren,
bedient man sich zweckmäßig eines Spiegellineals, d. h. eines Lineals,
das an einer _zur Zeichenebene senkrechten_ ebenen Seitenfläche das
Spiegelbild der gezeichneten Kurve erkennen läßt. Dreht man es so
lange um den gegebenen Punkt, bis Spiegelbild und gezeichnete Kurve
ohne merklichen Knick ineinander überzugehen scheinen, so ist die
Schnittgerade der Spiegel- und Zeichenebene Normale der Kurve, ihre
Senkrechte im gegebenen Berührungspunkte also die Tangente.
Als Spiegellineal läßt sich ein mit einer geraden Kante versehener,
und, damit die Vorderfläche, nicht die Hinterfläche spiegelt, schwarz
hinterlegter Spiegelglasstreifen verwenden; für viele Zwecke genügt
auch ein mitten auf die nicht abgeschrägte Zentimeterteilung eines
gewöhnlichen Rechenschiebers geklebtes geglättetes und mit dem Ballen
der Hand poliertes Stück Stanniol.
§ 40. =Tangente.= Von einem geeignet gegebenen Punkte, der nicht auf
einer gegebenen Kurve liegt, läßt sich zwar recht genau an diese
eine Tangente mit dem Lineal legen; doch bleibt dabei die Lage des
Berührungspunktes unscharf. Man findet ihn durch eine Korrektions- oder
Fehlerkurve, die man z. B. erhält, indem man eine Reihe von Sekanten
zieht, entweder durch den gegebenen Punkt, oder der gezeichneten
Tangente parallel, deren zwischen der Kurve gelegene Sehnen man
halbiert (Fig. 39).
[Illustration: Fig. 39.]
§ 41. =Hüllkurve.= Statt daß eine Kurve zeichnerisch durch eine
genügende Anzahl Punkte bestimmt wird, kommt es auch oft vor, sie zu
zeichnen, wenn eine hinreichende Anzahl Tangenten von ihr gegeben sind;
das wird ebenfalls durch passendes Anlegen des Kurvenlineals ausgeführt.
Man spricht in diesem Falle davon, daß die Tangenten die Kurve
einhüllen, letztere die Hüllkurve (Enveloppe) der Tangenten ist. Vgl.
z. B. die Fig. 26.
[Illustration: Fig. 40.]
§ 42. =Evolute.= Zeichnet man zu einer gegebenen Kurve, die von einem
Kreise oder einer Geraden verschieden ist, (mit dem Spiegellineal)
genügend viele Normalen, so hüllen sie im allgemeinen eine zweite
Kurve ein, die Evolute der ursprünglichen (Fig. 40). Der Punkt _M_,
in dem diese eine bestimmte, durch den Kurvenpunkt _P_ gehende
Normale berührt, heißt der zu _P_ gehörige Krümmungsmittelpunkt
der ursprünglichen Kurve, so daß also die Evolute der Ort der
Krümmungsmittelpunkte ist. Der Kreis mit dem Zentrum _M_ und dem Radius
_PM_ heißt Krümmungskreis und schmiegt sich an die gegebene Kurve in
_P_ inniger an als jeder andere Kreis, obwohl er im allgemeinen die
Kurve durchschneidet.
§ 43. =Parallelkurven.= Trägt man auf den Normalen einer Kurve von
dieser aus nach derselben Seite gleiche Stücke ab, so erhält man eine
äquidistante oder parallele Kurve. Alle Parallelkurven haben also
dieselben Normalen und demnach eine gemeinsame Evolute. Sie heißen auch
die zu der Evolute gehörigen _Evolventen_.
Auch andere Kurven, z. B. Kreise, können – natürlich ebenfalls nur
bei gewissen Anordnungen – einhüllende Kurven besitzen. Davon macht
man unter anderm zweckmäßig Gebrauch, um noch auf eine zweite Art zu
einer gegebenen eine parallele Kurve im gegebenen Abstand zu zeichnen.
Man zieht um eine genügende Anzahl von Punkten der gegebenen Kurve
Kreise, deren Radius der gegebene Abstand ist, und zeichnet die beiden
Hüllkurven dieser Kreise.
§ 44. =Berührungen im Raum.= Von den folgenden leicht nachzuweisenden
Sätzen, die über die Darstellung einer Berührung im Raume gelten,
wird in Zukunft oft stillschweigend Gebrauch gemacht, wenn
Berührungskonstruktionen statt auf der Geländefläche auf einem Plan von
ihr ausgeführt werden.
Eine beliebige Raumkurve, eine Tangente an ihr und der Berührungspunkt
gehen im allgemeinen bei der Projektion in eine ebene Kurve, eine
Tangente an dieser und den Berührungspunkt über, und zwar entsprechen
die beiden Kurven, die beiden Tangenten und die beiden Berührungspunkte
einander.
Daraus folgt: wenn zwei Raumkurven sich in einem Punkte berühren,
so berühren sich auch ihre Projektionen in einem Punkte, der die
Projektion jenes ist.
§ 45. =Relief eines Geländes.= Die topographische Aufnahme eines
Geländes geschieht meist durch Höhenmessung einer ausreichenden Anzahl
einzelner Punkte, deren geographische Lage (etwa Länge und Breite, oder
andere Koordinaten) bekannt ist. Danach werden dann die Schichtlinien
konstruiert, wovon nachher im § 48 noch die Rede sein wird.
Wenn man für jede Hauptschichtlinie gleich starke Lagen von Pappe oder
Holz, deren Dicke der Schichtendicke entspricht, so ausschneidet, wie
die Schichtlinie angibt, und sie dann richtig aufeinanderlegt, so
erhält man ein terrassenförmiges Gebilde, das angenähert ein Relief
des Geländes darstellt. Auf diese Weise werden nach Ausfüllung der
Terrassen meist Reliefs von gebirgigen Gegenden wirklich hergestellt.
§ 46. =Kurven auf einer Geländefläche.= Außer den Schichtlinien
sind natürlich noch eine ganze Reihe anderer Kurven im Zusammenhang
mit einer Geländefläche zu betrachten, die teils auf ihr gelegen
sind, teils sie durchdringen oder berühren: Wege auf dem Gelände,
Eisenbahnlinien, Schnittkurven mit anderen Flächen, scheinbare
Horizonte usw. Auch diese alle hat man sich in den Plan eingezeichnet
zu denken. Es wird zweckmäßig sein, zunächst die hauptsächlichsten
Eigenschaften solcher Raumkurven kennen zu lernen, da sie naturgemäß
bei den Konstruktionen an Geländeflächen fortgesetzt vorkommen.
§ 47. =Darstellung einer Raumkurve.= Eine beliebige Raumkurve ist durch
ihre Projektion gegeben, wenn zugleich für eine genügende Anzahl ihrer
Punkte die Höhenzahlen bekannt sind. Man denke etwa an die Darstellung
des Weges, den ein Luftschiff durchmessen hat.
Alle, die Punkte einer Raumkurve projizierenden lotrechten Strahlen
bilden einen Zylinder, den _projizierenden Zylinder_, und seine
Abwickelung gibt das Profil längs der Raumkurve, das _Längenprofil_.
Man zeichnet diese Abwickelung, indem man mittels einer genügend
kleinen Zirkelöffnung die Kurve in so kleine Stücke teilt, daß sie
innerhalb der Zeichengenauigkeit als geradlinig (vgl. § 85) betrachtet
werden können, trägt diese Stücke mittels derselben Zirkelöffnung längs
einer Geraden ab, bezeichnet dabei die kotierten Punkte und trägt in
ihnen die entsprechenden Höhen lotrecht auf. Die Endpunkte dieser Lote
bilden das erwähnte Längenprofil (Fig. 41 u. 41 a).
[Illustration: Fig. 41.]
[Illustration: Fig. 41 a.]
§ 48. =Einschalten von Punkten und Konstruktion von Schichtlinien.= Man
benutzt ein solches Längenprofil, um in die Kurve Punkte gegebener Kote
einzuschalten, z. B. die Punkte mit runden Höhenzahlen (Hauptpunkte),
wodurch dann eine Stufung der gegebenen Kurve in ähnlicher Weise
ausgeführt wird, wie das früher (§ 4) bei der geraden Linie geschehen
ist.
Davon macht man z. B. Gebrauch, um aus den vermessenen Punkten eines
Geländes seine Hauptschichtlinien zu konstruieren (vgl. § 45). Man
verbindet zu diesem Zwecke geeignete vermessene Punkte der Fläche
durch eine glatte Kurve, zeichnet deren Längenprofil, aus dem man
dann leicht die Zwischenpunkte mit runden Höhenzahlen entnehmen kann.
Das ist in der Fig. 41 z. B. an der Linie _AB_ näher ausgeführt.
Die Verbindungskurven sind möglichst quer zu den zu erwartenden
Schichtlinien zu wählen.
Ein derartiges Längenprofil wird ferner in praktischen Fällen oft
benutzt, um z. B. das Steigen und Fallen eines Weges oder einer
Eisenbahnstrecke unabhängig von den Krümmungen der Linienführung
darzustellen, oder um die geologische Gestaltung des Erdinnern längs
eines Tunnels oder Stollens zu verfolgen.
§ 49. =Böschung einer Raumkurve.= Unter dem _Anstieg_ (Böschung)
einer Raumkurve in einem ihrer Punkte versteht man den Anstieg der
Tangente in diesem Punkte. Die Projektion der Tangente fällt nach § 44
zusammen mit der Tangente der Projektion der Raumkurve. Da sie bei
der Abwickelung des projizierenden Zylinders auch in die Tangente des
Längenprofils übergeht, so kann damit ihre Stufung nach § 4 leicht
ausgeführt werden (vgl. Fig. 42).
[Illustration: Fig. 42.]
[Illustration: Fig. 43.]
§ 50. =Böschungslinie.= Unter dem _Intervall einer Raumkurve_ in einem
ihrer Punkte versteht man das Intervall der zugehörigen Tangente. Im
allgemeinen ändert es seine Größe längs der Kurve: je kleiner es ist,
um so steiler, je größer, um so flacher verläuft die Kurve in der Nähe
der betreffenden Stelle. Ist das Intervall längs der ganzen Kurve von
derselben Länge, so hat die Kurve konstante Steigung; sie heißt dann
eine _Böschungslinie_; ihr Längenprofil ist eine Gerade, wie das in
Fig. 43 gezeigt ist.
Bei genügend enger Graduierung ist das Intervall einer Raumkurve
in einem Punkte näherungsweise gleich der Entfernung der beiden
benachbarten Hauptpunkte.
§ 51. =Normalebene, Planierungsfläche.= Die auf der Tangente im
Berührungspunkte senkrechte Ebene heißt _Normalebene_ der Kurve; ihr
Gefällemaßstab ist nach § 6 zu konstruieren als die in einer lotrechten
Ebene gelegene Senkrechte zur Tangente im Berührungspunkte (vgl.
Fig. 44): das Intervall ist entgegengesetzt gerichtet und reziprok zu
dem der Tangente, wozu in der Figur das rechtwinklige Dreieck mit der
Höhe 1 (Einheit des Höhenmaßstabes) dient. Jede in der Normalebene
gelegene, die Kurve schneidende Gerade heißt _Normale_ der Kurve.
[Illustration: Fig. 44.]
[Illustration: Fig. 45.]
Sämtliche horizontalen Normalen bilden eine im allgemeinen windschiefe
Fläche, die die Kurve enthält, die _Planierungsfläche_. Die
Projektionen dieser Normalen sind die mittels des Spiegellineals leicht
in die Karte zu zeichnenden Normalen der gegebenen Projektion der
Kurve. Trägt man auf ihnen von der Kurve aus beiderseits dasselbe Stück
ab, so erhält man die Darstellung eines Weges, dessen Mittellinie die
gegebene Kurve ist (Fig. 45).
Im allgemeinen besteht die Planierungsfläche aus zwei Flügeln,
die längs derjenigen Raumkurve aneinanderstoßen, deren Projektion
die Evolute der gegebenen Projektion der Kurve ist. Längs dieser
Raumkurve durchdringt die Planierungsfläche sich selbst. Zum
Beispiel ist die Planierungsfläche einer gewöhnlichen zylindrischen
Schraubenlinie mit lotrechter Achse die gemeine Schraubenfläche, ihre
Selbstdurchdringungskurve die lotrechte Achse selbst.
§ 52. =Schmiegungsebene.= Ebenso wie die Tangente einer Kurve die
Grenzlage der Sekante ist für den Fall, daß der eine Kurvenpunkt
sich dem anderen mehr und mehr nähert, so ist die _Schmiegungsebene_
die Grenzlage aller durch drei Punkte der Kurve gehenden Ebenen für
den Fall, daß zwei der Punkte sich dem dritten mehr und mehr nähern,
übrigens, wenn von _einer_ Schmiegungsebene überhaupt die Rede sein
soll, gleichgültig, in welcher Weise diese Annäherung ausgeführt wird.
Daher ist die Tangente in der Schmiegungsebene gelegen.
Um die Schmiegungsebene in einem gegebenen Punkte der Kurve zu
konstruieren, wird man demnach zuerst die zugehörige Tangente zu
ziehen und nach § 49 zu graduieren haben. Die Schmiegungsebene wird
alsdann eindeutig bestimmt sein, sobald man die Richtung einer ihrer
Streichlinien kennt, z. B. derjenigen, die durch den gegebenen
Kurvenpunkt geht. Die Hauptstreichlinien sind zu dieser parallel und
gehen durch die Hauptpunkte der Tangente.
[Illustration: Fig. 46.]
Bei der Konstruktion der Schmiegungsebene muß man natürlich von ihrer
Erklärung Gebrauch machen und also eine Reihe von Ebenen zeichnen,
deren Grenzlage sie ist. Zum Beispiel kann man zweckmäßig solche
Ebenen wählen, deren einer Punkt der gegebene ist, während die beiden
anderen entgegengesetzt gleiche Höhenabstände von ihm haben. Das ist
in Fig. 46 ausgeführt, indem jedesmal die Verbindungsgerade der beiden
letztgenannten Punkte graduiert ist. Diese Ebenen hüllen eine Fläche
ein, auf der die gegebene Kurve gelegen ist, und auf der sich leicht
die Höhenlinien als Verbindungskurven der Punkte gleicher Höhenzahlen
zeichnen lassen, insbesondere auch die durch den gegebenen Kurvenpunkt
gehende. Irgendeine durch diesen Punkt gehende Sekante der Höhenlinie
ist in einer der besagten Ebenen als Schichtlinie enthalten. In dem
Grenzfall der Schmiegungsebene geht also diese Sekante in die Tangente
der erwähnten Schichtlinie im gegebenen Punkte über und wird zugleich
Schichtlinie der Schmiegungsebene. Danach ist diese leicht zu zeichnen.
§ 53. =Hauptnormale, Binormale.= Die Schmiegungsebene und die
Normalebene schneiden sich in der _Hauptnormalen_ der Kurve. Das Lot
auf der Schmiegungsebene im Berührungspunkte heißt _Binormale_ der
Kurve. Beide Geraden lassen sich nach § 12 und § 6 konstruieren.
Wer die angegebene Konstruktion der Tangente, Schmiegungsebene usw.
wirklich ausgeführt hat, wird unschwer bemerkt haben, daß dabei
die Genauigkeit der Zeichnung geringer ist als bei den bisherigen
Konstruktionen. Der Grund dafür liegt in den Erklärungen der Tangente
usw. als Grenzlagen gewisser Geraden usw. Diese Bemerkung gilt auch für
eine ganze Reihe von Konstruktionen an Kurven und Flächen, wie sie im
folgenden mitgeteilt werden.
[Illustration: Fig. 47.]
§ 54. =Schnitt einer Fläche mit einer Ebene.= Um die Schnittkurve
einer Fläche mit einer gegebenen Ebene zu konstruieren, bringt man die
Schichtlinien der Fläche mit den gleichkotierten Streichlinien der
Ebene zum Schnitt und verbindet die erhaltenen Punkte durch eine glatte
Kurve. Diese wird _Ausschnittlinie_, _Ausbißlinie_, _Verschneidung_ der
Ebene genannt (Fig. 47).
[Illustration: Fig. 48.]
[Illustration: Fig. 48 a.]