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Anmerkungen zur Transkription
Im Original gesperrter bzw. kursiver Text ist _so ausgezeichnet_.
Im Original fettgedruckter Text ist =so markiert=.
Die Schreibweise ^x bezeichnet einen hochgestellten, die
Schreibweise _{x} einen tiefgestellten Index. [line](AB) bezeichnet
eine Strecke, [arc](AB) eine Kurve.
Der Text enthält mathematische Symbole, die nicht mit jedem
Zeichensatz korrekt angezeigt werden können.
Weitere Anmerkungen zur Transkription befinden sich am Ende des
Buches.
Mathematisch-Physikalische Bibliothek
Gemeinverständliche Darstellungen aus der Mathematik u. Physik. Unter
Mitwirkung von Fachgenossen hrsg. von
Dr. =W. Lietzmann=
Direktor der Oberrealschule zu Göttingen
und
Dr. =A. Witting=
Studienrat, Gymnasialprof. in Dresden
Fast alle Bändchen enthalten zahlreiche Figuren. kl. 8. Kart. je M. 2.–
Hierzu Teuerungszuschlag des Verlages 120% (Abänderung vorbeh.) u. d.
Buchhandl.
Die Sammlung, die in einzeln käuflichen Bändchen in zwangloser Folge
herausgegeben wird, bezweckt, allen denen, die Interesse an den
mathematisch-physikalischen Wissenschaften haben, es in angenehmer
Form zu ermöglichen, sich über das gemeinhin in den Schulen Gebotene
hinaus zu belehren. Die Bändchen geben also teils eine Vertiefung
solcher elementarer Probleme, die allgemeinere kulturelle Bedeutung
oder besonderes wissenschaftliches Gewicht haben, teils sollen sie
Dinge behandeln, die den Leser, ohne zu große Anforderungen an seine
Kenntnisse zu steilen, in neue Gebiete der Mathematik und Physik
einführen.
Bisher sind erschienen (1912/20):
=Der Begriff der Zahl in seiner logischen und historischen
Entwicklung.= Von _H. Wieleitner_. 2., durchgeseh. Aufl. (Bd.
2.)
=Ziffern und Ziffernsysteme.= Von _E. Löffler_. 2., neubearb.
Aufl. I: Die Zahlzeichen der alten Kulturvölker. (Bd. 1.) II:
Die Z. im Mittelalter und in der Neuzeit. (Bd. 34.)
=Die 7 Rechnungsarten mit allgemeinen Zahlen.= Von _H.
Wieleitner_. 2. Aufl. (Bd. 7.)
=Einführung in die Infinitesimalrechnung.= Von _A. Witting_.
2. Aufl. I: =Die Differential-=, II: =Die Integralrechnung=.
(Bd. 9 u. 41.)
=Wahrscheinlichkeitsrechnung.= V. _O. Meißner_. 2. Auflage. I:
Grundlehren. (Bd. 4.) II: Anwendungen. (Bd. 33.)
=Vom periodischen Dezimalbruch zur Zahlentheorie.= Von _A.
Leman_. (Bd. 19.)
=Der pythagoreische Lehrsatz mit einem Ausblick auf das
Fermatsche Problem.= Von _W. Lietzmann_. 2. Aufl. (Bd. 3.)
=Darstellende Geometrie des Geländes und verw. Anwendungen der
Methode der kotierten Projektionen.= Von _R. Rothe_. 2.,
verb. Aufl. (Bd. 35/36.)
=Methoden zur Lösung geometrischer Aufgaben.= Von _B. Kerst_.
(Bd. 26.)
=Einführung in die projektive Geometrie.= Von _M. Zacharias_.
(Bd. 6.)
=Konstruktionen in begrenzter Ebene.= Von _P. Zühlke_. (Bd. 11.)
=Nichteuklidische Geometrie in der Kugelebene.= Von _W. Dieck_.
(Bd. 31.)
=Einführung in die Nomographie.= Von _P. Luckey_. I. Teil:
Die Funktionsleiter. (Bd. 28.) II. Teil: Die Zeichnung als
Rechenmaschine. (Bd. 37.)
=Theorie und Praxis des logarithm. Rechenschiebers.= Von _A.
Rohrberg_. 2. Aufl. (Bd. 23.)
=Die Anfertigung mathemat. Modelle.= (Für Schüler mittl. Kl.)
Von _K. Giebel_. (Bd. 16.)
=Karte und Kroki.= Von _H. Wolff_. (Bd. 27.)
=Die Grundlagen unserer Zeitrechnung.= Von _A. Baruch_. (Bd.
29.)
=Die mathemat. Grundlagen d. Variations- u. Vererbungslehre.=
Von _P. Riebesell_. (24.)
=Mathematik und Malerei.= 2 Teile in 1 Bande. Von _G. Wolff_.
(Bd. 20/21.)
=Der Goldene Schnitt.= Von _H. E. Timerding_. 2. Aufl. (Bd. 32.)
=Beispiele zur Geschichte der Mathematik.= Von _A. Witting_ und
_M. Gebhard_. (Bd. 15.)
=Mathematiker-Anekdoten.= Von _W. Ahrens_. 2. Aufl. (Bd. 18.)
=Die Quadratur d. Kreises.= Von _E. Beutel_. 2. Aufl. (Bd. 12.)
=Wo steckt der Fehler?= Von _W. Lietzmann_ und _V. Trier_. 2.
Aufl. (Bd. 10.)
=Geheimnisse der Rechenkünstler.= Von _Ph. Maennchen_. 2. Aufl.
(Bd. 13.)
=Riesen und Zwerge im Zahlenreiche.= Von _W. Lietzmann_. 2.
Aufl. (Bd. 25.)
=Was ist Geld?= Von _W. Lietzmann_. (Bd. 30.)
=Die Fallgesetze.= V. _H. E. Timerding_. (Bd. 5.)
=Ionentheorie.= Von _P. Bräuer_. (Bd. 38.)
=Das Relativitätsprinzip.= Leichtfaßlich entwickelt von _A.
Angersbach_. (Bd. 39.)
=Dreht sich die Erde?= Von _W. Brunner_. (17.)
=Theorie der Planetenbewegung.= Von _P. Meth_. (Bd. 8.)
=Beobachtung d. Himmels mit einfach. Instrumenten.= Von _Fr.
Rusch_. 2. Aufl. (Bd. 14.)
=Mathem. Streifzüge durch die Geschichte der Astronomie.= Von
_P. Kirchberger_. (Bd. 40.)
In Vorbereitung:
=Doehlemann=, Mathematik und Architektur. =Schips=, Mathematik
und Biologie. =Winkelmann=, Der Kreisel. =Wolff=, Feldmessen
und Höhenmessen.
Verlag von B. G. Teubner in Leipzig und Berlin
Preise freibleibend.
MATHEMATISCH-PHYSIKALISCHE
BIBLIOTHEK
HERAUSGEGEBEN VON =W. LIETZMANN= UND =A. WITTING=
35/36
DARSTELLENDE GEOMETRIE
DES GELÄNDES
UND VERWANDTE ANWENDUNGEN DER METHODE
DER KOTIERTEN PROJEKTIONEN
VON
RUDOLF ROTHE
DR. PHIL., O. PROFESSOR AN DER
TECHN. HOCHSCHULE BERLIN
ZWEITE, VERBESSERTE AUFLAGE
MIT 107 FIGUREN IM TEXT
[Illustration]
1919
LEIPZIG UND BERLIN
VERLAG UND DRUCK VON B. G. TEUBNER
Schutzformel für die Vereinigten Staaten von Amerika:
_Copyright 1919 by B. G. Teubner in Leipzig_.
ALLE RECHTE,
EINSCHLIESSLICH DES ÜBERSETZUNGSRECHTS, VORBEHALTEN.
VORWORT ZUR ERSTEN UND ZWEITEN AUFLAGE
In der vorliegenden kleinen Schrift habe ich versucht, den Leser in
elementarer und leicht verständlicher Weise mit der zeichnerischen
Behandlung der topographischen Flächen nach der Methode der »kotierten
Projektionen« bekannt zu machen. Die glückliche Paarung zwischen
Rechnung und Zeichnung, auf der diese Methode beruht, die darin
begründete Freiheit, sich auch an kompliziertere Aufgaben mit Aussicht
auf Erfolg zu wagen, und daher weiter das unbewußte Gefühl, hier
wenigstens der »selbstgeschaffenen Schmerzen« der Mathematiker ledig
zu sein, das alles gibt diesem Schwestergebiete der darstellenden
Geometrie einen besonderen Reiz. Er wird noch erhöht durch die fast
unmittelbare Anwendbarkeit auf praktische Fragen. Ich habe auf diese
Anwendungen großes Gewicht gelegt; sie entstammen zum Teil dem
geologisch-bergmännischen Gesichtskreis und rühren aus der Zeit, als
ich an der Clausthaler Bergakademie einiges aus diesem Gebiete in
elementaren Vorlesungen über darstellende Geometrie vortrug ...
In der zweiten Auflage, die dem Büchlein trotz der Ungunst der
Zeiten beschieden ist, konnten mehrere sachliche und sprachliche
Verbesserungen und Ergänzungen angebracht werden; so insbesondere in
den §§ 63 und 64, wo, wie ich glaube, der Begriff des Talwegs jetzt
einwandfrei erklärt worden ist. Auch wurde auf mehrfach geäußerten
Wunsch ein kurzer Abschnitt über Anwendungen auf die zeichnerische
Analysis und die Nomographie hinzugefügt. Bezüglich der Abbildungen,
die schon wegen des Formates nicht mehr als einen bloßen Anhalt zum
Anfertigen von Reinzeichnungen geben wollen, konnte ich mich auch aus
äußeren Gründen nicht entschließen, größere Änderungen vorzunehmen. Wer
aus dem Buche ernsthaft lernen will, wird gewiß nicht unterlassen, sich
Reinzeichnungen im passenden Maßstabe selbst herzustellen. Übrigens ist
es ein Unterschied, ob es sich um eine Reinzeichnung handelt, wie sie
in den Übungen zur darstellenden Geometrie gefordert wird, oder um eine
Konstruktion an einer topographischen oder geologischen Geländekarte;
hier wird manche Zeichnung doch nicht viel größer ausfallen als die
Abbildungen dieses Bändchens.
Am Schluß ist ein alphabetisches Sachverzeichnis angefügt worden.
Der erweiterte Umfang hat es erfordert, das Buch als Doppelbändchen
herauszugeben.
_Berlin_, im April 1919.
RUDOLF ROTHE
INHALT
Seite
Einleitung 1
I. Grundbegriffe und elementare Konstruktionen über
kotierte Projektionen §§ 1–22 2–18
§ 1. Kotierte Projektion. S. 2. § 2. Maßstab der Zeichnung. 3.
§ 3. Einschalten eines Punktes. 4. § 4. Stufung (Graduierung)
einer Geraden. 4. § 5. Intervall. 5. § 6. Schnitt zweier
Geraden. 5. § 7. Ebene. 6. § 8. Gefällemaßstab. 6. § 9.
Aufgabe. 7. § 10. Böschung, Fallen und Streichen. 7.
§ 11. Aufgabe. 8. § 12 Schnittgerade zweier Ebenen. 8.
§ 13. Ebenen mit parallelen Gefällemaßstäben. 9. § 14. Ebenen
gleicher Böschung. 10. § 15. Schnittpunkt einer Geraden mit
einer Ebene. 10. § 16. Lot von einem Punkte auf eine
Ebene. 11. § 17. Kürzester Abstand zweier windschiefer
Geraden. 11. § 18. Drehen einer Ebene um eine Streichlinie in
die wagerechte Lage. 12. § 19. Schnittwinkel zweier
Ebenen. 13. § 20. Böschungskegel. 15. § 21. Kreiszylinder,
schiefer Kreiskegel, Kugel. 16. § 22. Andere Oberflächen. 16.
II. Elementare Anwendungen §§ 23–34 18–25
§ 23. Zweck der Anwendungen. 18. § 24. Aufführung eines
Dammes. 18. § 25. Querprofil. 19. § 26. Anlage eines ebenen
Platzes. 19. § 27. Weg gegebener Steigung. 20.
§ 28. Streichen und Fallen einer Ebene. 21.
§ 29. Dachausmittelung. 21. § 30. Aufgabe. 22.
§ 31. Fortsetzung. 22. § 32. Aufschüttung einer Halde. 22.
§ 33. Ausschachten einer Grube. 24. § 34. Tunnelmündung. 24.
III. Darstellung der Geländeflächen §§ 35–73 26–53
§ 35. Hauptschichtlinien. 26. § 36. zeichnerische
Bemerkungen. 26. § 37. Storchschnabel. 27. § 38. Glatte
Kurve. 27. § 39. Spiegellineal. 28. § 40. Tangente. 28.
§ 41. Hüllkurve. 28. § 42. Evolute. 29.
§ 43. Parallelkurven. 29. § 44. Berührungen im Raume. 29.
§ 45. Relief eines Geländes. 30. § 46. Kurven auf einer
Geländefläche. 30. § 47. Darstellung einer Raumkurve. 30.
§ 48. Einschalten von Punkten und Konstruktion von
Schichtlinien. 31. § 49. Böschung einer Raumkurve. 32.
§ 50. Böschungslinie. 32. § 51. Normalebene,
Planierungsfläche. 32. § 52. Schmiegungsebene.
33. § 53. Hauptnormale, Binormale. 34. § 54. Schnitt
einer Fläche mit einer Ebene. 35. § 55. Anwendung. 36.
§ 56. Einschalten von Höhenlinien. 36.
§ 57. Berührungsebene und Normale einer Fläche. 37.
§ 58. Normalebene, Fallinien einer Fläche. 38.
§ 59. Schraffur einer Karte. 39. § 60. Krümmung einer
Fläche. 39. § 61. Verlauf der Schicht- und Fallinien. 41.
§ 62. Gipfel-, Mulden- und Jochpunkt. 41.
§ 63. Wasserscheide und Talweg. 42. § 64. Fortsetzung. 44.
§ 65. Böschungsfläche. 47. § 66. Böschungsstreifen. 48.
§ 67. Gratlinie. 48. § 68. Ebene Raumkurven. 48.
§ 69. Böschungsflächen einer Raumkurve. 49.
§ 70. Böschungslinien auf einer Fläche. 50.
§ 71. Aufgabe. 51. § 72. Schnitt zweier Flächen. 51.
§ 73. Durchdringungspunkte einer Raumkurve mit einer
Geländefläche. 52.
IV. Aufgaben und Anwendungen §§ 74–88 53–67
§ 74. Zweck der Aufgaben. 53. § 75. Aufschüttung und Abtrag
eines Eisenbahndammes. 53. § 76. Die Ausstrichlinie einer
Mulde mit dem Gelände zu bestimmen. 54. § 77. Schnittkurve
einer zylindrischen Fläche mit dem Gelände. 55. § 78. Um eine
gegebene Geländefläche einen Zylinder mit wagerechten
Mantelgeraden zu umschreiben. 56. § 79. Durch eine gegebene
Gerade die Berührungsebenen an eine Geländefläche zu
legen. 56. § 80. Umschriebener Zylinder mit beliebig
gegebener Richtung der Mantelgeraden. 57.
§ 81. Berührungsebene. 58. § 82. Andere Konstruktion des
umschriebenen Zylinders und der Berührungsebene. 59.
§ 83. Gebrauch einer Hilfskurve. 61.
§ 84. Schattengrenze. 62. § 85. Von einem gegebenen Punkte an
eine Geländefläche den Berührungskegel zu zeichnen. 62.
§ 86. Beispiel. 64. § 87. Ansicht des Geländes.
a) Parallelprojektion. 65. § 88. b) Zentralprojektion. 66.
V. Maßbestimmungen und Beziehungen zur zeichnerischen
Analysis §§ 89–107 67–89
§ 89. Längenmessung. 67. § 90. Flächenmessung.
a) Quadratteilung. 68. § 91. b) Einteilung in Streifen
gleicher Breite. 69. § 92. c) Andere Streifeneinteilung. 69.
§ 93. d) Planimeter. 70. § 94. Geneigte Fläche. 71.
§ 95. Flächeninhalt einer Böschungsfläche. 71.
§ 96. Rauminhalt eines begrenzten Geländeteiles. 72.
§ 97. Aufgabe: Rauminhalt einer Lagerstätte. 73.
§ 98. Ausführung der Aufgabe. 74. § 99. Zeichnerische
Analysis. 77. § 100. Funktionsskale. 78. § 101. Konstruktion
besonderer Funktionsskalen. 79. § 102. Aufgabe. 81.
§ 103. Zusammengesetzte Funktionsskalen. 82.
§ 104. Netzteilung. 83. § 105. Logarithmenpapier. 85.
§ 106. Darstellung einer Funktion von zwei Veränderlichen
durch ein Rechenblatt. 87. § 107. Rechenblatt mit
ungleichmäßiger Teilung. 88.
Alphabetisches Sachverzeichnis 90–92
EINLEITUNG
Eine Landkarte, die einen nicht zu großen Teil der Erdoberfläche
darstellt, gibt im großen und ganzen das Bild wieder, das sich einem
senkrecht darüber befindlichen Beobachter aus solcher Höhe darbietet,
wo für ihn die Höhenunterschiede des Geländes unmerklich geworden
sind. Um diese Höhenunterschiede in der Karte dennoch kenntlich zu
machen, pflegt man eine genügende Anzahl von Punkten durch beigesetzte
Höhenzahlen (Koten) zu bezeichnen, die ihre senkrechte Entfernung von
einer gedachten Horizontalebene, meist dem Meeresspiegel, in einer
gewählten Längeneinheit, z. B. in Metern, angeben. Auf diese Weise
entsteht eine mehr oder weniger getreue Darstellung (kotierter Riß) der
Erdoberfläche mit ihren Erhebungen und Senken; oder in allgemeinerer
Bedeutung, es entsteht die Darstellung einer _Geländefläche_ oder
_topographischen Fläche_, worunter in der Regel eine solche verstanden
wird, die von jeder Senkrechten in genau einem Punkte geschnitten wird;
bei manchen, z. B. bei geologischen Betrachtungen, ist diese Bedingung
freilich nicht immer erfüllt.
Eine auf der Fläche gelegene Linie, deren sämtliche Punkte die
gleiche Höhe (Kote) haben, heißt _Höhenlinie_ (Schichtlinie,
Niveaulinie, Isohypse), bei Höhen unter dem Meeresspiegel auch
Tiefenlinie (Isobathe); sie ist die Schnittlinie der Geländefläche
mit einer horizontalen Ebene. Ein abgelassener Teich läßt oft solche
Schichtlinien, die Spuren früherer Wasserstände, an seinen Ufern
erkennen.
Die Brauchbarkeit und Anschaulichkeit der Darstellung einer
Geländefläche durch eine Karte gewinnt erheblich, wenn auf ihr eine
genügende Anzahl von Höhenlinien der Art verzeichnet ist, daß ihnen
eine Einteilung der Fläche in Schichten gleicher Dicke entspricht
(Schichtenplan). Auf dieser Darstellung einer Geländefläche durch ihre
Schichtlinien beruht die Möglichkeit, auf zeichnerisch-konstruktiven
Wegen eine große Anzahl von Fragen und Aufgaben zu beantworten, wie
sie in der Vermessungskunde, Kartenkunde, Geographie, militärischen
Topographie, Bauingenieurwissenschaft, Geologie, Bergbaukunde usw.
vorkommen können. Die Ausführung der Methoden, die zur zeichnerischen
Lösung solcher Fragen dienen, bildet ein wichtiges Mittel der
angewandten Geometrie, das sich aus praktischen Bedürfnissen heraus,
ursprünglich nautischen und militärischen, entwickelt hat, zuerst in
Frankreich, wo die Kenntnis derartiger Dinge noch bis vor hundert
Jahren militärisch geheim gehalten wurde.
In dieses Gebiet, das zum Verständnis im allgemeinen nur wenige
elementargeometrische Vorkenntnisse erfordert, und dessen Pflege
wegen der sofort in die Augen springenden praktischen Verwendbarkeit
besonders reizvoll und anregend ist, will die vorliegende Schrift eine
Einführung geben.
Es wird zweckmäßig sein, zunächst auch auf einige grundlegende
geometrische Begriffe und Konstruktionen einzugehen, auf denen die
alsdann zu besprechenden Aufgaben über Geländeflächen beruhen.
I. GRUNDBEGRIFFE UND ELEMENTARE KONSTRUKTIONEN ÜBER KOTIERTE
PROJEKTIONEN
§ 1. =Kotierte Projektion.= Ein Punkt _P'_ des Raumes ist durch Angabe
seiner senkrechten Grundrißprojektion _P_ auf eine Horizontalebene
(Rißebene, Zeichenebene) und der Maßzahl _k_ seines senkrechten
Abstandes (Höhenzahl, Kote) von der Ebene, gemessen in Einheiten des
Höhenmaßstabs, eindeutig bestimmt: _kotierte Projektion_. Eine Karte
mit Höhenangaben ist also eine geometrische Grundrißdarstellung eines
Geländes durch kotierte Projektionen: _kotierte Ebene_.
Zwei Punkte _P₁'_ und _P₂'_ bestimmen eine Gerade _g'_. Zur Ermittelung
des spitzen Winkels φ, unter dem _g'_ gegen die Horizontalebene
geneigt ist, und der Entfernung _P₁'P₂'_ (_Luftlinie_) konstruiert
man in der Zeichenebene das rechtwinklige Dreieck mit den Katheten
_P₁P₂_ und _P₂P₂^*_ = _k₂_ – _k₁_, aus dem die gewünschten Größen mit
Transporteur und Maßstab zu entnehmen sind (Fig. 1 und 2).
[Illustration: Fig. 1.]
[Illustration: Fig. 2.]
Übrigens heißt φ der _Fallwinkel_, tg φ das _Gefälle_, der _Anstieg_
oder die _Böschung_ der Geraden _g'_.
Da man es im folgenden immer mit der Zeichnung in der Rißebene zu tun
hat, so spricht man in der Regel von dem Fallwinkel, dem Gefälle usw.
der gezeichneten Geraden _g_, der Projektion von _g'_, obwohl man
darunter natürlich stets die Größen meint, die _g'_ selbst zukommen.
Darauf ist in Zukunft zu achten.
§ 2. =Maßstab der Zeichnung.= Die Abmessungen der Zeichnung werden
meist mit denen der Wirklichkeit nicht übereinstimmen, sondern
geben sie in verkleinerten Maßstäben wieder. Verhalten sich z. B.
die Horizontalentfernungen der Zeichnung zu denen der Wirklichkeit
wie 1 : α (bei den preußischen Meßtischblättern wie 1 : 25000), die
gezeichneten Höhen zu den wirklichen wie 1 : β, so ist die wirkliche
Entfernung nicht mehr
_l_ = √([line](_P₁P₂_)² + (_k₁_ – _k₂_)²),
sondern sie ist
_L_ = √(α² · [line](_P₁P₂_)² + β² · (_k₁_ – _k₂_)²),
und der Neigungswinkel im allgemeinen nicht φ, so daß
tg φ = (_k₂_ – _k₁_)/[line](_P₁P₂_),
sondern gleich Φ, so daß
tg Φ = β/α · (_k₂_ – _k₁_)/[line](_P₁P₂_).
Nur wenn β = α, wenn also Horizontalentfernungen und Höhen im selben
Maßstab 1 : α aufgetragen sind, ist _L_ = α_l_, Φ = φ. Obwohl das
praktisch selten angängig ist – meist ist β > α; Überhöhung –, wird
es im folgenden, wo nichts anderes gesagt ist, doch der Einfachheit
wegen stets vorausgesetzt, zumal viele Konstruktionen von der Wahl der
Maßstäbe ganz unabhängig sind.
§ 3. =Einschalten eines Punktes.= Die Fig. 2 zeigt auch, wie man die
Kote _k_ eines beliebigen, auf _g_ gelegenen Punktes _P_ ermittelt,
denn es ist _PP^*_ = _k_ – _k₁_. Sie zeigt ferner, wie man bei
gegebener Höhenzahl _k_ den zugehörigen Punkt _P_ auf der Geraden
_g_ konstruiert: Man trägt, unter Rücksicht auf das Vorzeichen
der Kotenunterschiede, auf _P₂P₂^*_ = _k₂_ – _k₁_ die Strecke
_k₂_ – _k_ ab, entweder von _P₂^*_ aus bis _Q_ und zieht dann die
Parallele _QP^*_ zu _P₂P₁_, oder besser von _P₂_ aus bis _R_ und
zieht dann die Parallele _RP_ zu _P₂^*P₁_; wenn _k₂_ – _k₁_ und
_k₂_ – _k_ verschiedenes Vorzeichen haben, muß man _k₂_ – _k_ an
_P₂P₂^*_ verlängernd antragen, wie es bei der Konstruktion von (_P_)
geschehen ist. Übrigens sind diese Konstruktionen weder davon, daß
_P₂P₂^*_ ⊥ _P₂P₁_ ist, noch von dem gewählten Höhenmaßstab abhängig.
Auch rechnerisch, sehr bequem und ausreichend genau mittels des
Rechenschiebers, läßt sich die Kote von _P_ nach der Formel
_k_ = _k₁_ + _P₂P_/(_P₁P₂_) · (_k₂_ – _k₁_)
bestimmen.
§ 4. =Stufung (Graduierung) einer Geraden.= Durch Wiederholung der
eben beschriebenen Konstruktion kann man auf einer durch zwei Punkte
_P₁P₂_ eines kotierten Risses gegebenen Geraden _g_ solche Punkte
bestimmen, deren Höhenzahlen von Einheit zu Einheit, oder von 10 zu
10 Einheiten oder dergleichen, fortschreiten, wie das in Fig. 3 mit
bestimmten Werten ausgeführt ist. In _P₂_ ist an _g_ unter beliebigem
Winkel die Strecke _P₂P₂^*_ in Länge von 22,6 – 18,7 = 3,9 beliebigen
Einheiten angetragen und auf ihr in denselben Einheiten 22,6 – 22
= 0,6, 22,6 – 21 = 1,6 usw. abgetragen; die Parallelen durch die
erhaltenen Punkte schneiden auf _g_ die _Stufung_ (_Graduierung_) oder
den _Gefällemaßstab_ aus. Die gestufte Gerade erscheint wie ein aus
großer Höhe gesehener Steigbaum mit Sprossen.
[Illustration: Fig. 3.]
Eine lotrechte Gerade hat als Projektion einen Punkt und ist durch
dessen Angabe eindeutig bestimmt. Eine wagerechte Gerade hat keinen
Gefällemaßstab; sie ist durch ihre Projektion und durch Angabe der Höhe
irgendeines ihrer Punkte eindeutig bestimmt.
§ 5. =Intervall.= Die Entfernung zweier aufeinanderfolgender Punkte des
Gefällemaßstabes einer gestuften Geraden, gemessen in der Rißebene,
heißt ihr _Intervall_ _i_, und eine leichte geometrische Überlegung
oder auch die in § 2 gegebene Formel für das Gefälle ergibt tg φ =
1 : _i_. Je steiler also die Gerade ansteigt, um so kleiner ist ihr
Intervall, um so enger ihre Graduierung.
§ 6. =Schnitt zweier Geraden.= Zwei Geraden _g₁'_, _g₂'_ des Raumes
schneiden sich dann und nur dann, wenn ihre Projektionen _g₁_, _g₂_
einen Punkt _mit gleicher Kote_ gemeinsam haben; sie sind parallel,
wenn ihre Gefällemaßstäbe durch Parallelverschiebung zur Deckung
gebracht werden können, d. h. wenn erstens _g₁_ parallel zu _g₂_,
zweitens _i₁_ = _i₂_ ist, und drittens die Graduierungen von _g₁_ und
_g₂_ denselben Richtungssinn haben. Ist die dritte Bedingung nicht
erfüllt, so sind die beiden Geraden _g₁'_, _g₂'_ nicht parallel,
sondern jede von ihnen ist zu der Geraden, die sich durch irgendeinen
ihrer Punkte parallel zur anderen ziehen läßt (z. B. _g₂''_ || _g₂'_),
symmetrisch bezüglich des Lotes durch diesen Punkt (Fig. 4).
[Illustration: Fig. 4.]
Wenn _g₁_ und _g₂_ zusammenfallen, liegen _g₁'_, _g₂'_ in derselben
lotrechten Ebene; der Winkel ψ von _g₁'_ und _g₂'_ ist in einem
Dreieck zu finden (Fig. 5 u. 6), dessen Grundlinie durch Zusammenfügen
von _i₁_ und _i₂_ (mit Berücksichtigung des Richtungssinns)
entsteht, und dessen Höhe, die in dem _i₁_ und _i₂_ gemeinsamen
Punkt zu errichten ist, gleich der Einheit des Höhenmaßstabes ist.
Der Schnittwinkel ψ ist ein rechter, wenn die Höhe 1 die mittlere
Proportionale zwischen _i₁_ und _i₂_ ist, d. h. wenn
_i₂_ = 1 : _i₁_,
und überdies die Graduierungen entgegengesetzten Sinn haben.
[Illustration: Fig. 5.]
[Illustration: Fig. 6.]
§ 7. =Ebene.= Zwei sich schneidende oder parallele Geraden des Raumes
bestimmen eine Ebene. Nachdem die beiden Geraden gestuft sind, lassen
sich die _Schichtlinien_ der Ebene als Verbindungsgeraden der Punkte
gleicher Höhenzahlen konstruieren; sie sind also parallele Geraden.
Wenn umgekehrt die Verbindungsgeraden je zweier und daher aller Punkte
gleicher Höhenzahlen auf zwei gestuften Geraden einander parallel
sind, dann liegen die Geraden in einer Ebene, d. h. schneiden sich,
wie in Fig. 7 _g₁_ und _g₂_, oder sind parallel, wie _g₁_ und _g₃_;
andernfalls kreuzen sie sich, wie _g₂_ und _g₃_.
[Illustration: Fig. 7.]
[Illustration: Fig. 8.]
§ 8. =Gefällemaßstab.= Die zu den Schichtlinien senkrechten Geraden
der Ebene heißen ihre _Fallinien_[1]; durch die Schnittpunkte mit den
Schichtlinien werden sie graduiert. Eine Ebene ist durch eine gestufte
Fallinie, ihren _Gefälle-_ oder _Böschungsmaßstab_, eindeutig gegeben;
man pflegt ihn als gestufte Doppelgerade (Fig. 8) zu zeichnen, wobei
die stärker ausgezogene oder mit einer Pfeilspitze versehene als die
eigentliche Fallinie gelten soll. Der Gefällemaßstab einer Ebene
erscheint danach wie eine aus großer Höhe gesehene Leiter mit ihren
Sprossen.
[1] In der Fig. 8 verläuft die Gerade 3,6 ... 9,6 zufällig wie
eine Fallinie.
§ 9. _Aufgabe._ Durch drei kotierte Punkte eine Ebene zu legen.
Man verbindet die Punkte durch drei Geraden, graduiert diese nach
§ 4, zeichnet durch Verbindung gleichkotierter Punkte der Geraden
die Schichtlinien der Ebene und danach senkrecht zu diesen den
Gefällemaßstab (Fig. 8).
§ 10. =Böschung, Fallen und Streichen.= Der Fallwinkel φ der Fallinien
heißt das _Einfallen_ oder das _Fallen_ der Ebene, tg φ ihre
_Böschung_, die durch zunehmende Höhen gegebene Richtung der Fallinien
die _Anstiegsrichtung_ der Ebene. Unter Streichrichtung versteht man
diejenige Richtung der Schichtlinien – die daher bei der Ebene auch
_Streichlinien_ heißen –, von der aus man im mathematisch positiven, d.
h. dem Uhrzeigerlaufe entgegengesetzten Sinne um einen rechten Winkel
zu drehen hat, um die Anstiegsrichtung der Ebene zu erhalten. Der
Winkel σ, um den man von einer festen (SN)-Richtung aus im positiven
Sinne zu drehen hat, um die Streichrichtung zu erhalten, heißt das
_Streichen_ der Ebene (Fig. 9).
[Illustration: Fig. 9.]
[Illustration: Fig. 10.]
Die Begriffe und Bezeichnungen des Fallens und Streichens einer Ebene
sind, wenn auch nicht immer eindeutig genug erklärt, dem Bergmanne
und Geologen sehr geläufig, weil durch die leicht ausführbare Messung
dieser Winkel an einem der Lage nach bekannten Orte auch die Lage
der Ebene, z. B. einer erzführenden ebenen oder als nahezu eben
anzunehmenden Schicht, vollständig bestimmt ist.
§ 11. _Aufgabe._ Um die soeben angedeutete Aufgabe zu lösen, d. h.
um in einer Karte die Ebene zu konstruieren, von der man an einem
bekannten Punkte _A_ (_k_ = 5,4) das Fallen φ (= 30°) und Streichen
σ (= 125°) beobachtet hat, legt man zunächst durch Antragen des
Winkels σ an die SN-Richtung die Streichrichtung und weiter nach
positiver Drehung um 90° die Anstiegsrichtung der Ebene fest. Ein
rechtwinkliges Hilfsdreieck, in dem die Kathete die Höheneinheit, der
gegenüberliegende Winkel gleich φ ist, liefert als andere Kathete das
Intervall einer Fallinie. Wählt man als Gefällemaßstab der Ebene die
durch den Punkt _A_ hindurchgehende Fallinie, so hat man von _A_ aus
in der Anstiegsrichtung 0,6 · _i_ abzutragen, um den Punkt der runden
Höhenzahl 6 zu finden und danach die Stufung vorzunehmen (Fig. 10).
§ 12. =Schnittgerade zweier Ebenen.= Zwei nicht parallele Ebenen
schneiden sich in einer Geraden. In der Karte der Ebenen erhält man
diese Gerade und zugleich ihre Stufung im allgemeinen als Ort der
Schnittpunkte gleichkotierter Schichtlinien (Fig. 11).
[Illustration: Fig. 11.]
[Illustration: Fig. 12.]
Das Verfahren versagt jedoch um so mehr, je mehr die Schichtlinien der
beiden Ebenen einander parallel werden. Dann schneidet man die beiden
Ebenen (1) und (2) durch eine beliebige Hilfsebene (3) in geeigneter
Lage, bestimmt die Schnittgeraden (1, 3) und (2, 3) und deren
Schnittpunkt _A_, der auf der Schnittgeraden (1, 2) gelegen sein muß.
Eine zweite Hilfsebene (4) bestimmt ebenso die Schnittgeraden (1, 4)
und (2, 4) und deren Schnittpunkt _B_; durch _A_ und _B_ ist aber die
gesuchte Schnittgerade (1, 2) völlig bestimmt (Fig. 12). Zweckmäßig,
und in der Figur ist das so ausgeführt, wählt man die zweite Hilfsebene
(4) so, daß ihr Gefällemaßstab der gleiche, aber entgegengesetzt
gerichtete zu dem von (3) ist. Da er ganz willkürlich ist, so genügt
es zur wirklichen Ausführung der Konstruktion, die Schichtlinien der
beiden gegebenen Ebenen durch zwei Parallelen _p'_, _p''_ in beliebigem
Abstand zu schneiden.
[Illustration: Fig. 13.]
[Illustration: Fig. 14.]
§ 13. =Ebenen mit parallelen Gefällemaßstäben.= Dieses Verfahren ist
auch anwendbar, wenn die Schichtlinien der beiden gegebenen Ebenen,
also auch ihre Gefällemaßstäbe genau parallel sind; man kann alsdann
_p'_, _p''_ mit diesen zusammenfallen lassen. Die Schnittgerade
steht jetzt senkrecht auf den beiden Gefällemaßstäben, weil sie die
gemeinsame Schichtlinie der beiden Ebenen ist (Fig. 13).
Für den Fall zweier Ebenen mit parallelen Schichtlinien läßt sich auch
folgende Konstruktion ausführen. Man denke sich die Punkte gleicher
Höhenzahlen der beiden parallelen Gefällemaßstäbe durch Geraden
verbunden; je zwei werden in ihrem Schnittpunkt wegen der Ähnlichkeit
der entstehenden Scheiteldreiecke im Verhältnis der Intervalle
der beiden Gefällemaßstäbe geteilt, sie haben also alle denselben
Schnittpunkt _P_. Er muß ein Punkt der gesuchten Schnittgeraden
sein, weil diese auch zwei Punkte gleicher Höhenzahlen verbindet.
Die Schnittgerade ist also das Lot durch _P_ auf den gegebenen
Gefällemaßstäben (Fig. 14).
§ 14. =Ebenen gleicher Böschung.= Jeder Punkt der Schnittgeraden zweier
Ebenen gleicher Böschung hat von zwei gleichkotierten Streichlinien der
Ebenen dieselbe Entfernung; denn (Fig. 15) _PA_ und _PB_ sind Stücke
zwischen gleichkotierten Punkten auf gleichgraduierten Fallinien. Die
Schnittgerade halbiert ferner in der Horizontalprojektion den Winkel
der beiden Schichtlinien; das folgt aus der Kongruenz der beiden
rechtwinkligen Dreiecke _PAC_ und _PBC_.
Diese Sätze gelten auch, wenn die gerichteten Fallinien der beiden
Ebenen miteinander einen gestreckten Winkel bilden. Die Schnittgerade
ist dann die Streichlinie, die durch den beiden Fallinien gemeinsamen
Punkt derselben Höhenzahl hindurchgeht.
[Illustration: Fig. 15.]
[Illustration: Fig. 16.]
§ 15. =Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene.= Man legt durch
die gegebene Gerade _g_ (Fig. 16) eine beliebige Hilfsebene, von der
irgend zwei Streichlinien genügen, und ermittelt deren Schnittpunkte
mit den gleichkotierten Schichtlinien der gegebenen Ebene; damit ist
die Schnittgerade _s_ beider Ebenen bestimmt, und dadurch der gesuchte
Punkt _P_ als Schnittpunkt von _s_ mit _g_. Sind die Schnittgerade und
die gegebene Gerade einander parallel, wie in der Figur _s₁_ und _g₁_,
so ist auch die gegebene Gerade der Ebene parallel; der Gefällemaßstab
der Geraden kann durch Parallelverschiebung mit demjenigen zur Deckung
gebracht werden, den die Streichlinien der Ebene auf ihr ausschneiden.
Um den Abstand der Ebene von der parallelen Geraden zu bestimmen, ist
nur von irgendeinem ihrer Punkte ein Lot auf die Ebene zu fällen und
dessen Länge zu ermitteln, wie das sogleich gezeigt werden wird.
§ 16. =Lot von einem Punkte auf eine Ebene.= Man legt durch den
gegebenen Punkt _P_ (Fig. 17) eine Vertikalebene, die zugleich auf der
gegebenen senkrecht steht, sie demnach in einer Fallinie, also in einer
Parallelen zum gegebenen Gefällemaßstab _e_ der Ebene schneidet. Das
gesuchte Lot steht auf dieser Fallinie senkrecht; nach § 6 ist demnach
seine Graduierung entgegengesetzt und sein Intervall _i_ reziprok zu
dem des Gefällemaßstabes _e_, also aus dem in der Figur angegebenen
Dreieck _ABC_ zu entnehmen. Das gestufte Lot _l_ stellt zugleich
den Gefällemaßstab einer Ebene dar, die die gegebene längs einer
Schichtlinie schneidet, nämlich derjenigen, die durch den Fußpunkt _F_
des Lotes geht. Man zeichnet diese nach § 13, Fig. 14 und danach die
wahre Lotlänge _FQ_ nach § 1, wobei in der Figur _PR_ die Höheneinheit
ist.
[Illustration: Fig. 17.]
[Illustration: Fig. 18.]
Zur Konstruktion des Fußpunktes des Lotes ist übrigens nur
erforderlich, seinen Durchschnittspunkt mit der Ebene wie oben (§ 15)
zu ermitteln.
§ 17. =Kürzester Abstand zweier windschiefer Geraden.= Wenn man
(Fig. 18) durch die eine, _g₁_, der beiden gegebenen windschiefen
Geraden eine Ebene parallel zur anderen, _g₂_, legt und sodann von
irgendeinem Punkte _C_ der Geraden _g₂_ das Lot _CD_ auf diese Ebene
fällt, so hat _CD_ dieselbe Länge wie der gesuchte kürzeste Abstand
selbst. Wenn man ferner in der Ebene durch _D_ die Parallele zu _g₂_
zieht, so schneidet sie _g₁_ im Punkte _A_, dem einen Endpunkte des
gesuchten kürzesten Abstandes; der andere, _B_, liegt auf _g₂_ als
Schnittpunkt des in _A_ auf der Ebene errichteten Lotes _AB_. Die
Konstruktion ist danach folgendermaßen: Man legt durch einen beliebigen
Punkt (1) der einen Geraden _g₁_ eine Parallele _p_ zur zweiten _g₂_,
so daß also _p_ und _g₂_ gleiche Stufungen haben. Durch _p_ und _g₁_
ist eine zu _g₂_ parallele Ebene bestimmt, deren Schichtlinien sich
durch Verbindung gleichkotierter Punkte von _p_ und _g₁_ ergeben; _e_
sei ihr Gefällemaßstab. Nun fällt man von irgendeinem Punkte _C_ (= 3)
von _g₂_ das Lot _CD_ auf diese Ebene, entsprechend dem Vorhergehenden:
das Dreieck mit dem rechten Winkel bei _H_, dessen Höhe gleich der
Einheit des Höhenmaßstabes ist, liefert das (in der Figur stark
ausgezogene) Intervall, das zu dem von _e_ reziprok ist, und mit dem
die durch _C_ parallel zu _e_ gezogene Gerade _q_ entgegengesetzt zu
_e_ graduiert wird; vom Schnittpunkt _S_ der Verbindungsgeraden 2–2,
4–4 gleichkotierter Punkte auf _q_ und _e_ ist die Senkrechte _SD_ auf
_q_ gefällt, die den Fußpunkt _D_ des gesuchten Lotes ergibt. Durch ihn
zieht man die Parallele zu _g₂_, die _g₁_ im Fußpunkt _A_ des gesuchten
kürzesten Abstandes schneidet. Den anderen Endpunkt _B_ findet man
durch _AB_ || _CD_.
[Illustration: Fig. 19.]
§ 18. =Drehen einer Ebene um eine Streichlinie in die wagerechte
Lage.= Es kommt oft vor, daß man in einer durch ihren Gefällemaßstab
gegebenen Ebene Messungen von Winkeln oder Längen, oder Konstruktionen
maßstäblicher Natur auszuführen hat; das ist nicht ohne weiteres
möglich, wenn die Ebene nicht zur Zeichenebene parallel, also
nicht wagerecht ist. Man hat sie vielmehr erst in die wagerechte
Lage zu bringen, zweckmäßig durch Drehung um eine Streichlinie. Es
sei (Fig. 19) _AB_ (Höhe 0) diese Streichlinie einer Ebene, deren
Gefällemaßstab rechts in der Figur zu sehen ist. Durch Drehung geht
die Schar der Streichlinien in eine andere dazu parallele Schar über,
die mit der ursprünglichen die Streichlinie _AB_ gemeinsam hat. In
wagerechter Lage der Ebene ist der Abstand zweier Streichlinien mit
dem ursprünglichen Höhenunterschied 1 die Hypotenuse in dem Dreieck,
dessen Katheten das ursprüngliche Intervall _i_ und die Einheit des
Höhenmaßstabes sind (in der Figur links angegeben). Bei der Drehung
beschreibt jeder Punkt _C_ einen Kreis, dessen Ebene zu _AB_ senkrecht
ist und daher die Rißebene in dem Lot _CH_ auf _AB_ schneidet. Um also
den Punkt _C^*_ zu finden, in den _C_ nach der Drehung übergeht, hat
man nur die mit _C_ gleichkotierte Schichtlinie (in der Figur die mit
der Höhenzahl 7) nach der Drehung mit diesem Lot zum Schnitt zu bringen.
Auf diese Weise läßt sich die wahre Gestalt einer Figur _CDEF_ der
gegebenen Ebene als _C^*D^*E^*F^*_ konstruieren; also auch z. B. die
wahre Größe des Schnittwinkels zweier Geraden _AC_ und _BC_ als Winkel
_AC^*B_. Eine nützliche Kontrolle besteht in der Konstruktion der
wahren Längen von _AC_ und _BC_ als _AC^*_ und _BC^*_ nach § 1, wie in
der Figur angegeben.
Durch Umkehrung der Konstruktion kann man eine gegebene Figur in eine
durch ihren Gefällemaßstab gegebene Ebene einzeichnen.
§ 19. =Schnittwinkel zweier Ebenen.= Wenn man von irgendeinem Punkte,
der auf keiner der beiden Ebenen gelegen ist, auf diese die beiden Lote
fällt, so schließen sie miteinander dieselben Winkel ein wie die beiden
Ebenen. In § 16 ist das Fällen eines Lotes auf eine Ebene gezeigt
worden. Durch diese beiden Lote ist eine Ebene bestimmt. Dreht man nun
diese Ebene der beiden Lote um eine ihrer Schichtlinien, d. h. um eine
Verbindungsgerade gleichkotierter Punkte der Lote, in die wagerechte
Lage (nach § 18), so erhält man die gesuchten Schnittwinkel in wahrer
Größe. Der Leser führe danach die Konstruktion aus.
Eine etwas andere Lösung der Aufgabe ist folgende. Man zeichnet zuerst
nach § 12 die Schnittgerade beider Ebenen als geometrischen Ort der
Schnittpunkte gleichhoher Streichlinien, sodann irgendeine, diese
Schnittgerade senkrecht schneidende Hilfsebene; ihr Böschungsmaßstab
läuft parallel zur Projektion der Schnittgeraden. Diese Hilfsebene
schneidet die beiden gegebenen Ebenen in zwei Geraden, die die
gesuchten Winkel miteinander einschließen. Dreht man also die
Hilfsebene um eine ihrer Schichtlinien in die wagerechte Lage, so
erhält man dadurch auch die Schnittwinkel der beiden gegebenen Ebenen
in wahrer Größe.
[Illustration: Fig. 20.]
Die Durchführung der Konstruktion ist aus der Fig. 20 zu entnehmen:
I und II sind die Gefällemaßstäbe der beiden gegebenen Ebenen, _s_
ihre Schnittgerade, _h_ der Gefällemaßstab der auf _s_ senkrechten
Hilfsebene, dessen Intervall reziprok und entgegengesetzt zu dem
von _s_ ist. Irgendeine Schichtlinie der Hilfsebene schneidet die
gleichhohen Schichtlinien von I und II in je einem Punkte _A₁_,
_A₂_. Ist _C_ die Projektion des Schnittpunktes der Hilfsebene mit
der Geraden _s_ (§ 15), so enthält das Dreieck, dessen Projektion
_A₁CA₂_ ist, bei _C_ einen der gesuchten Winkel, und man findet seine
wahre Größe durch Drehung dieses Dreiecks um die Gerade _A₁A₂_ in die
wagrechte Lage _A₁C^*A₂_. Den Punkt _C^*_ findet man einfach, wenn
man durch _s_ einen Vertikalschnitt legt und diesen in die wagerechte
Lage umklappt. Es entsteht das rechtwinklige Dreieck 233' (worin 33'
der Höheneinheit gleich ist), und das Lot, das vom Schnittpunkte
_B_ von _A₁A₂_ mit _s_ auf die Hypotenuse 23' gefällt werden kann,
gibt den Punkt _C'_, in den durch das Umklappen der Scheitel der
gesuchten Winkel übergegangen ist. _BC'_ ist also die Höhe des oben
erwähnten Dreiecks, und man hat mithin nur _BC^*_ = _BC'_ von _B_ auf
_s_ abzutragen, um den Punkt _C^*_ zu erhalten. Der Winkel _A₁C^*A₂_
und sein Supplementwinkel sind die gesuchten Schnittwinkel der beiden
Ebenen.
§ 20. =Böschungskegel.= Alle durch denselben Punkt gehenden
Ebenen gleichen Gefälles umhüllen einen geraden Kreiskegel, den
Böschungskegel. Die Böschung der Ebenen heißt auch die des Kegels.
Seine Schichtlinien werden in der Projektion durch konzentrische Kreise
dargestellt, deren Mittelpunkt die Projektion des Scheitels des Kegels
ist. Die Radien der Kreise stellen die Mantelgeraden des Kegels dar,
und stimmen, in geeigneter Weise durch die Schichtkreise des Kegels
gestuft, auch mit den Gefällemaßstäben der Ebenen überein.
Der Böschungskegel kann zur Konstruktion folgender Aufgaben benutzt
werden:
1. _In einer gegebenen Ebene durch einen gegebenen Punkt die Geraden
von gegebenem Anstieg zu zeichnen._ Man mache den Punkt zur Spitze
des Böschungskegels vom gegebenen Anstieg; seine Schnittlinien mit
der Ebene sind die gesuchten Geraden. Zu ihrer Konstruktion genügt
es, irgendeinen Schichtkreis des Kegels mit der gleichkotierten
Streichlinie der Ebene zum Schnitt zu bringen (Fig. 21).
[Illustration: Fig. 21.]
[Illustration: Fig. 22.]
2. _Durch eine gegebene Gerade die Ebenen von gegebener Böschung zu
legen._ Man mache irgendeinen Punkt der Geraden zur Spitze eines Kegels
der gegebenen Böschung; die gesuchten Ebenen sind diejenigen seiner
Berührungsebenen, die durch die gegebene Gerade gehen. Man konstruiert
sie, indem man von irgendeinem zweiten Punkte der Geraden die beiden
Tangenten an den mit ihm gleichkotierten Schichtkreis des Kegels legt
(Fig. 22).
Die Lösungen beider Aufgaben werden nicht reell, wenn die Böschung der
Ebenen kleiner ist als die der Geraden.
§ 21. =Kreiszylinder, schiefer Kreiskegel, Kugel.= Die Schichtlinien
eines schiefen Kreiszylinders mit wagerechter Grundfläche sind Kreise
vom selben Radius, deren Mittelpunkte auf der entsprechend der Neigung
gestuften Zylinderachse liegen. Ist der Zylinder gerade, so lagern sich
alle Schichtkreise kongruent übereinander.
[Illustration: Fig. 23.]
Die Schichtlinien eines schiefen Kreiskegels mit wagerechter
Grundfläche sind Kreise, deren Mittelpunkte auf der gestuften
Projektion der Kegelachse liegen, und deren Radien sich am einfachsten
aus demjenigen durch die Achse gelegten ebenen Schnitte ergeben, dessen
Schnittfigur ein gleichschenkliges Dreieck ist (Fig. 23).
Die Figur 24 zeigt die Darstellung der oberen Hälfte eines geraden
Kreiszylinders mit wagerechter Achse; seine Schichtlinien sind
parallele Geraden, seine Halbkreise stellen sich dar als Geraden, die
die Schichtlinien senkrecht durchsetzen und von ihnen nach einem leicht
aufzustellenden Gesetze ungleichmäßig gestuft werden.
Eine entsprechende Darstellung tritt offenbar auch auf bei einem
Zylinder mit beliebigem Querschnitt, wenn nur seine erzeugenden Geraden
horizontal verlaufen.
Sind die erzeugenden Geraden des Zylinders nicht horizontal, so
bestehen seine Schichtlinien aus kongruenten Kurven, die aus einer von
ihnen durch Verschiebung längs der erzeugenden Geraden hervorgehen; aus
der Fig. 79 S. 55 ist ein Beispiel dafür zu entnehmen.
[Illustration: Fig. 24.]
[Illustration: Fig. 25.]
Die Schichtlinien einer Halbkugel sind konzentrische Kreise, deren
Radien sich aus einem lotrechten Schnitt durch den Mittelpunkt der
Kugel ergeben (Fig. 25).
§ 22. =Andere Oberflächen.= Von andern gekrümmten Oberflächen, die
sich durch ihre Schichtlinien in einfacher Weise darstellen lassen,
seien hier nur beispielsweise folgende erwähnt:
1. Wenn man die gleichkotierten Punkte zweier windschiefer Geraden
geradlinig verbindet, so ergibt sich eine windschiefe Fläche mit
geradlinigen Schichtlinien, ein _hyperbolisches Paraboloid_ (Fig. 26).
Sein Umriß, aus sehr großer Höhe von oben gesehen, ist eine Parabel,
die auch in der Figur deutlich erkennbar ist.
[Illustration: Fig. 26.]
2. Der Leser versuche, die Schichtlinien einer gemeinen
_Schraubenfläche_ mit senkrechter Achse darzustellen, und zwar etwa
eine vollständige Windung mit der Ganghöhe 8 Höheneinheiten. Man kann
sie sich vorstellen als Wendeltreppe, von der je 8 Stufen einen Umgang
bilden.
[Illustration: Fig. 27.]
3. Die Darstellung einer _Umdrehungsfläche_ mit lotrechter Drehachse
durch ihre Schichtlinien ergibt ein System konzentrischer Kreise,
deren Radien aus einem Achsenschnitt der Fläche entnommen werden können
(Fig. 27). Über die Bedeutung der Linie _DD_ vgl. § 60 S. 41.
II. ELEMENTARE ANWENDUNGEN
§ 23. =Zweck der Anwendungen.= In diesem Abschnitte wird es sich darum
handeln, die Verwendbarkeit der vorher entwickelten Konstruktionen
an einigen einfachen Aufgaben zu zeigen. Der Leser wird finden, daß
diese Aufgaben fast sämtlich ihre Anregung gewissen praktischen Fragen
verdanken, von denen sie, freilich zunächst unter sehr vereinfachenden
Annahmen, sozusagen den geometrischen Kern bilden. Es wird für den
Leser, der sich damit auch nur ein wenig vertraut machen will, wohl
unerläßlich sein, die eine oder andere der Aufgaben selber zeichnerisch
in größerem Maßstabe auszuführen. Die einfachsten Zeichenmittel genügen
dazu.
§ 24. =Aufführung eines Dammes.= Zwei ebene geneigte Hänge mögen ein
Tal bilden, dessen tiefste Linie, der Talweg, die Schnittgerade der
beiden Ebenen (§ 12) ist. Es soll ein aus ebenen Flächen gebildeter
Damm von gegebenem trapezförmigen Querschnitte, oder auch von gegebener
Breite und gegebenen Böschungen (§ 10), aufgeführt werden, von dem
die Mittellinie der Dammkrone zwei gegebene gleichkotierte Punkte der
beiden Hänge geradlinig verbindet.
[Illustration: Fig. 28.]
[Illustration: Fig. 28 a.]
Man ziehe Parallelen zur Verbindungslinie der beiden gegebenen
Punkte _A_, _B_ (Fig. 28), und zwar zunächst die beiden die
Dammkrone begrenzenden Geraden, sodann je noch irgendeine andere der
Schichtgeraden beider Böschungen, deren senkrechte Abstände von der
Mittellinie aus dem gegebenen Dammprofil (Fig. 28 a) zu entnehmen sind.
Die Schnittpunkte dieser Schichtgeraden mit den gleichkotierten der
beiden gegebenen Ebenen (§ 12) sind mit den Ecken des Dammes durch
Geraden zu verbinden, die sich auf dem Talwege schneiden müssen.
[Illustration: Fig. 29.]
Bei der Ausführung der Zeichnung sind nur die sichtbaren Teile der
Schichtlinien auszuziehen.
§ 25. =Querprofil.= Durch die in der vorigen Figur 28 gegebene
Geländeanordnung längs einer gegebenen Richtung _MN_ einen
Vertikalschnitt (Querprofil) zu legen.
Da die Begrenzung des verlangten Querprofils nur aus geradlinigen
Stücken zusammengesetzt ist, genügt es, von jedem dieser Stücke zwei
Punkte zu ermitteln. Man zeichnet die wagerechte Gerade 6–6 und mittels
des gegebenen Höhenmaßstabs die erforderlichen Horizontalen in den
verschiedenen Höhen, auf denen man, ausgehend von _M_, die horizontalen
Abstände der Punkte des gesuchten Querprofils abzutragen hat (Fig. 29).
§ 26. =Anlage eines ebenen Platzes.= Konstruktion eines rechteckigen
ebenen Platzes in gegebener Höhe (5) in einem durch zwei ebene Hänge
begrenzten Gelände. Böschung (§ 10) des Planums im Auftrage 2 : 3, im
Abtrage 3 : 1.
[Illustration: Fig. 30.]
[Illustration: Fig. 30 a.]
Man bestimmt zunächst die Schnittpunkte _A_, _B_, _C_, _D_ der
gleichhohen Schichtlinien (5) der beiden Geländeebenen mit der
Begrenzungslinie des Platzes, wodurch ersichtlich wird, an welchen
Teilen aufgeschüttet und an welchen abgetragen werden muß (Fig. 30).
Nachdem man aus den gegebenen Böschungen die Intervalle (§ 5) und damit
die Gefällemaßstäbe (§ 8) der Böschungsebenen ermittelt hat (vgl. die
kleine Fig. 30 a), genügt es, von den Ebenen einige Streichlinien
(zur Kontrolle mehr als nötig) zu zeichnen und ihre Schnittgeraden
mit den Geländeebenen und untereinander zu bestimmen (§ 12); letztere
müssen (§ 14) die Schichtlinienwinkel (hier rechte), also auch die
(hier ebenfalls rechten) Winkel der Begrenzung des Platzes halbieren.
Zu beachten ist besonders die Konstruktion des Böschungseckpunktes
_X_ talaufwärts, der als Schnittpunkt von _AA'_, _BB'_ und dem Talweg
beider Geländeebenen erhalten wird, wobei _A'_, _B'_ die Schnittpunkte
der Böschungsschichtlinie 4 mit den, hier über den Talweg hinaus zu
verlängernden Streichlinien 4 der Geländeebenen sind.
§ 27. =Weg gegebener Steigung.= Auf einem gegebenen ebenen Hange
von einem gegebenen Punkte aus einen geraden Weg gegebener Steigung
anzulegen, dessen Breite und Böschungen gegeben sind. Steigung 20% =
1 : 5, Böschung im Abtrag 3 : 1, in der Aufschüttung 2 : 3 (Fig. 31).
[Illustration: Fig. 31.]
[Illustration: Fig. 31 a.]
Man stelle sich aus der gegebenen Steigung des Weges zunächst das
Intervall seiner Mittellinie her (Fig. 31 a) und zeichne sie in das
gegebene Gelände ein mittels der Böschungskegel, wie in § 20 angegeben:
zweckmäßig trägt man immer von dem gegebenen Punkte _A_ aus das
Intervall, sein Doppeltes, Dreifaches usw. ab, und stellt zur Kontrolle
fest, ob die erhaltenen Punkte der Streichlinien auf einer Geraden
liegen. In diesen Punkten trägt man senkrecht zur Mittelgeraden die
gegebene Wegebreite auf, wodurch die Berandungen des Weges gefunden
und zugleich graduiert werden. Durch diese hat man die Böschungsebenen
zu legen, ebenfalls mittels der Böschungskegel, wie in § 20 gezeigt.
Die Radien der zu zeichnenden Schichtkreise der Böschungskegel sind
gleichfalls aus der Fig. 31 a zu entnehmen.
§ 28. =Streichen und Fallen einer Ebene.= An den Böschungsebenen eines
Eisenbahneinschnitts beobachtet man die Grenzlinie (Ausbißlinie, d. h.
Schnitt mit der Oberfläche) einer ebenen geologischen Schicht. Es ist
Streichen und Fallen (§ 10) der Schicht zu bestimmen.
[Illustration: Fig. 32.]
Man ermittelt die Schichtlinien der gesuchten ebenen Schicht durch
Verbindung der gleichkotierten Schnittpunkte der beiden beobachteten
Geraden und der Schichtlinien der Böschungen. Jene Schichtlinien müssen
parallel und von gleichem Abstand sein, wenn anders die beobachtete
Schicht nicht eben ist. Dadurch ist der Gefällemaßstab und damit nach
§ 10 das Streichen und Fallen bestimmt. Der Streichwinkel ist in der
Fig. 32 durch einen Bogen angedeutet.
§ 29. =Dachausmittelung.= Unter Dachausmittelung versteht man im
darstellend-geometrischen Sinne die Konstruktion von (im allgemeinen)
ebenen Dachflächen gegebener Böschung auf einem gegebenen geradlinigen
Gebäudegrundriß. Hierbei wird hauptsächlich von den Sätzen des § 14
über den Schnitt zweier Ebenen gleichen Gefälles Gebrauch gemacht.
Jedoch ist zu bemerken, daß sich nicht allgemeine Gesichtspunkte zur
Konstruktion von Dachflächen angeben lassen, und vor allem, daß die
im folgenden ausgeführten Konstruktionen nicht immer in der Praxis
der Architekten Verwendung finden; das liegt sowohl in mancherlei
Zweckmäßigkeitsgründen wie auch an ästhetischen Rücksichten. Hier
sollen nur einige einfache Dachausmittelungen als Anwendungen gegeben
werden.