anderen Weg ein, indem es für jede Einheit einer dekadischen Reihe
ein besonderes Zeichen schuf, dessen Wiederholung die Vielfachen
ausdrückte. Ein stehender Strich besaß den Wert unserer Zahl 1, zwei,
drei u. s. w. bis neun nebeneinander stehende Linien hatten die Werte
von 2, 3 u. s. w. bis 9. Für 10 bildete man ein eigenes Zeichen in
Hufeisengestalt, dessen Wiederholung in derselben Weise die vielfachen
von 10 bis 90 dem Auge sichtbar darstellte, ebenso für 100, 1000 u. s.
w. bis zu einer Million hin. In der Kursivschrift der Hieroglyphen oder
der sogenannten hieratischen Schrift suchte man die dem Schreibenden
Zeit raubenden Wiederholungen der einzelnen dekadischen Zahlzeichen
möglichst zu vermeiden und sie für das Auge durch ein einziges Zeichen
darzustellen. Ein liegender Strich -- z. B. vertrat die Stelle von
|||, oder 4, zwei übereinander liegende = die Stelle von 2×4 Strichen,
oder mit anderen Worten der Zahl 8 nach ihrer hieroglyphischen
Bezeichnungsweise.
War es erforderlich in irgend einer Inschrift von Brüchen zu reden,
so spielten auch darin dieselben Bezeichnungen der Zahlen ihre Rolle,
nur setzte man ihnen das Wörtchen ro voran, welches soviel als unser
„Teil“, oder besser -tel, am Schlusse eines Zahlwortes bezeichnete.
~Ro~ 3, ~ro~ 4, ~ro~ 20, ~ro~ 124 hieß soviel als ein Drittel, ein
Viertel, ein Zwanzigstel, ein 124stel. Für die Hälfte hatte man ein
eigenes Zeichen erfunden, ebenso für 2/3 und wenige andere Brüche. Im
übrigen kannte man nur Brüche mit dem Zähler 1, also 1/3, 1/4, 1/5 u.
s. w. Zum Ausdruck solcher Brüche, deren Zähler größer als 1 war, nahm
man einfach seine Zuflucht zur Zerlegung derselben in solche mit dem
Zähler 1, deren Summe den gewünschten Hauptbruch ergab. So wurde 3/4
einfach in die Brüche 1/2 und 1/4 zerlegt, die in der schriftlichen
Darstellung hintereinander fortliefen. War eine derartige Zerlegung
nicht immer durchführbar, so ließ man den letzten kleinsten Bruch ganz
aus dem Spiele und übersah lieber den dadurch entstandenen kleinen
Fehler.
Wie beschwerlich und zugleich zeitraubend die Bezeichnungen einer
Reihe größerer Zahlen, vielleicht dazu noch mit hinzugefügten Brüchen,
in einer hieroglyphischen Darstellung sein mußten, das beweisen uns
Hunderte und aber Hunderte von Beispielen auf den steinernen Wänden der
altägyptischen Tempel und Gräber. Nur auf den hieratisch geschriebenen
Papyrusrollen nimmt ihre Darstellung aus dem oben angeführten Grunde
bescheidenere Dimensionen an.
Und dennoch haben nicht nur die jüngeren, sondern bereits die
ältesten Ägypter es fertig gebracht, trotz ihrer unbeholfenen
Zahlenbezeichnungen nicht nur die verzwicktesten Rechenoperationen
durchzuführen, sondern in Gestalt gewählter Beispiele ihre
arithmetischen Lehrsätze der Mit- und Nachwelt zur Nachachtung in
methodischer Weise zu enthüllen. Den ersten Anstoß dazu gab die
vielfach geübte Praxis der Vermessung.
Schon die Griechen lebten der Überzeugung, daß in Ägypten die Wiege
der Feldmeßkunst gestanden habe und daß diese Kunst von dort zu den
Hellenen gekommen sei. Das gesteht als einer der ältesten Zeugen
Herodot (II. 109.) ausdrücklich zu. Als Grund dafür giebt der Vater
der Geschichte die Notwendigkeit einer alljährlichen Berichtigung der
an den König zu entrichtenden Steuerquote an, weil die eintretende
Überschwemmung von den vermessenen Äckern der Einwohner gelegentlich
ein Stück loszureißen pflege und den Ertrag derselben dadurch
verringere. Um diesen Unterschied in gerechter Weise festzustellen,
seien die königlichen Feldmesser mit der Nachmessung von Amts wegen
betraut worden. Aber auch sonst fehlt es nicht an Zeugnissen aus dem
klassischen Altertume, daß nicht bloß die Feldmeßkunst, sondern das
gesamte Rechenwesen auf altägyptische Ursprünge zurückzuführen sei.
Ich will an dieser Stelle und gleichsam in Parenthese eine Thatsache
anführen, welche die neueste Geschichte Ägyptens seit der englischen
Okkupation betrifft und mit der herodotischen Bemerkung in einem
gewissen Zusammenhange steht. Seit einigen Jahren beschäftigt
sich die britische Verwaltung im Nilthale mit der schwierigen und
zeitraubenden Aufgabe, eine Vermessung des gesamten urbaren Landes
durchzuführen, und zwar auf +Grund der Lehren der europäischen
Feldmeßkunst+, da nähere Prüfungen des Katasters der früheren
ägyptischen Verwaltung Ungenauigkeiten in den Angaben der vermessenen
Feldstücke herausgestellt haben. Die aus den europäischen Berechnungen
hervorgehenden Unterschiede waren bald größer, bald kleiner und
beeinflußten damit die Höhe der den Besitzern auferlegten Abgaben.
Aber dennoch war es nicht eine bloße Willkür, welche den ägyptischen
Vermessungen zu Grunde lag. Erst in diesem Jahre hat sich nämlich die
wunderliche Thatsache herausgestellt, daß die modernen ägyptischen
+Massahin+ oder Feldmesser, meistens Kopten, d. h. christliche
Nachkommen der alten Ägypter, sich eines Systems bedienten, das zwar
auf Grund seiner fehlerhaften Anlage unrichtig, seinem Ursprunge nach
uralt, mit andern Worten urägyptisch ist. In welcher sonderbaren
Weise die modernen Feldmesser, welche sich eines Rohrstabes oder
eines Palmenzweiges in der Länge einer sogenannten +Kassabeh+
(3,55 Meter) bei ihrer Arbeit zu bedienen pflegen, ihre Operationen
ausführten, mögen die folgenden Beispiele beweisen.
Um den Flächeninhalt eines beliebigen Dreiecks festzustellen, ohne
Rücksicht auf dessen Gestalt in Bezug auf die Winkel, multiplizieren
sie nach alter Gewohnheit die halbe Länge der kleinsten Seite mit der
halben Summe der Längen der beiden übrigen Seiten. Der Irrtum bei
dieser Art der Berechnung erreicht nicht selten das Vierfache des
geometrisch bestimmten wirklichen Wertes, so daß der Steuerzahler
sich im höchsten Maße benachteiligt sehen mußte. Bei einem
vierseitigen Feldstücke, wiederum ohne Rücksicht auf seine besondere
Gestaltung, multiplizieren sie die Hälfte der Längensummen je beider
gegenüberliegender Seiten miteinander. Eine solche Methode ergiebt nur
bei einem Viereck oder Rechteck das geometrisch richtige Resultat,
führt aber bei allen übrigen vierseitigen Feldstücken, z. B. in
Trapezform, zu den gröbsten Irrtümern.
Selbst die späteren Niederlassungen der Hellenen in Ägypten und
die Bekanntschaft mit den Fortschritten der angewandten Mathematik
änderten nichts an den herkömmlichen Gewohnheiten der ägyptischen
+Harpedonapten+ oder Feldmesser, Gewohnheiten, die sich bis
zur Stunde unter den modernen Ägyptern fortgepflanzt haben. So
befinden sich beispielsweise lange hieroglyphische Inschriften auf
den Mauerwänden des Tempels von Edfu, deren Inhalt die Größe des
heiligen Tempelgutes nach Zahl und Maß der Äcker auf Grund der Angaben
der Feldmesser betrifft. Die nun 2000 Jahre alte Methode kehrt auch
darin wieder. So wird darin ein quadratisches Feldstück von 2 Ruten
die Seite mit Hilfe der Formel (2 + 2)/2 × (2 + 2)/2 richtig auf 4 □
Ruten berechnet und ebenso ein rechteckiges, dessen gegenüberliegende
Seiten die Längen von 2 und 20 Ruten betrugen, durch die Formel (2 +
2)/2 × (20 + 20)/2 = 40 □ Ruten bestimmt, aber für ein trapezförmiges
Feldstück mit den gegenüberliegenden Seitenlängen 21 zu 20 und 4 zu 4
Ruten findet sich irrtümlich dieselbe Formel angewendet: (21 + 20)/2 ×
(4 + 4)/2 = 82 □ Ruten, während die geometrische Berechnung dafür die
Zahl 81,18 □ Ruten ergiebt.
Dieselbe Formel, welche der Berechnung des Flächeninhaltes eines
vierseitigen Feldes ohne Rücksicht auf seine besondere Gestalt im
höchsten Altertum zu Grunde lag, findet sich in den Hunderten von
Beispielen der Edfuer Inschriften auch auf jedes Dreieck irgend welcher
Gestalt angewendet, nur mit dem Unterschiede, daß die der kleinsten
Seite gegenüber liegende Spitze des Dreiecks, gleichsam die vierte, zu
einem mathematischen Punkte zusammengeschrumpfte Linie, durch das Wort
„nichts“ ersetzt wurde. Wir würden dafür 0 sagen. Zur Berechnung eines
gleichseitigen Dreiecks von je einer Rute Längenausdehnung der Seite
findet sich daher der gewöhnliche Ansatz: (1 + 0)/2 × (1 + 1)/2 = 1/2 □
Rute, für ein gleichschenkliges Dreieck mit der Grundlinie einer Rute
und der Schenkellänge von 2 Ruten tritt der gleiche Ansatz ein, nämlich
(1 + 0)/2 × (2 + 2)/2 = 1 □ Rute. Thatsächlich beträgt aber der Inhalt
des ersteren 0,433 gegen 0,5 □ Ruten, und der des letzteren 0,968
gegen 1 □ Rute. Die Fehler, welche aus dieser Methode entspringen,
die noch in den Jahrhunderten unmittelbar vor dem Anfange unserer
Zeitrechnung ihre Verwendung fand, sind genau dieselben, welche sich
aus den gleichen Ansätzen der modernen Feldmesser in Ägypten ergeben
und welche mit allem Rechte die englische Verwaltung durch geometrische
Nachmessung zu beseitigen bemüht ist, um einen genauen Kataster des
urbaren Landes im Nilthale ein für allemal festzustellen und eine
gerechte Verteilung der Besteuerung bebauter Felder herbeizuführen.
Eine derartige Berechnung für alle Fälle verstößt gegen die
bekanntesten und einfachsten Regeln der Geometrie, wie sie heutzutage
unseren Kindern in der Schule gelehrt werden und rechtfertigt die
britische Rektifizierung, aber sie findet ihr ältestes Vorbild in
einem altägyptischen Papyrus, dessen Abfassung in die Zeiten zwischen
den Jahren 1800 und 2000 v. Chr. fällt. Beinahe 4000 Jahre hindurch
hatte sich danach die einseitige Lehre bis zu den modernen ägyptischen
Feldmessern fortgepflanzt, um schließlich von den Engländern über den
Haufen geworfen zu werden!
Der altägyptische Papyrus, auf welchen ich soeben angespielt habe,
befindet sich im Britischen Museum zu London, ist in hieratischen
Schriftzügen abgefaßt, mit mathematischen Figuren versehen und deshalb
in die Wissenschaft unter dem Namen des mathematischen Papyrus
von London eingeführt. Aus seinem reichen Inhalt, der durch die
Behandlung eines deutschen Gelehrten (Prof. Eisenlohr in Heidelberg)
bekannter geworden ist, hebe ich nur hervor, daß die Berechnung des
Flächeninhaltes von Feldstücken und des kubischen Inhaltes meist zur
Aufnahme von Getreide bestimmter hohler Räume bis zu den kleinsten
Maßen hin den Hauptgegenstand der an Beispielen erläuterten Lehrsätze
bildet. Wie nahe man aber in einzelnen Fällen der geometrischen
Wahrheit war, dafür spricht vor allem die bereits vor fast 4000
Jahren aufgestellte Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines
kreisförmigen Feldstückes. Aus den im Papyrus vorgelegten Beispielen
erhellt, daß man von dem Durchmesser des Kreises ein Neuntel abzog und
den übrig bleibenden Rest mit sich selbst multiplizierte. Ich führe in
wörtlicher Übersetzung ein Beispiel an, dem ein Kreis beigefügt ist mit
den Schriftzeichen für „9 Ruten“ (oder Kassabeh) in seinem Innern. Der
dazu gehörige Text lautet wie folgt: „Berechnung eines kreisförmigen
Feldes von 9 Ruten (Durchmesser). Es wird die Frage nach seinem
Flächeninhalt gestellt. Ziehe bei dir sein Neuntel ab, das ist 1. Als
Rest bleibt 8. Multipliziere 8 mal 8. Das Facit ist 64 □ Ruten. Das ist
sein Flächeninhalt.“
Man muß billig erstaunt sein, daß dies Resultat sich nur unmerklich
von der wirklich richtigen Zahl (64,0224 □ Ruten) auf Grund unserer
modernen Methode unterscheidet, in welcher die Zahl π eine so
bedeutungsvolle Rolle für die Kreisberechnung spielt.
Die Beispiele, so viel deren in dem uralten Papyrus ziffernmäßig
entwickelt werden, beziehen sich mit äußerst geringen Ausnahmen auf
die praktische Thätigkeit des Ackerbauers in Bezug auf die Vermessung
seiner Felder und die räumliche Bestimmung der für die Aufnahme der
verschiedenen Getreidesorten errichteten Speicher oder sonstiger
Baulichkeiten mit Hilfe der bestehenden großen Getreidemaße und ihrer
Unterabteilungen. Das waren unentbehrliche Geschäfte gerade wie dies
bis zur heutigen Stunde in ganz Ägypten und in der übrigen Welt der
Fall ist. Daß man schon sehr frühzeitig daran dachte, die Hauptregeln
der Vermessungskunst für den alltäglichen Gebrauch des Landmannes
niederzuschreiben, dafür tritt der Londoner Papyrus als redender Zeuge
ein.
Soweit wir gegenwärtig in der Lage sind, die Textworte zu verstehen
und die Berechnungen von Zahl und Maß bis in ihre Einzelheiten zu
verfolgen, stellt sich als allgemeines und zweifelloses Ergebnis die
Thatsache heraus, daß die in dem Papyrus niedergelegten Regeln und
Methoden mit ihren als Erläuterung dienenden zahlreichen Beispielen
auf einer verständigen Grundlage beruhen und durchaus nicht an ein
Zeitalter der menschlichen Kindheit erinnern. Es ist im Gegenteil
erstaunlich, wie man ohne die Kenntnis des Stellenwertes der
Zahlenreihen die verwickeltsten Rechnungen durchzuführen vermochte und
selbst bei Bruchberechnungen nur in äußerst seltenen Fällen, wie man zu
sagen pflegt, selber in die Brüche geriet.
Nur +ein+ Umstand bleibt dabei auffällig, daß man nämlich nicht
nur die einfachsten Brüche mit dem Zähler Eins, die man in der
kürzesten Weise zu bezeichnen imstande war, in den häufigsten Fällen
in kleinere Brüche mit demselben Zähler Eins zerlegte, sondern die
Nenner in ein gewisses abhängiges Zahlenverhältnis zu einander stellte.
So finden sich beispielsweise in einer mir vorliegenden Rechnung, von
welcher weiter unten ausführlicher noch die Rede sein wird, die Brüche
1/10 und 1/5 durch die nebeneinanderstehenden Bruchzahlen 1/16, 1/32,
2/320 und 1/8, 1/16, 4/320 gleichsam umschrieben wieder. Durch eine
leicht ausführbare Nachrechnung überzeugt man sich sofort von der
Richtigkeit beider Ansätze.
Es diene zum Verständnis dieser auffallenden Erscheinung die
Bemerkung, daß die Bezeichnung jener Teilbrüche nicht mit Hilfe der
gewöhnlichen Zahlzeichen, sondern durch Schriftcharaktere vor sich
geht, von denen jedes einzelne ein besonderes Wort zum Ausdruck eines
bestimmten Hohlmaßes darstellt. Es ist etwa so als wollte man mit
Bezug auf unser älteres Getreidemaß-System die Brüche 1/2, 1/24 und
1/384 (Wispel) mit den Worten: Malter, Scheffel und Metze wiedergeben.
Es ist sofort ersichtlich, daß diese Wörter der Reihe nach bestimmte
Bruchteile des Wispels andeuten, ohne daß dies zunächst aus ihrem Namen
selber hervorgeht. Für denjenigen, welcher mit den Getreidemaßen und
ihren Verhältnissen zu einander vertraut ist, sind ihre ziffernmäßige
Wertgrößen von vornherein verständlich.
Ich fühle mich bei dieser Gelegenheit veranlaßt, auf eine wenig
bekannte, sehr eigentümliche Rechnungsmethode überzugehen, welche
noch heutzutage von den koptischen Schreibern der Regierung, aber
auch sonst im gewöhnlichen Lebensverkehr ausgeübt wird, sobald es
sich um Rechnungen mit Brüchen handelt. Diese Methode, welche mit der
altägyptischen die größte Verwandtschaft besitzt, führt im Munde der
Eingeborenen den Namen der +indischen Rechnung+, obgleich ich
keinen Grund für ihren Ursprung anzugeben vermag.
Einleitend mache ich darauf aufmerksam, daß man bei Unterhaltungen
mit den modernen Ägyptern sehr häufig die Redensart vernimmt: das ist
wie die Elle, oder das paßt wie die 24, um die Genauigkeit irgend
einer Angabe im Besonderen zu bestätigen. Man muß dazu wissen, daß
nicht nur bei den gegenwärtigen Bewohnern im Nilthale, sondern schon
bei den alten und ältesten Ägyptern die Elle eine ganz besondere
Heiligkeit besaß, und daß man sie damals wie noch heute in 24 gleiche
Teile teilte, welche im Altertume „Finger“ hießen und jetzt den Namen
+Kirat+ tragen. Nicht nur die Einheit der Elle, sondern jede
Einheit überhaupt wird von den heutigen Ägypter als aus 24 gleichen
Teilen bestehend betrachtet, so daß ihre Hälfte durch 12, ihr Viertel
durch 6, ihr Sechstel durch 4, ihr Achtel durch 3 u. s. w. bezeichnet
zu werden pflegt. Handelt es sich in den modernen Berechnungen der
koptischen Schreiber z. B. um die Summierung der Brüche 1/2, 1/8, 1/12,
so addiert man die Teilstücke der Elle: 12 + 3 + 2 = 17 zusammen, und
zieht daraus die rechnungsmäßigen Schlüsse. Da ja der Bruch für sich
allein wieder als eine neue Einheit betrachtet wird, so entsteht daraus
ein weit verzweigtes Rechnungssystem, welches bis zu den kleinsten
Brüchen fortgeführt wird.
Ganz ähnliche Anschauungen herrschten bereits im höchsten Altertum
vor, wenigstens in Bezug auf die überlieferten zahlreichen Beispiele,
in welchen es sich bis zu den Brüchen hin um die Berechnungen von
Hohlmaßen für Getreide, Flüssigkeiten u. s. w. handelte. Jede einzelne
Maßeinheit wurde in 320 gleiche Teile geteilt, wobei die ganzen Zahlen
320, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 4, 3, 2, 1 unserer 1 und den Brüchen 1/2,
1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 4/320, 3/320, 2/320, 1/320 entsprechen. Die
Beispiele, welche ich oben angeführt hatte, nämlich die Zerlegungen
der Brüche 1/10 und 1/5 in ihre besonderen Teilstücke, liefern dafür
sprechende Zeugnisse.
1/16 + 1/32 + 2/320 an Stelle des einfachen Bruches 1/10, besagen
nichts weiter, als daß es sich um die Summierung von 20 + 10 + 2 = 32
Teilstücken der 320 der Grundeinheit, d. h. um 1/10 derselben, handeln
soll.
Der Papyrus von London führt zahlreiche Beispiele dieser
Rechnungsmethoden an, die, wie angegeben ist, etwa in die Zeit
zwischen 1800 und 2000 v. Chr. fallen. Das ist ein hohes Alter, wie
es nur von wenigen Handschriften in der Welt übertroffen wird, aber
trotzdem bietet die merkwürdige Urkunde nicht das älteste Beispiel
der besprochenen Rechnungsmethode dar. Erst vor kurzem hat mich ein
glücklicher Zufall ein Schriftstück kennen gelehrt, das ich mit vollem
Rechte als die +älteste Rechentafel der Welt+ überhaupt bezeichnen
darf, wie es der Leser des weiteren sehen wird.
Es war im April des laufenden Jahres 1891 als während meines
Aufenthaltes im Museum von Gizeh mein Blick zufällig auf zwei
beschriebene Holztafeln fiel, die sich in einer der obersten
Abteilungen eines Kastens mit ägyptischen Antiken halb versteckt
vorfanden. Auf meine Bitte wurden sie aus ihrem Verließe geholt und
mir die Gelegenheit geboten, sie in aller Ruhe unter dem Lichte
der klaren ägyptischen Sonne zu prüfen. Jede der beiden Tafeln
hat eine Länge von etwa einem Fuße, die Höhe eines halben Fußes,
und auf beiden befindet sich an der oberen Längsseite eine kleine
Öffnung, als ob man ehemals eine Schnur dadurch gezogen habe, um
sie mit Bequemlichkeit, etwa wie ein Schüler seine Rechentafel, zu
tragen oder an einen Nagel aufzuhängen. Beide Tafeln sind mit einem
Gipsstuck überzogen gewesen, der vollständig geglättet erscheint
und heutzutage eine schmutzige, wachsgelbe Färbung angenommen hat.
Sie waren auf beiden Seiten beschrieben, wobei es sich mir bald
herausstellte, daß die dick aufgetragenen Züge fast nur Ziffern
in kolonnenartig angeordneten Berechnungen enthielten. Ein großer
Teil der Schrift erscheint verwischt, allein dieser Übelstand ist
nicht beklagenswert, da derselbe Gegenstand meist drei- bis viermal
wiederholt entgegentritt, so daß eine gegenseitige Prüfung die
vollständige Herstellung der Grundrechnung gestattet. An dem Rande
beider Tafeln befinden sich lange Namensverzeichnisse von Personen,
die, wie die Zahlzeichen, in altertümlicher Schrift ausgeführt sind
und deren Ursprung nur der elften oder zwölften Dynastie, d. h. etwa
der Mitte des 3. Jahrtausends, angehören kann. Das geht nicht bloß
aus dem Schriftcharakter selber, sondern noch vielmehr aus einzelnen
Namensformen hervor, welche mit denen bekannter Könige jener Epoche
identisch sind. Ich nenne an dieser Stelle die drei auffallendsten,
nämlich Entef, Amenemhet und Ufurtisen. Es kann somit über das
angegebene Alter jener merkwürdigen Tafeln kein Zweifel obwalten und
wir sind dadurch in die Lage gebracht, den Ursprung der Rechnungen
selber in jene uralte Zeit zu versetzen.
Der Fundort der beiden erwähnten Rechentafeln war ein Grab gewesen,
und es läßt sich nach sonstigen Vorgängen und Beispielen mit
zweifellosester Gewißheit annehmen, daß sie als Erinnerungen an einen
teuren Toten, der Mumie desselben beigegeben waren, um vielleicht an
seine letzte Thätigkeit im Rechenfache auf Erden zu erinnern. Es war
offenbar ein Schüler, der das Zeitliche gesegnet hatte, ohne seine
Studien auf dem bezeichneten Gebiete vollendet haben zu können. Die
kleinen Fehler und Irrtümer nämlich, welche in den einzelnen Kolonnen
mit unterlaufen, die Wiederholungen der Abschrift derselben Rechnung
und sonstige Indizien weisen darauf hin, daß der ehemals Lebende sich
mitten in der Schulung befand, als er plötzlich seinem Leben Valet
sagen mußte.
Ein näheres Studium der Kolonnen, die ziemlich regellos und wild
neben- und untereinander fortlaufen und die beiden Seiten jeder Tafel
bedecken, läßt mit aller Bestimmtheit feststellen, daß es sich in
sämtlichen Rechnungen um die Proportion gewisser Zahlenreihen zu
einander handelte. Als Anfangsproportionen erscheinen die folgenden
fünf: 1 : 1/3, 1 : 7, 1 : 10, 1 : 11, 1 : 13. Obgleich die Zahlen
ohne besondere Rechnungszeichen neben- und untereinander erscheinen,
so lehrt schon der erste Blick, daß Zahlenverhältnisse vorliegen,
die in fortlaufender Stufenfolge von den einfachen Zahlen bis zu den
zusammengesetzten Brüchen hin entwickelt werden.
Ich führe als erstes, weil durchsichtigstes und einfachstes Beispiel
die Verhältnisse von 1 : 10 an, die ich in nachstehender Übertragung
nach dem Ziffernbilde der Tafeln wiedergebe.
Vervollständigt ist dies Bild durch mich selbst nur durch das moderne
Zeichen der Proportion, um auch für das Auge die einzelnen Verhältnisse
deutlicher hervortreten zu lassen:
1 : 10
10 : 100
20 : 200
2 : 20
1 : (20 + 10 + 2)/320 (= 1/10)
2 : (40 + 20 + 4)/320 (= 1/5)
4 : (80 + 40 + 5 + 3)/320 (= 2/5)
8 : (160 + 80 + 10 + 5 + 1/1)/320 (= 4/5)
Man überzeugt sich, auf welchem rationellen, wenn auch zeitraubenden
Umwege mit Hilfe der Teilzahl 320, in ihrer fortschreitenden
Entwickelung von Stufe zu Stufe, man es erreichte, die Bruchwerte
vollkommen zu beherrschen und ihre Multiplikation in leichtester Weise
durchzuführen. Noch viel beredter spricht ein anderer Ansatz dafür,
in welchem die Verhältnisse nach der Proportion 1 : 1/3 beginnen, und
deren fortschreitendes Schema nach dem mir vorliegenden Texte die
folgende Übertragung zeigt:
1 : 1/3
2 : 2/3
4 : 1-1/3
5 : 1-2/3
10 : 3-1/3
20 : 5 + 1-2/3 (= 6-2/3)
40 : 10 + 3-1/3 (= 13-1/3)
80 : 20 + 5 + 1-2/3 (= 26-2/3)
160 : 40 + 10 + 2 + 1-1/3 (= 53-1/3)
320 : 80 + 20 + 5 + 1-2/3 (= 106-2/3)
Das System der 320 begegnete nicht selten Schwierigkeiten, um
Brüche auszudrücken, deren Nenner aus einer wenig oder gar nicht
teilbaren Zahl bestand. In einem solchen Falle versuchte man mit
Annäherungswerten auszukommen, etwa nach Art unserer abgekürzten
Decimalbrüche. Ein lehrreiches Beispiel gewährt die dreimal auf den
beiden Tafeln wiederholte Reihe der Proportionen nach dem Grundschema
1 : 11, welche ich in nachstehender Umschrift wiedergebe.
1 : 11
10 : 110
20 : 220
2 : 22
4 : 44
8 : 88
11 : 121
1 : (20 + 5 + 4)/320 (= 29/320) 1/11
2 : (40 + 10 + 5 + 3)/320 (= 58/320) 1/6 + 1/66 (= 2/11)
4 : (80 + 20 + 10 + 5 + 1)/320 (= 116/320) 1/3 + 1/33 (= 4/11)
8 : (160 + 40 + 20 + 10 + 2)/320 (= 232/320) 2/3 1/22 1/66 (= 8/11)
In den letzten vier Zeilen sollten rechnungsmäßig der Bruch 1/11 und
seine vielfachen 2/11, 4/11, 8/11, das Ergebnis bilden. Thatsächlich
führte aber das System auf den Hauptbruch 29/320 an Stelle des
erwarteten 29/319 = 1/11. Man ließ ihn unbeschadet des Fehlers stehen,
wies jedoch durch ein dahingestelltes 1/11 auf die Erkenntnis des
Fehlers hin, ebenso auch in den folgenden drei Zeilen, worin außerdem
die Brüche 2/11, 4/11, 8/11 nach der üblichen Methode in solche mit dem
Zähler 1 zerlegt sind.
Ähnlich verhält es sich mit der Proportionsreihe, an deren Spitze sich
als Schema 7 : 1 befindet und die ich in genauer Umschrift wiedergebe:
7 : 1
1/4 : 1/28
1/2 : 1/14
1 : (40 + 5-1/2)/320 (= 91/640)
2 : (80 + 10 + 1)/320 (= 91/320)
4 : (160 + 20 + 2)/320 (= 182/320)