GÉOMÉTRIE.
_EXTRAIT DU_ RAPPORT LU PAR M. GASTON DARBOUX, EN DÉCERNANT A M. PAUL
APPELL, AU NOM DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES, LE PRIX BORDIN POUR SON
«MÉMOIRE SUR LES DÉBLAIS ET LES REMBLAIS», LE 21 DÉCEMBRE 1885.
Dans la question proposée en 1884, comme sujet du prix BORDIN
(Géométrie), l'Académie demandait aux concurrents, _soit l'étude
générale du problème des déblais et des remblais, soit la solution dans
un cas simple choisi par l'auteur du Mémoire_.
L'étude de ce beau problème remonte à MONGE qui, dans un Mémoire publié
en 1781, où se trouvent développées d'une manière incidente la théorie
des lignes de courbure et les propriétés des systèmes de rayons
rectilignes, s'était posé la question générale suivante:
_Deux volumes équivalents étant donnés, les décomposer en parcelles
infiniment petites et deux à deux équivalentes, se correspondant suivant
une loi telle que, si l'on multiplie le chemin parcouru par chaque
parcelle, transportée sur celle qui lui correspond, par le volume de
cette parcelle, la somme des produits ainsi obtenus soit un minimum._
Dans le cas où les volumes peuvent être assimilés à des aires planes
situées dans le même plan, MONGE résout complètement le problème en
remarquant que les routes de transport, lorsqu'elles forment un système
continu, doivent détacher dans le déblai et dans le remblai des aires
égales. Dans le cas où les routes ne peuvent former un système continu,
il présente quelques remarques, complétées depuis par DUPIN dans un
Mémoire sur le même sujet, qui fait partie des _Applications d'Analyse,
de Géométrie et de Méchanique_. Enfin MONGE, abordant le cas le plus
difficile, celui où le déblai et le remblai sont des volumes,
nécessairement équivalents, fait connaître la proposition suivante, qui
est la pierre angulaire de cette théorie:
_Les routes de transport doivent servir chacune à une infinité de
parcelles, et elles sont nécessairement normales à une famille de
surfaces parallèles._
Mais il faut avouer que les raisonnements par lesquels MONGE est conduit
à ce beau théorème n'entraînent, en aucune manière, l'adhésion; ce point
essentiel, malgré l'étude nouvelle qui en a été faite par DUPIN,
attendait encore une démonstration solide et appelait de nouvelles
recherches.
La Commission espérait donc rencontrer, dans quelques-uns des Mémoires
soumis à son examen, la preuve complète et l'étude générale du théorème
de MONGE; elle désirait aussi, sans trop oser l'espérer à cause de la
difficulté de la question, obtenir l'intégration complète, dans un cas
suffisamment étendu, de l'équation aux dérivées partielles du second
ordre, déjà formée par MONGE, qui sert à déterminer la surface normale à
toutes les routes.
Le Mémoire inscrit sous le nº 5 répond d'une manière complète aux
espérances aussi bien qu'aux voeux de la Commission. C'est un travail de
haute valeur où sont employées, alternativement et avec le plus grand
succès, les ressources de la Géométrie et les méthodes de l'Analyse
moderne; il réalise un progrès considérable dans l'étude de la question
mise au concours. Au début de son Mémoire, l'auteur s'élève de la
considération d'un système de points isolés à celle des masses
continues. Il énonce, sous le nom de _principe de translation_,
_principe de symétrie_, etc., un certain nombre de propositions
élégantes et simples, dont l'application rendra certainement de grands
services dans la pratique. Nous signalerons plus particulièrement deux
propositions faisant connaître deux systèmes différents de routes, d'une
définition très générale et réalisant, l'un et l'autre, le _minimum
absolu_ du prix de transport.
Dans la deuxième Partie de son travail, l'auteur du Mémoire nº 5, après
avoir démontré que les routes forment un système continu ou se
décomposent en plusieurs systèmes continus, applique la méthode des
variations au problème de MONGE, et il établit le théorème fondamental,
sans même supposer que la densité soit constante à l'intérieur du déblai
ou du remblai. Enfin il examine le cas où les routes se partagent en
plusieurs systèmes continus et il indique les moyens de déterminer les
surfaces séparatrices, c'est-à-dire les surfaces auxquelles viennent
aboutir les routes appartenant à deux systèmes différents et continus.
Dans le cas des aires planes, nous l'avons déjà rappelé, le problème de
MONGE peut recevoir une solution complète où ne figurent que des
quadratures. On devait se demander si, dans l'espace, l'équation aux
dérivées partielles donnée par MONGE n'est pas, elle aussi, intégrable
dans tous les cas et d'une manière générale. Les résultats obtenus par
l'auteur du Mémoire donnent une réponse complète à cette question
difficile. Dans le cas où, par exemple, les volumes se réduisent à des
aires planes situées dans des plans parallèles, l'intégration de
l'équation de MONGE est ramenée à celle des surfaces minima si les
aires ont même densité, et à celle des surfaces à courbure constante si
les densités sont différentes.
Ces exemples sont précieux, parce qu'ils prouvent qu'on doit renoncer à
intégrer dans tous les cas l'équation du second ordre de MONGE; mais
aussi parce qu'ils ont permis à l'auteur de signaler avec netteté les
difficultés nouvelles et sérieuses qu'on rencontrera, même après avoir
intégré cette équation.
Ces difficultés sont de la nature de celles qui se présentent dans la
théorie des surfaces minima. Si l'on considère toutes les surfaces
formant une nappe continue passant par une courbe fermée, le calcul des
variations apprend que la surface d'aire minimum aura, en chaque point,
ses rayons de courbure égaux et de signes contraires. L'équation aux
dérivés partielles de cette surface une fois intégrée, la condition à
laquelle elle est assujettie de passer par la courbe ne permet pas de
déterminer complètement les deux fonctions arbitraires dont elle dépend.
Il existe une infinité de surfaces minima contenant la courbe; mais ces
surfaces ne satisfont pas toutes, on le sait, à la condition, supposée
cependant par le calcul des variations, de former une nappe continue
reliant les uns aux autres tous les points de la courbe. On ne peut
déterminer les deux fonctions arbitraires qu'en employant des
considérations tout à fait indépendantes de la méthode des variations,
puisque la condition à laquelle il s'agit de satisfaire est supposée
remplie au moment même où commence l'application de cette méthode. Le
problème auquel on est ainsi conduit arrête aujourd'hui encore les
efforts des géomètres et n'a pu être résolu que dans quelques cas
particuliers.
La solution du problème de MONGE présente des difficultés analogues et
peut-être plus grandes. Les fonctions arbitraires d'une variable, qui
entrent dans les équations du système des routes, doivent être
déterminées par la condition que les routes forment un système continu,
permettant de transporter dans l'ensemble du remblai la totalité des
parcelles qui composent le déblai. La condition, évidente _a priori_,
que les routes limites soient tangentes à la fois à la surface du déblai
et à celle du remblai ne fait connaître qu'une de ces deux fonctions et
il n'existe, comme dans la théorie des surfaces minima, aucune règle
fixe et précise conduisant à la solution complète de la question
proposée. Des exemples bien choisis jettent beaucoup de lumière sur
cette discussion délicate.
Les indications rapides qui précèdent suffiront à montrer toute
l'importance des résultats obtenus par l'auteur du Mémoire nº 5....
La Commission propose de partager le prix Bordin entre les Mémoires
nº 5 et nº 1 en attribuant _deux mille francs_ à l'auteur du Mémoire
nº 5....
Les conclusions de ce Rapport sont adoptées.
L'auteur du Mémoire inscrit sous le nº 5 est M. P. APPELL.
C R, t. 101, 21 déc. 1885, p. 1312-1316.
MÉMOIRES. NOTES.
=Géométrie infinitésimale.=
=1.= _Sur les propriétés des cubiques gauches et le mouvement hélicoïdal
d'un corps solide._
Thèse pour le grade de Docteur ès Sciences mathématiques, soutenue
devant la Faculté des Sciences de Paris le 20 juin 1876.
M. P. APPELL établit les _propriétés des pôles et des plans
polaires par rapport à une cubique gauche_. Et il étudie les deux
problèmes suivants: 1º _Étant donné un mouvement hélicoïdal,
déterminer les cubiques gauches correspondantes_; 2º _Étant donnée
une cubique définie par certaines équations, déterminer le
mouvement hélicoïdal correspondant._
A S E N, 2e s., t. 5, juil., août 1876, p. 245-274.
Paris, G.-V., 1876, in-4, IV-35 p.
Analyse: B S M, 2e s., t. 1, 1re p., août 1877, p. 257-259.
Analyse par STURM: J F M, Bd. 8, J. 1876, S. 510-512.
=2.= _Sur une propriété caractéristique des hélices._
A M P G, 64. Teil, 30 janv. 1879, S. 19-23.
=3.= _Mémoire sur les Déblais et les Remblais des systèmes continus ou
discontinus._
Ce Mémoire, présenté par M. P. APPELL à l'Académie des Sciences
pour le Concours du Prix BORDIN (Géométrie) pour 1884, a été
couronné.
M S A S, t. 29, nº 3, 1887, p. 1-208.
Rapport de M. G. DARBOUX: C R, t. 101, 21 déc. 1885, p. 1312-1316.
Analyse par E. LAMPE: J F M, Bd. 20, J. 1888, S. 375-377.
=4.= _Surfaces telles que l'origine se projette sur chaque normale au
milieu des centres de courbure principaux._
A J M, v. 10, 1888, p. 175-186.
Analyse par AUGUST: J F M, Bd. 19, J. 1887, S. 825-829.
=Géométrie analytique.=
=1.= _Note sur les cubiques gauches._
C R, t. 82, 3 janv. 1876, p. 70-72.
=2. 3.= _Sur une classe particulière de courbes gauches unicursales du
quatrième ordre._
C R, t. 83, 18 déc. 1876, p. 1209-1211.
A M P G, 62. Teil, 1878, S. 175-182.
=4.= _Théorème général sur les courbes unicursales._
A M P G, 60. Teil, 1877, S. 125-127.
=5.= _Théorème concernant les courbes dont les tangentes font partie
d'un complexe de droites du premier ordre._
A M P G, 60. Teil, 1877, S. 274-275.
=6.= _Sur l'homographie d'ordre supérieur._
B S P, 7e s., t. 4, 1879-1880, 25 oct. 1879, p. 18-20.
=7.= _Sur une représentation des points imaginaires en Géométrie plane._
A M P G, 61. Teil, 16 août 1877, S. 359-360.
=8.= _Sur les familles de courbes orthogonales uniquement composées de
coniques._
A M P G, 63. Teil, 1879, 4 août 1878, S. 50-55.
Analyse par AUGUST: J F M, Bd. 11, J. 1879, S. 501-503.
=9.= _Sur les points d'intersection d'une conique fixe par une conique
mobile passant par deux points fixes._
N A M, 3e s., t. 8, janv. 1889, p. 48-56.
=10.= _Sur les courbes dont les tangentes appartiennent à un complexe
linéaire._
N A M, 3e s., t. 11, mars 1892, p. 115-119.
=11.= _Sur les courbes autopolaires par rapport à une conique donnée._
B S M F, t. 22, 7 fév. 1894, p. 27.
=12.= _Courbes autopolaires._
N A M, 3e s., t. 13, mai 1894, p. 206-210.
=13.= _Sur le degré de réalité d'une courbe algébrique à coefficients
réels._
A M P G, d. R., 4. Bd., 1903, 19 juin 1902, S. 20-21.
=14.= _Sur les lignes asymptotiques de la surface représentée par
l'équation_ XYZ = T³.
A M P G, 61. Teil, 21 mars 1877, S. 144-145.
=15.= _Sur les conditions qui expriment qu'un système de trois axes est
trirectangle._
N A M, 3e s., t. 13, fév. 1894, p. 41-43.
=16.= _Exercices sur les courbes de direction._
LAGUERRE a appelé _courbes de direction_ les courbes algébriques
_f_(_x, y_) = 0,
telles que les cosinus directeurs de la tangente en un point
puissent être exprimés _rationnellement_ en fonction de _x_ et de
_y_.
N A M, 3e s., t. 15, nov. 1896, p. 491-495.
=17.= _Exercice sur la détermination du point double d'une cubique plane
unicursale._
R M S, t. 4, 8e a., juin 1898, p. 505-506.
=18.= _Exercices sur la détermination des points doubles d'une quartique
plane unicursale._
R M S, t. 4, 8e a., sept. 1898, p. 585-589.
=19.= _Sur le cylindroïde._
R M S, t. 3, 5e a., juin 1895, p. 129-130.
=20.= _Propriété caractéristique du cylindroïde._
Il existe un conoïde droit, signalé par PLÜCKER et par CAYLEY,
nommé _cylindroïde_, jouissant de la propriété que le lieu des
projections d'un point fixe quelconque sur ses génératrices est une
courbe plane. M. P. APPELL démontre que, réciproquement, toute
surface réglée non cylindrique possédant cette propriété est un
cylindroïde.
B S M F, t. 28, 20 juin 1900, p. 261-265.
=21= à =32=. _Principales Notes dans l'Ouvrage intitulé_ «_Leçons de
Géométrie analytique par_ C. BRIOT _et_ J.-C. BOUQUET».
Pages.
=142.= _Sur les fonctions des coefficients de l'équation d'une
conique et de l'angle des axes qui ne changent pas quand on
fait une transformation de coordonnées._ 159-163
=143.= _Application au calcul des axes d'une conique à centre,
du paramètre d'une parabole._ 163-166
=306.= _Coordonnées tangentielles._ 319-321
=330.= _Coordonnées homogènes, points à l'infini._ 344-351
=331.= _Coordonnées trilinéaires._ 351-360
=332. 333.= _Intersection de deux coniques. Discussion de
l'équation en_ [lambda] _par la méthode de_ M. DARBOUX. 364-383
_Signification géométrique de certaines relations simples
entre les racines de l'équation en_ [lambda]. 374-382
=369= _bis_. _Remarques sur la construction des courbes.
Régions._ 444-451
_Notions sur les courbes unicursales._ 492-501
=598.= _Courbes gauches du troisième ordre et du quatrième
ordre._ 712-719
=599.= _Notions sur les complexes de droites._ 723-730
NOTA.--De nombreux exercices ont été ajoutés dans le texte,
notamment à propos des coordonnées tangentielles, des coordonnées
homogènes, de l'équation en [lambda], des courbes unicursales et des
complexes.
Paris, C. D., 19e éd., 1907, gr. in-8.
ARTICLE.
=1.= _Le Problème des Déblais et des Remblais._
R O, t. 1, 28 fév. 1890, p. 97-99.