ANALYSE MATHÉMATIQUE.
RAPPORT DE M. CHARLES HERMITE SUR LE MÉMOIRE PRÉSENTÉ PAR M. PAUL
APPELL AU CONCOURS OUVERT PAR S. M. LE ROI DE SUÈDE ET DE NORVÈGE
OSCAR II, ET RÉCOMPENSÉ D'UNE MÉDAILLE D'OR LE 21 JANVIER 1889.
Les expressions des fonctions elliptiques par des séries simples de
sinus et de cosinus, telles que les donne la formule de FOURIER, ont, à
bien des points de vue, une grande importance en Analyse. Elles ont été
employées avec succès et jouent un rôle important dans beaucoup
d'applications du calcul à la Physique et à l'Astronomie. Elles ont
conduit JACOBI aux formules si remarquables du § 40 des _Fundamenta_, où
le grand géomètre, allant au delà des propositions connues de
l'Arithmétique, obtient le nombre de décompositions d'un entier
quelconque en 2, 4, 6 et 8 carrés, exprimé au moyen des diviseurs de ce
nombre. D'autres résultats, d'une nature plus cachée, sur le nombre des
classes de formes quadratiques de déterminants négatifs, devaient encore
découler de la même source analytique et mettre dans tout son jour
l'étroite correspondance des identités de la théorie des fonctions
elliptiques avec la théorie des nombres. Nous les rappelons
succinctement pour faire comprendre quelles espérances on avait dû
concevoir de la découverte mémorable de GÖPEL et ROSENHAIN, lorsqu'on
eut, sous une forme entièrement semblable à celle des fonctions
elliptiques, les fonctions quadruplement périodiques de deux variables,
inverses des intégrales hyperelliptiques de première classe. Assurément
il était possible de joindre aux expressions de ces nouvelles
transcendantes, par des quotients de fonctions [Theta], des
développements en séries simples de sinus et de cosinus; mais la
détermination effective des coefficients présente les plus grandes
difficultés et n'a pu jusqu'à présent être abordée. Elle est le
principal objet du Mémoire dont nous allons analyser les méthodes et les
résultats.
I. La solution donnée par JACOBI du problème de la rotation d'un corps
solide autour d'un point fixe, lorsqu'il n'y a pas de forces
accélératrices, a été l'origine d'une notion analytique importante. Les
expressions de l'illustre auteur présentent, en effet, dans le cas le
plus simple, l'exemple de fonctions qui se reproduisent multipliées par
des constantes lorsqu'on augmente la variable de l'une ou l'autre des
périodes. On a reconnu qu'elles constituent un nouveau genre de
fonctions, plus générales que les fonctions doublement périodiques, dont
le rôle comme élément analytique propre se montre dans beaucoup de
questions importantes. Elles s'offrent, en particulier, dans la rotation
d'un corps grave de révolution suspendu par un point de son axe, dans la
recherche de la figure de l'élastique gauche, dans le mouvement d'un
corps solide dans un liquide indéfini, lorsqu'il n'y a pas de forces
accélératrices, etc. Enfin elles donnent une méthode régulière, d'une
application facile, pour effectuer l'intégration des équations
différentielles linéaires d'ordre quelconque, à coefficients doublement
périodiques, dans tous les cas où la solution est une fonction uniforme.
Sous un autre point de vue, ces transcendantes peuvent encore être
considérées comme provenant de l'intégrale elliptique la plus générale
qui aura été mise en exponentielle, en y remplaçant la variable par un
sinus d'amplitude. On peut aussi ne pas faire ce changement et conserver
l'intégrale qui, suivant le contour décrit par la variable, est
susceptible d'une infinité de déterminations. Ces valeurs multiples
s'obtenant par l'addition de constantes, les expressions dont nous
parlons auront la propriété de se reproduire, multipliées par des
facteurs constants, lorsqu'on fait décrire certains chemins à la
variable. Qu'au lieu de considérer la variable sur un plan unique on
recoure à la conception de RIEMANN, de manière à remplacer, par une
fonction à sens unique, affectée de coupures, une expression à
déterminations multiples, on parvient à une quantité dont les valeurs,
lorsqu'on passe d'un bord à l'autre de la coupure, se reproduisent
multipliées par une constante. Nous nous trouvons ainsi amenés à l'idée
fondamentale de l'auteur, à la notion analytique des nouvelles
transcendantes, auxquelles il donne la dénomination de fonctions à
multiplicateurs et dont il établit les propriétés; voici succinctement
les résultats auxquels il est parvenu.
II. Son point de départ est dans la considération d'une équation
algébrique de genre _p_, et de la surface correspondante de RIEMANN,
rendue simplement connexe au moyen de coupures; ce sont les éléments qui
lui permettent de définir d'une manière complète et précise les
fonctions à multiplicateurs, d'après les conditions suivantes. Elles
seront uniformes sur la surface, elles ne présenteront aucune autre
singularité que des pôles, et elles prendront aux deux bords infiniment
voisins d'une coupure des valeurs qui ne diffèrent que par des
multiplicateurs constants. Ceci posé, voici un premier résultat d'une
grande importance: toutes les fonctions qui satisfont aux conditions
posées, leurs multiplicateurs étant des constantes données d'avance,
peuvent s'exprimer au moyen des intégrales normales de troisième espèce
qui sont attachées à l'équation algébrique. Viennent ensuite plusieurs
théorèmes; le suivant qui est une généralisation de la proposition
célèbre d'ABEL, sur les intégrales de différentielles algébriques,
mérite une attention particulière. Il consiste en ce que la somme des
valeurs que prend une intégrale abélienne de première espèce, aux zéros
d'une fonction à multiplicateurs, est égale à la somme des valeurs qui
correspondent aux infinis de la même fonction, augmentée d'une constante
dépendant uniquement des multiplicateurs. Après avoir déduit de là
d'importantes conséquences sur le nombre des constantes arbitraires
d'une fonction qui a des multiplicateurs et des pôles donnés, l'auteur
démontre qu'il existe en général _p_-1 relations entre les pôles et les
résidus d'une fonction à multiplicateurs, et _p_ dans un cas spécial,
comprenant en particulier celui des fonctions algébriques. Ce cas
spécial intéressant tient à l'existence d'une fonction sans zéros, ni
infinis, et qui admet les multiplicateurs donnés.
III. Les intégrales de fonctions à multiplicateurs font ensuite le sujet
d'une étude approfondie. L'auteur obtient, à leur égard, un ensemble de
propositions qui correspondent exactement aux théorèmes célèbres de
RIEMANN sur les intégrales abéliennes. Nous indiquerons, comme exemples,
leur classification en intégrales de première espèce qui sont toujours
finies, en intégrales de deuxième espèce n'ayant que des pôles, et en
intégrales de troisième espèce où s'offrent des infinis logarithmiques.
Nous citerons encore cette importante proposition, qu'en général il
existe _p_-1 intégrales de première espèce, linéairement indépendantes,
et _p_ dans le cas particulier dont il a été question précédemment. Les
modules de périodicité de ces intégrales, le long des coupures, sont
liés aux multiplicateurs par des relations qui deviennent identiques
lorsque les multiplicateurs se réduisent à l'unité et que les intégrales
deviennent abéliennes. Entre les modules de périodicité de deux
intégrales de première espèce, à multiplicateurs inverses, existe une
équation qui coïncide, dans le cas particulier des multiplicateurs égaux
à l'unité, avec la relation d'une importance capitale découverte par
RIEMANN, entre les modules de périodicité de deux intégrales abéliennes
de première espèce. Enfin l'auteur forme les intégrales normales de
fonctions à multiplicateurs de deuxième et de troisième espèce; il
établit des relations entre les modules de périodicité de ces
intégrales et leurs multiplicateurs, puis d'autres entre ces modules et
ceux d'une intégrale de première espèce aux multiplicateurs inverses.
L'ensemble de ces résultats rend manifeste l'analogie de la nouvelle
théorie avec celle des intégrales abéliennes; la différence de nature
analytique entre les deux genres de quantités apparaît toutefois dans
cette circonstance, qu'il existe une intégrale de troisième espèce, avec
un seul infini logarithmique, tandis qu'une intégrale abélienne de
troisième espèce possède au moins deux infinis de cette nature. En
dernier lieu, nous signalerons, dans la théorie des intégrales de
deuxième espèce, ce théorème d'un grand intérêt, que toute fonction à
multiplicateurs s'exprime par une somme d'intégrales de seconde espèce,
ayant les mêmes multiplicateurs et devenant chacune infinie en un seul
point. C'est, comme on le voit, la généralisation de la belle formule de
RIEMANN-ROCH, qui représente une fonction algébrique quelconque par une
somme d'intégrales abéliennes de deuxième espèce.
IV. Nous venons d'indiquer rapidement les points les plus essentiels de
la théorie des fonctions à multiplicateurs. Nous avons montré qu'elle a
pour première origine les fonctions algébriques, leurs propriétés et
celles de leurs intégrales, telles que RIEMANN les a fait connaître;
nous avons montré qu'elles constituent par l'ensemble de leurs
caractères de nouveaux éléments analytiques où l'on retrouve, dans un
sens beaucoup plus général, toutes les propriétés des fonctions
doublement périodiques de deuxième espèce. Il nous faut maintenant
revenir à la question principale que l'auteur a eue en vue en
entreprenant ces belles et profondes recherches où il a montré le plus
remarquable talent d'invention. Son but était d'obtenir les intégrales
définies réelles qui représentent les coefficients des développements,
par la formule de FOURIER, des fonctions elliptiques et des fonctions
abéliennes de deux variables à quatre paires de périodes simultanées. Un
changement de variables le conduit d'abord à des fonctions à
multiplicateurs, et, pour le cas des sinus d'amplitude qu'il traite en
premier lieu, ses principes généraux lui permettent d'obtenir les
coefficients du développement avec autant de simplicité que d'élégance.
En appliquant ensuite la même méthode aux transcendantes de GÖPEL et de
ROSENHAIN, il trouve les coefficients sous la forme d'une fonction
rationnelle des constantes _p_, _q_, _r_ qui figurent dans les fonctions
[Theta] à deux variables, multipliée par une intégrale définie où
entrent deux entiers indéterminés. C'est, pour la théorie des fonctions
abéliennes, un résultat du plus haut intérêt: il donne la solution d'une
question restée jusqu'ici inabordable, sous une forme qui permettra d'en
poursuivre les conséquences; il ouvre la voie pour l'étude approfondie
des développements par la formule de FOURIER, des fonctions abéliennes,
et obtenir pour ces fonctions des développements procédant suivant les
puissances des trois quantités _p_, _q_, _r_. On peut donc attendre de
voir ainsi se combler une grande lacune dans la théorie de ces
transcendantes; on peut donc espérer de voir se rétablir, autant que le
comporte la nature des choses, l'analogie avec les fonctions
elliptiques, dans ce point d'une importance capitale où elles se lient
aux propriétés des nombres. Pressé par la date fixée pour le terme du
concours, l'auteur a dû ajourner ces recherches qui auraient pu devenir
le couronnement de son beau et savant Mémoire. Mais il a grandement
accompli sa tâche en posant les fondements d'une théorie qui ajoute au
domaine de l'Analyse un nouveau genre de fonctions, dont il a encore
indiqué une autre application importante à l'intégration des équations
linéaires d'ordre quelconque à coefficients algébriques.
Nous pensons, en résumé, que le travail dont nous venons de faire
l'exposé est l'oeuvre d'un géomètre de premier ordre, et qu'il sera
placé au nombre des plus importantes productions mathématiques qui aient
appelé dans ces dernières années l'attention des analystes.
Paris, 10 Janvier 1889.
AM, t. 13, 1890, p. VII-XII.
_Voir_ la Lettre de M. G. MITTAG-LEFFLER: C R, t. 108, 25 fév. 1889, p.
387.
OUVRAGES.
=1.= NOTICE SUR LES TRAVAUX SCIENTIFIQUES DE M. PAUL APPELL,
Rédigée par lui-même à l'appui de sa candidature comme membre de
l'Académie des Sciences, dans la Section de Géométrie.
Paris, G.-V., in-4: 1re éd., 1884, 39 p.; 2e éd., 1889, 83 p.; 3e
éd. 1892, in-4, 112 p.
=2.= THÉORIE DES FONCTIONS ALGÉBRIQUES ET DE LEURS INTÉGRALES, _par_
PAUL APPELL ET ÉDOUARD GOURSAT.
_Étude des Fonctions analytiques sur une surface de_ RIEMANN.
Paris, G.-V., 1895, gr. in-8, x-530 p.
Préface de CH. HERMITE: p. _a g._
Présentation par M. P. APPELL à l'Académie des Sciences: C R, t.
120, 18 fév. 1895, p. 362-363.
Analyse par G. KOENIGS: RO, t. 4, 15 fév. 1893, p. 173-174.
Analyse par R. LE VAVASSEUR: B S M, 2e s., t. 18, 1re p., nov.
1894, p. 242-277.
Analyse par P. STAECKEL: J F M, Bd. 26, J. 1895, S. 416-425.
Analyse par ROBERT FRICKE: Z M P, 41. J., 1896, Abt., S. 94-100.
Analyse par ED. WEYR: C M F, R. 26, 1897, p. 241-246.
Analyse par C. JUEL: N T M, Afd. B., 8 aa., 1897, p. 91-93.
=3.= PRINCIPES DE LA THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES ET APPLICATIONS,
_par_ P. APPELL ET É. LACOUR.
Paris, G.-V., 1897, gr. in-8, IX-421 p.
Présentation par M. P. APPELL des fasc. I et II à l'Académie des
Sciences: C R, t. 122, 29 juin 1896, p. 1523-1524;--t. 123, 30
novembre 1896, p. 932.
Analyse par J. TANNERY: B S M, 2e s., t. 21, 1re p., fév. 1897, p.
50-55.
Analyse par P. STAECKEL: J F M, Bd. 28, J. 1897, S. 382-383.
Analyse: M M P, 8. J., 1897, Lit., S. 17-19.
Analyse par KOYGOWSKI: W M, t. 1, 1897, p. 118-119.
Analyse par ROBERT FRICKE: Z M P, 43. Bd., 1898, Abt., S. 140-143.
=4.= ÉLÉMENTS D'ANALYSE MATHÉMATIQUE,
A l'usage des Ingénieurs et des Physiciens.
Cours professé à l'École Centrale des Arts et Manufactures.
Paris, G. C. et C. N., 10 août 1898, gr. in-8, VI-720 p.;--G.-V., 2e
éd., 1905, gr. in-8, VII-714 p.
Analyse par A. G. GREENHILL: E M, 1e a., 15 janv. 1899, p. 66-72.
Analyse par GOMES TEIXEIRA: J S T, v. 13, 1897, p. 167-169.
Analyse par P. MANSION: R Q S, 2e s., t. 15, avr. 1899, p. 596-603.
Analyse par C. BOURLET: B S M, 2e s., 1er p., t. 23, juin 1899, p.
136-139,--t. 29, avr. 1905, p. 96.
Analyse: M M P, 10. J., 1899, Lit., S. 32-33.
Analyse par S. DICKSTEIN: W M, t. 3, 1899, p. 65-67.
Analyse par M. CANTOR: Z M P, 44. Bd., 1899, Abt., 5 u. 6 Ht., S.
153-155.
Analyse par P. H. SCHOUTE: N A W, T. R., D. 4, 1900, p. 158-160.
Analyse par H. LIEBMANN: A M P G, d. R., 12. Bd., 1907, S. 81-82.
MÉMOIRES. NOTES.
Analyse pure:
=1º Fonctions d'un point analytique.=
=1.= _Sur les intégrales de fonctions à multiplicateurs et leur
application au développement des fonctions abéliennes en séries
trigonométriques._
Ce Mémoire a obtenu, le 21 janvier 1889, la Médaille d'Or accordée
par S. M. le Roi de Suède et de Norvège, OSCAR II, à l'occasion du
60e anniversaire de sa naissance.
A M, t. 13, 1890, 174 p.
Rapport de CH. HERMITE: A M, t. 13, 1890, p. VII-XII.
Analyse par HURWITZ: J F M, Bd. 22, J. 1890, S. 412-418.
=2. 3.= _Sur les fonctions uniformes d'un point analytique (x, y)._
C R, t. 94, 13 mars 1882, p. 700-703.
A M, t. 1, 1882-1883, 2 sept. 1882, p. 109-131, 132-144.
Analyse par J. TANNERY: B S M, 2e s., t. 8, 2e p., août 1884, p.
138-142.
=4.= _Théorèmes sur les fonctions d'un point analytique._
C R, t. 95, 9 oct. 1882, p. 624-626.
=5.= _Sur une classe de fonctions dont les logarithmes sont des sommes
d'intégrales abéliennes de première et de troisième espèce._
C R, t. 92, 18 avr. 1881, p. 960-962.
=6.= _Relations entre les résidus d'une fonction d'un point analytique
(x, y) qui se reproduit, multipliée par une constante, quand le point
(x, y) décrit un cycle._
C R, t. 95, 23 oct. 1882, p. 914-919.
=7.= _Généralisation des fonctions doublement périodiques de seconde
espèce._
J L, 3e s., t. 9, janv. 1883, p. 5-24.
Analyse: B S M, 2e s., t. 9, 2e p., janv. 1885, p. 20-21.
Analyse par HAMBURGER: J F M, Bd. 15, J. 1883, S. 412-413.
=2º Séries. Intégrales définies. Généralités sur les fonctions d' une
variable.=
=8.= _Sur certaines séries ordonnées par rapport aux puissances d'une
variable._
M. P. APPELL donne des exemples de cas où l'on peut reconnaître
l'existence d'un pôle ou d'un point critique pour une fonction
définie par une série entière, et déterminer la partie principale.
C R, t. 87, 28 oct. 1878, p. 689-692.
=9.= _Évaluation d'une intégrale définie._
Les intégrales évaluées par M. P. APPELL dans cette Note portent sur
des fonctions hypergéométriques; elles comprennent, en particulier,
la réduction de l'intégrale eulérienne de première espèce B(_p_,
_q_) aux fonctions [Gamma], et les formules relatives aux polynomes
qui naissent de la série hypergéométrique et qui ont été considérés
par JACOBI.
C R, t. 87, 2 déc. 1878, p. 874-876.
=10.= _Sur la série hypergéométrique et les polynomes de_ JACOBI.
M. P. APPELL indique quelques applications de l'intégrale définie
dont il a donné l'expression dans la Note nº =9=.
C R, t. 89, 7 juil. 1879, p. 31-38.
=11.= _Sur les séries divergentes à termes positifs._
M. P. APPELL donne divers théorèmes sur les séries divergentes
numériques et sur les séries ordonnées par rapport aux puissances
d'une variable, généralisant ceux de la Note nº =8=.
A M P G, 64. Teil, 16 sept. 1879, S. 387-392.
=12.= _Développement en série entière de_ (1 + _ax_)^{1/_x_}.
A M P G, 65. Teil, 6 janv. 1880, S. 171-175.
Analyse par HOPPE: J F M, Bd. 12, J. 1880, S. 191-192.
=13.= _Développement en séries trigonométriques des polynomes de_ M.
LÉAUTÉ.
N A M, 3e s., t. 16, juin 1897, p. 265-268.
=14.= _Sur une classe de polynomes._
M. P. APPELL étudie des polynomes P_{_n_}(_x_) de degré _n_ tels
que _d_P_{_n_}
--------- = _n_P_{_n_-1}.
_dx_
Ces polynomes forment une classe spéciale comprenant les polynomes
que CH. HERMITE a déduits de la différentiation de _e_^{-_x_^{2}} et
les polynomes introduits par M. LÉAUTÉ pour le développement d'une
fonction dont on connaît les valeurs moyennes des dérivées dans un
intervalle. M. APPELL définit en même temps une opération
fonctionnelle qui consiste à former le polynome (PQ)_{_n_} obtenu en
remplaçant, dans P_{_n_}, chaque puissance _x_^{_k_} par un polynome
Q_{_k_}(_x_). Ces polynomes ont été rencontrés par M. PINCHERLE dans
diverses recherches (A M B, s. 2, t. 12, 1888, p. 126).
A S E N, 2e s., t. 9, avr. 1880, p. 119-144.
Analyse par HAMBURGER: J F M, Bd. 12, J. 1880, S. 342-345.
Analyse: B S M, 2e s., t. 6, 2e p., janv. 1882, p. 6-9.
=15. 16.= _Développements en série d'une fonction holomorphe dans une
aire limitée par des arcs de cercle._
C R, t. 94, 1er mai 1882, p. 1238-1240.
M A, Bd. 21, 1883, 23 sept. 1882, S. 118-124.
Analyse par HAMBURGER: J F M, Bd. 15, J. 1883, S. 324-325.
=17.= _Développements en série dans une aire limitée par des arcs de
cercle._
A M, t. 1, 1882-1883, p. 145-152.
=18.= _Sur certains développements en série de puissances._
M. P. APPELL présente des remarques se rapportant aux Notes n^{os}
=16= et =17=, sur le degré d'indétermination des coefficients.
B S M F, t. 11, 1882-1883, 18 fév. 1883, p. 65-71.
=19.= _Définition d'une opération sur les fonctions._
Cette Note contient la définition d'une opération itérative d'ordre
fractionnaire.
B S P, 7e s., t. 3, 1878-1879, 12 avr. 1879, p. 166.
=3º Fonctions périodiques et doublement périodiques d'une variable.
Périodicité générale.=
=20.= _Sur une méthode élémentaire pour obtenir les développements en
série trigonométrique des fonctions elliptiques._
B S M F, t. 13, 1884-1885, 6 déc. 1884, p. 13-18.
Remarques de M. H. POINCARÉ: B S M F, t. 13, 1884-1885, 20 déc.
1884, p. 19-27.
Analyse: B S M, 2e s., t. 10, 2e p., juin 1886, p. 140-141,
141-142.
=21.= _Sur un problème d'interpolation relatif aux fonctions
elliptiques._
B S M, 2e s., t. 10, 1re p., mai 1886, p. 109-114.
=22.= _Sur les fonctions elliptiques._
M. P. APPELL définit les fonctions elliptiques _in abstracto_ et
expose leur réduction aux fonctions [Theta]. Cette méthode peut être
étendue aux fonctions de deux variables (Voir n^{os} =51= et =52=,
p. 28).
C R, t. 110, 6 janv. 1890, p. 32-34.
=23.= _Sur une expression nouvelle des fonctions elliptiques par le
quotient de deux séries._
A J M, v. 14, nº 1, 1892, p. 9-14.
Analyse par J. HADAMARD: R O, t. 3, 30 nov. 1892, p. 796.
Analyse par STAECKEL: J F M, Bd. 23, J. 1891, S. 476.
=24.= _Décomposition en éléments simples des fonctions doublement
périodiques de troisième espèce._
C R, t. 97, 17 déc. 1883, p. 1419-1422.
=25= à =27.= _Sur les fonctions doublement périodiques de troisième
espèce._
Dans le Mémoire nº =25=, M. P. APPELL étudie la décomposition en
éléments simples des fonctions doublement périodiques de troisième
espèce, et présente des remarques sur certaines fonctions d'un
point analytique (_x, y_). Les principaux résultats qu'il
démontre se trouvent indiqués dans la Note nº =26=.
Le Mémoire nº =27= fait suite aux Mémoires n^{os} =25= et =28=.
_Voir Notice sur_ M. PAUL APPELL, p. 5.
A S E N, 3e s., t. 1, avril, mai 1884, p. 135-164.
C R, t. 101, 28 déc. 1885, p. 1478-1480.
A S E N, 3e s., t. 3, janv., fév. 1886, p. 9-42.
Analyse du Mémoire nº =25=: B S M, 2e s., t. 9, 2e p., août 1885, p.
154-158.
Analyse par F. MÜLLER de la Note nº =26=: J F M, Bd. 17, J. 1885,
S. 409-410.
Analyse du Mémoire nº =27=: B S M, 2e s., t. 12, 2e p., fév. 1888,
p. 18-19.
=28.= _Développements en séries des fonctions doublement périodiques de
troisième espèce._
A S E N, 3e s., t. 2, janv. 1885, p. 9-36.
Analyse par F. MÜLLER: J F M, Bd. 17, J. 1885, S. 409-410.
=29.= _Application du théorème de_ M. MITTAG-LEFFLER _aux fonctions
doublement périodiques de troisième espèce._
Dans ce Mémoire, M. P. APPELL donne, du théorème de M.
MITTAG-LEFFLER, une application dans laquelle les degrés des
polynomes qu'on retranche de la partie principale croissent
indéfiniment.
A S E N, 3e s., t. 2, févr., mars 1885, p. 67-74.
Analyse par HURWITZ: J F M, Bd. 17, J. 1885, S. 381-383.
=30.= _Quelques exemples de séries doublement périodiques._
N A M, 3e s., t. 15, mars 1896, p. 126-129.
=31.= _Formation d'une fonction_ F(_x_) _possédant la propriété_
F[[phi](_x_)]=F(_x_).
M. P. APPELL généralise le mode de représentation analytique des
fonctions périodiques et applique à plusieurs exemples la formule
qu'il a obtenue.
C R, t. 88, 21 avr. 1879, p. 807-810.
=32.= _Sur les fonctions telles que_ [pi]
F(sin ---- _x_) = (F_x_).
2
M. P. APPELL applique la méthode qu'il a exposée dans la Note
nº =31=, en lui faisant subir quelques légères modifications pour
simplifier le calcul.
C R, t. 88, 19 mai 1879, p. 1022-1024.
=33.= _Sur quelques applications de la fonction_ [Gamma](_x_) _et d'une
autre fonction transcendante._
C R, t. 86, 15 avr. 1878, p. 953-956.
=34.= _Sur une classe de fonctions analogues aux fonctions eulériennes
étudiées par_ M. HEINE.
C R, t. 89, 17 nov. 1879, p. 841-844.
Analyse par F. MÜLLER: J F M, Bd. 11, J. 1879, S. 501-503.
=35.= _Sur une classe de fonctions qui se rattachent aux fonctions de_
M. HEINE.
C R, t. 89, 15 déc. 1879, p. 1031-1032.
=36.= _Sur une classe de fonctions analogues aux fonctions eulériennes._
Dans ce Mémoire, M. P. APPELL développe les considérations qu'il a
présentées dans les Notes n^{os} =33= à =35=. Il étudie en
particulier des relations fonctionnelles, renfermant des fonctions
[Theta], ou des fonctions elliptiques, dans lesquelles interviennent
_trois_ périodes.
M A, Bd. 19, 1882, août 1881, S. 84-102.
=37.= _Sur les fonctions uniformes doublement périodiques à points
singuliers essentiels._
C R, t. 94, 3 avr. 1882, p. 936-938.
=4º Fonctions de plusieurs variables. Fonctions abéliennes; fonctions de
deux variables à deux, trois ou quatre paires de périodes. Fonctions
hypergéométriques de deux variables. Inversion des intégrales
multiples.=
=38.= _Sur une classe de fonctions de deux variables indépendantes._
Dans ce Mémoire, j'étends à une classe particulière de fonctions de
deux variables indépendantes _x_ et _y_ les théorèmes de MM.
WEIERSTRASS et MITTAG-LEFFLER sur les fonctions d'une seule
variable. J'applique ensuite les théorèmes généraux ainsi obtenus à
la formation de certaines fonctions simplement périodiques de deux
variables. P. A.
M. G. MITTAG-LEFFLER a publié son théorème le 7 juin 1876 dans le
_Bulletin_ de l'Académie royale des Sciences de Suède (_Öfversigt af
..._); ses recherches successives ont été publiées dans ce
_Bulletin_ et dans les _Comptes rendus_ de l'Académie des Sciences
de Paris. Il a développé l'ensemble de ses recherches _sur la
représentation analytique des fonctions homogènes uniformes d'une
variable indépendante_ dans _Acta Mathematica_ (T. 4, 1884, P.
1-79).
Les premières recherches de WEIERSTRASS se trouvent dans son Mémoire
intitulé _Zur Theorie der eindentigen analytischen Functionen_ (A A
W B, 16 oct. 1876, S. 11). La démonstration qu'il a donnée du
théorème de M. MITTAG-LEFFLER est dans le Mémoire intitulé _Ueber
einen functionentheoretischen Satz_ des Hernn G. MITTAG-LEFFLER (M A
W B, 5 Aug. 1880, S. 707).
A M, t. 2, 15 mars 1883, p. 71-80.
Analyse par J. TANNERY: B S M, 2e s., t. 8, 2e p., sept. 1884, p.
155-156.
=39.= _Propositions d'Algèbre et de Géométrie déduites de la
considération des racines cubiques de l'unité._
M. P. APPELL obtient des fonctions de deux variables à deux paires
de périodes liées par une certaine relation algébrique et une
infinité de systèmes de surfaces jouissant de propriétés
remarquables.
C R, t. 84, 19 mars 1877, p. 540-543.
=40.= _Sur certaines fonctions analogues aux fonctions circulaires._
M. P. APPELL fait l'étude de _n_ + 1 fonctions de _n_ variables, à
_n_ groupes de périodes, définies par un système d'équations aux
différentielles totales; ces fonctions sont liées par une relation
algébrique; elles généralisent celle de la Note nº =39=.
C R, t. 84, 11 juin 1877, p. 1378-1380.
=41.= _Sur des fonctions uniformes de deux points analytiques qui sont
laissées invariables par une infinité de transformations rationnelles._
C R, t. 96, 4 juin 1883, p. 1643-1646.
=42.= _Sur un cas de réduction des fonctions_ [Theta] _de deux variables
à des fonctions_ [theta] _d'une variable._
C R, t. 94, 13 fév. 1882, p. 421-424.
=43.= _Sur des cas de réduction des fonctions_ [Theta] _de plusieurs
variables à des fonctions_ [Theta] _d'un moindre nombre de variables._
B S M F, t. 10, 1881-1882, 3 mars 1882, p. 59-67.
Analyse par F. MÜLLER: J F M, Bd. 14, J. 1882, S. 405-406.
=44.= _Sur une fonction analogue à la fonction_ [Theta].
Dans cette Note, il s'agit d'une fonction définie par une série
simple d'exponentielles dont l'exposant est un polynome du
quatrième degré en _n_. Cette fonction a été étudiée ensuite par M.
RIVEREAU (A F S Ma, t. 2, 1892, p. 59).
A F S Ma, t. 1, 1891, p. 47-52.
=45.= _Exemples de fonctions de plusieurs variables admettant un groupe
de substitutions linéaires entières._
M. P. APPELL applique la fonction définie dans la Note nº =44=.
B S M F, t. 19, 1890-1891, 18 nov. 1891, p. 125-127.
=46.= _Sur les fonctions de_ BERNOULLI _à deux variables._
Extrait d'une Lettre adressée à M. MARTIN KRAUSE par M. P. APPELL.
A M P G, d. R., 4 Bd., 9 oct. 1903, S. 292-293.
Analyse par G. KOWALEWSKI: J F M, Bd. 34, J. 1903, S. 484-485.
=47.= _Sur des fonctions de deux variables à trois ou quatre paires de
périodes._
C R, t. 90, 26 janv. 1880, p. 174-176.
=48.= _Sur certaines expressions quadruplement périodiques._
C R, t. 108, 25 mars 1889, p. 607-609.
=49.= _Sur les fonctions de deux variables à plusieurs paires de
périodes._
C R, t. 110, 27 janv. 1890, p. 181-183.
=50.= _Sur les fonctions de deux variables quadruplement périodiques de
troisième espèce._
A S E N, 2e s., t. 7, mai 1890, p. 143-154.
Analyse: B S M, 2e s., t. 16, 2e p., déc. 1892, p. 190-191.
=51. 52.= _Sur les fonctions périodiques de deux variables._
L'objet de ce travail est l'étude des fonctions méromorphes de deux
variables à quatre (ou à trois) paires de périodes. La méthode
suivie peut être étendue d'elle-même aux fonctions de _n_
variables à 2_n_ groupes de périodes.
C R, t. 111, 3 nov. 1890, p. 636-638.
J L, 4e s., t. 7, f. 2, 1891, p. 157-219.
Analyse par BURKHARDT: J F M, Bd. 23, J. 1891, S. 430-431.
Analyse par J. HADAMARD: R O, t. 3, 15 juin 1892, p. 419.
=53. 54.= _Sur les fonctions abéliennes._
C R, t. 94, 26 juin 1882, p. 1702-1704.
C R, t. 103, 20 déc. 1886, p. 1246-1248.
=55. 56.= _Sur l'inversion des intégrales abéliennes._
C R, t. 99, 8 déc. 1884, p. 1010-1011.
J L, 4e s., t. 1, f. 3, 1885, p. 245-279.
Analyse par DYCK: J F M, Bd. 17, J. 1885, S. 473-475.
=57.= _Formes des intégrales abéliennes des diverses espèces._
A F S T, t. 7, 1893, p. A.5-A.8.
=58.= _Sur les fonctions abéliennes considérées comme fonctions
algébriques de fonctions d'une variable._
Ce Mémoire est inséré dans le premier des deux Tomes des _Acta
Mathematica_ imprimés NIELS HENRICK ABEL _in Memoriam_.
A M, t. 26, 8 juil. 1902, p. 249-253.
Analyse par STAECKEL: J F M, Bd. 33, J. 1902, S. 442-443.
=59.= _Sur les séries hypergéométriques de deux variables, et sur des
équations différentielles linéaires aux dérivées partielles._
Je définis quatre séries ordonnées suivant les puissances positives
croissantes de deux variables, qui se rattachent à la célèbre série
de GAUSS, comme les fonctions [Theta] de deux variables de GÖPEL et
de ROSENHAIN se rattachent aux fonctions [Theta] d'une variable
d'ABEL et de JACOBI. P. A.
C R, t. 90, 16 févr. 1880, p. 296-298.
=60.= _Sur la série_ F_{3}([alpha, alpha', beta, beta', gamma], _x_, _y_).
Cette série, qui a été définie dans la Note nº =59=, peut être
représentée par une intégrale définie semblable à celle dont JACOBI
s'est occupé (J C, t. 56, 1859, S. 149).
C R, t. 90, 26 avr. 1880, p. 977-979.
=61.= _Sur quelques formules relatives aux fonctions hypergéométriques
de deux variables._
C R, t. 91, 16 août 1880, p. 364-368.
=62.= _Sur des polynomes de deux variables analogues aux polynomes de_
JACOBI.
A M P G, 66. Teil, 1881, 26 oct. 1880, S. 238-245.
Analyse par HOPPE: J F M, Bd. 13, J. 1881, S. 389-390.
=63.= _Sur les fonctions hypergéométriques de deux variables._
Ce Mémoire a été présenté à l'Académie dans la séance du 29 mars
1880; je lui ai fait subir quelques modifications, afin d'y faire
rentrer les résultats que j'ai obtenus depuis et qui ont été
indiqués dans deux Notes présentées à l'Académie le 26 avril et 16
août 1880. P. A.
J L, 3e s., t. 8, mai, juin 1882, p. 173-216.
Analyse: B S M, 2e s., t. 9, 2e p., janv. 1885, p. 14-15.
=64.= _Sur certaines formules de_ HANSEN _et de_ M. TISSERAND.
M. P. APPELL trouve que la valeur d'un certain coefficient est
exprimée par un polynome hypergéométrique de deux variables, ce
polynome étant formé avec une des fonctions qu'il définit dans la
Note nº =59=.
C R, t. 97, 12 nov. 1883, p. 1036-1039.
=65.= _Sur une formule de_ M. TISSERAND _et sur les séries
hypergéométriques de deux variables._
M. P. APPELL applique, à des questions étudiées par TISSERAND, M.
RADAU et CALLANDREAU, les résultats qu'il a donnés dans le Mémoire
nº =63= et dans la Note nº =64=.
J L, 3e s., t. 10, déc. 1884, p. 407-428.
Analyse: B S M, 2e s., t. 10, 2e p., nov. 1886, p. 225-226.
Analyse par WANGERIN: J F M, Bd. 16, J. 1884, S. 454-455.
=66.= _Les polynomes d'_HERMITE _rattachés aux polynomes de_ LEGENDRE.
A S A P P, v. 5, nº 2º, 1910, p. 65-68.
=67.= _Quelques propriétés des polynomes_ U_{_m, n_} _d'_HERMITE _et des
polynomes_ X_{_n_} _de_ LEGENDRE.
A S A P P, v. 5, nº 4º, 1910, p. 209-212.
=68.= _Sur une classe de polynomes à deux variables et le calcul
approché des intégrales doubles._
M. P. APPELL étend aux intégrales doubles la méthode que GAUSS a
fondée sur les propriétés des polynomes de LEGENDRE pour le calcul
approché des intégrales simples.
A F S T, t. 4, 1890, p. H.1-H.20.
Analyse par R. LE VAVASSEUR: B S M, 2e s., t. 28, 2e p., janv. 1894,
p. 12-14.
Analyse par F. MÜLLER: J F M, Bd. 22, J. 1890, S. 299-300.
=69. 70.= _Sur un mode d'inversion des intégrales multiples._
B S M F, t. 25, 20 janv. 1897, p. 10.
C R, t. 124, 1er fév. 1897, p. 213-214.
=71.= _Exemples d'inversion d'intégrales doubles._
A J M, v. 19, nº 4, 1897, p. 377-380.
=5º Équations différentielles ordinaires. Invariants.=
=72.= _Sur des polynomes satisfaisant à une équation différentielle du
troisième ordre._
M. P. APPELL applique, dans cette Communication, un théorème qu'il
a démontré dans la Note nº =8=, p. 22.
A F A S, 8e Session, Montpellier, 3 sept. 1879, p. 257-260.
=73.= _Sur certaines équations différentielles linéaires contenant un
paramètre variable._
A F A S, 8e Session, Montpellier, 3 sept. 1879, p. 253-257.
=74.= _Intégration de certaines équations différentielles à l'aide des
fonctions_ [Theta].
M. P. APPELL tire des conséquences remarquables du théorème de
RIEMANN sur les zéros des fonctions [Theta] de plusieurs variables.
C R, t. 90, 24 mai 1880, p. 1207-1210.
=75.= _Sur les équations différentielles linéaires à une variable
indépendante._
C R, t. 90, 21 juin 1880, p. 1477-1479.
=76.= _Sur la transformation des équations différentielles linéaires._
C R, t. 90, 26 juil. 1880, p. 211-214.
=77.= _Sur les équations différentielles linéaires._
M. P. APPELL signale, pour les équations différentielles linéaires,
des propriétés analogues à celles des fonctions symétriques des
racines d'une équation algébrique et à la transformation des
équations algébriques.
C R, t. 91, 26 oct. 1880, p. 684-685.
=78.= _Sur une classe d'équations différentielles linéaires._
Se plaçant à un certain point de vue, M. P. APPELL généralise les
recherches de M. CH. HERMITE sur l'équation de LAMÉ (C R, t. 86,
1878, p. 850), celles de MM. E. PICARD et MITTAG-LEFFLER sur les
équations différentielles linéaires à coefficients doublement
périodiques (C R, t. 90, 1880, p. 293-299) et celles de FUCHS sur
certaines équations différentielles linéaires (J L, t. 4, 1878, p.
125). M. P. APPELL considère des équations différentielles dont
l'intégrale générale n'a que des pôles sur la surface de RIEMANN et
dont les substitutions fondamentales sont permutables.
C R, t. 91, 13 déc. 1880, p. 972-974.
Analyse: B S M, 2e s., t. 5, 2e p., janv. 1881, p. 21-22.
=79.= _Sur une classe d'équations différentielles linéaires dont les
coefficients sont des fonctions algébriques de la variable
indépendante._
M. P. APPELL résume un Mémoire où se trouvent développées des
propositions contenues dans la Note nº =78=.
C R, t. 92, 10 janv. 1881, p. 61-63.
=80.= _Sur une classe d'équations différentielles linéaires à
coefficients doublement périodiques._
C R, t. 92, 25 avr. 1881, p. 1005-1008.
=81.= _Sur une classe d'équations différentielles linéaires à
coefficients algébriques._
Ces équations sont celles dont l'intégrale générale n'admet, sur une
surface de RIEMANN, d'autres singularités que des pôles et des
points critiques logarithmiques. M. P. APPELL les classe en
équations de 1re, 2e, 3e espèce d'après des caractères analogues à
ceux qui servent à classer les trois espèces d'intégrales
abéliennes.
A M, t. 13, 1890, 21 janv. 1889, p. 163-174.
=82.= _Sur des équations différentielles linéaires dont les intégrales
vérifient des relations de la forme_ F[[phi](_x_)] = [psi](_x_)F(_x_).
M. P. APPELL, qui a publié deux Notes sur les fonctions F(_x_)
satisfaisant à une relation de la forme F[[phi](_x_)] = F(_x_),
montre que ces fonctions et les fonctions plus générales de la
forme F[[phi](_x_)] = [psi](_x_)F(_x_) se présentent dans
l'intégration de certaines équations différentielles linéaires, et
en particulier dans l'intégration des équations du second ordre.
C R, t. 93, 7 nov. 1881, p. 699-701.
Analyse: B S M, 2e s., t. 6, 2e p., janv. 1882, p. 31-32.
Analyse par HAMBURGER: J F M, Bd. 13, J. 1881, S. 253-254.
=83.= _Mémoire sur les équations différentielles linéaires._
Le résumé de ce Mémoire se trouve dans la Note nº =77=.
A S E N, 2e s., t. 10, nov., déc. 1881, p. 391-424.
Analyse: B S M, 2e s., t. 6, 2e p., déc. 1882, p. 269-274.
Analyse par HAMBURGER: J F M, Bd. 13, J. 1881, S. 254-255.
=84. 85.= _Sur une classe d'équations différentielles linéaires binomes
à coefficients algébriques._
C R, t. 94, 30 janv. 1882, p. 203-205.
A S E N, 2e s., t. 12, janv., fév. 1883, p. 9-46.
Analyse: B S M, 2e s., t. 8, 2e p., avr. 1884, p. 59-61.
Analyse par HAMBURGER: J F M, Bd. 15, J. 1883, S. 246-247.
=86.= _Sur les fonctions uniformes affectées de coupures et sur une
classe d'équations différentielles linéaires._
C R, t. 96, 9 avr. 1883, p. 1018-1020.
=87.= _Sur des équations linéaires intégrables à l'aide de la fonction_
[chi]_{_m_}(_x, y_).
M. P. APPELL indique une équation différentielle linéaire avec
second membre dont les coefficients sont composés avec des fonctions
[Theta] et leurs dérivées, et dont l'intégrale générale s'exprime à
l'aide des fonctions [Theta] et de la fonction de deux variables
[chi]_{_m_}(_x, y_), qu'il a introduite dans ses Mémoires n^{os}
=25=, =27=, =28=.
A S E N, 3e s., t. 5, juin, juil. 1888, p. 211-218.
Analyse: B S M, 2e s., t. 14, 2e p., oct. 1890, p. 198-199.
Analyse par F. MÜLLER: J F M, Bd. 20, J. 1888, S. 452-454.
=88.= _Sur une classe d'équations différentielles réductibles aux
équations linéaires._
C R, t. 107, 12 nov. 1888, p. 776-778.
=89. 90.= _Sur des équations différentielles linéaires transformables
en elles-mêmes par un changement de fonction et de variable._
C R, t. 112, 5 janv. 1891, p. 34-37.
A M, t. 15, 1891, 28 sept.-5 oct. 1891, p. 281-315.
Analyse: B S M, 2e s., t. 17, 2e p., fév. 1893, p. 30-31;--t. 19, 2e
p., avr. 1895, p. 77-79.
Analyse par J. HADAMARD: R O, t. 3, 15 oct. 1892, p. 683.
Analyse par HAMBURGER: J F M, Bd. 23, J. 1891, S. 333-335.
=91.= _Sur les équations différentielles algébriques et homogènes par
rapport à la fonction inconnue et à ses dérivées._
M. P. APPELL indique la possibilité d'étendre la théorie des
invariants des équations différentielles linéaires et homogènes aux
équations _homogènes_ mais non _linéaires_.
C R, t. 104, 20 juin 1887, p. 1776-1779.
Analyse par HAMBURGER des Notes n^{os} =91= et =92=: J F M, Bd. 19,
J. 1887, S. 291-293.
=92.= _Sur les invariants des équations différentielles._
M. P. APPELL complète la Note nº =91=.
C R, t. 105, 4 juil. 1887, p. 55-58.
=93.= _Sur les invariants de quelques équations différentielles._
Dans ce Mémoire, M. P. APPELL étudie les invariants et les cas
d'intégrabilité:
1º D'équations différentielles de la forme
_dy_ a_{0} + a_{1}y + ... + a_{n}y^{n}
---- = --------------------------------- (p < n),
_dx_ b_{0} + b_{1}y + ... + b_{p}y^{p}
qui conservent cette forme quand on choisit une nouvelle fonction
inconnue [eta] et une nouvelle variable indépendante [xi] liées à
_y_ et _x_ par les relations
_y_ = [eta] _u(x)_ + _v(x)_, _d[xi]_
------- = µ_(x)_;
_dx_
2º Des équations différentielles algébriques et homogènes par
rapport à la fonction inconnue _y_ et à ses dérivées, ces équations
conservant la même forme quand on y fait
_y_ = [eta] _u(x)_, _d[xi]_
------- = µ_(x)_.
_dx_
J L, 4e s., t. 5, f. 4, 1889, p. 361-423.
Analyse par HAMBURGER: J F M, Bd. 21, J. 1889, S. 312-314.
Analyse par GOMES TEIXEIRA: J S T, v. 9, 1889, p. 124-125.
Analyse par E. GOURSAT: R O, t. 1, 30 mars 1890, p. 180.
=94.= _Sur les équations différentielles homogènes du second ordre à
coefficients constants._
A F S T, t. 3, 1889, p. K.1-K.12.
Analyse par HAMBURGER: J F M, Bd. 21, J. 1889, S. 327.
=95.= _Observations sur une Communication de_ M. C. BOURLET,
Intitulée _Sur certaines équations analogues aux équations
différentielles_.
C R, t. 124, 21 juin 1897, p. 1433-1434.
=96.= _Sur le théorème de_ POISSON _et un théorème récent de_ M. A.
BUHL.
Dans une Note (C R, t. 132, 1901, p. 313), M. A. BUHL donne une
proposition générale dont il déduit, comme cas particulier, ce
théorème de POISSON: _La forme aux dérivées partielles représentée
symboliquement par_ ([alpha], [beta]) _est une intégrale d'un
système d'équations canoniques si_ [alpha] _et_ [beta] _sont deux
intégrales de ce système_. Dans sa Note, M. P. APPELL montre que,
inversement, la proposition de M. A. BUHL peut être considérée comme
une conséquence du théorème de POISSON.
C R, t. 133, 5 août 1901, p. 317-319.
=6º Équations aux dérivées partielles. Potentiels triplement
périodiques. Potentiels multiformes.=
=97.= _Sur les séries hypergéométriques de deux variables, et sur des
équations différentielles linéaires simultanées aux dérivées
partielles._
Dans cette Note, qui se rattache à la Note nº =59=, p. 29, j'étends
les théorèmes de RIEMANN et de FUCHS, sur les intégrales des
équations différentielles linéaires à une variable, à des équations
simultanées définissant _r_ et _t_ en fonctions linéaires de _s, p,
q, z_. P. A.
C R, t. 90, 29 mars 1880, p. 731-734.
=98.= _Sur certaines équations différentielles linéaires simultanées aux
dérivées partielles._
En commun avec M. E. PICARD.
Cette Note contient une extension d'un théorème donné par M. E.
PICARD pour les équations différentielles linéaires à coefficients
doublement périodiques (C R, t. 90, 1880, p. 293).
C R, t. 92, 21 mars 1881, p. 692-695.
Analyse: B S M; 2e s., t. 5, 2e p., mai. 1881, p. 98.
=99.= _Sur une équation linéaire aux dérivées partielles._
M. P. APPELL montre que l'équation qu'il a rencontrée dans la
théorie des fonctions hypergéométriques de deux variables (_voir_
nº =59=, p. 29) contient, comme cas particulier, une équation
différentielle linéaire étudiée par M. G. DARBOUX (C R, t. 95,
1882, p. 69) et étend à son équation les principales propriétés
indiquées par ce géomètre.
B S M, 2e s., t. 6, 1re p., déc. 1882, p. 314-318.
Analyse par TOEPLITZ: J F M, Bd. 14, J. 1882, S. 300.
=100.= _Sur les fonctions satisfaisant à l'équation_ [Delta]F = 0.
M. P. APPELL considère une fonction F(_x, y, z_), de trois
variables réelles représentant les coordonnées rectangulaires d'un
point M. Il suppose que la fonction F est uniforme, continue,
qu'elle admet des dérivées premières et secondes et qu'elle vérifie
l'équation
[d]^{2}F [d]^{2}F [d]^{2}F
[Delta]F = ---------- + --------- + --------- = 0,
[d]_x_^{2} [d]_y_^{2} [d]_z_^{2}
en tous les points M situés à l'intérieur d'une surface fermée S,
excepté en certains points isolés, qu'il appelle _points
singuliers_. Il classe ces points en pôles et points essentiels.
C R, t. 96, 5 fév. 1883, p. 368-371.
=101.= _Sur les fonctions de trois variables réelles satisfaisant à
l'équation différentielle_ [Delta]F = 0.
Dans ce Mémoire, M. P. APPELL fait l'étude générale des fonctions
qui satisfont à l'équation [Delta]F = 0. La première partie contient
une extension d'un théorème dû à M. MITTAG-LEFFLER et plusieurs
applications d'un théorème de GREEN; la seconde contient l'étude de
celles de ces fonctions qui reprennent les mêmes valeurs aux points
homologues d'un réseau de parallélépipèdes et qui possèdent des
propriétés semblables à celles de la partie réelle d'une fonction
doublement périodique d'une variable imaginaire. Ces fonctions
s'expriment à l'aide d'un élément simple Z analogue à la fonction
H´/H introduite par HERMITE dans la théorie des fonctions
elliptiques.
A M, t. 4, 22 janv.-3 mars 1884, p. 313-374.
Analyse par F. MÜLLER: J F M, Bd. 16, J. 1884, S. 373-374.
Analyse par J. TANNERY: B S M, 2e s., t. 13, 2e p., juin 1889, p.
98-100.
=102. 103.= _Développements en séries trigonométriques de certaines
fonctions vérifiant l'équation du potentiel_ [Delta]F = 0.
C R, t. 102, 21 juin 1886, p. 1439-1442.
J L, 4e s., t. 3, f. 1, 1887, p. 5-52.
Analyse par TOEPLITZ: J F M, Bd. 19, J. 1887, S. 418-420.
=104.= _Sur les fonctions harmoniques à trois groupes de périodes._
M. P. APPELL indique un élément analytique pouvant remplacer la
fonction Z des deux Mémoires n^{os} =101= et =103=.
R C M P, t. 22, 1er sept. 1906, p. 361-370.
Analyse par WANGERIN: J F M, Bd. 37, J. 1906, S. 482-483.
Application par A. MYLLER: C R, t. 145, 11 nov. 1907, p. 790-792.
=105. 106.= _Sur des potentiels conjugués._
M. P. APPELL donne un système de quatre équations aux dérivées
partielles du premier ordre auxquelles satisfont quatre fonctions
X, Y, Z, T de trois variables réelles _x, y, z_. Il démontre
que si l'on choisit arbitrairement la fonction T vérifiant
l'équation du potentiel, il existe une infinité de fonctions X, Y,
Z vérifiant le système précédent; il parvient à préciser le degré
d'indétermination et à exprimer ces fonctions par des intégrales
définies.
B S M F, t. 19, 1890-1891, 15 avr. 1891, p. 68-70.
A F S Ma, t. 2, f. 3, 1892, p. 53-58.
Analyse par WANGERIN: J F M, Bd. 23, J. 1891, S. 990.
=107.= _Quelques remarques sur la théorie des potentiels multiformes._
Extrait d'une Lettre adressée à M. F. KLEIN par M. P. APPELL.
M. P. APPELL considère une certaine fonction F(_x, y, z_) qui
vérifie l'équation [Delta]F = 0 et qui admet un cercle pour
ligne singulière.
M A, Bd. 30, 26 avr. 1887, S. 155-156.
=Analyse appliquée à l'Algèbre.=
=1.= _Sur les fractions continues périodiques._
A M P G, 62. Teil, 1878, S. 183-188.
Analyse par GÜNTHER: J F M, Bd. 10, J. 1878, S. 151-152.
=2.= _Sur les polynomes qui expriment la somme des puissances p^{ièmes}
des n premiers nombres entiers._
N A M, 3e s., t. 6, juil. 1887, p. 312-321.
=3.= _Sur les valeurs approchées des polynomes de_ BERNOULLI.
M. P. APPELL, appliquant aux polynomes de BERNOULLI une méthode
donnée par M. G. DARBOUX dans un Mémoire sur les fonctions de grands
nombres (J L, 3e s., t. 4, 1878, p. 5, 377), donne l'expression
approchée du polynome de BERNOULLI de rang _n_, pour _n_ très grand.
N A M, 3e s., t. 6, déc. 1887, p. 547-554.
=4.= _Sur une suite de polynomes ayant toutes leurs racines réelles._
A M P G, d. R., 1. Bd., 1901, 10 déc. 1900, S. 69-71.
ARTICLE.
=1.= _Sur les fonctions sphériques et autres analogues._
En commun avec M. ARMAND LAMBERT (exposé fait d'après l'Article en
allemand de M. A. WANGERIN, avec des additions).
E S M E F, t. II, Art. 28 (_sous presse_).