Zeichenebene hinausfällt, möge nach der in 35 erörterten Methode
bestimmt werden. Wir ziehen durch _F_{a}_ irgendeine Linie, wählen
auf ihr den Punkt _p'_ beliebig und zeichnen einen neuen Horizont,
der in _f_{a}_ die Linie von _F_{a}_ nach _p'_ trifft. Nun ermitteln
wir eine horizontale Linie, welche im Punkte _p_ auf der Linie
_F_{a}p_ senkrecht steht. (Aufgabe 9.) Zunächst zeichnen wir den
Teildistanzpunkt ~D_{1}~/4, indem wir aus Fig. 73 die Strecke ~A_{1}~
_O_{1}_/4 entnehmen und ~A~ ~D_{1}~/4 = ~A_{1}~ _O_{1}_/4 antragen.
Dann mögen die Verbindungslinien von _p'_ nach ~A~ und ~D_{1}~/4 den
neuen Horizont in _a_ und _d_{1}_/4 treffen. Wir errichten gemäß der
früheren Ableitung in _a_ eine Senkrechte zum neuen Horizont und machen
dieselbe viermal so lang als die Strecke _a d_{1}_/4, so daß also
_ad_{4}_ = 4 ⋅ _a d_{1}_/4.
Verbinden wir _d_{4}_ mit _f_{a}_, so schneidet eine Senkrechte
zu dieser Linie im Punkte _d_{4}_ den Punkt _f_{b}_ aus und die
Verbindungslinie von _f_{b}_ mit _p'_ geht nach dem Fluchtpunkte
_F_{b}_.
Weitere Linien nach _F_{b}_ können wir nach dem dritten in 36
angegebenen Verfahren ermitteln. Zu diesem Zwecke sind in der Figur
rechts und links zwei Vertikale gezeichnet. Die Verbindungslinie
_p'f_{b}_ schneidet auf diesen die Punkte 0 aus; die Abschnitte bis
zum Horizont sind rechts und links je in zwölf gleiche Teile geteilt;
alle Linien nach _F_{b}_ teilen entsprechende Abschnitte der beiden
Vertikalen im gleichen Verhältnis. Es braucht wohl kaum bemerkt zu
werden, daß die Nummern auf den beiden Vertikalen bloß dem Zwecke
dienen, Linien nach dem Fluchtpunkt _F_{b}_ zu liefern, und daß diese
Nummern ganz unabhängig sind von den übrigen Ziffern der Figur.
Die Konstruktion des Bildes des verschobenen Grundrisses kann nun
wie folgt erfolgen. Die Punkte 1, 7, 13, 14, 8, 2 auf der Linie _ll_
ergeben sich sofort, indem man die entsprechenden Strecken von
_h_{1}h_{1}_ überträgt. Ist also _m_ der Schnittpunkt der Achse des
Körpers mit _ll_, so ist
_m_1 = ~A_{1}~1, _m_7 = ~A_{1}~7 usf.
[Illustration: Fig. 74.]
Verbinden wir dann die Punkte 1 und 2 mit _F_{a}_, so sind dies zwei
Seiten des äußeren Viereckes. Die auf der Linie von 2 nach _F_{a}_
gelegenen Ecken 3 und 4 bestimmen wir nun etwa durch Tiefenlinien.
Wir zeichnen zunächst im Grundriß (Fig. 73) die Senkrechte durch 3 zu
_h_{1}h_{1}_, welche in _s_{1}_ die Bildtafel trifft. Machen wir in
Fig. 74 _ms_ = ~A_{1}~_s_{1}_, so ist _s_ die Spur in der Parallelebene
und ~A~_s_ das Bild der Tiefenlinie. Diese Linie _As_ schneidet dann
auf der Linie 2._F_{a}_ den Punkt 3' aus. Ebenso mag man die übrigen
Ecken 4', 5', 6' ermitteln und es nun als Kontrolle benutzen, daß 4'.5'
und 3'.6' durch _F_{b}_ gehen müssen.
Man kann auch die Spuren der Geraden, soweit sie bequem erreichbar
sind, hinzunehmen. Um das Bild des zweiten Vierecks 9, 10, 11, 12 zu
zeichnen, ist im Grundriß die Spur _t_{1}_ der Linie 9. 12 gezeichnet.
Machen wir in Fig. 74 _mt_ = ~A_{1}~_t_{1}_, so ist _t_ die Spur der
Linie 9. 12 und 9'. 12' geht verlängert durch _t_.
Endlich können wir auch noch die Eigenschaft verwenden, daß die
Verbindungslinien 5'.3', 6'.4', 9'.11', 10'.12' usf. alle durch _m_
gehen müssen.
Ist auf diese Art das Bild des verschobenen Grundrisses oben
konstruiert, so liefern die Vertikalen durch die Ecken 3', 4', 5', 6'
usf. je einen ersten Ort, auf dem die Bilder des Grundrisses selbst
gelegen sein müssen. Unter Benutzung der Schnittfigur mit der Bildebene
ist das Bild des Körpers dann aber leicht fertigzustellen. So liefert
z. B. der Punkt _x_ mit _F_{a}_ verbunden die untere, linke Kante des
Sockels und die Senkrechten durch 5' und 6' schneiden auf ihr die
betreffenden Ecken aus.
Wie wir bei dieser Aufgabe die Grundebene nach +oben+ verschoben
(Deckenriß), so kann man unter Umständen auch unterhalb der Grundebene
eine Parallelebene wählen, in diese den Grundriß projizieren (sog.
Kellergrundriß) und dessen Bild zur Konstruktion benutzen.
§ 14. Die Darstellung des Kreises.
=38. Der Kreis in einer zur Tafel parallelen Ebene.= Bis jetzt haben
wir uns immer mit der Abbildung gerader Linien beschäftigt, wobei uns
die Eigenschaft zustatten kam, daß das Bild einer geraden Linie wieder
eine Gerade ist. Wir wollen nun auch das Bild einer krummen Linie
zeichnen, nämlich das des Kreises. Es ist dann allerdings nötig, daß
wir uns von einer Anzahl von Punkten, die auf dem Kreise angenommen
werden, die Bilder zeichnen und diese durch einen Linienzug verbinden.
Wir wollen mit dem einfachsten Falle beginnen, der sich ergibt, wenn
das Bild des gegebenen Kreises wieder ein Kreis ist.
[Illustration: Fig. 75.]
Der abzubildende Kreis liege in einer zur Tafel parallelen Ebene (Fig.
75). Die vom Auge nach den Punkten des Kreises gehenden Sehstrahlen
bilden einen Kegel, der die Tafel nach einer Figur schneiden muß, die
zu dem gegebenen Kreise ähnlich ist (S. 45); diese Schnittfigur ist
also selbst wieder ein Kreis. Der Mittelpunkt des gegebenen Kreises
bildet sich wieder in den Mittelpunkt des neuen Kreises ab, der Radius
des neuen Kreises wird je nach der Entfernung des gegebenen Kreises
verschieden verkürzt werden. Wir führen die Konstruktion durch an
folgender
=Aufgabe 22=. Ein Punkt _m_ ist gegeben durch sein Bild _m'_ und
durch die Spur _a_ der durch ihn gehenden Tiefenlinie _A_ (Fig.
76). Man zeichne das Bild des Kreises, der um _m_ mit gegebenem
Radius _r_ beschrieben wird und in einer zur Tafel parallelen
Ebene liegt.
[Illustration: Fig. 76.]
Auf dem Bilde _A'_ der Tiefenlinie _A_ ist die Spur _a_ von _A_ und
das Bild _m'_ des Mittelpunktes gegeben. Wir denken uns (Fig. 75) den
Durchmesser _np_ des Kreises gezogen, der zum Horizont parallel läuft,
und ziehen durch seine beiden Endpunkte _n_ und _p_ die Tiefenlinien
_B_ und _C_. Die Spuren _b_ und _c_ dieser beiden Tiefenlinien erhalten
wir in Fig. 76 ohne weiteres, wenn wir durch _a_ eine Parallele zum
Horizont ziehen und auf dieser Parallelen _ab_ und _ac_ je gleich dem
gegebenen Radius _r_ des Kreises antragen. Verbinden wir _b_ und _c_
mit ~A~, so sind dies die Bilder _B'_ und _C'_ der Tiefenlinien _B_ und
_C_ und sie schneiden auf der Parallelen durch _m'_ zum Horizont die
Punkte _n'_ und _p'_ aus. _n'p'_ ist der Durchmesser des Bildes des
Kreises, das also daraus gezeichnet werden kann.
Als Anwendung dieser Konstruktion geben wir in Fig. 77 das Bild einer
ringförmigen Platte, die mit ihrer vorderen Fläche in der Bildtafel
liegt, _m_ ist der Mittelpunkt für die beiden vorderen Kreise. Ziehen
wir durch _m_ die Parallele zum Horizont und tragen auf ihr eine
Strecke _mx_ ab, welche gleich der gegebenen Dicke der Platte ist, so
liefert _x_ mit D_{1} verbunden auf der Linie _m_A den Punkt _t'_,
welcher der Mittelpunkt für die beiden rückwärtigen Kreise ist; deren
Radien ergeben sich wie in Fig. 76.
[Illustration: Fig. 77.]
=39. Der Kreis in einer Horizontalebene.= Wir gehen nun zu dem Falle
über, daß der abzubildende Kreis in einer horizontalen Ebene gelegen
ist, z. B. in der Grundebene. Es sei zu behandeln folgende
=Aufgabe 23.= Ein Kreis von gegebenem Radius liegt in der
Grundebene so, daß er die Grundlinie berührt. Das Bild des
Kreises zu zeichnen.
[Illustration: Fig. 78.]
Die Fig. 78 zeigt die Anordnung im Raume; in Fig. 79 ist der Kreis
in der Verschiebung gezeichnet. Es ist nun vorteilhaft, sich nicht
nur Punkte des Bildes zu verschaffen, sondern auch Linien, welche das
Bild berühren, sogenannte Berührungslinien oder »Tangenten«. Zu diesem
Zwecke umschreiben wir dem Kreise das Quadrat (1)(2)(3)(4), dessen
Seiten den Kreis in den Punkten (5), (6), (7) und (8) berühren. Das
Bild dieses Quadrates ist leicht zu zeichnen, (1)(4) und (2)(3) sind
Tiefenlinien; ihre Bilder laufen also nach A; die Linie (2)(4) aber
geht im Bilde nach dem linksseitigen Distanzpunkte D_{1} (vgl. 14).
Ferner ist auch (6)(8) eine Tiefenlinie und ihr Bild schneidet auf der
Linie 2.4' das Bild _m'_ des Punktes _m_ aus. Die Linie (5)(7) geht
in eine Parallele durch _m'_ über, welche auf den Linien 1.4' und 2.3'
die Punkte 5' und 7' liefert. Das Bild des Kreises wird in diesem Falle
eine Ellipse, welche dem Vierecke 1 2 3' 4' einbeschrieben ist und
dessen Seiten in den Punkten 6, 7', 8', 5' berührt.
[Illustration: Fig. 79.]
Ohne Beweis sei erwähnt, daß _m'_ nicht der »Mittelpunkt« der Ellipse
ist, daß dieser vielmehr in die Mitte der Strecke 6.8' fällt.
Bringt man die Diagonalen (2)(4) und (1)(3) des Quadrates mit dem
Kreise zum Schnitt, so erhält man die Punkte 9, 10, 11, 12 und auch
deren Bilder 9', 10', 11', 12' lassen sich leicht ermitteln, da (9) und
(10) sowie (11) und (12) je auf einer Tiefenlinie liegen. Sich noch
weitere Punkte der Ellipse aus den Punkten des Kreises zu verschaffen
ist gar nicht nötig.
Es wird nützlich sein, wenn der Leser sich auch das Bild eines Kreises
zeichnet, der auf der rechten Seite des Hauptpunktes gelegen ist.
Die Figur ist dann weiter benutzt, um das Bild eines
Umdrehungs-Zylinders, also einer Walze, zu zeichnen. Ist die Höhe
des Zylinders durch die Strecke 6.6^* gegeben, so schneidet die
Deckfläche des Zylinders die Bildebene in der Linie _ll_, welche
durch 6^* parallel zur Grundlinie geht. Die Konstruktion des Bildes
des Deckkreises des Zylinders erfolgt genau in der gleichen Weise;
entsprechende Punkte z. B. 3' und 3'^* liegen übrigens immer auf
Vertikalen, was viele Kontrollen liefert. Endlich wird das Bild des
Zylinders vollendet, indem man auf beiden Seiten die berührenden
Vertikalen an beide Ellipsen zeichnet.
=40. Der Kreis in einer vertikalen Tiefenebene.= In ganz ähnlicher
Weise wie ein horizontaler Kreis kann auch ein Kreis abgebildet
werden, der in einer lotrechten Tiefenebene liegt. Wir behandeln diesen
Fall in der folgenden
=Aufgabe 24.= In einer lotrechten Tiefenebene, die durch ihre
Spur S gegeben ist, liegt ein Kreis von gegebenem Radius, der
die Grundebene und die Bildtafel berührt. Das Bild dieses
Kreises zu zeichnen.
[Illustration: Fig. 80.]
Die Figur 78 zeigt rückwärts den Kreis in seiner Lage gegen Grundebene
und Bildtafel. Wir umschreiben demselben wieder das Quadrat 1 2 3 4,
von dem die Seite 1.2 in der Spur _S_ der Ebene, 1.4 in der Grundebene
liegt. Um den Kreis auch in seiner wahren Gestalt vor uns haben, denken
wir uns seine Ebene wie eine Türe nach außen um die Spur _S_ in die
Bildebene hineingedreht, wie dies der Pfeil in Figur 78 andeutet. In
dieser Lage ist der Kreis, sowie das umschriebene Quadrat 1 2 (3) (4)
in Fig. 80 gezeichnet. Das Bild des Kreises ergibt sich dann wie folgt.
Die Tiefenlinien 1.4 und 2.3 haben als Bilder die Linien von 1 nach
A und von 2 nach A. Die letzte Quadratseite 3.4 kann ferner durch
folgende Überlegung gefunden werden. Ziehen wir die Diagonale 1.3,
welche durch den Mittelpunkt _m_ geht, so ist diese Linie unter 45°
gegen die Grundebene geneigt. Die Parallele durch _O_ zu dieser Linie
schneidet den Fluchtpunkt derselben aus und derselbe muß nach Satz
24 auf der Senkrechten durch ~A~ liegen und von ~A~ um die Distanz
abstehen. Der Fluchtpunkt ist also der schon früher gezeichnete Punkt
~D_{4}~. Ganz ebenso ergibt sich als Fluchtpunkt der anderen Diagonale
2.4 der Punkt ~D_{3}~, der in Fig. 80 eingezeichnet ist. Wenn wir also
in Fig. 80 die Linien 1.~D_{4}~ 2.~D_{3}~ ziehen, so schneiden diese auf
den Bildern 2.~A~ und 1.~A~ die Bilder 3' und 4' aus. Zur Probe dient,
daß 3'.4' lotrecht sein muß. Ferner ist der Schnittpunkt von 1.~D_{4}~
und 2.~D_{3}~ das Bild _m'_. Die Vertikale durch _m'_ liefert auf den
Linien 2.~A~ und 1.~A~ die Berührungspunkte 5' und 7'; die Linie 6.~A~
muß von selbst durch _m'_ gehen und gibt den Berührungspunkt 8'.
[Illustration: Fig. 81.]
In dem hier vorliegenden Falle ist das Bild des Kreises wieder eine
Ellipse; _m'_ ist nicht ihr Mittelpunkt; derselbe liegt vielmehr auf
der Linie 6.8' in der Mitte zwischen 6 und 8'.
Die Bilder der Punkte 9, 10 usw. lassen sich wie im vorigen Falle
bestimmen. Auch die Tangente im Punkte 9' an die Ellipse ist leicht zu
zeichnen. Da nämlich die Tangente im Punkte 9 an den Kreis parallel
zur Linie 1.(3) verläuft, so muß das Bild dieser Tangente nach D_{4}
fliehen, also ist die Linie 9'.D_{4} diese Tangente.
Als Anwendung dieser Aufgabe geben wir in Fig. 81 das Bild eines
Rundbogens, der in einer lotrechten Tiefenebene gelegen ist; _S_ sei
die Spur dieser Tiefenebene. Von dem Rundbogen ist links oben die
Hälfte in der Umlegung in die Tafel gegeben. Zur Konstruktion soll
der Teildistanzpunkt D_{1}/2 verwendet werden. Tragen wir die Hälfte
der Strecke 1(_m_) auf der Horizontalen durch 1 nach rechts ab und
verbinden den Endpunkt mit D_{1}/2, so erhalten wir (Aufg. 4) auf der
Tiefenlinie 1.A das Bild _m'_; in entsprechender Weise ergeben sich
für die weiteren Punkte (3) ... die Bilder. Die Parallele durch (2)
schneidet _S_ in einem Punkte, der mit A verbunden die Berührungslinie
im Scheitel 2' des Bogens liefert, wobei 2' auf der Vertikalen durch
_m'_ gelegen ist. Der ganze Rundbogen ist dann in 7 gleiche Teile
geteilt und es sind die Bilder der Fugen eingetragen. Diese Fugen
laufen alle durch _m'_.
Schließlich sei noch erwähnt, daß das Bild eines Kreises nicht immer
eine Ellipse zu sein braucht, sondern auch eine sogenannte »+Hyperbel+«
oder eine »+Parabel+« sein kann, worauf wir aber nicht weiter eingehen
können.
§ 15. Einfache Schattenkonstruktionen.
=41. Schatten bei parallelem Lichte.= Die undurchsichtigen Körper
haben die Eigenschaft, daß sie das auf sie fallende Licht irgendeiner
Lichtquelle nicht durchgehen lassen, sondern es aufhalten oder
verschlucken (absorbieren), so daß sich hinter dem Körper ein
lichtleerer Raum, der +Schatten+, ausbildet. Indem wir den Unterschied
von Licht und Schatten auch im Bilde etwa durch Schraffierung der
beschatteten Teile einigermaßen wiedergeben, erreichen wir eine größere
Naturtreue.
[Illustration: Fig. 82.]
Was die Lichtquelle betrifft, so wollen wir uns vorstellen, die Sonne
ziehe sich zu einem Punkte zusammen, etwa auf ihren Mittelpunkt, und
stehe außerdem fest am Himmel. Die dann entstehende Beleuchtung können
wir durch folgende Bestimmung ersetzen. Wir geben uns eine Gerade _s_
beliebig im Raume (Fig. 82) und nehmen an, daß alle Lichtstrahlen zu
dieser Geraden s parallel sind. Der ganze Raum ist erfüllt von diesen
parallelen Lichtstrahlen. Wir nennen dies eine »Beleuchtung durch
parallele Lichtstrahlen«.
Es sei jetzt eine Stange _pq_ gegeben, die auf der Grundebene senkrecht
steht (Fig. 82). Wie können wir den Schatten ermitteln, den sie in die
Grundebene wirft? Alle auf die Gerade _pq_ treffenden Lichtstrahlen
werden aufgehalten und bilden fortgesetzt eben den Schatten der
Geraden _pq_. Wir haben demnach durch die Punkte der Geraden _pq_ die
parallelen zur Geraden _s_ zu zeichnen. Alle diese Parallelen liegen
aber, wie man leicht erkennt, in einer Ebene und diese Ebene schneidet
aus der Grundebene den Schatten der Geraden _pq_ aus, der also eine
Gerade ist. Offenbar geht dieser Schatten durch den Fußpunkt _q_ der
Stange. Das Ende des Schattens aber erhalten wir, wenn wir durch den
Endpunkt _p_ den Lichtstrahl legen. Trifft dieser in _p_{*}_ die
Grundebene, so ist _p_{*}_ der Schatten des Punktes _p_ und _qp_{*}_
wird der Schatten der Geraden _pq_. Im Gegensatz zu dem Schatten, den
die Gerade _pq_ unter Umständen auf andere Körper wirft, nennen wir
den Schatten _qp_{*}_ auf der Grundebene den »+Grundschatten+«. Eine
zweite, ebenfalls auf der Grundebene senkrechte Gerade _rt_ liefert
ganz in der gleichen Weise den Grundschatten _tr_{*}_ und man sieht
ohne Mühe ein, daß _tr_{*}_ ∥ _qp_{*}_. Allgemein kann man sagen:
=Satz 26.= »+Parallele Gerade liefern parallele Grundschatten auf
der Grundebene.+«
[Illustration: Fig. 83.]
Weiter handelt es sich nun darum, die Bilder dieser Schatten zu
zeichnen. Wir beachten zu diesem Zwecke, daß die Lichtstrahlen
parallele, schiefe Gerade sind, wie wir sie im § 9 betrachtet haben.
Diese parallelen Geraden haben also einen Fluchtpunkt, den wir
erhalten, wenn wir durch das Auge _O_ eine Parallele zur Geraden
_s_ ziehen und den Schnittpunkt ~S~ dieser Parallelen mit der Tafel
ermitteln. Hat der in _O_ befindliche Beschauer die (punktförmige)
Lichtquelle im Rücken, so befindet sich der Fluchtpunkt ~S~ +unterhalb+
des Horizonts. Fällen wir von ~S~ aus in der Bildebene eine Senkrechte
zum Horizont und nennen ~S~_{_h_} ihren Fußpunkt, so können wir die
Betrachtung von 27 ohne weiteres auch hier anwenden und sehen, daß
_OS_{h}_ ∥ _qp_{*}_ ∥ _tr_{*}_.
[Illustration: Fig. 84.]
Mit anderen Worten:
=Satz 27.= »+Der Punkt ~S~_{_h_}, die Projektion des
Fluchtpunktes ~S~ der parallelen Lichtstrahlen auf den
Horizont, ist der Fluchtpunkt der Grundschatten.+«
Die Bilder der Grundschatten fliehen also alle nach ~S_{h}~ (Satz 23).
Damit erledigt sich nun leicht folgende
=Aufgabe 25.= Eine auf der Grundebene senkrechte Gerade _pq_ ist
im Bilde gegeben; man zeichne ihren Grundschatten, wenn das
parallele Licht durch den Punkt ~S~ gegeben ist.
Durch die Annahme des Punktes ~S~ (Fig. 83) ist die Beleuchtung
vollständig gegeben, da damit die Richtung der Lichtstrahlen bestimmt
wird. Fällen wir von ~S~ ein Lot zum Horizont, so liefert dies den
Fluchtpunkt ~S_{h}~ der Grundschatten. Ist _p'q'_ das gegebene Bild
(wir nehmen an, es wäre bereits gefunden), so gibt die Verbindungslinie
von _q'_ nach ~S_{h}~ den Grundschatten. Der durch _p_ gehende
Lichtstrahl muß aber einerseits durch _p'_, andererseits durch den
Fluchtpunkt ~S~ gehen; demnach schneidet die Verbindungslinie von ~S~
nach _p'_ auf der Linie von _q'_ nach ~S_{h}~ den Endpunkt _q_{*}'_ des
Grundschattens aus. Es ist _q'p_{*}'_ das Bild des Grundschattens. Die
einfache Regel lautet also: _p_{*}'_ ist der Schnittpunkt der Linien
_q'_~S_{h}~ und _p'_~S~.
Damit ist aber auch die Aufgabe gelöst: den Schatten eines beliebigen
Punktes in der Grundebene zu zeichnen. Denn wir brauchen ja nur von
dem Punkte das Lot auf die Grundebene zu fällen und dessen Fußpunkt zu
ermitteln. Dann können wir nach der obigen Aufgabe den Schatten dieser
Senkrechten ermitteln. Wir wenden das an in folgender
=Aufgabe 26.= Den Schatten zu zeichnen, den ein Obelisk in die
Grundebene wirft.
Das Bild des Obelisken, der auf der Grundebene steht, ist nach dem
Früheren gezeichnet (Fig. 84). Um den Schatten in der Grundebene zu
ermitteln, geben wir uns den Punkt ~S~ und seine Projektion ~S_{h}~.
Zunächst zeichnen wir von der in der Tafel liegenden Kante 1.2 des
Sockels nach der oben abgeleiteten Regel den Schatten 1.2_{*}'; ebenso
finden wir den Schatten 4.3_{*}' der Kante 3.4. Die Verbindungslinie
2_{*}'.3_{*}' ist dann der Schatten der Kante 2.3 und sie flieht, wie
man leicht erkennt, nach ~A~. Nun sind die Schatten der 4 Kanten des
Obelisken zu zeichnen. Die durch 5 gehende Kante verlängern wir bis zu
ihrem Schnittpunkt 6 mit der Grundebene und erhalten in 6.5_{*}' ihren
Schatten. Ebenso wird 8.7_{*}' der Schatten der Kante 7.8. Die Schatten
der beiden anderen Kanten fallen, wie die Konstruktion zeigt, zwischen
diese beiden Schatten hinein, so daß also 6.5_{*}' und 8.7_{*}' den
Schatten in der Grundebene begrenzen. Zeichnen wir noch den Schatten
9_{*}' der Spitze 9, indem wir die Senkrechte 9.10 benutzen, so ist der
»Schlagschatten« des Obelisken in der Grundebene fertiggestellt, wenn
man 9_{*}' mit 5_{*}' und 7_{*}' verbindet.
Es bildet sich aber auch auf dem Körper ein Gegensatz von Licht und
Schatten aus, in dem gewisse Teile des Körpers in Schatten gesetzt
werden (Eigenschatten). Schneidet die Linie 6.5_{*}' die Kante 1.4
in 11, so geht die Begrenzung des Schattens auf dem Sockel senkrecht
in die Höhe nach 12. Auf der oberen Fläche des Sockels gibt dann die
Linie von 13 nach 12 die Grenze des Schattens und es kann zur Kontrolle
dienen, daß sie als ein Grundschatten nach ~S_{h}~ laufen muß. Ferner
befinden sich die durch die Kante 13.5 gehende Fläche des Obelisken und
die daran sich schließende durch 5.9 gehende Deckfläche im Schatten,
was durch Schraffierung angedeutet ist.
Endlich mag noch bemerkt werden, daß man den Punkt ~S~ auch oberhalb
des Horizonts annehmen kann. Dann hat der Beschauer die Lichtquelle vor
sich und die Schatten bilden sich im Bilde nach vorne aus.
§ 16. Künstlerische Freiheiten.
=42. Freiere Gestaltung des Bildes.= Am Schlusse unserer Betrachtungen
angelangt, wollen wir uns noch darüber klar werden, was die Lehre von
der Perspektive uns bietet, so daß wir uns von einer Überschätzung
dieser Wissenschaft in gleicher Weise fernhalten wie von einer
Unterschätzung. Die Aufgabe der Perspektive haben wir darin erkannt,
daß sie uns ein gesetzmäßig definiertes Bild eines Gegenstandes liefern
soll, das uns soweit als möglich den Gesichtseindruck ersetzt, den
wir von dem Gegenstand erhalten. Tatsächlich besteht nun aber das
Betrachten irgendeines Körpers darin, daß wir seine einzelnen Teile
der Reihe nach ins Auge fassen und unseren Blick von einer Stelle
zur anderen gleiten lassen. Was wir dabei zunächst beurteilen und
abschätzen, sind die Gesichtswinkel, welche die Blicklinien nach den
einzelnen Punkten des Körpers miteinander einschließen. Aus allen
diesen Beobachtungen und Eindrücken setzen wir dann das Bild des
Körpers im Auge zusammen.
Da nun aber Winkel durch Kreisbögen gemessen werden, so gelangen wir
naturgemäß dazu, um das Auge _{O}_ eine Kugel mit einem beliebigen
Radius zu beschreiben und die nach den einzelnen Punkten des Objektes
gehenden Blicklinien mit dieser Kugel zum Schnitt zu bringen. Das heißt
dann aber nichts anderes, als daß wir das Objekt aus dem Mittelpunkt
auf die Kugelfläche projizieren. Ein solches auf der Innenseite
einer Kugelfläche gelegenes Bild, das aus dem Mittelpunkt der Kugel
betrachtet wird, genügt allen Ansprüchen. Es kann für beliebig große
Teile des Raumes hergestellt werden: ein Panorama könnte z. B. in
dieser Weise eingerichtet sein. Die geraden Linien des Raumes gehen
in größte Kreise auf der Kugel über. In den allermeisten Fällen aber
verlangen wir aus Bequemlichkeitsgründen, daß die Abbildung des
Gegenstandes auf einer +ebenen+ Fläche erfolgt; wir wollen das Bild in
einem Buche, in einer Mappe oder an der Wand haben und deswegen ist
das auf einer Kugel gelegene Bild für gewöhnlich nicht zu gebrauchen.
Dann liegt es aber nahe, die Kugelfläche durch eine Ebene zu ersetzen
in der Weise, daß wir eine Ebene einführen, welche im Punkte _a_ der
Kugel auf dem Radius _oa_ senkrecht steht (Fig. 85). Man nennt diese
Ebene eine Berührungsebene oder Tangentialebene der Kugel. Statt auf
die Kugel projizieren wir nun die Gegenstände auf diese Ebene und sind
damit zu der Abbildung gelangt, wie sie die Perspektive liefert. In
der Nachbarschaft des Punktes _a_ schmiegt sich die Berührungsebene
der Kugel an und beide Abbildungen, die auf der Kugel und die auf der
Ebene, stimmen so ziemlich überein. Je größer aber der Ausschnitt
des Raumes wird, den wir abbilden, um so stärker weichen die beiden
Abbildungen voneinander ab.
[Illustration: Fig. 85.]
Es ist aber wohl zu beachten, daß die Blickrichtung bei Betrachtung
des ebenen Bildes immer mit _Oa_ zusammenfallen muß. Drehen wir
den Kopf seitwärts, so daß wir z. B. in der Richtung _Ob_ sehen,
so müssen wir uns die in _b_ berührende Ebene als Tafel eingeführt
denken. Man könnte nun auf den Gedanken kommen, die Bilder, wie sie
den Blickrichtungen _oa_, _ob_, _oc_ ... und den in diesen Punkten
konstruierten Berührungsebenen entsprechen, einfach zu einem Gesamtbild
zu vereinigen. Aber auch dieser Versuch würde auf große Schwierigkeiten
stoßen. Nehmen wir etwa an, es wäre eine Reihe gleichgroßer vertikaler
Pfeiler (I, II, III ...) wie in Fig. 36, 37 darzustellen. Dann wäre das
Bild des mittleren Pfeilers III am größten und nach beiden Seiten zu
würden die Bilder kleiner werden. Die Verbindungslinien der oberen und
der unteren Endpunkte wären keine Geraden mehr, sondern krumme Linien,
die obere würde sich nach unten, die untere nach oben krümmen. Wir
müßten also dann den Grundsatz opfern, daß gerade Linien sich wieder in
gerade Linien abbilden und damit würde die Herstellung solcher Bilder
ungemein erschwert.