der Meer van Delft+ (1632--1675), finden wir Interieurs mit kleiner
Distanz.[5] So ist bei dem in Abb. 9 wiedergegebenen Bilde, das sich im
kgl. Schloß in Windsor befindet und eine Musikstunde darstellt, die
Distanz wenig größer als die Höhe des Bildes (etwa 1-1/17 derselben).
Man kann aber hier schon die unangenehme Folgeerscheinung beobachten,
daß bei solchen Bildern mit kurzer Distanz der Boden im Vordergrund
sich nach abwärts zu neigen, sich herunterzuklappen scheint.
[5] Man vgl. dazu Hans Jantzen, Niederländische Malerei im 17.
Jahrhundert. S. 52. (ANuG Bd. 373.) 1912.
[Illustration: Abb. 10.]
=32. Das photographische Bild.= Was die Bilder des photographischen
Apparates betrifft, so liefern Objektive mit großer Brennweite
Darstellungen, die einer großen Distanz entsprechen, Objektive mit
kleiner Brennweite, sogenannte Weitwinkel, geben Bilder mit kleiner
Distanz. Die übertriebene Perspektive solcher Weitwinkel erklärt sich
abgesehen von der eben erwähnten Wahl eines falschen Standpunkts
direkt durch die Wirkung der kleinen Distanz. In der Tat sind _ab_
und _cd_ etwa zwei gleichgroße Objekte, _O_ und _O'_ die Zentren der
Perspektive (Fig. 61) und _a'b'_, _c'd'_ ihre Bilder in der durch eine
Gerade dargestellten Tafel, so bemerkt man den Unterschied, je nachdem
die Distanz klein ist wie in der oberen Figur oder groß wie in der
unteren. In der oberen Figur ist _c'd'_ mehr als doppelt so groß wie
_a'b'_, in der unteren nicht ganz doppelt so groß. Dadurch daß das
fernere Objekt beim Weitwinkel so stark verkleinert wird, erscheint
das nähere gleichzeitig unverhältnismäßig groß. Die Abb. 10 gibt
uns die Aufnahme einer sitzenden Person, wobei sich der Apparat sehr
nahe an der Person befand. Die an und für sich richtige Perspektive
führt zu komischen Wirkungen. Doch lassen sich, wie Abb. 11 zeigt,
mit dem gleichen Objektiv etwas bessere Bilder erzielen, wenn man nur
einen größeren Abstand von dem Objekt wählt. Für Landschaftsaufnahmen
sind diese Überlegungen von großer Bedeutung. Ein Weitwinkel läßt
ferne, hohe Berge zu unbedeutenden Hügeln zusammenschrumpfen, er
treibt den Hintergrund zurück, wie die Photographen sagen, und betont
den Vordergrund. Ein Objektiv mit großer Brennweite dagegen gibt
ferne Berge groß, es »zieht den Hintergrund nach vorn« und läßt den
Vordergrund weniger in die Erscheinung treten.
[Illustration: Abb. 11.]
§ 12. Unzugängliche Distanz- und Fluchtpunkte.
=33. Unzugänglicher Distanzpunkt.= Den Augpunkt einer Darstellung
werden wir naturgemäß in der Mittellinie des Bildausschnittes annehmen,
da man bei Betrachtung eines Bildes doch ganz von selbst vor die Mitte
tritt. Dann folgt aber aus unseren Erörterungen und aus den Figuren
55 bis 59 ohne weiteres, daß die Distanzpunkte nicht mehr in dem
Bildausschnitt liegen, sondern weit darüber hinaus fallen. Verwendet
man also nicht eine viel größere Zeichenfläche, z. B. ein sehr großes
Reißbrett, so sind die Distanzpunkte nicht mehr zu erreichen. Das
gleiche gilt für Fluchtpunkte horizontaler Geraden, die, wie z.
B. schon die Fig. 48 erkennen läßt, häufig weit auf dem Horizont
hinausfallen, wenn die Figur nicht absichtlich darnach eingerichtet
wird. Es fragt sich nun, wie man +die Konstruktionen, die sich auf
solche über die Zeichenfläche hinausfallende Punkte beziehen, trotzdem
erledigen kann+. Das ist die wichtigste Aufgabe der praktischen
Perspektive.
[Illustration: Fig. 62.]
Wir wollen zunächst sehen, wie man die Aufgabe 5, also die Konstruktion
eines Tiefenmaßstabes, durchführen kann, wenn die Distanzpunkte nicht
mehr erreichbar sind. War auf einer gegebenen Tiefenlinie _T_ von ihrer
Spur _t_ aus eine Strecke anzutragen, so machten wir auf der Grundlinie
_ts_ = dieser Strecke (Fig. 62) und verbanden den Punkt _s_ mit einem
Distanzpunkt ~D_{1}~; die Verbindungslinie schnitt aus _T'_ den
gesuchten Punkt _p'_ aus (vgl. die frühere Fig. 21 ~b~). Halbieren wir
nun aber die Strecke ~AD_{1}~ und bezeichnen die Mitte mit ~D_{1}~/2.
Verbinden wir weiter diesen Punkt ~D_{1}~/2 mit _p'_, so möge diese
Linie die Grundlinie im Punkte _q_ treffen. Dann gilt die Proportion:
_tq_ : _qs_ = ~A~ ~D_{1}~/2 : ~D~ ~D_{1}~/2 = 1 : 1.
Es ist mithin auch _q_ die Mitte von _ts_ und
_tq_ = _qs_ = _ts_/2.
[Illustration: Fig. 63.]
Wir können zum Punkte _p'_ also auch gelangen, wenn wir die +halbe+
Strecke _tq_ auf der Grundlinie antragen, den Endpunkt _q_ mit dem
Punkte ~D_{1}~/2 verbinden und diese Linie mit _T'_ zum Schnitt
bringen. Soll demnach z. B. auf der Tiefenlinie _T'_ ein Maßstab
gezeichnet werden, dessen Einheit gegeben ist, und kann man ~D_{1}~/2
noch erreichen (Fig. 63), so tragen wir die halbe Einheit auf der
Grundlinie wiederholt ab und projizieren diese Punkte aus ~D_{1}~/2 auf
_T'_. Dann erhält man den verlangten Tiefenmaßstab.
[Illustration: Fig. 64 ~a~.]
[Illustration: Fig. 64 ~b~.]
Rückt die Teilung auf der Grundlinie zu weit hinaus, so kann man z. B.
durch 2' eine Parallele _l_ zur Grundlinie ziehen und die auf dieser
Parallelen ausgeschnittene kleinere Strecke 2'3'' auf _l_ wiederholt
antragen und aus ~D_{1}~/2 projizieren.
Der Punkt ~D_{1}~/2 heißt ein »Teil-Distanzpunkt«. Selbstverständlich
könnte man die ganze Strecke ~AD_{1}~ auch in drei gleiche Teile
teilen und den ersten Teilpunkt von ~A~ aus mit ~D_{1}~/3 bezeichnen.
Dann hätte man statt der ganzen Strecke bloß den dritten Teil auf der
Grundlinie anzutragen. Mit ~D_{1}~/3 verbunden liefern diese Punkte
auch wieder den Tiefenmaßstab usf.
=34. Unzugängliche Fluchtpunkte.= +Erstes Verfahren.+ Die Ermittlung
des Fluchtpunktes einer beliebigen, horizontalen Geraden beruhte
wesentlich auf den Überlegungen von (16), die zu der in der Fig. 24
gegebenen Konstruktion führten. Ist nun in dieser Figur der Fluchtpunkt
_f_{a}_ nicht zugänglich, so kann man diese Schwierigkeit in folgender
Weise umgehen: wir verkleinern die ganze Figur, indem wir sie sich
gegen den Punkt ~A~ zusammenziehen lassen.
Der aus der Geometrie hierbei anzuwendende Satz ist in den Fig. 64 ~a~
und 64 ~b~ noch eigens veranschaulicht. Es ist hier zu dem Vieleck
_abcde_ in folgender Weise ein neues konstruiert worden. Ein Punkt _o_
wird beliebig gewählt und mit allen Ecken _a_, _b_, _c_ ... verbunden.
Auf diesen Verbindungslinien werden die Punkte _a'_, _b'_, _c'_ ...
dadurch bestimmt, daß man alle Strecken _oa_, _ob_, _oc_ ... im
gleichen Verhältnis teilt, also beispielsweise immer
_a'o_ = ⅔ _ao_,
_b'o_ = ⅔ _bo_,
_c'o_ = ⅔ _co_ ...
macht. Das neue Vieleck _a'_, _b'_, _c'_ ... hat dann folgende
Eigenschaften:
~a~) Entsprechende Seiten der beiden Vielecke sind stets parallel, d.h.
es ist
_ab_ ∥ _a'b'_, _bc_ ∥ _b'c'_, _cd_ ∥ _c'd'_ usf.
~b~) Alle Verhältnisse der Seiten sind die gleichen, d. h. es ist
_ab_ : _bc_ = _a'b'_ : _b'c'_ usf.
[Illustration: Fig. 65.]
Wenn also z. B. die Seite _ab_ doppelt so groß ist wie _bc_, so ist
auch _a'b'_ doppelt so groß wie _b'c'_. Die Figuren _abcde_ und
_a'b'c'd'e'_ nennt man +ähnlich+ und +ähnlich liegend+ und _o_ den
+Ähnlichkeitspunkt+.
Im vorliegenden Falle benutzen wir ~A~ als Ähnlichkeitspunkt. Zunächst
ist in Fig. 65 die frühere Konstruktion wiederholt. Auf der Linie von
~A~ nach ~D_{3}~ wählen wir nun einen Punkt ~D_{3}~/3 so, daß
~A~ ~D_{3}~/3 = ⅓ ~AD_{3}~
und verkleinern die ganze Figur auf ein Drittel.
[Illustration: Fig. 66.]
Wir verbinden also _a_ mit ~A~, teilen diese Linie in drei gleiche
Teile und bezeichnen den ersten Teilpunkt von ~A~ aus mit _a_/3, so daß
~A~ _a_/3 = ⅓ ~A~_a_.
Ziehen wir dann durch den Punkt ~D_{3}~/3 eine Parallele zu
_f_{a}_~D_{3}~, so schneidet diese auf dem Horizont einen Punkt
_f_{a}_/3 aus, der die Eigenschaft hat, daß auch
~A~ _f_{a}_/3 = ⅓ ⋅ ~A~_f_{a}_
und es ist weiter dann auch
_af_{a}_ ∥ _a_/3 _f_{a}_/3.
Hat man die verkleinerte, punktierte Figur gezeichnet, so kann man _A'_
finden, wenn ein Punkt, etwa die Spur _a_, bekannt ist, indem man durch
_a_ eine Parallele zu _a_/3 _f_{a}_/3 zieht.
Dies ist in der Figur 66 ausgeführt. Vermittels des Punktes ~D_{3}~/3
wurde zunächst _f_{a}_/3 ermittelt, in dem man zur Verschiebung (_A_)
der Geraden eine Parallele zog; verschafft man sich weiter die Spur
_a_ der Geraden und dazu den Hilfspunkt _a_/3 auf der Verbindungslinie
_aA_, so ist das Bild _A'_ parallel zur Linie _a_/3 _f_{a}_/3, kann
also als eine Parallele durch _a_ zu dieser Linie gezeichnet werden.
Wie stark wir die Figur verjüngen wollen, steht natürlich in unserem
Belieben; statt auf ⅓ zu verkleinern, können wir auch die Verjüngung
auf ¼ wählen oder bloß auf ½. Nur darf die neue Figur nicht zu klein
werden. Wir geben eine praktische Anwendung in der folgenden
=Aufgabe 18.= Eine Zimmerecke samt dem quadratisch getäfelten
Fußboden darzustellen, wenn der Teil-Distanzpunkt ~D_{1}~/4 noch
zugänglich ist.
Auf der Senkrechten, die im Augpunkt ~A~ zum Horizont gezogen werden
kann, nehmen wir den Punkt ~D_{3}~/4 an (Fig. 67); außerdem soll gegeben
sein die Eckkante _p'q'_, also die Höhe des Zimmers und die eine
Bodenkante _A'_ durch _p'_.
Zunächst haben wir eine Linie _B_ der Grundebene zu zeichnen, welche
im Punkte _p_ auf _A_ senkrecht steht, vgl. Aufgabe 9. Da ~D_{3}~/4
gegeben und noch zugänglich, verjüngen wir die ganze Figur auf ¼.
Dementsprechend verbinden wir den Punkt _p'_ mit ~A~, teilen diese
Strecke in 4 gleiche Teile und bezeichnen den ersten an ~A~ gelegenen
Teilpunkt mit _p'_/4. Durch diesen Punkt _p'_/4 ziehen wir eine
Parallele zur gegebenen Geraden _A'_, welche in _f_{a}_/4 den Horizont
treffen möge. Es ist also
_p'_/4 _f_{a}_/4 ∥ _A'_.
Nun können wir den Punkt _f_{a}_/4 mit ~D_{3}~/4 verbinden und im Punkte
~D_{3}~/4 eine Senkrechte zu dieser Linie zeichnen, welche aus dem
Horizont den Punkt _f_{b}_/4 ausschneidet. Verbinden wir _p'_/4 mit
diesem Teilfluchtpunkt _f_{b}_/4, so gibt diese Linie die Richtung von
=B'=; es ist also:
_B'_ ∥ _p'_/4 _f_{b}_/4,
womit die zweite Bodenkante konstruiert ist. Die an der Decke laufenden
Kanten finden wir, wenn wir zum Punkte _q'_ den Hilfspunkt _q'_/4
zeichnen. Eine Vertikale durch _p'_/4 liefert ihn sofort auf der
Verbindungslinie ~A~_q'_. Dadurch sind die Verbindungslinien _q'_/4
_f_{a}_/4 und _q'_/4 _f_{b}_/4 bestimmt und zu ihnen laufen die
Deckenkanten durch _q'_ beziehungsweise parallel.
[Illustration: Fig. 67.]
Man beachte auch, wie sich ein solcher gegen den Beschauer
vorspringender rechter Winkel im Bilde darstellt: seine beiden Schenkel
laufen von den betreffenden Fluchtpunkten weg. Dagegen kommen bei
der Darstellung einer Gebäudeecke, wie in Fig. 53 oder 72, wo der
rechte Winkel von außen betrachtet wird, die Teile der Schenkel zur
Verwendung, welche die Fluchtpunkte tragen.
[Illustration: Fig. 67 ~a~.]
Nun sei weiter die Seite _p'_1' eines Quadrates des Fußbodens gegeben.
Um diese Teilung auf der Geraden _A'_ fortzusetzen, verfahren wir
wie folgt: wir denken uns durch die Punkte 1, 2, 3 ... der Kante _A_
in irgendeiner Richtung parallele Gerade gelegt und bringen diese in
I, II, III ... zum Schnitt mit einer parallelen zur Grundlinie, wie
die Nebenfigur 67 ~a~ dies andeutet. Dann sind auch die Abschnitte
_p_I, I II, II III usf. gleich groß und umgekehrt werden gleich große
Abschnitte _p_ 1, 1 2, 2 3 ... auf _A_ erzeugt, wenn man durch gleich
große Strecken _p_I, I II, II III ... die Parallelen legt. Im Bilde
gehen diese Parallelen dann in Linien über, welche durch einen Punkt
des Horizonts laufen.
Dementsprechend ziehen wir durch _p'_ eine Parallele zur Grundlinie und
wählen als Punkt des Horizontes etwa ~A~. Die Verbindungslinie von 1'
nach ~A~ schneidet auf der Parallelen den Punkt I aus und wir machen
_p'_I = I II = II III ... Dann liefern die Punkte II, III aus ~A~
projiziert die Bilder 2', 3' ... 6'.
Um die durch diese Punkte gehenden Fußbodenlinien zu finden,
verschaffen wir uns die zugehörigen Hilfspunkte. Verbinden wir z.
B. 6' mit ~A~, so erhalten wir auf der Linie _p'_/4 _f_{a}_/4 den
entsprechenden Hilfspunkt 6'/4. Die durch 6' gehende Linie des
Fußbodenmusters ist dann aber parallel zur Verbindungslinie des Punktes
6'/4 mit dem Punkte _f_{b}_/4.
Die zweite Schar von Parallelen des Fußbodens wollen wir unter
Benutzung des Diagonalpunktes (vgl. S. 57) zeichnen. Halbieren wir
den Winkel bei ~D_{3}~/4, so schneidet diese Linie auf dem Horizont den
Teil-Diagonalpunkt ~D~_{_g_}/4 aus. Daraus erhalten wir demnach den
Diagonalpunkt ~D~_{_g_} selbst, wenn wir
~AD~_{_g_} = 4 ⋅ ~A~ ~D~_{_g_}/4
machen, also die Strecke ~A~ ~D~_{_g_}/4 noch dreimal von ~D~_{_g_}/4
aus nach links antragen. Durch _D_{g}_ laufen dann aber alle Diagonalen
der einen Art in den Quadraten des Fußbodens, so daß dieser leicht
gezeichnet werden kann. Gleichzeitig ergeben sich viele Kontrollen.
=35. Unzugängliche Fluchtpunkte.= Zweites Verfahren. Wir wollen für
die Aufgabe 9 noch eine Lösung geben, die auch wieder auf dem Gedanken
beruht, an Stelle der ursprünglichen Figur eine verkleinerte, ähnliche
zu benutzen.
[Illustration: Fig. 68.]
Ist _F_{a}_ der Fluchtpunkt der gegebenen Geraden _A'_, auf welcher im
Punkt _p'_ eine Senkrechte _B'_ errichtet werden soll, so konstruieren
wir z. B. den Punkt ~D_{4}~ (Fig. 68) und tragen im Punkte ~D₄~ einen
rechten Winkel von _F_{a}_~D_{4}~ aus an; dann schnitt der zweite
Schenkel dieses rechten Winkels den Fluchtpunkt _F_{b}_ aus, so daß die
gesuchte Gerade _B'_ den Punkt _p'_ mit _F_{b}_ verband.
Fällt nun aber _F_{a}_ nicht mehr auf das Zeichenblatt, so führen wir
einen neuen Horizont hh ein, der parallel zu _hh_ so gewählt sei, daß
sich mit _A'_ ein erreichbarer Schnittpunkt _f_{a}_ ergibt. Die ganze
Figur lassen wir sich jetzt um +den Punkt+ _p'_ zusammenziehen, so
daß _hh_ in hh übergeht. Wir konstruieren also eine kleinere ähnliche
Figur mit _p'_ als Ähnlichkeitspunkt. Die Punkte dieser neuen Figur
bezeichnen wir mit den entsprechenden kleinen Buchstaben. Zunächst
liefern _D_{1}_, ~A~ und _F_{b}_ aus _p'_ auf hh projiziert die Punkte
_d_{1}_, _a_ und _f_{b}_.
Ferner sind in ähnlichen und ähnlich liegenden Figuren entsprechende
Gerade stets parallel (S. 78). Ziehen wir also durch _a_ eine Parallele
zur Linie ~AD_{4}~, so schneidet diese auf der Verbindungsgeraden
_p'_~D_{4}~ den entsprechenden Punkt _d_{4}_ aus und es ist dann
_f_{a}d_{4}_ ∥ _F_{a}_~D_{4}~
und
_f_{b}d_{4}_ ∥ _F_{b}_~D_{4}~.
Nun ist in der großen Figur ~AD_{1}~ = ~AD_{4}~, also ist auch in der
verkleinerten Figur _ad_{1}_ = _ad_{4}_. Wir wollen jetzt annehmen, daß
auch der Punkt ~D_{1}~ nicht mehr auf das Zeichenblatt fällt, wohl
aber der Teil-Distanzpunkt ~D_{1}~/2. Konstruieren wir auch zu ihm den
entsprechenden Punkt _d_{1}_/2, so ist
_d_{1}_ _d_{1}_/2 = _a_ _d_{1}_/2
und weiter
_ad_{4}_ = 2 ⋅ _a_ _d_{1}_/2.
Daraus ergibt sich folgende Konstruktion (Fig. 69).
[Illustration: Fig. 69.]
Wir zeichnen den neuen Horizont hh, welcher die gegebene Gerade _A'_ in
_f_{a}_ und die Verbindungslinie von _p'_ nach ~A~ in _a_ trifft. Dann
errichten wir zu _a_ eine Senkrechte in hh und machen diese doppelt so
groß als die Strecke _a_ _d_{1}_/2. Ist _d_{4}_ der zweite Endpunkt
dieser Senkrechten, so ist also
_ad_{4}_ = 2 _a_ _d_{1}_/2.
An die Verbindungslinie _f_{a}d_{4}_ tragen wir einen rechten Winkel an,
dessen zweiter Schenkel den Horizont hh in _f_{b}_ schneidet. Das Bild
_B'_ der gesuchten Senkrechten verbindet nun den Punkt _p'_ mit _f_{b}_.
Man kann diese Figur auch benutzen, um z. B. den Diagonalpunkt zu
ermitteln, wenn man sich den rechten Winkel zu einem Quadrat ergänzt
denkt. Wir dürfen ja nur den Winkel _f_{a}d_{4}f_{b}_ halbieren, so
liefert uns die Halbierungslinie auf hh den Hilfspunkt _d_{g}_ und
wenn wir diesen mit _p'_ verbinden, so schneidet diese Linie auf dem
Horizont den Diagonalpunkt ~D~_{_g_} selbst aus. Der Beweis ergibt sich
leicht aus der Figur 68, denn es ist
_d_{4}d_{g}_ ∥ ~D_{4}D~_{_g_}
und da ~D_{4}D~_{_g_} den Winkel _F_{a_}~D_{4}~_F_{b}_ halbiert, so muß
die Parallele den Winkel _f_{a}d_{4}f_{b}_ halbieren.
=36. Unzugängliche Fluchtpunkte.= Drittes Verfahren. Das Wesentliche
an den eben durchgeführten Betrachtungen bestand darin, daß wir gelernt
haben, das Bild eines rechten Winkels zu zeichnen auch dann, wenn die
beiden Fluchtpunkte seiner Schenkel unzugänglich waren. Ist nun das
Bild eines solchen Winkels gegeben, so kommt es häufig vor, daß man
weitere Linien nach den unzugänglichen Fluchtpunkten zu ziehen hat. Wir
behandeln dementsprechend die
=Aufgabe 19.= Ein Punkt ist gegeben als der nicht zugängliche
Schnittpunkt zweier Geraden _G'_ und _hh_ (Fig. 71); man
zeichne die Linie, welche diesen unzugänglichen Punkt mit einem
weiter gegebenen Punkte _p'_ verbindet.
[Illustration: Fig. 70.]
Die Lösung gelingt leicht, wenn wir uns an einen bekannten Satz der
Geometrie erinnern. Schneidet man drei durch einen Punkt _s_ gehende
Gerade _A_, _B_, _C_ mit irgend zwei parallelen Geraden, so werden die
beiden Parallelen in gleichem Verhältnis geteilt, d. h. es ist Fig. 70
_ab_ : _bc_ = _de_ : _ef_.
Teilt man umgekehrt die zwei Parallelen im gleichen Verhältnis, so daß
also diese Gleichung erfüllt ist, so geht die Verbindungslinie _be_
durch den Schnittpunkt _s_ der beiden Geraden hindurch.
[Illustration: Fig. 71.]
Man kann diese beiden Sätze auch in folgender Weise ausdrücken:
Teilt man die Strecke _de_ beispielsweise in vier gleiche Teile und
verbindet die Teilpunkte 2, 3, 4 mit _s_, so wird auch die Strecke
_ab_ in vier gleiche Teile geteilt. Setzt man beide Teilungen auf den
Parallelen fort, so gehen die Verbindungslinien gleich numerierter
Punkte immer durch _s_. Daraus ergibt sich für die obige Aufgabe
folgende Lösung (Fig. 71). Wir ziehen durch den gegebenen Punkt _p'_
irgendeine Linie _df_ und zu ihr in nicht zu geringer Entfernung eine
Parallele, welche in _a_ und _c_ die zwei Geraden trifft. Durch _p'_
werde eine Parallele zu _hh_ gelegt, welche die Verbindungslinie
_cd_ in _g_ schneidet. Durch diesen Punkt _g_ ziehen wir eine
Parallele zu _G'_ und erhalten auf _ac_ den Punkt _b_. Dann geht die
Verbindungslinie _p'b_ durch den unzugänglichen Schnitt von _G'_ und
_hh_ hindurch, ist also die verlangte.
Denn wir entnehmen unmittelbar aus der Figur:
_ab_ : _bc_ = _dg_ : _gc_
und
_dg_ : _gc_ = _dp'_ : _p'f_
folglich auch
_ab_ : _bc_= _dp'_ : _p'f_.
[Illustration: Fig. 72.]
Ist eine größere Zahl von Linien nach einem unzugänglichen Punkte zu
zeichnen, so wäre das eben beschriebene Verfahren zu umständlich. Man
wird dann den zweiten oben angeführten Satz benutzen, um solche Linien
zu erhalten. Das folgende Beispiel mag dies erläutern.
=Aufgabe 20.= Gegeben ist das Bild eines rechten Winkels bei _p'_
(vordere Ecke eines Gebäudes); man zeichne Parallelen zu den
Schenkeln dieses Winkels.
Wir verlängern die durch _p'_ gehende Vertikale, die Vorderkante des
Gebäudes, bis sie in _p_{0}_ den Horizont trifft (Fig. 72), ferner
wählen wir rechts und links am Rande die Punkte _q'_ und _r'_ auf den
Schenkeln des rechten Winkels und ziehen durch sie die Senkrechten
_r'r_{0}_ und _q'q_{0}_ bis zum Horizont. Teilen wir die drei Strecken
_p'p_{0}_, _q'q_{0}_, _r'r_{0}_ in eine gleiche Anzahl von Teilen,
z. B. jede in vier Teile, so gehen die Verbindungslinien gleich
numerierter Punkte bzw. durch die Fluchtpunkte des rechten Winkels.
Setzt man die Teilungen auf den Geraden _p'p_{0}_, _q'q_{0}_, _r'r_{0}_
über den Horizont hinaus fort, so gehen auch die Verbindungslinien 6.6,
7.7 usf. wieder durch die unzugänglichen Fluchtpunkte. Die Linien 7.7
mögen das Gebäude unten abschließen.
Man erhält aber weiter auch Linien durch die Fluchtpunkte, wenn man
entsprechende Abschnitte wiederum in gleichviel Teile teilt, also
beispielsweise von den Strecken 1.2 je das an den Punkten 2 gelegene
Drittel nimmt. (Siehe Figur.) Hat man dann durch einen vorgegebenen
Punkt eine Linie nach einem der zugänglichen Fluchtpunkte zu zeichnen,
so kann man das nach dem +Augenmaß ausführen+, indem man das Lineal
so anlegt, daß es gleichnumerierte Strecken im gleichen Verhältnis
teilt. Die genaue Lösung dieser Aufgabe haben wir ja in der Aufgabe 19
gegeben.
Auf der linken Seite der Figur sind noch zwei Fensterreihen
eingezeichnet. Das erste an der Vorderkante _p'p_{0}_ gelegene Fenster
wurde willkürlich angenommen; die anderen Fenster sollen ebensogroß
sein und voneinander ebensoweit abstehen als das erste Fenster von
der Kante _p'p_{0}_ entfernt ist. Wir bringen die vertikalen Kanten der
Fenster mit der Linie 7.7 zum Schnitt und verfahren nun ebenso wie
in 34. (Fig. 67 ~a~.) Als beliebiger Punkt auf dem Horizont wurde 5
gewählt. Dadurch erhalten wir auf der durch 7 gezogenen Parallele zum
Horizont zwei Strecken, die abwechselnd angetragen die Fenster liefern.
Auf der rechten Seite des Gebäudes ist ebenso eine Tür und ein Fenster
konstruiert.
Endlich mag noch erwähnt werden, daß es auch eigene Apparate,
sogenannte »Fluchtpunkt-Lineale«, gibt, um Gerade nach unzugänglichen
Punkte damit zu zeichnen.
§ 13. Gleichzeitige Anwendung der verschiedenen Methoden.
=37. Verbindung der Schnittmethode mit den Fluchtpunktmethoden.= Wir
können aber auch die früher behandelte Schnittmethode (vgl. 8) mit den
Konstruktionen, die sich aus der Benutzung der Fluchtpunkte ergeben
(17, 18 u. f.), verbinden und erhalten dadurch das für Darstellung
architektonischer Objekte brauchbarste Verfahren. Wir werden dasselbe
am besten an einem Beispiele kennen lernen:
=Aufgabe 21.= Ein Postament ist durch Grund- und Aufriß gegeben
(Fig. 73); die neue Bildebene, in der eine Perspektive dieses
Objektes entworfen werden soll, steht auf der Grundrißebene
senkrecht, geht durch die Achse des Postaments und mag durch
die Linie _h_{1}h_{1}_ bestimmt sein. Außerdem sind der Augpunkt ~A~
und der Horizont _hh_ je durch ihre Risse gegeben. Man zeichne
das Bild des Körpers, wenn die Distanz 12 ~cm~ beträgt.
Wir wählen in der neuen Darstellung die Grundlinie _gg_ und darüber in
der durch den Aufriß gegebenen Höhe den Horizont _hh_ (Fig. 74) und auf
ihm den Augpunkt ~A~. Dann zeichnen wir den +Schnitt+ der Bildebene mit
dem Körper, was unter Benutzung der Schnittpunkte 1, 7, 13, 14, 8, 2
von _h_{1}h_{1}_ mit dem Grundriß und unter Heranziehung des Aufrisses
leicht geschehen kann. Denn die durch ~A~ gelegte Vertikale ist die
Achse des Körpers. Schneidet sie die Grundlinie in _n_, so machen wir
_nx_ = ~A_{1}~1.
In _x_ zeichnen wir wieder die Senkrechte und machen _xy_ gleich der
aus dem Aufriß zu entnehmenden Höhe des Sockels usf. Auf diese Art
erhält man die Schnittfigur der Bildebene mit dem Körper, die in Fig.
74 durch Schraffierung am Rande hervorgehoben ist.
[Illustration: Fig. 73.]
Um jetzt den Grundriß des Körpers in das Bild zu übertragen, verfahren
wir in folgender Weise: Wir führen eine Parallelebene zur Grundrißebene
ein, welche aus der Bildebene die Parallele _ll_ zum Horizont
ausschneiden möge. In diese neue Ebene projizieren wir den Grundriß.
Das kommt darauf hinaus, daß der Grundriß um das Stück _hl_ in die Höhe
geschoben wird. Wir zeichnen nun zunächst das Bild dieses verschobenen
Grundrisses.
Der Grundriß besteht aus zwei Systemen paralleler Geraden und wir
werden die beiden Fluchtpunkte zu ermitteln haben, die zu diesen
Parallelen gehören. Wir errichten in Fig. 73 im Punkte ~A_{1}~ eine
Senkrechte zu _h_{1}h_{1}_ und tragen auf ihr etwa ein Viertel der
Distanz an, machen also
~A_{1}~ _O_{1}_/4 = 3 ~cm~.
Ziehen wir sodann durch _O_{1}_/4 eine Parallele zu 5.6, so schneidet
diese auf dem Horizont den Riß des Teilfluchtpunktes _F_{a}_/4 aus.
Demnach erhalten wir in Fig. 74 den Fluchtpunkt _F_{a}_, indem wir
~A~_F_{a}_ = 4 ~A_{1}~ _F_{a}_/4 auf dem Horizont antragen.