=Aufgabe 12.= Auf einer lotrechten (vertikalen) Geraden einen
Maßstab zu zeichnen. Höhenmaßstab.
[Illustration: Fig. 35.]
Denken wir uns auf der Lotrechten _pq_ von Fig. 32 die Einheit des
Maßstabes wiederholt angetragen und ziehen wir durch die Teilpunkte
die Tiefenlinien, so übertragen diese den Maßstab auf die Gerade _ab_,
was in der Figur angedeutet ist. Die Bilder der Tiefenlinien sind aber
sofort zu zeichnen. Wir erhalten also folgende Ausführung (Fig. 35).
Gegeben ist das Bild _p'q'_ der Vertikalen, auf der mit der gegebenen
Strecke _y_ als Einheit ein Maßstab gezeichnet werden soll, der in der
Spur der Vertikalen beginnt. Wir verbinden den Punkt _p'_ mit dem
Augpunkt ~A~ und erhalten dadurch den Punkt _a_ auf der Grundlinie. In
_a_ errichten wir zur Grundlinie _gg_ die Senkrechte; auf dieser tragen
wir von _a_ beginnend die Strecke _y_ ab, so daß also die Strecken 0.1,
1.2, 2.3 ... je = _y_. Verbinden wir die Punkte 1, 2, 3 ... mit ~A~, so
schneiden diese Tiefenlinien auf _p'q'_ die gesuchten Punkte 1', 2', 3'
... aus. Aus bekannten Sätzen der Planimetrie folgt sofort, daß auch
0.1' = 1'.2' = 2'.3' = 3'.4'.
[Illustration: Fig. 36.]
Daraus ergibt sich folgender
=Satz 17.= »+Der Höhenmaßstab auf einer Vertikalen (und überhaupt
auf einer Parallelen zur Bildebene) zeigt keine Verkürzung,
sondern eine sich gleichbleibende Verjüngung.+«
Gleichhohe Fenster einer Fassade, die auf einer lotrechten Linie
liegen, sind also beispielsweise gleich hoch zu zeichnen.
Teilungen einer vertikalen Strecke übertragen sich demnach unmittelbar
auf das Bild. Wenn etwa die Strecke _pq_ (Fig. 32) in eine gewisse
Anzahl gleicher Teile geteilt werden soll, so können wir die Teilung
unmittelbar im Bilde _p'q'_ (Fig. 35) vornehmen.
[Illustration: Fig. 37.]
=22. Darstellung einer zur Bildebene parallelen Pfeilerreihe.=
Noch einfacher gestaltet sich die zeichnerische Wiedergabe einer
Pfeilerreihe oder überhaupt einer Reihe gleichgroßer, paralleler
Gegenstände, wenn dieselben parallel zur Bildebene angeordnet sind.
Dies sei der Gegenstand der
=Aufgabe 13.= Eine Pfeilerreihe darzustellen, die sich in einer
zur Tafel parallelen Ebene befindet.
Ist _pq_ der erste darzustellende Pfeiler (Fig. 36), so zeichnen wir
nach der Aufgabe 11 sein Bild _p'q'_. Unserer Voraussetzung nach liegen
die Endpunkte der Pfeiler auf zwei parallelen Linien _P_ und _Q_, die
überdies zur Tafel parallel sind. Es ist also wieder nach Satz 10 auch
_P'_ ∥ _P_ und _Q'_ ∥ _Q_ und da _P_ ∥ _Q_ ∥ zur Grundlinie _gg_, so
sind auch die Bilder _P'_ und _Q'_ parallel zur Grundlinie. Auf diesen
beiden Horizontalen liegen folglich die Bilder der Endpunkte, und sie
ergeben sich leicht, wenn man wiederum die Tiefenlinien durch die
Punkte selbst zu Hilfe nimmt.
[Illustration: Fig. 38.]
Die Ausführung der Konstruktion zeigt Fig. 37. Gegeben ist das Bild
_p'_ des Punktes _p_, die Höhe der Pfeiler und ihr Abstand _y_. Wir
verbinden _p'_ mit dem Hauptpunkt ~A~; diese Tiefenlinie _A'_ liefert
auf der Grundlinie _gg_ den Punkt _a_. In _a_ errichten wir eine
Vertikale _ab_ gleich der gegebenen Höhe der Pfeiler und erhalten durch
die Linie _b_~A~ den Punkt _q'_ auf der Lotrechten durch _p'_ und
damit das Bild des ersten Pfeilers _pq_. Auf den Horizontalen _P'_ und
_Q'_ durch _p'_ und _q'_ liegen die übrigen Endpunkte. Tragen wir den
gegebenen wahren Abstand _y_ zweier Pfeiler auf der Grundlinie als die
Strecke 0.1 ab, so gibt die Linie von 1 nach ~A~ das Bild _n'_ und die
Vertikale durch _n'_ auf _Q'_ das Bild _r'_. Analog verfährt man für
die weiteren Punkte 2, 3 ... Man erkennt, daß _p'n'_ = _n'l'_ usf., daß
also auch die Bilder der Pfeiler gleich weit voneinander abstehen.
Obwohl die Pfeiler selbst ganz verschiedene Entfernungen vom Auge _O_
haben, sind ihre Bilder doch gleich groß zu zeichnen.
Hat man überhaupt in einer zur Bildtafel parallelen Ebene irgendeine
Figur, so ist ihr Bild eine dazu ähnliche Figur d. h. das Bild
ist eine Verkleinerung der gegebenen Figur; es ändern sich nur
die Größenverhältnisse der Figur, alle Winkel aber, und auch die
gegenseitigen Verhältnisse der Seiten bleiben ungeändert.
Wir können also sagen:
=Satz 18.= »+Befinden sich Gegenstände von der gleichen Größe
irgendwo in einer Parallelebene zur Tafel oder kürzer in der
gleichen Tiefe, so sind ihre Bilder stets gleich groß zu
zeichnen.+«
[Illustration: Fig. 39.]
[Illustration: Fig. 40.]
Als Beispiel denken wir uns, am Fuße eines Turmes befinde sich eine
menschliche Figur (Fig. 38) und oben auf dem Turme, aber in der
gleichen Tiefe, stehe oder liege eine zweite ebenso große. Dann sind
die beiden Figuren gleich groß zu geben. Man kann häufig bemerken, daß
die Figur auf dem Turme kleiner gezeichnet ist, und als Grund dafür
wird angeführt, daß die Figur +auf+ dem Turme doch weiter vom Auge
entfernt sei als die Figur am Fuße des Turmes, also auch kleiner sein
müsse. Dabei verwechselt man die +Erscheinung+ eines Gegenstandes und
seine bildliche Wiedergabe. Die Größenverhältnisse der uns umgebenden
Körper beurteilen wir im allgemeinen nach den »Gesichtswinkeln«, unter
denen sie uns erscheinen. Wir +betrachten+ nun aber doch das Bild mit
den beiden Figuren, und dann ist in der Tat, wie Fig. 39 noch klarer
zeigt, der Gesichtswinkel δ, unter dem die obere Figur erscheint,
kleiner als der Gesichtswinkel α, der zu der unteren Figur gehört.
Hier mag noch eine andere Beobachtung erwähnt werden, die sich auf die
Darstellung hoher, sich in Wirklichkeit nicht verjüngender Objekte
bezieht. Denken wir uns z. B. einen Turm mit vertikalen Kanten.
Betrachten wir denselben mit geradgehaltenem Kopfe, so erscheinen
die Kanten des Turmes parallel. Legen wir uns aber auf den Rücken
und blicken an dem Turm in die Höhe, so zeigen seine Kanten einen
Fluchtpunkt. Zwischen diesen beiden äußersten Fällen gibt es viele
Übergänge. Wenn wir nicht weit genug von dem Turme zurücktreten können,
so neigen wir ebenfalls den Kopf zurück, um den Turm in seiner ganzen
Höhe zu überschauen. Dann tritt wieder die Fluchtpunkterscheinung auf.
Aus diesen Überlegungen heraus kann man die Abbildung 4 bis zu einem
gewissen Grade für berechtigt erklären. Wir befinden uns dabei in dem
Gebiet ästhetisch-psychologischer Vorgänge, und die Perspektive als
starre mathematische Schablone kann zugunsten einer besseren Wirkung
modifiziert werden.
[Illustration: Abb. 4.]
[Illustration: Fig. 41.]
=23. Darstellung eines rechtwinklig begrenzten Raumes.= Wir wollen
jetzt die Fig. 32 erweitern, indem wir uns auch auf der anderen Seite
des Auges eine gleichgroße Pfeilerreihe ebenfalls in einer lotrechten
Tiefenebene angebracht denken. Verbinden wir dann (Fig. 40) den letzten
Pfeiler _pq_ der einen Reihe mit dem letzten Pfeiler _st_ der anderen
Reihe durch eine Ebene und legen weiter durch _qb_ und _tc_ ebenfalls
eine Ebene, so erhalten wir ein rechteckig begrenztes Raumstück, den
Quader _abcdpqts_. Die Pfeilerreihe auf der rechten Seite ist ebenso
zu zeichnen wie in Fig. 33, und es ergibt so das Bild _abcdp'q't's'_
(Fig. 41). Stellen wir uns weiter vor, daß wir dadurch je zwei gleich
weit von der Tafel entfernte Pfeiler weitere Ebenen legen, so sind
diese alle parallel und schneiden die Grundebene in Parallelen zur
Grundlinie. Den dargestellten Raum teilen wir dadurch in eine Anzahl
gleicher Schichten, die ebenfalls in Fig. 41 wiedergegeben sind.
Endlich sind noch der Fußboden und die Wände mit einem Quadratnetz
überzogen, und zwar ist die Figur so eingerichtet, daß in der Breite,
also von _a_ nach _d_, 8 Quadrate, in der Tiefe von _a_ nach _p_ 5
Quadrate und in der Höhe von _a_ nach _b_ ebenfalls 5 Quadrate liegen.
Der Horizont verläuft in einer Höhe, die zwei Quadratseiten entspricht.
Es ist leicht, diese Quadrate einzuzeichnen (man vgl. Fig. 19) und so
die Fig. 41 herzustellen. Man kann an ein mit quadratischen Kacheln
ausgelegtes Zimmer denken. Legt man aber weiter durch die sämtlichen
Tiefenlinien die horizontalen und vertikalen Ebenen, so wird der ganze
Raum in Würfel geteilt, und zwar in 5 ⋅ 5 ⋅ 8 = 200. Einer dieser
Würfel ist herausgezeichnet. Der Leser wird diese Figur nicht für
eine mathematische Spielerei halten, sondern sofort erkennen, daß wir
damit ein Mittel gewonnen haben, jeden Körper im Raume einigermaßen
richtig unterzubringen, indem wir ihn in eine Anzahl von Würfeln
einschließen. Fig. 41 leistet für den Raum das gleiche wie Fig. 19 für
die Bodenfläche.
[Illustration: Abb. 5.]
Nennen wir, wie es dem allgemeinen Gebrauch entspricht, die Abmessung
in der Richtung der Grundlinie, also von _a_ nach _d_, die Breite, so
gibt uns die Fig. 41 sowohl einen +Tiefen-+ und +Höhen-+ als auch einen
+Breitenmaßstab+. Denn wir können angeben, wie sich die angenommene
Quadratseite an jeder Stelle des Raumes der Tiefe, Höhe und Breite
nach verkürzt. An der Stelle _i'_ z. B. sind diese Verkürzungen durch
_i'm'_, _i'n'_ und _i'l'_ gegeben. Gleichzeitig ergibt sich noch, was
übrigens schon aus Satz 18 folgt:
=Satz 19.= »+Der Breitenmaßstab ist in jeder Tiefe gleich dem
Höhenmaßstab.+«
Endlich gibt Fig. 41 die einfachste Darstellung eines Innenraumes oder
eines Interieurs. Um einen geschlossenen Raum darzustellen, mag man
sich eine Begrenzungsfläche desselben entfernt denken. Diese Fläche
ist hier dann als Bildebene benutzt. Wir geben als Beispiel in Abb.
5 ein Fresko von +Ghirlandajo+ (1449--1494), das die Geburt Johannis
des Täufers vorstellt und sich im Chor der Kirche S. Maria Novella
in Florenz befindet. Durch einige punktierte Tiefenlinien sind der
Augpunkt und der Horizont ermittelt. Der Augpunkt ist aus der Mitte des
Bildes etwas nach rechts herausgerückt, wie in Fig. 41 ~A~ näher an
_cd_ als an _ab_ liegt. Wählt man den Augpunkt genau in der Mittellinie
des Bildes, so gestaltet sich die Architektur auf beiden Seiten ganz
gleichmäßig: sie ist symmetrisch zur Mittellinie. Die Symmetrie bedingt
eine größere Ruhe und eine gewisse Feierlichkeit im Bilde, wie Abb. 8
zeigen mag.
=24. Aufsicht, Untersicht, Seitenansicht.= Die gleiche Figur 41 gibt
uns auch Aufschluß, wie wir infolge der Festlegung unseres Standpunktes
durch das Auge _O_ horizontale Ebenen, die unter der Horizontebene
liegen, von oben sehen: wir haben auf sie »Aufsicht«, so z. B. auf die
Bodenfläche. Von horizontalen Ebenen, die oberhalb der Horizontebene
liegen, sehen wir dagegen die +untere+ Seite; sie befinden sich in
»+Unter+sicht«, wie z. B. die Decke in Figur 41. Die Horizontebene
selbst bildet den Übergang zwischen beiden Arten von Ebenen: sie
erscheint als Linie, nämlich als der Horizont. In der gleichen Weise
sehen wir vertikale Tiefenebenen entweder von rechts oder von links,
je nachdem sie links oder rechts von der durch das Auge _O_ gehenden
vertikalen Tiefenebene liegen. Diese letztere erscheint als die
durch den Augpunkt gehende Vertikale. Die Figuren 42 und 43 mögen
das noch weiter veranschaulichen. Sie stellen ein Notenpult oder ein
Büchergestell dar, das im ersten Fall lotrecht steht, im zweiten Falle
auf dem Boden liegt.
[Illustration: Fig. 42.]
Aus der Tatsache, daß die ganze Horizontebene sich in den Horizont
abbildet, läßt sich noch eine bemerkenswerte Folgerung ziehen. Ist _u'_
das Bild eines Punktes _u_ der Grundebene (Fig. 41) und errichten wir
in _u'_ die Senkrechte, welche den Horizont im Punkte _v'_ schneiden
möge, so können wir _v'_ als Bild desjenigen Punktes _v_ ansehen, der
lotrecht über _v_ in der Horizontebene liegt. Die Strecke _uv_ ist
also gleich der Augenhöhe. Zu dem gleichen Resultat führt uns auch die
Betrachtung der Figur 34, indem sich zu dem Bilde _p'v'_ als zugehörige
Strecke _av_{0}_ ergibt, was wieder die Augenhöhe ist. Daraus folgt
demnach folgender vielfach verwendbare
=Satz 20.= +Ist das Bild eines Punktes der Grundebene gegeben, so
stellt der Abstand dieses Bildes vom Horizont immer das Bild
der Augenhöhe vor.+
[Illustration: Fig. 43.]
=25. Personen in verschiedenen Tiefen eines Bildes.= Die Darstellung
einer menschlichen Figur in einem Bilde gibt uns Veranlassung, über den
Maßstab eines Bildes zu sprechen und dieser hängt wieder davon ab, wie
wir uns das Zeichnen nach der Natur, also z. B. die Wiedergabe einer
Landschaft vorstellen. Bisher haben wir immer angenommen, daß das Bild
+direkt+ die Zentralprojektion des Gegenstandes ist, wie wir das bei
der Glastafelperspektive (in 2) erörterten. Man kann sich das aber
auch etwas anders denken. Nehmen wir z. B. an, ein Landschaftsmaler
habe das Motiv und einen günstigen Standpunkt gefunden. Dann mag er
sich, etwa in der Entfernung von einigen Metern von seinem Standpunkte,
die Bildtafel Π vertikal aufgestellt +denken+. Auf diese Ebene Π wird
von seinem Auge aus die Landschaft projiziert. Dieses Bild wird aber
nicht wirklich gezeichnet. In sein Skizzenbuch oder auf den vor ihm
stehenden Rahmen zeichnet der Maler vielmehr eine Verkleinerung oder
eine Verjüngung des auf Π gedachten Bildes. In diesem Falle ist also
die Zeichenfläche nicht die gleiche wie die Bildebene. Allerdings
könnte man eine neue, dem Standpunkt nähere, zu Π parallele Ebene
finden, welche aus dem Strahlenkegel des Auges _O_ gerade das Bild
ausschneiden würde, das auf dem Zeichenblatt gezeichnet wurde.
Wie kann man nun bestimmen, in welchem Verhältnis das Bild in dem
Skizzenbuch gegenüber dem gedachten Bilde auf Π verkleinert ist? Zu dem
Zwecke denken wir uns einen Menschen, der ganz nahe hinter der Tafel Π
steht. Er wird dann auf der Tafel Π in wirklicher Größe erscheinen. Die
Skizze aber wird den gleichen Menschen in kleinerem Maßstabe zeigen,
z. B. nur in 1/10 der Lebensgröße. Dann sagen wir, die Verjüngung oder
Reduktion sei = 1/10. Wollen wir, was z. B. bei Architekturen nötig
ist, genaue Maße haben, so stellen wir uns vor, daß eine Meßlatte mit
Metermaßeinteilung in der Bildebene Π liege. Auf dem Skizzenblatt aber
wird z. B. +ein+ Meter durch einen Dezimeter wiedergegeben, wenn die
Verjüngung 1/10 beträgt. Wir behandeln nun folgende
=Aufgabe 14.= Personen in verschiedenen Tiefen eines Bildes
darzustellen.
In den 3 Fällen sei die Verjüngung stets 1/100, so daß also ein Meter
durch einen Zentimeter dargestellt wird. Ferner nehmen wir an, daß
alle im Bilde wiedergegebenen Personen 1,5 Meter groß seien, also eine
mittlere Größe haben.
=1. Fall.= Die Augenhöhe sei 75 ~cm~ oder ¾ ~m~; es soll eine
Person gezeichnet werden, die sich in _c'_ auf der Grundebene
befindet.
Auf der linken Seite gibt uns in Figur 44 die Strecke 0.1 die
Darstellung eines Meters; nehmen wir drei Viertel dieser Größe, so ist
damit der Horizont _hh_ gefunden, der bei dieser Annahme sehr niedrig
liegt. Eine direkt an der Bildtafel stehende Figur ist 1½ ~m~ hoch zu
zeichnen, sie ist in _ab_ angedeutet, und sie wird durch den Horizont
halbiert. Wir ziehen durch ~A~ nach _a_ und _b_ die Tiefenlinien.
Um die in _c'_ befindliche Person zu zeichnen, verschieben wir sie
parallel der Bildebene, also in der gleichen Tiefe; dabei bleibt nach
Satz 18 ihre Größe ungeändert. Demgemäß ziehen wir durch _c'_ die
Parallele zur Grundlinie, welche die Linie ~A~_a_ in _p'_ schneidet.
Die in _p'_ bis zum Schnitt mit der anderen Tiefenlinie ~A~_b_
errichtete Senkrechte _p'q'_ gibt die Größe der Figur; ziehen wir durch
_q'_ eine Parallele zur Grundlinie, so schneidet sie die Vertikale
durch _c'_ in _d'_ und _c'd'_ ist die gesuchte Höhe der Figur in _c'_.
[Illustration: Fig. 44.]
Ist im Punkte _i'_ der Grundebene eine weitere Figur zu zeichnen, so
ziehen wir _c'i'_ und bringen diese Linie in _f_ zum Schnitt mit dem
Horizont; verbinden wir _f_ mit _d'_, so ergibt die in _i'_ errichtete
Senkrechte den Punkt _k'_, bis zu dem die Figur reicht. Denn die Linien
_ci_ und _dk_ sind parallele, horizontale Gerade, müssen also ihren
Fluchtpunkt auf dem Horizont haben.
Man sieht leicht ein, daß alle Figuren durch den Horizont halbiert
werden, und daß man allgemein sagen kann:
=Satz 21.= +Alle auf der Grundebene stehenden Figuren werden
durch den Horizont im gleichen Verhältnis geteilt.+
=2. Fall.= Die Augenhöhe sei 2½ ~m~; es ist eine Figur zu
zeichnen, welche sich in _c'_ auf einer Mauer befindet.
[Illustration: Fig. 45.]
Wir haben es unter dieser Voraussetzung mit einem hohen Horizont zu
tun, der in der Mitte zwischen den Ziffern 2 und 3 verläuft (Fig. 45).
Eine Person direkt im Vordergrund hat wieder eine Höhe _ab_, welche =
1½ ~m~ ist. Um die Größe der in _c'_ befindlichen Figur zu bestimmen,
verschaffen wir uns die durch _c_ gehende Parallelebene zur Tafel, da
in dieser ganzen Ebene die Figur gleichgroß ist. Wir ziehen also durch
_c'_ die Parallele zur Grundlinie, gehen dann an der Mauer senkrecht
herunter und wieder parallel zur Grundlinie weiter, bis wir nach _p'_
gelangen. Die Vertikale in _p'_ schneidet aus der Linie _C_~A~ den
Punkt _q'_ aus. _p'q'_ ist wieder die Größe einer menschlichen Figur in
der Tiefe _p'_. Die Figur in _c'_ ist aber ebensogroß zu zeichnen, also
muß _c'd'_ = _p'q'_ sein.
[Illustration: Fig. 46.]
Bringen wir die Linien _ab_ und _p'q'_ in _t'_ und _r'_ mit dem
Horizont zum Schnitt, so ist
_ab_ : _at'_ = _p'q'_ : _p'r'_ = 3 : 5.
Es beträgt also die Höhe jeder +auf der Grundebene+ stehenden Figur ⅗
der Höhe bis zum Horizont. Dies ist wiederum der vorige Satz 21.
Weiß man umgekehrt nicht, wie hoch der Horizont ist, so kann man
die Augenhöhe ungefähr bestimmen, wenn eine menschliche Figur _ab_
unmittelbar im Vordergrund gegeben ist. So könnte man in unserer Figur
45 durch Schätzung oder Abmessung finden, daß die Augenhöhe fünfmal so
groß ist als der dritte Teil von _ab_. Da für _ab_ mittlere Manneshöhe
1,50 ~m~ angenommen werden darf, so ist der dritte Teil davon 50 ~cm~,
und für die Augenhöhe _at'_ ergibt sich als Zahlenwert 5 × 50 ~cm~ =
2,50 ~m~.
=3. Fall.= Die Augenhöhe sei 1,50 ~m~; man bestimme die Größe
einer menschlichen Figur, die sich in _c'_ auf einer Mauer
befindet.
Eine unmittelbar im Vordergrund befindliche Person _ab_ reicht jetzt
gerade bis an den Horizont. (Fig. 46.) (Wollten wir uns noch genauer
ausdrücken, so könnten wir sagen, daß der Horizont die Augen aller auf
der Grundebene stehenden Personen enthalten müsse.) In der Figur sind
einige Meßlatten gezeichnet, die senkrecht auf der Grundebene stehen.
Dann schneidet der Horizont auf +jeder+ Latte 1,50 ~m~ ab. Sind die
Latten in halbe Meter geteilt, so geht er also immer durch das Ende
des dritten Abschnittes. Um die Figur in _c'_ zu zeichnen, legen wir
wieder durch _c_ die Parallelebene zur Tafel, also durch _c'_ die
Parallele zur Grundlinie, gehen an der Mauer senkrecht herunter und
parallel zu _gg_ weiter, so daß wir nach _p'_ gelangen. Die in _p'_
errichtete Senkrechte schneidet den Horizont in _q'_. Die in _c'_
befindliche Figur ist also = _p'q'_ zu machen, so daß ihre Größe _c'd'_
= _p'q'_. Sie wird an den Füßen von der Mauerkante überschnitten.
Wenn wir zu einer Architektur eine Figur als Staffage beifügen, so
ist damit die Größe der Architektur festgelegt. Zeichnen wir die
Staffagefigur klein, so nimmt die Architektur dadurch große Formen an
und umgekehrt wird sie durch eine große Figur verkleinert.
=26.= Endlich wollen wir noch einen etwas komplizierteren einzelnen
Gegenstand darstellen in
=Aufgabe 15.= Einen in Grund- und Aufriß gegebenen Pfeiler
darzustellen, wenn die Vorderfläche des Sockels in der
Bildebene liegt.
Der Grundriß _P_{1}_ ist in der Verschiebung gegeben (Fig. 47), der
Aufriß _P_{2}_ befindet sich nicht senkrecht über dem Grundriß, sondern
er wurde nach links hinausgeschoben, um den Platz für die Zeichnung
frei zu lassen.
Von dem Sockel liegt die Fläche 1 2 6 5 in der Bildtafel. Wir
übertragen zunächst den ganzen Grundriß in das Bild und bauen darüber
den Körper auf.
Das Bild 1 2 3' 4' des Quadrates (1)(2)(3)(4) ist sofort zu zeichnen,
da 4' sowohl auf der Tiefenlinie 1.A als auch auf der Linie von 2 nach
dem Distanzpunkt ~D_{1}~ liegt. Wir zeichnen weiter die beiden inneren
Quadrate. Die Bilder 9' und 13' ergeben sich, wenn man durch (9)
und (13) die Tiefenlinien zieht. Außerdem liegen 9' und 13' auf der
Diagonale 1.3'.
Der Sockel kann jetzt dargestellt werden; die Tiefenlinien durch 5 und
6 schneiden auf den Vertikalen durch 4' und 3' die Punkte 8' und 7' aus.
Um den Schaft des Pfeilers zu zeichnen, haben wir im Punkte 9' eine
Senkrechte von gegebener Länge zu errichten: alle diese Höhen messen
wir von der Grundebene aus. Nach Aufgabe 11 verbinden wir also 9' mit
~A~ und erhalten auf der Grundlinie den Hilfspunkt 10; durch diesen
ziehen wir eine Vertikale und schneiden auf derselben durch die
Parallele im Aufriß die anzutragende Höhe 10.11 ab. Dann schneidet die
Linie von 11 nach ~A~ auf der Vertikalen durch 9' das Bild 12' der
oberen Ecke aus. Die drei übrigen Ecken des Quadrates ergeben sich
durch Parallele und Tiefenlinien, und ebenso leicht ist das auf der
oberen Fläche des Sockels befindliche Quadrat einzutragen; seine Ecken
liegen auf den Diagonalen 5.7' und 6.8'.
[Illustration: Fig. 47.]
Nun ist weiter im Punkte 13' die Senkrechte zu errichten. Die
Tiefenlinie liefert den Hilfspunkt 14 und 14.15 ist die auf der
Vertikalen anzutragende Strecke. So ergibt sich das Bild 16' des
vorletzten Quadrates. Der Punkt 17 endlich liefert in 18' eine Ecke der
Deckfläche. Beide Quadrate sind leicht zu vervollständigen. Der Punkt
12' gibt mit 16' verbunden das Bild des Gehrungsprofiles. Verschafft
man sich das Bild 19' des Punktes 19, so kann man die Kontrolle
benutzen, daß die vier Linien 16'.12' usf. durch 19' gehen.
+Anmerkung.+ Statt die Bildebene durch die vordere Fläche des
Sockels zu legen, könnte man sie auch +parallel+ zu derselben
durch die Achse des Körpers legen. Die Schnittfigur der
Bildebene mit dem Pfeiler stimmt dann mit dem Aufriß _P_{2}_
überein. Es läßt sich aus diesem Schnitt ebenfalls das Bild
des Pfeilers leicht herstellen, ohne daß man nötig hat, eine
Verschiebung zu benutzen. Wir empfehlen die Ausführung dem
Leser.
=Aufgabe 16.= Einen in Grund- und Aufriß gegebenen Pfeiler
darzustellen, der beliebig auf der Grundebene steht, wenn eine
Kante des Sockels in der Bildtafel liegt.
Der Grundriß _P_{1}_ sei wieder in der Verschiebung gegeben, Fig. 48,
der Aufriß _P_{2}_ ist links hinausgeschoben. Wie in Aufgabe 9, Fig.
28, zeichnen wir zunächst vermittels der Umlegung ~D_{3}~ des Auges die
Fluchtpunkte _f_{a}_ und _f_{b}_ der beiden Richtungen (_A_) und (_B_).
Ferner wollen wir noch den Fluchtpunkt der Diagonale 1.3 konstruieren,
d. h. wir ziehen durch ~D_{3}~ eine Parallele zur Verbindungslinie 1.3,
welche den Horizont in ~D~_{_g_} trifft. Dieser Fluchtpunkt ~D~_{_g_}
heißt auch der +Diagonalpunkt+ und es ist vielfach, z. B. bei
Gehrungen, nützlich, ihn einzuführen.
Zunächst übertragen wir wieder den ganzen Grundriß in die Perspektive.
Die durch 1 gehende Kante des Sockels liegt in der Bildebene. Das
Bild des Vierecks 1 2 3 4 kann gezeichnet werden, sobald von einer
weiteren Ecke das Bild ermittelt ist. Wir benutzen etwa die Spur 5 der
Verbindungslinie 2.3. Verbinden wir 5 mit _f_{a}_, so schneidet diese
Linie auf der Linie 1._f_{b}_ das Bild 2' aus. Die Ecke 3' aber wird
erhalten als Schnittpunkt von 1.~D~_{_g_} mit der Linie 5._f_{a}_.
Endlich gibt die Linie _f_{b}_.3' in ihrem Schnitt mit _f_{a}_.1 den
Punkt 4'. In ähnlicher Weise kann man die Bilder der beiden inneren
Quadrate ermitteln.