in die Figur einzuzeichnen, wenn z. B. ein ziemlich unregelmäßig
gestalteter Grundriß, ein ganzer Stadtplan oder eine Gartenanlage,
in Perspektive gesetzt werden soll (Fig. 20). Wir legen über die
Figur ein derartiges Netz und zeichnen dessen Bild. Nachdem dies
geschehen, übertragen wir nach dem Augenmaß Quadrat für Quadrat die
Linien in das Bild. Es wird die Genauigkeit erhöhen, wenn wir einzelne
charakteristische Punkte genau zeichnen, wobei die folgende Aufgabe zu
benutzen ist.
[Illustration: Fig. 20.]
=Aufgabe 4.= Ein Punkt _p_ in der Grundebene ist gegeben; sein
Bild zu zeichnen.
Diese rein mathematische Aufgabe führen wir auf die Aufgabe 1 zurück,
indem wir uns ein Quadrat gezeichnet denken, von dem eine Ecke in _p_
liegt, während eine Seite auf die Grundlinie fällt. Man kann sich in
Fig. 18 und 19 etwa die Ecke _d_ als den gegebenen Punkt denken. Wir
wollen jetzt die Zeichnung durchführen, ohne das ganze Quadrat zu
zeichnen.
Der Punkt _p_ ist in Fig. 21 ~a~ in der Verschiebung (_p_) gegeben, Wir
zeichnen durch (_p_) die lotrechte Tiefenlinie (_T_), welche die durch
_p_ gehende Tiefenlinie gibt; ihre Spur ist _t_, ihr Fluchtpunkt ~A~,
so daß also ihr Bild _T'_ diese beiden Punkte verbindet; auf _T'_ muß
jedenfalls das gesuchte Bild _p'_ gelegen sein.
[Illustration: Fig. 21 ~a~.]
Um einen zweiten Ort für _p'_ zu erhalten, ziehen wir durch (_p_)
eine Linie (_D_) nach rechts, welche unter 45° gegen die Grundlinie
(_g_)(_g_) geneigt ist (Quadratdiagonale). Diese Linie (_D_) schneidet
(_g_)(_g_) in (_s_), und senkrecht über diesem Punkt erhalten wir in
_s_ die Spur der Hilfslinie _D_. Da ferner _D_{1}_ ihr Fluchtpunkt ist,
so wird _D'_ den Punkt _s_ mit _D_{1}_ verbinden. Das gesuchte Bild
_p'_ muß also auch auf _D'_ liegen, kann folglich nur der Schnittpunkt
von _T'_ und _D'_ sein.
[Illustration: Fig. 21 ~b~.]
Wir hätten durch (_p_) noch eine zweite Linie nach links ziehen
können, welche auch einen Winkel von 45° mit (_g_)(_g_) einschließt.
Dann hätten wir einfach den auf der rechten Seite von ~A~ gelegenen
Distanzpunkt ~D_{2}~ als Fluchtpunkt für diese Linie benutzen müssen
und wären zu dem gleichen Punkte _p'_ gelangt. Die Konstruktion ist
ebenfalls in Figur 21 ~a~ eingetragen.
Wir können aber noch eine Vereinfachung in dieser Zeichnung anbringen.
Da
(_p_)(_t_) = (_s_)(_t_) = _st_,
so ergibt sich folgende einfache Konstruktion (Fig. 21 ~b~): Man trägt
von der Spur _t_ aus den Abstand des Punktes der Grundlinie etwa nach
+rechts+ als _ts_ auf der Grundlinie an und verbindet den Punkt _s_ mit
dem +linken+ Distanzpunkt. Dann schneidet diese Verbindungslinie auf
der Hauptlinie _T'_ den gesuchten Punkt _p'_ aus.
Trägt man den Abstand nach links auf der Grundlinie auf, so ist der
rechte Distanzpunkt zu benutzen. Die vorliegende Aufgabe läßt sich dann
auch in folgender Weise formulieren:
Es soll auf einer im Bilde gegebenen Tiefenlinie ein Punkt bestimmt
werden, der von der Grundlinie einen durch eine Strecke oder durch eine
Zahl gegebenen Abstand hat.
=Aufgabe 5.= Auf einer gegebenen Tiefenlinie einen Maßstab zu
zeichnen, dessen Einheit gegeben ist.
Denken wir uns in der Grundebene eine Tiefenlinie gegeben und auf
derselben die gleiche Strecke beliebig oft angetragen, wobei wir in der
Spur der Geraden beginnen. Diese gleich großen Strecken werden sich
selbstverständlich verschieden groß abbilden, eben um so kleiner, je
weiter sie sich vom Auge entfernen. Die in Fig. 21 ~b~ durchgeführte
Konstruktion gibt sofort die Lösung. Wir tragen (Fig. 22) die geg.
Teilung von der Spur _t_ der geg. Tiefenlinie _T_ aus nach +rechts+
auf der Grundlinie ab, so daß also 0.1 = 1.2 = 2.3 = 3.4 je = der
geg. Maßeinheit. Verbinden wir diese Punkte dann mit dem linken
Distanzpunkt ~D_{1}~, so schneiden diese Linien auf _T'_ die gesuchten
Bilder 1', 2', 3' usf. aus. Wir haben damit die Konstruktion eines sog.
+Tiefenmaßstabes+ gewonnen.
[Illustration: Fig. 22.]
Das Verfahren bleibt ganz das nämliche, wenn nicht lauter gleiche
Strecken auf der Tiefenlinie angetragen werden sollen, sondern
verschiedene Strecken. Man trägt die Strecken in ihrer Reihenfolge
auf der Grundlinie an; dann liefern sie, aus ~D_{1}~ projiziert, die
richtigen Bilder.
§ 7. Darstellung beliebiger, geradliniger Figuren der Grundebene.
=16. Bild einer beliebigen Geraden.= Um nun eine irgendwie aus Geraden
zusammengesetzte Figur der Grundebene abbilden zu können, müssen wir
uns zuerst damit beschäftigen, wie man das Bild einer beliebigen
Geraden zeichnen kann. Das führt uns unmittelbar zur
=Aufgabe 6.= Eine beliebige Gerade A der Grundebene ist gegeben;
ihr Bild zu zeichnen.
[Illustration: Fig. 23.]
Die Flucht der Geraden ergibt sich nach Satz 7, indem wir durch das
Auge einen Parallelstrahl zur Geraden zeichnen und diesen mit der Tafel
zum Schnitt bringen. Ist _f_{a}_ dieser Schnittpunkt, so ist (Fig.
23) _Of_{a}_ ∥ _A_ und _f_{a}_ liegt natürlich auf dem Horizont _hh_.
Wir ziehen noch durch das Auge _O_ eine Parallele _ii_ zum Horizont.
Die Gerade _A_ wird mit der Grundlinie _gg_ einen gewissen Winkel α
einschließen. Leicht erkennt man dann, daß der Parallelstrahl _Of_{a}_
mit der Linie _ii_ den gleichen Winkel α bildet. Um diese Eigenschaft
für wirkliche Konstruktion auszunutzen, klappen wir die Horizontebene
durch _O_ nach +unten+ in die Bildebene Π. Wir drehen also diese Ebene
um die Horizontlinie so lange nach abwärts, bis sie mit der Bildtafel
zusammenfällt. Der Pfeil in der Figur 23 deutet diese Drehung an. Die
Linie _O_~A~ bleibt bei dieser Drehung immer senkrecht zum Horizont;
sie hat also auch am Schlusse der Drehung noch diese Eigenschaft.
Zeichnen wir demnach in der Bildebene Π eine lotrechte Linie durch
~A~, so gibt diese die Lage, welche der Strahl _O_~A~ nach Ausführung
der Drehung annimmt. Der Punkt _O_ endlich geht nach Beendigung der
Drehung in einen Punkt ~D_{3}~ über, der auf dieser lotrechten Linie
durch ~A~ so liegt, daß die Strecke ~AD_{3}~ = _O_~A~ = der Distanz.
Die Parallele _ii_ geht über in die Linie _ll_, welche durch ~D_{3}~
parallel zum Horizont gezogen werden kann. Die Linie ~D_{3}~_f_{a}_
bildet mit der Linie _ll_ wieder den Winkel α. Das Weitere verfolgen
wir an Fig. 24, welche die wirkliche Ausführung gibt. Die Gerade _A_
ist in der Verschiebung durch (_A_) gegeben. Im Augpunkte ~A~ errichten
wir die Senkrechte zum Horizont und schneiden auf ihr die Distanz ab,
wodurch wir ~D_{3}~ erhalten. Es ist also
~AD_{1}~ = ~AD_{2}~ = ~AD_{3}~.
Durch ~D_{3}~ ziehen wir die Parallele _ll_ zum Horizont. Tragen wir an
diese Parallele den Winkel α an, so schneidet dessen 2. Schenkel den
Fluchtpunkt _f_{a}_ auf dem Horizont aus. Einfacher ist es aber, die
Eigenschaft der Figur zu benutzen, daß offenbar
~D_{3}~_f_{a}_ ∥ (_A_)
ist. Denn dann haben wir nur nötig, durch ~D_{3}~ eine Parallele zu
(_A_) zu zeichnen, diese schneidet auf dem Horizont den Fluchtpunkt
_f_{a}_ von _A_ aus. Die Verbindungslinie der Spur _a_ mit _f_{a}_ gibt
das Bild _A'_ der Geraden _A_.
[Illustration: Fig. 24.]
Nennen wir ~D_{3}~ die Umlegung des Auges nach unten oder das nach unten
»umgelegte« Auge, so ergibt sich folgende einfache Regel:
Ist eine Gerade in der Verschiebung gegeben, so bestimmt die durch das
umgelegte Auge ~D_{3}~ zu ihr gezogene Parallele auf den Horizont den
Fluchtpunkt der Geraden.
[Illustration: Fig. 25.]
Die Figur 24 liefert uns brauchbare Eigenschaften aber auch für den
Fall, daß die Gerade nicht in der Verschiebung, sondern auf andere
Weise bestimmt ist. Es handle sich etwa um folgende
=Aufgabe 7.= Ein Punkt _p_ der Grundebene ist durch sein Bild
_p'_ gegeben; durch _p_ soll in der Grundebene eine Gerade
gezogen werden, welche unter einem Winkel von 60° gegen die
Grundlinie geneigt ist. Das Bild dieser Geraden zu zeichnen.
Tragen wir (Fig. 25) an die Horizontale durch ~D_{3}~ einen Winkel von
60° an, so schneidet dessen zweiter Schenkel auf dem Horizont den
Fluchtpunkt _f_ der gesuchten Geraden aus. Verbinden wir den gegebenen
Punkt _p'_ mit _f_, so ist diese Linie das verlangte Bild.
Selbstverständlich gibt es zwei solche Gerade, da man den Winkel
auch von der linken Seite der Parallelen _ll_ aus antragen kann. Zu
jedem Punkte des Horizontes gehört demgemäß eine gewisse Richtung von
Geraden; speziell entsprechen den Distanzpunkten, wie wir ja schon
wissen, die Geraden, welche unter 45° gegen die Grundlinie geneigt
wird. In der Figur sind auf der linken Seite noch bei einigen weiteren
Punkten des Horizontes die Winkel hinzugeschrieben, zu denen sie
gehören.
=17. Winkel zweier Geraden.= Sind zwei Gerade _A_ und _B_ der
Grundebene gegeben, so zeichnen wir ihre Fluchtpunkte _f_{a}_ und
_f_{b}_, so daß also (Fig. 26)
_Of_{a}_ ∥ _A_ und _Of_{b}_ ∥ _B_.
Bezeichnen wir den Winkel, den _A_ und _B_ einschließen, mit γ, so
erkennt man sofort, daß auch ∢ _f_{a}Of_{b}_ = γ ist.
Klappen wir wiederum die durch das Auge _O_ gehende Horizontebene nach
unten in die Bildebene Π herunter, wobei der Punkt _O_ nach ~D_{3}~
kommt, so tritt der Winkel γ auch hier auf, indem
∢ _f_{a}_~D_{3}~_f_{b}_ = γ
oder in Worten ausgedrückt:
=Satz 15.= +Irgend zwei Gerade der Grundebene schließen den
gleichen Winkel ein wie die Sehstrahlen, die vom Auge nach
ihren Fluchtpunkten gehen, und auch wie die Strahlen, welche
von der »Umlegung« des Auges nach ihren Fluchtpunkten laufen.+
[Illustration: Fig. 26.]
Dieser Satz gehört zu den allerwichtigsten in der Perspektive wegen der
vielen Anwendungen, die von ihm gemacht werden. Wir veranschaulichen
ihn noch durch die Fig. 27, welche die wirkliche Konstruktion gibt.
Hier sind die beiden Geraden _A_ und _B_ in der Verschiebung (_A_) und
(_B_) gegeben. Im Hauptpunkte ~A~ ist eine Senkrechte zum Horizont
angetragen und auf ihr die Umlegung ~D_{3}~ des Auges ermittelt, in dem
~AD_{3}~ = ~AD_{1}~ = ~A{D_{2}}~
gemacht werde. Dann folgt aus der unmittelbar vorhergehenden
Betrachtung, daß
~D_{3}~_f_{a}_ ∥ (_A_)
und
~D_{3}~_f_{b}_ ∥ (_B_).
Daraus ergibt sich wiederum, daß ∢ _f_{a}_~D_{3}~_f_{b}_ = γ.
Die Praktiker drücken dies so aus:
»Am Punkte ~D_{3}~ kann jeder Winkel in seiner wahren Größe angetragen
werden.«
In der Figur wurden noch die Spuren _a_ und _b_ der beiden Geraden
konstruiert, so daß dann _A'_ und _B'_ sich je als die Verbindungslinie
von Flucht und Spur ergeben. Der Schnittpunkt von _A'_ und _B'_ ist das
Bild des Scheitels _p_. Man beachte, daß der schraffierte Teil zwischen
(_A_) und (_B_) sich in den schraffierten Teil zwischen _A'_ und _B'_
abbildet. Eine zweite Anwendung gibt
=Aufgabe 8.= Ein in der Grundebene liegendes Rechteck ist in
der Verschiebung (_p_)(_q_)(_r_)(_s_) gegeben; dessen Bild zu
zeichnen.
Das Rechteck enthält zwei Paare paralleler Seiten (_A_) und (_A_{1}_),
sowie (_B_) und (_B_{1}_) (Fig. 28). Wir zeichnen zunächst die
Fluchtpunkte dieser beiden Richtungen Zu diesem Zwecke ziehen wir
durch die Umlegung ~D_{3}~ des Auges die Parallelen zu (_A_) und (_B_);
diese schneiden die Fluchtpunkte _f_{a}_ und _f_{b}_ auf dem Horizonte
aus. Es ist also
~D_{3}~_f_{a}_ ∥ (_A_) ∥ (_A_{1}_)
und
~D_{3}~_f_{b}_ ∥ (_B_) ∥ (_B_{1}_).
Jetzt zeichnen wir die Bilder _q'_ und _s'_ der beiden Ecken _q_ und
_s_ nach Aufgabe 4, indem wir je eine Tiefenlinie und eine unter 45°
geneigte Linie benutzen. _q'_ liefert mit _f_{a}_ und _f_{b}_ verbunden
die Bilder _A'_ und _B'_, _s'_ mit _f_{a}_ und _f_{b}_ verbunden
_A_{1}'_ und _B_{1}'_. Die letzten Ecken _r'_ und _p'_ ergeben sich als
die Schnittpunkte von _A_{1}'_ mit _B'_ und _A'_ mit _B_{1}'_.
[Illustration: Fig. 27.]
Das Bild _p'q'r's'_ hat die charakteristische Eigenschaft, daß sich
die gegenüberliegenden Seiten _A'_ und _A_{1}'_ sowie _B'_ und _B_{1}'_
verlängert je in _f_{a}_ und _f_{b}_ auf dem Horizont schneiden.
Kontrollen bieten sich zahlreiche, wenn man die Tiefenlinien durch _r_
und _p_ zieht oder die Spuren der Rechtecksseiten benutzt, wie das in
der Figur für die Seite _rq_ angegeben ist.
[Illustration: Fig. 28.]
=18. Umlegung der Horizontebene nach oben=. Unter Umständen kann es
bequem sein, die Horizontebene statt nach unten nach oben in die
Bildtafel Π hereinzuklappen (Fig. 26). Dann fällt der Punkt _O_ auf die
Verlängerung der Linie ~AD_{3}~ über ~A~ hinaus nach einem Punkte ~D₄~,
wenn wieder ~AD₄~ = der Distanz gemacht wird. In Fig. 27 ist auch diese
Umlegung oben gezeichnet. Natürlich gibt der Winkel _f_{a}D₄f_{b}_ auch
jetzt wieder den Winkel der beiden gegebenen Geraden _A_ und _B_, so daß
∢ _f_{a}_~D₄~_f_{b}_ = γ,
und auch an dem Punkte ~D₄~ dürfen alle Winkel in wahrer Größe
angetragen werden.
[Illustration: Fig. 29.]
Ein Unterschied ist aber insofern vorhanden, als jetzt +nicht+ mehr
(_A_) ∥ ~D₄~_f_{a}_ und +nicht+ mehr (_B_) ∥ ~D₄~_f_{b}_. +Diese+
Eigenschaft der parallelen Lage ist nur erfüllt bei der Drehung nach
unten. Das hängt damit zusammen, daß wir auch die Grundebene im
gleichen Sinne gedreht haben.
Wenn aber z. B. die Verschiebung überhaupt nicht gezeichnet ist, so
kann man sehr wohl die Horizontebene auch nach oben drehen, zumal wenn
man oben in der Zeichnung mehr Raum zur Verfügung hat. Die folgende
Aufgabe gibt davon eine Anwendung.
=Aufgabe 9.= Gegeben sind eine Gerade _A_ der Grundebene und ein
Punkt _p_ auf ihr durch ihre Bilder _A'_ und _p'_. Man zeichne
das Bild einer Geraden _B_ der Grundebene, welche in _p_ auf
_A_ senkrecht steht.
Bringen wir das gegebene Bild _A'_ mit dem Horizont zum Schnitt (Fig.
29), so ist der Schnittpunkt _f_{a}_ der Fluchtpunkt der Geraden _A_.
Im Augpunkt ~A~ errichten wir eine Senkrechte zum Horizont _hh_ und
machen diese = der Distanz, so daß also
~AD₄~ = ~AD_{1}~ = ~AD_{2}~.
~D₄~ ist die Umlegung des Auges nach oben. Verbinden wir ~D₄~ mit
_f_{a}_ und errichten in ~D₄~ zu _f_{a}_~D₄~ ein Lot, so schneidet
dieses aus dem Horizont einen Punkt _f_{b}_ aus, der der Fluchtpunkt
aller auf der Geraden _A_ senkrechten Geraden ist. Die gesuchte
Senkrechte soll aber durch _p_ gehen, ihr Bild _B'_ ist demnach die
Verbindungslinie von _p'_ mit _f_{b}_. _f_{a}p'f_{b}_ ist also das Bild
eines horizontalen rechten Winkels.
=19. Getrennte Lage des Grundrisses.= Wir haben bisher immer
angenommen, daß die Grundebene mitsamt den abzubildenden Figuren in der
Verschiebung gegeben sei. Natürlich kann sie auch, getrennt von der
Bildtafel, gegeben und die Lage der Bildebene durch ihre Spur, d. h.
durch die Grundlinie, bestimmt sein. Beispielsweise sei in Fig. 30 ~a~
ein Rechteck 1 2 3 4 gezeichnet, außerdem sind die Risse ~A_{1}~ und
_O_{1}_ von ~A~ und _O_ bekannt. In der zweiten Figur 30 ~b~ ist der
Horizont _hh_ mit ~A~ sowie die Grundlinie _gg_ gegeben. Verlangt wird
das Bild des Rechteckes zu zeichnen.
Die für die Lösung in Betracht kommende geometrische Eigenschaft
liefert ein Blick auf Fig. 26. Der durch das Auge _O_ zur Geraden _A_
der Grundebene gezogene Parallelstrahl, welcher den Fluchtpunkt _f_{a}_
auf dem Horizont ausschneidet, hat in der Grundebene einen Riß, der
durch _O_{1}_ gehen muß, sowie durch die Projektion _f_{a_{1}}_ des
Fluchtpunktes _f_{a}_, und weiter muß dieser Riß parallel zu _A_ sein,
also _O_{1}f_{a_{1}}_ ∥ _A_.
[Illustration: Fig. 30 ~a~.]
Zieht man demnach umgekehrt durch _O_{1}_ Parallele zu den Seiten
des Rechteckes, so schneiden diese auf der Grundlinie _gg_ die
Projektionen _f_{a_{1}}_ und _f_{b_{1}}_ der Fluchtpunkte _f_{a}_ und
_f_{b}_ aus. Da nun die Grundlinie mit ihren Punkten in den beiden
Figuren vorkommt, so haben wir nur die Strecken ~A_{1}~_f_{a_{1}}_ und
~A_{1}~_f_{b_{1}}_ auch in Fig. 30 ~b~ anzutragen. Dann liefern die in
_f_{a_{1}}_ und _f_{b_{1}}_ errichteten Lote zu _gg_ auf dem Horizont
die Fluchtpunkte _f_{a}_ und _f_{b}_. Überträgt man noch weiter die
Spuren der Rechtecksseiten in die Fig. 30 ~b~, so ist das Bild 1'2'3'4'
des Rechtecks leicht fertig zu stellen.
[Illustration: Fig. 30 ~b~.]
=20. Horizontale Gerade.= Die bisherigen Ausführungen genügen
vollständig, um jede in der Grundebene gegebene Figur in Perspektive
zu setzen. Bevor wir aber dazu übergehen, Körper abzubilden, wollen
wir vorher noch eine sehr wesentliche Verallgemeinerung der oben
durchgeführten Betrachtungen besprechen.
Ziehen wir zu irgendeiner Geraden der Grundebene im Raume eine
Parallele, so nennen wir diese neue Gerade eine +horizontale+ Gerade.
In genauer Fassung werden wir sagen:
»Jede Gerade, welche zur Grundebene parallel läuft, soll eine
horizontale Gerade heißen.« Wollen wir nun den Fluchtpunkt einer
horizontalen Geraden bestimmen, so haben wir durch das Auge eine
Parallele zu der Geraden zu zeichnen. Diese Parallele ist dann aber
auch parallel zur Grundebene, liegt mithin in der Horizontebene, und
der Fluchtpunkt muß dem Horizont _hh_ angehören.
[Illustration: Fig. 31.]
Was die Lage einer horizontalen Geraden im Raume betrifft, so kann sie
entweder +oberhalb+ oder +unterhalb+ der Horizontebene liegen oder in
der Horizontebene. Der letztere Fall ist sofort erledigt. Denn jede
Gerade der Horizontebene bildet sich in den Horizont ab.
Liegt eine horizontale Gerade oberhalb der Horizontebene, wie z. B. die
Gerade _A_ in Fig. 31, so muß ihre Spur _a_ oberhalb des Horizonts _hh_
gelegen sein; eine horizontale Gerade _B_ dagegen, welche unter der
Horizontebene sich befindet, liefert eine Spur _b_ unter dem Horizont.
Die Bilder zweier solchen Geraden verhalten sich nun verschieden. In
Fig. 31 ist noch speziell angenommen, daß die beiden Geraden _A_ und
_B_ in der gleichen Vertikalebene liegen, so daß der Riß _A_{1}_ von _A_
mit dem Riß _B_{1}_ von _B_ sich deckt und die Spuren _a_ und _b_ auf
einer lotrechten Linie sich befinden. Durchläuft ein Punkt die Gerade
_A_, indem er von der Spur _a_ ausgeht, im Sinne des Pfeiles, also in
der Richtung von der Bildtafel weg, so bewegt sich sein Bild auf _A'_
gegen den Fluchtpunkt _f_{a}_ hin. Die Linie _A'_ geht demnach, in der
Richtung von _a_ nach _f_{a}_ durchlaufen, abwärts, oder sie »fällt«.
Ebenso »steigt« die Linie _B'_, wenn sie in der Richtung gegen den
Fluchtpunkt hin durchlaufen wird. Damit haben wir eine sehr brauchbare
Malerregel abgeleitet, die sich wie folgt ausdrücken läßt:
=Satz 16.= »+Horizontale Gerade haben ihre Fluchtpunkte auf dem
Horizont. Liegen die Geraden selbst oberhalb der Horizontebene,
so ›fallen‹ ihre Bilder, wenn sie in der Richtung nach dem
Fluchtpunkt hin durchlaufen werden; liegen sie unterhalb dieser
Ebene, so ›steigen‹ ihre Bilder, wenn man sie in der Richtung
nach dem Fluchtpunkt zu durchläuft.+«
Die gleiche Eigenschaft zeigen natürlich auch die Bilder der
Tiefenlinien, da die letzteren ja auch nur horizontale Gerade von
besonderer Art sind.
Die in 16 und 17 für Gerade der Grundebene durchgeführten Betrachtungen
gelten, wir wir jetzt einsehen, für jede +horizontale+ Gerade; speziell
gilt Satz 15 für zwei Gerade, die in irgendeiner zur Grundebene
parallelen Ebene liegen.
§ 8. Darstellung einfacher Körper, die sich auf der Grundebene erheben.
=21. Darstellung einer Pfeilerreihe, die nach der Tiefe geht.= Wenn wir
jetzt dazu übergehen, Körper darzustellen, die sich auf der Grundebene
befinden, so tritt als neue Dimension die auf der Grundebene lotrechte
Richtung auf, also die Vertikale. Jede Ebene durch eine Vertikale heißt
eine Vertikalebene. Setzen wir die Begrenzungsflächen des Körpers in
Beziehung zur Bildtafel, so werden vor allem die Ebenen zu betrachten
sein, welche auf der Bildtafel senkrecht stehen. Wir nennen sie
»Tiefenebenen« und sehen, daß jede Ebene durch eine Tiefenlinie eine
Tiefenebene ist. Enthält eine Tiefenebene eine Vertikale, so nennen wir
sie eine vertikale oder auch eine lotrechte Tiefenebene. Es sei nun zu
behandeln
=Aufgabe 10=. Eine Pfeilerreihe darzustellen, die sich in einer
lotrechten Tiefenebene befindet.
Wir versinnlichen jeden Pfeiler durch eine schlichte Gerade und
nehmen an, daß der erste Pfeiler _ab_ +in der+ Bildebene gelegen
ist (Fig. 32). Ferner sollen die Pfeiler in +gleichen+ Abständen
aufeinanderfolgen, also _ac_ = _ce_ = _ei_ = _il_ = _ln_ = _np_ sein.
Die Punkte _a_, _c_ ... _p_ liegen auf einer Tiefenlinie _A_ und ebenso
die oberen Enden der Pfeiler _b_, _d_, _f_, _k_, _m_, _r_, _q_, auf
einer zweiten Tiefenlinie _B_. Die Ebene durch _A_ und _B_ ist die
lotrechte Tiefenebene, in der die Pfeilerreihe gelegen ist.
[Illustration: Fig. 32.]
In unserer zu zeichnenden Figur (Fig. 33) sind also gegeben der erste
in der Bildebene liegende Pfeiler _ab_ sowie der Abstand _y_ zweier
aufeinanderfolgender Pfeiler. Die Darstellung läßt sich nun leicht
bewerkstelligen. Der Punkt _a_ mit dem Augpunkt ~A~ verbunden liefert
das Bild _A'_ der Tiefenlinie _A_. Auf _A'_ ist nun ein Tiefenmaßstab
zu zeichnen mit der Einheit _y_. Nach Aufgabe 5 führen wir dies aus,
indem wir die gegebene Einheit _y_ von der Spur _a_ aus nach rechts auf
der Grundlinie als 0.1, 1.2, 2.3 ... antragen und diese Punkte mit dem
linken Distanzpunkt ~D_{1}~ verbinden. Die Schnittpunkte mit _A'_ geben
die Bilder _c'_, _e'_, _i'_ ... der Pfeilerenden.
[Illustration: Fig. 33.]
Verbinden wir weiter _b_ mit ~A~, so ist diese Linie das Bild _B'_
der Tiefenlinie _B_, und auf _B'_ müssen die oberen Endpunkte der
Pfeiler angeordnet sein. Die Geraden _ab_, _cd_ ... sind aber parallel
zur Bildebene; nach Satz 10 sind also ihre Bilder auch parallel, und
überdies muß beispielsweise _c'd'_ ∥ _cd_ sein usf.; die Bilder der
Pfeiler sind also lotrechte Linien. Demnach haben wir lediglich durch
die Punkte _c'_, _e'_, _i'_ usf. die Vertikalen zu zeichnen und diese
durch die Schnittpunkte mit der Linie _B'_ zu begrenzen. So ergeben
sich die Bilder _c'd'_, _e'f'_ ... Wir können in unserer Figur auch die
Darstellung eines Staketenzaunes sehen oder einer Bretterwand, die aus
gleichbreiten Brettern zusammengesetzt ist.
Wir machen von der eben durchgeführten Konstruktion eine Anwendung zur
Lösung folgender wichtiger
=Aufgabe 11.= Ein Punkt _p_ der Grundebene ist durch sein
Bild _p'_ gegeben; man zeichne das Bild einer Linie _pq_
von gegebener Länge, welche in _p_ senkrecht zur Grundebene
angetragen wird.
Es soll also mit anderen Worten in einem Punkte der Grundebene eine
Senkrechte von gegebener Länge errichtet werden. Um zur Lösung zu
gelangen, denken wir uns (Fig. 32) durch die Senkrechte _pq_ eine
Tiefenebene gelegt und stellen uns eine Reihe von Pfeilern vor,
welche die Höhe _pq_ haben und sich in dieser Ebene befinden. Anders
ausgedrückt heißt das: wir ziehen durch _p_ und _q_ die Tiefenlinien
_A_ und _B_, welche in _a_ und _b_ die Bildebene treffen. _ab_ ist
der in der Tafel liegende Pfeiler. Daraus ergibt sich folgende durch
ihre Einfachheit überraschende Konstruktion: Den gegebenen Punkt _p'_
verbinden wir mit ~A~ (Fig. 34) und erhalten dadurch das Bild _A'_,
welches die Grundlinie _gg_ in _a_ trifft. In _a_ tragen wir die
gegebene Höhe als _ab_ vertikal an. Der Endpunkt _b_ liefert mit ~A~
verbunden das Bild _B'_ der Tiefenlinie _B_. Ziehen wir endlich durch
_p'_ die Vertikale, so schneidet sie auf _B'_ den Punkt _q'_ aus.
_p'q'_ ist das Bild der gesuchten Senkrechten.
[Illustration: Fig. 34.]
Da man jeden beliebigen Punkt des Raumes sich bestimmen kann durch
seinen rechtwinkligen Riß auf die Grundebene und durch den Abstand
von der Grundebene, so können wir damit das Bild eines beliebigen
Raumpunktes zeichnen und sind weiter imstande, jeden Körper, wenn
auch umständlich, abzubilden, indem wir die Bilder seiner einzelnen
Punkte ermitteln. Wir werden später Beispiele für die Anwendung dieser
Konstruktion geben, wollen aber zunächst noch einige Folgerungen aus
der Fig. 34 ziehen.
Wir können dieselbe unmittelbar zur Lösung folgender neuen Aufgabe
benutzen: Gegeben ist das Bild _p'q'_ einer Strecke _pq_, die im Punkte
_p_ der Grundebene auf dieser senkrecht sich erhebt; man bestimme die
wahre Länge _pq_ dieser Strecke.
Wir verbinden _p'_ mit ~A~ und bringen diese Linie in _a_ mit der
Grundlinie zum Schnitt; in _a_ errichten wir eine Vertikale und
schneiden diese in _b_ mit der Verbindungslinie von ~A~ nach _q'_. Dann
gibt _ab_ die wahre Länge der Strecke _pq_.