gewöhnliche Reißschiene _R'_ durch _a_{1}_, bestimmt durch Abgreifen
mit dem Zirkel _Y_ und verschiebt sodann _L_ so lange, bis es durch _Y_
geht. Die Kuppelung befindet sich nun in _B_{1}_, und die Schiene _R_
bestimmt auf dem Horizont die gesuchte Strecke ~A~_B_ = ~A_{1}~_B_{1}_.
Legt man endlich _L_ durch _a_{1}_, so gibt die Schiene _R_ das Lot in
_a_{1}'_, und längs derselben kann ~A~_B_ angetragen werden. Da das
Objekt bei der in Abb. 2 gemachten Annahme +vor+ der Bildebene liegt,
so wird es durch die Perspektive vergrößert.
Es gibt Vorrichtungen (sog. Perspektographen), welche überhaupt
Perspektiven mechanisch herstellen; so haben +G. Hauck+ und +E. Brauer+
einen allerdings komplizierten und teueren Apparat konstruiert, bei dem
ein freier Stift die Perspektive beschreibt, wenn man mit zwei anderen
Stiften den Grund- und Aufriß nachfährt. Man vgl. Zeitschrift des
Vereins deutscher Ingenieure, Bd. 35, 1891 Nr. 28, S. 782.
Wesentlich ist, daß das in 8. erörterte Verfahren, das man auch als
die »+Schnittmethode+« bezeichnet, uns zwar die Möglichkeit gibt, das
perspektivische Bild Punkt für Punkt zu zeichnen, daß es uns aber
keinen Einblick in die Natur dieser Bilder gewährt und uns keine
Eigenschaften solcher Bilder liefert. So gehen beispielsweise in
Fig. 12 die vier Linien _b'a'_, _c'd'_, _g'h'_, _f'e'_ hinreichend
verlängert durch +einen+ Punkt, nämlich durch ~A~, und es leuchtet ohne
weiteres ein, daß dies für die Zeichnung mit Vorteil verwendet werden
kann. Deswegen gehen wir jetzt dazu über, denjenigen Satz zu beweisen,
der die wichtigste Eigenschaft aller perspektivischen Bilder liefert.
§ 4. Der Satz vom Fluchtpunkt.
=10. Der Fluchtpunkt einer Geraden.= Wir erinnern zunächst an
folgenden, auch der Anschauung leicht zugänglichen Satz: »Irgend zwei
parallele Gerade im Raume bestimmen eine Ebene, und jede Gerade, welche
diese beiden parallelen Geraden schneidet, liegt ebenfalls ganz in
dieser Ebene.«
Dieser grundlegenden Behauptung der Geometrie kann man auch folgende
andere Fassung geben:
»Ist eine Gerade _G_ gegeben und ein Punkt _O_ (Fig. 14) und verbindet
man den Punkt _O_ mit beliebigen Punkten _a_, _b_, ... von _G_, so
liegen alle diese Verbindungslinien in +einer+ Ebene, und dieser Ebene
gehört auch die Gerade _J_ an, welche durch _O_ parallel zu _G_ gezogen
werden kann.«
Es sei nun weiter die Bildtafel Π gegeben sowie das Auge _O_; es soll
das perspektivische Bild der Geraden _G_ gezeichnet werden. Dieses
Bild _G'_ erhält man, wenn man die Bilder der einzelnen Punkte _a_,
_b_, _c_, ... von _G_ aufsucht. Man hat also die Projektionsstrahlen
_Oa_, _Ob_, _Oc_, ... mit Π zum Schnitt zu bringen. Alle diese Punkte
_a'_, _b'_, _c'_ ... liegen dann aber auf der Geraden _G'_, in welcher
die Ebene der Projektionsstrahlen _Oa_, _Ob_, _Oc_, ... die Tafel Π
durchsetzt. In der Ebene dieser Projektionsstrahlen liegt nun nach dem
obigen Satze auch der Strahl _J_, der durch _O_ parallel zu _G_ gezogen
werden kann. Trifft er in _f_ die Tafel, so muß also _G'_ auch durch
_f_ gehen.
Die Gerade _G_ schneidet ferner die Tafel Π in einem Punkte _s_; er
heißt die »Spur« der Geraden, und er muß selbstverständlich auch auf
_G'_ gelegen sein.
[Illustration: Fig. 14.]
Der Punkt _f_ dagegen heißt der »+Fluchtpunkt+« oder die »+Flucht+«
oder auch der »+Verschwindungspunkt der Geraden _G_+«. Diese sehr
treffende Bezeichnung erklärt sich in folgender Weise. Lassen wir
einen Punkt sich auf der Geraden _G_ von der Spur _s_ aus nach links
immer weiter und weiter fortbewegen, so daß er die Lagen _a_, _b_,
_c_, ... annimmt, so werden sich die Bilder _a'_, _b'_, _c'_ ... dem
Fluchtpunkt _f_ mehr und mehr nähern. Ist der Punkt auf der Geraden _G_
schon sehr weit hinausgerückt, so wird das Bild des Punktes ziemlich
nahe an _f_ liegen. Aber allerdings gibt es keinen erreichbaren
Punkt auf _G_, dessen Bild wirklich nach _f_ fiele. Denkt man sich
die Gerade _G_ als eine materiell hergestellte, sehr lange, dünne
Stange aus Draht oder Holz und Π wieder als Glastafel und visiert ein
in _O_ angebrachtes Auge die Stange ein, so wird ihr Ende nahezu in
_f_ erscheinen, die Gerade »verschwindet« in _f_. Das Bild G' läuft
verlängert durch den Fluchtpunkt, oder es »flieht« nach _f_.
Wir geben nochmals an, wie der Fluchtpunkt einer Geraden zu
konstruieren ist:
=Satz 7.= +Der Fluchtpunkt einer Geraden wird erhalten, wenn
man durch das Auge eine Parallele zu der Geraden zieht. Der
Schnittpunkt dieser Parallelen mit der Tafel (die Spur dieses
Parallelstrahles) ist der Fluchtpunkt der Geraden.+
Das Bild _G'_ wird man zeichnen können, wenn man 2 Punkte desselben
bestimmt hat. Als solche bieten sich ganz von selbst die Spur _s_ und
die Flucht _f_ dar. Man kann also sagen:
=Satz 8.= +Das Bild einer Geraden ist die Verbindungslinie ihrer
Spur und ihres Fluchtpunktes.+
Um ein Beispiel zu haben, betrachten wir Fig. 12. Wählen wir die Kante
_ab_ des Würfels. Der Fluchtpunkt dieser Geraden ergibt sich, wenn wir
durch _O_ die Parallele zeichnen. Da die Kante auf der Tafel _ZXY_
senkrecht steht, so ist diese Parallele die Linie _O_~A~ und ~A~ ist
der Fluchtpunkt. Es geht also in dem perspektivischen Bilde rechts oben
_a'b'_ verlängert durch ~A~.
=11. Der Satz vom Fluchtpunkt.= Denken wir uns nun (Fig. 14) eine
zweite Gerade _H_ gegeben, welche zu _G_ parallel sein soll. Die Spur
von _H_ sei der Punkt _s'_. Dann weiß man, daß die Linie _J_ oder _Of_
auch parallel zu _H_, und dies besagt doch nichts anderes, als daß _f_
auch der Fluchtpunkt der Geraden _H_ sein muß. Das perspektivische
Bild _H'_ der Geraden _H_ läuft folglich durch _f_ und durch _s'_.
Ebenso wäre für jede andere Gerade, welche zu _G_ parallel ist, _f_
der Fluchtpunkt. Die Bilder _G'_ und _H'_ der parallelen Geraden _G_
und _H_ laufen also im gemeinsamen Fluchtpunkt _f_ zusammen. Damit
erhalten wir den die ganze Lehre von der perspektivischen Zeichnung
beherrschenden
=Satz 9.= +Sind eine Anzahl paralleler Geraden im Raume gegeben,
so sind die perspektivischen Bilder dieser Geraden nicht
parallel, sondern sie laufen+, =hinreichend verlängert=,
+durch einen Punkt, den gemeinsamen Fluchtpunkt der parallelen
Geraden+.
[Illustration: Fig. 15.]
Man beachte, daß im Gegensatze dazu bei der orthogonalen Projektion
nach Satz 3 (S. 7) parallele Gerade im Raume auch stets Bilder haben,
die wieder +parallel+ sind. Die Figur 12 liefert uns auch sofort ein
Beispiel für die Anwendung dieses Fluchtpunktsatzes. Betrachten wir
an dem dort dargestellten Würfel die 4 Kanten _ba_, _cd_, _gh_, _fe_,
so erkennt man leicht, daß dieses 4 parallele Gerade sind. ~A~ ist
offenbar der gemeinsame Fluchtpunkt derselben, und die Bilder _b'a'_,
_c'd'_, _g'h'_, _f'e'_ laufen demnach verlängert durch ~A~.
Eine aufmerksame Betrachtung der Fig. 12 kann uns übrigens darüber
belehren, daß es doch parallele Gerade gibt, deren Bilder auch wieder
parallel sind. So sind die vier Geraden _bc_, _ad_, _eh_, _fg_ offenbar
im Raume parallel, und ihre Bilder _b'c'_, _a'd'_, _e'h'_, _f'g'_ sind
ebenfalls parallel. Die gleiche Eigenschaft zeigen die vier Kanten
_ae_, _bf_, _cg_, _dh_. Betrachten wir nun, um dies klar zu übersehen,
eine Gerade _G_, welche zur Bildebene Π parallel ist (Fig. 15). Das
Bild _G'_ derselben ergibt sich wieder, wenn wir nach allen möglichen
Punkten von _G_ die Projektionsstrahlen legen und diese mit der Tafel
zum Schnitt bringen. Alle diese Strahlen bilden aber eine Ebene, und
diese projizierende Ebene schneidet aus Π das Bild _G'_ aus. Wenn wir
nun angenommen haben, daß die Gerade _G_ zur Bildtafel Π parallel ist,
so heißt das, daß sie die Bildtafel nicht schneidet. Die Gerade _G_
kann also auch _G'_ nicht schneiden oder mit anderen Worten: es ist _G_
parallel _G'_.
Ist nun _H_ eine zweite zu _G_ parallele Gerade, so folgt ganz in
der gleichen Weise, daß auch _H_ parallel zu _H'_ ist, und daraus
folgert man sofort, daß auch _G'_ parallel _H'_ ist. Diese beiden
parallelen Geraden _G_ und _H_ haben also parallele Bilder _G'_ und
_H'_. Allgemein kann man diesen besonderen Fall des Fluchtpunktsatzes
aussprechen als
=Satz 10.= »+Parallele Geraden, welche überdies zur Bildebene
parallel laufen, haben auch parallele, perspektivische
Bilder; die Bilder solcher Geraden sind zu den Geraden selbst
parallel.+«
[Illustration: Fig. 16.]
=12. Das Fluchtpunktgesetz in der Erscheinungswelt.= Der Begriff der
Zentralprojektion war abgeleitet aus dem Vorgang des Sehens, den wir
jetzt etwas genauer untersuchen müssen. Das menschliche Auge entwirft
von beleuchteten Gegenständen, die sich vor ihm befinden, auf der im
Hintergrunde des Auges befindlichen Netzhaut kleine Bildchen, die
dadurch entstehen, daß man die Punkte des Gegenstandes aus einem
bestimmten, im Auge gelegenen Punkte _o_ auf die Netzhaut projiziert.
In Fig. 16 ist das allerdings in ganz unrichtigen Größenverhältnissen
wiedergegeben. Als Objekte sind die beiden parallelen Pfeile _ab_ und
_cd_ gewählt. _o_ ist das Zentrum, und die von _o_ nach den Punkten
_a_, _b_, _c_, _d_ gehenden Strahlen schneiden die Netzhaut in den
Punkten _a'_, _b'_, _c'_, _d'_. So entstehen die Bildchen _a'b'_ und
_c'd'_. In zweierlei Hinsicht unterscheidet sich freilich die hier
zur Verwertung kommende Perspektive von der von uns betrachteten.
Erstens tritt an Stelle der ebenen Bildtafel die kugelförmig gewölbte
Netzhaut, und zweitens befinden sich Gegenstand und auffangende Fläche
auf verschiedenen Seiten des Zentrums _o_. Das letztere äußert sich
dadurch, daß die Bildchen auf der Netzhaut verkehrt sich ausbilden.
So sind z. B. die Pfeilspitzen _a'_, _c'_ unten gelegen. Mit dem
Augenspiegel kann man das direkt beobachten. Denkt man sich weiter
durch _o_ die Parallele zu _ab_ gezogen, so schneidet diese die
Netzhaut in einem Punkte _f_, den wir als den Fluchtpunkt aller zu
_ab_ parallelen Linien bezeichnen müssen. Je länger der Pfeil _ab_
ist, desto mehr strebt das Bildchen _a'b'_ dem Punkte _f_ zu. Die
beiden Bilder _a'b'_ und _c'd'_ laufen verlängert durch _f_, und diese
Tatsache drückt sich auch in unserem Wahrnehmungsbild aus, indem
sich die beiden Pfeile zu nähern scheinen. In der Tat kann man das
auf Schritt und Tritt beobachten. Wenn eine Straße auf eine lange
Strecke geradlinig verläuft, so scheinen die Häuser am Ende derselben
zusammenzurücken, ebenso die Trambahnschienen und die Gesimslinien
ihrer Gebäude. Eine geradlinige Allee schließt sich scheinbar in der
Ferne, in gleicher Weise ein sehr langer Korridor. Am großartigsten
zeigt sich die Erscheinung, wenn die Sonnenstrahlen durch eine
Wolkenlücke brechen. Sie werden dann in ihrem geradlinigen Verlauf
sichtbar, indem sie die Wolken oder andere Teile der Landschaft
beleuchten. Die Strahlen, die durch die Lücke hindurchgehen, sind nun
parallel, da wir Strahlen, die von +einem+ Punkte der Sonne ausgehen,
als parallel betrachten müssen. Für unser Auge aber scheinen diese
Strahlen von einem Punkte auszugehen, eben dem Fluchtpunkte derselben.
So bringt uns unser Auge den Satz vom Fluchtpunkte fast in jedem Moment
zum Bewußtsein und wir können nicht über die Straße gehen, ohne ihn zu
erleben. Das ganze Weltbild, das wir beständig vor Augen haben, wird
durch dieses Gesetz wesentlich beeinflußt.
§ 5. Andere Bestimmung eines perspektivischen Bildes.
[Illustration: Fig. 17.]
=13. Die festen Elemente.= Wir wollen nun einen anderen Weg
einschlagen, um perspektivische Bilder von Körpern zu zeichnen, indem
wir den Satz vom Fluchtpunkt jetzt so viel als möglich heranziehen. Es
ist dann zunächst nötig, eine Anzahl fester Elemente einzuführen, auf
die wir die Darstellung beziehen. Die Bildebene oder Tafel denken wir
uns wieder als eine lotrechte Ebene. Die darzustellenden Gegenstände
werden sich nun in den meisten Fällen auf einer horizontalen
Bodenfläche befinden; wir führen dementsprechend eine zur Tafel
senkrechte, wagrechte Ebene ein, die wir kurz die »Grundebene« nennen.
Die Figuren 17 und 18 geben wieder eine Ansicht aller zu benutzenden
Gebilde. Die Grundebene Π_{1} wird die Tafel Π in einer Geraden _gg_
schneiden, welche »Grundlinie« heißen soll. Von dem im Raume gegebenen
Auge _O_ fällen wir eine Senkrechte auf die Tafel, deren Fußpunkt der
schon erwähnte »Haupt«- oder »Aug«-Punkt ~A~ ist. Da die Linie _O_~A~
demnach parallel zur Grundebene verläuft, so kann man durch _O_~A~ eine
Ebene legen, welche parallel zur Grundebene ist. Diese Parallelebene
schneidet aus der Tafel eine Linie _hh_ aus, welche parallel zur
Grundlinie _gg_ sein muß und bereits als der »Horizont« bezeichnet
wurde. Die Parallelebene selbst hieß die »Horizontebene«. Der Abstand
des Horizonts von der Grundlinie oder, was das gleiche ist, der Abstand
der Horizontebene von der Grundebene wird die »Augenhöhe« genannt.
Endlich tragen wir noch die Distanz _O_~A~ vom Augpunkt aus nach beiden
Seiten auf dem Horizont ab, wodurch wir die Punkte ~D_{1}~ und ~D_{2}~
erhalten. Diese heißen die »Distanzpunkte«. Da also ~AD_{1}~ = ~A~_O_
= ~AD_{2}~, so sind die Dreiecke ~D_{1}~_O_~A~ und ~D_{2}~_O_~A~ beide
gleichschenklig rechtwinklig, und es ist ∢ ~AD_{1}~_O_ = ∢ ~AD_{2}~_O_
= 45°.
In der Zeichenebene geben wir uns also (Fig. 19) zwei parallele Linien
_hh_ und _gg_ und auf der oberen den Punkt ~A~ sowie im gleichen
Abstande rechts und links die Punkte ~D_{1}~ und ~D_{2}~. Die Lage des
Auges im Raume ist damit festgelegt: es liegt auf der Senkrechten, die
wir uns im Punkte ~A~ zur Zeichenebene errichtet denken, und zwar in
einem Abstande von ~A~, der gleich ~AD_{1}~ oder ~AD_{2}~ ist.
Durch die Annahme dieser Elemente ist nun bereits eine ganze Anzahl
von Richtungen bestimmt. Eine auf der Zeichenebene senkrechte Gerade
_T_ liefert uns die Ausdehnung des Gegenstandes nach der »Tiefe« zu,
wie wir ja auch von der Tiefe eines Kastens oder einer Bühne sprechen
und darunter die Abmessung verstehen, die lotrecht zur Vorderfläche
erfolgt. Wir nennen aus diesem Grunde jede auf der Bildebene senkrechte
Gerade _T_ eine »+Tiefenlinie+« (Fig. 18 oben). Die durch das Auge _O_
zu einer solchen Tiefenlinie gelegte Parallele wird dann aber immer der
Strahl _O_~A~, und folglich ist nach Satz 7 ~A~ ihr Fluchtpunkt. Damit
haben wir aber bewiesen:
=Satz 11.= »+Der Augpunkt A ist der Fluchtpunkt für alle
Tiefenlinien, d. h. die Bilder aller Tiefenlinien gehen
verlängert durch den Augpunkt+.«
Der Augpunkt beherrscht deswegen die ganze Darstellung und legt die im
Bilde fehlende dritte Dimension fest.
Um die Bedeutung des Horizontes zu erkennen, erinnern wir zunächst an
folgenden Satz aus der Stereometrie: »Ist eine Ebene Π_{1} gegeben und
außerhalb derselben ein Punkt _O_, so gibt es durch _O_ nur +eine+
Ebene, welche zu Π_{1} parallel ist.«
Diese Behauptung kann man auch durch folgende andere ersetzen:
»Zieht man in der Ebene Π_{1} +irgend+welche Gerade und zeichnet durch
_O_ die Parallelen zu derselben, so liegen alle diese Parallelen in
einer Ebene, eben in der Parallelebene durch _O_ zu Π_{1}.« Ist also
_G_ irgendeine Gerade der Grundebene (Fig. 17) und ziehen wir zu ihr
durch _O_ die Parallele, so liegt diese in der Horizontebene, der
Schnittpunkt _f_ der Parallelen mit der Tafel muß demnach auf _hh_
gelegen sein; er ist aber der Fluchtpunkt der Geraden _G_; mit anderen
Worten:
=Satz 12.= +Alle in der Grundebene gelegenen Geraden haben ihre
Fluchtpunkte auf dem Horizonte.+
~A~ ist im besonderen der Fluchtpunkt aller zur Grundlinie _gg_
senkrechten Geraden der Grundebene, was wir ja schon wissen. Zeichnen
wir ferner in der Grundebene ein Quadrat _abcd_ (Fig. 18), das mit
einer Seite _ab_ in der Grundlinie liegt. Dann schließen die Linien
_ac_ und _bd_, die sog. Diagonalen des Quadrates, mit der Grundlinie
Winkel von 45° ein. Man vgl. auch Fig. 19, in welcher unten das Quadrat
(_a_)(_b_)(_c_)(_d_) in seiner wahren Gestalt zu sehen ist. Es ist aber
klar, daß die Linie _OD_{1}_ parallel zu _bd_ und _OD_{2}_ parallel
zu _ac_; _D_{1}_ und _D_{2}_ sind die Fluchtpunkte der Diagonalen des
Quadrates und aller zu diesen beiden Geraden parallelen Geraden der
Grundebene d. h.
=Satz 13.= »+Alle Linien der Grundebene, welche mit der
Grundlinie den Winkel von 45° nach der einen oder anderen Seite
einschließen, haben die Distanzpunkte bzw. zu Fluchtpunkten.+«
[Illustration: Fig. 18.]
Endlich wollen wir noch eine andere Eigenschaft des Horizontes kennen
lernen. Ist _d_ ein Punkt in der Grundebene, _d'_ sein Bild, also der
Schnittpunkt des Sehstrahles _Od_ mit Π (Fig. 18), so wollen wir uns
vorstellen, daß der Punkt _d_ weiter und weiter nach links in der
Grundebene hinausrückt. Dann wird das Bild _d'_ offenbar immer höher
in der Bildtafel hinaufrücken, da sich der Strahl _Od_ mehr und mehr
aufrichtet. Ist _d_ sehr weit entfernt in der Grundebene angenommen,
so wird das Bild _d'_ dem Horizont _hh_ schon sehr nahe liegen. Wir
gewinnen daraus folgende Deutung für den Horizont:
=Satz 14.= »+Punkte, die sehr weit entfernt in der Grundebene
liegen, haben Bilder, die nahezu in den Horizont fallen.+«
Ein schönes Beispiel dafür liefert die Darstellung des offenen Meeres.
Denn seine Oberfläche müssen wir uns als eine weit ausgedehnte Ebene
denken. Ist also in einem Gemälde das freie Meer überhaupt oder eine
weit ausgedehnte Wasserfläche dargestellt, so gibt die Grenzlinie
gegen den Himmel praktisch hinreichend genau den Horizont des Bildes
(vgl. Fig. 50). Unsere Überlegung gibt auch die Erklärung dafür, warum
sich die Meeresfläche scheinbar so hoch erhebt, daß sie wie eine Mauer
sich aufzutürmen scheint. In der Tat muß das Bild jeder sehr weit
ausgedehnten horizontalen Ebene bis fast in Augenhöhe reichen.
§ 6. Darstellung eines möglichst einfach gelegenen Quadrates der
Grundebene. Anwendungen dieser Konstruktion. Tiefenmaßstab.
=14. Die Umlegung und Verschiebung der Grundebene.= Unter Benutzung der
so definierten festen Elemente wollen wir jetzt Körper darstellen. Wir
beginnen aber mit dem Einfachsten, indem wir zunächst von Figuren, die
in der Grundebene gelegen sind, die Bilder zeichnen. Es ist dann aber
notwendig, daß wir uns diese Figuren auch selbst geben, sowohl ihrer
wahren Gestalt nach als in ihrer Lage in der Grundebene. Zu diesem
Zwecke müssen wir die Grundebene in unsere Zeichenebene irgendwie
hereinbringen. +Eine+ Möglichkeit, dies zu erreichen, ist folgende:
wir drehen die Grundebene um die Grundlinie nach aufwärts im Sinne der
beiden Pfeile (Fig. 17, 18) so lange, bis sie mit der Tafel sich deckt.
Dann liegt die Grundebene allerdings in unserem Zeichenblatt, aber wir
haben die Unannehmlichkeit, daß die Figuren der Grundebene sich dort
befinden, wo das Bild entworfen werden soll. Deswegen schieben wir die
(gedrehte) Grundebene in der Tafel parallel zu sich selbst noch um ein
beliebiges Stück herunter, bis die Grundlinie die neue Lage (_g_)(_g_)
annimmt (Fig. 19); irgendein Punkt _a_ der Grundlinie beschreibt
dabei die lotrechte Linie _a_(_a_), wenn wir mit (_a_) die Lage des
Punktes _a_ nach Ausführung der Verschiebung bezeichnen. Die Entfernung
_a_(_a_) zwischen _gg_ und (_g_)(_g_) ist ganz willkürlich und richtet
sich nach der Größe der in der Grundebene gegebenen Figur.
[Illustration: Fig. 19.]
Nach diesen Vorbereitungen behandeln wir folgende
=Aufgabe 2.= In der Grundebene ist ein Quadrat gegeben, von dem
eine Seite _ab_ in der Grundlinie liegt. Das Bild des Quadrates
zu zeichnen.
Die Lage des gegebenen Quadrates _abcd_ veranschaulicht Fig. 18. In der
wirklichen Ausführung (Fig. 19) geben wir uns den Horizont _hh_ mit
dem Augenpunkt ~A~ und den beiden Distanzpunkten, ~D_{1}~ und ~D_{2}~,
dazu parallel die Grundlinie _gg_ mit den beiden Ecken _a_ und _b_ des
Quadrates.
Um auf Grund dieser Stücke das Bild des Quadrates zu zeichnen,
ziehen wir in beliebigem Abstand die Parallele (_g_)(_g_) und
bestimmen vermittels der Vertikalen durch _a_ und _b_ die Lage
(_a_)(_b_)(_c_)(_d_) des Quadrates nach der Verschiebung. Nun sind
die Quadratseiten _ad_ und _bd_ Tiefenlinien, ihre Bilder müssen also
nach Satz 11 durch ~A~ gehen; die Punkte _a_ und _b_ sind aber die
Spuren dieser Geraden. Folglich erhalten wir in _a_~A~ und _b_~A~
die Bilder der beiden Geraden, auf denen die Quadratseiten _ad_ und
_bc_ liegen, und die Bilder _d'_ und _c'_ müssen bzw. auf _a_~A~ und
_b_~A~ gelegen sein. Denken wir uns aber noch die Diagonale _db_
konstruiert, welche in unserer Verschiebung als (_d_)(_b_) zu zeichnen
ist, so ist das eine Linie, welche einen Winkel von 45° mit der
Grundlinie bildet. Nach Satz 13 ist also ~D_{1}~ der Fluchtpunkt dieser
Geraden, _b_ aber ist ihre Spur; mithin wird das Bild der Geraden _db_
die Verbindungslinie _b_~D_{1}~. Das Bild _d'_ muß demnach sowohl auf
_a_~A~ als auch auf _b_~D_{1}~ liegen, kann also nur der Schnittpunkt
_d'_ dieser beiden Linien sein. Ebenso finden wir das Bild _c'_ der
Ecke _c_ als Schnittpunkt von _a_~D_{2}~ und _b_~A~. Das folgt sofort
aus der Betrachtung der anderen Diagonale _ac_. Eine Kontrolle für
die Zeichnung ergibt sich daraus, daß _c'd'_ von selbst parallel
_gg_ sein muß. Denn die Quadratseite _cd_ ist ja parallel zur Tafel,
also nach Satz 10 _cd_ ∥ _c'd'_.[3] Da aber _cd_ ∥ _ab_, so ist
auch _c'd'_ ∥ _ab_. Man erkennt ferner, daß es für die Konstruktion
des Bildes _abc'd'_ gar nicht nötig gewesen wäre, die Verschiebung
(_a_)(_b_)(_c_)(_d_) zu zeichnen. Im übrigen sei nochmals an die
Bemerkung auf S. 14 unten erinnert.
[3] ∥ ist das Zeichen für parallel.
=Aufgabe 3.= Einen in der Grundebene gelegenen quadratisch
getäfelten Fußboden zu zeichnen.
Die Quadrate, welche den Fußboden liefern, sind in Fig. 19 in der
Verschiebung gezeichnet. An das Quadrat (_a_)(_b_)(_c_)(_d_) schließt
sich die erste Reihe, welche an die Grundlinie angrenzt, daran schließt
sich eine zweite Reihe von Quadraten usf. Die Konstruktion Fig. 19
ergibt sich fast von selbst. Die Tiefenlinien, wie z. B. (_e_)(_f_),
fliehen im Bilde alle nach ~A~. Ferner erkennt man leicht, daß in dem
System der Quadrate alle Diagonalen der einen und anderen Richtung sich
zu zwei Scharen paralleler Geraden zusammensetzen. Das gilt also auch
für das Bild, nur mit dem Unterschied, daß die Bilder aller dieser
parallelen Geraden bzw. nach ~D_{1}~ und ~D_{2}~ laufen. In der Fig.
19 sind der Tiefe nach 5 Reihen von Quadraten gezeichnet, während in
der Verschiebung nur 3 Reihen angegeben wurden. Da alle Diagonalen der
Quadratbilder nach ~D_{1}~ oder ~D_{2}~ gehen, und außerdem je zwei
Seiten eines Quadrats parallel zur Grundlinie laufen, so bietet die
Figur zahllose Kontrollen.
=15. Anwendungen dieser Aufgabe.= Man würde aber irren, wollte man
diese Figur bloß für eine mathematische Spielerei halten: wir können
vielmehr von derselben eine ganze Anzahl praktischer Anwendungen
machen. Zunächst ist es möglich, daß bei der bildlichen Wiedergabe
eines Interieurs, z. B. eines Zimmers, an und für sich ein solcher
Parkettboden zu zeichnen ist. Derselbe bietet dann aber auch weiter
die Möglichkeit, Figuren, Einrichtungsgegenstände usf. einigermaßen
richtig im Raume zu verteilen, indem man diesen Objekten eine durch die
Schätzung der Quadrate zu beurteilende Bodenfläche zuweist. Jedenfalls
kann man sich vor ganz groben Irrtümern dadurch schützen. Als Beispiel
geben wir in Abbildung 3 das Abendmahl des Altniederländers +Dirk
Bouts+ (1410(?)--1472) wieder, das sich in der Peterskirche in Löwen
befand und von den Deutschen im Kriege von 1914 gerettet wurde. Auf
gewisse Unrichtigkeiten der Konstruktion gehen wir hier nicht ein. Der
primitiven Kunst lag eine solche Rücksicht auf richtige Verteilung
der Objekte im Raume überhaupt gänzlich fern. Sie zeichnet die Köpfe
einer Anzahl von Menschen einfach neben- und übereinander, ohne
sich zu fragen, ob die zugehörigen Körper auch wirklich den ihnen
entsprechenden Platz im Raume haben.
[Illustration: Abb. 3.]