Anmerkungen zur Transkription.
Das Original ist in Fraktur gesetzt.
Im Orginal gesperrter Text ist +so ausgezeichnet+. Im Original in
Antiqua gesetzter Text ist ~so markiert~. Im Original kursiver
Text ist _so gekennzeichnet_. Im Original fetter Text ist =so
dargestellt=.
Hochgestellte Sterne sind so dargestellt: _A^*_.
Tiefgestellte Indizes sind so dargestellt: _F_{b}_.
Weitere Anmerkungen zur Transkription finden sich am Ende des
Buches.
Die Sammlung
»Aus Natur und Geisteswelt«
nunmehr schon über 500 Bändchen umfassend, will die Errungenschaften
von Wissenschaft, Kunst und Technik weiteren Kreisen zugänglich machen
und einem jeden die Möglichkeit bieten, auch auf ihm ferner liegenden
Gebieten deren Fortschritte zu verfolgen.
Sie bietet wirkliche »+Einführungen+« in die Hauptwissensgebiete für
den Unterricht oder Selbstunterricht, wie sie den heutigen methodischen
Anforderungen entsprechen -- ein Bedürfnis erfüllend, dem Skizzen mit
dem Charakter von »+Auszügen+« aus großen Lehrbüchern nie entsprechen
können, da solche vielmehr eine Vertrautheit mit dem Stoffe schon
voraussetzen.
Damit sie stets auf die Höhe der Forschung gebracht werden können, sind
die Bändchen nicht, wie die anderer Sammlungen, stereotypiert, sondern
werden -- was freilich die Aufwendungen sehr wesentlich erhöht -- bei
jeder Auflage durchaus neu bearbeitet und völlig neu gesetzt. So konnte
der Sammlung auch der Erfolg nicht fehlen. Über 200 Bändchen liegen
bereits in 2. bis 6. Auflage vor, insgesamt hat sie bis jetzt eine
Verbreitung von über 3 Millionen Exemplaren gefunden.
In den Dienst dieser Aufgabe haben sich darum auch in dankenswerter
Weise von Anfang an die besten Namen gestellt, gern die Gelegenheit
benutzend, sich an weiteste Kreise zu wenden, der Gefahr der
»Spezialisierung« unserer Kultur entgegenzuarbeiten an ihrem Teil
bestrebt.
So vermag die Sammlung dem Leser ein Verständnis dafür zu vermitteln,
wie die moderne Wissenschaft es erreicht hat, über wichtige Fragen von
allgemeinem Interesse Licht zu verbreiten, und ihn dadurch zu einem
+selbständigen+ Urteil zu befähigen.
Alles in allem sind die schmücken, gehaltvollen Bände, denen von
Professor +Tiemann+ ein neues künstlerisches Gewand gegeben, durchaus
geeignet, die Freude am Buche zu wecken und daran zu gewöhnen, einen
kleinen Betrag, den man für Erfüllung körperlicher Bedürfnisse nicht
anzusehen pflegt, auch für die Befriedigung geistiger anzuwenden. Durch
den billigen Preis ermöglichen sie es tatsächlich jedem, auch dem
wenig Begüterten, sich eine Bibliothek zu schaffen, die das für ihn
Wertvollste »Aus Natur und Geisteswelt« vereinigt.
Jedes der meist reich illustrierten Bändchen
ist in sich abgeschlossen und einzeln käuflich
Jedes Bändchen geheftet Mark 1.--, in Leinwand gebunden Mark 1.25
Werke, die mehrere Bändchen umfassen, auch in +einem+ Band gebunden
Leipzig, 1. Januar 1915
B. G. Teubner
Jedes Bändchen geheftet M. 1.--, in Leinwand gebunden M. 1.25
*) auf Wunsch auch in Halbpergamentbänden zu M. 2.--
Zur bildenden Kunst, Musik und Schauspielkunst
sind bisher erschienen:
[Allgemeine Kunstwissenschaft, Kunstpflege]
=Bau und Leben der bildenden Kunst.= Von Direktor Professor ~Dr.~ +Th.
Volbehr+. 2. Auflage. Mit 44 Abbildungen. (Bd. 68.*)
=Ästhetik.= Von Professor ~Dr.~ R. +Hamann+. (Bd. 345.*)
=Kunstpflege in Haus und Heimat.= Von Superintendent +R. Bürkner+. 2.
Auflage. Mit 29 Abbildungen. (Bd. 77.)
[Kunstgewerbe]
=Deutsche Kunst im täglichen Leben bis zum Schlusse des 18.
Jahrhunderts.= Von Professor ~Dr.~ +B. Haendcke+. Mit 63 Abbildungen.
(Bd. 198.)
=Geschichte der Gartenkunst.= Von Regierungs-Baumeister +Chr. Ranck+.
Mit 41 Abbildungen. (Bd. 274.)
[Kunstgeschichte]
=Die Entwicklungsgeschichte der Stile in der bildenden Kunst.= Von
~Dr.~ +E. Cohn-Wiener+. 2 Bände. Mit zahlreichen Abbildungen. (Auch in
1 Band gebunden.)
Bd. I: Vom Altertum bis zur Gotik. Mit 57 Abbild. (Bd. 317.*)
Bd. II: Von der Renaissance bis zur Gegenwart. Mit 31 Abbildungen. (Bd.
318.*)
[Alte Kunst]
=Die Blütezeit der griechischen Kunst im Spiegel der Reliefsarkophage.=
Eine Einführung in die griechische Plastik. Von ~Dr.~ +H. Wachtler+.
Mit 8 Tafeln und 82 Abbild. (Bd. 272.*)
=Die dekorative Kunst des Altertums.= Von ~Dr.~ +Fr. Poulsen+. Mit 112
Abbildungen. (Bd. 454.*)
=Pompeji, eine hellenistische Stadt in Italien.= Von Professor ~Dr.~
+Fr. v. Duhn+. 2. Auflage. Mit 62 Abbildungen. (Bd. 114.)
=Michelangelo.= Eine Einführung in das Verständnis seiner Werke. Von
Professor ~Dr.~ +E. Hildebrandt+. Mit 44 Abbildungen. (Bd. 392.*)
=Die Renaissancearchitektur in Italien I.= Von ~Dr.~ +P. Frankl+. Mit
12 Tafeln und 27 Textabbildungen. (Bd. 381.*)
[Neuere Kunst]
=Die altdeutschen Maler in Süddeutschland.= Von +H. Nemitz+. Mit einem
Bilderanhang (Bd. 464.*)
=Albrecht Dürer.= Von ~Dr.~ +R. Wustmann+. Mit 33 Abbildungen. (Bd.
97.*)
=Rembrandt.= Von Professor ~Dr.~ +P. Schubring+. Mit 50 Abbildungen.
(Bd. 158.*)
=Niederländische Malerei im 17. Jahrhundert.= Von ~Dr.~ +H. Jantzen+.
Mit zahlreichen Abbildungen. (Bd. 373.*)
=Deutsche Baukunst im Mittelalter.= Von Professor ~Dr.~ +A. Matthaei+.
3. Auflage. Mit 29 Abbildungen. (Bd. 8.*)
[Neuere Kunst]
=Deutsche Baukunst seit dem Mittelalter bis zum Ausgang des 18.
Jahrhunderts.= Von Professor ~Dr.~ +A. Matthaei+. Mit 62 Abbildungen
und 3 Tafeln. (Bd. 326.*)
=Deutsche Baukunst im 19. Jahrhundert.= Von Professor ~Dr.~ +A.
Matthaei+. Mit 35 Abbildungen. (Bd. 453.*)
[19. Jahrh.]
=Die deutsche Malerei im 19. Jahrhundert.= Von Professor ~Dr.~ +R.
Hamann+. 2 Bände Text, 2 Bände mit 57 ganzseitigen und 200 halbseitigen
Abbildungen. (Bd. 448--451, in 2 Doppelbänden, auch in 1 Halbpergament
zu M. 6.--)
=Die Maler des Impressionismus.= Von Professor ~Dr.~ +B. Lázàr+. Mit 32
Abbildungen und 1 farbigen Tafel. (Bd. 395.*)
[Orient.]
=Ostasiatische Kunst und ihr Einfluß auf Europa.= Von Direktor
Professor ~Dr.~ +R. Graul+. Mit 49 Abbildungen. (Bd. 87.)
[Neuere Musikgeschichte]
=Haydn, Mozart, Beethoven.= Von Professor ~Dr.~ +C. Krebs+. 2. Auflage.
Mit 4 Bildnissen. (Bd. 92.)
=Die Blütezeit der musikalischen Romantik in Deutschland.= Von ~Dr.~
+E. Istel+. Mit 1 Silhouette. (Bd. 239.)
=Das Kunstwerk Richard Wagners.= Von ~Dr.~ +E. Istel+. Mit 1 Bildnis
Richard Wagners. (Bd. 330.)
=Die moderne Oper.= Von ~Dr.~ +E. Istel+ (Bd. 495.)
[Musiktheorie]
=Die Grundlagen der Tonkunst.= Versuch einer genetischen Darstellung
der allgemeinen Musiklehre. Von Professor ~Dr.~ +H. Rietsch+. (Bd. 178.)
=Musikalische Kompositionsformen.= Von +S. G. Kallenberg+. 2 Bände.
(Bd. 412, 413, auch in 1 Band gebunden.)
Bd. I: Die elementaren Tonverbindungen als Grundlage der Harmonielehre.
(Bd. 412.)
Bd. II: Kontrapunktik und Formenlehre. (Bd. 413.)
=Die Instrumente des Orchesters.= Von Professor ~Dr.~ +Fr. Volbach+.
Mit 60 Abbildungen. (Bd. 384.)
=Das moderne Orchester in seiner Entwicklung.= Von Prof. ~Dr.~ +Fr.
Volbach+. Mit Partiturbeispielen u. 3 Tafeln. (Bd. 308.)
=Klavier, Orgel, Harmonium.= Das Wesen der Tasteninstrumente. Von
Professor ~Dr.~ +O. Bie+. (Bd. 325.)
[Schauspielkunst]
=Das Theater.= Schauspielhaus und Schauspielkunst vom griechischen
Altertum bis auf die Gegenwart. Von ~Dr.~ +Chr. Gaehde+. 2. Auflage.
Mit 18 Abbildungen. (Bd. 230.)
+Weitere Bände befinden sich in Vorbereitung.+
Aus Natur und Geisteswelt
Sammlung wissenschaftlich-gemeinverständlicher Darstellungen
510. Bändchen
Grundzüge der Perspektive
nebst Anwendungen
Von
~Dr.~ Karl Doehlemann
O. ö. Professor an der Kgl. Technischen Hochschule in
München
Mit 91 Figuren und 11 Abbildungen
[Illustration]
Druck und Verlag von B. G. Teubner in Leipzig und Berlin 1916
Alle Rechte, einschließlich des Übersetzungsrechts, vorbehalten.
Vorwort.
Die Darstellung der Grundzüge der Perspektive und ihrer Anwendungen,
wie sie im folgenden gegeben wird, ist hervorgegangen aus öffentlichen
Vorträgen, die ich seit einer langen Reihe von Jahren in München im
Volkshochschulverein halte und die von einem Publikum besucht sind, das
sich aus allen Ständen und Berufsklassen zusammensetzt.
Um eine schriftliche Bearbeitung dieses Gegenstandes weiteren Kreisen
zugänglich zu machen, schien es mir vor allem notwendig, das Buch
mit möglichst zahlreichen Figuren auszustatten. Fast jeder größeren
Aufgabe ist noch eine eigene Figur beigegeben, welche die Lage des
darzustellenden Gegenstandes gegen die Bildtafel wiedergibt und eine
genaue Vorstellung der räumlichen Anordnung und der vorzunehmenden
geometrischen Überlegungen ermöglichen soll. Bei der Wahl der
abzubildenden Gegenstände war die Klarheit und Übersichtlichkeit des
Bildes maßgebend. Es mußten deswegen einfache Formen gewählt werden und
diese konnten nicht immer auch in ästhetischer Hinsicht befriedigen.
Was die Abgrenzung des Stoffes betrifft, so wurde in einem einleitenden
Abschnitt die Darstellung eines Gegenstandes in Grund- und Aufriß
erörtert. Ich wüßte nicht, wie man das umgehen könnte. Denn es ist für
den Anfänger doch unerläßlich, daß er sich einen Körper, den er in
Perspektive setzt, vorher seiner Größe und Lage nach genau bestimmt.
In bezug auf Strenge der Entwicklung bin ich so weit gegangen, als
es bei einer für weitere Kreise bestimmten Darstellung angängig ist:
Das ist nötig, um eine sichere Grundlage zu gewinnen. Mit allgemeinen
und verschwommenen Redensarten ist demjenigen nicht gedient, der +zu
klaren+ Begriffen und Vorstellungen in dem hier behandelten Gebiete
gelangen will.
Was viele von der Beschäftigung mit der Perspektive abhält, ist
der Umstand, daß diese Disziplin sich ohne Geometrie, also ohne
mathematische Betrachtungen, nicht behandeln läßt. In der Tat werden
wir im Laufe unserer Betrachtungen einige einfache Sätze aus der
Planimetrie und der Stereometrie voraussetzen müssen. Aber darin
liegen nicht die eigentlichen Schwierigkeiten. Diese Sätze werden die
Leser verhältnismäßig leicht verstehen oder als anschauliche Tatsachen
hinnehmen. Die Hauptschwierigkeit wird vielmehr die sein, daß mit all
den Figuren, die im folgenden zu zeichnen sind, gewisse räumliche
Vorstellungen und Überlegungen zu verbinden sind. Es wird nur durch
Nachdenken möglich sein, sich in diese Dinge hineinzuleben. Nur auf
diesem Wege wird man den Begriff des gesetzmäßigen, mathematischen
Bildes gewinnen. Das aber ist für viele Berufsarten nötig, namentlich
in der Gegenwart, in der neben dem geschriebenen und gedruckten Wort
das +Bild+ die Welt beherrscht.
Inhaltsübersicht.
Seite
Vorwort III
Einleitung: Zwei verschiedene Arten von geometrischen
Bildern 1
§ 1. Das perspektivische Bild 1
§ 2. Der gerade Riß 6
Der perspektivische Entwurf 13
§ 3. Die Schnittmethode 13
§ 4. Der Satz vom Fluchtpunkt 20
§ 5. Andere Bestimmung eines perspektivischen Bildes 24
§ 6. Darstellung eines möglichst einfach gelegenen
Quadrates der Grundebene. Anwendungen dieser
Konstruktion. Tiefenmaßstab 27
§ 7. Darstellung beliebiger, geradliniger Figuren der
Grundebene 33
§ 8. Darstellung einfacher Körper, die sich auf der
Grundebene erheben 41
§ 9. Schiefe Linien im Raume 59
§ 10. Der photographische Apparat 64
§ 11. Die Wahl der Distanz 67
§ 12. Unzugängliche Distanz und Fluchtpunkte 75
§ 13. Gleichzeitige Anwendung der verschiedenen Methoden 86
§ 14. Die Darstellung des Kreises 90
§ 15. Einfache Schattenkonstruktionen 96
§ 16. Künstlerische Freiheiten 99
Literaturverzeichnis 102
Sachregister 103
Einleitung.
Zwei verschiedene Arten von geometrischen Bildern.
§ 1. Das perspektivische Bild.
=1. Zweck einer Abbildung.= Nehmen wir an, wir betrachten irgendein
Raumobjekt, mag es nun eine Maschine oder ein Apparat sein, ein Werk
der Plastik oder der Architektur oder auch eine Landschaft. Wenn wir
dann über die gegenseitige Lage der einzelnen Teile des Objektes,
über die relativen Größenverhältnisse und schließlich auch über die
wirklichen Maße des Gegenstandes zu einem gewissen Urteil gelangt
sind, so daß der Gegenstand uns klar zum Bewußtsein gekommen ist, so
sagen wir, daß wir eine Vorstellung von dem Objekte haben. Der bloße
Anblick von einer Stelle aus wird meistens gar nicht dazu ausreichen.
Denn jedes Objekt verdeckt sich, wenn es nicht durchsichtig ist, zum
Teil selbst: wir werden vielmehr im allgemeinen mehrere Ansichten
brauchen. Bei kleineren Gegenständen genügen zu diesem Zwecke etwa
schon Bewegungen des Kopfes oder Oberkörpers. Ausgedehnteren Objekten
gegenüber, wie zum Beispiel bei einem Gebirgsstock, sind unter
Umständen ganze Wanderungen nötig, um eine wirkliche Anschauung
derselben zu gewinnen.
+Bildliche Darstellungen irgendwelcher Art dienen nun in erster Linie
dem Zwecke, dem Beschauer die Möglichkeit zu bieten, sich von den
betreffenden Objekten eine Vorstellung zu bilden, ohne daß er sie
wirklich vor Augen hat. Die Bilder ersetzen also bis zu einem gewissen
Grade die Objekte.+
Sicher muß unser Vorstellungsvermögen schon ziemlich ausgebildet sein,
wenn wir uns auf Grund einer Zeichnung ein Objekt vorstellen können.
Aber wir eignen uns diese Fähigkeit durch fortgesetzte Übung an, fast
ohne es zu merken. Schon dem Kinde geben wir ein Bilderbuch in die
Hand; es vergleicht die Gegenstände in der Natur mit denen im Bilde
und lernt dadurch allmählich +Sehen+. So kommt es, daß heutzutage bei
uns auch der Ungebildete und Ärmste imstande ist, sich ein Gebäude
oder eine Landschaft einigermaßen vorzustellen, wenn er davon eine
Abbildung, etwa eine Photographie, zu sehen bekommt.
[Illustration: Abb. 1.]
Aus alledem folgt nun, daß eine bildliche Darstellung die Gegenstände
so wiedergeben muß, wie wir sie sehen, und wir werden deswegen aus
dem Vorgang des Sehens eine Definition für den Begriff des »Bildes«
abzuleiten haben.
=2. Mechanische Vorrichtung zur Herstellung eines Bildes.= Zunächst
wollen wir jetzt eine Vorrichtung kennen lernen, welche es uns
ermöglicht, das, was wir ein »Bild« eines Gegenstandes nennen,
mechanisch herzustellen. Eine durchsichtige Glasplatte sei in einem
Holzrahmen vertikal vor uns aufgestellt. Hinter der Glasplatte, von
unserem Standpunkte aus gerechnet, befindet sich der abzubildende
Gegenstand. Wir sehen denselben durch die Glasplatte hindurch. Um die
Betrachtung zu vereinfachen, wollen wir das eine Auge schließen, also
den Gegenstand nur mit einem Auge betrachten. Aber auch dann würden wir
noch bei jeder Bewegung des Körpers oder Kopfes das Objekt in einer
anderen Ansicht erblicken; deswegen ist es weiter nötig, unser Auge
im Raume zu fixieren: man erreicht dies, indem man noch ein Stativ
mit einer undurchsichtigen Platte anbringt, in welche eine kleine
Öffnung, ein Guckloch, geschnitten ist. Wir wollen nun den Gegenstand
betrachten, indem wir das Auge ganz nahe an dieses Guckloch bringen;
dadurch ist dem Auge eine feste Stelle im Raume angewiesen. Man
vergleiche dazu auch die Abbildung 1, welche dem Buche von Albrecht
Dürer: »Unterweisung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheit«,
Nürnberg 1525, entnommen ist. Rechts erkennt man den von uns
beschriebenen Apparat, als Objekt dient der links im Lehnstuhl sitzende
Mann.
Wir nehmen ferner an, daß die Glasplatte auf der dem Auge zugewandten
Seite so präpariert sei, daß wir auf ihr zeichnen können, was etwa
durch Bestreichen mit Damarlack zu erreichen wäre. Nun endlich gehen
wir dazu über, die Linien des Körpers, wie wir sie von dem Guckloch
aus sehen, +auf der Glasplatte nachzuzeichnen+. Es decken sich also
für mein Auge die gezeichneten Linien und die wirklichen Konturen des
Gegenstandes.
Nachdem die Zeichnung fertiggestellt ist, denken wir uns das Objekt
entfernt. Die Glasplatte bestreichen wir auf der Rückseite mit weißer
Deckfarbe, so daß sie undurchsichtig wird; im übrigen bleibt sie an der
gleichen Stelle. Die auf der anderen Seite befindliche Zeichnung wird
dann auf das an dem Sehloch befindliche Auge annähernd den gleichen
Eindruck machen wie der Gegenstand selbst; ich werde ihn immer noch
vor mir zu sehen glauben. Weil also diese Zeichnung eine Vorstellung
des Gegenstandes in uns wachzurufen imstande ist, nennen wir sie ein
»Bild« des Gegenstandes. Freilich enthält unser Bild nur +Linien+; von
den Unterschieden der Helligkeit, von Licht und Schatten, von der Farbe
des Objektes haben wir ganz abgesehen. Aber man kann nicht alles auf
einmal erreichen; es wäre eine zweite Aufgabe, auch diese Eigenschaften
im Bilde wiederzugeben. Die erste und wichtigste Aufgabe ist jedenfalls
die Herstellung einer +Linienzeichnung+, welche die Umrisse und
überhaupt die wichtigsten Linien des Gegenstandes wiedergibt. Ja, sie
genügt in vielen Fällen schon ganz allein. Denn gerade die Linie wirkt
mit einer ganz wunderbaren Kraft und Stärke auf unsere Vorstellung.
=3. Definition des perspektivischen Bildes.= Wir müssen jetzt aber
dazu übergehen, für den Begriff des Bildes eine mathematisch strenge
Herleitung zu geben, indem wir aus dem Vorgange des Nachzeichnens auf
der Glastafel das rein Geometrische herausschälen.
[Illustration: Fig. 1.]
Statt der Glastafel denken wir uns eine ebene Fläche, also eine
mathematische Ebene Π, gewählt; sie ist gegeben durch das Blatt Papier,
das Reißbrett oder die Schultafel, auf der die Zeichnung hergestellt
wird. Wir nennen diese Ebene kurz die »Bildebene« oder auch die
»Tafel«. Der abzuzeichnende Körper sei ebenfalls ein mathematischer,
nämlich ein Würfel _abcdefgh_. In Fig. 1 geben wir zunächst eine
Darstellung des ganzen Vorganges. Statt der kleinen Öffnung, durch
welche wir hindurchsehen, denken wir uns einen Punkt _O_ im Raume
gegeben, den wir in Erinnerung an unseren Apparat immer noch das
»Auge« nennen. Wenn wir ferner an dem Gegenstand einzelne Linien ins
Auge faßten und sie auf der Glastafel nachzeichneten, so lösen wir
jetzt diese Linien in einzelne Punkte auf und betrachten zunächst
einen Punkt des Körpers, z. B. die Ecke _a_. Was heißt es nun, daß
wir auf der Glasplatte die verschiedenen Punkte des Gegenstandes
nachzeichneten? Offenbar befinden sich dann der betreffende Punkt
_a_, die Bleistiftspitze _a'_, welche ihn auf der Glastafel markiert,
und das Guckloch in einer +geraden+ Linie. Denn wenn sich zwei Punkte
im Raume für mein Auge decken, so liegen sie auf einer Geraden durch
das Auge. Darauf beruht ja alles Visieren. Mathematisch ausgedrückt
heißt das aber folgendes: wir ziehen durch den Punkt _O_ eine Gerade
nach dem Punkte _a_ und bringen diese zum Schnitt mit der Bildtafel.
Der Schnittpunkt ist eben _a'_. Wir nennen _a'_ das »Bild« oder den
»Riß« des Punktes _a_. Die durch _O_ gehenden Geraden oder Strahlen
bezeichnen wir als »Projektionsstrahlen« oder »Projizierende Strahlen«
oder »Sehstrahlen«, den ganzen Vorgang als »Zentralprojektion«.
[Illustration: Fig. 2.]
Denken wir uns nach allen Punkten der Linien des Gegenstandes diese
Strahlen gezogen und mit der Bildebene zum Schnitt gebracht, so bilden
alle diese Schnittpunkte das, was wir »ein perspektivisches Bild« des
Objektes oder auch eine »Perspektive« des Würfels heißen.
In Fig. 2 ist ein solches Bild _a'b'c'd'e'f'g'h'_ in seiner wahren
Gestalt wiedergegeben. Die Bildebene Π ist hier die Ebene des
Zeichenblattes. Oft wird auch nicht nur der ganze geometrische Prozeß,
sondern das Bild selbst als eine Zentralprojektion bezeichnet. Wie sich
für unser Auge die Ansicht eines Körpers ändert und immer wieder anders
erscheint, wenn wir unseren Standpunkt dem Körper gegenüber verändern,
so ist dieses perspektivische Bild auf der Bildtafel von zwei Faktoren
abhängig: nämlich erstens davon, wie der Punkt _O_ gegenüber der
Bildtafel angenommen wird, und zweitens davon, welche Lage der Körper
zur Bildtafel einnimmt. Sind aber der Punkt _O_ und der Körper fest
angenommen, so ist auch das Bild vollständig bestimmt. Man kann also
sagen:
=Satz 1.= +Sind die Bildebene Π, das Auge _O_ und der Körper
im Raume gegeben, so erhält man das perspektivische Bild des
Körpers als den+ =Schnitt= +der nach den Punkten des Körpers
gehenden Projektionsstrahlen mit der Bildebene+.
Unter »Perspektive« versteht man weiter auch die Lehre, wie man solche
Bilder unmittelbar auf der Zeichenfläche mit Bleistift, Lineal und
Zirkel konstruiert, ohne den mühsamen Prozeß des Nachzeichnens auf
einer Glastafel durchführen zu müssen. Da es sich für uns bloß um die
Wiedergabe der Linien des Körpers handelt, so spricht man auch von
»Linearperspektive« oder »Linienperspektive«.
Solche perspektivische Bilder hat jeder schon oft gesehen; denn
jede Photographie ist eines. Wir werden später zeigen, daß der
photographische Apparat rein mechanisch derartige Bilder herstellt.
Den Begriff der Zentralprojektion gewannen wir als eine Vereinfachung
des Vorganges des Nachzeichnens: er ist eine mathematische Abstraktion
aus dem Sehprozeß. Wir werden nicht erwarten dürfen, daß sich diese
mathematische Operation mit dem Begriff des Sehens deckt. Denn der
physiologische Vorgang des Sehens ist ja tatsächlich auch ein äußerst
verwickelter. Wir sehen nicht mit +einem+ Auge, sondern mit beiden
Augen, und wir halten die Augen nicht ruhig, sondern bewegen sie nach
allen Seiten hin und her; wir tasten den Körper mit den Augen förmlich
ab. Trotzdem leistet uns der Vorgang der Zentralprojektion schon in
seiner rohen Annäherung wertvolle Dienste. Denn die perspektivischen
Bilder sind unter allen gesetzmäßig definierten Abbildungen weitaus die
anschaulichsten und naturgetreuesten. Bevor wir aber dazu übergehen,
die Gesetze und Herstellungsweisen dieser Bilder zu erörtern, müssen
wir davon handeln, wie man noch auf +andere+ Weise Bilder oder
Abbildungen von räumlichen Gegenständen erhalten kann.
§ 2. Der gerade (rechtwinklige) Riß.
=4. Die Senkrechte von einem Punkte auf eine Ebene.= Hängen wir einen
schweren Körper, z. B. eine kleine Metallkugel oder ein Gewicht,
vermittels eines Fadens etwa an der Decke eines Zimmers auf, so
nimmt der Faden, nachdem der Körper zur Ruhe gelangt ist, unter dem
Einfluß der Anziehung der Erde eine ganz bestimmte Lage an, welche
nach dem Erdmittelpunkt hin gerichtet ist. Wir nennen diese Richtung
»lotrecht« oder »vertikal«. Denken wir uns weiter unter dem Faden ein
Gefäß mit einer Flüssigkeit, z. B. Wasser oder Quecksilber, so bildet
deren Oberfläche eine Ebene, die wir als »wagrecht« oder »horizontal«
bezeichnen. Wir sagen dann weiter, daß die Richtung des Fadens auf
der Oberfläche der Flüssigkeit senkrecht stehe oder lotrecht zu ihr
sei. Das an einem Faden befestigte Gewicht liefert ja auch den sog.
»Senkel«, und mittels dieses allbekannten Instrumentes werden beim Bau
eines Hauses die Steine in horizontalen Lagen angeordnet und die Mauern
lotrecht aufgeführt.
[Illustration: Fig. 3.]
Diese physikalische Tatsache erleichtert dann aber das Verständnis für
den folgenden mathematischen
=Satz 2.= »+Ist eine Ebene Π_{1} gegeben und ein Punkt _p_ außerhalb
derselben (Fig. 3), so kann man von dem Punkte auf diese Ebene
immer eine Senkrechte oder ein Lot fällen. Diese Senkrechte
schneidet die Ebene in einem Punkte, den wir _p_{1}_ nennen
wollen. Er mag der Fußpunkt der Senkrechten heißen. Der Abstand
des gegebenen Punktes von der gegebenen Ebene ist gleich der
Entfernung, welche der gegebene Punkt _p_ und der Fußpunkt _p_{1}_
bestimmen, also = der Strecke _pp_{1}_.+«
Die Ebene Π_{1} kann ganz beliebig im Raume liegen. Ist sie im besondern
eine wagrechte Ebene, so fällt die senkrechte zu ihr mit der
»Vertikalen« zusammen.
[Illustration: Fig. 4.]
=5. Der gerade (rechtwinklige) Riß.= Den Fußpunkt _p_{1}_ der von einem
Punkte _p_ auf eine Ebene Π_{1} gefällten Senkrechten nennt man den
+geraden+ oder +rechtwinkligen+ oder +orthogonalen+ Riß des Punktes
_p_ auf die Ebene Π_{1}. Die Ebene Π_{1} heißt wieder die Bildtafel,
Bildebene oder kurz Tafel. Statt Riß wird auch das Wort Projektion
gebraucht, das allerdings gleichzeitig den ganzen Vorgang bezeichnet.
Man sagt auch: der Punkt _p_ ist orthogonal auf die Ebene Π_{1}
projiziert worden.
Was wir für einen einzelnen Punkt durchgeführt haben, können wir jetzt
auch auf einen Körper und die an ihm auftretenden Linien anwenden.
Es sei z. B. ein Würfel _abcdefgh_ gegeben und die Ebene Π_{1}; wir
erläutern den ganzen Vorgang, wie er sich im Raume abspielt, durch
die Fig. 4. _a_ sei eine Ecke des Würfels. Wir denken uns durch _a_
das Lot zur Ebene Π_{1} gezeichnet, welches in _a_{1}_ die Tafel
Π_{1} durchsetzt. _a_{1}_ ist der gerade Riß des Punktes _a_. Eine
zweite Ecke _b_ des Würfels liefert ebenso den Riß _b_{1}_. Dann wird
man leicht einsehen, daß alle Punkte auf der Verbindungsstrecke _ab_
Risse haben, welche auf der Verbindungsstrecke _a_{1}b_{1}_ liegen, d.
h. _a_{1}b_{1}_ ist der Riß von _ab_. Führen wir die Projektion für
alle Ecken und Kanten des Würfels durch, so erhalten wir die Figur
_a_{1}b_{1}c_{1}d_{1}e_{1}f_{1}g_{1}h_{1}_, die den orthogonalen Riß
des Würfels in der Ebene Π_{1} gibt. In Fig. 5 ist weiter ein solcher
Riß in seiner wahren Gestalt wiedergegeben. Dabei wurde also die Ebene
des Papiers als Tafel Π_{1} gewählt. Der Würfel selbst schwebt im Raume
über der Buchseite.
Die Figur kann auch dazu dienen, folgenden übrigens leicht zu
beweisenden Satz zu veranschaulichen:
=Satz 3.= +Die geraden Risse paralleler Geraden sind selbst
wieder parallel.+
Beispielsweise sind _ab_ und _cd_ zwei im Raume parallele Gerade, und
ihre Risse _a_{1}b_{1}_ und _c_{1}d_{1}_ sind ebenfalls parallel.
Wir wollen nun noch eine ganz selbstverständliche Eigenschaft einer
solchen Darstellung kennen lernen.
[Illustration: Fig. 5.]
_A_ sei eine Gerade, welche senkrecht auf der Tafel Π_{1} steht (Fig.
6). Wählen wir auf ihr beliebig einen Punkt _a_, so fällt das Lot, das
man von ihm aus auf die Tafel fällen kann, natürlich mit der Geraden
_A_ zusammen, und der rechtwinklige Riß des Punktes _a_ wird der Punkt
_a_{1}_, in dem die Gerade _A_ die Bildebene durchbohrt. Aber auch
jeder andere Punkt _b_, _c_ ... von _A_ hat einen Riß _b_{1}_, _c_{1}_
..., der stets mit _a_{1}_ sich deckt. Mit anderen Worten: Die Gerade
_A_, welche auf der Bildtafel senkrecht steht, hat als Riß einen Punkt,
ihren Schnittpunkt mit der Tafel.
Stellen wir uns ferner eine Ebene _efki_ vor (Fig. 6), welche auf der
Bildebene senkrecht steht, also z. B. eine lotrechte, vertikale Mauer,
wenn Π_{1} horizontal gedacht wird, und ist _ef_ die Schnittlinie dieser
Ebene mit der Tafel, so fallen die geraden Risse aller Punkte dieser
Ebene auf die Linie _ef_. Eine solche Ebene hat demnach als Riß eine
Gerade, nämlich die Schnittlinie der Ebene mit der Tafel.
[Illustration: Fig. 6.]
Gerade und Ebenen, welche auf der Bildebene senkrecht stehen,
verschwinden folglich gewissermaßen im geraden Riß; aus dem Riß kann
man die Ausdehnung solcher Geraden und Ebenen nicht beurteilen. Ist z.
B. in Fig. 6 _defghikl_ ein Würfel, der mit seiner einen Fläche _defg_
in der Tafel liegt, so ist der gerade Riß des Würfels eben dieses
Quadrat _defg_. Die vier Kanten _dh_, _ei_, _fk_, _gl_ erscheinen als
Punkte, und die vier Ebenen _deih_, _efki_, _fglk_ und _gdhl_, welche
auf der Tafel senkrecht stehen, gehen durch die Projektion in die
Geraden _de_, _ef_, _fg_, _gd_ über. Setzen wir aber auf diesen ersten
Würfel einen zweiten Würfel _hiklmnop_, so hat dieser zweite Würfel den
gleichen Riß _defg_, und auch das aus den beiden Würfeln bestehende
Prisma +defgmnop+ hat den Riß +defg+. Fig. 7 gibt wieder die wahre
Gestalt der Risse.
[Illustration: Fig. 7.]
Auch solche rechtwinklige Risse hat ein jeder schon gesehen. Denn jeder
+Plan+ einer Stadt ist ein derartiger Riß; die Bildtafel ist dabei
eine horizontale Ebene. Wir wollen dieses Beispiel aber auch noch dazu
benutzen, um uns darüber klar zu werden, mit welchem Rechte man auch
diese rechtwinkligen Risse als +Bilder+ der betreffenden Gegenstände
bezeichnet. Wir fragen uns mithin: von wo aus betrachtet sieht eine
Stadt so aus wie ihr Plan? Besteigen wir einen der Türme der Stadt
und blicken von ihm aus, also aus einer Höhe von vielleicht 100 ~m~,
auf dieselbe herunter, so wird nur die nächste Umgebung des Turmes so
erscheinen wie auf dem Plane. Von den weiter entfernt gelegenen Häusern
dagegen sehen wir noch Fenster, Türen usf. Steigen wir aber in einem
Ballon bis zu einer Höhe von etwa 1000 ~m~ über der Stadt auf, so wird
schon ein größerer, unmittelbar unter dem Ballon gelegener Teil der
Stadt uns so erscheinen, wie er auf dem Plane wiedergegeben ist. Je
höher wir uns über die Stadt erheben, um so mehr sehen wir die Stadt
unter uns so wie auf dem Plane. Aber erst wenn wir das Auge auf einer
Senkrechten zur Bildebene über alle Maßen weit entfernt denken (Fig.
6), dann würde es die Gegenstände so sehen, wie sie im rechtwinkligen
Riß dargestellt sind. Alle Sehstrahlen sind jetzt parallel, da sie alle
senkrecht auf der Bildebene stehen. Wir erkennen demnach:
=Satz 4.= +Der rechtwinklige Riß eines Gegenstandes ist das
Bild, wie es einem Beobachter erscheint, der sich unendlich
weit von der Bildebene entfernt befindet und senkrecht auf sie
herunterschaut.+
Weil alle zur Bildebene senkrechten Abmessungen im rechtwinkligen Riß
verschwinden, so können wir aus einem Plan keinen Aufschluß gewinnen
über die Höhe der einzelnen Häuser, der Mauern, Türme.
=6. Bestimmung eines Gegenstandes durch zwei rechtwinklige Risse.=
Ist es nun aber nicht möglich, einen Gegenstand +vollständig+ durch
Risse zu bestimmen, so daß alle Abmessungen desselben, Länge, Breite,
Höhe usf., aus den Darstellungen entnommen werden können? Da +ein+
Riß in einer Ebene nach dem Obigen nicht genügt, so geben wir uns
noch einen +zweiten+ Riß in einer zweiten Tafel. Wir wählen also
noch eine zweite Bildtafel Π_{2}, die der Einfachheit wegen auf
der ersten Bildtafel Π_{1} senkrecht stehe. Die in Fig. 8 gegebene
Ansicht möge wieder dazu dienen, sich die räumlichen Überlegungen
klar zu machen. Es ist nun natürlich nötig, beide Tafeln und die in
ihnen liegenden Risse zu unterscheiden. Die Ecke _a_ des Würfels
liefert in der ersten Tafel Π_{1} den Riß _a_{1}_. Außerdem hat der
Punkt _a_ aber auch einen Riß in der zweiten Tafel. Wir erhalten
denselben nach unserer Definition, indem wir uns von _a_ eine
Senkrechte zu Π_{2} konstruiert denken. Durchsetzt diese Senkrechte
in _a_{2}_ die zweite Tafel, so ist dieser Punkt der Riß von _a_ in
der Π_{2}. Wir nennen _a_{1}_ den ersten, _a_{2}_ den zweiten Riß
des Punktes _a_. Wie ferner der Würfel _abcdefgh_ in der Π_{1} den
Riß _a_{1}b_{1}c_{1}d_{1}e_{1}f_{1}g_{1}h_{1}_ liefert, so läßt sich
nun auch der zweite Riß _a_{2}b_{2}c_{2}d_{2}e_{2}f_{2}g_{2}h_{2}_
des Würfels in der Π_{2} konstruieren. Die beiden Risse werden also
durch die rechts unten angebrachten Zahlen unterschieden. Die erste
Tafel Π_{1} können wir uns als eine horizontale Ebene denken, und
wir nennen den in ihr gelegenen ersten Riß auch den »Grundriß« oder
die »Horizontalprojektion«. Die zweite Tafel Π_{2} ist dann eine
Vertikalebene, und der in ihr gelegene zweite Riß heißt auch »Aufriß«
oder die »Vertikalprojektion«. Was für den ersten Riß erörtert wurde,
gilt natürlich ganz ebenso auch für den zweiten. In Sonderheit
erscheinen wieder +Gerade+, welche zur Aufrißebene Π_{2} senkrecht
stehen, in ihr als +Punkte+ und +Ebenen+, welche auf Π_{2} senkrecht
stehen, bilden sich als +Gerade+ in der Π_{2} ab.
[Illustration: Fig. 8.]
Denken wir uns jetzt die beiden Tafeln Π_{1} und Π_{2} etwa in Holz
gefertigt und miteinander fest verbunden. Weiter sei ein Würfel im
Raume gegeben und in seiner Lage gegen die beiden Tafeln fixiert (Fig.
8). Wir wollen von dem Würfel den Grundriß und den Aufriß zeichnen.
Nachdem dieses geschehen ist, entfernen wir den Würfel. Dann ist durch
die beiden auf den Tafeln gezeichneten Risse der Würfel immer noch
bestimmt. Denn wir können von jeder seiner Ecken die Lage im Raume
bestimmen. In der Tat sind z. B. _a_{1}_ und _a_{2}_ die beiden Risse
einer Ecke, so errichten wir im Punkt _a_{1}_ der Grundrißebene eine
Senkrechte zur Π_{1}, und ebenso konstruieren wir im Punkte _a_{2}_
der Aufrißebene eine Senkrechte zu ihr. Dann werden sich diese beiden
Lote schneiden, und ihr Schnittpunkt gibt die Ecke _a_. In der gleichen
Weise können wir für alle anderen Ecken des Würfels ihre Lage im Raume
bestimmen. Also ist auch der ganze Würfel dadurch festgelegt: es wäre
möglich, z. B. durch Stäbchen und Glasperlen die Ecken des Würfels
wirklich im Raume anzugeben. Überhaupt kann man sagen:
=Satz 5.= +Sind die beiden Tafeln im Raume gegeben und in ihnen
die Risse eines Gegenstandes, in der richtigen Zuordnung,
so daß also von jedem Punkte die beiden Risse unterschieden
werden, so ist dadurch der Gegenstand und seine Lage im Raume
bestimmt.+
[Illustration: Fig. 9.]
=7. Das Zusammenlegen der Tafeln.= Es wäre recht unbequem, wollte man
sich stets der beiden senkrecht zueinander befestigten Tafeln bedienen,
wenn man sich auf Grund irgendwelcher Risse einen Körper vorstellen
soll. Was wir wollen, ist eine auf +einem+ Blatte befindliche
Zeichnung, die dann bequem überall zu benutzen ist. Zu einer solchen
gelangen wir, wenn wir die zweite Tafel sich mit der ersten vereinigen
lassen. Es sei _K_ die Schnittlinie der beiden Tafeln (Fig. 9), die
wir kurz die +Kante+ nennen. Wir drehen nun die Π_{2} um _K_ wie um ein
Scharnier so lange, bis Π_{2} mit Π_{1} zusammenfällt.
Die Figur 9 veranschaulicht wieder zunächst den räumlichen Vorgang.
Der beliebige Punkt _a_ hat als ersten Riß den Punkt _a_{1}_, als
zweiten Riß den Punkt _a_{2}'_ Es fragt sich, wohin _a_{2}'_ gelangt,
wenn die Aufrißebene Π_{2} durch die Drehung mit der Grundrißebene zur
Deckung gebracht wird. Die beiden Senkrechten _aa_{1}_ und _aa_{2}'_
bestimmen doch eine Ebene, welche auf der Kante _K_ senkrecht steht.
Der Schnittpunkt dieser in Fig. 9 schraffierten Ebene mit der Kante
_K_ sei a. Es ist also jetzt sowohl _a_{1}_a ⊥ _K_[1] als auch
_a_{2}'_a ⊥ _K_. Bei der Drehung der Aufrißebene beschreibt _a_{2}'_
einen Kreis mit dem Mittelpunkt a und dem Radius _a_{2}'_a, der in
der schraffierten Ebene _a_{1}aa_{2}'_a liegt. Ist also _a_{2}_ die
Lage, welche _a_{2}'_ nach Ausführung der Drehung annimmt, so muß auch
_a_{2}_a ⊥ _K_ sein; demnach fällt _a_{2}_ auf die Verlängerung der
Linie _a_{1}_a, und es ist _a_{2}_a = _a_{2}'_a.
[1] ⊥ ist das Zeichen für senkrecht auf.
[Illustration: Fig. 10.]
In Fig. 10 bilden wir nun das Zeichenblatt selbst ab; es ist
gewissermaßen doppelt zu nehmen, da es sowohl die Grund- als die
Aufrißebene vorstellt. Die Kante _K_ ist als eine horizontale Linie
darauf gezeichnet. Dann müssen die beiden Risse _a_{1}_ und _a_{2}_
offenbar auf einem Lote zur Kante _K_ gelegen sein; der Schnittpunkt
des Lotes _a_{1}a_{2}_ mit _K_ ist der Punkt a. Es folgt also:
=Satz 6.= +Nach der Umlegung der Aufrißebene in die Grundrißebene
liegen die beiden Risse eines Punktes stets auf einer
Senkrechten zur Kante oder kurz auf einem Kantenlote.+
Geben wir uns irgend zwei Punkte, jedoch so, daß sie auf einer
Senkrechten zu _K_ liegen, und ist der eine durch die Bezeichnung
_a_{1}_ als erster Riß, der andere durch die Bezeichnung _a_{2}_ als
zweiter Riß gekennzeichnet, so bestimmen diese beiden Risse einen
ganz bestimmten Punkt _a_ im Raume. Um uns denselben vorzustellen,
denken wir uns die eine Hälfte des Zeichenblattes, in der _a_{2}_
liegt, um _K_ in die Höhe gedreht, bis sie auf der anderen Hälfte des
Blattes senkrecht steht. Dann sind die beiden Tafeln in ihre wahre
Lage gebracht, und wir finden den Punkt _a_ auf die Weise wie es in 6.
auseinandergesetzt wurde.
[Illustration: Fig. 11.]
Einfacher ist es übrigens zu beachten, daß in Fig. 9
_aa_{1}_ = _a_{2}'_a = _a_{2}_a.
Es gibt also in Fig. 10 die Strecke _a_{2}_a den Abstand des Punktes von
der Zeichenebene. Wir haben uns demnach in _a_{1}_ eine Senkrechte zur
Fläche des Papiers errichtet zu denken. Auf dieser Senkrechten liegt
der Punkt in einem Abstande von der Zeichenfläche, der durch _a_{2}a_
gegeben ist.
Es ist sehr nützlich sich zu überlegen, wie die beiden Risse eines
Punktes gelegen sind, wenn der betreffende Punkt verschiedene Lagen im
Raume annimmt. In den Figuren 9 und 10 ist noch ein zweiter Punkt _b_
eingetragen.
In Fig. 11 sind ferner die beiden Risse eines Würfels wirklich
gezeichnet, von dem die Fig. 8 die Lage im Raume angab. Diese
hier nur ihrem Wesen nach kurz skizzierte Methode des Grund- und
Aufrisses wird in der darstellenden Geometrie weiter ausgeführt.
Außer den perspektivischen Bildern und den geraden Rissen gibt es
noch eine dritte Art von Bildern, die sog. »+Schräg+bilder« oder
»+Parallelprojektionen+«. Bei ihnen ist die Projektionsrichtung nicht
senkrecht zur Bildebene, sondern beliebig gegen sie geneigt. Die in
diesem Buche zur Erläuterung beigegebenen Figuren, z. B. 1, 4, 6,
8, sind solche Schrägbilder. Man vergleiche darüber das Bändchen
»Projektionslehre« in dieser Sammlung.
Nach diesen einleitenden Betrachtungen wollen wir uns nun eingehender
mit den perspektivischen Bildern beschäftigen.
Der perspektivische Entwurf.
§ 3. Die Schnittmethode.
=8. Konstruktion eines perspektivischen Bildes aus Grund- und Aufriß.=
Soll von einem Gegenstande ein perspektivisches Bild gezeichnet werden,
so muß der Gegenstand selbst bekannt sein und außerdem die Lage des
Projektionszentrums (Auges) gegen die Bildebene. Es ist zunächst am
einfachsten, sich alle diese Stücke je durch Grund- und Aufriß zu
geben, so daß wir also folgende Elemente erhalten: ~a~) die Bildtafel
(Zeichenebene); ~b~) das Auge _O_; ~c~) den Gegenstand. Wir behandeln
wieder ein einfaches Beispiel.
=Aufgabe 1.= Ein Würfel ist gegeben in Grund- und Aufriß, ebenso
das Auge _O_; man zeichne ein perspektivisches Bild des
Würfels, wenn die Bildebene auf der Kante des Tafelsystems
senkrecht steht.
Die Bildebene Π gehe durch den Punkt _Z_ der Kante (Fig. 12) und
enthalte die beiden Linien _ZX_ und _ZY_, welche in der Π_{1} und
in der Π_{2} je senkrecht zur Kante _K_ gezogen werden können.
Gleichzeitig ist _ZX_ der erste und _ZY_ der zweite Riß der Bildebene
Π. Das Auge _O_ habe die Risse _O_{1}_ und _O_{2}_. Der abzubildende
Würfel _abcdefgh_ liegt mit der Fläche _abcd_ auf der Grundrißebene.
Wir haben nun den in 2. beschriebenen Vorgang +wirklich+ durchzuführen,
also die einzelnen Ecken des Würfels in die Ebene Π zu projizieren.
Führen wir dies etwa für die Ecke _e_ durch.[2] Wir verbinden _O_ mit
_e_, dann ist _O_{1}e_{1}_ der erste Riß, _O_{2}e_{2}_ der zweite Riß
dieser Verbindungslinie. Der Schnittpunkt von _Oe_ mit Π sei _e'_; der
erste Riß von _e'_ kann nichts anderes sein als der Schnittpunkt von
_O_{1}e_{1}_ mit _ZX_. Diesen Punkt bezeichnen wir also mit _e_{1}'_.
Ebenso ist der zweite Riß des Punktes _e'_ der Schnittpunkt _e_{2}'_
von _O_{2}e_{2}_ mit der Linie _ZY_. Natürlich fallen alle ersten Risse
unseres Bildes auf die Gerade _ZX_, alle zweiten auf _ZY_.
[2] Wir raten dem Leser, alle Figuren stets nach den Angaben des
Textes +selbst+ herzustellen. Es erleichtert das Verständnis
ungemein, wenn man die Figur +allmählich+ entstehen sieht.
[Illustration: Fig. 12.]
Nun wollen wir aber doch das +Bild+ selbst in seiner wahrer Gestalt auf
unserem Zeichenblatte vor uns sehen. Um dieses zu erreichen, müssen
wir die Ebene Π herausheben und in die Zeichenebene legen. Das kann
man etwa in folgender Weise durchführen. Wir verschieben die Ebene Π
parallel zu sich selbst, bis sie durch den beliebigen Punkt (_Z_) der
Kante geht. Sie schneidet dann die Tafeln in den Loten (_Z_)(_X_) und
(_Z_)(_Y_). Nachdem dies geschehen, drehen wir die Ebene um die in der
Π_{2} gelegene Senkrechte _(Z)(Y)_ so lange, bis sie mit der Π_{2} sich
deckt.
Verfolgen wir den Punkt _e'_ bei diesen verschiedenen Schritten. Bei
der Verschiebung der Ebene Π in die Lage (_Y_)(_Z_)(_X_) wird _e_{1}'_
eine Parallele zur Kante beschreiben. Ziehen wir also durch _e_{1}'_
eine Parallele zur Kante _K_, so schneidet diese die Linie (_Z_)(_X_)
in (_e_{1}'_). Bei der Drehung der Ebene beschreibt (_e_{1}'_) einen
Viertelskreis um (_Z_) und gelangt nach _e_{1}^*_. Dann liegt aber
der Punkt _e'_ auf der Senkrechten, welche in _e_{1}^*_ zur Kante
gezeichnet werden kann. Die Höhe, in welcher _e'_ über der Π_{1} liegt,
ist jedoch bei allen diesen Vorgängen die gleiche geblieben, und sie
ist durch _Ze_{2}'_ gegeben. Tragen wir also auf der in _e_{1}^*_
errichteten Senkrechten diese Höhe an oder, was das gleiche ist, ziehen
wir durch _e_{2}'_ eine Parallele zur Kante, so schneidet diese auf der
Senkrechten in _e_{1}^*_ den Punkt _e'_ aus.
Bequemer ist es, einfach (_Z_)_e_{1}^*_ = _Ze_{1}'_ mit dem Zirkel
auf der Kante anzutragen und auf der Senkrechten in _e_{1}^*_ dann
weiter _e_{1}^*e'_ = _Ze_{2}'_ abzuschneiden. Man kann dazu auch noch
Fig. 1 vergleichen. Dort ist die erste Tafel Π_{1} angegeben als eine
horizontale Ebene, die zweite Tafel ginge durch _K_ und _AY_. Vom
Punkte _e'_ sind die Risse _e_{1}_ und _e_{2}_ eingetragen.
Ganz in entsprechender Weise konstruiert man die Bilder der übrigen
Ecken und erhält so das Bild _a'b'c'd'e'f'g'h'_ des Würfels. Um
die Bildwirkung zu erhöhen, denkt man sich den Würfel aus einem
undurchsichtigen Material (Holz, Gips) und zeichnet die Kanten, welche
man nicht sehen würde, bloß punktiert. In unserer Figur liegen dem
Auge zunächst die Kanten _bc_, _cg_, _gf_, _fb_ ferner _gh_, _he_,
_ef_. Diese müssen also ausgezogen werden. Die übrigen Kanten _cd_,
_da_, _ab_, _dh_, _he_, _ea_ werden dem in _O_ befindlichen Auge
durch den Würfel verdeckt; man hätte sie also streng genommen ganz
wegzulassen. Es ist aber nützlich, diese Kanten wenigstens punktiert
anzudeuten, um die mathematische Form besser zu übersehen. Man nennt
die Berücksichtigung dieser Verhältnisse die »Sichtbarkeit bzw.
Unsichtbarkeit«.
Nun ist ein perspektivisches Bild für ein gewisses Projektionszentrum
konstruiert und muß von diesem aus betrachtet werden. Wir werden
deswegen verlangen, den Punkt im Raume anzugeben, von dem aus unser
Bild _b'c'g'h'e'f'_ zu betrachten ist. Zu diesem Zwecke fällen wir von
dem Zentrum _O_ aus auf die Bildebene Π die Senkrechte. Ihr erster
Riß ist eine Parallele durch _O_{1}_ zur Kante, ihr zweiter Riß eine
Parallele durch _O_{2}_ zur Kante. Der Fußpunkt dieser Senkrechten,
die auch in Fig. 1 eingetragen ist, heiße ~A~. Die Risse ~A_{1}~ und
~A_{2}~ desselben sind die Schnittpunkte der eben genannten Parallelen
mit _ZX_ bzw. _ZY_. Daraus finden wir die Lage von ~A~ wiederum, indem
wir zunächst die Parallele durch ~A_{1}~ und (_Z_)(_X_) zum Schnitt
bringen in (~A_{1}~), dann durch einen Viertelskreis (_Z_)~A_{1}^*~ =
(_Z_)(~A_{1}~) machen. Auf der in ~A_{1}^*~ errichteten Senkrechten
schneidet die Parallele durch ~A_{2}~ wieder den Punkt ~A~ aus. Jetzt
wissen wir also, daß unser Projektionszentrum auf der Senkrechten
liegt, die in ~A~ zur Zeichenebene gedacht werden kann.
[Illustration: Fig. 13.]
Weiter gibt nun aber die Strecke _O_{1}_~A_{1}~ oder auch
_O_{2}_~A_{2}~ die Entfernung, in der wir auf der genannten Senkrechten
in ~A~ zur Ebene des Blattes uns das Auge _O_ denken müssen. Bringen
wir unser Auge an die dadurch bestimmte Stelle im Raume, so wird das
Bild des Würfels den besten Eindruck machen. Allerdings hat man die
Figur viel größer, vielleicht drei- oder viermal so groß zu zeichnen,
da wir bei normalen Augen das Zeichenblatt wenigstens 25 ~cm~ von
unserem Auge entfernt halten müssen.
Man nennt den Punkt ~A~ den »Haupt«- oder »Augpunkt«, und er ist wohl
zu unterscheiden von dem Projektionszentrum oder dem »Auge« _O_; die
Entfernung _O_~A~ des Projektionszentrums _O_ von der Bildebene, also
die Strecke _O_{1}_~A_{1}~ oder _O_{2}_~A_{2}~ heißt die »Distanz«.
[Illustration: Abb. 2.
Methode der mech. Konstruktion einer Perspektive mittels des Reileschen
Apparates.]
=9. Apparat zur Konstruktion einer Perspektive.= Geht man vom Grundriß
des gegebenen Gegenstandes aus, so beruht das soeben durchgeführte
Verfahren wesentlich darauf, daß man die +Höhe+ ermittelt, in
der das Bild eines Punktes über der Grundrißebene lag. Statt der
Grundrißebene kann man auch die Ebene benutzen, welche man durch
das Auge _O_ parallel zur Grundrißebene legt. Diese Ebene heiße die
»+Horizontebene+« und sie schneidet die Bildebene Π in einer Geraden
_hh_, welche durch den Hauptpunkt ~A~ geht und der »+Horizont+« genannt
wird (Fig. 13). Es sei nun ein Punkt _a_ gegeben, der von _O_ aus
gerechnet +vor+ der Bildebene Π liegt, welch letztere die Grundrißebene
Π_{1} in der Geraden _gg_ schneidet. Dann können wir das Bild _a'_
wieder in folgender Weise bestimmen. Die von _a_ auf Π_{1} gefällte
Senkrechte trifft Π_{1} im Risse _a_{1}_, die Horizontebene dagegen
im Punkte (_a_{1}_). Verbinden wir _O_{1}_ mit _a_{1}_, so ist dies
der Riß des Sehstrahles _Oa_. _O_{1}a_{1}_ trifft die Gerade (_gg_) in
_a_{1}'_, und auf der in _a_{1}'_ gelegenen Senkrechten liegt das Bild
_a'_. Schneidet diese Senkrechte den Horizont in (_a'_), so ist die
Linie _O_(_a'_) parallel zu _O_{1}a_{1}'_, und zur Berechnung der Höhe
_a'_(_a'_) kann die Proportion dienen:
_a'_(_a'_)/_a_(_a_{1}_) = _O_(_a'_)/_O_(_a_{1}_).
Das Verhältnis auf der rechten Seite darf zunächst durch _O_{1}a_{1}'_
: _O_{1}a_{1}_ ersetzt werden. Zieht man ferner durch _a_{1}_ eine
Parallele zu _gg_, welche _O_{1}_~A_{1}~ in _X_ trifft, so wird dies
Verhältnis auch durch _O_{1}_~A_{1}~ : _O_{1}X_ gegeben, so daß man
schließlich erhält
(1) _a'_(_a'_)/_a_(_a_{1}_) = _O_{1}_~A_{1}~/_O_{1}X_.
Die Strecke _a_(_a_{1}_) kann aus dem Aufriß entnommen werden und ist
gleich der Höhe des Aufrisses über dem Horizont.
Ist nun (Abbildung 2) der Grundriß in Fig. I, der Aufriß in Fig. II
gegeben und ist die Bildebene um _gg_ in die Grundrißebene umgeklappt,
so läßt sich aus der Proportion (1) in folgender Weise die Höhe
_a'_(_a'_) ermitteln. Man zieht durch den Riß _a_{1}_ eine Parallele
zu _hh_, welche auf _O_{1}_~A_{1}~ den Punkt _X_ liefert. Auf dieser
Parallelen trägt man ferner die Höhe ab, in der der Aufriß von _a_ über
dem +Horizont+ liegt, macht also _XY_ = _a_{2}a_{h}_, wo _a_{2}a_{h}_
aus Fig. II zu entnehmen. Verbindet man diesen Punkt _Y_ mit _O_{1}_,
so schneidet diese Linie aus _gg_ den Punkt _B_{1}_ aus, und es gilt
nun die Proportion:
(2) _B_{1}_~A_{1}~/_XY_ = _O_{1}_~A_{1}~/_O_{1}X_.
Vergleicht man (1) und (2), so müssen also auch die linken Seiten
einander gleich sein, und da _XY_ = _a_{2}a_{h}_ = _a_(_a_{1}_), so ist
_B_{1}_~A_{1}~ = _a'_(_a'_).
In _B_{1}_~A_{1}~ ist mithin die Höhe des Bildes von _a_ über dem
Horizont ermittelt. Verbindet man demnach noch _a_{1}_ mit _O_{1}_, so
liefert diese Linie auf _gg_ den Punkt _a_{1}'_. Auf dem in _a_{1}'_
errichteten Lote liegt _a'_ und wird erhalten, wenn man vom Horizont
aus _B_{1}_~A_{1}~ anträgt, also (_a'_)_a'_ = _B_{1}_~A_{1}~ macht.
Herr Kunstmaler Adolf +Reile+ in Stuttgart hat in der Zeitschrift
für gewerblichen Unterricht, Jahrg. XXX, 1915 Nr. 43 einen einfachen
Apparat angegeben, der diese von ihm abgeleitete Beziehung mechanisch
zu konstruieren gestattet. Zwei Reißschienen _L_ und _R_ sind durch ein
Gelenk miteinander verkuppelt. Der Gelenkmittelpunkt wird stets auf der
Geraden _gg_ geführt, indem die Reißschiene _R_ an der oberen Kante
_AD_ des Reißbrettes _ABCD_ hingleitet. Die Reißschiene _L_ geht immer
durch _O_{1}_ hindurch, was dadurch erreicht wird, daß eine Hülse durch
eine Stecknadel in _O_{1}_ festgehalten ist, während die Schiene _L_
durch die Hülse hindurchgleitet.