(1´ + 1´´ + 1´´´) - (1´´´´ + 1´´´´´)
sein? Jedenfalls nicht 1´. Daraus geht hervor, dass es nach seiner
Auffassung nicht nur verschiedene Einsen, sondern auch verschiedene
Zweien u. s. w. geben würde; denn 1´´ + 1´´´ könnte nicht durch
1´´´´ + 1´´´´´ vertreten werden. Man sieht hieraus recht deutlich, dass
die Zahl nicht eine Anhäufung von Dingen ist. Die Arithmetik würde
aufgehoben werden, wollte man statt der Eins, die immer dieselbe ist,
verschiedene Dinge einführen, wenn auch in noch so ähnlichen Zeichen;
gleich dürften sie ja ohne Fehler nicht sein. Man kann doch nicht
annehmen, dass das tiefste Bedürfniss der Arithmetik eine fehlerhafte
Schreibung sei. Darum ist es unmöglich 1 als Zeichen für verschiedene
Gegenstände anzusehen, wie Island, Aldebaran, Solon u. dgl. Am
greifbarsten wird der Unsinn, wenn man an den Fall denkt, dass eine
Gleichung drei Wurzeln hat, nämlich 2 und 5 und 4. Schreibt man nun
nach _Jevons_ für 3:
1´ + 1´´ + 1´´´,
so würde 1´ hier 2, 1´´ 5 und 1´´´ 4 bedeuten, wenn man unter 1´,
1´´, 1´´´ Einheiten und folglich nach _Jevons_ die hier vorliegenden
Gegenstände des Denkens versteht. Wäre es dann nicht verständlicher für
1´ + 1´´ + 1´´´ zu schreiben
2 + 5 + 4?
Ein Plural ist nur von Begriffswörtern möglich. Wenn man also von
»Einheiten« spricht, so kann man dies Wort nicht gleichbedeutend mit
dem Eigennamen »Eins« gebrauchen, sondern als Begriffswort. Wenn
»Einheit« »zu zählender Gegenstand« bedeutet, so kann man nicht Zahl
als Einheiten definiren. Wenn man unter »Einheit« einen Begriff
versteht, der die Eins und nur diese unter sich fasst, so hat ein
Plural keinen Sinn, und es ist wieder unmöglich, mit _Leibniz_ Zahl als
Einheiten oder als 1 und 1 und 1 zu definiren. Wenn man das »und« so
gebraucht wie in »Bunsen und Kirchhof,« so ist 1 und 1 und 1 nicht 3,
sondern 1, sowie Gold und Gold und Gold nie etwas anderes als Gold ist.
Das Pluszeichen in
1 + 1 + 1 = 3
muss also anders als das »und« aufgefasst werden, das eine Sammlung,
eine »collective Idee« bezeichnen hilft.
§ 39. Wir stehen demnach vor folgender Schwierigkeit:
Wenn wir die Zahl durch Zusammenfassung von verschiedenen Gegenständen
entstehen lassen wollen, so erhalten wir eine Anhäufung, in der die
Gegenstände mit eben den Eigenschaften enthalten sind, durch die sie
sich unterscheiden, und das ist nicht die Zahl. Wenn wir die Zahl
andrerseits durch Zusammenfassung von Gleichem bilden wollen, so
fliesst dies immerfort in eins zusammen, und wir kommen nie zu einer
Mehrheit.
Wenn wir mit 1 jeden der zu zählenden Gegenstände bezeichnen, so ist
das ein Fehler, weil Verschiedenes dasselbe Zeichen erhält. Versehen
wir die 1 mit unterscheidenden Strichen, so wird sie für die Arithmetik
unbrauchbar.
Das Wort »Einheit« ist vortrefflich geeignet, diese Schwierigkeit zu
verhüllen; und das ist der -- wenn auch unbewusste -- Grund, warum man
es den Wörtern »Gegenstand« und »Ding« vorzieht. Man nennt zunächst
die zu zählenden Dinge Einheiten, wobei die Verschiedenheit ihr
Recht erhält; dann geht die Zusammenfassung, Sammlung, Vereinigung,
Hinzufügung, oder wie man es sonst nennen will, in den Begriff der
arithmetischen Addition über und das Begriffswort »Einheit« verwandelt
sich unvermerkt in den Eigennamen »Eins«. Damit hat man dann die
Gleichheit. Wenn ich an den Buchstaben =u= ein =n= und daran ein =d=
füge, so sieht jeder leicht ein, dass das nicht die Zahl 3 ist. Wenn
ich aber =u=, =n= und =d= unter den Begriff »Einheit« bringe und nun
für »=u= und =n= und =d=« sage »eine Einheit und eine Einheit und noch
eine Einheit« oder »1 und 1 und 1«, so glaubt man leicht damit die
3 zu haben. Die Schwierigkeit wird durch das Wort »Einheit« so gut
versteckt, dass gewiss nur wenige Menschen eine Ahnung von ihr haben.
Hier könnte _Mill_ mit Recht tadelnd von einem kunstfertigen Handhaben
der Sprache reden; denn hier ist es nicht die äussere Erscheinung eines
Denkvorganges, sondern es spiegelt einen solchen nur vor. Hier hat man
in der That den Eindruck, als ob den von Gedanken leeren Worten eine
gewisse geheimnissvolle Kraft beigelegt werde, wenn Verschiedenes blos
dadurch, dass man es Einheit nennt, gleich werden soll.
Versuche, die Schwierigkeit zu überwinden.
§ 40. Wir betrachten nun einige Ausführungen, die sich als Versuche zur
Ueberwindung dieser Schwierigkeit darstellen, wenn sie auch wohl nicht
immer mit klarem Bewusstsein in dieser Absicht gemacht sind.
Man kann zunächst eine Eigenschaft des Raumes und der Zeit zu Hilfe
rufen. Ein Raumpunkt ist nämlich von einem andern, eine Gerade
oder Ebene von einer andern, congruente Körper, Flächen- oder
Linienstücke von einander, für sich allein betrachtet, gar nicht zu
unterscheiden, sondern nur in ihrem Zusammensein als Bestandteile
einer Gesammtanschauung. So scheint sich hier Gleichheit mit
Unterscheidbarkeit zu vereinen. Aehnliches gilt von der Zeit. Daher
meint wohl _Hobbes_,[68] dass die Gleichheit der Einheiten anders als
durch Theilung des Continuums entstehe, könne kaum gedacht werden.
_Thomae_[69] sagt: »Stellt man eine Menge von Individuen oder Einheiten
im Raume vor und zählt man sie successive, wozu Zeit erforderlich
ist, so bleibt bei aller Abstraction als unterscheidendes Merkmal
der Einheiten noch ihre verschiedene Stellung im Raume und ihre
verschiedene Aufeinanderfolge in der Zeit übrig.«
Zunächst erhebt sich das Bedenken gegen eine solche Auffassungsweise,
dass dann das Zählbare auf das Räumliche und Zeitliche beschränkt wäre.
Schon _Leibniz_[70] weist die Meinung der Scholastiker zurück, die
Zahl entstehe aus der blossen Theilung des Continuums und könne nicht
auf unkörperliche Dinge angewandt werden. _Baumann_[71] betont die
Unabhängigkeit von Zahl und Zeit. Der Begriff der Einheit sei auch ohne
die Zeit denkbar. _St. Jevons_[72] sagt: »Drei Münzen sind drei Münzen,
ob wir sie nun nach einander zählen oder sie alle zugleich betrachten.
In vielen Fällen ist weder Zeit noch Raum der Grund des Unterschiedes,
sondern allein Qualität. Wir können Gewicht, Trägheit und Härte des
Goldes als drei Eigenschaften auffassen, obgleich keine von diesen
vor noch nach der andern ist weder im Raum noch in der Zeit. Jedes
Mittel der Unterscheidung kann eine Quelle der Vielheit sein.« Ich
füge hinzu: wenn die gezählten Gegenstände nicht wirklich auf einander
folgen, sondern nur nach einander gezählt werden, so kann die Zeit
nicht der Grund der Unterscheidung sein. Denn, um sie nach einander
zählen zu können, müssen wir schon unterscheidende Kennzeichen haben.
Die Zeit ist nur ein psychologisches Erforderniss zum Zählen, hat aber
mit dem Begriffe der Zahl nichts zu thun. Wenn man unräumliche und
unzeitliche Gegenstände durch Raum- oder Zeitpunkte vertreten lässt, so
kann dies vielleicht für die Ausführung der Zählung vortheilhaft sein;
grundsätzlich wird aber dabei die Anwendbarkeit des Zahlbegriffes auf
Unräumliches und Unzeitliches vorausgesetzt.
§ 41. Wird denn aber der Zweck der Vereinigung von Unterscheidbarkeit
und Gleichheit wirklich erreicht, wenn wir von allen unterscheidenden
Kennzeichen ausser den räumlichen und zeitlichen absehen? Nein! Wir
sind der Lösung nicht um Einen Schritt näher gekommen. Die grössere
oder geringere Aehnlichkeit der Gegenstände thut nichts zur Sache,
wenn sie doch zuletzt aus einander gehalten werden müssen. Ich darf
die einzelnen Punkte, Linien u. s. f. hier ebenso wenig alle mit 1
bezeichnen, als ich sie bei geometrischen Betrachtungen sämmtlich A
nennen darf; denn hier wie dort ist es nöthig, sie zu unterscheiden.
Nur für sich, ohne Rücksicht auf ihre räumlichen Beziehungen sind die
Raumpunkte einander gleich. Soll ich sie aber zusammenfassen, so muss
ich sie in ihrem räumlichen Zusammensein betrachten, sonst schmelzen
sie unrettbar in Einem zusammen. Punkte stellen in ihrer Gesammtheit
vielleicht irgendeine sternbildartige Figur vor oder sind irgendwie auf
einer Geraden angeordnet, gleiche Strecken bilden vielleicht mit den
Endpunkten zusammenstossend eine einzige Strecke oder liegen getrennt
von einander. Die so entstehenden Gebilde können für dieselbe Zahl ganz
verschieden sein. So würden wir auch hier verschiedene Fünfen, Sechsen
u. s. w. haben. Die Zeitpunkte sind durch kurze oder lange, gleiche
oder ungleiche Zwischenzeiten getrennt. Alles dies sind Verhältnisse,
die mit der Zahl an sich gar nichts zu thun haben. Ueberall mischt sich
etwas Besonderes ein, worüber die Zahl in ihrer Allgemeinheit weit
erhaben ist. Sogar ein einzelner Moment hat etwas Eigenthümliches,
wodurch er sich etwa von einem Raumpunkte unterscheidet, und wovon
nichts in dem Zahlbegriffe vorkommt.
§ 42. Auch der Ausweg, räumliche und zeitliche Anordnung durch einen
allgemeinern Reihenbegriff zu ersetzen, führt nicht zum Ziele; denn
die Stelle in der Reihe kann nicht der Grund des Unterscheidens der
Gegenstände sein, weil diese schon irgendworan unterschieden sein
müssen, um in eine Reihe geordnet werden zu können. Eine solche
Anordnung setzt immer Beziehungen zwischen den Gegenständen voraus,
seien es nun räumliche oder zeitliche oder logische oder Tonintervalle
oder welche sonst, durch die man sich von einem zum andern leiten
lässt, und die mit deren Unterscheidung nothwendig verbunden sind.
Wenn _Hankel_[73] ein Object 1 mal, 2 mal, 3 mal denken oder setzen
lässt, so scheint auch dies ein Versuch zu sein, die Unterscheidbarkeit
mit der Gleichheit des zu Zählenden zu vereinen. Aber man sieht
auch sofort, dass es kein gelungener ist; denn diese Vorstellungen
oder Anschauungen desselben Gegenstandes müssen, um nicht in Eine
zusammenzufliessen, irgendwie verschieden sein. Ich meine auch, dass
man berechtigt ist, von 45 Millionen Deutschen zu sprechen, ohne vorher
45 Millionen mal einen Normal-Deutschen gedacht oder gesetzt zu haben;
das möchte etwas umständlich sein.
§ 43. Wahrscheinlich um die Schwierigkeiten zu vermeiden, die sich
ergeben, wenn man mit _St. Jevons_ jedes Zeichen 1 einen der gezählten
Gegenstände bedeuten lässt, will E. _Schröder_ dadurch einen Gegenstand
nur abbilden. Die Folge ist, dass er nur das Zahlzeichen, nicht die
Zahl erklärt. Er sagt nämlich[74]: »Um nun ein Zeichen zu erhalten,
welches fähig ist auszudrücken, _wieviele_ jener Einheiten[75]
vorhanden sind, richtet man die Aufmerksamkeit der Reihe nach einmal
auf eine jede derselben und bildet sie mit einem Strich: 1 (eine
_Eins_, ein _Einer_) ab; diese Einer setzt man in eine Zeile neben
einander, verbindet sie jedoch unter sich durch das Zeichen + (plus),
da sonst zum Beispiel 111 nach der gewöhnlichen Zahlenbezeichnung
als einhundert und elf gelesen würde. Man erhält auf diese Weise ein
Zeichen wie:
1 + 1 + 1 + 1 + 1,
dessen Zusammensetzung man dadurch beschreiben kann, dass man sagt:
»_Eine natürliche Zahl ist eine Summe von Einern._«
Hieraus sieht man, dass für Schröder die Zahl ein _Zeichen_ ist. Was
durch dies Zeichen ausgedrückt wird, das, was ich bisher Zahl genannt
habe, setzt er mit den Worten »wieviele jener Einheiten vorhanden sind«
als bekannt voraus. Auch unter dem Worte »Eins« versteht er das Zeichen
1, nicht dessen Bedeutung. Das Zeichen + dient ihm zunächst nur als
äusserliches Verbindungsmittel ohne eignen Inhalt; erst später wird die
Addition erklärt. Er hätte wohl kürzer so sagen können: man schreibt
ebensoviele Zeichen 1 neben einander, als man zu zählende Gegenstände
hat, und verbindet sie durch das Zeichen +. Die Null würde dadurch
auszudrücken sein, dass man nichts hinschreibt.
§ 44. Um nicht die unterscheidenden Kennzeichen der Dinge in die Zahl
mitaufzunehmen, sagt _St. Jevons_[76]:
»Es wird jetzt wenig schwierig sein, eine klare Vorstellung von der
Zahlen-Abstraction zu bilden. Sie besteht im Abstrahiren von dem
Charakter der Verschiedenheit, aus der Vielheit entspringt, indem man
lediglich ihr Vorhandensein beibehält. Wenn ich von _drei Männern_
spreche, so brauche ich nicht gleich die Kennzeichen einzeln
anzugeben, an denen man jeden von ihnen von jedem unterscheiden kann.
Diese Kennzeichen müssen vorhanden sein, wenn sie wirklich drei
Männer und nicht ein und derselbe sind, und indem ich von ihnen als
von vielen rede, behaupte ich damit zugleich das Vorhandensein der
erforderlichen Unterschiede. Unbenannte Zahl ist also _die leere Form
der Verschiedenheit_.«
Wie ist das zu verstehn? Man kann entweder von den unterscheidenden
Eigenschaften der Dinge abstrahiren, bevor man sie zu einem Ganzen
vereinigt; oder man kann erst ein Ganzes bilden und dann von der Art
der Unterschiede abstrahiren. Auf dem ersten Wege würden wir gar nicht
zur Unterscheidung der Dinge kommen und also auch das Vorhandensein
der Unterschiede nicht festhalten können; den zweiten Weg scheint
_Jevons_ zu meinen. Aber ich glaube nicht, dass wir so die Zahl 10000
gewinnen würden, weil wir nicht im Stande sind, so viele Unterschiede
gleichzeitig aufzufassen und ihr Vorhandensein festzuhalten; denn,
wenn es nach einander geschähe, so würde die Zahl nie fertig werden.
Wir zählen zwar in der Zeit; aber dadurch gewinnen wir nicht die Zahl,
sondern bestimmen sie nur. Uebrigens ist die Angabe der Weise des
Abstrahirens keine Definition.
Was soll man sich unter der »leeren Form der Verschiedenheit« denken?
etwa einen Satz wie
»a ist verschieden von b«,
wobei a und b unbestimmt bleiben? Wäre dieser Satz etwa die Zahl 2? Ist
der Satz
»die Erde hat zwei Pole«
gleichbedeutend mit
»der Nordpol ist vom Südpol verschieden«?
Offenbar nicht. Der zweite Satz könnte ohne den ersten und dieser ohne
jenen bestehen. Für die Zahl 1000 würden wir dann
1000 ∙ 999
----------
1 ∙ 2
solche Sätze haben, die eine Verschiedenheit ausdrücken.
Was _Jevons_ sagt, passt insbesondere gar nicht auf die 0 und die 1.
Wovon soll man eigentlich abstrahiren, um z. B. vom Monde auf die Zahl
1 zu kommen? Durch Abstrahiren erhält man wohl die Begriffe: Begleiter
der Erde, Begleiter eines Planeten, Himmelskörper ohne eignes Licht,
Himmelskörper, Körper, Gegenstand; aber die 1 ist in dieser Reihe nicht
anzutreffen; denn sie ist kein Begriff, unter den der Mond fallen
könnte. Bei der 0 hat man gar nicht einmal einen Gegenstand, von dem
bei der Abstraction auszugehen wäre. Man wende nicht ein, dass 0 und 1
nicht Zahlen in demselben Sinne seien wie 2 und 3! Die Zahl antwortet
auf die Frage wieviel? und wenn man z. B. fragt: wieviel Monde hat
dieser Planet? so kann man sich ebenso gut auf die Antwort 0 oder 1
wie 2 oder 3 gefasst machen, ohne dass der Sinn der Frage ein andrer
wird. Zwar hat die Zahl 0 etwas Besonderes und ebenso die 1, aber das
gilt im Grunde von jeder ganzen Zahl; nur fällt es bei den grösseren
immer weniger in die Augen. Es ist durchaus willkührlich, hier einen
Artunterschied zu machen. Was nicht auf 0 oder 1 passt, kann für den
Begriff der Zahl nicht wesentlich sein.
Endlich wird durch die Annahme dieser Entstehungsweise der Zahl die
Schwierigkeit gar nicht gehoben, auf die wir bei der Betrachtung der
Bezeichnung
1´ + 1´´ + 1´´´ + 1´´´´ + 1´´´´´
für 5 gestossen sind. Diese Schreibung steht gut im Einklänge mit
dem, was _Jevons_ über die zahlenbildende Abstraction sagt; die obern
Striche deuten nämlich an, dass eine Verschiedenheit da ist, ohne
jedoch ihre Art anzugeben. Aber das blosse Bestehen der Verschiedenheit
genügt schon, wie wir gesehen haben, um bei der _Jevons_'schen
Auffassung verschiedene Einsen, Zweien, Dreien hervorzubringen, was
mit dem Bestande der Arithmetik durchaus unverträglich ist.
Lösung der Schwierigkeit.
§ 45. Ueberblicken wir nun das bisher von uns Festgestellte und die
noch unbeantwortet gebliebenen Fragen!
Die Zahl ist nicht in der Weise wie Farbe, Gewicht, Härte von den
Dingen abstrahirt, ist nicht in dem Sinne wie diese Eigenschaft der
Dinge. Es blieb noch die Frage, von wem durch eine Zahlangabe etwas
ausgesagt werde.
Die Zahl ist nichts Physikalisches, aber auch nichts Subjectives, keine
Vorstellung.
Die Zahl entsteht nicht durch Hinzufügung von Ding zu Ding. Auch die
Namengebung nach jeder Hinzufügung ändert darin nichts.
Die Ausdrücke »Vielheit,« »Menge,« »Mehrheit« sind wegen ihrer
Unbestimmtheit ungeeignet, zur Erklärung der Zahl zu dienen.
In Bezug auf Eins und Einheit blieb die Frage, wie die Willkühr der
Auffassung zu beschränken sei, die jeden Unterschied zwischen Einem und
Vielen zu verwischen schien.
Die Abgegrenztheit, die Ungetheiltheit, die Unzerlegbarkeit sind keine
brauchbaren Merkmale für das, was wir durch das Wort »Ein« ausdrücken.
Wenn man die zu zählenden Dinge Einheiten nennt, so ist die unbedingte
Behauptung, dass die Einheiten gleich seien, falsch. Dass sie in
gewisser Hinsicht gleich sind, ist zwar richtig aber werthlos. Die
Verschiedenheit der zu zählenden Dinge ist sogar nothwendig, wenn die
Zahl grösser als 1 werden soll.
So schien es, dass wir den Einheiten zwei widersprechende Eigenschaften
beilegen müssten: die Gleichheit und die Unterscheidbarkeit.
Es ist ein Unterschied zwischen Eins und Einheit zu machen. Das Wort
»Eins« ist als Eigenname eines Gegenstandes der mathematischen
Forschung eines Plurals unfähig. Es ist also sinnlos, Zahlen durch
Zusammenfassen von Einsen entstehen zu lassen. Das Pluszeichen in
1 + 1 = 2 kann nicht eine solche Zusammenfassung bedeuten.
§ 46. Um Licht in die Sache zu bringen, wird es gut sein, die Zahl
im Zusammenhange eines Urtheils zu betrachten, wo ihre ursprüngliche
Anwendungsweise hervortritt. Wenn ich in Ansehung derselben äussern
Erscheinung mit derselben Wahrheit sagen kann: »dies ist eine
Baumgruppe« und »dies sind fünf Bäume« oder »hier sind vier Compagnien«
und »hier sind 500 Mann,« so ändert sich dabei weder das Einzelne noch
das Ganze, das Aggregat, sondern meine Benennung. Das ist aber nur
das Zeichen der Ersetzung eines Begriffes durch einen andern. Damit
wird uns als Antwort auf die erste Frage des vorigen Paragraphen nahe
gelegt, dass die Zahlangabe eine Aussage von einem Begriffe enthalte.
Am deutlichsten ist dies vielleicht bei der Zahl 0. Wenn ich sage: »die
Venus hat 0 Monde«, so ist gar kein Mond oder Aggregat von Monden da,
von dem etwas ausgesagt werden könnte; aber dem _Begriffe_ »Venusmond«
wird dadurch eine Eigenschaft beigelegt, nämlich die, nichts unter
sich zu befassen. Wenn ich sage: »der Wagen des Kaisers wird von vier
Pferden gezogen,« so lege ich die Zahl vier dem Begriffe »Pferd, das
den Wagen des Kaisers zieht,« bei.
Man mag einwenden, dass ein Begriff wie z. B. »Angehöriger des
deutschen Reiches,« obwohl seine Merkmale unverändert bleiben, eine von
Jahr zu Jahr wechselnde Eigenschaft haben würde, wenn die Zahlangabe
eine solche von ihm aussagte. Man kann dagegen geltend machen, dass
auch Gegenstände ihre Eigenschaften ändern, was nicht verhindere,
sie als dieselben anzuerkennen. Hier lässt sich aber der Grund noch
genauer angeben. Der Begriff »Angehöriger des deutschen Reiches«
enthält nämlich die Zeit als veränderlichen Bestandtheil, oder, um mich
mathematisch auszudrücken, ist eine Function der Zeit. Für »a ist
ein Angehöriger des deutschen Reiches« kann man sagen: »a gehört dem
deutschen Reiche an« und dies bezieht sich auf den gerade gegenwärtigen
Zeitpunkt. So ist also in dem Begriffe selbst schon etwas Fliessendes.
Dagegen kommt dem Begriffe »Angehöriger des deutschen Reiches zu
Jahresanfang 1883 berliner Zeit« in alle Ewigkeit dieselbe Zahl zu.
§ 47. Dass eine Zahlangabe etwas Thatsächliches von unserer Auffassung
Unabhängiges ausdrückt, kann nur den Wunder nehmen, welcher den
Begriff für etwas Subjectives gleich der Vorstellung hält. Aber diese
Ansicht ist falsch. Wenn wir z. B. den Begriff des Körpers dem des
Schweren oder den des Wallfisches dem des Säugethiers unterordnen, so
behaupten wir damit etwas Objectives. Wenn nun die Begriffe subjectiv
wären, so wäre auch die Unterordnung des einen unter den andern als
Beziehung zwischen ihnen etwas Subjectives wie eine Beziehung zwischen
Vorstellungen. Freilich auf den ersten Blick scheint der Satz
»alle Wallfische sind Säugethiere«
von Thieren, nicht von Begriffen zu handeln; aber, wenn man fragt, von
welchem Thiere denn die Rede sei, so kann man kein einziges aufweisen.
Gesetzt, es liege ein Wallfisch vor, so behauptet doch von diesem unser
Satz nichts. Man könnte aus ihm nicht schliessen, das vorliegende Thier
sei ein Säugethier, ohne den Satz hinzuzunehmen, dass es ein Wallfisch
ist, wovon unser Satz nichts enthält. Ueberhaupt ist es unmöglich, von
einem Gegenstande zu sprechen, ohne ihn irgendwie zu bezeichnen oder
zu benennen. Das Wort »Wallfisch« benennt aber kein Einzelwesen. Wenn
man erwidert, allerdings sei nicht von einem einzelnen, bestimmten
Gegenstande die Rede, wohl aber von einem unbestimmten, so meine ich,
dass »unbestimmter Gegenstand« nur ein andrer Ausdruck für »Begriff«
ist, und zwar ein schlechter, widerspruchsvoller. Mag immerhin unser
Satz nur durch Beobachtung an einzelnen Thieren gerechtfertigt werden
können, dies beweist nichts für seinen Inhalt. Für die Frage, wovon
er handelt, ist es gleichgiltig, ob er wahr ist oder nicht, oder aus
welchen Gründen wir ihn für wahr halten. Wenn nun der Begriff etwas
Objectives ist, so kann auch eine Aussage von ihm etwas Thatsächliches
enthalten.
§ 48. Der Schein, der vorhin bei einigen Beispielen entstand, dass
demselben verschiedene Zahlen zukämen, erklärt sich daraus, dass dabei
Gegenstände als Träger der Zahl angenommen wurden. Sobald wir den
wahren Träger, den Begriff, in seine Rechte einsetzen, zeigen sich die
Zahlen so ausschliessend wie in ihrem Bereiche die Farben.
Wir sehen nun auch, wie man dazu kommt, die Zahl durch Abstraction
von den Dingen gewinnen zu wollen. Was man dadurch erhält, ist der
Begriff, an dem man dann die Zahl entdeckt. So geht die Abstraction
in der That oft der Bildung eines Zahlurtheils vorher. Die
Verwechselung ist dieselbe, wie wenn man sagen wollte: der Begriff der
Feuergefährlichkeit wird erhalten, indem man ein Wohnhaus aus Fachwerk
mit einem Brettergiebel und Strohdach baut, dessen Schornsteine undicht
sind.
Die sammelnde Kraft des Begriffes übertrifft weit die vereinigende der
synthetischen Apperception. Durch diese wäre es nicht möglich, die
Angehörigen des deutschen Reiches zu einem Ganzen zu verbinden; wohl
aber kann man sie unter dem Begriff »Angehöriger des deutschen Reiches«
bringen und zählen.
Nun wird auch die grosse Anwendbarkeit der Zahl erklärlich. Es ist
in der That räthselhaft, wie dasselbe von äussern und zugleich von
innern Erscheinungen, von Räumlichem und Zeitlichem und von Raum- und
Zeitlosem ausgesagt werden könne. Dies findet nun in der Zahlangabe
auch gar nicht statt. Nur den Begriffen, unter die das Aeussere und
Innere, das Räumliche und Zeitliche, das Raum- und Zeitlose gebracht
ist, werden Zahlen beigelegt.
§ 49. Wir finden für unsere Ansicht eine Bestätigung bei _Spinoza_,
der sagt[77]: »Ich antworte, dass ein Ding blos rücksichtlich seiner
Existenz, nicht aber seiner Essenz eines oder einzig genannt wird;
denn wir stellen die Dinge unter Zahlen nur vor, nachdem sie auf ein
gemeinsames Maass gebracht sind. Wer z. B. ein Sesterz und einen
Imperial in der Hand hält, wird an die Zweizahl nicht denken, wenn er
nicht dieses Sesterz und diesen Imperial mit einem und dem nämlichen
Namen, nämlich Geldstück oder Münze belegen kann: dann kann er bejahen,
dass er zwei Geldstücke oder Münzen habe; weil er nicht nur das
Sesterz, sondern auch den Imperial mit den Namen Münze bezeichnet.«
Wenn er fortfährt: »Hieraus ist klar, dass ein Ding eins oder einzig
genannt wird, nur nachdem ein anderes Ding ist vorgestellt worden, das
(wie gesagt) mit ihm übereinkommt,« und wenn er meint, dass man nicht
im eigentlichen Sinne Gott einen oder einzig nennen könne, weil wir
von seiner Essenz keinen abstracten Begriff bilden könnten, so irrt er
in der Meinung, der Begriff könne nur unmittelbar durch Abstraction
von mehren Gegenständen gewonnen werden. Vielmehr kann man auch von
den Merkmalen aus zu dem Begriffe gelangen; und dann ist es möglich,
das kein Ding unter ihn fällt. Wenn dies nicht vorkäme, würde man nie
die Existenz verneinen können, und damit verlöre auch die Bejahung der
Existenz ihren Inhalt.
§ 50. E. _Schröder_[78] hebt hervor, dass, wenn von Häufigkeit eines
Dinges solle gesprochen werden können, der Name dieses Dinges stets
ein _Gattungsname_, ein allgemeines Begriffswort (notio communis)
sein müsse: »Sobald man nämlich einen Gegenstand vollständig -- mit
allen seinen Eigenschaften und Beziehungen -- in's Auge fasst, so wird
derselbe einzig in der Welt dastehen und seines gleichen nicht weiter
haben. Der Name des Gegenstandes wird alsdann den Charakter eines
_Eigennamens_ (nomen proprium) tragen und kann der Gegenstand nicht
als ein wiederholt vorkommender gedacht werden. Dieses gilt aber nicht
allein von _concreten_ Gegenständen, es gilt überhaupt von jedem Dinge,
mag dessen Vorstellung auch durch _Abstractionen_ zu Stande kommen,
wofern nur diese Vorstellung solche Elemente in sich schliesst, welche
genügen, das betreffende Ding zu einem _völlig_ bestimmten zu machen.
... Das letztere« (Object der Zählung zu werden) »wird bei einem
Dinge erst insofern möglich, als man von einigen ihm eigenthümlichen
Merkmalen und Beziehungen, durch die es sich von allen andern Dingen
unterscheidet, dabei absieht oder _abstrahirt_, wodurch dann erst der
Name des Dinges zu einem auf mehre Dinge anwendbaren Begriffe wird.«
§ 51. Das Wahre in dieser Ausführung ist in so schiefe und irreführende
Ausdrücke gekleidet, dass eine Entwirrung und Sichtung geboten ist.
Zunächst ist es unpassend, ein allgemeines Begriffswort Namen eines
Dinges zu nennen. Dadurch entsteht der Schein, als ob die Zahl
Eigenschaft eines Dinges wäre. Ein allgemeines Begriffswort bezeichnet
eben einen Begriff. Nur mit dem bestimmten Artikel oder einem
Demonstrativpronomen gilt es als Eigenname eines Dinges, hört aber
damit auf, als Begriffswort zu gelten. Der Name eines Dinges ist ein
Eigenname. Ein Gegenstand kommt nicht wiederholt vor, sondern mehre
Gegenstände fallen unter einen Begriff. Dass ein Begriff nicht nur
durch Abstraction von den Dingen erhalten wird, die unter ihn fallen,
ist schon _Spinoza_ gegenüber bemerkt. Hier füge ich hinzu, dass ein
Begriff dadurch nicht aufhört, Begriff zu sein, dass nur ein einziges
Ding unter ihn fällt, welches demnach völlig durch ihn bestimmt ist.
Einem solchen Begriffe (z. B. Begleiter der Erde) kommt eben die Zahl
1 zu, die in demselben Sinne Zahl ist wie 2 und 3. Bei einem Begriffe
fragt es sich immer, ob etwas und was etwa unter ihn falle. Bei einem
Eigennamen sind solche Fragen sinnlos. Man darf sich nicht dadurch
täuschen lassen, dass die Sprache einen Eigennamen, z. B. Mond, als
Begriffswort verwendet und umgekehrt; der Unterschied bleibt trotzdem
bestehen. Sobald ein Wort mit dem unbestimmten Artikel oder im Plural
ohne Artikel gebraucht wird, ist es Begriffswort.
§ 52. Eine weitere Bestätigung für die Ansicht, dass die Zahl Begriffen
beigelegt wird, kann in dem deutschen Sprachgebrauche gefunden werden,
dass man zehn Mann, vier Mark, drei Fass sagt. Der Singular mag hier
andeuten, dass der Begriff gemeint ist, nicht das Ding. Der Vorzug
dieser Ausdrucksweise tritt besonders bei der Zahl 0 hervor. Sonst
freilich legt die Sprache den Gegenständen, nicht dem Begriffe Zahl
bei: man sagt »Zahl der Ballen,« wie man »Gewicht der Ballen« sagt.
So spricht man scheinbar von Gegenständen, während man in Wahrheit
von einem Begriffe etwas aussagen will. Dieser Sprachgebrauch ist
verwirrend. Der Ausdruck »vier edle Rosse« erweckt den Schein, als ob
»vier« den Begriff »edles Ross« ebenso wie »edel« den Begriff »Ross«
näher bestimme. Jedoch ist nur »edel« ein solches Merkmal; durch das
Wort »vier« sagen wir etwas von einem Begriffe aus.
§ 53. Unter Eigenschaften, die von einem Begriffe ausgesagt
werden, verstehe ich natürlich nicht die Merkmale, die den Begriff
zusammensetzen. Diese sind Eigenschaften der Dinge, die unter den
Begriff fallen, nicht des Begriffes. So ist »rechtwinklig« nicht eine
Eigenschaft des Begriffes »rechtwinkliges Dreieck«; aber der Satz, dass
es kein rechtwinkliges, geradliniges, gleichseitiges Dreieck gebe,
spricht eine Eigenschaft des Begriffes »rechtwinkliges, geradliniges,
gleichseitiges Dreieck« aus; diesem wird die Nullzahl beigelegt.
In dieser Beziehung hat die Existenz Aehnlichkeit mit der Zahl. Es ist
ja Bejahung der Existenz nichts Anderes als Verneinung der Nullzahl.
Weil Existenz Eigenschaft des Begriffes ist, erreicht der ontologische
Beweis von der Existenz Gottes sein Ziel nicht. Ebensowenig wie die
Existenz ist aber die Einzigkeit Merkmal des Begriffes »Gott«. Die
Einzigkeit kann nicht zur Definition dieses Begriffes gebraucht werden,
wie man auch die Festigkeit, Geräumigkeit, Wohnlichkeit eines Hauses
nicht mit Steinen, Mörtel und Balken zusammen bei seinem Baue verwenden
kann. Man darf jedoch daraus, dass etwas Eigenschaft eines Begriffes
ist, nicht allgemein schliessen, dass es aus dem Begriffe, d. h. aus
dessen Merkmalen nicht gefolgert werden könne. Unter Umständen ist dies
möglich, wie man aus der Art der Bausteine zuweilen einen Schluss auf
die Dauerhaftigkeit eines Gebäudes machen kann. Daher wäre es zuviel
behauptet, dass niemals aus den Merkmalen eines Begriffes auf die
Einzigkeit oder Existenz geschlossen werden könne; nur kann dies nie so
unmittelbar geschehen, wie man das Merkmal eines Begriffes einem unter
ihn fallenden Gegenstande als Eigenschaft beilegt.
Es wäre auch falsch zu leugnen, dass Existenz und Einzigkeit jemals
Merkmale von Begriffen sein könnten. Sie sind nur nicht Merkmale _der_
Begriffe, denen man sie der Sprache folgend zuschreiben möchte. Wenn
man z. B. alle Begriffe, unter welche nur Ein Gegenstand fällt, unter
einen Begriff sammelt, so ist die Einzigkeit Merkmal dieses Begriffes.
Unter ihn würde z. B. der Begriff »Erdmond,« aber nicht der sogenannte
Himmelskörper fallen. So kann man einen Begriff unter einen höhern, so
zu sagen einen Begriff zweiter Ordnung fallen lassen. Dies Verhältniss
ist aber nicht mit dem der Unterordnung zu verwechseln.
§ 54. Jetzt wird es möglich sein, die Einheit befriedigend zu erklären.
_E. Schröder_ sagt auf S. 7 seines genannten Lehrbuches: »Jener
Gattungsname oder Begriff wird die Benennung der auf die angegebene
Weise gebildeten Zahl genannt und macht das Wesen ihrer Einheit aus.«
In der That, wäre es nicht am passendsten, einen Begriff Einheit zu
nennen in Bezug auf die Anzahl, welche ihm zukommt? Wir können dann
den Aussagen über die Einheit, dass sie von der Umgebung abgesondert
und untheilbar sei, einen Sinn abgewinnen. Denn der Begriff, dem die
Zahl beigelegt wird, grenzt im Allgemeinen das unter ihn Fallende in
bestimmter Weise ab. Der Begriff »Buchstabe des Wortes Zahl« grenzt das
Z gegen das a, dieses gegen das h u. s. w. ab. Der Begriff »Silbe des
Wortes Zahl« hebt das Wort als ein Ganzes und in dem Sinne Untheilbares
heraus, dass die Theile nicht mehr unter den Begriff »Silbe des Wortes
Zahl« fallen. Nicht alle Begriffe sind so beschaffen. Wir können z.
B. das unter den Begriff des Rothen Fallende in mannigfacher Weise
zertheilen, ohne dass die Theile aufhören, unter ihn zu fallen. Einem
solchen Begriffe kommt keine endliche Zahl zu. Der Satz von der
Abgegrenztheit und Untheilbarkeit der Einheit lässt sich demnach so
aussprechen:
Einheit in Bezug auf eine endliche Anzahl kann nur ein solcher Begriff
sein, der das unter ihn Fallende bestimmt abgrenzt und keine beliebige
Zertheilung gestattet.
Man sieht aber, dass Untheilbarkeit hier eine besondere Bedeutung hat.
Nun beantworten wir leicht die Frage, wie die Gleichheit mit der
Unterscheidbarkeit der Einheiten zu versöhnen sei. Das Wort »Einheit«
ist hier in doppeltem Sinne gebraucht. Gleich sind die Einheiten in
der oben erklärten Bedeutung dieses Worts. In dem Satze: »Jupiter hat
vier Monde« ist die Einheit »Jupitersmond«. Unter diesen Begriff fällt
sowohl I als auch II, als auch III, als auch IV. Daher kann man sagen:
die Einheit, auf die I bezogen wird, ist gleich der Einheit, auf die II
bezogen wird u. s. f. Da haben wir die Gleichheit. Wenn man aber die
Unterscheidbarkeit der Einheiten behauptet, so versteht man darunter
die der gezählten Dinge.