Jede einzelne Zahl ist ein selbständiger Gegenstand.
§ 55. Nachdem wir erkannt haben, dass die Zahlangabe eine Aussage
von einem Begriffe enthält, können wir versuchen, die leibnizischen
Definitionen der einzelnen Zahlen durch die der 0 und der 1 zu ergänzen.
Es liegt nahe zu erklären: einem Begriffe kommt die Zahl 0 zu, wenn
kein Gegenstand unter ihn fällt. Aber hier scheint an die Stelle der
0 das gleichbedeutende »kein« getreten zu sein; deshalb ist folgender
Wortlaut vorzuziehen: einem Begriffe kommt die Zahl 0 zu, wenn
allgemein, was auch a sei, der Satz gilt, dass a nicht unter diesen
Begriff falle.
In ähnlicher Weise könnte man sagen: einem Begriffe F kommt die Zahl 1
zu, wenn nicht allgemein, was auch a sei, der Satz gilt, dass a nicht
unter F falle, und wenn aus den Sätzen
»a fällt unter F« und »b fällt unter F«
allgemein folgt, dass a und b dasselbe sind.
Es bleibt noch übrig, den Uebergang von einer Zahl zur nächstfolgenden
allgemein zu erklären. Wir versuchen folgenden Wortlaut: dem Begriffe F
kommt die Zahl (n + 1) zu, wenn es einen Gegenstand a giebt, der unter
F fällt und so beschaffen ist, dass dem Begriffe »unter F fallend, aber
nicht a« die Zahl n zukommt.
§ 56. Diese Erklärungen bieten sich nach unsern bisherigen Ergebnissen
so ungezwungen dar, dass es einer Darlegung bedarf, warum sie uns nicht
genügen können.
Am ehesten wird die letzte Definition Bedenken erregen; denn genau
genommen ist uns der Sinn des Ausdruckes »dem Begriffe G kommt die
Zahl n zu« ebenso unbekannt wie der des Ausdruckes »dem Begriffe F
kommt die Zahl (n + 1) zu.« Zwar können wir mittels dieser und der
vorletzten Erklärung sagen, was es bedeute
»dem Begriffe F kommt die Zahl 1 + 1 zu,«
und dann, indem wir dies benutzen, den Sinn des Ausdruckes
»dem Begriffe F kommt die Zahl 1 + 1 + 1 zu«
angeben u. s. w.; aber wir können -- um ein krasses Beispiel zu geben
-- durch unsere Definitionen nie entscheiden, ob einem Begriffe die
Zahl _Julius Caesar_ zukomme, ob dieser bekannte Eroberer Galliens
eine Zahl ist oder nicht. Wir können ferner mit Hilfe unserer
Erklärungsversuche nicht beweisen, dass a = b sein muss, wenn dem
Begriffe F die Zahl a zukommt, und wenn demselben die Zahl b zukommt.
Der Ausdruck »_die_ Zahl, welche dem Begriffe F zukommt« wäre also
nicht zu rechtfertigen und dadurch würde es überhaupt unmöglich, eine
Zahlengleichheit zu beweisen, weil wir gar nicht eine bestimmte Zahl
fassen könnten. Es ist nur Schein, dass wir die 0, die 1 erklärt haben;
in Wahrheit haben wir nur den Sinn der Redensarten
»die Zahl 0 kommt zu,«
»die Zahl 1 kommt zu«
festgestellt; aber es nicht erlaubt, hierin die 0, die 1 als
selbständige, wiedererkennbare Gegenstände zu unterscheiden.
§ 57. Es ist hier der Ort, unsern Ausdruck, dass die Zahlangabe
eine Aussage von einem Begriffe enthalte, etwas genauer ins Auge
zu fassen. In dem Satze »dem Begriffe F kommt die Zahl 0 zu« ist 0
nur ein Theil des Praedicates, wenn wir als sachliches Subject den
Begriff F betrachten. Deshalb habe ich es vermieden, eine Zahl wie
0, 1, 2 _Eigenschaft_ eines Begriffes zu nennen. Die einzelne Zahl
erscheint eben dadurch, dass sie nur einen Theil der Aussage bildet,
als selbständiger Gegenstand. Ich habe schon oben darauf aufmerksam
gemacht, dass man »die 1« sagt und durch den bestimmten Artikel 1
als Gegenstand hinstellt. Diese Selbständigkeit zeigt sich überall
in der Arithmetik, z. B. in der Gleichung 1 + 1 = 2. Da es uns
hier darauf ankommt, den Zahlbegriff so zu fassen, wie er für die
Wissenschaft brauchbar ist, so darf es uns nicht stören, dass im
Sprachgebrauche des Lebens die Zahl auch attributiv erscheint. Dies
lässt sich immer vermeiden. Z. B. kann man den Satz »Jupiter hat vier
Monde« umsetzen in »die Zahl der Jupitersmonde ist vier«. Hier darf
das »ist« nicht als blosse Copula betrachtet werden, wie in dem Satze
»der Himmel ist blau«. Das zeigt sich darin, dass man sagen kann:
»die Zahl der Jupitersmonde ist die vier« oder »ist die Zahl 4«. Hier
hat »ist« den Sinn von »ist gleich,« »ist dasselbe wie«. Wir haben
also eine Gleichung, die behauptet, dass der Ausdruck »die Zahl der
Jupitersmonde« denselben Gegenstand bezeichne wie das Wort »vier.« Und
die Form der Gleichung ist die herrschende in der Arithmetik. Gegen
diese Auffassung streitet nicht, dass in dem Worte »vier« nichts von
Jupiter oder von Mond enthalten ist. Auch in dem Namen »Columbus« liegt
nichts von Entdecken oder von Amerika und dennoch wird derselbe Mann
Columbus und der Entdecker Amerikas genannt.
§ 58. Man könnte einwenden, dass wir uns von dem Gegenstande, den
wir Vier oder die Anzahl der Jupitersmonde nennen, als von etwas
Selbständigem durchaus keine Vorstellung[79] machen können. Aber die
Selbständigkeit, die wir der Zahl gegeben haben, ist nicht Schuld
daran. Zwar glaubt man leicht, dass in der Vorstellung von vier Augen
eines Würfels etwas vorkomme, was dem Worte »vier« entspräche; aber
das ist Täuschung. Man denke an eine grüne Wiese und versuche, ob
sich die Vorstellung ändert, wenn man den unbestimmten Artikel durch
das Zahlwort »Ein« ersetzt. Es kommt nichts hinzu, während doch dem
Worte »grün« etwas in der Vorstellung entspricht. Wenn man sich das
gedruckte Wort »Gold« vorstellt, wird man zunächst an keine Zahl dabei
denken. Fragt man sich nun, aus wieviel Buchstaben es bestehe, so
ergiebt sich die Zahl 4; aber die Vorstellung wird dadurch nicht etwa
bestimmter, sondern kann ganz unverändert bleiben. Der hinzutretende
Begriff »Buchstabe des Wortes Gold« ist eben das, woran wir die Zahl
entdecken. Bei den vier Augen eines Würfels ist die Sache etwas
versteckter, weil der Begriff sich uns durch die Aehnlichkeit der Augen
so unmittelbar aufdrängt, dass wir sein Dazwischentreten kaum bemerken.
Die Zahl kann weder als selbständiger Gegenstand noch als Eigenschaft
an einem äussern Dinge vorgestellt werden, weil sie weder etwas
Sinnliches noch Eigenschaft eines äussern Dinges ist. Am deutlichsten
ist die Sache wohl bei der Zahl 0. Man wird vergebens versuchen, sich 0
sichtbare Sterne vorzustellen. Zwar kann man sich den Himmel ganz mit
Wolken überzogen denken; aber hierin ist nichts, was dem Worte »Stern«
oder der 0 entspräche. Man stellt sich nur eine Sachlage vor, die zu
dem Urtheile veranlassen kann: es ist jetzt kein Stern zu sehen.
§ 59. Jedes Wort erweckt vielleicht irgendeine Vorstellung in uns,
sogar ein solches wie »nur«; aber sie braucht nicht dem Inhalte des
Wortes zu entsprechen; sie kann in andern Menschen eine ganz andere
sein. Man wird sich dann wohl eine Sachlage vorstellen, die zu einem
Satze auffordert, in welchem das Wort vorkommt; oder es ruft etwa das
gesprochene Wort das geschriebene ins Gedächtniss zurück.
Dies findet nicht nur bei Partikeln statt. Es unterliegt wohl keinem
Zweifel, dass wir keine Vorstellung unserer Entfernung von der Sonne
haben. Denn, wenn wir auch die Regel kennen, wie oft wir einen Maasstab
vervielfältigen müssen, so misslingt doch jeder Versuch, nach dieser
Regel uns ein Bild zu entwerfen, das auch nur einigermaassen dem
Gewollten nahe kommt. Das ist aber kein Grund, die Richtigkeit der
Rechnung zu bezweifeln, durch welche die Entfernung gefunden ist, und
hindert uns in keiner Weise, weitere Schlüsse auf das Bestehen dieser
Entfernung zu gründen.
§ 60. Selbst ein so concretes Ding wie die Erde können wir uns nicht so
vorstellen, wie wir erkannt haben, dass es ist; sondern wir begnügen
uns mit einer Kugel von mässiger Grösse, die uns als Zeichen für die
Erde gilt; aber wir wissen, dass diese sehr davon verschieden ist.
Obwohl nun unsere Vorstellung das Gewollte oft gar nicht trifft, so
urtheilen wir doch mit grosser Sicherheit über einen Gegenstand wie die
Erde auch da, wo die Grösse in Betracht kommt.
Wir werden durch das Denken gar oft über das Vorstellbare
hinausgeführt, ohne damit die Unterlage für unsere Schlüsse zu
verlieren. Wenn auch, wie es scheint, uns Menschen Denken ohne
Vorstellungen unmöglich ist, so kann doch deren Zusammenhang mit dem
Gedachten ganz äusserlich, willkührlich und conventionell sein.
Es ist also die Unvorstellbarkeit des Inhaltes eines Wortes kein Grund,
ihm jede Bedeutung abzusprechen oder es vom Gebrauche auszuschliessen.
Der Schein des Gegentheils entsteht wohl dadurch, dass wir die Wörter
vereinzelt betrachten und nach ihrer Bedeutung fragen, für welche wir
dann eine Vorstellung nehmen. So scheint ein Wort keinen Inhalt zu
haben, für welches uns ein entsprechendes inneres Bild fehlt. Man muss
aber immer einen vollständigen Satz ins Auge fassen. Nur in ihm haben
die Wörter eigentlich eine Bedeutung. Die innern Bilder, die uns dabei
etwa vorschweben, brauchen nicht den logischen Bestandtheilen des
Urtheils zu entsprechen. Es genügt, wenn der Satz als Ganzes einen Sinn
hat; dadurch erhalten auch seine Theile ihren Inhalt.
Diese Bemerkung scheint mir geeignet, auf manche schwierige Begriffe
wie den des Unendlichkleinen[80] ein Licht zu werfen, und ihre
Tragweite beschränkt sich wohl nicht auf die Mathematik.
Die Selbständigkeit, die ich für die Zahl in Anspruch nehme, soll nicht
bedeuten, dass ein Zahlwort ausser dem Zusammenhange eines Satzes etwas
bezeichne, sondern ich will damit nur dessen Gebrauch als Praedicat
oder Attribut ausschliessen, wodurch seine Bedeutung etwas verändert
wird.
§ 61. Aber, wendet man vielleicht ein, mag auch die Erde eigentlich
unvorstellbar sein, so ist sie doch ein äusseres Ding, das einen
bestimmten Ort hat; aber wo ist die Zahl 4? sie ist weder ausser uns
noch in uns. Das ist in räumlichem Sinne verstanden richtig. Eine
Ortsbestimmung der Zahl 4 hat keinen Sinn; aber daraus folgt nur, dass
sie kein räumlicher Gegenstand ist, nicht, dass sie überhaupt keiner
ist. Nicht jeder Gegenstand ist irgendwo. Auch unsere Vorstellungen[81]
sind in diesem Sinne nicht in uns (subcutan). Da sind Ganglienzellen,
Blutkörperchen und dergl., aber keine Vorstellungen. Räumliche
Praedicate sind auf sie nicht anwendbar: die eine ist weder rechts
noch links von der andern; Vorstellungen haben keine in Millimetern
angebbaren Entfernungen von einander. Wenn wir sie dennoch in uns
nennen, so wollen wir sie damit als subjectiv bezeichnen.
Aber wenn auch das Subjective keinen Ort hat, wie ist es möglich, dass
die objective Zahl 4 nirgendwo sei? Nun ich behaupte, dass darin gar
kein Widerspruch liegt. Sie ist in der That genau dieselbe für jeden,
der sich mit ihr beschäftigt; aber dies hat mit Räumlichkeit nichts zu
schaffen. Nicht jeder objective Gegenstand hat einen Ort.
Um den Begriff der Anzahl zu gewinnen, muss man den Sinn einer
Zahlengleichung feststellen.
§ 62. Wie soll uns denn eine Zahl gegeben sein, wenn wir keine
Vorstellung oder Anschauung von ihr haben können? Nur im Zusammenhange
eines Satzes bedeuten die Wörter etwas. Es wird also darauf ankommen,
den Sinn eines Satzes zu erklären, in dem ein Zahlwort vorkommt. Das
giebt zunächst noch viel der Willkühr anheim. Aber wir haben schon
festgestellt, dass unter den Zahlwörtern selbständige Gegenstände
zu verstehen sind. Damit ist uns eine Gattung von Sätzen gegeben,
die einen Sinn haben müssen, der Sätze, welche ein Wiedererkennen
ausdrücken. Wenn uns das Zeichen a einen Gegenstand bezeichnen soll,
so müssen wir ein Kennzeichen haben, welches überall entscheidet, ob b
dasselbe sei wie a, wenn es auch nicht immer in unserer Macht steht,
dies Kennzeichen anzuwenden. In unserm Falle müssen wir den Sinn des
Satzes
»die Zahl, welche dem Begriffe F zukommt, ist dieselbe,
welche dem Begriffe G zukommt«
erklären; d. h. wir müssen den Inhalt dieses Satzes in anderer Weise
wiedergeben, ohne den Ausdruck
»die Anzahl, welche dem Begriffe F zukommt«
zu gebrauchen. Damit geben wir ein allgemeines Kennzeichen für die
Gleichheit von Zahlen an. Nachdem wir so ein Mittel erlangt haben, eine
bestimmte Zahl zu fassen und als dieselbe wiederzuerkennen, können wir
ihr ein Zahlwort zum Eigennamen geben.
§ 63. Ein solches Mittel nennt schon _Hume_[82]: »Wenn zwei Zahlen
so combinirt werden, dass die eine immer eine Einheit hat, die jeder
Einheit der andern entspricht, so geben wir sie als gleich an.« Es
scheint in neuerer Zeit die Meinung unter den Mathematikern[83]
vielfach Anklang gefunden zu haben, dass die Gleichheit der Zahlen
mittels der eindeutigen Zuordnung definirt werden müsse. Aber es
erheben sich zunächst logische Bedenken und Schwierigkeiten, an denen
wir nicht ohne Prüfung vorbeigehen dürfen.
Das Verhältniss der Gleichheit kommt nicht nur bei Zahlen vor. Daraus
scheint zu folgen, dass es nicht für diesen Fall besonders erklärt
werden darf. Man sollte denken, dass der Begriff der Gleichheit schon
vorher feststände, und dass dann aus ihm und dem Begriffe der Anzahl
sich ergeben müsste, wann Anzahlen einander gleich wären, ohne dass es
dazu noch einer besondern Definition bedürfte.
Hiergegen ist zu bemerken, dass für uns der Begriff der Anzahl noch
nicht feststeht, sondern erst mittels unserer Erklärung bestimmt werden
soll. Unsere Absicht ist, den Inhalt eines Urtheils zu bilden, der sich
so als eine Gleichung auffassen lässt, dass jede Seite dieser Gleichung
eine Zahl ist. Wir wollen also nicht die Gleichheit eigens für diesen
Fall erklären, sondern mittels des schon bekannten Begriffes der
Gleichheit, das gewinnen, was als gleich zu betrachten ist. Das scheint
freilich eine sehr ungewöhnliche Art der Definition zu sein, welche
wohl von den Logikern noch nicht genügend beachtet ist; dass sie aber
nicht unerhört ist, mögen einige Beispiele zeigen.
§ 64. Das Urtheil: »die Gerade a ist parallel der Gerade b,« in Zeichen:
a ∥ b,
kann als Gleichung aufgefasst werden. Wenn wir dies thun, erhalten
wir den Begriff der Richtung und sagen: »die Richtung der Gerade
a ist gleich der Richtung der Gerade b«. Wir ersetzen also das
Zeichen ∥ durch das allgemeinere =, indem wir den besondern Inhalt
des ersteren an a und b vertheilen. Wir zerspalten den Inhalt in
anderer als der ursprünglichen Weise und gewinnen dadurch einen neuen
Begriff. Oft fasst man freilich die Sache umgekehrt auf, und manche
Lehrer definiren: parallele Geraden sind solche von gleicher Richtung.
Der Satz: »wenn zwei Geraden einer dritten parallel sind, so sind
sie einander parallel« lässt sich dann mit Berufung auf den ähnlich
lautenden Gleichheitssatz sehr bequem beweisen. Nur schade, dass
der wahre Sachverhalt damit auf den Kopf gestellt wird! Denn alles
Geometrische muss doch wohl ursprünglich anschaulich sein. Nun frage
ich, ob jemand eine Anschauung von der Richtung einer Gerade hat. Von
der Gerade wohl! aber unterscheidet man in der Anschauung von dieser
Gerade noch ihre Richtung? Schwerlich! Dieser Begriff wird erst durch
eine an die Anschauung anknüpfende geistige Thätigkeit gefunden.
Dagegen hat man eine Vorstellung von parallelen Geraden. Jener Beweis
kommt nur durch eine Erschleichung zu Stande, indem man durch den
Gebrauch des Wortes »Richtung« das zu Beweisende voraussetzt; denn
wäre der Satz: »wenn zwei Geraden einer dritten parallel sind, so sind
sie einander parallel« unrichtig, so könnte man a ∥ b nicht in eine
Gleichung verwandeln.
So kann man aus dem Parallelismus von Ebenen einen Begriff erhalten,
der dem der Richtung bei Geraden entspricht. Ich habe dafür den Namen
»Stellung« gelesen. Aus der geometrischen Aehnlichkeit geht der Begriff
der Gestalt hervor, so dass man z. B. statt »die beiden Dreiecke sind
ähnlich« sagt: »die beiden Dreiecke haben gleiche Gestalt« oder »die
Gestalt des einen Dreiecks ist gleich der Gestalt des andern«. So kann
man auch aus der collinearen Verwandtschaft geometrischer Gebilde einen
Begriff gewinnen, für den ein Name wohl noch fehlt.
§ 65. Um nun z. B. vom Parallelismus[84] auf den Begriff der Richtung
zu kommen, versuchen wir folgende Definition:
der Satz
»die Gerade a ist parallel der Gerade b«
sei gleichbedeutend mit
»die Richtung der Gerade a ist gleich der Richtung
der Gerade b«.
Diese Erklärung weicht insofern von dem Gewohnten ab, als sie scheinbar
die schon bekannte Beziehung der Gleichheit bestimmt, während sie in
Wahrheit den Ausdruck »die Richtung der Gerade a« einführen soll, der
nur nebensächlich vorkommt. Daraus entspringt ein zweites Bedenken,
ob wir nicht durch eine solche Festsetzung in Widersprüche mit den
bekannten Gesetzen der Gleichheit verwickelt werden könnten. Welches
sind diese? Sie werden als analytische Wahrheiten aus dem Begriffe
selbst entwickelt werden können. Nun definirt _Leibniz_[85]:
»Eadem sunt, quorum unum potest substitui alteri
salva veritate«.
Diese Erklärung eigne ich mir für die Gleichheit an. Ob man wie
_Leibniz_ »dasselbe« sagt oder »gleich«, ist unerheblich. »Dasselbe«
scheint zwar eine vollkommene Uebereinstimmung, »gleich« nur eine in
dieser oder jener Hinsicht auszudrücken; man kann aber eine solche
Redeweise annehmen, dass dieser Unterschied wegfällt, indem man z.
B. statt »die Strecken sind in der Länge gleich« sagt »die Länge der
Strecken ist gleich« oder »dieselbe,« statt »die Flächen sind in
der Farbe gleich« »die Farbe der Flächen ist gleich«. Und so haben
wir das Wort oben in den Beispielen gebraucht. In der allgemeinen
Ersetzbarkeit sind nun in der That alle Gesetze der Gleichheit
enthalten.
Um unsern Definitionsversuch der Richtung einer Gerade zu
rechtfertigen, müssten wir also zeigen, dass man
die Richtung von a
überall durch
die Richtung von b
ersetzen könne, wenn die Gerade a der Gerade b parallel ist. Dies wird
dadurch vereinfacht, dass man zunächst von der Richtung einer Gerade
keine andere Aussage kennt als die Uebereinstimmung mit der Richtung
einer andern Gerade. Wir brauchten also nur die Ersetzbarkeit in
einer solchen Gleichheit nachzuweisen oder in Inhalten, welche solche
Gleichheiten als Bestandtheile[86] enthalten würden. Alle andern
Aussagen von Richtungen müssten erst erklärt werden und für diese
Definitionen können wir die Regel aufstellen, dass die Ersetzbarkeit
der Richtung einer Gerade durch die einer ihr parallelen gewahrt
bleiben muss.
§ 66. Aber noch ein drittes Bedenken erhebt sich gegen unsern
Definitionsversuch. In dem Satze
»die Richtung von a ist gleich der Richtung von b«
erscheint die Richtung von a als Gegenstand[87] und wir haben in
unserer Definition ein Mittel, diesen Gegenstand wiederzuerkennen, wenn
er etwa in einer andern Verkleidung etwa als Richtung von b auftreten
sollte. Aber dies Mittel reicht nicht für alle Fälle aus. Man kann z.
B. danach nicht entscheiden, ob England dasselbe sei wie die Richtung
der Erdaxe. Man verzeihe dies unsinnig scheinende Beispiel! Natürlich
wird niemand England mit der Richtung der Erdaxe verwechseln; aber dies
ist nicht das Verdienst unserer Erklärung. Diese sagt nichts darüber,
ob der Satz
»die Richtung von a ist gleich q«
zu bejahen oder zu verneinen ist, wenn nicht q selbst in der Form »die
Richtung von b« gegeben ist. Es fehlt uns der Begriff der Richtung;
denn hätten wir diesen, so könnten wir festsetzen; wenn q keine
Richtung ist, so ist unser Satz zu verneinen; wenn q eine Richtung ist,
so entscheidet die frühere Erklärung. Es liegt nun nahe zu erklären:
q ist eine Richtung, wenn es eine Gerade b giebt,
deren Richtung q ist.
Aber nun ist klar, dass wir uns im Kreise gedreht haben. Um diese
Erklärung anwenden zu können, müssen wir schon in jedem Falle wissen,
ob der Satz
»q ist gleich der Richtung von b«
zu bejahen oder zu verneinen wäre.
§ 67. Wenn man sagen wollte: q ist eine Richtung, wenn es durch die
oben ausgesprochene Definition eingeführt ist, so würde man die Weise,
wie der Gegenstand q eingeführt ist, als dessen Eigenschaft behandeln,
was sie nicht ist. Die Definition eines Gegenstandes sagt als solche
eigentlich nichts von ihm aus, sondern setzt die Bedeutung eines
Zeichens fest. Nachdem das geschehen ist, verwandelt sie sich in ein
Urtheil, das von dem Gegenstande handelt, aber führt ihn nun auch nicht
mehr ein und steht mit andern Aussagen von ihm in gleicher Linie. Man
würde, wenn man diesen Ausweg wählte, voraussetzen, dass ein Gegenstand
nur auf eine einzige Weise gegeben werden könnte; denn sonst würde
daraus, dass q nicht durch unsere Definition eingeführt ist, nicht
folgen, dass es nicht so eingeführt werden könnte. Alle Gleichungen
würden darauf hinauskommen, dass das als dasselbe anerkannt würde, was
uns auf dieselbe Weise gegeben ist. Aber dies ist so selbstverständlich
und so unfruchtbar, dass es nicht verlohnte, es auszusprechen. Man
könnte in der That keinen Schluss daraus ziehen, der von jeder der
Voraussetzungen verschieden wäre. Die vielseitige und bedeutsame
Verwendbarkeit der Gleichungen beruht vielmehr darauf, dass man etwas
wiedererkennen kann, obwohl es auf verschiedene Weise gegeben ist.
§ 68. Da wir so keinen scharf begrenzten Begriff der Richtung und aus
denselben Gründen keinen solchen der Anzahl gewinnen können, versuchen
wir einen andern Weg. Wenn die Gerade a der Gerade b parallel ist, so
ist der Umfang des Begriffes »Gerade parallel der Gerade a« gleich dem
Umfange des Begriffes »Gerade parallel der Gerade b«; und umgekehrt:
wenn die Umfänge der genannten Begriffe gleich sind, so ist a parallel
b. Versuchen wir also zu erklären:
die Richtung der Gerade a ist der Umfang des Begriffes »parallel
der Gerade a«;
die Gestalt des Dreiecks d ist der Umfang des Begriffes Ȋhnlich
dem Dreiecke d«!
Wenn wir dies auf unsern Fall anwenden wollen, so haben wir an die
Stelle der Geraden oder der Dreiecke Begriffe zu setzen und an die
Stelle des Parallelismus oder der Aehnlichkeit die Möglichkeit die
unter den einen den unter den andern Begriff fallenden Gegenständen
beiderseits eindeutig zuzuordnen. Ich will der Kürze wegen den Begriff
F dem Begriffe G _gleichzahlig_ nennen, wenn diese Möglichkeit
vorliegt, muss aber bitten, dies Wort als eine willkührlich gewählte
Bezeichnungsweise zu betrachten, deren Bedeutung nicht der sprachlichen
Zusammensetzung, sondern dieser Festsetzung zu entnehmen ist.
Ich definire demnach:
die Anzahl, welche dem Begriffe F zukommt, ist der Umfang[88] des
Begriffes »gleichzahlig dem Begriffe F«
§ 69. Dass diese Erklärung zutreffe, wird zunächst vielleicht wenig
einleuchten. Denkt man sich unter dem Umfange eines Begriffes
nicht etwas Anderes? Was man sich darunter denkt, erhellt aus den
ursprünglichen Aussagen, die von Begriffsumfängen gemacht werden
können. Es sind folgende: