Drückt das Zahlwort »Ein« eine Eigenschaft von Gegenständen aus?
§ 29. In den Definitionen, die Euklid am Anfange des 7. Buches der
Elemente giebt, scheint er mit dem Worte »μονάς« bald einen zu
zählenden Gegenstand, bald eine Eigenschaft eines solchen, bald die
Zahl Eins zu bezeichnen. Ueberall kommt man mit der Uebersetzung
»Einheit« durch, aber nur, weil dies Wort selbst in diesen
verschiedenen Bedeutungen schillert.
_Schröder_[49] sagt: »Jedes der zu zählenden Dinge wird Einheit
genannt.« Es fragt sich, weshalb man die Dinge erst unter den Begriff
der Einheit bringt und nicht einfach erklärt: Zahl ist eine Menge von
Dingen, womit wir wieder auf das Vorige zurückgeworfen wären. Man
könnte zunächst in der Benennung der Dinge als Einheiten eine nähere
Bestimmung finden wollen, indem man der sprachlichen Form folgend
»Ein« als Eigenschaftswort ansieht und »Eine Stadt« so auffasst wie
»weiser Mann«. Dann würde eine Einheit ein Gegenstand sein, dem die
Eigenschaft »Ein« zukäme und würde sich zu »Ein« ähnlich verhalten wie
»ein Weiser« zu dem Adjectiv »weise«. Zu den Gründen, die oben dagegen
geltend gemacht sind, dass die Zahl eine Eigenschaft von Dingen sei,
treten hier noch einige besondere hinzu. Auffallend wäre zunächst, dass
jedes Ding diese Eigenschaft hätte. Es wäre unverständlich, weshalb
man überhaupt noch einem Dinge ausdrücklich die Eigenschaft beilegt.
Nur durch die Möglichkeit, dass etwas nicht weise sei, gewinnt die
Behauptung, Solon sei weise, einen Sinn. Der Inhalt eines Begriffes
nimmt ab, wenn sein Umfang zunimmt; wird dieser allumfassend, so muss
der Inhalt ganz verloren gehen. Es ist nicht leicht zu denken, wie die
Sprache dazu käme, ein Eigenschaftswort zu schaffen, das gar nicht dazu
dienen könnte, einen Gegenstand näher zu bestimmen.
Wenn »Ein Mensch« ähnlich wie »weiser Mensch« aufzufassen wäre, so
sollte man denken, dass »Ein« auch als Praedicat gebraucht werden
könnte, sodass man wie »Solon war weise« auch sagen könnte »Solon
war Ein« oder »Solon war Einer«. Wenn nun der letzte Ausdruck auch
vorkommen kann, so ist er doch für sich allein nicht verständlich.
Er kann z. B. heissen: Solon war ein Weiser, wenn »Weiser« aus dem
Zusammenhange zu ergänzen ist. Aber allein scheint »Ein« nicht
Praedicat sein zu können[50]. Noch deutlicher zeigt sich dies
beim Plural. Während man »Solon war weise« und »Thales war weise«
zusammenziehen kann in »Solon und Thales waren weise,« kann man nicht
sagen »Solon und Thales waren Ein«. Hiervon wäre die Unmöglichkeit
nicht einzusehen, wenn »Ein« sowie »weise« eine Eigenschaft sowohl des
Solon als auch des Thales wäre.
§ 30. Damit hangt es zusammen, dass man keine Definition der
Eigenschaft »Ein« hat geben können. Wenn _Leibniz_[51] sagt: »Eines
ist, was wir durch Eine That des Verstandes zusammenfassen«, so erklärt
er »Ein« durch sich selbst. Und können wir nicht auch Vieles durch
Eine That des Verstandes zusammenfassen? Dies wird von _Leibniz_ an
derselben Stelle zugestanden. Aehnlich sagt _Baumann_[52]: »Eines ist,
was wir als Eines auffassen« und weiter: »Was wir als Punkt setzen oder
nicht mehr als getheilt setzen wollen, das sehen wir als Eines an; aber
jedes Eins der äussern Anschauung, der reinen wie der empirischen,
können wir auch als Vieles ansehen. Jede Vorstellung ist Eine, wenn
abgegränzt gegen eine andere Vorstellung; aber in sich kann sie wieder
in Vieles unterschieden werden.« So verwischt sich jede sachliche
Begrenzung des Begriffes und alles hangt von unserer Auffassung ab. Wir
fragen wieder: welchen Sinn kann es haben, irgendeinem Gegenstande die
Eigenschaft »Ein« beizulegen, wenn je nach der Auffassung jeder Einer
sein und auch nicht sein kann? Wie kann auf einem so verschwommenen
Begriffe eine Wissenschaft beruhen, die grade in der grössten
Bestimmtheit und Genauigkeit ihren Ruhm sucht?
§ 31. Obwohl nun _Baumann_[53] den Begriff der Eins auf innerer
Anschauung beruhen lässt, so nennt er doch in der eben angeführten
Stelle als Merkmale die Ungetheiltheit und die Abgegränztheit. Wenn
diese zuträfen, so wäre zu erwarten, dass auch Thiere eine gewisse
Vorstellung von Einheit haben könnten. Ob wohl ein Hund beim Anblick
des Mondes eine wenn auch noch so unbestimmte Vorstellung von dem
hat, was wir mit dem Worte »Ein« bezeichnen? Schwerlich! Und doch
unterscheidet er gewiss einzelne Gegenstände: ein andrer Hund, sein
Herr, ein Stein, mit dem er spielt, erscheinen ihm gewiss ebenso
abgegrenzt, für sich bestehend, ungetheilt wie uns. Zwar wird er einen
Unterschied merken, ob er sich gegen viele Hunde zu vertheidigen
hat oder nur gegen Einen, aber dies ist der von _Mill_ physikalisch
genannte Unterschied. Es käme darauf besonders an, ob er von dem
Gemeinsamen, welches wir durch das Wort »Ein« ausdrücken, ein wenn
auch noch so dunkles Bewusstsein hat z. B. in den Fällen, wo er von
Einem grössern Hunde gebissen wird, und wo er Eine Katze verfolgt.
Das ist mir unwahrscheinlich. Ich folgere daraus, dass die Idee der
Einheit nicht, wie _Locke_[54] meint, dem Verstande durch jenes Object
draussen und jede Idee innen zugeführt, sondern von uns durch die
höhern Geisteskräfte erkannt wird, die uns vom Thiere unterscheiden.
Dann können solche Eigenschaften der Dinge wie Ungetheiltheit und
Abgegrenztheit, die von den Thieren ebenso gut wie von uns bemerkt
werden, nicht das Wesentliche an unserm Begriffe sein.
§ 32. Doch kann man einen gewissen Zusammenhang vermuthen. Darauf
deutet die Sprache hin, indem sie von »Ein« »einig« ableitet. Etwas ist
desto mehr geeignet, als besonderer Gegenstand aufgefasst zu werden,
je mehr die Unterschiede in ihm gegenüber den Unterschieden von der
Umgebung zurücktreten, je mehr der innere Zusammenhang den mit der
Umgebung überwiegt. So bedeutet »einig« eine Eigenschaft, die dazu
veranlasst, etwas in der Auffassung von der Umgebung abzusondern und
für sich zu betrachten. Wenn das französische »uni« »eben,« »glatt«
heisst, so ist dies so zu erklären. Auch das Wort »Einheit« wird in
ähnlicher Weise gebraucht, wenn von politischer Einheit eines Landes,
Einheit eines Kunstwerks gesprochen wird[55]. Aber in diesem Sinne
gehört »Einheit« weniger zu »Ein« als zu »einig« oder »einheitlich.«
Denn, wenn man sagt, die Erde habe Einen Mond, so will man diesen
damit nicht für einen abgegrenzten, für sich bestehenden, ungetheilten
Mond erklären; sondern man sagt dies im Gegensatze zu dem, was bei der
Venus, dem Mars oder dem Jupiter vorkommt. In Bezug auf Abgegrenztheit
und Ungetheiltheit könnten sich die Monde des Jupiter wohl mit unserm
messen und sind in dem Sinne ebenso einheitlich.
§ 33. Die Ungetheiltheit wird von einigen Schriftstellern bis zur
Untheilbarkeit gesteigert. _G. Köpp_[56] nennt jedes unzerlegbar und
für sich bestehend gedachte sinnlich oder nicht sinnlich wahrnehmbare
Ding ein Einzelnes und die zu zählenden Einzelnen Einse, wo offenbar
»Eins« in dem Sinne von »Einheit« gebraucht wird. Indem _Baumann_ seine
Meinung, die äussern Dinge stellten keine strengen Einheiten dar, damit
begründet, dass wir die Freiheit hätten, sie als Vieles zu betrachten,
giebt auch er die Unzerlegbarkeit für ein Merkmal der strengen Einheit
aus. Dadurch dass man den innern Zusammenhang bis zum Unbedingten
steigert, will man offenbar ein Merkmal der Einheit gewinnen, das von
der willkührlichen Auffassung unabhängig ist. Dieser Versuch scheitert
daran, dass dann fast nichts übrig bliebe, was Einheit genannt und
gezählt werden dürfte. Deshalb wird auch sofort der Rückzug damit
angetreten, dass man nicht die Unzerlegbarkeit selbst, sondern das als
unzerlegbar Gedachtwerden als Merkmal aufstellt. Damit ist man denn bei
der schwankenden Auffassung wieder angekommen. Und wird denn dadurch
etwas gewonnen, dass man sich die Sachen anders denkt als sie sind?
Im Gegentheil! aus einer falschen Annahme können falsche Folgerungen
fliessen. Wenn man aber aus der Unzerlegbarkeit nichts schliessen will,
was nützt sie dann? wenn man von der Strenge des Begriffes ohne Schaden
etwas ablassen kann, ja es sogar muss, wozu dann diese Strenge? Aber
vielleicht soll man an die Zerlegbarkeit nur nicht denken. Als ob durch
Mangel an Denken etwas erreicht werden könnte! Es giebt aber Fälle, wo
man gar nicht vermeiden kann, an die Zerlegbarkeit zu denken, wo sogar
ein Schluss auf der Zusammensetzung der Einheit beruht, z. B. bei der
Aufgabe: Ein Tag hat 24 Stunden, wieviel Stunden haben 3 Tage?
Sind die Einheiten einander gleich?
§ 34. So misslingt denn jeder Versuch, die Eigenschaft »Ein« zu
erklären, und wir müssen wohl darauf verzichten, in der Bezeichnung der
Dinge als Einheiten eine nähere Bestimmung zu sehen. Wir kommen wieder
auf unsere Frage zurück: weshalb nennt man die Dinge Einheiten, wenn
»Einheit« nur ein andrer Name für Ding ist, wenn alle Dinge Einheiten
sind oder als solche aufgefasst werden können? _E. Schröder_[57] giebt
als Grund die den Objecten der Zählung zugeschriebene Gleichheit an.
Zunächst ist nicht zu sehen, warum die Wörter »Ding« und »Gegenstand«
dies nicht ebenso gut andeuten könnten. Dann fragt es sich: weshalb
wird den Gegenständen der Zählung Gleichheit zugeschrieben? Wird sie
ihnen nur zugeschrieben, oder sind sie wirklich gleich? Jedenfalls
sind nie zwei Gegenstände durchaus gleich. Andrerseits kann man wohl
fast immer eine Hinsicht ausfindig machen, in der zwei Gegenstände
übereinstimmen. So sind wir wieder bei der willkührlichen Auffassung
angelangt, wenn wir nicht gegen die Wahrheit den Dingen eine
weitergehende Gleichheit zuschreiben wollen, als ihnen zukommt. In der
That nennen viele Schriftsteller die Einheiten ohne Einschränkung
gleich. _Hobbes_[58] sagt: »Die Zahl, absolut gesagt, setzt in
der Mathematik unter sich gleiche Einheiten voraus, aus denen sie
hergestellt wird.« _Hume_[59] hält die zusammensetzenden Theile der
Quantität und Zahl für ganz gleichartig. _Thomae_[60] nennt ein
Individuum der Menge Einheit und sagt: »Die Einheiten sind einander
gleich.« Ebenso gut oder vielmehr richtiger könnte man sagen: die
Individuen der Menge sind von einander verschieden. Was hat nun diese
vorgebliche Gleichheit für die Zahl zu bedeuten? Die Eigenschaften,
durch die sich die Dinge unterscheiden, sind für ihre Anzahl etwas
Gleichgiltiges und Fremdes. Darum will man sie fern halten. Aber das
gelingt in dieser Weise nicht. Wenn man, wie _Thomae_ verlangt, »von
den Eigenthümlichkeiten der Individuen einer Objectenmenge abstrahirt«
oder »bei der Betrachtung getrennter Dinge von den Merkmalen absieht,
durch welche sich die Dinge unterscheiden,« so bleibt nicht, wie
_Lipschitz_ meint, »der Begriff der Anzahl der betrachteten Dinge«
zurück, sondern man erhält einen allgemeinen Begriff, unter den
jene Dinge fallen. Diese selbst verlieren dadurch nichts von ihren
Besonderheiten. Wenn ich z. B. bei der Betrachtung einer weissen und
einer schwarzen Katze von den Eigenschaften absehe, durch die sie sich
unterscheiden, so erhalte ich etwa den Begriff »Katze«. Wenn ich nun
auch beide unter diesen Begriff bringe und sie etwa Einheiten nenne,
so bleibt die weisse doch immer weiss und die schwarze schwarz. Auch
dadurch, dass ich an die Farben nicht denke oder mir vornehme, keine
Schlüsse aus deren Verschiedenheit zu ziehen, werden die Katzen nicht
farblos und bleiben ebenso verschieden, wie sie waren. Der Begriff
»Katze,« der durch die Abstraction gewonnen ist, enthält zwar die
Besonderheiten nicht mehr, ist aber eben dadurch nur Einer.
§ 35. Durch blos begriffliche Verfahrungsweisen gelingt es nicht,
verschiedene Dinge gleich zu machen; gelänge es aber, so hätte man
nicht mehr Dinge, sondern nur Ein Ding; denn, wie _Descartes_[61] sagt,
die Zahl -- besser: die Mehrzahl -- in den Dingen entspringt aus deren
Unterscheidung. _E. Schröder_[62] behauptet mit Recht: »Die Anforderung
Dinge zu zählen kann vernünftiger Weise nur gestellt werden, wo solche
Gegenstände vorliegen, welche deutlich von einander unterscheidbar
z. B. räumlich und zeitlich getrennt und gegen einander abgegrenzt
erscheinen.« In der That erschwert zuweilen die zu grosse Aehnlichkeit
z. B. der Stäbe eines Gitters die Zählung. Mit besonderer Schärfe
drückt sich _W. Stanley Jevons_[63] in diesem Sinne aus: »Zahl ist nur
ein andrer Name für Verschiedenheit. Genaue Identität ist Einheit,
und mit Verschiedenheit entsteht Mehrheit.« Und weiter (S. 157): »Es
ist oft gesagt, dass Einheiten Einheiten sind, insofern sie einander
vollkommen gleichen; aber, obwohl sie in einigen Rücksichten vollkommen
gleich sein mögen, müssen sie mindestens in Einem Punkte verschieden
sein; sonst wäre der Begriff der Mehrheit auf sie unanwendbar. Wenn
drei Münzen so gleich wären, dass sie denselben Raum zu derselben Zeit
einnähmen, so wären sie nicht drei Münzen, sondern Eine Münze.«
§ 36. Aber es zeigt sich bald, dass die Ansicht von der Verschiedenheit
der Einheiten auf neue Schwierigkeiten stösst. _Jevons_ erklärt:
»Eine Einheit (unit) ist irgendein Gegenstand des Denkens, der von
irgendeinem andern Gegenstande unterschieden werden kann, der als
Einheit in derselben Aufgabe behandelt wird.« Hier ist Einheit durch
sich selbst erklärt und der Zusatz »der von irgendeinem andern
Gegenstande unterschieden werden kann« enthält keine nähere Bestimmung,
weil er selbstverständlich ist. Wir nennen den Gegenstand eben nur
darum einen andern, weil wir ihn vom ersten unterscheiden können.
_Jevons_[64] sagt ferner: »Wenn ich das Symbol 5 schreibe, meine ich
eigentlich
1 + 1 + 1 + 1 + 1
und es ist vollkommen klar, dass jede dieser Einheiten von jeder andern
verschieden ist. Wenn erforderlich, kann ich sie so bezeichnen:
1´ + 1´´ + 1´´´ + 1´´´´ + 1´´´´´.«
Gewiss ist es erforderlich, sie verschieden zu bezeichnen, wenn sie
verschieden sind; sonst würde ja die grösste Verwirrung entstehen.
Wenn schon die verschiedene Stelle, an der die Eins erschiene, eine
Verschiedenheit bedeuten sollte, so müsste das als ausnahmslose Regel
hingestellt werden, weil man sonst nie wüsste, ob 1 + 1 2 bedeuten
solle oder 1. Dann müsste man die Gleichung 1 = 1 verwerfen und wäre
in der Verlegenheit, nie dasselbe Ding zum zweiten Male bezeichnen zu
können. Das geht offenbar nicht an. Wenn man aber verschiedenen Dingen
verschiedene Zeichen geben will, so ist nicht einzusehen, weshalb man
in diesen noch einen gemeinsamen Bestandtheil festhält und nicht lieber
statt
1´ + 1´´ + 1´´´ + 1´´´´ + 1´´´´´
schreibt
a + b + c + d + e.
Die Gleichheit ist doch nun einmal verloren gegangen, und die Andeutung
einer gewissen Aehnlichkeit nützt nichts. So zerrinnt uns die Eins
unter den Händen; wir behalten die Gegenstände mit allen ihren
Besonderheiten. Diese Zeichen
1´, 1´´, 1´´´
sind ein sprechender Ausdruck für die Verlegenheit: wir haben die
Gleichheit nöthig; deshalb die 1; wir haben die Verschiedenheit nöthig;
deshalb die Indices, die nur leider die Gleichheit wieder aufheben.
§ 37. Bei andern Schriftstellern stossen wir auf dieselbe
Schwierigkeit. _Locke_[65] sagt: »Durch Wiederholung der Idee einer
Einheit und Hinzufügung derselben zu einer andern Einheit machen wir
demnach eine collective Idee, die durch das Wort »zwei« bezeichnet
wird. Und wer das thun und so weitergehen kann, immer noch Eins
hinzufügend zu der letzten collectiven Idee, die er von einer Zahl
hatte, und ihr einen Namen geben kann, der kann zählen.« _Leibniz_[66]
definirt Zahl als 1 und 1 und 1 oder als Einheiten. _Hesse_[67] sagt:
»Wenn man sich eine Vorstellung machen kann von der Einheit, die in der
Algebra mit dem Zeichen 1 ausgedrückt wird, ... so kann man sich auch
eine zweite gleichberechtigte Einheit denken und weitere derselben Art.
Die Vereinigung der zweiten mit der ersten zu einem Ganzen giebt die
Zahl 2«.
Hier ist auf die Beziehung zu achten, in der die Bedeutungen der
Wörter »Einheit« und »Eins« zu einander stehen. _Leibniz_ versteht
unter Einheit einen Begriff, unter den die Eins und die Eins und die
Eins fallen, wie er denn auch sagt: »Das Abstracte von Eins ist die
Einheit.« _Locke_ und _Hesse_ scheinen Einheit und Eins gleichbedeutend
zu gebrauchen. Im Grunde thut dies wohl auch _Leibniz_; denn indem
er die einzelnen Gegenstände, die unter den Begriff der Einheit
fallen, sämmtlich Eins nennt, bezeichnet er mit diesem Worte nicht den
einzelnen Gegenstand, sondern den Begriff, unter den sie fallen.
§ 38. Um nicht Verwirrung einreissen zu lassen, wird es jedoch gut
sein, einen Unterschied zwischen Einheit und Eins streng aufrecht
zu erhalten. Man sagt »die Zahl Eins« und deutet mit dem bestimmten
Artikel einen bestimmten, einzelnen Gegenstand der wissenschaftlichen
Forschung an. Es giebt nicht verschiedene Zahlen Eins, sondern
nur Eine. Wir haben in 1 einen Eigennamen, der als solcher eines
Plurals ebenso unfähig ist wie »Friedrich der Grosse« oder »das
chemische Element Gold.« Es ist nicht Zufall und nicht eine ungenaue
Bezeichnungsweise, dass man 1 ohne unterscheidende Striche schreibt.
Die Gleichung
3 - 2 = 1
würde _St. Jevons_ etwa so wiedergeben:
(1´ + 1´´ + 1´´´) - (1´´ + 1´´´) = 1´