§ 18. Indem wir uns nun den ursprünglichen Gegenständen der Arithmetik
zuwenden, unterscheiden wir die einzelnen Zahlen 3, 4 u. s. f. von
dem allgemeinen Begriffe der Anzahl. Nun haben wir uns schon dafür
entschieden, dass die einzelnen Zahlen am besten in der Weise von
_Leibniz_, _Mill_, _H. Grassmann_ und Andern aus der Eins und der
Vermehrung um eins abgeleitet werden, dass aber diese Erklärungen
unvollständig bleiben, solange die Eins und die Vermehrung um eins
unerklärt sind. Wir haben gesehen, dass man allgemeiner Sätze bedarf,
um aus diesen Definitionen die Zahlformeln abzuleiten. Solche Gesetze
können eben wegen ihrer Allgemeinheit nicht aus den Definitionen der
einzelnen Zahlen folgen, sondern nur aus dem allgemeinen Begriffe der
Anzahl. Wir unterwerfen diesen jetzt einer genaueren Betrachtung.
Dabei werden voraussichtlich auch die Eins und die Vermehrung um eins
erörtert werden müssen und somit auch die Definitionen der einzelnen
Zahlen eine Ergänzung zu erwarten haben.
§ 19. Hier möchte ich mich nun gleich gegen den Versuch wenden, die
Zahl geometrisch als Verhältnisszahl von Längen oder Flächen zu fassen.
Man glaubte offenbar die vielfachen Anwendungen der Arithmetik auf
Geometrie dadurch zu erleichtern, dass man gleich die Anfänge in die
engste Beziehung setzte.
_Newton_[31] will unter Zahl nicht so sehr eine Menge von Einheiten
als das abstracte Verhältniss einer jeden Grösse zu einer andern
derselben Art verstehen, die als Einheit genommen wird. Man kann
zugeben, dass hiermit die Zahl im weitern Sinne, wozu auch die Brüche
und Irrationalzahlen gehören, zutreffend beschrieben sei; doch
werden hierbei die Begriffe der Grösse und des Grössenverhältnisses
vorausgesetzt. Danach scheint es, dass die Erklärung der Zahl im
engern Sinne, der Anzahl, nicht überflüssig werde; denn _Euklid_
braucht den Begriff des Gleichvielfachen um die Gleichheit von zwei
Längenverhältnissen zu definiren; und das Gleichvielfache kommt wieder
auf eine Zahlengleichheit hinaus. Aber es mag sein, dass die Gleichheit
von Längenverhältnissen unabhängig vom Zahlbegriffe definirbar ist.
Man bliebe dann jedoch im Ungewissen darüber, in welcher Beziehung die
so geometrisch definirte Zahl zu der Zahl des gemeinen Lebens stände.
Dies wäre dann ganz von der Wissenschaft getrennt. Und doch kann man
wohl von der Arithmetik verlangen, dass sie die Anknüpfungspunkte für
jede Anwendung der Zahl bieten muss, wenn auch die Anwendung selbst
nicht ihre Sache ist. Auch das gewöhnliche Rechnen muss die Begründung
seines Verfahrens in der Wissenschaft finden. Und dann erhebt sich die
Frage, ob die Arithmetik selbst mit einem geometrischen Begriffe der
Zahl auskomme, wenn man an die Anzahl der Wurzeln einer Gleichung,
der Zahlen, die prim zu einer Zahl und kleiner als sie sind, und
ähnliche Vorkommnisse denkt. Dagegen kann die Zahl, welche die Antwort
auf die Frage wieviel? giebt, auch bestimmen, wieviel Einheiten in
einer Länge enthalten sind. Die Rechnung mit negativen, gebrochenen,
Irrationalzahlen kann auf die mit den natürlichen Zahlen zurückgeführt
werden. _Newton_ wollte aber vielleicht unter Grössen, als deren
Verhältniss die Zahl definirt wird, nicht nur geometrische, sondern
auch Mengen verstehen. Dann wird jedoch die Erklärung für unsern Zweck
unbrauchbar, weil von den Ausdrücken »Zahl, durch die eine Menge
bestimmt wird« und »Verhältniss einer Menge zur Mengeneinheit« der
letztere keine bessere Auskunft als der erstere giebt.
§ 20. Die erste Frage wird nun sein, ob Zahl definirbar ist.
_Hankel_[32] spricht sich dagegen aus: »Was es heisst, ein Object
1mal, 2mal, 3mal ... denken oder setzen, kann bei der principiellen
Einfachheit des Begriffes der Setzung nicht definirt werden.« Hier
kommt es jedoch weniger auf das Setzen als auf das 1mal, 2mal, 3mal
an. Wenn dies definirt werden könnte, so würde die Undefinirbarkeit
des Setzens uns wenig beunruhigen. _Leibniz_ ist geneigt, die Zahl
wenigstens annähernd als adaequate Idee anzusehen, d. h. als eine
solche, die so deutlich ist, dass alles, was in ihr vorkommt, wieder
deutlich ist.
Wenn man im Ganzen mehr dazu neigt, die Anzahl für undefinirbar zu
halten, so liegt das wohl mehr an dem Misslingen darauf gerichteter
Versuche als an dem Bestehen der Sache selbst entnommener Gegengründe.
Ist die Anzahl eine Eigenschaft der äusseren Dinge?
§ 21. Versuchen wir wenigstens der Anzahl ihre Stelle unter unsern
Begriffen anzuweisen! In der Sprache erscheinen Zahlen meistens in
adjectivischer Form und in attributiver Verbindung ähnlich wie die
Wörter hart, schwer, roth, welche Eigenschaften der äusseren Dinge
bedeuten. Es liegt die Frage nahe, ob man die einzelnen Zahlen auch so
auffassen müsse, und ob demgemäss der Begriff der Anzahl etwa mit dem
der Farbe zusammengestellt werden könne.
Dies scheint die Meinung von _M. Cantor_[33] zu sein, wenn er die
Mathematik eine Erfahrungswissenschaft nennt, insofern sie von der
Betrachtung von Objecten der Aussenwelt ihren Anfang nehme. Nur durch
Abstraction von Gegenständen entstehe die Zahl.
_E. Schröder_[34] lässt die Zahl der Wirklichkeit nachgebildet, aus ihr
entnommen werden, indem die Einheiten durch Einer abgebildet würden.
Dies nennt er Abstrahiren der Zahl. Bei dieser Abbildung würden die
Einheiten nur in Hinsicht ihrer Häufigkeit dargestellt, indem von
allen andern Bestimmungen der Dinge als Farbe, Gestalt abgesehen
werde. Hier ist Häufigkeit nur ein anderer Ausdruck für Anzahl.
Schröder stellt also Häufigkeit oder Anzahl in eine Linie mit Farbe und
Gestalt und betrachtet sie als eine Eigenschaft der Dinge.
§ 22. _Baumann_[35] verwirft den Gedanken, dass die Zahlen von den
äussern Dingen abgezogene Begriffe seien: »Weil nämlich die äussern
Dinge uns keine strengen Einheiten darstellen; sie stellen uns
abgegränzte Gruppen oder sinnliche Punkte dar, aber wir haben die
Freiheit, diese selber wieder als Vieles zu betrachten«. In der That,
während ich nicht im Stande bin, durch blosse Auffassungsweise die
Farbe eines Dinges oder seine Härte im Geringsten zu verändern, kann
ich die Ilias als Ein Gedicht, als 24 Gesänge oder als eine grosse
Anzahl von Versen auffassen. Spricht man nicht in einem ganz andern
Sinne von 1000 Blättern als von grünen Blättern des Baumes? Die grüne
Farbe legen wir jedem Blatte bei, nicht so die Zahl 1000. Wir können
alle Blätter des Baumes unter dem Namen seines Laubes zusammenfassen.
Auch dieses ist grün, aber nicht 1000. Wem kommt nun eigentlich die
Eigenschaft 1000 zu? Fast scheint es weder dem einzelnen Blatte noch
der Gesammtheit; vielleicht gar nicht eigentlich den Dingen der
Aussenwelt? Wenn ich jemandem einen Stein gebe mit den Worten: bestimme
das Gewicht hiervon, so habe ich ihm damit den ganzen Gegenstand seiner
Untersuchung gegeben. Wenn ich ihm aber einen Pack Spielkarten in die
Hand gebe mit den Worten: bestimme die Anzahl hiervon, so weiss er
nicht, ob ich die Zahl der Karten oder der vollständigen Spiele oder
etwa der Wertheinheiten beim Skatspiele erfahren will. Damit, dass
ich ihm den Pack in die Hand gebe, habe ich ihm den Gegenstand seiner
Untersuchung noch nicht vollständig gegeben; ich muss ein Wort:
Karte, Spiel, Wertheinheit hinzufügen. Man kann auch nicht sagen, dass
die verschiedenen Zahlen hier so wie die verschiedenen Farben neben
einander bestehen. Auf die einzelne farbige Fläche kann ich hindeuten,
ohne ein Wort zu sagen, nicht so auf die einzelne Zahl. Wenn ich einen
Gegenstand mit demselben Rechte grün und roth nennen kann, so ist das
ein Zeichen, dass dieser Gegenstand nicht der eigentliche Träger des
Grünen ist. Diesen habe ich erst in einer Fläche, die nur grün ist.
So ist auch ein Gegenstand, dem ich mit demselben Rechte verschiedene
Zahlen zuschreiben kann, nicht der eigentliche Träger einer Zahl.
Ein wesentlicher Unterschied zwischen Farbe und Anzahl besteht
demnach darin, dass die blaue Farbe einer Fläche unabhängig von
unserer Willkühr zukommt. Sie ist ein Vermögen, gewisse Lichtstrahlen
zurückzuwerfen, andere mehr oder weniger zu verschlucken, und daran
kann unsere Auffassung nicht das Geringste ändern. Dagegen kann ich
nicht sagen, dass dem Pack Spielkarten die Anzahl 1 oder 100 oder
irgend eine andere an sich zukomme, sondern höchstens in Bezug auf
unsere willkührliche Auffassungsweise, und dann auch nicht so, dass
wir ihm die Anzahl einfach als Praedicat beilegen könnten. Was wir ein
vollständiges Spiel nennen wollen, ist offenbar eine willkührliche
Festsetzung und der Pack Spielkarten weiss nichts davon. Indem wir ihn
aber in dieser Hinsicht betrachten, entdecken wir vielleicht, dass wir
ihn zwei vollständige Spiele nennen können. Jemand, der nicht wüsste,
was man ein vollständiges Spiel nennt, würde wahrscheinlich irgend eine
andere Anzahl eher an ihm herausfinden, als grade die Zwei.
§ 23. Die Frage, wem die Zahl als Eigenschaft zukomme, beantwortet
_Mill_[36] so:
»Der Name einer Zahl bezeichnet eine Eigenschaft, die dem Aggregat
von Dingen angehört, welche wir mit dem Namen benennen; und diese
Eigenschaft ist die charakteristische Weise, in welcher das Aggregat
zusammengesetzt ist oder in Theile zerlegt werden kann.«
Hier ist zunächst der bestimmte Artikel in dem Ausdrucke »die
charakteristische Weise« ein Fehler; denn es giebt sehr verschiedene
Weisen, wie man ein Aggregat zerlegen kann, und man kann nicht sagen,
dass Eine allein charakteristisch wäre. Ein Bündel Stroh kann z.
B. so zerlegt werden, dass man alle Halme durchschneidet, oder so,
dass man es in einzelne Halme auflöst, oder so dass man zwei Bündel
daraus macht. Ist denn ein Haufe von hundert Sandkörnern ebenso
zusammengesetzt wie ein Bündel von 100 Strohhalmen? und doch hat man
dieselbe Zahl. Das Zahlwort »Ein« in dem Ausdruck »Ein Strohhalm«
drückt doch nicht aus, wie dieser Halm aus Zellen oder aus Molekeln
zusammengesetzt ist. Noch mehr Schwierigkeit macht die Zahl 0. Müssen
denn die Strohhalme überhaupt ein Bündel bilden, um gezählt werden
zu können? Muss man die Blinden im Deutschen Reiche durchaus in
einer Versammlung vereinigen, damit der Ausdruck »Zahl der Blinden
im Deutschen Reiche« einen Sinn habe? Sind tausend Weizenkörner,
nachdem sie ausgesäet sind, nicht mehr tausend Weizenkörner? Giebt
es eigentlich Aggregate von Beweisen eines Lehrsatzes oder von
Ereignissen? und doch kann man auch diese zählen. Dabei ist es
gleichgiltig, ob die Ereignisse gleichzeitig oder durch Jahrtausende
getrennt sind.
§ 24. Damit kommen wir auf einen andern Grund, die Zahl nicht mit Farbe
und Festigkeit zusammenzustellen: die bei weitem grössere Anwendbarkeit.
_Mill_[37] meint, die Wahrheit, dass, was aus Theilen zusammengesetzt
ist, aus Theilen dieser Theile zusammengesetzt ist, sei von allen
Naturerscheinungen giltig, weil alle gezählt werden könnten. Aber
kann nicht noch weit mehr gezählt werden? _Locke_[38] sagt: »Die Zahl
findet Anwendung auf Menschen, Engel, Handlungen, Gedanken, jedes Ding,
das existirt oder vorgestellt werden kann«. _Leibniz_[39] verwirft
die Meinung der Scholastiker, dass die Zahl auf unkörperliche Dinge
unanwendbar sei, und nennt die Zahl gewissermaassen eine unkörperliche
Figur, entstanden aus der Vereinigung irgendwelcher Dinge, z. B.
Gottes, eines Engels, eines Menschen, der Bewegung, welche zusammen
vier sind. Daher, meint er, ist die Zahl etwas ganz Allgemeines und
zur Metaphysik gehörig. An einer andern Stelle[40] sagt er: »Gewogen
kann nicht werden, was nicht Kraft und Vermögen hat; was keine Theile
hat, hat demgemäss kein Maass; aber es giebt nichts, was nicht die Zahl
zulässt. So ist die Zahl gleichsam die metaphysische Figur«.
Es wäre in der That wunderbar, wenn eine, von äussern Dingen
abstrahirte Eigenschaft, auf Ereignisse, auf Vorstellungen, auf
Begriffe ohne Aenderung des Sinnes übertragen werden könnte. Es wäre
grade so, als ob man von einem schmelzbaren Ereignisse, einer blauen
Vorstellung, einem salzigen Begriffe, einem zähen Urtheile reden wollte.
Es ist ungereimt, dass an Unsinnlichem vorkomme, was seiner Natur nach
sinnlich ist. Wenn wir eine blaue Fläche sehen, so haben wir einen
eigenthümlichen Eindruck, der dem Worte »blau« entspricht; und diesen
erkennen wir wieder, wenn wir eine andere blaue Fläche erblicken.
Wollten wir annehmen, dass in derselben Weise beim Anblick eines
Dreiecks etwas Sinnliches dem Worte »drei« entspräche, so müssten wir
dies auch in drei Begriffen wiederfinden; etwas Unsinnliches würde
etwas Sinnliches an sich haben. Man kann wohl zugeben, dass dem Worte
»dreieckig« eine Art sinnlicher Eindrücke entspreche, aber man muss
dabei dies Wort als Ganzes nehmen. Die Drei darin sehen wir nicht
unmittelbar; sondern wir sehen etwas, woran eine geistige Thätigkeit
anknüpfen kann, welche zu einem Urtheile führt, in dem die Zahl 3
vorkommt. Womit nehmen wir denn etwa die Anzahl der Schlussfiguren
wahr, die Aristoteles aufstellt? etwa mit den Augen? wir sehen
höchstens gewisse Zeichen für diese Schlussfiguren, nicht sie selbst.
Wie sollen wir ihre Anzahl sehen können, wenn sie selbst unsichtbar
bleiben? Aber, meint man vielleicht, es genügt, die Zeichen zu sehen;
deren Zahl ist gleich der Zahl der Schlussfiguren. Woher weiss man denn
das? Dazu muss man doch schon auf andere Weise die letztere bestimmt
haben. Oder ist der Satz »die Anzahl der Schlussfiguren ist vier« nur
ein anderer Ausdruck für »die Anzahl der Zeichen der Schlussfiguren
ist vier«? Nein! von den Zeichen soll nichts ausgesagt werden; von
den Zeichen will niemand etwas wissen, wenn nicht deren Eigenschaft
zugleich eine des Bezeichneten ausdrückt. Da ohne logischen Fehler
dasselbe verschiedene Zeichen haben kann, braucht nicht einmal die Zahl
der Zeichen mit der des Bezeichneten übereinzustimmen.
§ 25. Während für _Mill_ die Zahl etwas Physikalisches ist, besteht
sie für _Locke_ und _Leibniz_ nur in der Idee. In der That sind, wie
_Mill_[41] sagt, zwei Aepfel von drei Aepfeln, zwei Pferde von einem
Pferd physikalisch verschieden, ein davon verschiedenes sichtliches
und fühlbares Phänomen[42]. Aber ist daraus zu schliessen, dass die
Zweiheit, Dreiheit, etwas Physikalisches ist? Ein Paar Stiefel kann
dieselbe sichtbare und fühlbare Erscheinung sein, wie _zwei_ Stiefel.
Hier haben wir einen Zahlenunterschied, dem kein physikalischer
entspricht; denn _zwei_ und _Ein Paar_ sind keineswegs dasselbe,
wie _Mill_ sonderbarer Weise zu glauben scheint. Wie ist es endlich
möglich, dass sich zwei Begriffe von drei Begriffen physikalisch
unterscheiden?
So sagt _Berkeley_[43]: »Es ist zu bemerken, dass die Zahl nichts Fixes
und Festgestelltes ist, was realiter in den Dingen selber existirte.
Sie ist gänzlich Geschöpf des Geistes, wenn er entweder eine Idee
an sich oder eine Combination von Ideen betrachtet, der er einen
Namen geben will und sie so für eine Einheit gelten lässt. Jenachdem
der Geist seine Ideen variirend combinirt, variirt die Einheit, und
wie die Einheit so variirt auch die Zahl, welche nur eine Sammlung
von Einheiten ist. Ein Fenster = 1; ein Haus, in dem viele Fenster
sind, = 1; viele Häuser machen Eine Stadt aus.«
Ist die Zahl etwas Subjectives?
§ 26. In diesem Gedankengange kommt man leicht dazu, die Zahl für
etwas Subjectives anzusehen. Es scheint die Weise, wie die Zahl in
uns entsteht, über ihr Wesen Aufschluss geben zu können. Auf eine
psychologische Untersuchung also würde es dann ankommen. In diesem
Sinne sagt wohl _Lipschitz_[44]:
»Wer über gewisse Dinge einen Ueberblick gewinnen will, der wird mit
einem bestimmten Dinge beginnen und immer ein neues Ding den früheren
hinzufügen«. Dies scheint viel besser darauf zu passen, wie wir etwa
die Anschauung eines Sternbildes erhalten, als auf die Zahlbildung.
Die Absicht, einen Ueberblick zu gewinnen, ist unwesentlich; denn man
wird kaum sagen können, dass eine Herde übersichtlicher wird, wenn man
erfährt, aus wieviel Häuptern sie besteht.
Eine solche Beschreibung der innern Vorgänge, die der Fällung eines
Zahlurtheils vorhergehen, kann nie, auch wenn sie zutreffender ist,
eine eigentliche Begriffsbestimmung ersetzen. Sie wird nie zum Beweise
eines arithmetischen Satzes herangezogen werden können; wir erfahren
durch sie keine Eigenschaft der Zahlen. Denn die Zahl ist so wenig ein
Gegenstand der Psychologie oder ein Ergebniss psychischer Vorgänge,
wie es etwa die Nordsee ist. Der Objectivität der Nordsee thut es
keinen Eintrag, dass es von unserer Willkühr abhängt, welchen Theil
der allgemeinen Wasserbedeckung der Erde wir abgrenzen und mit dem
Namen »Nordsee« belegen wollen. Das ist kein Grund, dies Meer auf
psychologischem Wege erforschen zu wollen. So ist auch die Zahl etwas
Objectives. Wenn man sagt »die Nordsee ist 10,000 Quadratmeilen gross,«
so deutet man weder durch »Nordsee« noch durch »10,000« auf einen
Zustand oder Vorgang in seinem Innern hin, sondern man behauptet etwas
ganz Objectives, was von unsern Vorstellungen und dgl. unabhängig ist.
Wenn wir etwa ein ander Mal die Grenzen der Nordsee etwas anders ziehen
oder unter »10,000« etwas Anderes verstehen wollten, so würde nicht
derselbe Inhalt falsch, der vorher richtig war; sondern an die Stelle
eines wahren Inhalts wäre vielleicht ein falscher geschoben, wodurch
die Wahrheit jenes ersteren in keiner Weise aufgehoben würde.
Der Botaniker will etwas ebenso Thatsächliches sagen, wenn er die
Anzahl der Blumenblätter einer Blume, wie wenn er ihre Farbe angiebt.
Das eine hängt so wenig wie das andere von unserer Willkühr ab. Eine
gewisse Aehnlichkeit der Anzahl und der Farbe ist also da; aber
diese besteht nicht darin, dass beide an äusseren Dingen sinnlich
wahrnehmbar, sondern darin, dass beide objectiv sind.
Ich unterscheide das Objective von dem Handgreiflichen, Räumlichen,
Wirklichen. Die Erdaxe, der Massenmittelpunkt des Sonnensystems sind
objectiv, aber ich möchte sie nicht wirklich nennen, wie die Erde
selbst. Man nennt den Aequator oft eine _gedachte_ Linie; aber es wäre
falsch, ihn eine _erdachte_ Linie zu nennen; er ist nicht durch Denken
entstanden, das Ergebniss eines seelischen Vorgangs, sondern nur durch
Denken erkannt, ergriffen. Wäre das Erkanntwerden ein Entstehen, so
könnten wir nichts Positives von ihm aussagen in Bezug auf eine Zeit,
die diesem vorgeblichen Entstehen vorherginge.
Der Raum gehört nach Kant der Erscheinung an. Es wäre möglich, dass
er andern Vernunftwesen sich ganz anders als uns darstellte. Ja, wir
können nicht einmal wissen, ob er dem einen Menschen so wie dem andern
erscheint; denn wir können die Raumanschauung des einen nicht neben
die des andern legen, um sie zu vergleichen. Aber dennoch ist darin
etwas Objectives enthalten; Alle erkennen dieselben geometrischen
Axiome, wenn auch nur durch die That, an und müssen es, um sich in
der Welt zurechtzufinden. Objectiv ist darin das Gesetzmässige,
Begriffliche, Beurtheilbare, was sich in Worten ausdrücken lässt. Das
rein Anschauliche ist nicht mittheilbar. Nehmen wir zur Verdeutlichung
zwei Vernunftwesen an, denen nur die projectivischen Eigenschaften
und Beziehungen anschaulich sind: das Liegen von drei Punkten in
einer Gerade, von vier Punkten in einer Ebene u. s. w.; es möge dem
einen das als Ebene erscheinen, was das andere als Punkt anschaut und
umgekehrt. Was dem einen die Verbindungslinie von Punkten ist, möge
dem andern die Schnittkante von Ebenen sein u. s. w. immer dualistisch
entsprechend. Dann könnten sie sich sehr wohl mit einander verständigen
und würden die Verschiedenheit ihres Anschauens nie gewahr werden,
weil in der projectivischen Geometrie jedem Lehrsatze ein anderer
dualistisch gegenübersteht; denn das Abweichen in einer ästhetischen
Werthschätzung würde kein sicheres Zeichen sein. In Bezug auf alle
geometrische Lehrsätze wären sie völlig im Einklange; sie würden sich
nur die Wörter in ihre Anschauung verschieden übersetzen. Mit dem Worte
»Punkt« verbände etwa das eine diese, das andere jene Anschauung.
So kann man immerhin sagen, dass ihnen dies Wort etwas Objectives
bedeute; nur darf man unter dieser Bedeutung nicht das Besondere ihrer
Anschauung verstehn. Und in diesem Sinne ist auch die Erdaxe objectiv.
Man denkt gewöhnlich bei »weiss« an eine gewisse Empfindung,
die natürlich ganz subjectiv ist; aber schon im gewöhnlichen
Sprachgebrauche, scheint mir, tritt ein objectiver Sinn vielfach
hervor. Wenn man den Schnee weiss nennt, so will man eine objective
Beschaffenheit ausdrücken, die man beim gewöhnlichen Tageslicht an
einer gewissen Empfindung erkennt. Wird er farbig beleuchtet, so
bringt man das bei der Beurtheilung in Anschlag. Man sagt vielleicht:
er _erscheint_ jetzt roth, aber er ist weiss. Auch der Farbenblinde
kann von roth und grün reden, obwohl er diese Farben in der Empfindung
nicht unterscheidet. Er erkennt den Unterschied daran, dass Andere
ihn machen, oder vielleicht durch einen physikalischen Versuch. So
bezeichnet das Farbenwort oft nicht unsere subjective Empfindung,
von der wir nicht wissen können, dass sie mit der eines Andern
übereinstimmt -- denn offenbar verbürgt das die gleiche Benennung
keineswegs -- sondern eine objective Beschaffenheit. So verstehe ich
unter Objectivität eine Unabhängigkeit von unserm Empfinden, Anschauen
und Vorstellen, von dem Entwerfen innerer Bilder aus den Erinnerungen
früherer Empfindungen, aber nicht eine Unabhängigkeit von der Vernunft;
denn die Frage beantworten, was die Dinge unabhängig von der Vernunft
sind, hiesse urtheilen, ohne zu urtheilen, den Pelz waschen, ohne ihn
nass zu machen.
§ 27. Deswegen kann ich auch _Schloemilch_[45] nicht zustimmen, der
die Zahl Vorstellung der Stelle eines Objects in einer Reihe nennt[46].
Wäre die Zahl eine Vorstellung, so wäre die Arithmetik Psychologie.
Das ist sie so wenig, wie etwa die Astronomie es ist. Wie sich diese
nicht mit den Vorstellungen der Planeten, sondern mit den Planeten
selbst beschäftigt, so ist auch der Gegenstand der Arithmetik keine
Vorstellung. Wäre die Zwei eine Vorstellung, so wäre es zunächst nur
die meine. Die Vorstellung eines Andern ist schon als solche eine
andere. Wir hätten dann vielleicht viele Millionen Zweien. Man müsste
sagen: meine Zwei, deine Zwei, eine Zwei, alle Zweien. Wenn man latente
oder unbewusste Vorstellungen annimmt, so hätte man auch unbewusste
Zweien, die dann später wieder bewusste würden. Mit den heranwachsenden
Menschen entständen immer neue Zweien, und wer weiss, ob sie sich nicht
in Jahrtausenden so veränderten, dass 2 × 2 = 5 würde. Trotzdem wäre
es zweifelhaft, ob es, wie man gewöhnlich meint, unendlich viele Zahlen
gäbe. Vielleicht wäre 10^{10} nur ein leeres Zeichen, und es gäbe gar
keine Vorstellung, in irgendeinem Wesen, die so benannt werden könnte.
Wir sehen, zu welchen Wunderlichkeiten es führt, wenn man den Gedanken
etwas weiter ausspinnt, dass die Zahl eine Vorstellung sei. Und wir
kommen zu dem Schlusse, dass die Zahl weder räumlich und physikalisch
ist, wie Mills Haufen von Kieselsteinen und Pfeffernüssen, noch auch
subjectiv wie die Vorstellungen, sondern unsinnlich und objectiv. Der
Grund der Objectivität kann ja nicht in dem Sinneseindrucke liegen, der
als Affection unserer Seele ganz subjectiv ist, sondern, soweit ich
sehe, nur in der Vernunft.
Es wäre wunderbar, wenn die allerexacteste Wissenschaft sich auf die
noch zu unsicher tastende Psychologie stützen sollte.
Die Anzahl als Menge.
§ 28. Einige Schriftsteller erklären die Anzahl als eine Menge,
Vielheit oder Mehrheit. Ein Uebelstand besteht hierbei darin, dass die
Zahlen 0 und 1 von dem Begriffe ausgeschlossen werden. Jene Ausdrücke
sind recht unbestimmt: bald nähern sie sich mehr der Bedeutung von
»Haufe,« »Gruppe,« »Aggregat« -- wobei an ein räumliches Zusammensein
gedacht wird -- bald werden sie fast gleichbedeutend mit »Anzahl«
gebraucht, nur unbestimmter. Eine Auseinanderlegung des Begriffes der
Anzahl kann darum in einer solchen Erklärung nicht gefunden werden.
_Thomae_[47] verlangt zur Bildung der Zahl, dass verschiedenen
Objectenmengen verschiedene Namen gegeben werden. Damit ist offenbar
eine schärfere Bestimmung jener Objectenmengen gemeint, für welche
die Namengebung nur das äussere Zeichen ist. Welcher Art nun diese
Bestimmung sei, das ist die Frage. Es würde offenbar die Idee der Zahl
nicht entstehen, wenn man für »3 Sterne,« »3 Finger,« »7 Sterne« Namen
einführen wollte, in denen keine gemeinsamen Bestandtheile erkennbar
wären. Es kommt nicht darauf an, dass überhaupt Namen gegeben werden,
sondern dass für sich bezeichnet werde, was Zahl daran ist. Dazu ist
nöthig, dass es in seiner Besonderheit erkannt sei.
Noch ist folgende Verschiedenheit zu beachten. Einige nennen die Zahl
eine Menge von Dingen oder Gegenständen; Andere wie schon _Euklid_[48],
erklären sie als eine Menge von Einheiten. Dieser Ausdruck bedarf einer
besondern Erörterung.