2 + (1 + 1) = (2 + 1) + 1,
der ein besonderer Fall von
a + (b + c) = (a + b) + c
ist. Setzt man dies Gesetz voraus, so sieht man leicht, dass jede
Formel des Einsundeins so bewiesen werden kann. Es ist dann jede Zahl
aus der vorhergehenden zu definiren. In der That sehe ich nicht, wie
uns etwa die Zahl 437986 angemessener gegeben werden könnte als in der
leibnizischen Weise. Wir bekommen sie so, auch ohne eine Vorstellung
von ihr zu haben, doch in unsere Gewalt. Die unendliche Menge der
Zahlen wird durch solche Definitionen auf die Eins und die Vermehrung
um eins zurückgeführt, und jede der unendlich vielen Zahlformeln kann
aus einigen allgemeinen Sätzen bewiesen werden.
Dies ist auch die Meinung von _H. Grassmann_ und _H. Hankel_. Jener
will das Gesetz
a + (b + 1) = (a + b) + 1
durch eine Definition gewinnen, indem er sagt[13]:
»Wenn a und b beliebige Glieder der Grundreihe sind, so versteht man
unter der Summe a + b dasjenige Glied der Grundreihe, für welches die
Formel
a + (b + e) = a + b + e
gilt.«
Hierbei soll e die positive Einheit bedeuten. Gegen diese Erklärung
lässt sich zweierlei einwenden. Zunächst wird die Summe durch sich
selbst erklärt. Wenn man noch nicht weiss, was a + b bedeuten soll,
versteht man auch den Ausdruck a + (b + e) nicht. Aber dieser
Einwand lässt sich vielleicht dadurch beseitigen, dass man freilich
im Widerspruch mit dem Wortlaute sagt, nicht die Summe, sondern die
Addition solle erklärt werden. Dann würde immer noch eingewendet werden
können, dass a + b ein leeres Zeichen wäre, wenn es kein Glied der
Grundreihe oder deren mehre von der verlangten Art gäbe. Dass dies
nicht statthabe, setzt _Grassmann_ einfach voraus, ohne es zu beweisen,
sodass die Strenge nur scheinbar ist.
§ 7. Man sollte denken, dass die Zahlformeln synthetisch oder
analytisch, aposteriori oder apriori sind, je nachdem die allgemeinen
Gesetze es sind, auf die sich ihr Beweis stützt. Dem steht jedoch die
Meinung _John Stuart Mill_'s entgegen. Zwar scheint er zunächst wie
_Leibniz_ die Wissenschaft auf Definitionen gründen zu wollen,[14] da
er die einzelnen Zahlen wie dieser erklärt; aber sein Vorurtheil, dass
alles Wissen empirisch sei, verdirbt sofort den richtigen Gedanken
wieder. Er belehrt uns nämlich,[15] dass jene Definitionen keine
im logischen Sinne seien, dass sie nicht nur die Bedeutung eines
Ausdruckes festsetzen, sondern damit auch eine beobachtete Thatsache
behaupten. Was in aller Welt mag die beobachtete oder, wie _Mill_ auch
sagt, physikalische Thatsache sein, die in der Definition der Zahl
777864 behauptet wird? Von dem ganzen Reichthume an physikalischen
Thatsachen, der sich hier vor uns aufthut, nennt uns _Mill_ nur eine
einzige, die in der Definition der Zahl 3 behauptet werden soll. Sie
besteht nach ihm darin, dass es Zusammenfügungen von Gegenständen
giebt, welche, während sie diesen Eindruck ⁰₀⁰ auf die Sinne machen, in
zwei Theile getrennt werden können, wie folgt: ∘∘ ∘. Wie gut doch, dass
nicht Alles in der Welt niet- und nagelfest ist; dann könnten wir diese
Trennung nicht vornehmen, und 2 + 1 wäre nicht 3! Wie schade, dass
_Mill_ nicht auch die physikalischen Thatsachen abgebildet hat, welche
den Zahlen 0 und 1 zu Grunde liegen!
_Mill_ fährt fort: »Nachdem dieser Satz zugegeben ist, nennen wir
alle dergleichen Theile 3«. Man erkennt hieraus, dass es eigentlich
unrichtig ist, wenn die Uhr drei schlägt, von drei Schlägen zu
sprechen, oder süss, sauer, bitter drei Geschmacksempfindungen zu
nennen; ebensowenig ist der Ausdruck »drei Auflösungsweisen einer
Gleichung« zu billigen; denn man hat niemals davon den sinnlichen
Eindruck wie von ⁰₀⁰.
Nun sagt _Mill_: »Die Rechnungen folgen nicht aus der Definition
selbst, sondern aus der beobachteten Thatsache.« Aber wo hätte sich
_Leibniz_ in dem oben mitgetheilten Beweise des Satzes 2 + 2 = 4 auf
die erwähnte Thatsache berufen sollen? _Mill_ unterlässt es die Lücke
nachzuweisen, obwohl er einen dem leibnizischen ganz entsprechenden
Beweis des Satzes 5 + 2 = 7 giebt.[16] Die wirklich vorhandene Lücke,
die in dem Weglassen der Klammern liegt, übersieht er wie _Leibniz_.
Wenn wirklich die Definition jeder einzelnen Zahl eine besondere
physikalische Thatsache behauptete, so würde man einen Mann, der mit
neunziffrigen Zahlen rechnet, nicht genug wegen seines physikalischen
Wissens bewundern können. Vielleicht geht indessen _Mill_'s Meinung
nicht dahin, dass alle diese Thatsachen einzeln beobachtet werden
müssten, sondern es genüge, durch Induction ein allgemeines Gesetz
abgeleitet zu haben, in dem sie sämmtlich eingeschlossen seien. Aber
man versuche, dies Gesetz auszusprechen, und man wird finden, dass
es unmöglich ist. Es reicht nicht hin, zu sagen: es giebt grosse
Sammlungen von Dingen, die zerlegt werden können; denn damit ist nicht
gesagt, dass es so grosse Sammlungen und von der Art giebt, wie zur
Definition etwa der Zahl 1000000 erfordert werden, und die Weise der
Theilung ist auch nicht genauer angegeben. Die millsche Auffassung
führt nothwendig zu der Forderung, dass für jede Zahl eine Thatsache
besonders beobachtet werde, weil in einem allgemeinen Gesetze grade das
Eigenthümliche der Zahl 1000000, das zu deren Definition nothwendig
gehört, verloren gehen würde. Man dürfte nach _Mill_ in der That nicht
setzen 1000000 = 999999 + 1, wenn man nicht grade diese eigenthümliche
Weise der Zerlegung einer Sammlung von Dingen beobachtet hätte, die von
der irgendeiner andern Zahl zukommenden verschieden ist.
§ 8. _Mill_ scheint zu meinen, dass die Definitionen 2 = 1 + 1,
3 = 2 + 1, 4 = 3 + 1 u. s. w. nicht gemacht werden dürften, ehe nicht
die von ihm erwähnten Thatsachen beobachtet wären. In der That darf man
die 3 nicht als (2 + 1) definiren, wenn man mit (2 + 1) gar keinen Sinn
verbindet. Es fragt sich aber, ob es dazu nöthig ist, jene Sammlung und
ihre Trennung zu beobachten. Räthselhaft wäre dann die Zahl 0; denn bis
jetzt hat wohl niemand 0 Kieselsteine gesehen oder getastet. _Mill_
würde gewiss die 0 für etwas Sinnloses, für eine blosse Redewendung
erklären; die Rechnungen mit 0 würden ein blosses Spiel mit leeren
Zeichen sein, und es wäre nur wunderbar, wie etwas Vernünftiges dabei
herauskommen könnte. Wenn aber diese Rechnungen eine ernste Bedeutung
haben, so kann auch das Zeichen 0 selber nicht ganz sinnlos sein. Und
es zeigt sich die Möglichkeit, dass 2 + 1 in ähnlicher Weise wie die 0,
einen Sinn auch dann noch haben könnte, wenn die von _Mill_ erwähnte
Thatsache nicht beobachtet wäre. Wer will in der That behaupten, dass
die in der Definition einer 18ziffrigen Zahl nach _Mill_ enthaltene
Thatsache je beobachtet sei, und wer will leugnen, dass ein solches
Zahlzeichen trotzdem einen Sinn habe?
Vielleicht meint man, es würden die physikalischen Thatsachen nur für
die kleineren Zahlen etwa bis 10 gebraucht, indem die übrigen aus
diesen zusammengesetzt werden könnten. Aber, wenn man 11 aus 10 und
1 blos durch Definition bilden kann, ohne die entsprechende Sammlung
gesehen zu haben, so ist kein Grund, weshalb man nicht auch die 2 aus
1 und 1 so zusammensetzen kann. Wenn die Rechnungen mit der Zahl 11
nicht aus einer für diese bezeichnenden Thatsache folgen, wie kommt es,
dass die Rechnungen mit der 2 sich auf die Beobachtung einer gewissen
Sammlung und deren eigentümlicher Trennung stützen müssen?
Man fragt vielleicht, wie die Arithmetik bestehen könne, wenn wir durch
die Sinne gar keine oder nur drei Dinge unterscheiden könnten. Für
unsere Kenntniss der arithmetischen Sätze und deren Anwendungen würde
ein solcher Zustand gewiss etwas Missliches haben, aber auch für ihre
Wahrheit? Wenn man einen Satz empirisch nennt, weil wir Beobachtungen
gemacht haben müssen, um uns seines Inhalts bewusst zu werden, so
gebraucht man das Wort »empirisch« nicht in dem Sinne, dass es dem
»apriori« entgegengesetzt ist. Man spricht dann eine psychologische
Behauptung aus, die nur den Inhalt des Satzes betrifft; ob dieser
wahr sei, kommt dabei nicht in Betracht. In dem Sinne sind auch alle
Geschichten Münchhausens empirisch; denn gewiss muss man mancherlei
beobachtet haben, um sie erfinden zu können.
Sind die Gesetze der Arithmetik inductive Wahrheiten?
§ 9. Die bisherigen Erwägungen machen es wahrscheinlich, dass die
Zahlformeln allein aus den Definitionen der einzelnen Zahlen mittels
einiger allgemeinen Gesetze ableitbar sind, dass diese Definitionen
beobachtete Thatsachen weder behaupten noch zu ihrer Rechtmässigkeit
voraussetzen. Es kommt also darauf an, die Natur jener Gesetze zu
erkennen.
_Mill_[17] will zu seinem vorhin erwähnten Beweise der Formel 5 + 2 = 7
den Satz »was aus Theilen zusammengesetzt ist, ist aus Theilen von
diesen Theilen zusammengesetzt« benutzen. Dies hält er für einen
charakteristischern Ausdruck des sonst in der Form »die Summen von
Gleichem sind gleich« bekannten Satzes. Er nennt ihn inductive Wahrheit
und Naturgesetz von der höchsten Ordnung. Für die Ungenauigkeit seiner
Darstellung ist es bezeichnend, dass er diesen Satz gar nicht an der
Stelle des Beweises heranzieht, wo er nach seiner Meinung unentbehrlich
ist; doch scheint es, dass seine inductive Wahrheit _Leibnizens_ Axiom
vertreten soll: »wenn man Gleiches an die Stelle setzt, bleibt die
Gleichung bestehen.« Aber um arithmetische Wahrheiten Naturgesetze
nennen zu können, legt _Mill_ einen Sinn hinein, den sie nicht haben.
Er meint z. B.[18] die Gleichung 1 = 1 könne falsch sein, weil ein
Pfundstück nicht immer genau das Gewicht eines andern habe. Aber das
will der Satz 1 = 1 auch gar nicht behaupten.
_Mill_ versteht das + Zeichen so, dass dadurch die Beziehung der
Theile eines physikalischen Körpers oder eines Haufens zu dem Ganzen
ausgedrückt werde; aber das ist nicht der Sinn dieses Zeichens.
5 + 2 = 7 bedeutet nicht, dass wenn man zu 5 Raumtheilen Flüssigkeit 2
Raumtheile Flüssigkeit giesst, man 7 Raumtheile Flüssigkeit erhalte,
sondern dies ist eine Anwendung jenes Satzes, die nur statthaft ist,
wenn nicht infolge etwa einer chemischen Einwirkung eine Volumänderung
eintritt. _Mill_ verwechselt immer Anwendungen, die man von einem
arithmetischen Satze machen kann, welche oft physikalisch sind
und beobachtete Thatsachen zur Voraussetzung haben, mit dem rein
mathematischen Satze selber. Das Pluszeichen kann zwar in manchen
Anwendungen einer Haufenbildung zu entsprechen scheinen; aber dies ist
nicht seine Bedeutung; denn bei andern Anwendungen kann von Haufen,
Aggregaten, dem Verhältnisse eines physikalischen Körpers zu seinen
Theilen keine Rede sein, z. B. wenn man die Rechnung auf Ereignisse
bezieht. Zwar kann man auch hier von Theilen sprechen; dann gebraucht
man das Wort aber nicht im physikalischen oder geometrischen, sondern
im logischen Sinne, wie wenn man die Ermordungen von Staatsoberhäuptern
einen Theil der Morde überhaupt nennt. Hier hat man die logische
Unterordnung. Und so entspricht auch die Addition im Allgemeinen nicht
einem physikalischen Verhältnisse. Folglich können auch die allgemeinen
Additionsgesetze nicht Naturgesetze sein.
§ 10. Aber sie könnten vielleicht dennoch inductive Wahrheiten sein.
Wie wäre das zu denken? Von welchen Thatsachen soll man ausgehen, um
sich zum Allgemeinen zu erheben? Dies können wohl nur die Zahlformeln
sein. Damit verlören wir freilich den Vortheil wieder, den wir durch
die Definitionen der einzelnen Zahlen gewonnen haben, und wir müssten
uns nach einer andern Begründungsweise der Zahlformeln umsehen. Wenn
wir uns nun auch über dies nicht ganz leichte Bedenken hinwegsetzen,
so finden wir doch den Boden für die Induction ungünstig; denn hier
fehlt jene Gleichförmigkeit, welche sonst diesem Verfahren eine grosse
Zuverlässigkeit geben kann. Schon _Leibniz_[19] lässt dem Philalèthe
auf seine Behauptung:
»Die verschiedenen Modi der Zahl sind keiner andern Verschiedenheit
fähig, als des mehr oder weniger; daher sind es einfache Modi wie
die des Raumes«
antworten:
»Das kann man von der Zeit und der geraden Linie sagen, aber
keinesfalls von den Figuren und noch weniger von den Zahlen, die
nicht blos an Grösse verschieden, sondern auch unähnlich sind. Eine
gerade Zahl kann in zwei gleiche Theile getheilt werden und nicht eine
ungerade; 3 und 6 sind trianguläre Zahlen, 4 und 9 sind Quadrate, 8 ist
ein Cubus u. s. f.; und dies findet bei den Zahlen noch mehr statt als
bei den Figuren; denn zwei ungleiche Figuren können einander vollkommen
ähnlich sein, aber niemals zwei Zahlen.«
Wir haben uns zwar daran gewöhnt, die Zahlen in vielen Beziehungen
als gleichartig zu betrachten; das kommt aber nur daher, weil wir eine
Menge allgemeiner Sätze kennen, die von allen Zahlen gelten. Hier
müssen wir uns jedoch auf den Standpunkt stellen, wo noch keiner von
diesen anerkannt ist. In der That möchte es schwer sein, ein Beispiel
für einen Inductionsschluss zu finden, das unserem Falle entspräche.
Sonst kommt uns oft der Satz zu statten, dass jeder Ort im Raume und
jeder Zeitpunkt an und für sich so gut wie jeder andere ist. Ein Erfolg
muss an einem andern Orte und zu einer andern Zeit ebensogut eintreten,
wenn nur die Bedingungen dieselben sind. Das fällt hier hinweg, weil
die Zahlen raum- und zeitlos sind. Die Stellen in der Zahlenreihe sind
nicht gleichwerthig wie die Orte des Raumes.
Die Zahlen verhalten sich auch ganz anders als die Individuen etwa
einer Thierart, da sie eine durch die Natur der Sache bestimmte
Rangordnung haben, da jede auf eigne Weise gebildet ist und ihre
Eigenart hat, die besonders bei der 0, der 1 und der 2 hervortritt.
Wenn man sonst einen Satz in Bezug auf eine Gattung durch Induction
begründet, hat man gewöhnlich schon eine ganze Reihe gemeinsamer
Eigenschaften allein schon durch die Definition des Gattungsbegriffes.
Hier hält es schwer, nur eine einzige zu finden, die nicht selbst erst
nachzuweisen wäre.
Am leichtesten möchte sich unser Fall noch mit folgendem vergleichen
lassen. Man habe in einem Bohrloche eine mit der Tiefe regelmässig
zunehmende Temperatur bemerkt; man habe bisher sehr verschiedene
Gesteinsschichten angetroffen. Es ist dann offenbar aus den
Beobachtungen, die man an diesem Bohrloche gemacht hat, allein nichts
über die Beschaffenheit der tiefern Schichten zu schliessen, und ob die
Regelmässigkeit der Temperaturvertheilung sich weiter bewähren würde,
muss dahingestellt bleiben. Unter den Begriff »was bei fortgesetztem
Bohren angetroffen wird« fällt zwar das bisher Beobachtete wie das
Tieferliegende; aber das kann hier wenig nützen. Ebenso wenig wird es
uns bei den Zahlen nützen, dass sie sämmtlich unter den Begriff »was
man durch fortgesetzte Vermehrung um eins erhält« fallen. Man kann
eine Verschiedenheit der beiden Fälle darin finden, dass die Schichten
nur angetroffen werden, die Zahlen aber durch die fortgesetzte
Vermehrung um eins geradezu geschaffen und ihrem ganzen Wesen nach
bestimmt werden. Dies kann nur heissen, dass man aus der Weise, wie
eine Zahl, z. B. 8, durch Vermehrung um 1 entstanden ist, alle ihre
Eigenschaften ableiten kann. Damit giebt man im Grunde zu, dass die
Eigenschaften der Zahlen aus ihren Definitionen folgen, und es eröffnet
sich die Möglichkeit, die allgemeinen Gesetze der Zahlen aus der
allen gemeinsamen Entstehungsweise zu beweisen, während die besondern
Eigenschaften der einzelnen aus der besondern Weise zu folgern wären,
wie sie durch fortgesetzte Vermehrung um eins gebildet sind. So kann
man auch, was bei den Erdschichten, schon durch die Tiefe allein
bestimmt ist, in der sie getroffen werden, also ihre Lagenverhältnisse,
eben daraus schliessen, ohne dass man die Induction nöthig hätte; was
aber nicht dadurch bestimmt ist, kann auch die Induction nicht lehren.
Vermuthlich kann das Verfahren der Induction selbst nur mittels
allgemeiner Sätze der Arithmetik gerechtfertigt werden, wenn man
darunter nicht eine blosse Gewöhnung versteht. Diese hat nämlich
durchaus keine wahrheitverbürgende Kraft. Während das wissenschaftliche
Verfahren nach objectiven Maasstäben bald in einer einzigen Bestätigung
eine hohe Wahrscheinlichkeit begründet findet, bald tausendfaches
Eintreffen fast für werthlos erachtet, wird die Gewöhnung durch Zahl
und Stärke der Eindrücke und subjective Verhältnisse bestimmt, die
keinerlei Recht haben, auf das Urtheil Einfluss zu üben. Die Induction
muss sich auf die Lehre von der Wahrscheinlichkeit stützen, weil sie
einen Satz nie mehr als wahrscheinlich machen kann. Wie diese Lehre
aber ohne Voraussetzung arithmetischer Gesetze entwickelt werden könne,
ist nicht abzusehen.
§ 11. _Leibniz_[20] meint dagegen, dass die nothwendigen Wahrheiten,
wie man solche in der Arithmetik findet, Principien haben müssen, deren
Beweis nicht von den Beispielen und also nicht von dem Zeugnisse der
Sinne abhangt, wiewohl ohne die Sinne sich niemand hätte einfallen
lassen, daran zu denken. »Die ganze Arithmetik ist uns eingeboren und
in uns auf virtuelle Weise.« Wie er den Ausdruck »eingeboren« meint,
verdeutlicht eine andere Stelle[21]: »Es ist nicht wahr, dass alles,
was man lernt, nicht eingeboren sei; -- die Wahrheiten der Zahlen sind
in uns, und nichtsdestoweniger lernt man sie, sei es, indem man sie aus
ihrer Quelle zieht, wenn man sie auf beweisende Art lernt (was eben
zeigt, dass sie eingeboren sind), sei es ...«.
Sind die Gesetze der Arithmetik synthetisch apriori oder analytisch?
§ 12. Wenn man den Gegensatz von analytisch und synthetisch hinzunimmt,
ergeben sich vier Combinationen, von denen jedoch eine, nämlich
analytisch aposteriori
ausfällt. Wenn man sich mit _Mill_ für aposteriori entschieden hat,
bleibt also keine Wahl, sodass für uns nur noch die Möglichkeiten
synthetisch apriori
und
analytisch
zu erwägen bleiben. Für die erstere entscheidet sich _Kant_. In
diesem Falle bleibt wohl nichts übrig, als eine reine Anschauung
als letzten Erkenntnissgrund anzurufen, obwohl hier schwer zu sagen
ist, ob es eine räumliche oder zeitliche ist, oder welche es sonst
sein mag. _Baumann_[22] stimmt _Kant_, wenngleich mit etwas anderer
Begründung, bei. Auch nach _Lipschitz_[23] fliessen die Sätze,
welche die Unabhängigkeit der Anzahl von der Art des Zählens und
die Vertauschbarkeit und Gruppirbarkeit der Summanden behaupten,
aus der inneren Anschauung. _Hankel_[24] gründet die Lehre von
den reellen Zahlen auf drei Grundsätze, denen er den Charakter
der _notiones communes_ zuschreibt: »Sie werden durch Explication
vollkommen evident, gelten für alle Grössengebiete nach der reinen
Anschauung der Grösse und können, ohne ihren Charakter einzubüssen,
in Definitionen verwandelt werden, indem man sagt: Unter der Addition
von Grössen versteht man eine Operation, welche diesen Sätzen genügt.«
In der letzten Behauptung liegt eine Unklarheit. Vielleicht kann
man die Definition machen; aber sie kann keinen Ersatz für jene
Grundsätze bilden; denn bei der Anwendung würde es sich immer darum
handeln: sind die Anzahlen Grössen, und ist das, was man Addition
der Anzahlen zu nennen pflegt, Addition im Sinne dieser Definition?
Und zur Beantwortung müsste man jene Sätze von den Anzahlen schon
kennen. Ferner erregt der Ausdruck »reine Anschauung der Grösse«
Anstoss. Wenn man erwägt, was alles Grösse genannt wird: Anzahlen,
Längen, Flächeninhalte, Volumina, Winkel, Krümmungen, Massen,
Geschwindigkeiten, Kräfte, Lichtstärken, galvanische Stromstärken u.
s. f., so ist wohl zu verstehen, wie man dies einem Grössen_begriffe_
unterordnen kann; aber der Ausdruck »Anschauung der Grösse« und gar
»reine Anschauung der Grösse« kann nicht als zutreffend anerkannt
werden. Ich kann nicht einmal eine Anschauung von 100000 zugeben,
noch viel weniger von Zahl im Allgemeinen oder gar von Grösse im
Allgemeinen. Man beruft sich zu leicht auf innere Anschauung, wenn man
keinen andern Grund anzugeben vermag. Aber man sollte dabei den Sinn
des Wortes »Anschauung« doch nicht ganz aus dem Auge verlieren.
_Kant_ definirt in der Logik (ed. Hartenstein, VIII, S. 88):
»Die Anschauung ist eine einzelne Vorstellung (repraesentatio
singularis), der Begriff eine allgemeine (repraesentatio per notas
communes) oder reflectirte Vorstellung (repraesentatio discursiva).«
Hier kommt die Beziehung zur Sinnlichkeit gar nicht zum Ausdrucke,
die doch in der transcendentalen Aesthetik hinzugedacht wird, und
ohne welche die Anschauung nicht als Erkenntnissprincip für die
synthetischen Urtheile apriori dienen kann. In der Kr. d. r. V. (ed.
Hartenstein III, S. 55) heisst es:
»Vermittelst der Sinnlichkeit also werden uns Gegenstände gegeben und
sie allein liefert uns Anschauungen.«
Der Sinn unseres Wortes in der Logik ist demnach ein weiterer als in
der trancendentalen Aesthetik. Im logischen Sinne könnte man vielleicht
100000 eine Anschauung nennen; denn ein allgemeiner Begriff ist es
nicht. Aber in diesem Sinne genommen, kann die Anschauung nicht zur
Begründung der arithmetischen Gesetze dienen.
§ 13. Ueberhaupt wird es gut sein, die Verwandtschaft mit der Geometrie
nicht zu überschätzen. Ich habe schon eine leibnizische Stelle
dagegen angeführt. Ein geometrischer Punkt für sich betrachtet, ist
von irgendeinem andern gar nicht zu unterscheiden; dasselbe gilt von
Geraden und Ebenen. Erst wenn mehre Punkte, Gerade, Ebenen in einer
Anschauung gleichzeitig aufgefasst werden, unterscheidet man sie. Wenn
in der Geometrie allgemeine Sätze aus der Anschauung gewonnen werden,
so ist das daraus erklärlich, dass die angeschauten Punkte, Geraden,
Ebenen eigentlich gar keine besondern sind und daher als Vertreter
ihrer ganzen Gattung gelten können. Anders liegt die Sache bei den
Zahlen: jede hat ihre Eigenthümlichkeit. Inwiefern eine bestimmte Zahl
alle andern vertreten kann, und wo ihre Besonderheit sich geltend
macht, ist ohne Weiteres nicht zu sagen.
§ 14. Auch die Vergleichung der Wahrheiten in Bezug auf das von ihnen
beherrschte Gebiet spricht gegen die empirische und synthetische Natur
der arithmetischen Gesetze.
Die Erfahrungssätze gelten für die physische oder psychologische
Wirklichkeit, die geometrischen Wahrheiten beherrschen das Gebiet des
räumlich Anschaulichen, mag es nun Wirklichkeit oder Erzeugniss der
Einbildungskraft sein. Die tollsten Fieberphantasien, die kühnsten
Erfindungen der Sage und der Dichter, welche Thiere reden, Gestirne
stille stehen lassen, aus Steinen Menschen und aus Menschen Bäume
machen, und lehren, wie man sich am eignen Schopfe aus dem Sumpfe
zieht, sie sind doch, sofern sie anschaulich bleiben, an die Axiome
der Geometrie gebunden. Von diesen kann nur das begriffliche Denken in
gewisser Weise loskommen, wenn es etwa einen Raum von vier Dimensionen
oder von positivem Krümmungsmaasse annimmt. Solche Betrachtungen
sind durchaus nicht unnütz; aber sie verlassen ganz den Boden der
Anschauung. Wenn man diese auch dabei zu Hilfe nimmt, so ist es doch
immer die Anschauung des euklidischen Raumes, des einzigen, von dessen
Gebilden wir eine haben. Sie wird dann nur nicht so, wie sie ist,
sondern symbolisch für etwas anderes genommen; man nennt z. B. gerade
oder eben, was man doch als Krummes anschaut. Für das begriffliche
Denken kann man immerhin von diesem oder jenem geometrischen Axiome
das Gegentheil annehmen, ohne dass man in Widersprüche mit sich
selbst verwickelt wird, wenn man Schlussfolgerungen aus solchen der
Anschauung widerstreitenden Annahmen zieht. Diese Möglichkeit zeigt,
dass die geometrischen Axiome von einander und von den logischen
Urgesetzen unabhängig, also synthetisch sind. Kann man dasselbe von
den Grundsätzen der Zahlenwissenschaft sagen? Stürzt nicht alles
in Verwirrung, wenn man einen von diesen leugnen wollte? Wäre dann
noch Denken möglich? Liegt nicht der Grund der Arithmetik tiefer als
der alles Erfahrungswissens, tiefer selbst als der der Geometrie?
Die arithmetischen Wahrheiten beherrschen das Gebiet des Zählbaren.
Dies ist das umfassendste; denn nicht nur das Wirkliche, nicht nur
das Anschauliche gehört ihm an, sondern alles Denkbare. Sollten also
nicht die Gesetze der Zahlen mit denen des Denkens in der innigsten
Verbindung stehen?
§ 15. Dass _Leibnizens_ Aussprüche sich nur zu Gunsten der analytischen
Natur der Zahlgesetze deuten lassen, ist vorauszusehen, da für ihn
das Apriori mit dem Analytischen zusammenfällt. So sagt er[25], dass
die Algebra ihre Vortheile einer viel höhern Kunst, nämlich der
wahren Logik entlehne. An einer andern Stelle[26] vergleicht er die
nothwendigen und zufälligen Wahrheiten mit den commensurabeln und
incommensurabeln Grössen und meint, dass bei nothwendigen Wahrheiten
ein Beweis oder eine Zurückführung auf Identitäten möglich sei. Doch
diese Aeusserungen verlieren dadurch an Gewicht, dass _Leibniz_ dazu
neigt, alle Wahrheiten als beweisbar anzusehen[27]: »... dass jede
Wahrheit ihren apriorischen, aus dem Begriff der Termini gezogenen
Beweis hat, wiewohl es nicht immer in unserer Macht steht, zu
dieser Analyse zu kommen.« Der Vergleich mit der Commensurabilität
und Incommensurabilität richtet freilich doch wieder eine für uns
wenigstens unüberschreitbare Schranke zwischen zufälligen und
nothwendigen Wahrheiten auf.
Sehr entschieden im Sinne der analytischen Natur der Zahlgesetze
spricht sich _W. Stanley Jevons_ aus[28]: »Zahl ist nur logische
Unterscheidung und Algebra eine hoch entwickelte Logik.«
§ 16. Aber auch diese Ansicht hat ihre Schwierigkeiten. Soll dieser
hochragende, weitverzweigte und immer noch wachsende Baum der
Zahlenwissenschaft in blossen Identitäten wurzeln? Und wie kommen
die leeren Formen der Logik dazu, aus sich heraus solchen Inhalt zu
gewinnen?
_Mill_ meint: »Die Lehre, dass wir durch kunstfertiges Handhaben der
Sprache Thatsachen entdecken, die verborgene Naturprocesse enthüllen
können, ist dem gesunden Menschenverstande so entgegen, dass es schon
einen Fortschritt in der Philosophie verlangt, um sie zu glauben«.
Gewiss dann, wenn man sich bei dem kunstfertigen Handhaben nichts
denkt. _Mill_ wendet sich hier gegen einen Formalismus, der kaum
von irgendwem vertreten wird. Jeder, der Worte oder mathematische
Zeichen gebraucht, macht den Anspruch, dass sie etwas bedeuten, und
niemand wird erwarten, dass aus leeren Zeichen etwas Sinnvolles
hervorgehe. Aber es ist möglich, dass ein Mathematiker längere
Rechnungen vollführt, ohne unter seinen Zeichen etwas sinnlich
Wahrnehmbares, Anschauliches zu verstehen. Darum sind diese Zeichen
noch nicht sinnlos; man unterscheidet dennoch ihren Inhalt von ihnen
selbst, wenn dieser auch vielleicht nur mittels der Zeichen fassbar
wird. Man ist sich bewusst, dass andere Zeichen für Dasselbe hätten
festgesetzt werden können. Es genügt zu wissen, wie der in den Zeichen
versinnlichte Inhalt logisch zu behandeln ist, und wenn man Anwendungen
auf die Physik machen will, wie der Uebergang zu den Erscheinungen
geschehen muss. Aber in einer solchen Anwendung ist nicht der
eigentliche Sinn der Sätze zu sehen. Dabei geht immer ein grosser Theil
der Allgemeinheit verloren, und es kommt etwas Besonderes hinein, das
bei andern Anwendungen durch Anderes ersetzt wird.
§ 17. Man kann trotz aller Herabsetzung der Deduction doch nicht
leugnen, dass die durch Induction begründeten Gesetze nicht genügen.
Aus ihnen müssen neue Sätze abgeleitet werden, die in keinem einzelnen
von jenen enthalten sind. Dass sie in allen zusammen schon in gewisser
Weise stecken, entbindet nicht von der Arbeit, sie daraus zu entwickeln
und für sich herauszustellen. Damit eröffnet sich folgende Möglichkeit.
Statt eine Schlussreihe unmittelbar an eine Thatsache anzuknüpfen,
kann man, diese dahingestellt sein lassend, ihren Inhalt als Bedingung
mitführen. Indem man so alle Thatsachen in einer Gedankenreihe durch
Bedingungen ersetzt, wird man das Ergebniss in der Form erhalten, dass
von einer Reihe von Bedingungen ein Erfolg abhängig gemacht ist. Diese
Wahrheit wäre durch Denken allein, oder, um mit _Mill_ zu reden, durch
kunstfertiges Handhaben der Sprache begründet. Es ist nicht unmöglich,
dass die Zahlgesetze von dieser Art sind. Sie wären dann analytische
Urtheile, obwohl sie nicht durch Denken allein gefunden zu sein
brauchten; denn nicht die Weise des Findens kommt hier in Betracht,
sondern die Art der Beweisgründe; oder, wie _Leibniz_ sagt[29], »es
handelt sich hier nicht um die Geschichte unserer Entdeckungen, die
verschieden ist in verschiedenen Menschen, sondern um die Verknüpfung
und die natürliche Ordnung der Wahrheiten, die immer dieselbe ist.«
Die Beobachtung hätte dann zuletzt zu entscheiden, ob die in dem so
begründeten Gesetze enthaltenen Bedingungen erfüllt sind. So würde
man schliesslich eben dahin gelangen, wohin man durch unmittelbare
Anknüpfung der Schlussreihe an die beobachteten Thatsachen gekommen
wäre. Aber die hier angedeutete Art des Vorgehens ist in vielen Fällen
vorzuziehen, weil sie auf einen allgemeinen Satz führt, der nicht nur
auf die grade vorliegenden Thatsachen anwendbar zu sein braucht. Die
Wahrheiten der Arithmetik würden sich dann zu denen der Logik ähnlich
verhalten wie die Lehrsätze zu den Axiomen der Geometrie. Jede würde
in sich eine ganze Schlussreihe für den künftigen Gebrauch verdichtet
enthalten, und ihr Nutzen würde darin bestehen, dass man die Schlüsse
nicht mehr einzeln zu machen braucht, sondern gleich das Ergebniss
der ganzen Reihe aussprechen kann[30]. Angesichts der gewaltigen
Entwickelung der arithmetischen Lehren und ihrer vielfachen Anwendungen
wird sich dann freilich die weit verbreitete Geringschätzung der
analytischen Urtheile und das Märchen von der Unfruchtbarkeit der
reinen Logik nicht halten lassen.
Wenn man diese nicht hier zuerst geäusserte Ansicht im Einzelnen
so streng durchführen könnte, dass nicht der geringste Zweifel
zurückbliebe, so würde das, wie mir scheint, kein ganz unwichtiges
Ergebniss sein.