§ 87. Die Natur der arithmetischen Gesetze 99
§ 88. Kants Unterschätzung der analytischen Urtheile 99
§ 89. Kants Satz: »Ohne Sinnlichkeit würde uns kein Gegenstand
gegeben werden«. Kants Verdienst um die Mathematik 101
§ 90. Zum vollen Nachweis der analytischen Natur der
arithmetischen Gesetze fehlt eine lückenlose Schlusskette 102
§ 91. Abhilfe dieses Mangels ist durch meine Begriffsschrift
möglich 103
_Andere Zahlen._
§ 92. Sinn der Frage nach der Möglichkeit der Zahlen nach
Hankel 104
§ 93. Die Zahlen sind weder räumlich ausser uns noch subjectiv 105
§ 94. Die Widerspruchslosigkeit eines Begriffes verbürgt nicht,
dass etwas unter ihn falle, und bedarf selbst des
Beweises 105
§ 95. Man darf nicht ohne Weiteres (c - b) als ein Zeichen
ansehn, das die Subtractionsaufgabe löst 106
§ 96. Auch der Mathematiker kann nicht willkührlich etwas
schaffen 107
§ 97. Begriffe sind von Gegenständen zu unterscheiden 108
§ 98. Hankels Erklärung der Addition 108
§ 99. Mangelhaftigkeit der formalen Theorie 109
§ 100. Versuch, complexe Zahlen dadurch nachzuweisen, dass
die Bedeutung der Multiplication in besonderer Weise
erweitert wird 110
§ 101. Die Möglichkeit eines solchen Nachweises ist für die
Kraft eines Beweises nicht gleichgiltig 111
§ 102. Die blosse Forderung, es solle eine Operation ausführbar
sein, ist nicht ihre Erfüllung 111
§ 103. Kossaks Erklärung der complexen Zahlen ist nur eine
Anweisung zur Definition und vermeidet nicht die
Einmischung von Fremdartigem. Die geometrische
Darstellung 112
§ 104. Es kommt darauf an, den Sinn eines
Wiedererkennungsurtheils für die neuen Zahlen
festzusetzen 114
§ 105. Der Reiz der Arithmetik liegt in ihrem Vernunftcharakter 115
§ 106-109. Rückblick 115-119
Einleitung.
Auf die Frage, was die Zahl Eins sei, oder was das
Zeichen 1 bedeute, wird man meistens die Antwort erhalten:
nun, ein Ding. Und wenn man dann darauf aufmerksam
macht, dass der Satz
»die Zahl Eins ist ein Ding«
keine Definition ist, weil auf der einen Seite der bestimmte Artikel,
auf der andern der unbestimmte steht, dass er nur besagt, die Zahl
Eins gehöre zu den Dingen, aber nicht, welches Ding sie sei, so wird
man vielleicht aufgefordert, sich irgendein Ding zu wählen, das man
Eins nennen wolle. Wenn aber Jeder das Recht hätte, unter diesem Namen
zu verstehen, was er will, so würde derselbe Satz von der Eins für
Verschiedene Verschiedenes bedeuten; es gäbe keinen gemeinsamen Inhalt
solcher Sätze. Einige lehnen vielleicht die Frage mit dem Hinweise
darauf ab, dass auch die Bedeutung des Buchstaben a in der Arithmetik
nicht angegeben werden könne; und wenn man sage: a bedeutet eine Zahl,
so könne hierin derselbe Fehler gefunden werden wie in der Definition:
Eins ist ein Ding. Nun ist die Ablehnung der Frage in Bezug auf a
ganz gerechtfertigt: es bedeutet keine bestimmte, angebbare Zahl,
sondern dient dazu, die Allgemeinheit von Sätzen auszudrücken. Wenn
man für a in a + a - a = a eine beliebige aber überall dieselbe Zahl
setzt, so erhält man immer eine wahre Gleichung. In diesem Sinne wird
der Buchstabe a gebraucht. Aber bei der Eins liegt die Sache doch
wesentlich anders. Können wir in der Gleichung 1 + 1 = 2 für 1 beidemal
denselben Gegenstand, etwa den Mond setzen? Vielmehr scheint es, dass
wir für die erste 1 etwas Anderes wie für die zweite setzen müssen.
Woran liegt es, dass hier grade das geschehen muss, was in jenem Falle
ein Fehler wäre? Die Arithmetik kommt mit dem Buchstaben a allein nicht
aus, sondern muss noch andere b, c u. s. w. gebrauchen, um Beziehungen
zwischen verschiedenen Zahlen allgemein auszudrücken. So sollte man
denken, könnte auch das Zeichen 1 nicht genügen, wenn es in ähnlicher
Weise dazu diente, den Sätzen eine Allgemeinheit zu verleihen. Aber
erscheint nicht die Zahl Eins als bestimmter Gegenstand mit angebbaren
Eigenschaften, z. B. mit sich selbst multiplicirt unverändert zu
bleiben? In diesem Sinne kann man von a keine Eigenschaften angeben;
denn was von a ausgesagt wird, ist eine gemeinsame Eigenschaft der
Zahlen, während 1¹ = 1 weder vom Monde etwas aussagt, noch von der
Sonne, noch von der Sahara, noch vom Pic von Teneriffa; denn was könnte
der Sinn einer solchen Aussage sein?
Auf solche Fragen werden wohl auch die meisten Mathematiker keine
genügende Antwort bereit haben. Ist es nun nicht für die Wissenschaft
beschämend, so im Unklaren über ihren nächstliegenden und scheinbar so
einfachen Gegenstand zu sein? Um so weniger wird man sagen können, was
Zahl sei. Wenn ein Begriff, der einer grossen Wissenschaft zu Grunde
liegt, Schwierigkeiten darbietet, so ist es doch wohl eine unabweisbare
Aufgabe, ihn genauer zu untersuchen und diese Schwierigkeiten zu
überwinden, besonders da es schwer gelingen möchte, über die negativen,
gebrochenen, complexen Zahlen zu voller Klarheit zu kommen, solange
noch die Einsicht in die Grundlage des ganzen Baues der Arithmetik
mangelhaft ist.
Viele werden das freilich nicht der Mühe werth achten. Dieser Begriff
ist ja, wie sie meinen, in den Elementarbüchern hinreichend behandelt
und damit für das ganze Leben abgethan. Wer glaubt denn über eine so
einfache Sache noch etwas lernen zu können! Für so frei von jeder
Schwierigkeit hält man den Begriff der positiven ganzen Zahl, dass
er für Kinder wissenschaftlich erschöpfend behandelt werden könne,
und dass Jeder ohne weiteres Nachdenken und ohne Bekanntschaft mit
dem, was Andere gedacht haben, genau von ihm Bescheid wisse. So
fehlt denn vielfach jene erste Vorbedingung des Lernens: das Wissen
das Nichtwissens. Die Folge ist, dass man sich noch immer mit einer
rohen Auffassung begnügt, obwohl schon _Herbart_[1] eine richtigere
gelehrt hat. Es ist betrübend und entmuthigend, dass in dieser Weise
eine Erkenntniss immer wieder verloren zu gehen droht, die schon
errungen war, dass so manche Arbeit vergeblich zu werden scheint,
weil man im eingebildeten Reichthume nicht nöthig zu haben glaubt,
sich ihre Früchte anzueignen. Auch diese Arbeit, sehe ich wohl, ist
solcher Gefahr ausgesetzt. Jene Roheit der Auffassung tritt mir
entgegen, wenn das Rechnen aggregatives, mechanisches Denken genannt
wird[2]. Ich bezweifle, dass es ein solches Denken überhaupt giebt.
Aggregatives Vorstellen könnte man schon eher gelten lassen; aber es
ist für das Rechnen ohne Bedeutung. Das Denken ist im Wesentlichen
überall dasselbe: es kommen nicht je nach dem Gegenstande verschiedene
Arten von Denkgesetzen in Betracht. Die Unterschiede bestehen nur
in der grösseren oder geringeren Rauheit und Unabhängigkeit von
psychologischen Einflüssen und von äussern Hilfen des Denkens wie
Sprache, Zahlzeichen und dgl., dann etwa noch in der Feinheit
des Baues der Begriffe; aber grade in dieser Rücksicht möchte die
Mathematik von keiner Wissenschaft, selbst der Philosophie nicht,
übertroffen werden.
Man wird aus dieser Schrift ersehen können, dass auch ein scheinbar
eigenthümlich mathematischer Schluss wie der von n auf n + 1 auf den
allgemeinen logischen Gesetzen beruht, dass es besondrer Gesetze des
aggregativen Denkens nicht bedarf. Man kann freilich die Zahlzeichen
mechanisch gebrauchen, wie man papageimässig sprechen kann; aber Denken
möchte das doch kaum zu nennen sein. Es ist nur möglich, nachdem durch
wirkliches Denken die mathematische Zeichensprache so ausgebildet ist,
dass sie, wie man sagt, für einen denkt. Dies beweist nicht, dass die
Zahlen in einer besonders mechanischen Weise, etwa wie Sandhaufen aus
Quarzkörnern gebildet sind. Es liegt, denke ich, im Interesse der
Mathematiker einer solchen Ansicht entgegenzutreten, welche einen
hauptsächlichen Gegenstand ihrer Wissenschaft und damit diese selbst
herabzusetzen geeignet ist. Aber auch bei Mathematikern findet man
ganz ähnliche Aussprüche. Im Gegentheil wird man dem Zahlbegriffe
einen feineren Bau zuerkennen müssen als den meisten Begriffen andrer
Wissenschaften, obwohl er noch einer der einfachsten arithmetischen ist.
Um nun jenen Wahn zu widerlegen, dass in Bezug auf die positiven
ganzen Zahlen eigentlich gar keine Schwierigkeiten obwalten, sondern
allgemeine Uebereinstimmung herrsche, schien es mir gut, einige
Meinungen von Philosophen und Mathematikern über die hier in Betracht
kommenden Fragen zu besprechen. Man wird sehn, wie wenig von Einklang
zu finden ist, sodass geradezu entgegengesetzte Aussprüche vorkommen.
Die Einen sagen z. B.: »die Einheiten sind einander gleich«, die
Andern halten sie für verschieden, und beide haben Gründe für ihre
Behauptung, die sich nicht kurzer Hand abweisen lassen. Hierdurch
suche ich das Bedürfniss nach einer genaueren Untersuchung zu wecken.
Zugleich will ich durch die vorausgeschickte Beleuchtung der von Andern
ausgesprochenen Ansichten meiner eignen Auffassung den Boden ebnen,
damit man sich vorweg überzeuge, dass jene andern Wege nicht zum Ziele
führen, und dass meine Meinung nicht eine von vielen gleichberechtigten
ist; und so hoffe ich die Frage wenigstens in der Hauptsache endgiltig
zu entscheiden.
Freilich sind meine Ausführungen hierdurch wohl philosophischer
geworden, als vielen Mathematikern angemessen scheinen mag; aber
eine gründliche Untersuchung des Zahlbegriffes wird immer etwas
philosophisch ausfallen müssen. Diese Aufgabe ist der Mathematik und
Philosophie gemeinsam.
Wenn das Zusammenarbeiten dieser Wissenschaften trotz mancher Anläufe
von beiden Seiten nicht ein so gedeihliches ist, wie es zu wünschen
und wohl auch möglich wäre, so liegt das, wie mir scheint, an dem
Ueberwiegen psychologischer Betrachtungsweisen in der Philosophie,
die selbst in die Logik eindringen. Mit dieser Richtung hat die
Mathematik gar keine Berührungspunkte, und daraus erklärt sich leicht
die Abneigung vieler Mathematiker gegen philosophische Betrachtungen.
Wenn z. B. _Stricker_[3] die Vorstellungen der Zahlen motorisch,
von Muskelgefühlen abhängig nennt, so kann der Mathematiker seine
Zahlen darin nicht wiedererkennen und weiss mit einem solchen Satze
nichts anzufangen. Eine Arithmetik, die auf Muskelgefühle gegründet
wäre, würde gewiss recht gefühlvoll, aber auch ebenso verschwommen
ausfallen wie diese Grundlage. Nein, mit Gefühlen hat die Arithmetik
gar nichts zu schaffen. Ebensowenig mit innern Bildern, die aus Spuren
früherer Sinneseindrücke zusammengeflossen sind. Das Schwankende und
Unbestimmte, welches alle diese Gestaltungen haben, steht im starken
Gegensatze zu der Bestimmtheit und Festigkeit der mathematischen
Begriffe und Gegenstände. Es mag ja von Nutzen sein, die Vorstellungen
und deren Wechsel zu betrachten, die beim mathematischen Denken
vorkommen; aber die Psychologie bilde sich nicht ein, zur Begründung
der Arithmetik irgendetwas beitragen zu können. Dem Mathematiker als
solchem sind diese innern Bilder, ihre Entstehung und Veränderung
gleichgiltig. _Stricker_ sagt selbst, dass er sich beim Worte
»Hundert« weiter nichts vorstellt als das Zeichen 100. Andere mögen
sich den Buchstaben C oder sonst etwas vorstellen; geht daraus nicht
hervor, dass diese innern Bilder in unserm Falle für das Wesen der
Sache vollkommen gleichgiltig und zufällig sind, ebenso zufällig wie
eine schwarze Tafel und ein Stück Kreide, dass sie überhaupt nicht
Vorstellungen der Zahl Hundert zu heissen verdienen? Man sehe doch
nicht das Wesen der Sache in solchen Vorstellungen! Man nehme nicht die
Beschreibung, wie eine Vorstellung entsteht, für eine Definition und
nicht die Angabe der seelischen und leiblichen Bedingungen dafür, dass
uns ein Satz zum Bewusstsein kommt, für einen Beweis und verwechsele
das Gedachtwerden eines Satzes nicht mit seiner Wahrheit! Man muss, wie
es scheint, daran erinnern, dass ein Satz ebensowenig aufhört, wahr
zu sein, wenn ich nicht mehr an ihn denke, wie die Sonne vernichtet
wird, wenn ich die Augen schliesse. Sonst kommen wir noch dahin, dass
man beim Beweise des pythagoräischen Lehrsatzes es nöthig findet, des
Phosphorgehaltes unseres Gehirnes zu gedenken, und dass ein Astronom
sich scheut, seine Schlüsse auf längst vergangene Zeiten zu erstrecken,
damit man ihm nicht einwende: »du rechnest da 2 ∙ 2 = 4; aber die
Zahlvorstellung hat ja eine Entwickelung, eine Geschichte! Man kann
zweifeln, ob sie damals schon so weit war. Woher weisst du, dass in
jener Vergangenheit dieser Satz schon bestand? Könnten die damals
lebenden Wesen nicht den Satz 2 ∙ 2 = 5 gehabt haben, aus dem sich
erst durch natürliche Züchtung im Kampf ums Dasein der Satz 2 ∙ 2 = 4
entwickelt hat, der seinerseits vielleicht dazu bestimmt ist, auf
demselben Wege sich zu 2 ∙ 2 = 3 fortzubilden?« Est modus in rebus,
sunt certi denique fines! Die geschichtliche Betrachtungsweise, die
das Werden der Dinge zu belauschen und aus dem Werden ihr Wesen zu
erkennen sucht, hat gewiss eine grosse Berechtigung; aber sie hat auch
ihre Grenzen. Wenn in dem beständigen Flusse aller Dinge nichts Festes,
Ewiges beharrte, würde die Erkennbarkeit der Welt aufhören und Alles in
Verwirrung stürzen. Man denkt sich, wie es scheint, dass die Begriffe
in der einzelnen Seele so entstehen, wie die Blätter an den Bäumen und
meint ihr Wesen dadurch erkennen zu können, dass man ihrer Entstehung
nachforscht und sie aus der Natur der menschlichen Seele psychologisch
zu erklären sucht. Aber diese Auffassung zieht Alles ins Subjective und
hebt, bis ans Ende verfolgt, die Wahrheit auf. Was man Geschichte der
Begriffe nennt, ist wohl entweder eine Geschichte unserer Erkenntniss
der Begriffe oder der Bedeutungen der Wörter. Durch grosse geistige
Arbeit, die Jahrhunderte hindurch andauern kann, gelingt es oft erst,
einen Begriff in seiner Reinheit zu erkennen, ihn aus den fremden
Umhüllungen herauszuschälen, die ihn dem geistigen Auge verbargen. Was
soll man nun dazu sagen, wenn jemand, statt diese Arbeit, wo sie noch
nicht vollendet scheint, fortzusetzen, sie für nichts achtet, in die
Kinderstube geht oder sich in ältesten erdenkbaren Entwickelungsstufen
der Menschheit zurückversetzt, um dort wie _J. St. Mill_ etwa eine
Pfefferkuchen- oder Kieselsteinarithmetik zu entdecken! Es fehlt nur
noch, dem Wohlgeschmacke des Kuchens eine besondere Bedeutung für den
Zahlbegriff zuzuschreiben. Dies ist doch das grade Gegentheil eines
vernünftigen Verfahrens und jedenfalls so unmathematisch wie möglich.
Kein Wunder, dass die Mathematiker nichts davon wissen wollen! Statt
eine besondere Reinheit der Begriffe da zu finden, wo man ihrer Quelle
nahe zu sein glaubt, sieht man Alles verschwommen und ungesondert
wie durch einen Nebel. Es ist so, als ob jemand, um Amerika kennen
zu lernen, sich in die Lage des Columbus zurückversetzen wollte, als
er den ersten zweifelhaften Schimmer seines vermeintlichen Indiens
erblickte. Freilich beweist ein solcher Vergleich nichts; aber er
verdeutlicht hoffentlich meine Meinung. Es kann ja sein, dass die
Geschichte der Entdeckungen in vielen Fällen als Vorbereitung für
weitere Forschungen nützlich ist; aber sie darf nicht an deren Stelle
treten wollen.
Dem Mathematiker gegenüber, wäre eine Bekämpfung solcher Auffassungen
wohl kaum nöthig gewesen; aber da ich auch für die Philosophen die
behandelten Streitfragen möglichst zum Austrage bringen wollte, war ich
genöthigt, mich auf die Psychologie ein wenig einzulassen, wenn auch
nur, um ihren Einbruch in die Mathematik zurückzuweisen.
Uebrigens kommen auch in mathematischen Lehrbüchern psychologische
Wendungen vor. Wenn man eine Verpflichtung fühlt, eine Definition zu
geben, ohne es zu können, so will man wenigstens die Weise beschreiben,
wie man zu dem betreffenden Gegenstande oder Begriffe kommt. Man
erkennt diesen Fall leicht daran, dass im weitern Verlaufe nie mehr auf
eine solche Erklärung zurückgegriffen wird. Für Lehrzwecke ist eine
Hinführung auf die Sache auch ganz am Platze; nur sollte man sie von
einer Definition immer deutlich unterscheiden. Dass auch Mathematiker
Beweisgründe mit innern oder äussern Bedingungen der Führung eines
Beweises verwechseln können, dafür liefert E. _Schröder_[4] ein
ergötzliches Beispiel, indem er unter der Ueberschrift: »Einziges
Axiom« Folgendes darbietet: »Das gedachte Princip könnte wohl das Axiom
der Inhärenz der Zeichen genannt werden. Es giebt uns die Gewissheit,
dass bei allen unsern Entwicklungen und Schlussfolgerungen die Zeichen
in unserer Erinnerung -- noch fester aber am Papiere -- haften« u. s.
w.
So sehr sich nun die Mathematik jede Beihilfe vonseiten der Psychologie
verbitten muss, so wenig kann sie ihren engen Zusammenhang mit der
Logik verleugnen. Ja, ich stimme der Ansicht derjenigen bei, die eine
scharfe Trennung für unthunlich halten. Soviel wird man zugeben,
dass jede Untersuchung über die Bündigkeit einer Beweisführung oder
die Berechtigung einer Definition logisch sein muss. Solche Fragen
sind aber gar nicht von der Mathematik abzuweisen, da nur durch ihre
Beantwortung die nöthige Sicherheit erreichbar ist.
Auch in dieser Richtung gehe ich freilich etwas über das Uebliche
hinaus. Die meisten Mathematiker sind bei Untersuchungen ähnlicher Art
zufrieden, dem unmittelbaren Bedürfnisse genügt zu haben. Wenn sich
eine Definition willig zu den Beweisen hergiebt, wenn man nirgends
auf Widersprüche stösst, wenn sich Zusammenhänge zwischen scheinbar
entlegnen Sachen erkennen lassen und wenn sich dadurch eine höhere
Ordnung und Gesetzmässigkeit ergiebt, so pflegt man die Definition
für genügend gesichert zu halten und fragt wenig nach ihrer logischen
Rechtfertigung. Dies Verfahren hat jedenfalls das Gute, dass man
nicht leicht das Ziel gänzlich verfehlt. Auch ich meine, dass die
Definitionen sich durch ihre Fruchtbarkeit bewähren müssen, durch die
Möglichkeit, Beweise mit ihnen zu führen. Aber es ist wohl zu beachten,
dass die Strenge der Beweisführung ein Schein bleibt, mag auch die
Schlusskette lückenlos sein, wenn die Definitionen nur nachträglich
dadurch gerechtfertigt werden, dass man auf keinen Widerspruch
gestossen ist. So hat man im Grunde immer nur eine erfahrungsmässige
Sicherheit erlangt und muss eigentlich darauf gefasst sein, zuletzt
doch noch einen Widerspruch anzutreffen, der das ganze Gebäude zum
Einsturze bringt. Darum glaubte ich etwas weiter auf die allgemeinen
logischen Grundlagen zurückgehn zu müssen, als vielleicht von den
meisten Mathematikern für nöthig gehalten wird.
Als Grundsätze habe ich in dieser Untersuchung folgende festgehalten:
es ist das Psychologische von dem Logischen, das Subjective von dem
Objectiven scharf zu trennen;
nach der Bedeutung der Wörter muss im Satzzusammenhange, nicht in ihrer
Vereinzelung gefragt werden;
der Unterschied zwischen Begriff und Gegenstand ist im Auge zu behalten.
Um das Erste zu befolgen, habe ich das Wort »Vorstellung« immer im
psychologischen Sinne gebraucht und die Vorstellungen von den Begriffen
und Gegenständen unterschieden. Wenn man den zweiten Grundsatz
unbeachtet lässt, ist man fast genöthigt, als Bedeutung der Wörter
innere Bilder oder Thaten der einzelnen Seele zu nehmen und damit
auch gegen den ersten zu verstossen. Was den dritten Punkt betrifft,
so ist es nur Schein, wenn man meint, einen Begriff zum Gegenstande
machen zu können, ohne ihn zu verändern. Von hieraus ergiebt sich
die Unhaltbarkeit einer verbreiteten formalen Theorie der Brüche,
negativen Zahlen u. s. w. Wie ich die Verbesserung denke, kann ich in
dieser Schrift nur andeuten. Es wird in allen diesen Fällen wie bei
den positiven ganzen Zahlen darauf ankommen, den Sinn einer Gleichung
festzustellen.
Meine Ergebnisse werden, denke ich, wenigstens in der Hauptsache die
Zustimmung der Mathematiker finden, welche sich die Mühe nehmen,
meine Gründe in Betracht zu ziehn. Sie scheinen mir in der Luft zu
liegen und einzeln sind sie vielleicht schon alle wenigstens annähernd
ausgesprochen worden; aber in diesem Zusammenhange mit einander
möchten sie doch neu sein. Ich habe mich manchmal gewundert, dass
Darstellungen, die in Einem Punkte meiner Auffassung so nahe kommen, in
andern so stark abweichen.
Die Aufnahme bei den Philosophen wird je nach dem Standpunkte
verschieden sein, am schlechtesten wohl bei jenen Empirikern, die als
ursprüngliche Schlussweise nur die Induction anerkennen wollen und auch
diese nicht einmal als Schlussweise, sondern als Gewöhnung. Vielleicht
unterzieht Einer oder der Andere bei dieser Gelegenheit die Grundlagen
seiner Erkenntnisstheorie einer erneueten Prüfung. Denen, welche etwa
meine Definitionen für unnatürlich erklären möchten, gebe ich zu
bedenken, dass die Frage hier nicht ist, ob natürlich, sondern ob den
Kern der Sache treffend und logisch einwurfsfrei.
Ich gebe mich der Hoffnung hin, dass bei vorurtheilsloser Prüfung auch
die Philosophen einiges Brauchbare in dieser Schrift finden werden.
§ 1. Nachdem die Mathematik sich eine Zeit lang von der euklidischen
Strenge entfernt hatte, kehrt sie jetzt zu ihr zurück und strebt gar
über sie hinaus. In der Arithmetik war schon infolge des indischen
Ursprungs vieler ihrer Verfahrungsweisen und Begriffe eine laxere
Denkweise hergebracht als in der von den Griechen vornehmlich
ausgebildeten Geometrie. Sie wurde durch die Erfindung der höhern
Analysis nur gefördert; denn einerseits stellten sich einer strengen
Behandlung dieser Lehren erhebliche, fast unbesiegliche Schwierigkeiten
entgegen, deren Ueberwindung andrerseits die darauf verwendeten
Anstrengungen wenig lohnen zu wollen schien. Doch hat die weitere
Entwickelung immer deutlicher gelehrt, dass in der Mathematik eine blos
moralische Ueberzeugung, gestützt auf viele erfolgreiche Anwendungen,
nicht genügt. Für Vieles wird jetzt ein Beweis gefordert, was früher
für selbstverständlich galt. Die Grenzen der Giltigkeit sind erst
dadurch in manchen Fällen festgestellt worden. Die Begriffe der
Function, der Stetigkeit, der Grenze, des Unendlichen haben sich
einer schärferen Bestimmung bedürftig gezeigt. Das Negative und die
Irrationalzahl, welche längst in die Wissenschaft aufgenommen waren,
haben sich einer genaueren Prüfung ihrer Berechtigung unterwerfen
müssen.
So zeigt sich überall das Bestreben, streng zu beweisen, die
Giltigkeitsgrenzen genau zu ziehen und, um dies zu können, die Begriffe
scharf zu fassen.
§ 2. Dieser Weg muss im weitern Verfolge auf den Begriff der Anzahl
und auf die von positiven ganzen Zahlen geltenden einfachsten Sätze
führen, welche die Grundlage der ganzen Arithmetik bilden. Freilich
sind Zahlformeln wie 5 + 7 = 12 und Gesetze wie das der Associativität
bei der Addition durch die unzähligen Anwendungen, die tagtäglich von
ihnen gemacht werden, so vielfach bestätigt, dass es fast lächerlich
erscheinen kann, sie durch das Verlangen nach einem Beweise in Zweifel
ziehen zu wollen. Aber es liegt im Wesen der Mathematik begründet,
dass sie überall, wo ein Beweis möglich ist, ihn der Bewährung durch
Induction vorzieht. Euklid beweist Vieles, was ihm jeder ohnehin
zugestehen würde. Indem man sich selbst an der euklidischen Strenge
nicht genügen liess, ist man auf die Untersuchungen geführt worden,
welche sich an das Parallelenaxiom geknüpft haben.
So ist jene auf grösste Strenge gerichtete Bewegung schon vielfach
über das zunächst gefühlte Bedürfniss hinausgegangen und dieses ist an
Ausdehnung und Stärke immer gewachsen.
Der Beweis hat eben nicht nur den Zweck, die Wahrheit eines Satzes
über jeden Zweifel zu erheben, sondern auch den, eine Einsicht in die
Abhängigkeit der Wahrheiten von einander zu gewähren. Nachdem man
sich von der Unerschütterlichkeit eines Felsblockes durch vergebliche
Versuche, ihn zu bewegen, überzeugt hat, kann man ferner fragen, was
ihn denn so sicher unterstütze. Je weiter man diese Untersuchungen
fortsetzt, auf desto weniger Urwahrheiten führt man Alles zurück; und
diese Vereinfachung ist an sich schon ein erstrebenswerthes Ziel.
Vielleicht bestätigt sich auch die Hoffnung, dass man allgemeine Weisen
der Begriffsbildung oder der Begründung gewinnen könne, die auch in
verwickelteren Fällen verwendbar sind, indem man zum Bewusstsein
bringt, was die Menschen in den einfachsten Fällen instinctiv gethan
haben, und das Allgemeingiltige daraus abscheidet.
§ 3. Mich haben auch philosophische Beweggründe zu solchen
Untersuchungen bestimmt. Die Fragen nach der apriorischen oder
aposteriorischen, der synthetischen oder analytischen Natur der
arithmetischen Wahrheiten harren hier ihrer Beantwortung. Denn, wenn
auch diese Begriffe selbst der Philosophie angehören, so glaube ich
doch, dass die Entscheidung nicht ohne Beihilfe der Mathematik erfolgen
kann. Freilich hangt dies von dem Sinne ab, den man jenen Fragen
beilegt.
Es ist kein seltener Fall, dass man zuerst den Inhalt eines Satzes
gewinnt und dann auf einem andern beschwerlicheren Wege den strengen
Beweis führt, durch den man oft auch die Bedingungen der Giltigkeit
genauer kennen lernt. So hat man allgemein die Frage, wie wir zu dem
Inhalte eines Urtheils kommen, von der zu trennen, woher wir die
Berechtigung für unsere Behauptung nehmen.
Jene Unterscheidungen von apriori und aposteriori, synthetisch und
analytisch betreffen nun nach meiner[5] Auffassung nicht den Inhalt des
Urtheils, sondern die Berechtigung zur Urtheilsfällung. Da, wo diese
fehlt, fällt auch die Möglichkeit jener Eintheilung weg. Ein Irrthum
apriori ist dann ein ebensolches Unding wie etwa ein blauer Begriff.
Wenn man einen Satz in meinem Sinne aposteriori oder analytisch nennt,
so urtheilt man nicht über die psychologischen, physiologischen und
physikalischen Verhältnisse, die es möglich gemacht haben, den Inhalt
des Satzes im Bewusstsein zu bilden, auch nicht darüber, wie ein
Anderer vielleicht irrthümlicherweise dazu gekommen ist, ihn für wahr
zu halten, sondern darüber, worauf im tiefsten Grunde die Berechtigung
des Fürwahrhaltens beruht.
Dadurch wird die Frage dem Gebiete der Psychologie entrückt und dem der
Mathematik zugewiesen, wenn es sich um eine mathematische Wahrheit
handelt. Es kommt nun darauf an, den Beweis zu finden und ihn bis auf
die Urwahrheiten zurückzuverfolgen. Stösst man auf diesem Wege nur auf
die allgemeinen logischen Gesetze und auf Definitionen, so hat man
eine analytische Wahrheit, wobei vorausgesetzt wird, dass auch die
Sätze mit in Betracht gezogen werden, auf denen etwa die Zulässigkeit
einer Definition beruht. Wenn es aber nicht möglich ist, den Beweis zu
führen, ohne Wahrheiten zu benutzen, welche nicht allgemein logischer
Natur sind, sondern sich auf ein besonderes Wissensgebiet beziehen,
so ist der Satz ein synthetischer. Damit eine Wahrheit aposteriori
sei, wird verlangt, dass ihr Beweis nicht ohne Berufung auf Thatsachen
auskomme; d. h. auf unbeweisbare Wahrheiten ohne Allgemeinheit,
die Aussagen von bestimmten Gegenständen enthalten. Ist es dagegen
möglich, den Beweis ganz aus allgemeinen Gesetzen zu führen, die selber
eines Beweises weder fähig noch bedürftig sind, so ist die Wahrheit
apriori.[6]
§ 4. Von diesen philosophischen Fragen ausgehend kommen wir zu
derselben Forderung, welche unabhängig davon auf dem Gebiete der
Mathematik selbst erwachsen ist: die Grundsätze der Arithmetik, wenn
irgend möglich, mit grösster Strenge zu beweisen; denn nur wenn aufs
sorgfältigste jede Lücke in der Schlusskette vermieden wird, kann man
mit Sicherheit sagen, auf welche Urwahrheiten sich der Beweis stützt;
und nur wenn man diese kennt, wird man jene Fragen beantworten können.
Wenn man nun dieser Forderung nachzukommen versucht, so gelangt man
sehr bald zu Sätzen, deren Beweis solange unmöglich ist, als es nicht
gelingt, darin vorkommende Begriffe in einfachere aufzulösen oder auf
Allgemeineres zurückzuführen. Hier ist es nun vor allen die Anzahl,
welche definirt oder als undefinirbar anerkannt werden muss. Das
soll die Aufgabe dieses Buches sein.[7] Von ihrer Lösung wird die
Entscheidung über die Natur der arithmetischen Gesetze abhangen.
Bevor ich diese Fragen selbst angreife, will ich Einiges
vorausschicken, was Fingerzeige für ihre Beantwortung geben kann. Wenn
sich nämlich von andern Gesichtspunkten aus Gründe dafür ergeben,
dass die Grundsätze der Arithmetik analytisch sind, so sprechen
diese auch für deren Beweisbarkeit und für die Definirbarkeit des
Begriffes der Anzahl. Die entgegengesetzte Wirkung werden die Gründe
für die Aposteriorität dieser Wahrheiten haben. Deshalb mögen diese
Streitpunkte zunächst einer vorläufigen Beleuchtung unterworfen werden.
I. Meinungen einiger Schriftsteller über die Natur der arithmetischen
Sätze.
Sind die Zahlformeln beweisbar?
§ 5. Man muss die Zahlformeln, die wie 2 + 3 = 5 von bestimmten Zahlen
handeln, von den allgemeinen Gesetzen unterscheiden, die von allen
ganzen Zahlen gelten.
Jene werden von einigen Philosophen[8] für unbeweisbar und unmittelbar
klar wie Axiome gehalten. _Kant_[9] erklärt sie für unbeweisbar und
synthetisch, scheut sich aber, sie Axiome zu nennen, weil sie nicht
allgemein sind, und weil ihre Zahl unendlich ist. _Hankel_[10] nennt
mit Recht diese Annahme von unendlich vielen unbeweisbaren Urwahrheiten
unangemessen und paradox. Sie widerstreitet in der That dem Bedürfnisse
der Vernunft nach Uebersichtlichkeit der ersten Grundlagen. Und ist es
denn unmittelbar einleuchtend, dass
135664 + 37863 = 173527
ist? Nein! und eben dies führt _Kant_ für die synthetische Natur
dieser Sätze an. Es spricht aber vielmehr gegen ihre Unbeweisbarkeit;
denn wie sollen sie anders eingesehen werden als durch einen Beweis,
da sie unmittelbar nicht einleuchten? _Kant_ will die Anschauung von
Fingern oder Punkten zu Hilfe nehmen, wodurch er in Gefahr geräth,
diese Sätze gegen seine Meinung als empirische erscheinen zu lassen;
denn die Anschauung von 37863 Fingern ist doch jedenfalls keine reine.
Der Ausdruck »Anschauung« scheint auch nicht recht zu passen, da
schon 10 Finger durch ihre Stellungen zu einander die verschiedensten
Anschauungen hervorrufen können. Haben wir denn überhaupt eine
Anschauung von 135664 Fingern oder Punkten? Hätten wir sie und hätten
wir eine von 37863 Fingern und eine von 173527 Fingern, so müsste
die Richtigkeit unserer Gleichung sofort einleuchten, wenigstens für
Finger, wenn sie unbeweisbar wäre; aber dies ist nicht der Fall.
_Kant_ hat offenbar nur kleine Zahlen im Sinne gehabt. Dann würden
die Formeln für grosse Zahlen beweisbar sein, die für kleine durch
die Anschauung unmittelbar einleuchten. Aber es ist misslich, einen
grundsätzlichen Unterschied zwischen kleinen und grossen Zahlen zu
machen, besonders da eine scharfe Grenze nicht zu ziehen sein möchte.
Wenn die Zahlformeln etwa von 10 an beweisbar wären, so würde man mit
Recht fragen: warum nicht von 5 an, von 2 an, von 1 an?
§ 6. Andere Philosophen und Mathematiker haben denn auch die
Beweisbarkeit der Zahlformeln behauptet. _Leibniz_[11] sagt:
»Es ist keine unmittelbare Wahrheit, dass 2 und 2 4 sind;
vorausgesetzt, dass 4 bezeichnet 3 und 1. Man kann sie beweisen und
zwar so:
Definitionen: 1) 2 ist 1 und 1,
2) 3 ist 2 und 1,
3) 4 ist 3 und 1.
Axiom: Wenn man Gleiches an die Stelle setzt, bleibt die Gleichung
bestehen.
Beweis: 2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 3 + 1 = 4.
Def. 1. Def. 2. Def. 3.