Auch mit einem wichtigen Problem der angewandten Mechanik hat sich
*Euler* beschäftigt. Im Jahre 1750 hatte *Segner* das nach ihm benannte
Wasserrad erfunden[741]. Dies veranlaßte *Euler*, eine »Vollständigere
Theorie der Maschinen, die durch die Reaktion des Wassers in Bewegung
gesetzt werden«, zu entwickeln[742]. Die Arbeiten von *Segner* und
*Euler* sind für den Bau der horizontalen Wasserräder (Turbinen)
grundlegend gewesen. Die soeben erwähnte Abhandlung *Eulers* wird
selbst heute noch als nur wenig veraltet betrachtet[743]. *Euler*
löst in ihr die Aufgabe, die Leistung einer hydraulischen Maschine
zu finden, die für ein gegebenes Gefälle und einen bestimmten
Wasserverbrauch gebaut ist. Ferner wird an einer Reihe von Beispielen
gezeigt, wie man für gewisse Bedingungen die größtmögliche Leistung der
Turbine berechnen kann.
Die Begründung der analytischen Mechanik.
Der Weg zu der dem 18. Jahrhundert gelungenen, vorläufig abschließenden
Gestaltung der Mechanik führt von den *Bernoullis* und *Euler* über
*d'Alembert* zu *Lagrange*, dem großen Analytiker, dem jener Abschluß
vorbehalten blieb. Die durch *Euler* repräsentierte, ältere Generation
begnügte sich mit der Lösung zahlreicher, isolierter Aufgaben aus
allen Teilen der angewandten Mathematik. Für jedes Problem mußte man
daher einen neuen Weg, für jede Aufgabe besondere Kunstgriffe suchen,
so daß nur die hervorragendsten mathematischen Talente sich auf dem
Gebiete der Mechanik betätigen konnten. Durch *d'Alembert* und in noch
höherem Grade durch *Lagrange* wurde dieser Mangel beseitigt, indem sie
die allgemeinen Sätze fanden, die auf ganze Gruppen von mechanischen
Aufgaben anwendbar sind. *D'Alembert* war es, der diese »Formgebung«
der Mechanik einleitete, während *Lagrange* sie vollendete[744]. Diese
Bedeutung *d'Alemberts* rechtfertigt es, daß wir nicht nur seinem
Hauptwerk, sondern auch seinem Lebensgang eine kurze Darstellung
zuteil werden lassen, zumal seine Beziehungen zu den philosophischen
Bestrebungen der Aufklärungsperiode von besonderem Interesse sind.
*D'Alemberts* Lebensumstände waren ganz außergewöhnliche. Zu der Zeit,
als in Frankreich der berüchtigte Herzog von Orleans die Regentschaft
führte, fand man auf den Stufen einer Kirche ein ausgesetztes Kind,
das der Frau des Handwerkers *Alembert* zum Aufziehen übergeben
wurde. Erst als dieses Kind zum Manne geworden, der sich unter dem
Namen *d'Alembert* einen geachteten Namen geschaffen hatte, wurde der
Schleier, der seine Herkunft verbarg, gelüftet. Es stellte sich nämlich
heraus, daß seine Mutter eine Frau war, in deren Salon hervorragende
Schriftsteller, vornehme Militärs und Kleriker, darunter der spätere
Papst *Benedikt XIV.*, verkehrten. Mit 12 Jahren wurde *d'Alembert*
in ein Collège aufgenommen. Er studierte Theologie, die Rechte und
Medizin, bis er sich schließlich mit ausgesprochener Neigung der
Philosophie und den mathematischen Wissenschaften zuwandte.
*D'Alembert* wurde Mitglied der Pariser und der Berliner Akademie.
Den glänzenden Verlockungen, durch die ihn *Friedrich der Große* und
*Katharina II.* an sich zu fesseln suchten, widerstand er. Er blieb in
Frankreich und starb dort im Jahre 1783.
Seine grundlegende »Abhandlung über Dynamik« veröffentlichte
*d'Alembert* im Alter von 26 Jahren (1743)[745]. Sie bedeutet einen
Markstein in der Entwicklung der Mechanik, weil sie für die Bewegung
der Körper ein ebenso einfaches Grundprinzip aufstellte, wie man es für
das Gleichgewicht in dem Prinzip der virtuellen Geschwindigkeiten besaß.
Die Ableitung des *d'Alembert*'schen Prinzips geht auf das Problem
des zusammengesetzten Pendels zurück. Offenbar ist ein solches nichts
anderes als ein Hebel, der sich in Bewegung befindet. An einem solchen
werden die auf jeden Massenpunkt wirkenden Kräfte bekanntlich in zwei
Bestandteile zerlegt, von denen die einen sich gegenseitig aufheben,
zur Bewegung also nicht beitragen, während die anderen im Gegensatz zu
jenen »verlorenen«, sich das Gleichgewicht haltenden Kräften dem System
die Bewegung erteilen. Derjenige Massenpunkt, an dem weder Verlust noch
Gewinn stattfindet, ist der uns aus früheren Betrachtungen bekannte
Schwingungsmittelpunkt. Auch *d'Alembert* behandelt als typischen
Fall für sein Prinzip eine an einem Ende befestigte und im übrigen
mit verschiedenen Körpern beschwerte Stange, also ein System, das
sich gleichfalls als ein zusammengesetztes Pendel oder ein in Bewegung
begriffener Hebel betrachten läßt. Dann zerlegt er, wie es schon vor
ihm *Jakob Bernoulli* bei der Untersuchung des zusammengesetzten
Pendels getan, die wirkenden Kräfte in diejenigen, die im Gleichgewicht
sein müssen, und in diejenigen, welche die Bewegung hervorrufen. In
dieser Art der Betrachtung liegt das Wesen von *d'Alemberts* Prinzip,
das in seiner allgemeinen Fassung folgendermaßen lautet: Werden einem
System von materiellen Punkten oder Körpern Bewegungen mitgeteilt, die
infolge der wechselseitigen Verbindung der Punkte oder Körper eine
Abänderung erfahren, so findet man die resultierenden Bewegungen auf
folgende Weise. Man zerlege die jedem Körper mitgeteilten Bewegungen
in je zwei andere a, α; b, β; c, γ ... derart, daß die Körper, wenn
man ihnen nur die Bewegungen a, b, c beigelegt hätte, diese Bewegungen
hätten bewahren können, ohne sich gegenseitig zu hindern; und daß, wenn
man ihnen nur die Bewegungen α, β, γ ... eingeprägt hätte, das System
in Ruhe geblieben wäre. Dann werden a, b, c ... die Bewegungen sein,
welche diese Körper infolge ihrer Wechselwirkung annehmen.
Zahlreiche Anwendungen seines Prinzips hat *d'Alembert* im dritten
Abschnitt seiner Abhandlung geboten[746]. Ferner gelang es ihm,
die Theorie der Bewegung der Flüssigkeiten auf sein Prinzip
zurückzuführen[747]. *D'Alembert* huldigte der zu seiner Zeit
verbreiteten Ansicht, daß die Prinzipien der Mechanik beweisbar
seien. Die Scheinbeweise, die er bringt, laufen indessen nur darauf
hinaus, daß der behauptete Satz wahr sei, weil für das Gegenteil
kein genügender Grund vorliege. Ein Zweifel hinsichtlich des Wesens
der mechanischen Prinzipien spricht sich indessen schon in der zu
jener Zeit gestellten Preisfrage der Berliner Akademie aus, »ob die
Gesetze von notwendiger oder nur erfahrungsmäßiger Wahrheit seien«.
*D'Alemberts* Satz führt offenbar die Aufgaben der Dynamik auf
Gleichgewichtsuntersuchungen und die dabei gewonnenen Erfahrungen
zurück. Der Satz macht die Erfahrung nicht etwa überflüssig. Er hat den
»Wert einer Schablone« zur bequemen Lösung von Aufgaben. Er fördert
»nicht so sehr das Durchblicken der Vorgänge, als ihre praktische
Bewältigung«[748].
Bevor wir näher auf die weitere Entwicklung der Physik eingehen, wollen
wir uns mit dem Manne beschäftigen, der an *Eulers* Stelle trat und
das Werk dieses Meisters fortgeführt hat. Das war *Lagrange*. Ihm
und *Euler* ist es gelungen, anstatt des synthetischen Verfahrens
früherer Jahrhunderte in allen Zweigen der reinen und der angewandten
Mathematik, das rechnerische, analytische Verfahren zur Durchführung zu
bringen.
*Lagrange* ist sowohl in amtlicher als in wissenschaftlicher Beziehung
als der Nachfolger *Eulers* zu bezeichnen. Er wurde nämlich nach dem
Fortgange *Eulers* (1766) in die Preußische Akademie der Wissenschaften
aufgenommen und wirkte bis zum Tode *Friedrichs des Großen* (1786)
in Berlin. Ein besserer Ersatz für *Euler* war nicht zu finden. An
Bedeutung für die Weiterentwicklung der Mechanik trat *Lagrange* gegen
*Euler* nicht zurück, so daß die Preußische Akademie sich rühmen
kann, fast ein halbes Jahrhundert die beiden größten Meister dieser
Wissenschaft zu den Ihren gezählt zu haben.
Wie sehr die staatliche Fürsorge den Fortschritt der Wissenschaften
mitunter beeinflußt hat, das zeigt vor allem das Preußen *Friedrichs
des Großen*. Unter dem rauhen, jedes wissenschaftlichen Sinnes baren
Vater dieses Monarchen hatte die Preußische Akademie, in der sich
während des späteren Verlaufs des 18. Jahrhunderts das regste geistige
Leben verkörperte, ein geradezu klägliches Dasein gefristet. Der König
hatte für die Gelehrten seines Staates kaum etwas anderes übrig als
Spott. Der kulturelle und der politische Fortschritt Preußens wären
unterblieben, wenn die Wissenschaften dort auch weiterhin eine so
geringe Beachtung gefunden hätten wie zur Zeit *Friedrich Wilhelms
I.* Was dieser versäumte, hat jedoch sein großer Sohn vollauf wieder
ausgeglichen. Und zwar geschah dies nicht nur durch äußere Mittel,
sondern vor allem durch die persönliche Anteilnahme und das stete
Wohlwollen, das er den Gelehrten entgegenbrachte, sowie durch den
Schutz, den er ihnen allen reaktionären Strömungen gegenüber bot.
Wenn man sich die Entdeckungen und die Arbeiten vergegenwärtigt,
welche die Mathematiker, Astronomen, Physiker, Chemiker, Anatomen
und Botaniker der Preußischen Akademie während der Fridericianischen
Periode geleistet haben, so muß man dem Historiker[749] dieser Akademie
darin recht geben, daß sie in Hinsicht auf die Naturwissenschaften zu
jener Zeit von keiner anderen Akademie übertroffen worden sei. Man
darf indessen nicht vergessen, daß ihre hervorragendsten Mitglieder
Ausländer waren. Doch kehren wir zu *Lagrange* zurück.
*Joseph Louis Lagrange* wurde am 25. Januar 1736 in Turin geboren.
Sein Vater stammte aus Frankreich; dieser geriet in Turin in solch
mißliche Verhältnisse, daß der junge *Lagrange*, der Jüngste unter
elf Geschwistern, frühzeitig auf seine eigene Kraft angewiesen war.
*Lagrange* hat diesen Umstand später oft als ein Glück bezeichnet. Er
meinte, hätte er Vermögen gehabt, so würde er die Mathematik nicht
geliebt, vielleicht nicht einmal kennen gelernt haben. So sehen wir
ihn, kaum 19 Jahre alt, bereits als Lehrer der Mathematik an einer
Artillerieschule unterrichten, wo er jünger als ein Teil seiner Schüler
war. Mit *Euler* und *d'Alembert* wurde *Lagrange* dadurch bekannt,
daß er sich gleich den genannten großen Mathematikern mit dem damals
so viel erörterten Problem der Saitenschwingungen befaßte. Zu einer
Berühmtheit wurde *Lagrange*, als er mit 28 Jahren (1764) den großen
mathematischen Preis der Pariser Akademie für eine Arbeit über die
Libration des Mondes[750] erhielt. Bei dieser Untersuchung hat er
zum ersten Male das Prinzip der virtuellen Geschwindigkeiten[751]
angewandt, das er an die Spitze der analytischen Mechanik stellte. Nach
Berlin war *Lagrange* durch Vermittlung *d'Alemberts* gekommen, den
*Friedrich der Große* zunächst und zwar vergeblich um die Übernahme der
bisher von *Euler* verwalteten Stelle zu gewinnen suchte. Nach dem Tode
des großen Königs wurde *Lagrange* der Aufenthalt in Berlin durch einen
Minister aber derartig verleidet, daß er nach Paris zurückkehrte, wo
ihm durch Vermittlung der Königin freie Wohnung im Louvre angewiesen
wurde. In Paris veröffentlichte er im Jahre 1788 sein Hauptwerk,
die Mécanique analytique. Da *Lagrange* im öffentlichen Leben nicht
hervortrat, so wurde er durch die Wirren der Revolutionszeit auch
nur wenig behelligt. Er wirkte während dieses Zeitabschnittes an der
École Polytechnique und war auch in der Kommission tätig, die 1792 mit
der Festsetzung des neuen Maßsystems beauftragt wurde. *Napoleon*,
der größte Förderer der exakten Wissenschaften, den die Geschichte
kennt, überhäufte ihn mit Ehren und nannte ihn, halb im Scherz, halb
aus Bewunderung, »La haute pyramide des sciences mathématiques«.
*Lagrange* starb am 10. April des Jahres 1813 und wurde im Pantheon
bestattet. Seine Bedeutung hat *Laplace* in einem Nachruf mit folgenden
Worten gekennzeichnet: »*Lagrange* hat gleich *Newton* in höchstem Maße
die glückliche Kunst besessen, die allgemeinen Prinzipien zu entdecken,
die das Wesen der Wissenschaft ausmachen. Diese Kunst verstand er mit
einer seltenen Eleganz in der Entwicklung der abstraktesten Theorien zu
verbinden.«
Fortschritte der Mathematik.
Wir beschäftigen uns zunächst mit dem Anteil, den *Lagrange* an der
Entwicklung der reinen Mathematik genommen hat. Auf diesem Gebiete
setzte er die Arbeit der *Bernoulli* und *Eulers* fort. Nur erwähnt
seien *Lagranges* Zusätze zu *Eulers* Elementen der Algebra. Sie
beziehen sich auf das Gebiet der unbestimmten oder diophantischen
Analysis, dem *Euler* den letzten Teil seines Werkes widmete.
Diese Untersuchungen gehören der reinen Mathematik an und stehen
mit der Entwicklung der Naturwissenschaften in einem nur lockeren
Zusammenhange. Sie haben aber in der neuesten Zeit die Grundlage für
die Theorie der algebraischen Zahlen gebildet und sind aus diesem
Grunde vor kurzem durch eine deutsche Übersetzung zugänglicher gemacht
worden[752].
Mit den unbestimmten Gleichungen befaßt sich *Lagrange* auch in einer
für dieses Gebiet grundlegenden Abhandlung vom Jahre 1768[753]. Er
bewältigt darin die Aufgabe, alle unbestimmten Gleichungen zweiten
Grades mit zwei Unbekannten durch ganze Zahlen zu lösen. Der Versuch,
solche Gleichungen zu lösen, reicht weit in der Geschichte der
Mathematik zurück. *Fermat* gelang die Lösung, doch hat er sein
Verfahren nicht bekannt gegeben. Es blieb daher *Lagrange* vorbehalten,
ein allgemeines Verfahren zu entwickeln und zu beweisen, daß jene
Gleichungen stets in ganzen Zahlen lösbar sind. Da sich nun jede
Gleichung zweiten Grades mit zwei Unbekannten auf die einfache Form A
= x^2 + By^2 bringen läßt, so war das Problem in seiner Allgemeinheit
gelöst.
Gleichfalls an *Euler* anknüpfend, hat *Lagrange* ferner die Theorie
der partiellen Differentialgleichungen mitbegründet. Wird eine
Gleichung y = f(x) differenziert, so läßt sich aus der entstandenen
Differentialgleichung durch Integration die ursprüngliche Gleichung
wiederherstellen. Eine solche Integration ist jedoch nicht für jede
beliebige Differentialgleichung möglich. Es galt daher, ein Kennzeichen
für die Integrierbarkeit einer Differentialgleichung zu finden, und
diese Aufgabe löste *Euler* für solche Gleichungen erster Ordnung
schon 1734. Später dehnte er mit Erfolg diese Untersuchungen auf
Differentialgleichungen höherer Ordnung aus. Zu einer allgemeinen
Theorie für dieses Gebiet ist *Euler* allerdings nicht gelangt, sondern
er beschränkte sich auf die Durchführung zahlreicher besonderer Fälle
von Integrationen. Die allgemeine Lösung des Problems blieb *Laplace*
und den Mathematikern des 19. Jahrhunderts (*Pfaff*, *Cauchy* und
anderen) vorbehalten.
Die Abhandlungen von *Lagrange*, welche die Lehre von der Integration
der Differentialgleichungen förderten, fallen in den Zeitraum von
1772-1785. Seine Untersuchung vom Jahre 1772 Ȇber die Integration
der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung« wurde auch
in deutscher Übersetzung zugänglich gemacht[754]. Eine vollständige
Integrationsmethode für lineare partielle Differentialgleichungen mit
beliebig vielen Veränderlichen fand *Lagrange* indessen erst sieben
Jahre später, nachdem er sich dem durch *Eulers* Untersuchungen
gestellten Problem zugewandt hatte.
Mit *Lagrange* begann auch eine neue Epoche in der Behandlung der
Maxima- und Minimaaufgaben. Der Fortschritt bestand darin, daß er die
analytische Bewältigung der hierher gehörigen Probleme ins Auge faßte,
während die *Bernoulli* und *Euler* vorzugsweise geometrisch verfuhren.
Die hierbei befolgte Methode von *Lagrange* bestand in einer engen
Verbindung der Differential- mit der Integralrechnung und wurde von
*Euler* mit dem besonderen Namen der »Variationsrechnung« belegt. Die
grundlegende Abhandlung von *Lagrange* für diesen Teil der höheren
Analysis erschien im Jahre 1762[755].
Wie die Isoperimeterprobleme[756] seit dem Altertum behandelt und
insbesondere durch *Fermat* gefördert wurden, haben wir an früherer
Stelle[757] erfahren. Während des 18. Jahrhunderts waren es zunächst
die *Bernoulli* und *Euler*, die sich mit diesen Problemen befaßten. In
seiner epochemachenden Abhandlung vom Jahre 1762 löste *Lagrange* in
seiner Allgemeinheit das Problem, für eine Integralformel ∫Z, in der Z
eine bestimmte Funktion der Variabeln x, y, z und ihrer Differentiale
bezeichnet, diejenige Relation zu finden, welche diese Variabeln unter
sich haben müssen, damit ∫Z ein Maximum oder ein Minimum wird. Dann
wendet er sich zur Erläuterung seiner Methode der Brachystochrone
zu, einer Kurve, die in der Geschichte der Mathematik ihre besondere
Bedeutung besitzt, weil sie den Untersuchungen der *Bernoulli* über
isoperimetrische Probleme zum Ausgangspunkt gedient hat[758].
Eine Vereinfachung und Vervollständigung der Variationsrechnung hat
*Lagrange* in einer Abhandlung[759] vom Jahre 1770 und vor allem in
seiner »Analytischen Mechanik« (1788) gegeben. Auch *Legendre* und
später *Jacobi* haben wertvolle Beiträge zur weiteren Ausgestaltung des
für die mathematische Physik so wichtigen Verfahrens geliefert[760].
Die Grundformeln der analytischen Mechanik.
*Lagrange* war es vorbehalten, die Mechanik in ein System zu bringen
und durch die Verbindung des Prinzips der virtuellen Geschwindigkeiten
mit dem Satze von *d'Alembert* diejenige Gleichung abzuleiten, die
er selbst als die dynamische Grundformel bezeichnete, weil sich
danach »die Bewegung irgend eines Systems von Körpern regelt«[761].
Durch diese Leistung *Lagranges* ist seine »Mécanique analytique«
vom Jahre 1788 zum Fundament der neueren Mechanik geworden und zu
einer Bedeutung gelangt, die derjenigen, die *Newtons* »Prinzipien«
für das vorhergehende Zeitalter besaßen, fast gleichkommt. Ein
wesentlicher Unterschied zwischen *Newton* und *Lagrange* besteht
indessen darin, daß *Newton* seine Sätze an der Figur entwickelte und
somit rein geometrisch (synthetisch) verfuhr, während *Lagrange* und
sein Vorgänger *Euler* auf dem Gebiete der Mechanik die analytische
oder rechnende Methode begründeten. Das Bestreben dieser Analytiker
lief darauf hinaus, zu möglichst umfassenden Formeln zu gelangen,
welche die Behandlung der zahlreichen Einzelfälle nach dem gleichen
Schema ermöglichen und sie dadurch erleichtern. In diesem Sinne ist
*Lagranges* analytische Mechanik wohl als eine der großartigsten
Leistungen für die Ökonomie des Denkens bezeichnet worden[762].
Für die Statik leitete *Lagrange* die allgemeine Formel für das
Gleichgewicht eines beliebigen Systems von Kräften aus dem Prinzip der
virtuellen Verschiebungen ab. Wirken auf eine Anzahl von Massenpunkten,
die zu einem System verbunden sind, die Kräfte P_{1}, P_{2}, P_{3} ...
und sind die entsprechenden virtuellen Verschiebungen p_{1}, p_{2},
p_{3} ..., so herrscht in dem System Gleichgewicht, wenn P_{1}p_{1} +
P_{2}p_{2} + P_{3}p_{3} + ... = 0 ist. Der kürzeste Ausdruck für diese
Grundformel der Statik lautet:
∑Pp = 0.
Bezieht man die Massenpunkte auf ein rechtwinkliges Koordinatensystem
und zerlegt jede Kraft in ihre parallel zu den Koordinatenachsen
wirkenden Komponenten, so lautet die Formel:
∑(Xdx + Ydy + Zdz) = 0.
Die Komponenten für die einzelnen Massenpunkte sind X_{1}Y_{1}Z_{1},
X_{2}Y_{2}Z_{2} usw. Ferner sind die virtuellen Verschiebungen für
die zuletzt erwähnte Formel, gleichfalls parallel den Achsen zerlegt,
dx_{1}dy_{1}dz_{1}, dx_{2}dy_{2}dz_{2} usw.
Die Ableitung der Grundformel für die Dynamik aus dem Prinzip
der virtuellen Geschwindigkeiten in Verknüpfung mit dem Satz von
*d'Alembert* gestaltet sich folgendermaßen. Es seien m_{1}m_{2}m_{3}
... die Massenpunkte, x_{1}y_{1}z_{1}, x_{2}y_{2}z_{2} ... die
zugehörigen Koordinaten, und X_{1}Y_{1}Z_{1}, X_{2}Y_{2}Z_{2} ...
wieder die Kraftkomponenten. Da die Massenpunkte unter sich verbunden
sind, so führen sie Bewegungen aus, welche durch die Kräfte
m_{1}d^2x_{1}/(dt^2), m_{1}d^2y_{1}/(dt^2), m_{1}d^2z_{1}/(dt^2) ... an
den nicht miteinander verbundenen Massen hervorgerufen werden können.
Diese Kräfte und die angreifenden Kräfte X, Y, Z ... stehen nach
*d'Alemberts* Prinzip im Gleichgewicht. Wendet man darauf das Prinzip
der virtuellen Verschiebungen an, so ergibt sich die Formel:
Σm(d^2x/(dt^2)δx + d^2y/(dt^2)δy + d^2z/(dt^2)δz)
= Σm(Xδx + Yδy + Zδz).
Dafür kann man auch schreiben:
Σ{m(X - d^2x/(dt^2))δx + m(Y - d^2y/(dt^2))δy + m(Z - d^2z/(dt^2))δz}
= 0.
Die Grundformeln der analytischen Mechanik geben uns nicht etwa neue
Aufschlüsse über die Natur der mechanischen Vorgänge, sondern sie
bauen sich auf schon bekannten Prinzipien auf. Was sie bieten, ist die
Möglichkeit, mit ihrer Hilfe auf rechnerischem Wege zur Bewältigung der
Einzelfälle dieser Wissenschaft zu gelangen[763]. Die Vervollkommnung,
welche die analytische Mechanik seit *Lagrange* durch *Poisson*,
*Green*, *Hamilton*, *Gauß*, *Helmholtz* und andere Forscher erfuhr,
hing daher von der weiteren Entwicklung des Kalküls ab.
Durch seine »Analytische Mechanik« förderte *Lagrange* nicht nur
die mathematische Physik, sondern vor allem auch die theoretische
Astronomie. Um letztere machte sich *Lagrange* außerdem noch durch eine
Reihe von Abhandlungen verdient, unter denen sein »Versuch einer neuen
Methode, um das Problem der drei Körper zu lösen« besondere Erwähnung
verdient[764].
Die Abweichungen, die ein Planet in seiner elliptischen Bahn um den
Zentralkörper durch den Einfluß eines dritten Weltkörpers erfährt,
hatte *Newton* noch nicht in Rechnung ziehen können. Die ersten, denen
dies für besondere Fälle gelang, waren *Clairaut* und *Euler*. Nach
ihnen haben sich um die Bewältigung dieses Problems *Lagrange* und ganz
besonders *Laplace* verdient gemacht. War man auch nicht imstande,
eine völlig befriedigende Theorie zu finden, so erkannte man doch, daß
auch unter dem Einfluß eines dritten Körpers eine elliptische Bewegung
stattfindet, bei der jedoch die Elemente der Ellipse sehr langsamen
(säkularen) Änderungen unterworfen sind. Da also im Verlaufe langer
Zeiträume periodisch derselbe Zustand wieder eintritt, so erschien die
Stabilität des Sonnensystems gesichert.
Endlich sei noch erwähnt, daß *Lagrange* die mathematische Analyse
auch in den Dienst der Kartographie gestellt hat. Der erste, der die
Theorie dieser Disziplin unter allgemeine Gesichtspunkte zu bringen
suchte, war bekanntlich *Lambert*[765]. Er stellte sich die Aufgabe,
die Lage der Längen- und Breitenkreise so zu bestimmen, daß alle
auf der Karte vorkommenden Winkel den betreffenden Winkeln auf der
Erdkugel gleich sind. Dieselbe Aufgabe beschäftigte auch *Euler*[766].
Während *Lambert* und *Euler* sich noch auf bestimmte Projektionsarten
beschränkten, suchte *Lagrange* der Theorie eine größere Allgemeinheit
zu geben, indem er alle Fälle in Betracht zog, in welchen die Meridiane
und die Parallelkreise durch Kreise wiedergegeben werden[767].
Die Begründung der Photometrie.
Die Ausdehnung der mathematischen Analyse auf sämtliche Gebiete der
Naturwissenschaft kam im 18. Jahrhundert nicht nur der reinen und
der angewandten Mechanik, sondern auch der Optik und der so lange
vernachlässigten Akustik zugute.
Die Optik war bis auf *Keplers* und *Scheiners* Zeit eine vorwiegend
geometrische Wissenschaft gewesen. *Scheiner* errichtete die Grundlagen
für die physiologische Optik. Eine bemerkenswerte Erweiterung der
Theorie des Sehens unter Berücksichtigung der physiologischen und der
physikalischen, insbesondere der quantitativen Seite, erfolgte um die
Mitte des 18. Jahrhunderts durch *Lambert*, den wir als den Begründer
der Photometrie bezeichnen müssen. *Lambert* erschöpfte dies Gebiet in
einer Weise, daß seit dem Erscheinen seines großen, diesen Wissenszweig
behandelnden Hauptwerkes[768] nur wenige die Photometrie betreffende
Fragen aufgeworfen und erörtert worden sind, die er nicht schon
behandelt oder gestreift hätte.
*Johann Heinrich Lambert* wurde am 26. August des Jahres 1728 zu
Mülhausen im Elsaß als Sohn eines armen Handwerkers geboren. Da es an
Mitteln fehlte, um den hochbegabten Knaben, dem Rate seiner Lehrer
entsprechend, studieren zu lassen, war *Lambert* zunächst gezwungen,
das Schneiderhandwerk zu erlernen. Seiner schönen Handschrift verdankte
er dann eine Anstellung als Schreiber. Zunächst war er als solcher in
einem Eisenwerk, später bei einem Professor der Rechtswissenschaft
in Basel tätig. Letzterer ließ ihm einen Teil des Tages zur
wissenschaftlichen Weiterbildung frei, und so vermochte es *Lambert*,
die Lücken seiner Bildung auszufüllen. Sein Gönner verschaffte ihm
darauf eine Stelle als Erzieher in einem gräflichen Hause. Hier und in
den Jahren, die er mit seinen Zöglingen auf der Universität verlebte,
fand *Lambert* Muße, sich eingehender mit wissenschaftlicher Arbeit zu
befassen. Sein Interesse war besonders der Astronomie zugewandt. Aus
dem Bestreben, gewisse astronomische Fragen zu lösen, entsprang auch
seine Beschäftigung mit der Lehre vom Licht. Bald nachdem *Lambert*
seine Tätigkeit als Erzieher aufgegeben hatte, erschienen rasch
nacheinander seine drei Hauptwerke, nämlich die Photometrie (1760),
eine Abhandlung über den Lauf der Kometen und seine kosmologischen
Briefe (1761). *Lambert* war dadurch als kaum Dreißigjähriger mit einem
Schlage zu einer europäischen Berühmtheit geworden. Auch als Philosoph
gewann der vielseitige Mann einen solch hervorragenden Ruf, daß *Kant*
ihn für einen der ersten unter seinen Zeitgenossen hielt[769]. *Kant*
schrieb an *Lambert*, er halte ihn für das größte Genie Deutschlands
und für den geeigneten Mann, die Philosophie zu reformieren. Er selbst
wolle keine Zeile in seinen Werken stehen lassen, die *Lambert*
nicht deutlich finde. Die Bemühungen der Petersburger Akademie um
*Lambert* wurden dadurch vereitelt, daß ihn die Berliner Akademie zum
Mitglied ihrer physikalischen Klasse mit einem Jahresgehalt von 500
Talern ernannte. *Lambert* stand in regem wissenschaftlichen Verkehr
mit *Euler* und *Lagrange*. Er starb am 25. September 1777. Sein
frühzeitiger Tod wird darauf zurückgeführt, daß er durch übermäßiges
Arbeiten seine Gesundheit untergrub.
Über *Lambert* besitzen wir folgende Charakterzeichnung: »Er war
gleichgültig gegen alles, was das Leben schön und behaglich macht. Sein
Kopf arbeitete unbehelligt durch Leidenschaften wie eine schwer zum
Stehen zu bringende Maschine. Dabei war er harmlos und naturwüchsig.
In der Mathematik stand *Lambert* nicht auf der Höhe von *Euler* und
*Lagrange*. In der Astronomie war er kein *Herschel*, in der Physik
kein *Newton*. In der Philosophie gebrach es ihm an *Leibnizens* Fülle
und Beweglichkeit und an *Kants* bohrendem Tiefsinn. Aber, daß er alle
vier Disziplinen mit grundlegenden und fortbildungsfähigen Arbeiten
befruchtete, macht ihn doch den Größten ähnlich.«
Auf dem Gebiete der Photometrie war vor *Lambert* nur wenig geschehen.
*Kepler* hatte zwar den Hauptsatz, daß die Lichtstärke mit dem Quadrate
der Entfernung abnimmt, geometrisch abgeleitet, zu Versuchen, die
Lichtstärken verschiedener leuchtender Körper zu vergleichen, war
indessen erst *Huygens* übergegangen. Das erste wirkliche Photometer
hatte dann der Franzose *Bouguer* (1698 bis 1758) geschaffen. Es
bestand aus zwei durchscheinenden Schirmen, die sich in den Öffnungen
*OO^1* (s. Abb. 123) befanden. Damit das Licht der beiden Lichtquellen
sich nicht vermischen konnte, war zwischen den beiden Öffnungen nach
der Seite der Flammen eine Scheidewand (F) angebracht. Die Lichtquelle,
deren Stärke zu messen war, wurde verschoben, bis dem vor *OO^1*
befindlichen Auge die transparenten, in *OO^1* befindlichen Schirme
gleich hell erschienen.
[Illustration: Abb. 123. Bouguers Photometer.]
*Bouguer* verfaßte auch ein Werk über die Photometrie, das 1760, also
gleichzeitig mit *Lamberts*, denselben Gegenstand betreffender Schrift
erschien, von *Lambert* also nicht berücksichtigt werden konnte[770].
Es läßt sich begreifen, daß die Verdienste *Bouguers* und *Lamberts*
um die Begründung des neuen Wissenszweiges gegeneinander abgewogen
wurden, und es hat nicht an Stimmen gefehlt, die *Lambert* gegenüber
*Bouguer* zu verkleinern suchten[771]. Anerkannt muß werden, daß der
französische den deutschen Forscher in der Anstellung sinnreicher
und sorgfältiger Versuche übertraf, während *Lambert* bei seinen
experimentellen Untersuchungen sogar mit einer gewissen Nachlässigkeit
verfuhr. Bestand doch sein ganzes Instrumentarium nur aus drei
kleinen Spiegeln, zwei Linsen, einigen Glasplatten und einem Prisma.
Andererseits gebührt *Lambert* das Verdienst, die Begriffe und das
System der Photometrie geschaffen zu haben. Während *Bouguer* sich an
Beobachtungen hält und aus ihnen nicht mehr folgert, als sich streng
genommen daraus folgern läßt[772], weiß *Lambert* jedem Problem eine,
bis zum Ziel gelangende, mathematische Lösung zu geben. Allerdings
war dies mitunter nur auf Grund einer so weit gehenden Vereinfachung
der Voraussetzungen möglich, daß das Ergebnis der Rechnung nur als
eine rohe Annäherung an die wirklichen Verhältnisse betrachtet werden
durfte. Daß der Franzose, wie wir hervorhoben, die Beobachtung und die
genaue Messung, der Deutsche dagegen die Begriffsbestimmung und die
Ableitung, unbeschadet mangelhafter Empirie, in den Vordergrund stellt,
war kein Zufall, sondern entsprach der Eigenart französischen und
deutschen Geistes. Ein ähnliches Verhältnis waltete im 18. Jahrhundert
zwischen den englischen und den deutschen Geisteserzeugnissen. Daß
die Deutschen die Vorzüge der westeuropäischen Forschungsweise sich
anzueignen und mit den eigenen Vorzügen zu verbinden wußten, hat dem
Deutschland des 19. und 20. Jahrhunderts die führende Rolle auf manchen
Gebieten der Naturwissenschaften eingebracht.
Nach diesen allgemeinen Bemerkungen und der Eingliederung *Lamberts* in
die Reihe seiner Zeitgenossen[773] wenden wir uns seiner Photometrie
zu, einem Werke, das, wie sein Herausgeber hervorhebt, für den
Astrophysiker ebenso unentbehrlich ist, wie für den Astronomen
*Laplaces* Mécanique céleste[774].
*Lambert* beginnt mit einer Betrachtung der Grundbegriffe der
Photometrie. Gerade dasjenige, meint er, sei unserer Einsicht am
meisten verschlossen, was der sinnlichen Wahrnehmung fortwährend
begegne. Dafür stelle die Theorie des Lichtes ein ausgezeichnetes
Beispiel dar. Daß diese nicht genüge, könne man schon daraus schließen,
daß zwei so verschiedene Hypothesen wie diejenige von *Newton*
und *Euler* (richtiger *Huygens*) zur Erklärung der Erscheinungen
angewendet würden. Die erstere liege dem Verständnis näher, doch
entspreche *Eulers* Theorie wohl mehr der Natur der Sache. *Lambert*
knüpft daran einen oft wiederholten Ausspruch über die Beurteilung von
Hypothesen. Seine Worte lauten: »Unter die vornehmsten und sichersten
Kriterien dafür, daß eine Hypothese sich der Wahrheit nähert, muß man
den Fall nehmen, wenn man aus ihrem Lehrgebäude den Eintritt neuer
Erscheinungen vorhersehen und wenn man Sätze daraus folgern kann, denen
die zu diesem Zwecke angestellten Versuche beipflichten«[775]. Diese
Prüfung sollte erst weit später zugunsten der von *Huygens* und *Euler*
vertretenen Wellentheorie entscheiden[776].
Da es für photometrische Untersuchungen kein absolutes Maß gibt,
sondern stets ein sehr subjektiver Faktor, das Urteil des Auges
nämlich, in Betracht gezogen werden muß, macht *Lambert* die
Voraussetzung, *daß »eine Erscheinung stets dieselbe ist, so oft
dasselbe Auge auf die gleiche Weise affiziert wird*«. Das Auge sei bei
verschiedenen Helligkeitsgraden zwar nicht imstande, zu entscheiden,
um wieviel der eine größer sei als der andere, doch müsse man
voraussetzen, daß das Auge über die Gleichheit zweier Helligkeitsgrade
entscheiden könne. Nur durch die Verknüpfung dieses Axioms mit
den schon aus geometrischen Überlegungen folgenden Prinzipien der
Photometrie könne man zu einem Ausbau dieses Teils der Optik gelangen.
Von solchen Prinzipien hob *Lambert* außer dem Satze von der Abnahme
des Lichtes mit dem Quadrate der Entfernung noch zwei besonders hervor.
Das erste lautet: »Wird dieselbe Fläche einmal von m, das andere Mal
von n Lichtquellen beleuchtet, von denen jede dieselbe Intensität
besitzt und ihr Licht unter völlig gleichen Umständen nach der Fläche
sendet, so verhalten sich die Helligkeitsgrade wie m : n.« Die
Beleuchtung eines Blattes ist also um so stärker, je größer die Anzahl
der leuchtenden Kerzen ist, vorausgesetzt, daß diese gleich hell sind,
die gleiche Entfernung vom Blatte und die gleiche Größe besitzen[777].
Der dritte, wichtigste Grundsatz sprach aus, daß die Helligkeit in
demselben Verhältnis abnimmt wie der Sinus des Neigungswinkels. Der
geometrische Beweis, den *Lambert* hierfür bringt (Photometrie § 53),
ist in alle Lehrbücher der Physik übergegangen. *Lambert* begnügte sich
nicht mit dem theoretischen Beweise dieser Sätze, sondern er suchte
auch durch geeignete Versuche ihre gegenseitige Abhängigkeit darzutun
und ihnen auf diese Weise eine noch größere Sicherheit zu verleihen.
Das nächste Kapitel beschäftigt sich mit der Messung und der Stärke
des direkten Lichtes. Für zahlreiche Einzelfälle wird die Lichtmenge
oder die Erleuchtungskraft berechnet, die von verschieden gestalteten
Flächenstücken ausgeht. Das von *Lambert* benutzte Photometer stimmte
mit dem nach *Rumford* benannten ziemlich überein. *Lamberts* Verfahren
bestand darin, daß er die Helligkeit zweier Flächenstücke verglich, von
denen das eine durch eine bestimmte Lichtquelle, das andere durch eine
Lichtquelle, deren Stärke ermittelt werden sollte, beleuchtet wurde.
Die Einrichtung geht aus Fig. 2 der Photometrie (s. Abb. 124) hervor.
[Illustration: Abb. 124. Lamberts Photometer.]
In K und A befinden sich die beiden Lichtquellen, die verglichen werden
sollen. *BDCEFG* sei eine weiße, ebene Fläche; vor dieser ist über HI
ein undurchsichtiger, Schatten spendender Schirm aufgestellt. Der von
der Lichtquelle bei A herrührende Schatten bedeckt den Teil DFEC der
weißen Fläche, während der von K ausgehende Schatten auf DFGB fällt.
Auf diese Weise wird der vordere Teil der Fläche DFGB nur von der
Lichtquelle in A, der hintere Teil DFEC nur von den von K kommenden
Strahlen beleuchtet. Die eine Lichtquelle wird dann so lange bewegt,
bis die weiße Fläche zu beiden Seiten der Linie DF gleich hell
erscheint.
Auf das Kapitel, das sich mit dem direkten Lichte beschäftigt, folgt
ein anderes über die Reflexion des Lichtes durch dunkle Körper[778].
Ferner wird von der durch zerstreutes Licht erzeugten Helligkeit der
durchsichtigen Körper, insbesondere der irdischen Atmosphäre gehandelt
und eine Formel für die Extinktion des Lichtes auf seinem Wege durch
die Atmosphäre abgeleitet (Photometrie § 878 bis 882). Im Anschluß
hieran wird die Dämmerung untersucht und die Höhe der Atmosphäre unter
gewissen einfachen Annahmen berechnet.
Der sechste Teil des *Lambert*schen Werkes enthält die Grundzüge der
Astrophotometrie. Es wird darin die Theorie der Lichtstärke des Mondes
und der Hauptplaneten entwickelt. Den Schluß bildet eine experimentelle
und theoretische Erörterung über die Intensität des heterogenen und des
relativen Lichtes, worunter die Farben und der Schatten verstanden sind.
Auf den Gang der Untersuchung kann hier nicht näher eingegangen werden,
doch sei hier einiges über die Ergebnisse mitgeteilt. Nach *Lambert*
entspricht die Absorption des Lichtes beim senkrechten Durchgang
durch die Atmosphäre dem Verhältnis 100 : 59[779]. Für die mittlere
Helligkeit des Vollmondes zu derjenigen der Sonne wird das Verhältnis
1 : 277000 ermittelt, und die mittlere Helligkeit des Vollmondes zu
zwei Dritteln der mittleren Zentralhelligkeit bestimmt. Letztere wird
dann auch für die Planeten aus der Zentralhelligkeit der Erde nach dem
ersten von *Kepler* ausgesprochenen Grundsatz der Photometrie berechnet.
Fortschritte der Akustik.
Während die Mechanik und die Optik seit den Zeiten *Galileis* von
seiten aller hervorragenden Physiker gefördert wurden, blieb das Gebiet
der Akustik zunächst vernachlässigt. *Newton* hatte zwar in seinen
»Prinzipien« eine Formel für die Fortpflanzungsgeschwindigkeit des
Schalles abgeleitet. Die experimentellen Bestimmungen dieser wichtigen
Konstante schwankten jedoch zwischen 1071 und 1255 Pariser Fuß. Die
Berechnung aus *Newtons* Formel ergab den noch geringeren Wert von
906 Fuß. Dieser Widerspruch zwischen Theorie und Erfahrung bewog die
Mathematiker, sich mehr als bisher der Akustik zuzuwenden. Zunächst
prüften *Euler* und bald darauf *Lagrange* die *Newton*sche Formel,
ohne jedoch zu einer Lösung des bestehenden Widerspruchs gelangen zu
können. *Daniel Bernoulli* wandte sich besonders der Untersuchung
der Luftschwingungen in den Orgelpfeifen zu[780]. Er sowie *Euler*
lieferten ferner Untersuchungen über die Schwingungen von Saiten
und Stäben. Die Abhandlungen, die *Euler*, *Lagrange*, *Bernoulli*,
*d'Alembert* u. a. über diesen Gegenstand veröffentlichten, besitzen
indessen mehr mathematischen als physikalischen Wert. Der erste, der
den akustischen Problemen durch eine erfolgreiche Vereinigung von
Experiment und mathematischer Analyse gerecht zu werden vermochte, war
*Chladni*.
*Ernst Florens Friedrich Chladni* wurde als Sohn eines Professors
der Rechte am 30. November 1756 in Wittenberg geboren. Er studierte
zunächst gleichfalls die Rechte, wandte sich aber später mit großer
Vorliebe den Naturwissenschaften und der Musik zu. Die Beschäftigung
mit der letzteren veranlaßte ihn zum Lesen akustischer Schriften. Da
ihm diese indessen nur sehr unvollkommene Aufschlüsse gaben, ging er zu
eigenen Untersuchungen über.
Vor *Chladni* hatte man sich ausschließlich mit den Quer- oder
Transversalschwingungen von Saiten befaßt. *Chladni* entdeckte, daß an
Saiten und insbesondere an Stäben auch Longitudinalschwingungen und
drehende Schwingungen hervorgerufen werden können[781].
Um Longitudinalschwingungen zu erhalten, wurden die Stäbe festgehalten
und der Länge nach gestrichen. *Chladni* benutzte dazu besonders
Glasröhren. Zum Hervorrufen der Töne bediente er sich eines mit
Smirgel bestreuten Tuches, das er mit der Hand den Stab entlang rieb.
Bei mittlerer Länge des Stabes waren die Töne sehr hoch. Sie standen
ferner in keinem bestimmten Verhältnis zu den an demselben Stab durch
transversale Schwingungen erzeugten Tönen.
Auf die Longitudinalschwingungen von Stäben, die *Chladni* beschrieb
(Über die Longitudinalschwingungen der Saiten und Stäbe, Erfurt 1796)
gründete er die Erfindung einiger neuer Musikinstrumente, des Euphons
und des Klavizylinders.
Das Euphon bestand aus Glasstäben, die auf Eisenstäben ruhten und mit
angefeuchteten Fingern gerieben wurden. Beim Klavizylinder bestanden
die Stäbe aus Holz; sie wurden durch eine Tastatur gegen einen
rotierenden feuchten Glaszylinder gepreßt. Beide Instrumente gaben
einen sanften, anhaltenden, langsam an- und abschwellenden Ton. Sie
haben indessen keine Verbreitung gefunden.
Das Studium der Longitudinalschwingungen führte *Chladni* auch zu einer
Berechnung der Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Schalles in festen
Körpern. Er fand sie weit größer als die Schallgeschwindigkeit in der
Luft. Wählte er letztere als Einheit, so ergab sich diejenige für
Zinn gleich 7,5
Silber » 9
Kupfer » 12
Eisen » 17
Glas » 17.
Eine direkte Messung der Schallgeschwindigkeit in einem Metall hat
einige Jahrzehnte später *Biot* vorgenommen. Er stellte sie an
gußeisernen Röhren an, die auf eine längere Strecke verbunden waren.
Wurde die so entstandene, sehr lange metallische Leitung an einem Ende
angeschlagen, so nahm man den Ton zuerst durch das Metall und später
durch die Luft wahr. Aus der Zeitdifferenz ergab sich für Gußeisen eine
Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Schalles von etwa 3500 Metern.
*Chladni* untersuchte auch die Geschwindigkeit in verschiedenen Gasen.
Über die Stärke des Schalles in den Gasarten hatte schon *Priestley*
Versuche angestellt. Er hatte gefunden, daß der Schall in Wasserstoff
fast so schwach ist wie im Vakuum, während er in Sauerstoff und
in Kohlensäure stärker ist als in der atmosphärischen Luft. Eine
direkte Messung in den verschiedenen Gasarten vermochte *Chladni*
nicht vorzunehmen. Sein Verfahren bestand darin, daß er Orgelpfeifen
in verschiedenen Gasen ertönen ließ. Da hier die Schwingungszahl
und somit die Höhe der Töne zu der Fortpflanzungsgeschwindigkeit in
einem mathematisch bestimmten Verhältnis steht, ließ sich aus der
Verschiedenheit der Tonhöhe, welche dieselbe Pfeife in verschiedenen
Gasen aufwies, die Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Schalles
für jedes Gas ermitteln. Direkte Messungen hat später *Regnault*
in Wasserleitungsröhren vorgenommen, die mit verschiedenen Gasen
gefüllt waren. Sie ergaben, daß *Chladnis* Ableitungen im allgemeinen
zutreffend sind.
Ein ganz neues Gebiet wurde von *Chladni* dadurch erschlossen, daß
er sich der experimentellen und der mathematischen Untersuchung
schwingender Platten zuwandte. Ausführlich berichtete er darüber 1787
in einer Schrift, die den Titel »Entdeckungen über die Theorie des
Klanges« führt. Besonderes Aufsehen erregte er durch die Art, wie
er die Schwingungen der Platten vermittelst der nach ihm genannten
*Chladni*schen Klangfiguren sichtbar machte. Auf sein Verfahren wurde
er durch die *Lichtenberg*schen Staubfiguren geführt. Sie entstehen,
wenn fein gepulverte Körper, wie Schwefelblumen oder Mennige, auf
Platten gebracht werden und man auf sie die Elektrizität überspringen
läßt. Die Art, wie sich das Pulver lagert, läßt erkennen, ob die
Elektrizität positiv oder negativ war.
War der überspringende Funke positiv, so ordnete sich das Pulver zu
eigentümlichen Strahlen, war er negativ, so entstanden wolkenartige
Gebilde. Als *Chladni* diese Versuche wiederholte, kam ihm plötzlich
der Gedanke: Sollte sich nicht auf ebenen Scheiben, sobald sie klingen
und etwas Sand darauf gestreut wird, eine Figur bilden, die den
betreffenden Ton kennzeichnet und so gleichsam sichtbar macht.
Um auf diese Weise den akustischen Zustand einer Platte festzustellen,
befestigte *Chladni* sie in horizontaler Lage an einer oder mehreren
Stellen, strich sie unter rechtem Winkel mit einem Violinbogen und
streute gleichzeitig Sand hinauf. Letzterer ordnet sich dann in den
bekannten regelmäßigen Figuren an, indem er »von den schwingenden
Stellen heruntergeworfen wird und auf den nicht schwingenden Stellen
ruhig liegen bleibt.« *Chladni* erkannte daraus, daß »die natürliche
Gestalt des Körpers durch die elastischen Flächenkrümmungen, ebenso
in gewissen Linien durchschnitten wird, wie dieses bei den krummen
Schwingungslinien der Saiten in gewissen Punkten geschieht, und daß
zwei Stellen, die durch eine solche feste Linie voneinander gesondert
sind, stets nach entgegengesetzten Richtungen schwingen«.
Die folgenden, dem Werke *Chladnis* entnommenen 4 Figuren zeigen uns,
wie eine quadratische Platte schwingt, wenn sie in verschiedener Weise
festgehalten und gestrichen wird.
Fig. 87 erscheint, wenn die Scheibe in der Mitte gehalten und an einer
Ecke gestrichen wird. Diese Schwingungsart gibt den tiefsten Ton.
Fig. 88 entsteht, wenn man die Scheibe wieder in der Mitte befestigt,
aber in der Mitte einer Seite streicht.
[Illustration: Abb. 125. Chladnische Klangfiguren[782].]
Der Ton ist dann nicht derselbe wie vorher, sondern etwa um eine Quinte
höher.
Fig. 89, die leicht in 90 übergeht, erhält man, wenn die Scheibe bei
n oder g gehalten und bei a gestrichen wird. Der Ton ist wieder etwas
höher als der vorige.
*Chladni* zeigte, daß man durch Festhalten mehrerer Stellen und
Abwechseln ihrer Lage eine ganz außerordentliche Mannigfaltigkeit von
Schwingungszuständen und diesen entsprechenden Klangfiguren hervorrufen
kann. Sie könnten, meint er, den Tapeten- und Kattunfabrikanten genug
Stoff zur Bereicherung ihrer Muster geben. Die Klangfiguren fesselten
das Interesse aller Kreise in hohem Grade, da *Chladni*, der kein Amt
bekleidete, sie an vielen Orten in akustischen Vorträgen, durch die er
seinen Lebensunterhalt erwarb, vorführte[783].
Außer den erwähnten Schriften *Chladnis* ist noch sein
zusammenfassendes Werk, »Die Akustik«, zu erwähnen[784]. In seinen
neuen Beiträgen zur Akustik vom Jahre 1817 ermittelte *Chladni* die
obere Grenze der Hörbarkeit von Tönen zu 22000 Schwingungen in der
Sekunde.
*Chladnis* Verdienst um die Aufklärung der Natur der Meteore wird an
anderer Stelle gewürdigt werden. Er starb in Breslau am 3. April des
Jahres 1827.
Über den Stand der gesamten Experimentalphysik des 18. Jahrhunderts
geben die großen Werke von *Desaguliers*, *s'Gravesande* und
*Musschenbroek* Auskunft. Die genaueren Titel dieser mehr als
bloß historisches Interesse erregenden Werke finden sich in der
Literaturübersicht am Schluß des vierten Bandes. Sie befassen sich in
erster Linie mit Gegenständen der angewandten Mathematik und haben dazu
beigetragen, die Wissenschaft jener Zeit von der oft überwuchernden
Spekulation immer wieder auf den sicheren Boden des Experiments
zurückzuführen. *Desaguliers* beschäftigt sich besonders mit der
Mechanik und dem Maschinenwesen. Bei *s'Gravesande* fallen dagegen die
zahlreichen Untersuchungen aus dem Gebiete der Hydrostatik und der
Hydrodynamik auf, während *Musschenbroek*, angeregt durch die Versuche
der Florentiner Akademie, zahlreiche Versuche über die Wärme anstellte.
19. Die Fortschritte der Astronomie nach der Begründung der
Gravitationsmechanik.
Die Astronomie wurde während des 18. Jahrhunderts immer mehr zum
Vorbild, dem die übrigen Naturwissenschaften, vor allem die Physik,
nachzueifern strebten. In der Vollendung der Methoden, sowie bezüglich
der Sicherheit der Resultate, zu denen die Astronomie gelangte, reichte
jedoch kein anderer Zweig an sie heran.
Neben dem Wettkampf zwischen dem dioptrischen Fernrohr und dem
Reflektor beschäftigten die Astronomen des 18. Jahrhunderts noch
zwei wichtige Fragen, welche die vorhergehende Periode aufgeworfen
hatte. Sie betrafen die Abweichung der Erde von der Kugelgestalt
und die Bestimmung der Sonnenparallaxe aus den 1761 und 1769
wieder zu erwartenden Vorübergängen der Venus. Um die von *Newton*
und *Huygens* herrührende Annahme, daß die Erde ein an den Polen
abgeplattetes Rotationsellipsoid sei[785], auf ihre Richtigkeit zu
prüfen, waren genaue Gradmessungen in der Nähe eines Pols und des
Äquators erforderlich. War, der Theorie *Newtons* gemäß, die Krümmung
in der Nähe der Pole eine geringere, so mußte sich hier für den
Breitengrad eine größere Strecke ergeben als für eben dieses Maß
in der Nähe des Äquators. Zur Entscheidung dieser Frage sandte die
französische Regierung in den Jahren 1735 und 1736 Expeditionen nach
Peru und Lappland. Die erstere, die von *Bouguer*[786] und *de la
Condamine*[787] geleitet wurde, maß den Abstand zwischen zwei nördlich
und südlich vom Äquator gelegenen Orten und fand für den Grad 56734
Toisen. Die von *Maupertuis*[788] geführte zweite Expedition stellte
ihre Messungen in der Nähe des Tornea unter dem 66. Grade nördlicher
Breite an. Das von dieser Expedition gefundene Ergebnis belief sich auf
57438 Toisen[789], war also um 704 Toisen größer als das am Äquator
erhaltene, während sich für die Breite von 45° ein zwischen diesen
beiden Größen liegender Wert von 57012 Toisen ergab. Die von *Newton*
und *Huygens* aufgestellte Ansicht über die Gestalt der Erde hatte
somit ihre Bestätigung erfahren. Nach *de la Condamine* ergaben diese
Messungen, daß sich die Erdachse zum Durchmesser des Äquators wie 299 :
300 verhält, während *Newton* auf rechnerischem Wege das Verhältnis 288
: 289 gefunden hatte.
Zu den Männern, die *Maupertuis* auf seiner Lapplandexpedition
begleiteten, gehörte der damals erst 23 Jahre alte *Clairaut*, der zu
den größten Mathematikern Frankreichs zählt[790]. Ihm verdankt man die
bedeutendste theoretische Untersuchung über die Gestalt der Erde[791].
*Clairauts* Arbeit wurde besonders dadurch veranlaßt, daß die beiden
Gradmessungen zwar die Richtigkeit der von *Newton* und *Huygens*
vertretenen Annahme bewiesen, daß sich aber die Abplattung als nahezu
doppelt so groß herausstellte, wie sie nach der Theorie hätte sein
sollen. *Clairaut* ging davon aus, daß die Gestalt der Erde, abgesehen
von den sehr geringen, als Berg und Tal in die Erscheinung tretenden
Unregelmäßigkeiten, von den Gesetzen der Hydrostatik abhängen muß.
Die Ausmessung der Erde könne daher nur dasselbe ergeben, wie wenn
die Messungen auf einer festgewordenen Flüssigkeit ausgeführt wären,
die vorher eine dem Gleichgewicht entsprechende Gestalt angenommen
hätte. An dem damit gegebenen Problem, die Gestalt der Erde aus den
hydrostatischen Gesetzen abzuleiten, hat sich die mathematische
Hydrostatik recht eigentlich erst entwickelt[792].
Die Anfangsgründe der Lehre vom Gleichgewicht der Flüssigkeiten
rühren besonders von *Newton* und von *Huygens* her. *Huygens*
hatte ausgesprochen, daß eine flüssige Masse nur dann in Ruhe ist,
wenn ihre Oberfläche ein Niveau darstellt, d. h. wenn sie überall
lotrecht zu den Kraftresultanten verläuft. *Newton* dagegen führte den
Gleichgewichtszustand auf den Druck zurück, der in Flüssigkeitssäulen
herrscht, die von der Oberfläche zum Kraftzentrum reichen. *Clairaut*
endlich stellte ein umfassenderes Prinzip an die Spitze. Es spricht
aus, daß eine flüssige Masse nur dann im Gleichgewicht sein kann, wenn
die an allen Stellen eines beliebig geformten Kanals auftretenden
Kräfte sich gegenseitig aufheben. Diesen Kanal kann man sich so
entstanden denken, daß die übrige Masse der Flüssigkeit fest wird. Der
Kanal kann ferner an der Oberfläche münden, in der Oberfläche selbst
verlaufen oder auch in sich zurückkehren (Abb. 126). Von diesem Prinzip
des beliebigen Kanals ausgehend, gelangte *Clairaut* zu den partiellen
Differentialgleichungen für das Gleichgewicht der Flüssigkeiten.
Besteht nämlich für jeden beliebigen Kanal Gleichgewicht, so
ist offenbar auch die ganze Flüssigkeitsmasse im Zustande des
Gleichgewichts.
[Illustration: Abb. 126. Erläuterung des Clairautschen Kanalprinzips.]
Bei der Verwendung hydrostatischer Untersuchungen zur Erklärung der
Gestalt der Erde beschränkte sich *Newton* auf eine homogene Masse.
Für eine solche hatte *Newton* das Achsenverhältnis gleich 230 : 231
berechnet. *Clairaut* dehnte dagegen die Untersuchung auf den Fall
aus, daß die Dichte der Schichten sich mit der Annäherung an das
Zentrum ändert. Auf die Einzelheiten dieser Untersuchung und das daraus
sich ergebende »*Clairaut*sche Theorem«[793] kann hier nicht näher
eingegangen werden, da es sich um einen Gegenstand der höheren Analysis
handelt.
*Clairaut* gehörte auch zu den ersten, die den höheren Kalkül auf die
Theorie der Mondbewegung anwandten. Dazu bedurfte es einer Erörterung
des Problems der drei Körper[794], um dessen angenäherte Lösung sich
außer *Clairaut* besonders *d'Alembert*, *Euler*, *Lagrange* und
*Laplace* verdient gemacht haben.
Erwähnt sei noch, daß sich in *Clairauts* »Theorie der Erdgestalt«
schon der Grundgedanke der Lehre von der Kraftfunktion oder dem
Potential findet, mit deren Weiterentwicklung sich besonders *Green*,
*Laplace* und *Gauß* beschäftigt haben[795].
Weit genauer als diejenige Gradmessung, an der *Clairaut* sich
beteiligte, war eine zweite, gegen das Ende des 18. Jahrhunderts
vorgenommene. In diesem Falle handelt es sich nicht um eine
vergleichende, aus rein wissenschaftlichen Gründen stattgefundene
Messung, sondern um eine solche, die darauf abzielte, den genauen Wert
einer den Maßen und Gewichten zugrunde zu legenden Naturkonstante zu
ermitteln.
Der Wunsch, ein einheitliches Maß- und Gewichtssystem zu besitzen, war
schon im 14. Jahrhundert mit dem Emporblühen des Handels rege geworden.
Man empfand immer deutlicher, daß die bestehenden Unterschiede
keinerlei Vorteil boten, sondern nur zu Mißbräuchen, Bedrückungen und
Betrügereien Anlaß gaben. Die Bemühungen, hier Besserung zu schaffen,
scheiterten schon an dem Widerstande der Fürsten und Prälaten. Es
war daher eine der ersten Forderungen der Revolutionsmänner, die
zahlreichen, in Frankreich wie in allen anderen Ländern bestehenden
Maße durch ein gemeinsames, der Natur entlehntes Längenmaß zu
ersetzen, und dieses als *Grundlage* für die Hohlmaße und die Gewichte
festzulegen.
Als solches hatte schon 1670 ein Franzose[796] die Minute eines
Längengrades vorgeschlagen. Fast zur selben Zeit brachte *Huygens*
in seinem Werke über die Pendeluhr (1673) das Sekundenpendel als
Längeneinheit in Vorschlag. *Huygens* wünschte den dritten Teil des
Sekundenpendels als Stundenfuß in allgemeinen Gebrauch genommen zu
sehen. Bald darauf entdeckte man jedoch die Abhängigkeit der Länge des
Sekundenpendels von der geographischen Breite. Aus diesem Grunde wurde
die von *Huygens* ausgehende Anregung nicht weiter verfolgt.
Im Jahre 1790 wurde die Angelegenheit in der konstituierenden
Nationalversammlung behandelt. Letztere beschloß, die Länge, welche das
Sekundenpendel unter dem 45. Breitengrade besitzt, als Maßeinheit zu
wählen und beauftragte eine Kommission, in der sich die bedeutendsten
französischen Gelehrten (wie *Laplace*, *Lagrange*, *Monge* und
*Borda*) befanden, das Erforderliche in die Wege zu leiten. Ein
weiterer Beschluß lief darauf hinaus, auch die englische Regierung für
das Vorhaben zu gewinnen, und die französische Kommission durch eine
von der Royal Society in London gewählte zu ergänzen. Man verwarf den
Vorschlag, als Längenmaß das Sekundenpendel festzusetzen, weil dieses
wieder durch eine andere Größe, nämlich die Zeit und ihre willkürliche
Einteilung in Sekunden, bedingt sei. Die Kommission schlug deshalb
vor, den Meridianquadranten möglichst genau zu messen und seinen
zehnmillionsten Teil als die gewünschte Einheit anzunehmen.
Veranlaßt durch diese Verhandlungen und Beschlüsse entstanden zwei
Arbeiten, von denen die eine auf eine möglichst genaue Bestimmung
des Sekundenpendels hinauslief. Die andere schuf die Grundlage des
metrischen Systems. Sie bestand in der Messung eines von Dünkirchen bis
Barcelona reichenden Meridianbogens[797].
Die Pendelmessungen währten vom Juni bis zum August 1792. Sie erfolgten
unter Anwendung aller Kautelen und mit der größten Genauigkeit nach
der Methode der Koinzidenzen. Das Verfahren beruhte darauf, daß die
Schwingungen des Pendels einer astronomischen Uhr mit den Schwingungen
des zu messenden Pendels verglichen wurden. Uhr und Pendel waren durch
einen Glaskasten vor Luftbewegungen geschützt. Das Pendel bestand
aus einem dünnen Platindraht und einer Platinkugel von etwa 16⅙
Linien Durchmesser. Sie war auf eine besondere Art befestigt[798]
und die Aufhängevorrichtung wurde so eingerichtet, daß sie auf die
Schwingungsdauer des Pendels keinen Einfluß hatte. Die Beobachtung
nach der Methode der Koinzidenzen, deren sich *Borda* zuerst bediente,
geschieht folgendermaßen: Man läßt beide Pendel schwingen und
beobachtet die Durchgänge durch das Gesichtsfeld eines in die Richtung
DD, eingestellten Fernrohrs. Man bestimmt zunächst den Zeitpunkt,
in dem beide Pendel gleichzeitig durch das Gesichtsfeld gehen (eine
Koinzidenz). Da die Pendel nicht gleich lang sind, so wird bei der
nächsten Schwingung das eine Pendel schon ein wenig vorangeeilt sein,
und die nächste Koinzidenz wird eintreten, sobald das etwas rascher
schwingende Pendel eine volle Schwingung mehr gemacht hat als das
andere. Je mehr Koinzidenzen man unter jedesmaliger Feststellung der
von einer Koinzidenz bis zur anderen verflossenen Zeit ermittelt, desto
genauer wird die experimentelle Grundlage für die sich anschließenden
Berechnungen sein. Zunächst galt es, aus der Beobachtung der
Koinzidenzen die Zahl der Schwingungen zu bestimmen, die das Pendel in
einem Tage mittlerer Sonnenzeit macht. Dann mußten alle erforderlichen
Korrekturen vorgenommen werden, um die Entfernung des Aufhängepunktes
bis zum Schwingungsmittelpunkt zu finden. Endlich galt es, aus dieser
reduzierten Entfernung und der Zahl der Schwingungen, die das benutzte
Pendel an einem Tage macht, die Länge des Sekundenpendels zu berechnen.
Sie ergab sich für Paris (48° 50ʹ 14ʺ n. Br.) gleich 440,5593 Linien.
Daraus folgt für die Beschleunigung g der Wert 9,80882 m[799].
[Illustration: Abb. 127. Die Bestimmung der Länge des Sekundenpendels.]
Wir wenden uns jetzt der zweiten, durch den Wunsch nach einem
einheitlichen Maß veranlaßten Messung zu. Sie wurde besonders im
Anfange durch die Wirren der Revolution in hohem Grade gestört und nahm
eine Reihe von Jahren in Anspruch. Man muß die Kühnheit, die Ausdauer
und das Geschick bewundern, womit ein solches Riesenwerk in einer
Zeit ins Werk gesetzt und durchgeführt wurde, in der das Land unter
Greueltaten litt, von Feinden bedroht war und keine festbegründete,
staatliche Ordnung besaß. Durch ein Gesetz vom 1. August 1793 wurde die
Länge des Meters vorläufig auf 443,443 Linien festgesetzt unter der
Voraussetzung, daß das zu erwartende Ergebnis der Gradmessung nicht
wesentlich hiervon abweichen werde.
Über dieses Ergebnis konnte die Kommission für Maß und Gewicht erst
mehrere Jahre später berichten. Das durch geodätische Bestimmungen
gefundene, als Meter bezeichnete Maß belief sich auf 443,296 Linien (3
Fuß 11,296 Linien). Das provisorische Maß war also um 0,146 Linien,
d. h. um etwa ⅓ mm länger als das durch die Gradmessung ermittelte
Meter. Darauf wurde die Einheit des Gewichtes im dezimalen metrischen
System bestimmt. Es ergab sich, daß das Kubikdezimeter destillierten
Wassers von größter Dichte im leeren Raum 18827,15 Gran wog[800].
Die so erhaltenen, sehr genau gearbeiteten, aus Platin verfertigten
Normalmaße (ein Meter und ein Kilogramm) wurden am 22. Juni 1799
im Staatsarchiv hinterlegt. Sie werden dort mit größter Sorgfalt
aufbewahrt und nur selten zur Verifizierung gebraucht, da für diesen
Zweck von ihnen entnommene Maße dienen.
Es konnte nicht ausbleiben, daß man später Fehler in der Bestimmung
des Gradbogens entdeckte. Eine 1840 unternommene Berechnung ergab für
das Meter 3 Fuß 11,375 Linien. Danach ist ein Meridianquadrant nicht
10000000, sondern 10000856 mal so groß, wie der in Paris aufbewahrte
étalon primitif. Man beschloß aber, an letzterem festzuhalten, »weil
man auf dem eingeschlagenen Wege doch nicht in aller Strenge zu einem
natürlichen Maße gelangen« könne.
Wie das Ergebnis dieser zu den denkwürdigsten wissenschaftlichen
Untersuchungen zählenden Gradmessung, so ist auch ihre Ausführung von
Interesse. Übertraf sie doch alle früheren an Umfang und Genauigkeit.
Die äußersten Punkte des gemessenen Bogens waren Dünkirchen (51° 2ʹ
10,5ʺ n. Br.) und ein Turm (41° 21ʹ 44,8ʺ n. Br.) in der Nähe von
Barcelona. Die Länge dieses Bogens betrug also 9° 40ʹ 25,7ʺ. Seine
Mitte lag unter 49° 11ʹ 58ʺ. Da man die Mitte des Bogens möglichst
unter 45° n. Br. zu haben wünschte, dehnte man die Triangulationen
später (1806) weiter nach Süden bis zur Insel Formentera aus. Der Bogen
erhielt dadurch eine Länge von 12° 22ʹ 13,44ʺ. Seine Mitte fällt unter
44° 51ʹ 2,83ʺ.
Der Triangulation wurden zwei Standlinien zugrunde gelegt. Die eine
in der Nähe von Paris war 6075,9 Toisen lang, die andere in der Nähe
der spanischen Grenze (Perpignan) besaß eine Länge von 6006,25 Toisen
und diente zur Kontrolle. Ausgemessen wurden diese Standlinien mit
Platinstangen, die unter der Aufsicht von *Borda* mit der größten
Sorgfalt verfertigt waren. Besondere Vorkehrungen dienten dazu, um
die jeweils herrschende Temperatur bei der Benutzung dieser Stangen
in Betracht zu ziehen usw. In wissenschaftlicher Hinsicht hatte die
Messung das bemerkenswerte Ergebnis, daß die Erde kein regelmäßiges
Rotationsellipsoid vorstellt, daß also kein Meridianquadrant genau
gleich dem anderen ist. Auch eine zur selben Zeit in England
unternommene Gradmessung kleineren Umfangs, die aber mit größter
Genauigkeit durchgeführt wurde, ergab die gleiche Anomalie. Um also
wenigstens annähernd die Gestalt der Erde zu bestimmen, mußte man die
Ergebnisse aller an den verschiedenen Orten der Erde vorgenommenen
Gradmessungen zusammenfassen und nach der Methode der kleinsten
Quadrate diejenige Gestalt daraus berechnen, die der wahren Gestalt
der Erde am nächsten kommt. Diese Aufgabe, mit der sich schon *Bessel*
beschäftigte, suchte das im Jahre 1886 gegründete Unternehmen der
internationalen Erdmessung zu lösen. Das Ergebnis, zu dem man
seitdem vorgedrungen ist, läuft darauf hinaus, daß die Erde keine
regelmäßige mathematische Gestalt besitzt. Sie bildet zwar eine
nach außen überall konvexe Fläche, zu deren Bestimmung indessen die
geodätische Untersuchung nur vorzudringen vermag, wenn sie sich mit der
systematisch durchgeführten Schweremessung verbindet. Man hat sie als
Geoid bezeichnet und bringt sie mit dem Normalellipsoid in der Art in
Verbindung, daß die Abweichungen zwischen diesem und dem Geoid durch
trigonometrische Messung, geodätisches Nivellement und Schweremessung
ermittelt werden, um auf diese Weise immer genaueren Aufschluß über die
wahre Gestalt der Erde zu erlangen.
Sonnenparallaxe, Erddichte und Aberration.
In der Periode, die wir schildern, wurden auch die Entfernung und die
Größe der Sonne, sowie die Abmessungen des Planetensystems nach ihrem
absoluten Werte bestimmt, und damit Aufgaben gelöst, die der Astronomie
seit der Zeit *Aristarchs* vorgeschwebt hatten.
*Edmund Halley* (1656-1742), ein jüngerer Zeitgenosse *Newtons*, dessen
Verdienste um die Fortbildung der Physik, der Astronomie und der
physikalischen Geographie wir kennen gelernt haben, war gelegentlich
eines von ihm beobachteten Vorüberganges Merkurs vor der Sonne auf
den Gedanken gekommen, einen derartigen Vorgang zur Bestimmung der
Sonnenparallaxe zu verwerten, d. h. desjenigen Winkels, unter dem der
Erdhalbmesser von der Sonne aus erscheint.
*Halley* machte seinen Vorschlag in zwei Abhandlungen, die 1693
und 1716 in den Philosophical Transactions erschienen. Ihre Titel
lauten: Ȇber die sichtbare Konjunktion der unteren Planeten mit der
Sonne«[801] und »Ein besonderes Verfahren, durch das die Parallaxe
der Sonne mit Hilfe der vor der Sonnenscheibe zu erblickenden Venus
sicher bestimmt werden kann«[802]. *Halleys* Vorschlag ging dahin, von
mehreren entfernten Stellen der Erde aus die Durchgangszeiten eines
der unteren Planeten, d. h. die Zeiten ihres Vorüberganges vor der
Sonnenscheibe zu beobachten.
Bei einem Merkur- oder Venusdurchgang beschreiben nämlich die genannten
Planeten auf der Sonnenscheibe Sehnen, deren Lage und Größe je nach
dem Orte, den der Beobachter auf der Erde einnimmt, verschieden ist.
Infolgedessen ist auch die Zeit eines und desselben Vorüberganges für
die einzelnen Beobachtungsstationen von verschiedener Dauer. Wie aus
Abb. 128 ersichtlich ist, steht die Entfernung *cd* der Sehnen *ef*
und *gh* zu den Abständen der drei Weltkörper und dem durch Messungen
auf der Erde seiner absoluten Größe nach bekannten Stück *ab* in einer
gewissen Beziehung, so daß sich aus den Ergebnissen der Beobachtung
eines Venusdurchganges die Größe und die Entfernung der Sonne berechnen
läßt[803].
[Illustration: Abb. 128. Halleys Bestimmung der Sonnenparallaxe[804].]
*Halley* selbst war es nicht mehr vergönnt, seinen Vorschlag ins Werk
zu setzen, da Vorübergänge der Venus seltene Ereignisse sind und
sich seit seinem Tode erst viermal wiederholt haben, nämlich in den
Jahren 1761, 1769, 1874 und 1882. Sowohl für das Jahr 1761 als auch
für 1769 wurden Expeditionen ausgesandt. Insbesondere waren daran
England, Frankreich und Rußland beteiligt. Aus dem an der Hudsonbay,
in Lappland, auf Tahiti usw. angestellten Beobachtungen berechnete
der französische Astronom *Delalande* eine Parallaxe von 8,5-8,6
Sekunden. Da der mittlere scheinbare Durchmesser der Sonne sich auf
31ʹ 37ʺ = 1897 Sekunden beläuft, so ergibt sich aus dieser Bestimmung
*Delalandes*, daß der Sonnendurchmesser denjenigen der Erde nahezu um
das 113fache übertrifft, oder daß das Volumen der Sonne 1400000mal so
groß ist wie dasjenige der Erde. Für die halbe große Bahnachse ergab
sich ein Wert von 20682000 geographischen Meilen. Eine sorgfältige
Neuberechnung der Sonnenparallaxe nach den 1761 gewonnenen Daten
veröffentlichte später *Encke* (1822). Er fand den Wert der Parallaxe
gleich 8,53 Sekunden.
Sind die Größenverhältnisse des Systems bekannt, so läßt sich durch
eine ähnliche Schlußfolgerung, wie diejenige, die *Newton* auf die
Entdeckung des Gravitationsgesetzes führte[805], die Kraft ermitteln,
mit der ein Körper in der Nähe der Sonnenoberfläche angezogen wird.
*Delalande* fand, daß diese Kraft 29mal die Anziehung der Erde
übertrifft, so daß ein frei fallender Körper auf der Sonne in der
ersten Sekunde 29 × 15,09 = 434 Pariser Fuß zurücklegt. Die neueren
Bestimmungen haben für die Sonnenparallaxe 8,88ʺ ergeben, wodurch sich
der Abstand der Erde von der Sonne auf rund 20000000 geographische
Meilen (148,6 Millionen Kilometer) vermindert, und auch die übrigen
Werte entsprechende Änderungen erfahren.
Von außerordentlicher Tragweite war *Halleys* Beobachtung, daß
die Fixsterne ihre gegenseitige Stellung ändern. Er machte sie am
Aldebaran, Arktur und Sirius, für die nach seinen Angaben diese, als
Eigenbewegung bezeichnete Änderung sich seit den Zeiten des *Ptolemäos*
auf die beträchtliche Größe von etwa einem halben Grad belief[806].
*Newton* hatte auf theoretischem Wege nicht nur die Abplattung, sondern
auch die Dichte unseres Weltkörpers ermittelt. Die Bestimmung der
ersteren und der sich daran anknüpfende Streit hatte die Aussendung der
Expeditionen nach Lappland und nach Quito zur Folge gehabt. In Quito
machte *Bouguer*[807] eine Entdeckung, welche die Handhabe bot, um auch
die *Newton*sche Berechnung der Erddichte zu verifizieren. *Bouguer*
fand nämlich, daß infolge der Anziehung des Chimborazo das Bleilot um
7-8ʺ von der senkrechten Lage abwich. Diese Beobachtung veranlaßte den
Engländer *Maskelyne* (1732-1811), derartige Untersuchungen an einem
nach Volumen und Dichte bekannten Berge anzustellen, um aus der Größe
jener Abweichung und der Masse, die sie hervorruft, die unbekannte
Masse der Erde auf Grund des *Newton*schen Gravitationsgesetzes zu
berechnen[808].
*Maskelyne* wählte für seine im Jahre 1774 angestellten Messungen einen
steilen, regelmäßig geformten Granitberg Schottlands. Die Dichte dieses
Berges wurde auf Grund mehrerer, an verschiedenen Stellen entnommener
Proben zu 2,5 gefunden, und aus diesem Wert und dem Rauminhalt des
Berges die gesamte auf das Pendel wirkende Masse berechnet. Die
Ablenkung selbst wurde dann in der Weise bestimmt, daß die Polhöhe
nördlich und südlich von dem Berge gemessen wurde (siehe Abb. 129).
Eine auf Grund der so gewonnenen Daten angestellte Rechnung ergab für
die Erde als mittlere Dichte 4,71. Letztere ist danach etwa doppelt so
groß wie diejenige des Granits, eines Gesteins, mit dem die meisten
Substanzen, welche die starre Erdkruste zusammensetzen, hinsichtlich
ihrer Dichte nahezu übereinstimmen.
[Illustration: Abb. 129. *Maskelyne* und *Hutton* bestimmen die Dichte
der Erde.
Der Abstand der durch A und B gezogenen Breitenkreise betrug 4364,4
Fuß. Dementsprechend hätten die Lote AP und BPʹ, wenn der Berg
nicht vorhanden gewesen wäre, einen Winkel von 42,92 Sekunden bilden
müssen, und dieser Winkel wäre gleich der Differenz der Polhöhen
gewesen. Die astronomischen Beobachtungen ergaben jedoch eine
Polhöhendifferenz von 54,6ʺ. Der Unterschied von 11,6 Sekunden ist
durch eine Verminderung der Polhöhe bei A um den Winkel PAQ und eine
Vermehrung bei B um PʹBQʹ hervorgerufen. PAQ + PʹBQʹ = doppelte
Ablenkung = 11,6 Sekunden.]
Durch die Lösung derartiger Aufgaben trat die Astronomie in eine
immer engere Beziehung zur Physik der Erde. Aber auch die reine
Physik sollte durch die Bewältigung eines astronomischen Problems
eine wichtige Förderung erhalten. Im 17. Jahrhundert hatte
*Römer* auf astronomischem Wege eine physikalische Konstante, die
Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Lichtes nämlich, festgestellt. Jetzt
bot sich eine andere Gelegenheit, dieselbe Größe zu ermitteln und
infolge der Übereinstimmung der auf verschiedenen Wegen erhaltenen
Ergebnisse zu einem höheren Grade der Gewißheit zu gelangen.
[Illustration: Abb. 130. Bradley entdeckt die Aberration.]
Seit dem Bekanntwerden des koppernikanischen Systems war seinen
Anhängern die Aufgabe gestellt, den Umlauf der Erde um die Sonne durch
den Nachweis einer entsprechenden, scheinbaren, jährlichen Bewegung
der Fixsterne darzutun. In Abb. 130 bedeute ABCD die Erdbahn, S sei
ein Stern, der sich in der Ebene der Ekliptik befinde. Steht nun der
Durchmesser CA der Erdbahn zu dem Abstand ES des Sternes in einem
nicht zu kleinen Verhältnis, so wird der Fixstern im Verlaufe eines
Jahres am Himmel die scheinbare Bewegung SʹSʺSʹ erkennen lassen.
Beobachtungen an einem außerhalb der Ekliptik gelegenen Fixstern werden
für diesen als scheinbare Bahn eine Kurve ergeben, deren Gestalt der
von dem Sterne aus beobachteten Bahn der Erde genau entspricht[809].
Der Winkel CSE, unter dem von dem Sterne aus der Halbmesser der
Erdbahn erscheint, wird die jährliche Parallaxe des Sternes genannt.
*Tycho*, der hinsichtlich der Genauigkeit seiner Messungen alle
Vorgänger übertraf, mühte sich vergeblich ab, eine solche Parallaxe am
Polarstern nachzuweisen, und erklärte insbesondere aus diesem Grunde
dem koppernikanischen System seine Gegnerschaft. Letzteres war trotzdem
zur unbestrittenen Herrschaft gelangt, ohne daß der geforderte,
unmittelbare Nachweis der Umlaufbewegung bisher erbracht worden wäre.
Da die Schärfe der astronomischen Beobachtung seit den Zeiten *Tychos*
sich vervielfältigt hatte[810], so nahmen *Hooke* und *Cassini* das
alte Problem wieder auf. Ersterer wählte für seine Messungen den in der
Nähe des Nordpols der Ekliptik befindlichen Stern γ Draconis und wies
nach, daß dieser Himmelskörper tatsächlich seine Stellung innerhalb
eines Vierteljahres um 25 Sekunden ändert.
*James Bradley* (1692-1763), der nach dem Tode *Halleys*[811] zum
Direktor der Sternwarte zu Greenwich ernannt worden war, stellte
während der Jahre 1725-1728 zu dem gleichen Zwecke zahlreiche
Beobachtungen an. Neben γ Draconis zog er indes auch andere Fixsterne
in Betracht, die in der Ekliptik selbst oder zwischen dem Pole und
der Ebene der Ekliptik liegen. Seine Beobachtungen ließen scheinbare
Bewegungen erkennen, die zwar den Beweis für eine Bewegung der Erde um
die Sonne lieferten, indes doch nicht als parallaktische betrachtet
werden konnten. Während nämlich γ Draconis im Laufe eines Jahres eine
nahezu kreisförmige Bahn von 40ʺ Durchmesser beschrieb, durchliefen
die in der Ekliptik gelegenen Sterne in demselben Zeitraum zweimal
eine Linie, die unter demselben Winkel von 40ʺ gesehen wurde. Zwischen
der Ebene und den Polen der Ekliptik befindliche Sterne endlich legten
unterdessen Ellipsen zurück, deren große Achsen wieder 40ʺ maßen und
der Ebene der Ekliptik parallel waren, während der Wert der kleinen
Achsen zwischen 0ʺ und 40ʺ schwankte, je nachdem der betreffende
Stern der Ekliptik oder ihrem Pole näher gelegen war[812]. Um diese
scheinbaren Bewegungen auf eine Parallaxe zurückzuführen, hätte man, da
in allen Fällen derselbe Wert von 40ʺ wiederkehrt, zunächst annehmen
müssen, daß sämtliche Fixsterne gleich weit von der Erde entfernt
seien. Dieser an sich schon unwahrscheinlichen Annahme widersprach
aber die Tatsache, daß in B und D (siehe Abb. 130) der Stern nicht an
demselben Orte gesehen wurde, wie es bei der parallaktischen Bewegung
doch der Fall sein müßte. *Bradley* fand nämlich, daß, wenn die Erde
sich in D befindet und sich in der Richtung *Dd* bewegt, der Stern nach
Sʹ verschoben erscheint. Befindet sich die Erde dagegen in B, wo ihre
Bewegungsrichtung die entgegengesetzte ist, so findet die Verschiebung
nach Sʺ statt. In beiden Fällen erreicht der Wert dieser Verschiebung
20ʺ, während in C und A, wo die Bewegungsrichtung der Erde mit
derjenigen des von dem Fixstern kommenden Lichtes übereinstimmt, der
Stern, falls er in der Ebene der Ekliptik liegt, an seinem wahren Orte
gesehen wird.
Zur Erklärung dieser auffallenden Erscheinung soll *Bradley* durch eine
alltägliche Beobachtung gelangt sein. Er bemerkte nämlich bei einer
Bootfahrt, daß die Fahne die Windrichtung wirklich angibt, wenn der
Lauf des Schiffes mit der Richtung des Windes übereinstimmt. Änderte
man dagegen den Kurs, so nahm die Fahne die Stellung an, die sich als
abhängig von den Richtungen und den Geschwindigkeiten des Windes und
des Bootes erwies. Pflanzt sich, so folgerte *Bradley*, das Licht mit
endlicher Geschwindigkeit fort, so muß sich letztere mit derjenigen
der Erde zusammensetzen. Abb. 131 stellt das Parallelogramm dieser
Geschwindigkeiten dar.
Zu der Zeit, in der sich die Erde in den Stellungen B und D (Abb. 130)
befindet, beträgt ihre durch das Stück *ab* (Abb. 131) wiedergegebene
Geschwindigkeit, wie überall auf ihrer Bahn, etwa 4 Meilen. Die
Aberration erreicht dann ihren größten Wert von 20ʺ, der dem Winkel
*acb* beizulegen ist. In diesem Falle verhält sich *bc* zu *ab* wie
die Geschwindigkeit des Lichtes zu derjenigen der Erde. Ist der eine
dieser Werte bekannt, so ist der andere durch eine einfache Beziehung
gegeben[813]. Bradley erhielt so für die Fortpflanzungsgeschwindigkeit
des Lichtes, fast in Übereinstimmung mit dem von *Römer* gefundenen
Ergebnis, den Wert von 40000 Meilen. Beide auf astronomischem Wege
erhaltenen Bestimmungen fanden um die Mitte des 19. Jahrhunderts eine
Bestätigung durch terrestrische, nach rein physikalischer Methode
angestellte Messungen.
[Illustration: Abb. 131.