Weitere Fortschritte der Astronomie.
Bei *Newton* und den auf ihn folgenden Astronomen war das
Hauptinteresse auf das Planetensystem gerichtet, für das die
Gravitationsmechanik zunächst noch zahlreiche Probleme bot. Mit den
Kometenbahnen hatte sich zwar *Newton* in seinen Prinzipien auch
beschäftigt, doch war die von ihm geschaffene Methode noch sehr
unvollkommen. Weitere Untersuchungen auf diesen Gebieten unternahmen
*Euler* und ganz besonders *Lambert*. Hatte *Kepler* für diese
Himmelskörper noch eine geradlinige Bewegung angenommen, so lieferte
*Newton* den Nachweis, daß es sich auch hier um Kegelschnitte
handle. Er lehrte ferner, durch Konstruktion aus drei Positionen die
parabolische Bahn ermitteln, ein Verfahren, dessen sich besonders
*Halley* mit Erfolg bediente.
Grundlegende, geradezu klassische Arbeiten über die Bestimmung der
Kometenbahnen rühren von *Lambert* her, mit dessen Lebensgang und
Verdiensten um die Physik wir schon im vorigen Abschnitte bekannt
geworden sind[814]. *Lamberts* Ziel bestand, wie er in seiner
Vorrede hervorhebt, darin, die Bahn des Kometen auf Grund von drei
Beobachtungen, aus den Eigenschaften der Kegelschnitte vollständig zu
ermitteln. Von besonderer Wichtigkeit ist *Lamberts* Satz[815], daß die
Zeit, die zum Durchlaufen eines Kurvenstücks erforderlich ist, aus der
Sehne und den beiden Vektoren ermittelt werden kann. Für die Parabel
hatte diesen Satz schon *Euler* gefunden[816]. Er erkannte jedoch noch
nicht seine Bedeutung und hat ihn nicht bei seinen Arbeiten über die
Bahnbestimmung benutzt, während *Lambert* ihn auf hyperbolische Bahnen
ausdehnte.
Nachdem *Lambert* die Bewegung der Kometen erörtert hat, befaßt er sich
mit dem Verfahren, eine parabolische Kometenbahn aus den Beobachtungen
zu bestimmen. Genauer lautet das Problem, das er sich stellt,
folgendermaßen[817]: Gegeben sind drei geozentrische Örter eines in
einer Parabel sich bewegenden Kometen; man soll Lage und Größe der Bahn
ermitteln. Die Lösung führte ihn auf eine Gleichung 6. Grades. Werden
*Lamberts* Ausdrücke nach einer kleinen Berichtigung entwickelt, so
gibt seine Methode ein brauchbares Verfahren[818].
Unabhängig von *Kant* hat *Lambert* ferner Ansichten über den Bau des
Weltalls entwickelt, die mit den Ergebnissen der neueren Forschung in
Einklang stehen. Es geschah dies in seiner 1761 erschienenen Schrift
»Kosmologische Briefe über die Einrichtung des Weltbaus«. *Lambert*
unterscheidet darin Weltsysteme erster, zweiter und dritter Ordnung.
Ein System erster Ordnung bilden die Sonne und jeder Fixstern, da alle
Fixsterne als Zentren von ebensoviel Scharen von Planeten und Kometen
aufzufassen sind.
Das Sonnensystem kreist mit zahlreichen benachbarten Sonnensystemen um
einen gemeinschaftlichen Schwerpunkt. Das Ganze betrachtet *Lambert*
als ein System zweiter Ordnung. Aus solchen setzt sich endlich die
Milchstraße als eine Scheibe, deren Durchmesser nach vielen tausend
Siriusweiten zählt, zusammen. Vielleicht sei, meint *Lambert*,
auch hiermit die Gliederung zu immer umfassenderen Gruppen nicht
abgeschlossen, doch übersteige eine Fortsetzung dieser Betrachtung
unser Fassungsvermögen.
Die etwa drei Jahrzehnte (1718) vor der Herausgabe der Kosmologischen
Briefe durch *Bradley* entdeckte Eigenbewegung der Fixsterne würde
sich, diesen Ausführungen *Lamberts* entsprechend, aus zwei Bewegungen
zusammensetzen, der Bewegung der Sterne selbst und der von *Lambert*
vorgeahnten Bewegung unseres Sonnensystems. »Es wird später möglich
werden«, sagt *Lambert*, »diese beiden Komponenten zu trennen und
die Richtung anzugeben, nach der sich unsere Sonne bewegt.« Diese
Voraussage sollte, wie wir in einem späteren Abschnitt sehen werden,
schon einige Jahrzehnte später (1781) durch *Herschel* in Erfüllung
gehen.
Astronomie und Kartographie.
Ganz Hervorragendes hat *Lambert* auch auf einem Nebengebiet der
Astronomie, auf dem Gebiete der Kartographie, geleistet, so daß man
für dieses mit dem Erscheinen von *Lamberts* Schrift über Land- und
Himmelskarten wohl eine neue Epoche datiert hat. Die Schrift ist mit
Anmerkungen versehen von neuem herausgegeben worden[819]. Ihr erstes
Erscheinen fiel in das Jahr 1772.
Der in die zweite Hälfte des 18. Jahrhunderts fallende große Aufschwung
der Kartographie hing mit dem Einsetzen der wissenschaftlichen
Entdeckungsreisen (*Cook*) und mit genaueren topographischen
Landesaufnahmen zusammen. So entstand (1750 bis 1793) auf Grund einer
großen genauen Landesvermessung *Cassinis* Carte géométrique de la
France. Sie umfaßte 184 Blätter im Maßstab von 1 : 86400 und diente
für die Karten der übrigen Länder als Muster[820]. In gleichem Maße
epochemachend war die erwähnte Schrift *Lamberts*.
Zwar fehlte es vor *Lambert* nicht an Untersuchungen über einzelne
Entwerfungsarten. Ihm gebührt jedoch das Verdienst, daß er zuerst
die allgemeinen Grundsätze, die bei der Kartenprojektion in Betracht
kommen, aufstellte und als erster diejenigen Forderungen erörterte,
die das Kartenbild zu erfüllen hat. Im Verfolg dieser Aufgaben kam
*Lambert* auch auf mehrere neue Projektionsarten, die noch heute im
Gebrauch sind. Es sind dies vor allem die winkeltreue und flächentreue
Kegelprojektion[821].
Mit demselben Gegenstande hat sich einige Jahre später auch *Leonhard
Euler* beschäftigt. Ihm hatte auch die sphärische Trigonometrie um
die Mitte des 18. Jahrhunderts Fortschritte zu verdanken, die in
erster Linie der Astronomie zugute kamen. *Eulers* Abhandlungen über
Kartenprojektion[822] gehen über die Behandlung, die *Lambert* dem
gleichen Gegenstande widmete, weit hinaus und leiten andererseits zu
den Untersuchungen über, die *Lagrange* und später *Gauß*[823] über die
konforme Abbildung von Flächen auf anderen Flächen angestellt haben.
Die erste Arbeit *Eulers* handelt von der Abbildung der Kugelfläche
in einer Ebene, und zwar behandelt *Euler* nicht nur die früheren
Projektionen, bei denen die einzelnen Punkte der Kugelfläche nach den
Gesetzen der Perspektive so auf eine Ebene projiziert werden, wie sie
dem Beobachter von einem bestimmten Punkte aus erscheinen, sondern er
faßt seine Aufgabe in weiterem Sinne auf und zeigt, wie die Punkte der
Kugelfläche nach einem beliebigen Gesetz in einer Ebene dargestellt
werden können.
Unter anderem werden die Bedingungen der *Mercator*'schen
Projektionsart entwickelt und dargetan, daß für diese die kleinsten
Teile der Oberfläche ihren Bildern in der Ebene ähnlich sind, also
das Prinzip der Konformität oder Winkeltreue gewahrt ist. *Euler*
zeigte ferner, daß der größte Vorteil, den derartige Karten den
Seefahrern gewähren, darin besteht, daß die loxodromischen Linien,
d. h. die Kurven, die sämtliche Meridiane unter dem gleichen Winkel
schneiden, bei dieser Projektionsart als gerade Linien erscheinen. Jede
gerade Linie schneidet nämlich alle Meridiane der Karte, die ja bei
*Mercators* Projektion einander parallel sind, unter demselben Winkel.
Auch die bekannte Abbildung der Erdhalbkugeln im Innern von Kreisen,
deren Mitte der Pol einnimmt, während die Meridiane und die
Parallelkreise sich senkrecht schneiden, wird von *Euler* aus den von
ihm aufgestellten allgemeinen Gleichungen abgeleitet und gezeigt, daß
auch für diese Projektionsart alle sehr kleinen, auf der Kugel beliebig
angenommenen Figuren durch ähnliche Figuren in der Ebene wiedergegeben
werden.
In der zweiten Abhandlung wird ein für die Darstellung besonders
häufiger, flächentreuer Entwurf aus den allgemeinen Bedingungen
erörtert, der Entwurf nämlich, bei dem die Meridiane und die
Parallelkreise als Kreise erscheinen.
Die letzte Abhandlung endlich erörtert die Projektionsart, die *De
Lisle* seiner Karte des russischen Reiches zugrunde gelegt hat[824],
und zeigt, wie man die Fehler einer solchen nach *De Lisle*scher
Projektion entworfenen Karte möglichst verringern kann. Die genannte
Projektionsart ist eine konische, d. h. ein Teil der Kugelzone wird
derart auf einen Kegel übertragen, daß den Meridianen gerade Linien,
den Parallelkreisen der Kugel aber parallele Kreise auf dem Mantel des
Kegels entsprechen.
Nicht minder groß sind die Verdienste, die sich *Euler* um die
wichtigste Hilfswissenschaft der Astronomie, die Trigonometrie,
erworben hat. In seiner ersten Abhandlung über diesen Gegenstand
(1753) stellte er sich die Aufgabe, wichtige Sätze der sphärischen
Trigonometrie nach der Methode der größten und kleinsten Werte
abzuleiten[825].
Etwaige Bedenken gegen die Ableitung der sphärischen Trigonometrie aus
den Regeln der Infinitesimalrechnung werden von *Euler* zurückgewiesen.
Es sei immer von Nutzen, auf verschiedenem Wege dieselben Wahrheiten
zu erreichen, weil aus diesem Verfahren sich stets neue Gesichtspunkte
ergeben würden. Zur Notwendigkeit wurde aber die Anwendung der neuen
Methode hier wie in allen übrigen Fällen, wenn man ein Problem ganz
allgemein lösen wollte. Die bisher übliche Betrachtungsweise war
auf das ebene und das sphärische Dreieck beschränkt. Wollte man
dagegen Dreiecke untersuchen, die auf einer beliebigen, z. B. einer
konoidischen oder sphäroidischen Fläche dadurch entstehen, daß man drei
Punkte durch drei kürzeste, der betreffenden Oberfläche angehörende
Linien verbindet, so war damit ein Problem gegeben, das sich nur
mit den Mitteln der höheren Mathematik lösen ließ. Die Wichtigkeit
einer solchen Begründung der Trigonometrie auf einer allgemeinen
Auffassung leuchtet ein, wenn man bedenkt, daß die Messungen der
Geodäten nicht auf einer Kugel, sondern, wie *Euler* hervorhebt, auf
einer sphäroidisch gestalteten Fläche geschehen. Wenn man die bei den
Triangulationen erforderlichen Dreiecke recht groß wähle, so müsse man
auf diesen Umstand auch Rücksicht nehmen. In der erwähnten Abhandlung
leitet *Euler* nur die Formeln für die Kugeloberfläche mit Hilfe
der Infinitesimalrechnung ab. Für andere Flächen, wie das Sphäroid
(Umdrehungsellipsoid), wird diese Trigonometrie der kürzesten Linien
(der Name sphärische Trigonometrie paßt ja nur für die Kugel) in einer
späteren Arbeit behandelt[826]. Auch darauf wies *Euler* hin, daß die
ebene Trigonometrie aus der sphärischen hervorgeht, wenn man den Radius
der Kugel unendlich groß werden läßt[827]. Sehr glücklich war sein
Gedanke, die Seiten eines Dreiecks mit a, b, c und die entsprechenden
Gegenwinkel mit A, B, C zu bezeichnen. Die trigonometrischen Formeln
wurden dadurch viel übersichtlicher und neue Beziehungen weit leichter
als bisher entdeckt[828]. Die trigonometrischen Formeln, die wir
heute benutzen, hat *Euler* mit Ausnahme der *Gauß*schen Formeln[829]
infolgedessen besonders klar dargestellt, teilweise auch zum ersten
Male abgeleitet[830].