Die von *Galilei*, *Newton*, *Huygens* und anderen ausgeübte Methode,
welche durch die Verknüpfung des Versuchs mit dem mathematischen
Beweisverfahren zum Auffinden der Naturgesetze führt, blieb während des
18. Jahrhunderts, wie zur Zeit ihrer Schöpfer, im wesentlichen auf die
Astronomie und die Mechanik beschränkt. Auch galt es, während dieses
Zeitraumes die von *Newton*[696] und *Leibniz*[697] ins Leben gerufene
höhere Analysis zur Bewältigung derjenigen großen Aufgaben geeignet zu
machen, die zunächst auf den Gebieten der Mechanik, der Optik und der
Akustik einer Lösung harrten.
Naturwissenschaft und Mathematik.
Daß die höhere Mathematik im Verlauf des 18. Jahrhunderts zu dem
»Riesenschwerte« des Astronomen und Physikers und später des modernen
Naturforschers überhaupt wurde, ist vor allem den Mitgliedern der
Familie *Bernoulli* und *Leonhard Euler* zu verdanken. Der älteste
und zugleich einer der bedeutendsten unter den zahlreichen großen
Mathematikern dieser Familie ist *Jakob Bernoulli* (1654-1705).
Er ist als einer der wichtigsten Bahnbrecher auf den Gebieten der
Infinitesimalrechnung, der Reihenlehre, Kombinationslehre und
Wahrscheinlichkeitsrechnung zu nennen[698]. *Jacob Bernoulli*
beschäftigte sich mit den beiden zuletzt genannten Gegenständen seit
etwa 1680. Sein großes Werk, in dem er die eigenen und die Forschungen
anderer Mathematiker über Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
zusammenfaßte, erschien jedoch erst einige Jahrzehnte später[699].
Es enthält auf dem Gebiete der ersteren, und zwar in der noch heute
üblichen Form, so ziemlich alles, was den Bestand dieser Disziplin
ausmacht[700]. Bei weitem der wichtigste Abschnitt des Werkes
ist der letzte[701]. *Bernoulli* stellte sich darin die Aufgabe,
die Wahrscheinlichkeitsrechnung auf »bürgerliche, sittliche und
wirtschaftliche Verhältnisse« anzuwenden. Im Hinblick auf die ganz
neuen Bahnen, welche damit diesem Zweige der Mathematik gewiesen
werden, ist es doppelt bedauerlich, daß dieser Abschnitt unvollendet
geblieben ist. Die Wahrscheinlichkeit wird als ein Grad der Gewißheit
erklärt, der sich von der Gewißheit selbst wie ein Teil vom Ganzen
unterscheidet. Besteht die absolute Gewißheit (a oder 1) aus 5
Wahrscheinlichkeiten (oder Teilen), von denen 3 für das Eintreten eines
Ereignisses und zwei dagegen sprechen, so besitzt das Ereignis 3/5a
oder 3/5 der Gewißheit.
Die Untersuchung gipfelt in dem *Bernoullischen* Theorem[702], das man
auch das Gesetz der großen Zahlen genannt hat. Das Theorem betrifft die
Frage, ob durch Vermehrung der Beobachtungen, oder durch fortgesetzte
Häufung der Einzelfälle, die Wahrscheinlichkeit dafür wächst, daß die
Zahl der günstigen zur Zahl der ungünstigen Fälle schließlich das wahre
Verhältnis erreicht. *Bernoulli* formuliert das Problem und bejaht
es auf Grund eines mathematischen Beweisverfahrens. Sehr treffend
bemerkt er, die Aufgabe habe sozusagen ihre Asymptote, indem, auch
bei beliebiger Vermehrung der Beobachtungen, ein bestimmter Grad von
Wahrscheinlichkeit, das wahre Verhältnis der Fälle gefunden zu haben,
nicht überschritten werden könne.
Als Beispiel wählt *Bernoulli* eine zugedeckte Urne, in der sich
ohne unser Vorwissen 3000 weiße und 2000 schwarze Steine befinden.
Durch häufiges Ziehen und jedesmaliges Zurücklegen der Steinchen in
die Urne wird man mit immer größerer, schließlich mit an Gewißheit
grenzender Wahrscheinlichkeit das Verhältnis 3 : 2 ermitteln,
indem dieser Wert mit der Häufung der Fälle in immer engere Grenzen
eingeschlossen wird. Wir sind daher, sagt *Bernoulli*, gezwungen, bei
allen Geschehnissen eine gewisse Notwendigkeit anzuerkennen. Würde man
nämlich alle Ereignisse durch alle Ewigkeit hindurch beobachten, so
würde schließlich die Wahrscheinlichkeit in volle Gewißheit übergehen.
Man müsse also bei noch so zufällig erscheinenden Dingen doch eine
Notwendigkeit annehmen und zu dem Schlüsse kommen, daß alles in der
Welt in bestimmter Gesetzmäßigkeit vor sich gehe.
*Jacob Bernoullis* Arbeiten über unendliche Reihen[703] sind darauf
zurückzuführen, daß sie häufig ein Mittel bieten, um zu einer Lösung
von Integrationsaufgaben zu gelangen. Deshalb hatten sich schon die
Begründer der Infinitesimalrechnung, *Wallis* und *Newton*, mit der
Entwicklung von Funktionen in unendliche Reihen befaßt[704]. So hatte
*Wallis* die Fläche zwischen der Hyperbel und ihren Asymptoten durch
eine unendliche Reihe dargestellt. Man findet bei ihm auch schon die
Reihe der reziproken Quadratzahlen:
1/(1^2) + 1/(2^2) + 1/(3^2) + ...,
deren Summierung jedoch erst *Euler* vollzog.
Die erste Integration mit Hilfe der Reihenentwicklung gelang *Nikolaus
Mercator* (1668) bei seiner Quadratur der gleichseitigen Hyperbel[705].
Auch *Leibniz* hat sich mit der Summation einiger unendlichen Reihen
befaßt, die auf die Ermittlung von π hinauslaufen. In ihren ersten
Anfängen geht die Lehre von den unendlichen Reihen sogar auf *Euklid*
und *Archimedes* zurück. Die eigentliche Begründung der Theorie der
unendlichen Reihen erfolgte jedoch erst durch *Newton*, den Entdecker
der allgemeinen Binomialformel. Für ganzzahlige positive Exponenten,
die eine endliche Reihe ergeben, war die Entwicklung der Formel (a +
b)^n schon lange vor *Newton* bekannt.
Auf *Jacob Bernoullis* Arbeiten über unendliche Reihen kann hier nicht
näher eingegangen werden. Die Ergebnisse verdienen hier nur insoweit
Erwähnung, als sie zur angewandten Mathematik hinüberleiten. So gelang
es *Bernoulli*, die Beziehung zwischen den Koordinaten der elastischen
Kurve durch eine Reihe auszudrücken, die Parabel und die logarithmische
Linie mit Hilfe einer solchen zu rektifizieren, und anderes mehr[706].
Von *Jacob Bernoulli* und seinem Bruder *Johann* wurde die
Aufmerksamkeit der Mathematiker auch wieder auf die für die Physik
besonders wichtigen Maxima- und Minimaaufgaben gelenkt und durch
die Behandlung der sogenannten isoperimetrischen Probleme ein Grund
geschaffen, auf dem später *Euler*, *Lagrange* und andere die
Variationsrechnung errichten konnten.
Die isoperimetrischen Probleme handeln von Kurven, die gewissen Maxima-
und Minimabedingungen genügen. Das älteste dieser Probleme lautet:
Welche unter allen isoperimetrischen Kurven schließt die größte Fläche
ein? Schon das Altertum beantwortete diese Frage dahin, daß die
verlangte Kurve der Kreis sei[707].
Das erste isoperimetrische Problem, mit dem sich *Johann Bernoulli*
beschäftigte, betrifft die Brachystochrone, die Linie des kürzesten
Falles[708]. *Johann Bernoulli* formulierte dies Problem mit folgenden
Worten: »Zwei gegebene Punkte, die verschiedenen Abstand vom Erdboden
haben und nicht senkrecht übereinander liegen, sollen durch eine
Kurve verbunden werden, auf der ein beweglicher Körper, vom oberen
Punkte ausgehend, vermöge seiner Schwere in der kürzesten Zeit zum
unteren Punkte gelangt«. Nachdem er die Lösung gefunden, forderte er
nach damaliger Sitte »die scharfsinnigsten Mathematiker des ganzen
Erdkreises« auf, gleichfalls die Aufgabe zu lösen. *Leibniz* gelang
dies noch am nämlichen Tage, an dem er davon Kenntnis erhielt. Auch
*Newton* und *Jacob Bernoulli* fanden übereinstimmend die Lösung, daß
die Zykloide die gesuchte Kurve sei. Die Verwunderung war umso größer,
als *Huygens* diese Kurve schon als diejenige erkannt hatte, in der die
Fallbewegung von allen Punkten aus dieselbe Zeit beansprucht. Er hatte
ihr aus diesem Grunde den Namen »Tautochrone« beigelegt. So zeige,
sagt *Jacob Bernoulli* in der Bekanntgabe seiner Lösung[709], eine
Kurve, die von so vielen Mathematikern untersucht worden sei, daß an
ihr nichts mehr zu erforschen übrig schien, plötzlich eine ganz neue
Eigenschaft.
Die Begründung der mathematischen Physik.
Die beiden älteren *Bernoulli* errichteten in erster Linie auf
den geschaffenen Grundlagen das Gebäude der Differential- und
Integralrechnung.
Eine Auswahl aus seinen Vorlesungen über die Methoden der
Integralrechnung schrieb *Johann Bernoulli* in den Jahren 1691
und 1692 nieder[710]. Ein von ihm herrührendes Werk über die
Differentialrechnung scheint verloren gegangen zu sein. *Johann*
und *Jacob Bernoulli* ist es besonders zu danken, daß sich das
von *Leibniz* gefundene Verfahren der Infinitesimalrechnung rasch
einbürgerte.
*Johann Bernoulli* beginnt nach einigen allgemeinen Betrachtungen mit
der Quadratur von Flächen und der Rektifikation von Kurven. Danach
wendet er sich physikomechanischen Problemen zu, z. B. den zuerst
von *Tschirnhausen* eingehender untersuchten kaustischen Linien, und
der Kettenlinie. Später sehen wir *Daniel Bernoulli* vorzugsweise
damit beschäftigt, schwierige mechanische Probleme, bei denen die
von *Huygens* und selbst noch von *Newton* in seinen »Prinzipien«
befolgte geometrische Methode keine Aussicht auf Erfolg bot, vermöge
des neuen Hilfsmittels zu bewältigen. *Daniel Bernoulli* ist daher
als der Hauptbegründer desjenigen Wissenszweiges zu nennen, den man
als mathematische Physik bezeichnet. Er führte in die Mechanik das
Prinzip von der Erhaltung der Kraft ein, das schon *Huygens* bei seinen
Untersuchungen über das zusammengesetzte Pendel vorgeschwebt hat, und
brachte dieses Prinzip bei seinen Arbeiten über die Bewegung flüssiger
Körper überall zur Anwendung (Hydrodynamik 1738)[711]. *Huygens* hatte
es dahin ausgesprochen, daß ein frei fallender Körper, wie immer man
seine Bewegungsrichtung ändert, nur bis zur ursprünglichen Höhe wieder
emporsteigen kann, da die Wirkung der Ursache gleichwertig sei. Aus
diesem Grunde hatte *Huygens* auch die Möglichkeit eines Perpetuum
mobile bestritten. Obgleich *Daniel Bernoulli*[712] die große Bedeutung
des Prinzips von der Erhaltung der Kraft wohl ahnte, blieb es doch
dem 19. Jahrhundert vorbehalten, es in seiner Allgemeingültigkeit
nachzuweisen und die gesamte Naturlehre darauf zu begründen.
Zu den mechanischen Vorgängen, mit denen sich das 18. Jahrhundert
beschäftigte, gehörten auch der Fall und der Wurf. *Galilei* hatte zwar
die Theorie dieser Bewegungen entwickelt und damit für die Mechanik
eine neue Ära eröffnet. Er hatte jedoch von einem sehr wesentlichen
Faktor, dem Luftwiderstande, abgesehen, nicht etwa weil er die
Wichtigkeit dieses Faktors nicht kannte, sondern weil sich *Galilei*
die erwähnte Beschränkung noch auferlegen mußte.
Ein Gesetz für den Widerstand, den Flüssigkeiten und Gase auf bewegte
Körper ausüben, stellte zuerst *Newton* auf. Er gelangte zu der
Annahme, daß der Widerstand des Mediums für ein und denselben Körper
dem Quadrate der Geschwindigkeit proportional sei. Auf *Newtons*
Veranlassung wurden Versuche angestellt, um das Gesetz zu prüfen. Es
erwies sich auch für mittlere Geschwindigkeiten als gültig.
Die Bahn, die ein geworfener Körper unter dem Einfluß des
Luftwiderstandes beschreibt, suchte zuerst *Johann Bernoulli* zu
bestimmen. Es ergab sich jedoch, daß die mathematische Analyse zur
Bewältigung dieser Aufgabe nicht imstande war, und daß eine angenäherte
Lösung des ballistischen Problems sich nur durch die Vereinigung von
Versuch und Rechnung erhoffen ließ. Am erfolgreichsten in dieser
Richtung war die Arbeit von *Robins*[713], die *Euler* unter dem Titel
»Neue Grundsätze der Artillerie«[714] in deutscher Sprache herausgab.
*Robins* zeigte, daß *Newtons* Gesetz nur für geringe Geschwindigkeiten
gilt, daß aber mit größeren Geschwindigkeiten der Widerstand weit
stärker wächst, als jenes Gesetz angibt.
Um die Geschwindigkeit des Geschosses in irgend einem Punkte der
Wurfbahn bestimmen zu können, konstruierte *Robins* sein »ballistisches
Pendel«. Ein Körper von bedeutendem Gewicht wurde so aufgehängt, daß
er pendeln konnte. Schoß man eine Kugel gegen diesen Körper, so ließ
sich aus dem Gewicht, den Dimensionen und dem Ausschlag des Pendels die
Geschwindigkeit der Kugel den Stoßgesetzen gemäß berechnen. Nach dem
Stoß besitzen nämlich das Pendel, dessen Masse M, und die Kugel, deren
Masse m und deren Geschwindigkeit im Augenblicke des Zusammentreffens v
sei, die gleiche Geschwindigkeit V. Gemäß den Stoßgesetzen ist aber
mv = (M + m)V.