5. Die Astronomie im Zeitalter Tychos und Keplers.

*Koppernikus* hatte das heliozentrische Weltsystem gegründet. Durch

deutsche Geistesarbeit sollte es auch seinen weiteren Ausbau erfahren

und auf den Boden unzweifelhafter Gewißheit erhoben werden. Zu

dieser Tat war *Johannes Kepler* berufen, der bedeutendste Astronom,

den Deutschland im 17. Jahrhundert hervorgebracht hat. Nicht nur

die Forschungen *Keplers*, sondern auch sein Lebensgang verdienen

eingehender gewürdigt zu werden.

Keplers Entwicklungsgang.

*Johannes Kepler* wurde am 27. Dezember 1571 in dem württembergischen

Städtchen Weil geboren. Schon im frühesten Lebensalter begann für

ihn eine Kette von Widerwärtigkeiten, die sich durch sein ganzes

Leben hindurch fortsetzen sollten. Es ist ein eigenartiges Stück

Kulturgeschichte, das uns dieser Lebensgang darbietet. *Keplers*

schwächlicher Körper wurde wiederholt von Krankheiten heimgesucht. Im

Elternhause herrschte ehelicher Zwist. Der Vater nahm Kriegsdienste.

Nach seiner Rückkehr verlor er durch Übernahme einer Bürgschaft seine

geringe Habe. Später zog er von neuem hinaus. Er fiel im Kampfe gegen

die Türken. Nach einer freudlosen Jugend wurde *Kepler*, da er seines

schwächlichen Körpers wegen für einen praktischen Beruf untauglich war,

in eine Klosterschule und darauf in das theologische Stift zu Tübingen

geschickt.

»Was auf dem Gebiete der Geometrie und der Astronomie vorkam«, schrieb

*Kepler* später[186], »begriff ich ohne Schwierigkeit. Ich wurde auf

Kosten des Herzogs von Württemberg unterhalten. Meine Fortschritte in

der Gelehrsamkeit bewies mein Mysterium cosmographicum.« Es ist dies

*Keplers* im Jahre 1596 erschienenes astronomisches Erstlingswerk, das

uns nach Inhalt und Bedeutung noch beschäftigen wird.

Die Anregung zu mathematischen und astronomischen Studien empfing

*Kepler* durch den in Tübingen lehrenden *Mästlin*. *Mästlin*

(1550-1631) bekleidete dort die Professur für Mathematik und

Astronomie. Er war ein Anhänger der koppernikanischen Lehre und

soll auch *Galilei* für diese gewonnen haben. *Mästlin* hat das

»aschfarbene« Licht des Mondes daraus erklärt, daß das Sonnenlicht von

der Erde auf den Mond zurückgeworfen werde.

[Illustration: Abb. 37. *Johannes Kepler*[187].]

Zwischen *Mästlin* und *Kepler* entwickelte sich ein freundschaftliches

Verhältnis. In dem Maße, wie *Keplers* Interesse für die Astronomie

zunahm, wurde er der damals herrschenden Theologie entfremdet. Letztere

war nämlich im evangelischen Württemberg zu einer Orthodoxie erstarrt,

die jede freie Regung hemmte und in Dogmen zum Ausdruck kam, die in

das wahrhaft religiöse Gemüt *Keplers* keinen Eingang fanden. Als

*Kepler* sich dazu noch als ein Anhänger der koppernikanischen Lehre

bekannte, war es um seine theologische Laufbahn geschehen. Er wurde

als ungeeignet für den Kirchendienst bezeichnet und konnte von Glück

sagen, daß er durch *Mästlin* eine Stelle in Graz erhielt. Hier mußte

er Mathematik und Rhetorik vortragen, sowie den Kalender schreiben,

wobei die Voraussage des Wetters und der politischen Ereignisse von

besonderer Wichtigkeit war. Mit welch schwerem Herzen mag der so

aufrichtige Mann oft dies Geschäft erledigt haben, das er selbst

als die »eitelste, aber notwendige Amtsarbeit« bezeichnete! »Mutter

Astronomie müßte gewißlich Hunger leiden«, sagte er ein anderes Mal,

»wenn die Tochter Astrologie nicht das Brot erwürbe.« Daß *Kepler*

übrigens in gewissem Sinne eine Einwirkung kosmischer Vorgänge

auf irdische Begebenheiten für möglich hielt, ersieht man aus dem

Schlußabschnitt seines »ausführlichen Berichtes über den im Jahre 1607

erschienenen Kometen und dessen Bedeutung«[188]. *Kepler* führt darin

aus, er wolle nicht unbedingt in Abrede stellen, daß durch Kometen

Seuchen hervorgerufen werden könnten. Wenn nämlich der Schwanz die

Erde berühre, so könne es geschehen, daß die Luft verunreinigt werde.

Da dies aber selten vorkomme, so müsse man nach einem anderen Grunde

suchen, um eine etwaige natürliche Wirkung der Kometen zu erklären.

»Ist etwas daran«, so fährt er fort, »daß nach der Ordnung der Natur

Überschwemmung, Trockenheit oder Pestilenz durch einen Kometen

verursacht und also vorbedeutet werden, so muß dies folgendermaßen

zugehen: Wenn im Himmel etwas Seltsames entsteht, so empfinden dies

alle Kräfte der natürlichen Dinge. Diese Sympathie mit dem Himmel

erstreckt sich besonders auf die Kraft, die in der Erde steckt und ihre

inneren Zustände beherrscht. Die Folge ist, daß diese Kraft feuchte

Dämpfe emportreibt, wodurch Regen und Überschwemmung und schließlich

allgemeine Seuchen entstehen.«

Auch der Mensch, wenn er selbst blind wäre, besitze doch dergleichen

empfindliche und auf den Himmel aufmerkende Kräfte, die durch einen

im Himmel auftauchenden Kometen ebenfalls beunruhigt würden und nicht

allein zu unnatürlichen Bewegungen des Geblütes und infolgedessen zu

Krankheiten, sondern auch zu starken Gemütserregungen Veranlassung

geben könnten. Diese Auffassung *Keplers* ist weit verschieden von dem

abergläubischen Hang zur Sterndeuterei, der seine Zeit beherrschte.

Sind es doch gerade *Keplers* Forschungen gewesen, welche der

Astrologie den Boden entzogen haben. »Die sogenannten Irrsterne,« sagt

einer seiner Biographen[189], »die durch ihre Bewegungen die Schicksale

bestimmen sollten, irrten nun nicht mehr, und die mystische Deutung,

welche die Astrologie diesem Umherschweifen gab, verlor jeden Anhalt.«

Trotzdem war *Kepler*, wenn er als Astronom sein Brot verdienen wollte,

zum astrologischen Frondienst gezwungen. Dieser Umstand brachte ihn

auch in Berührung mit zwei geschichtlichen Persönlichkeiten, mit Kaiser

*Rudolf II.* und *Wallenstein*, deren Hang zur Astrologie bekannt genug

geworden ist. Ein glücklicher Zufall fügte es, daß die von *Kepler*

seinem ersten Kalender einverleibten Prophezeiungen, ein strenger

Winter nämlich und der Ausbruch von Unruhen, wirklich eintrafen.

Ein Erfolg dieser Art wurde damals von der urteilslosen Menge höher

eingeschätzt als die Abfassung eines gelehrten Buches.

Die freie Entfaltung der Wissenschaft wurde zu *Keplers* Zeit auch

durch das Fehlen desjenigen ethischen Momentes, das wir als akademische

Lehrfreiheit bezeichnen, und das wir auch heute noch immer gegen

rückwärts gerichtete Bestrebungen verteidigen müssen, in hohem Grade

gehemmt. Eine Lehrfreiheit konnte sich nur in dem Maße entwickeln,

in dem der Streit mit Worten und das gegenseitige Ausspielen von

Autoritäten durch die greifbaren und logisch verknüpften Ergebnisse

der exakten Forschung zurückgedrängt wurden. Der letzteren ist es

zu danken, daß das αὐτὸς ἒφα (Er, d. h. der Meister, hat's gesagt)

allmählich verstummte und eine neue, die Wahrheit kündende Sprache an

dessen Stelle trat, die Sprache nämlich, in welcher die Natur auf die

an sie gerichteten Fragen Antwort gibt.

Zu der Zeit, die wir kennzeichnen, konnte ein *Mästlin* von dem

Senat der evangelischen Universität Tübingen gezwungen werden, die

Astronomie entgegen seiner Überzeugung nach dem System des *Ptolemäos*

zu lehren und gegen den gregorianischen Kalender zu schreiben. Als

er zauderte, erteilte man ihm einen Verweis. *Mästlin* mußte sich

fügen, wenn er nicht seine Stelle verlieren wollte. Er entledigte

sich der aufgezwungenen Arbeit, indem er einige unbedeutende Mängel

des Kalenders rügte. In eine neue Verlegenheit geriet *Mästlin*, als

*Kepler* ihm von Graz seine erste astronomische Arbeit, das Mysterium

cosmographicum[190], zusandte, damit sie in Tübingen im Druck

erschiene. Der Senat erhob Einwendungen, weil die dem Werke zugrunde

liegende Lehre von der Bewegung der Erde das Ansehen der heiligen

Schrift schädigen könne. »Was ist zu tun?« schrieb *Kepler* darauf an

*Mästlin*. »Ich denke, wir machen es wie die Pythagoreer und teilen nur

uns gegenseitig mit, was wir entdecken. Ich möchte Dir um meinetwillen

keine Feinde machen.« Die Schwierigkeiten wurden schließlich

überwunden. Das Werk erschien, und der jugendliche Verfasser sandte

es an *Tycho* und an *Galilei*, die bedeutendsten zeitgenössischen

Astronomen, mit denen er auch später in Verbindung blieb.

Keplers Konstruktion der Planetensphären.

Das Bestreben, das *Kepler* nicht nur bei der Abfassung seiner ersten

Schrift, sondern auch bei allen übrigen Arbeiten beherrschte, gipfelt

darin, einfache arithmetische oder geometrische Beziehungen zwischen

den Entfernungen und den Geschwindigkeiten der Planeten nachzuweisen.

Die Lösung des ersten Teiles dieser Aufgabe hat er in seinem

»Mysterium« vergeblich gesucht, während ihm die Bewältigung des zweiten

Problems nach großen Mühen gelungen ist.

Als *Kepler* seine wissenschaftliche Tätigkeit begann, war die

Naturwissenschaft von pythagoreischen und platonischen, auf Zahl und

Maß sich gründenden Spekulationen überwuchert. Dieser Geist war es, der

auch in *Keplers* Erstlingswerk zum Ausdruck kam.

Die Zahl der damals bekannten Planeten betrug sechs: Merkur, Venus,

Erde, Mars, Jupiter, Saturn. Den Grund für diese Zahl glaubte *Kepler*

in der Existenz der fünf regelmäßigen Körper gefunden zu haben, die er

zwischen die für kugelförmig gehaltenen Planetensphären einschaltete.

Wir wollen ihn dieses Mysterium, auf das er so stolz war, daß er

einmal äußerte, er würde die Ehre dieser Entdeckung nicht um den

Besitz des Kurfürstentums Sachsen preisgeben, selbst verkünden lassen:

»Die Erdbahn liefert die Sphäre, die das Maß aller übrigen ist. Um

diese Sphäre (η in Abb. 38) beschreibe ein Dodekaëder. In der Sphäre,

welche dieses umschließt, liegt die Bahn des Mars (♂ in Abb. 38).

Um die Marssphäre beschreibe man ein Tetraëder. Eine diesem Körper

umschriebene Kugelfläche würde die Bahn des Jupiter enthalten (s.

Abb. 39, γ). Letztere umschließe mit einem Würfel; die umschriebene

Sphäre (α) enthält die Bahn des Saturn (♄). Ferner errichte innerhalb

der irdischen Sphäre ein Ikosaëder; die demselben eingeschriebene

Kugelfläche enthält die Bahn der Venus (s. Abb. 38, ♀). Beschreibt man

innerhalb ihrer Sphäre ein Oktaëder, so umschließt das letztere die

Sphäre des Merkur.«

[Illustration: Abb. 38. Keplers Konstruktion der Planetensphären.]

*Kepler* legt also eine Folge von sechs Kugelflächen zugrunde, denen

die fünf regulären Körper ein- bzw. umgeschrieben sind. Es zeigte sich,

daß die Radien jener sechs Sphären ungefähr den von *Koppernikus*

ermittelten verhältnismäßigen Entfernungen der Planeten entsprachen.

Die von *Koppernikus* berechneten Werte weichen indes von den später

geltenden erheblich ab. Auch wurde die Annahme, daß die Planeten sich

in Kreisen bewegen, von *Kepler* selbst durch die mühevolle Arbeit

der nachfolgenden Jahre widerlegt. Das »Mysterium« war daher nur

ein Versuch, dem man indessen seine Berechtigung nicht absprechen

darf. Besteht doch die Tätigkeit des Forschers, wenn es sich um

einen Fortschritt von grundlegender Bedeutung handelt, meist in der

Aufstellung einer neuen Idee und der sich daran anschließenden Prüfung,

ob das gesamte Tatsachenmaterial sich in den Rahmen dieser Idee

einfügen läßt. Ähnlich verfuhr auch *Galilei*. Zunächst entwickelte er

aus dem Begriff der gleichförmig beschleunigten Bewegung alle Umstände

derselben. Dann zeigte er durch den Versuch, daß die Körper beim Fall

über die schiefe Ebene ein Verhalten zeigen, das dem Begriff der

gleichförmig beschleunigten Bewegung entspricht. Auch unsere heutige

Naturwissenschaft besteht in der Vereinigung von Gedankenerzeugnissen,

die sich als Systeme, Hypothesen und Theorien darstellen, mit der Summe

des zurzeit bekannten Tatsachenmaterials. Weder die Gebilde einer

nicht genügend gestützten Spekulation, noch die Erfahrungstatsachen

allein sind Wissenschaft. *Kepler* selbst gesteht einmal, er habe 19

Hypothesen ersonnen und wieder verworfen, ehe er zu der wahren, den

Tatsachen entsprechenden Vorstellung gelangt sei.

[Illustration: Abb. 39. Keplers Konstruktion der Planetensphären.

Orbium planetarum dimensiones et distantias per quinque regularia

corpora geometrica exhibens. α = Sphaera Saturni. β = Cubus. γ =

Sphaera Jovis. δ = Tetraëder. ε = Sphaera Martis. ζ = Dodekaëder. η =

Orbis Terrae. θ = Ikosaëder. ι = Sphaera Veneris. κ = Oktaëder. λ =

Sphaera Mercurii. m = Sol. (Abb. 38 und 39 sind *Keplers* Mysterium

cosmographicum entnommen; siehe Opera omnia, Bd. I.)]

Fortschritte der Beobachtungskunst.

*Keplers* Aufenthalt in Steiermark dauerte nicht lange. Der von

Jesuiten erzogene Erzherzog *Ferdinand*, der spätere Kaiser

*Ferdinand der Zweite*, wurde einige Jahre nach der Veröffentlichung

des »Mysteriums« *Keplers* Landesherr. Als solcher begann er den

Protestantismus mit der Wurzel auszurotten. Wie ein Verbrecher wurde

*Kepler*, der sich in Graz eine glückliche Häuslichkeit gegründet

hatte, des Landes verwiesen. Dieses Ereignis, so traurig es für

den Betroffenen war, hatte das Gute im Gefolge, daß es *Kepler* in

persönliche Berührung mit *Tycho*, dem Meister der astronomischen

Beobachtungskunst, brachte. Erst dadurch, daß *Kepler* *Tychos*

Beobachtungen verwerten konnte, wurde es ihm möglich, seine

Lebensaufgabe, die in der Erforschung der wahren Bewegung der Planeten

bestand, zu erfüllen.

*Tycho Brahe*[191] stammte aus Schweden. Er wurde im Jahre 1546 geboren

und zeigte schon als Jüngling, angeregt durch die Beobachtung einer

Sonnenfinsternis und das Studium des Almagest, ein großes Interesse

für die Himmelskunde. Auch der Alchemie war er zugetan. Ja, er hoffte,

durch sie die zur Errichtung einer Sternwarte erforderlichen Mittel zu

bekommen.

Als *Tycho* eines Abends im November des Jahres 1572 sein

alchemistisches Laboratorium verließ und den Blick auf den ihm

wohlbekannten Sternenhimmel lenkte, nahm er einen neuen, vorher nicht

gesehenen Stern in der Cassiopeia wahr. Andere hatten diesen Stern

schon einige Tage vor *Tycho* gesehen. Einen Monat später hatte das

neue Gestirn an Glanz den Jupiter fast erreicht. Im Frühling des Jahres

1572 erschien es als Stern erster Größe; darauf nahm es stetig ab. Im

Beginn des folgenden Jahres besaß es kaum mehr als 5. Größe, um im

Jahre 1574 ganz zu verschwinden.

Die Astronomen gerieten über dieses Vorkommnis in eine leicht

begreifliche Erregung. Da man mit *Aristoteles* den Fixsternen ein

wandelloses Sein zuschrieb, glaubten die meisten, die Erscheinung

habe innerhalb der planetaren Region stattgefunden. Daran knüpften

sich die unsinnigsten Vermutungen. Nach einigen war das in Frage

kommende Gestirn sogar vom Jupiter in Brand gesteckt worden.

Demgegenüber wies *Tycho* nach, daß der neue Stern sich jenseits der

äußersten Planetensphäre befunden haben müsse, da er seine Stellung

zu den Fixsternen nicht verändert habe. Der Zufall fügte es, daß das

plötzliche Aufleuchten eines Sternes innerhalb des kurzen Zeitraums von

1572-1604 wiederholt vorkam, wodurch den Astronomen die Wichtigkeit

genauer Fixsternverzeichnisse von neuem nahegelegt wurde.

Keine Wissenschaft ist so sehr durch fürstliche Gunst gefördert worden

wie die Astronomie. Allerdings hat dabei oft weniger das Interesse

für den Gegenstand den Ausschlag gegeben, als der Glaube, daß in den

Sternen das Schicksal geschrieben sei. Dies erfuhr auch *Tycho*.

Durch die Freigebigkeit des dänischen Königs[192] wurde er in den

Stand gesetzt, auf einem zwischen Schonen und Seeland gelegenen

Inselchen[193] eine Sternwarte zu errichten, wie sie die Welt in

gleicher Großartigkeit noch nicht gesehen. Diese Warte erhielt den

Namen Uranienborg. Sie blieb 20 Jahre die Arbeitsstätte *Tychos*, dem

sich hervorragende Mitarbeiter zugesellten. *Tychos* größtes Verdienst

bestand darin, daß er den astronomischen Messungen einen bis dahin

nicht erreichten Grad von Genauigkeit verlieh und auf diese Weise den

Grund für jeden weiteren astronomischen Fortschritt legte. Um die

Rektaszension eines Sternes zu finden, hatte man bisher am Tage den

Abstand des Mondes von der Sonne bestimmt und in der darauffolgenden

Nacht die Stellung des Mondes mit derjenigen der Sterne verglichen.

Eine weit größere Sicherheit wurde dadurch erreicht, daß *Tycho* die

Venus, die mitunter am Tage sichtbar ist, zu diesem Zwecke verwertete,

anstatt des seine Stellung rasch ändernden Mondes. Der Unterschied der

Rektaszensionen zweier Sterne ergibt sich aus der Zeit, die zwischen

ihren Kulminationen verfließt. Ein hierauf sich gründendes Verfahren

zur Ortsbestimmung der Gestirne setzt aber die Benutzung genau gehender

Uhren voraus. *Tychos* Augenmerk war daher schon auf eine möglichst

scharfe Bestimmung des Zeitablaufs gerichtet. Da er jedoch auf

Sanduhren und auf Räderuhren ohne Pendelvorrichtung angewiesen war,

ließ sich diese Aufgabe nur unvollkommen lösen.

Besonders übertraf *Tycho* seine Vorgänger in der Genauigkeit des

Winkelmessens. Zuerst benutzte er einen Kreuzstab. Später (1569) ließ

er einen riesigen Quadranten aus Holz verfertigen, den uns Abb. 40

zeigt. Die Teilung befand sich auf einem Messingreif, dessen Halbmesser

sich auf 6 m belief. Die Ablesung erfolgte mittels eines an einem

Metallfaden herabhängenden Lotes. Die Beobachtungen erfolgten durch

die beiden Lochvisiere. Infolge der gewaltigen Dimensionen des an

einem vertikalen drehbaren Eichenpflock befestigten Quadranten war die

Genauigkeit der Messung eine beträchtliche.

[Illustration: Abb. 40. Tychos Riesenquadrant[194].]

*Tychos* Riesenquadrant war unter freiem Himmel aufgestellt und daher

nicht lange brauchbar. Einen handlichen, kleineren, von *Tycho*

konstruierten Apparat, dessen Einrichtung und Gebrauch ohne weiteres

verständlich ist, zeigt Abb. 41. Die Schenkel dieses Apparates besaßen

eine Länge von 1,6 m.

Das Urbild des heutigen Theodoliten endlich war *Tychos*

Azimutalquadrant, dessen Einrichtung Abb. 42 (s. S. 124) erläutert.

Der Apparat bestand aus Messing und war, trotzdem er weit geringere

Dimensionen aufwies, als sie der Riesenquadrant besaß, doch von solcher

Genauigkeit, daß sich die Winkel bis auf die Minute daran ablesen

ließen.

*Tycho* ließ ferner eine Himmelskugel aus Kupfer anfertigen, die

etwa 1000 Sterne in der nach seinen Messungen berichtigten Stellung

zeigte. Die Kreise dieser Kugel waren gleichfalls in Minuten geteilt.

Dementsprechend erforderte ihre Herstellung auch die Summe von 5000

Talern.

[Illustration: Abb. 41. Tychos Distanzenmesser.]

Zur Annahme des koppernikanischen Systems konnte *Tycho* sich nicht

verstehen, da ihm wie keinem anderen die Schwierigkeiten bekannt waren,

welche diesem System noch entgegenstanden. Eine Bewegung, die im Laufe

eines halben Jahres den Ort der Erde um das Doppelte ihres Abstandes

von der Sonne verändere, müsse, so schloß *Tycho* mit Recht, auch eine

Änderung in der gegenseitigen Stellung der Fixsterne bewirken. »Eine

jährliche Bewegung[195]«, schreibt er, »würde die Fixsternsphäre[196]

in eine solche Ferne rücken, daß die von der Erde beschriebene Bahn im

Vergleich zu jener Entfernung verschwindend klein sein müßte. Hältst

Du es für möglich, daß der Raum zwischen der Sonne, dem angeblichen

Zentrum der Welt, und dem Saturn noch nicht 1/700 des Abstandes der

Fixsternsphäre betrage? Zudem müßte dieser Raum sternenleer sein.

Dies ist notwendig der Fall, wenn die jährliche Bahn der Erde, von den

Fixsternen betrachtet, nur den Durchmesser einer Minute haben soll.

Dann werden aber schon die Fixsterne dritter Größe, deren scheinbarer

Durchmesser gleichfalls eine Minute beträgt, an Umfang gleich der

Erdbahn sein.« Dieser Einwand *Tychos* wurde dadurch hinfällig, daß,

wie man nach der Erfindung des Fernrohrs wahrnahm, die Fixsterne

überhaupt keinen scheinbaren Durchmesser besitzen, sondern als bloße

Lichtpunkte erscheinen, eine Tatsache, die wieder für die Behauptung

der Koppernikaner sprach, daß sich die Fixsterne in ungeheurer

Entfernung befänden. Der von *Tycho* geforderte Nachweis einer

Parallaxe, deren Größe zugleich einen Schluß auf die Entfernung der

Fixsterne gestattet hätte, sollte, wie wir später sehen werden, erst im

19. Jahrhundert dem Scharfsinn und der Beobachtungskunst eines *Bessel*

gelingen[197]. *Tychos* Bemühungen, eine Parallaxe nachzuweisen, um

dadurch die koppernikanische Lehre auf ihre Richtigkeit zu prüfen,

blieben ohne Erfolg.

[Illustration: Abb. 42. Tychos Azimutalquadrant, aus dem der heutige

Theodolit hervorgegangen ist[198]. Das aus Messing hergestellte

Instrument diente zur Bestimmung des Azimuts und der Höhe. Der

Azimutalkreis NP ruhte auf vier Säulen. Der Höhenquadrant besaß fast

2 Ellen Radius und war mit Minuteneinteilung (BC) und Diopterlineal

(DE) versehen.]

Außer den astronomischen Bedenken machte sich bei *Tycho*

der koppernikanischen Lehre gegenüber auch ein für jene Zeit

charakteristischer Mangel an richtigen mechanischen Begriffen geltend.

So erhebt er den landläufigen Einwand, daß ein fallender Körper, wenn

die Erde sich bewege, unmöglich in lotrechter Richtung die Oberfläche

treffen könne. Ferner meint er, die »träge, dicke« Erde sei zu den

Bewegungen, die *Koppernikus* ihr zuschreibe, viel zu ungeschickt.

Andererseits sah *Tycho* aber wohl ein, daß die Erscheinungen, welche

die Planeten zeigen, sich besser mit der neuen Lehre als mit der

geozentrischen Ansicht vereinigen ließen. Er stellte deshalb[199]

ein neues System auf, das zwischen dem geozentrischen und dem

heliozentrischen eine vermittelnde Stellung einnahm. Danach sollte

sich die Sonne in einem exzentrischen Kreise um die im Mittelpunkte

ruhende Erde bewegen, die Planeten sollten indes gleichzeitig die Sonne

umkreisen (s. Abb. 43, S. 126). *Tychos* System fand nur geringen

Beifall. Kaum einer unter den angeseheneren Astronomen nahm es an.

Als *Tycho* auf der Höhe seines Ruhmes stand, ereilte ihn ein trauriges

Geschick. Sein hoher Gönner starb[200], und nun erhoben sich zahlreiche

Feinde und Neider. Auf ihr Betreiben hin wurden *Tycho* die für die

Uranienborg bestimmten Gelder entzogen mit der Begründung, seine

Untersuchungen seien nicht nur nutzlos, sondern sogar »voll schädlicher

Kuriosität«. Dem großen Forscher, den *Bessel* später einen König

unter den Astronomen nannte, wurde von der Regierung bedeutet, er möge

sich mit dergleichen Arbeiten nicht mehr befassen[201]. Damit war

das Schicksal der Uranienborg besiegelt. Die Verblendung, welche der

aufstrebenden Naturwissenschaft so manchen Schaden zugefügt, hatte

wieder einen ihrer unrühmlichen, zum Glück aber auch erfolglosen

Siege errungen. *Tycho*, der schließlich sogar tätlichen Angriffen

ausgesetzt war, rettete von seinen Instrumenten und Aufzeichnungen

das Wertvollste und kehrte seinem Vaterlande den Rücken. Wiederum war

es fürstliche Gunst, die ihm und seiner Wissenschaft eine neue Stätte

bereitete. Auf Veranlassung Kaiser *Rudolfs des Zweiten* siedelte

*Tycho* nach Prag über. Dort wurde er zum kaiserlichen Astronomen

ernannt.

[Illustration: Abb. 43. Tychos System[202].]

Von Prag aus erfolgte im Jahre 1599 *Tychos* Ruf an *Kepler*,

dessen Schicksale wir bis zu dem Zeitpunkte verfolgt haben, in

dem die Unduldsamkeit der Kirche den in gesicherten Verhältnissen

lebenden Mann in eine hilflose Lage versetzt hatte. *Kepler* wurde

*Tychos* Hilfsrechner und erhielt die Erlaubnis, das umfangreiche

Beobachtungsmaterial *Tychos* nach eigenem Ermessen zu verwerten.

»Ich halte es«, schrieb *Kepler* später[203] »für eine Fügung der

Vorsehung, daß bei meiner Ankunft gerade der Mars untersucht wurde.

Durch die Bewegungen dieses Gestirnes müssen wir zu den Geheimnissen

der Astronomie gelangen oder darin beständig unwissend bleiben«.

Der Mars machte nämlich von jeher unter den Planeten die größten

Schwierigkeiten, was sich daraus erklärt, daß seine Bahn am meisten vom

Kreise abweicht. Andererseits bietet dieser Himmelskörper den Vorteil,

daß man seinen Umlauf in wenigen Jahren beobachten kann, während die

übrigen äußeren Planeten eine weit längere Beobachtungszeit erfordern.

*Tychos* Marsbeobachtungen erstreckten sich über einen Zeitraum von

16 Jahren. Sie verteilten sich ferner auf die ganze Bahn des Planeten

und waren bis auf einige Minuten richtig, besaßen also eine bisher

unerreichte Genauigkeit[204].

Die Entdeckung der Keplerschen Gesetze.

Daran, daß die Himmelskörper kreisförmige Bahnen beschreiben, hatte

vor *Kepler* niemand gezweifelt. *Kepler* war der erste, der diesen,

fast als Axiom betrachteten Grundsatz verließ. Zunächst untersuchte

er, ob sich bessere Resultate unter der Annahme ergeben würden, daß

die Bahn des Planeten die Form eines Ovals besäße. Endlich, als sich

eine genügende Übereinstimmung zwischen Rechnung und Beobachtung auch

dadurch nicht erreichen ließ, kam er auf den Gedanken, anstatt des

Ovals die Ellipse zugrunde zu legen. Und siehe da, während nach den von

*Koppernikus* entworfenen Tafeln der beobachtete Ort des Mars im Jahre

1608 um nahezu 5 Grad von dem berechneten abwich, zeigte *Kepler* in

seinem ein Jahr später herausgegebenen Hauptwerk: »Über die Bewegungen

des Mars«[205], daß der Fehler fast ganz verschwindet, wenn man den

Planeten eine Ellipse beschreiben läßt, in deren einem Brennpunkte sich

die Sonne befindet.

Wenige Entdeckungen sind in solchem Maße das Ergebnis mühevoller,

Jahrzehnte dauernder Arbeit gewesen wie diese Entdeckung *Keplers*.

In der an den Kaiser gerichteten Widmung führt er in scherzhaftem

Tone folgendes aus: Die Astronomen hätten bisher den Mars nicht zu

überwältigen vermocht. Dem trefflichen Heerführer *Tycho* indessen sei

es in zwanzigjährigen Nachtwachen gelungen, alle Listen des Feindes

auszukundschaften. Dadurch habe *Kepler* Mut bekommen. Und es sei ihm

gelungen, Mars gefügig zu machen. Er biete nun dem Kaiser seine Dienste

an, auch die Verwandtschaft des Mars, nämlich Jupiter, Venus und

Merkur, in gleicher Weise zu bezwingen, doch möge man die Schatzkammer

anweisen, daß sie ihm die Mittel zu diesem Feldzug auszahle. Die

letzten Worte gestatten einen Schluß auf die ständige Not, in der sich

*Kepler* bis an das Ende seines Lebens befand. *Tycho* war bald nach

*Keplers* Eintreffen gestorben[206] und letzterer zu seinem Nachfolger

ernannt. Die Schatzkammer des Kaisers befand sich indessen meist im

Zustande der Erschöpfung, wofür insbesondere die Goldkocher sorgten,

die *Rudolfs* Hang zur Alchemie auszunutzen verstanden. *Kepler* klagt:

»Ich stehe ganze Tage in der Hofkammer und bin für die Studien nichts.

Ich stärke mich jedoch mit dem Gedanken, daß ich nicht dem Kaiser

allein, sondern dem ganzen menschlichen Geschlechte diene, daß ich

nicht nur für die Gegenwart, sondern auch für die Nachwelt arbeite«.

Nach dem Tode Kaiser *Rudolfs* wurde *Keplers* Lage noch schlimmer.

Er erhielt eine Anstellung in Linz, wo er Mathematik lehren und

Vermessungen überwachen mußte. Trotz aller Widerwärtigkeiten verlor

er jedoch sein großes Ziel nicht aus den Augen. Das unwürdigste

Schauspiel, das uns in der Lebensgeschichte *Keplers* begegnet, ist

der gegen seine Mutter geführte Hexenprozeß. Eine kurze Darstellung

desselben läßt uns nicht nur einen Einblick in die damals herrschenden

Rechtszustände tun, sie bezeugt auch den bewundernswerten Charakter

*Keplers*. Die Mutter des großen Astronomen lebte in einem kleinen

schwäbischen Städtchen. Eine ihrer Nachbarinnen erkrankte und

verbreitete das Gerede, sie sei von Frau Kepler behext worden. Der Vogt

des Ortes wußte die Angelegenheit zu einem Hexenprozeß aufzubauschen.

Erschwerend wirkte dabei der Umstand, daß die Angeklagte bei einer

Verwandten erzogen war, die man als Hexe verbrannt hatte. Einzig und

allein ihrem Sohn Johannes, der von Linz herbeieilte, gelang es, die

Mutter vor der Folter und dem Scheiterhaufen zu bewahren. Die übrigen

Söhne hatten sich zurückgezogen, und mit *Kepler* befreundete Juristen

besaßen nicht den Mut, für die arme, verfolgte Frau einzutreten, die

bald, nachdem sie freigesprochen, infolge der erlittenen Behandlung

starb. Gibt es unter den Gestalten, in denen menschliche Größe uns

begegnet, eine solche, der wir größere Bewunderung zollen können, als

*Kepler*? Die eigene Sicherheit gering schätzend, zieht er gegen den

Wust eines mittelalterlichen Gerichtsverfahrens zu Felde, um die Mutter

zu retten[207]. Und während der dadurch verursachten, jahrelangen

Aufregung enthüllt er die Gesetze, nach denen sich der Lauf der Welten

regelt.

Unermüdlich hatte *Kepler* während der ersten Jahrzehnte des 17.

Jahrhunderts trotz seiner untergeordneten Amtstätigkeit, die ihn nicht

einmal vor der Sorge um das tägliche Brot bewahrte, zwei Aufgaben

verfolgt. Einmal galt es, auf Grund der eigenen und der Beobachtungen

*Tychos* Planetentafeln zu entwerfen, welche die bisherigen ungenauen

Tafeln übertrafen. Die zweite, höhere Aufgabe bestand in der

Begründung einer mit dem System des *Koppernikus* in Einklang stehenden

Theorie der Planetenbewegung. Beide Aufgaben hat *Kepler* glänzend

gelöst und daneben noch Wertvolles auf den Gebieten der Mathematik und

der Optik geleistet.

Die neuen Tafeln, die in Anerkennung der Verdienste Kaiser Rudolfs

um die Förderung der Astronomie die rudolfinischen genannt wurden,

erschienen erst gegen das Ende *Keplers*[208]. Während der letzten

Jahre ihrer Abfassung konnte die mühevolle Arbeit durch die von *Bürgi*

und *Neper* erfundenen Logarithmen verringert werden[209]. Fast ein

Jahrhundert blieben die rudolfinischen Tafeln ein unentbehrliches

Hilfsmittel der Astronomen, dann erst wurden sie durch neue, bessere

ersetzt.

*Koppernikus* hatte sich darauf beschränkt, eine zum Teil noch mit den

Mängeln der geozentrischen Ansicht behaftete bloße Beschreibung des

Planetensystems zu geben. *Kepler* war dagegen bestrebt, gesetzmäßige

Beziehungen innerhalb dieses Systems aufzudecken. Das Mißlingen

seiner ersten Versuche ist darauf zurückzuführen, daß es ihm noch an

genügendem Beobachtungsmaterial fehlte. Erst durch die Verbindung mit

*Tycho* gelangte er in den Besitz desselben, und im Jahre 1609, also

ein Jahrzehnt nach *Tychos* Tode, veröffentlichte er die Entdeckung,

daß die Planetenbahnen Ellipsen seien. Damit war das seit alters

geheiligte Axiom von der Kreisbewegung beseitigt. Ebensowenig konnte

die Ansicht, daß die Bewegung der Himmelskörper eine gleichförmige

sei, aufrecht erhalten werden. *Kepler* wies nach, daß ein Planet

sich in der Sonnennähe schneller als in der Sonnenferne bewegt. Die

Geschwindigkeiten stehen nach ihm in einem solchen Verhältnis, daß die

Flächenstücke, die von dem Leitstrahl, d. h. der den Planeten mit der

Sonne verbindenden Geraden, beschrieben werden, für gleiche Zeiten

gleiche Größe besitzen. (Siehe Abb. 44.)

Damit waren die Gesetze enthüllt, nach denen die Bewegung jedes

einzelnen Planeten vor sich geht[210]. Es galt noch die Beziehung

zu finden, die alle Planeten verknüpft und sie als Glieder eines

Systems erscheinen läßt. Die Lösung dieses Problems wurde erst nach

einem weiteren Jahrzehnt mühevoller Arbeit gefunden und 1619 in der

»Weltharmonie« bekannt gegeben.

[Illustration: Abb. 44. Zur Erläuterung des zweiten Keplerschen

Gesetzes. Werden die Stücke *ttʹ* und TTʹ von dem Planeten in

gleichen Zeiten zurückgelegt, so ist ttʹS der Fläche nach gleich

TTʹS.]

Seit dem Jahre 1595 brütete *Kepler*, wie er sich selbst einmal

ausdrückt, mit der ganzen Kraft seines Geistes über die Einrichtung

des Koppernikanischen Systems. Unablässig suchte er von drei Dingen

die Ursache zu ergründen, nämlich von der Anzahl, der Entfernung

und der Bewegung der Planeten[211]. Endlich konnte er ausrufen:

»Dasjenige, dem ich den größten und besten Teil meines Lebens gewidmet

habe, ist jetzt gefunden und die Wahrheit auf eine Weise erkannt, die

selbst meine glühendsten Wünsche übersteigt«[212]. Die als drittes

*Kepler*sches Gesetz bekannte Beziehung zwischen den Umlaufszeiten und

den Entfernungen zweier Planeten lautet dahin, daß sich die Quadrate

der Umlaufszeiten wie die dritten Potenzen der mittleren Abstände von

der Sonne verhalten[213]. Besitzt z. B. ein Planet eine Umlaufszeit von

27 Jahren, so läßt sich nach diesem Gesetze folgern, daß er neunmal so

weit wie die Erde von der Sonne entfernt ist, denn 1^2 : 27^2 = 1 :

729 = 1^3 : 9^3. Dieses Verhältnis findet sich beim Saturn annähernd

verwirklicht. Er hat eine Umlaufszeit von 30 Jahren, und seine

Entfernung von der Sonne ist dementsprechend etwas größer als neun

Halbmesser der Erdbahn. Wir erkennen aus dieser Betrachtung, daß die

genaue Bestimmung des Abstandes der Erde von der Sonne von der größten

Bedeutung ist. *Kepler* kannte die absolute Größe dieses Abstandes noch

nicht. Er setzte ihn in seinen Berechnungen gleich eins, benutzte also

für die Entfernungen der Planeten nur die relativen Werte.

Die naheliegende Gefahr, die entdeckten Gesetze nach Art der

Pythagoreer als Ursachen zu betrachten, vermied *Kepler*. Versteht man

unter der Entdeckung der Ursache einer Erscheinung ihre Zurückführung

auf andere, in ihrer Gesetzmäßigkeit erkannte Vorgänge, so war *Kepler*

schon bemüht, auch nach dieser Richtung die Planetenbewegungen zu

untersuchen. Die endgültige Bewältigung dieses Problems blieb jedoch

*Newton* vorbehalten. Ihm gelang es, die Zentralbewegung gleich

der Fall- und Wurfbewegung aus der Schwere zu erklären. Daß die

Schwerkraft nicht nur an der Oberfläche der Erde, sondern auf kosmische

Entfernungen hin wirkt, hat indessen schon *Kepler* ausgesprochen.

Seiner Ansicht nach würden zwei Körper, auf die kein dritter wirkt,

aufeinander zueilen und sich vereinigen. Und zwar würden sich, wie

er ausführt, die zurückgelegten Wege umgekehrt wie die Massen der

betreffenden Körper verhalten. »Liefe der Mond nicht um die Erde,

so würde sich die Erde nach dem Monde um den 54. Teil des Abstandes

beider Weltkörper bewegen, und der Mond würde sich um die übrigen

53 Teile nach der Erde senken. Dann würden sie aufeinander treffen,

vorausgesetzt, daß beide gleiche Dichte besitzen[214]«.

Erklären ließ sich die Bewegung der Planeten jedoch erst, als man

das Gesetz vom Beharrungsvermögen auch auf sie ausdehnte, wie es

*Galilei* bezüglich aller irdischen Bewegungen getan hatte. *Kepler*

war nämlich noch in dem Irrtum befangen, daß die Planeten zu ihrer

Bewegung um die Sonne eines fortgesetzten Antriebes bedürften. Dieser

sollte in der Sonnenrotation gegeben sein, die *Kepler* daher schon als

Erklärungsprinzip forderte, bevor ihr Vorhandensein beobachtet war.

Drehte sich die Sonne nicht um sich selbst, so würden nach *Keplers*

Meinung die Planeten diesen Zentralkörper nicht umkreisen, sondern sich

auf ihn stürzen, während doch in der Tat die Sonnenrotation aufhören

könnte, ohne daß die Bewegungen der Planeten eine Änderung erführen.

Zu erklären blieb dann noch die ungleiche Dauer, welche die Umläufe

der Planeten beanspruchen. *Kepler* äußert sich darüber mit folgenden

Worten: »Hätten die Planeten nicht ein natürliches Widerstreben, so

ließe sich keine Ursache angeben, warum sie nicht der Achsendrehung

der Sonne aufs genaueste folgen sollten. Nun aber gehen zwar alle

Planeten nach der Richtung, in der die Sonne rotiert, aber der

eine langsamer als der andere. Sie vermengen nämlich nach gewissen

Verhältnissen mit der Geschwindigkeit des Bewegers die Trägheit ihrer

eigenen Masse«[215]. Die bewegende Kraft der Sonne, die sich auf die

Planeten erstrecken sollte, wurde von *Kepler* als eine Art Magnetismus

betrachtet. Er berief sich dabei auf *Gilbert*, der ja auch die Erde

als einen Magneten angesehen habe. Wie der Magnet die Nadel, so sollte

nach *Kepler* die Sonne vermöge ihrer Rotation die Erde und die übrigen

Planeten mit sich herumführen.

*Kepler* wußte, daß die Lichtintensitäten sich umgekehrt wie die

Quadrate der Entfernungen des beleuchteten Gegenstandes von der

Lichtquelle verhalten. Er erörtert daher die Frage, ob die Wirkungen

jener bewegenden Kraft der Sonne sich nicht etwa ebenso verhalten,

streift damit also schon an die Entdeckung des *Newton*schen

Gravitationsgesetzes.

Keplers weitere astronomische Leistungen.

*Kepler* besitzt auch ein gewisses Anrecht auf die Entdeckung der

Sonnenflecken. Es war am 28. Mai des Jahres 1607, zu einer Zeit, als

das Fernrohr noch nicht erfunden war, als *Kepler* in seinem Tagebuche

eine seltsame Beobachtung vermerkte[216]. Er war nämlich mit älteren,

aus der Zeit Karls des Großen stammenden Nachrichten bekannt geworden,

nach welchen man Merkur vor der Sonne als kleinen schwarzen Fleck

gesehen haben wollte[217]. Um zu prüfen, ob dies möglich sei, verfuhr

*Kepler* an einem Tage, an dem Sonne und Merkur in Konjunktion standen,

folgendermaßen: Er ließ die Sonnenstrahlen durch eine enge Öffnung in

ein dunkles Zimmer treten und fing das Sonnenbild vermittelst eines

Papierschirmes auf (s. Abb. 45, S. 134). Zur großen Überraschung

*Keplers* zeigte sich ein kleiner, verschwommener Fleck, den er für

Merkur hielt.

Ohne Zweifel hat es sich in diesem, wie in jenem älteren Falle, um

Sonnenflecken gehandelt, da Merkur, wie spätere Rechnungen ergeben

haben, am Tage der Beobachtung sich nicht vor der Sonnenscheibe

befand und auch zu klein ist, um sich bei einer Konjunktion in der

geschilderten Weise bemerklich zu machen.

Mehrfach hat sich *Kepler* auch mit den Kometen beschäftigt, die er und

*Tycho* unter die Himmelskörper versetzten, während die meisten sie

für atmosphärische Erscheinungen hielten. »Man möge es mir«, sagt er,

»nicht übelnehmen, daß ich eine neue Ansicht einführe oder vielmehr

der alten Lehre des *Anaxagoras* und des *Demokrit* folge und dem

Himmel zuschreibe, was man bisher nicht glauben wollte, daß nämlich

darin ebensowohl etwas Neues entstehen kann, wie hier auf der Erde«.

Nach *Kepler* soll nämlich die überall befindliche himmlische Luft,

der Äther, durch Zusammenziehung aus sich heraus die Kometen entstehen

lassen, von denen der Himmel so voll sei, wie das Meer voll von

Fischen. *Kepler* setzte sich damit in Widerspruch mit *Aristoteles*,

der den meisten damals noch als Autorität galt. *Aristoteles* schrieb

nämlich den Himmelskörpern ein wandelloses Sein zu und ließ die Welt

des Werdens und Vergehens erst unter dem Monde beginnen. Die Planeten

bekunden dagegen nach ihm, zumal durch ihre ungleichmäßige Bewegung,

eine mittlere Stellung zwischen beiden Regionen. Diese Lehre des

*Aristoteles* wurde besonders durch das Aufleuchten neuer Fixsterne

in den Jahren 1572, 1600 und 1604 und deren späteres allmähliches

Verschwinden widerlegt.

[Illustration: Abb. 45. Kepler erblickt einen Sonnenflecken, den er für

den Merkur hält[218].]

Über den Stern vom Jahre 1604 hat *Kepler* ausführlich berichtet. Er

zeigte, daß auch dieser neue, im Sternbilde der Schlange entstandene

Stern seine Stellung zu den Fixsternen nicht veränderte. Daraus schloß

er, daß es sich nicht etwa um einen Planeten oder einen Kometen

handeln könne. »Wollte Gott, daß diejenigen, die ein langes Gewäsch

vom Ursprung dieses Sternes machen, zuvor *Tychos* Ausführungen über

den Stern vom Jahre 1572 lesen möchten, damit sie mit so kindischen

Gedanken, als sollte dieser Stern vom Jupiter oder Mars angezündet

worden sein, daheim blieben.« So schreibt *Kepler* in seinem Bericht

über einen ungewöhnlichen neuen Stern, der im Oktober 1604 erschien.

Ein Faksimileabdruck dieses Berichtes wurde zusammen mit dem

Faksimiledruck einer Schrift, in der *David Fabricius* über den neuen

Stern von 1604 berichtete, vor kurzem veröffentlicht[219]. Die Schrift

von *Fabricius* erschien 1606 in Magdeburg unter dem Titel »Himmlischer

Herold«.

Es gewährt einen besonderen Reiz zu sehen, in welcher Weise die

beiden Forscher ein und denselben Gegenstand behandelt haben. Dort

*David Fabricius*, der überzeugte Astrolog, der die Bedeutung des

Wundersterns seinen staunenden Landsleuten auslegt; hier *Kepler*, der

sich in sehr skeptischer Weise über die Bedeutung des neuen Gestirns

ausspricht[220]. Was der Stern zu bedeuten habe, schreibt *Kepler*, sei

schwerlich zu ergründen. Entweder bedeute er uns Menschen nichts oder

er habe solch hohe wichtige Dinge zu bedeuten, daß sie aller Menschen

Sinn und Vernunft überträfen.

Eine gewisse Wirkung auf die Menschen äußere ein solcher Stern

insofern, als die ganze Natur eine verborgene Art habe, die vom Himmel

kommenden Lichtstrahlen zu verspüren und sich danach zu regeln. Sehr

wohl könne auch ein Potentat durch das Erscheinen des neuen Sternes zu

einem Wagnis ermuntert oder auch von einem solchen abgeschreckt werden,

indem er das neue Licht als ein vom Himmel selbst gegebenes Zeichen

betrachte.

Nicht ohne Humor bemerkt *Kepler*, viel zu bedeuten habe der Stern auch

dadurch, daß er den Verlegern viel Arbeit und Gewinn bringe, denn fast

jeder Theologe, Philosoph oder Astronom werde seine besondere Ansicht

darüber haben und damit herauskommen wollen.

Zu diesen gehörte auch der friesische Prediger und Astronom *David

Fabricius*[221]. Er hat über den neuen Stern drei Abhandlungen

veröffentlicht. Nach seiner Schilderung ist der Stern am 30. September

1604 bald nach Sonnenuntergang gegen Südwesten von verschiedenen

Astronomen in Deutschland, Böhmen und Italien zuerst gesehen worden.

*Fabricius* sah ihn, da um jene Zeit in Friesland der Himmel bewölkt

war, erst am 3. Oktober. Er konnte bis zum Oktober 1605, also ein

ganzes Jahr beobachtet werden. Der neue Stern übertraf nach dem Zeugnis

des *Fabricius* alle Fixsterne, ja sogar den Jupiter und auch die Nova

von 1572 an Größe und flimmerte »wie ein großes Licht, das vom Winde

bewegt wird«.

Seine Größe nahm von Monat zu Monat allmählich ab, so daß er »im Anfang

des Jahres 1605 mit der Spica in der Jungfrau von gleicher Größe

gewesen ist. Im März war er 3. und im Juli 4. Größe« usw. Darüber,

daß sich der Stern jenseits der Sphäre der Planeten befand, zweifelte

auch *Fabricius* nicht. Schon das starke Flimmern beweist ihm, daß man

es hier mit einem Fixstern zu tun habe. Deshalb sei auch die »Meinung

zahlreicher Gelehrter, daß die Erscheinung von irdischen Dünsten

herrühre, als falsch und ungereimt zu verwerfen«.

Fest steht dagegen für *Fabricius*, daß »je und allerwege neue

Sterne und Kometen Vorboten von zukünftigem Unglück und Veränderung

gewesen sind«. Ganz besonders deute »der jetzige Wunderstern auf

große wichtige Sachen«, weil er alle Vorgänger an Größe übertreffe,

und weil bald nach seinem Erscheinen und zwar fast am Orte seines

Erscheinens die große Konjunktion von Saturn und Jupiter eingetreten

sei. *Fabricius* sucht dann nachzuweisen, daß diese alle achthundert

Jahre wiederkehrende Konjunktion von großer Bedeutung für die

Geschicke der Menschheit gewesen. In die Zeit der Konjunktion vom

Jahre 800 falle das Auftreten *Karls des Großen* und die große

Konjunktion zu Beginn unserer Zeitrechnung falle mit dem Anfange des

Christentums und »großen Veränderungen in vielen Königreichen und

Ländern zusammen«. Auch die jetzige große Konjunktion (*Fabricius*

nennt sie den achthundertjährigen Reichstag der beiden obersten

himmlischen Kurfürsten) deute auf bevorstehende große Veränderungen

hin. Die Bedeutung dieser Konjunktion werde durch das gleichzeitige

Erscheinen eines neuen Sternes besonders hervorgehoben. Zum Schlüsse

gibt *Fabricius* der Hoffnung Ausdruck, daß die in Aussicht stehenden

Veränderungen dem deutschen Volke ein Zeitalter des Friedens und der

Gerechtigkeit bringen möchten. Deshalb nennt er seine Schrift auch den

Glücksboten.

Nachdem das koppernikanische System durch *Kepler* eine festere Gestalt

gewonnen, bedurfte es einer zusammenhängenden neuen Darstellung des

gesamten astronomischen Lehrgebäudes. Dieser Aufgabe unterzog sich

*Kepler* durch die Veröffentlichung seiner »Epitome astronomiae

Copernicanae«[222]. Damit erschien das erste astronomische Lehrbuch,

welches das koppernikanische System zugrunde legte, fast hundert Jahre

nach der Aufstellung des letzteren.

Nach *Keplers* Tode gab sein Sohn im Jahre 1634 ein zweites, für

Lehrzwecke bestimmtes Werk des großen Astronomen heraus, in dem

letzterer es unternimmt, mit dichterischer Phantasie die astronomischen

Erscheinungen so darzustellen, wie sie einem Beobachter auf dem

Monde erscheinen würden. Das Buch ist betitelt »*Keplers* Traum oder

nachgelassenes Werk über die Astronomie des Mondes« und verdient

als »eine der merkwürdigsten Schriften aus der Reformationszeit der

Sternkunde« mehr als bisher beachtet zu werden[223]. *Kepler* schildert

darin in phantasievoller Weise eine Reise nach dem Monde, ein Gedanke,

der vor und nach ihm häufiger näher ausgeführt wurde. Als Brücke dient

den Dämonen, die den Reisenden begleiten, der bei Finsternissen den

Mond und die Erde verbindende Schattenkegel. Vom Monde aus werden

darauf die Himmelserscheinungen beobachtet, und es zeigt sich, daß

mit der Veränderung des Standpunktes sich eine, von der irdischen

völlig abweichende, neue Astronomie ergibt. An die Astronomie des

Mondes schließen sich Mitteilungen über die Oberflächengestalt und die

Natur dieses Weltkörpers, den *Kepler* mit den Wesen seiner Phantasie

bevölkert.

Erhöht wird der Wert dieser, ein Vierteljahrhundert vor ihrer

Herausgabe entstandenen Schrift, durch Anmerkungen, die *Kepler* ihr

nach und nach beifügte. In diesen Anmerkungen findet sich nämlich

vieles, das auf den damaligen Stand der Astronomie und der übrigen

Zweige der Naturwissenschaft ein helles Licht wirft[224].

Der Herausgeber nennt »*Keplers* Traum« eine in die schönste

Form gekleidete astronomische Offenbarung, ja das hohe Lied der

koppernikanischen Lehre. In den Anmerkungen, die *Kepler* in den Jahren

1620 bis 1630 niedergeschrieben hat, begegnet uns zum ersten Male die

Behauptung[225], daß die vom Monde reflektierten Strahlen neben der

Licht- auch eine Wärmewirkung ausüben. *Kepler* glaubte sogar die Wärme

der Mondstrahlen im Brennpunkte eines parabolischen Hohlspiegels als

warmen Hauch fühlen zu können. Neuere Messungen haben jedoch gezeigt,

daß die vom Monde ausgestrahlte Wärme nicht größer ist als diejenige,

die eine Kerze auf 21 Fuß Entfernung ausstrahlt. Bei *Kepler* begegnet

uns ferner schon die Ansicht, daß das Leben keineswegs auf die Erde

beschränkt sei. Wie sich die Menschen und die Tiere der Beschaffenheit

ihres Landes und ihrer Provinz anpaßten, so werde es sich auch mit den

lebenden Wesen auf dem Monde verhalten[226].

Das Jahr 1619, in dem *Kepler* durch die Entdeckung des dritten

Gesetzes der Planetenbewegung sein Lebenswerk krönte, war für die

spätere Gestaltung seiner äußeren Lage kein günstiges. In diesem

Jahre kam nämlich der fanatische *Ferdinand II.* auf den Kaiserthron.

Die Verfolgungen der Protestanten mehrten sich. Im Jahre 1626 wurde

*Kepler* gedrängt, seine dürftig besoldete Stelle aufzugeben. Von

diesem Zeitpunkte an führte der schon alternde Mann ein sorgenvolles

unstetes Leben. Er hatte an rückständigem Gehalt nicht weniger als

12000 Gulden zu fordern. Man entledigte sich des unbequemen Mahners,

indem man diese Schuld dem zum Herzog von Mecklenburg ernannten

*Wallenstein* übertrug. Letzterer suchte *Kepler* wieder mit einer

Professur in Rostock abzuspeisen.

Nach dem Sturze *Wallensteins* begab sich *Kepler* nach Regensburg,

um dort auf dem Reichstage seine Forderungen geltend zu machen. Den

ausgestandenen Entbehrungen und Aufregungen war sein geschwächter

Körper jedoch nicht mehr gewachsen. Er erlag ihnen bald nach seiner

Ankunft in Regensburg, am 15. November 1630. Die letzte Ruhestätte

hat man ihm vor den Toren dieser Stadt bereitet. Zwei Jahre später

tobte dort die Furie des dreißigjährigen Krieges, wodurch jede

Spur von *Keplers* Grab verwischt wurde. Während der nächsten zwei

Jahrhunderte die auf ihn folgten, hat Deutschland, von *Leibniz*

abgesehen, keinen Mathematiker und Astronomen gehabt, der sich auch nur

annähernd hätte mit *Kepler* messen können. Auch die hervorragenden

ausländischen Forscher, die im 18. Jahrhundert der Berliner Akademie

angehörten, (*Euler*, *d'Alembert* u. a.) blieben ohne Einfluß auf die

Wiederbelebung der mathematischen Wissenschaften in Deutschland[227].

Eine Änderung, die uns später noch beschäftigen soll, trat fast

unvermittelt mit *Gauß* ein, dem sich zahlreiche hervorragende

Mathematiker auf deutschem Boden hinzugesellten.

Wie der literarische Nachlaß *Galileis*, so erfuhr auch derjenige

*Keplers* ein besonderes Schicksal. *Keplers* Sohn kam nur dazu,

das Somnium herauszugeben. *Keplers* Enkel verkaufte alles an den

Astronomen *Hevel*. *Hevels* Sternwarte wurde durch einen Brand

vernichtet, doch wurden *Keplers* Manuskripte zum Glück gerettet.

Sie wechselten noch mehrfach den Besitzer, bis sie, auf Veranlassung

*Eulers*, *Katharina II.* für 2000 Rubel kaufte und der Petersburger

Akademie überwies. Hier und später in der Sternwarte zu Pulkowa ruhten

die Manuskripte unbenutzt, bis endlich ein Landsmann *Keplers*, *Chr.

Frisch* in Stuttgart, die so lange vernachlässigten Schätze zu heben

verstand. Als Frucht einer dreißigjährigen Arbeit gab er von 1858 bis

1871 das gesamte, ihm zugängliche, gedruckte und ungedruckte Material

mit Einleitungen und Erläuterungen versehen als Opera omnia *Joannis

Kepleri* in acht Bänden heraus.

Keplers Verdienste um die Optik.

Nach dieser Darstellung des Lebensganges und der astronomischen

Leistungen *Keplers* wollen wir seine Verdienste um die Optik, als

eine der wichtigsten Hilfswissenschaften der Astronomie, ins Auge

fassen. Von besonderem Interesse mußte für den Astronomen das Problem

der Brechung sein, an dem sich schon das Altertum mit einigem Erfolg

versucht hatte. Beruhte doch auf dieser Erscheinung die astronomische

Refraktion, deren genauere Bestimmung für die beobachtende Astronomie

sehr wichtig war, sowie die Konstruktion des Fernrohrs, um dessen

Verbesserung *Kepler* sich gleichfalls verdient gemacht hat.

Die Ergebnisse seiner optischen Untersuchungen hat er in zwei Werken

niedergelegt, von denen das eine unter dem Titel »Supplemente zum

Vitellio«[228] die gesamte Lehre vom Lichte betrifft, während sich das

zweite, die »Dioptrik«[229], vorzugsweise mit der Brechung beschäftigt.

Was *Euklid* im Altertum und was in späterer Zeit *Alhazen* auf dem

Gebiete der Optik geleistet haben, wird bei weitem übertroffen durch

die grundlegenden, in den genannten Werken enthaltenen Untersuchungen

*Keplers*. Daß dieser mit dem Gesetz der Lichtintensität bereits

vertraut war, haben wir bei der Erörterung seiner astronomischen

Ansichten[230] bereits erfahren. *Kepler* hat dieses wichtige Gesetz

zuerst in voller Klarheit ausgesprochen[231], und zwar geschieht dies

in seiner ersten, dem Kaiser *Rudolph* gewidmeten optischen Schrift,

den »Supplementen zum Vitellio«[232], mit deren Inhalt wir uns zunächst

beschäftigen wollen.

Das erste Kapitel handelt von der Natur des Lichtes. Bemerkenswert

sind die Aussprüche, daß das Licht imstande sei, sich ins Unbegrenzte

fortzupflanzen (Prop. III); daß ferner das Licht keine Zeit

beanspruche, sondern sich momentan ausbreite (Prop. V)[233].

Den Hauptsatz der Photometrie finden wir (in Prop. IX) in folgenden

Worten ausgesprochen[234]: »In dem Maße, wie die Kugelfläche, von deren

Mittelpunkt das Licht ausgeht, größer oder kleiner ist, verhält sich

die Stärke oder Dichte der Lichtstrahlen, die auf die kleinere, zur

Stärke derjenigen Strahlen, die auf die größere Kugelfläche fallen.«

Die Farben vermochte *Kepler* noch nicht zu erklären; er nahm an,

daß sie aus den verschiedenen Graden der Durchsichtigkeit und Dichte

entständen, auch huldigte er der irrtümlichen Ansicht, die Brechung

werde dadurch veranlaßt, daß dem dichteren Mittel ein größerer

Widerstand und demgemäß ein größeres Brechungsvermögen zukomme.

Indessen wurde *Kepler* schon bald nach dem Erscheinen seiner Schrift

darauf aufmerksam gemacht, daß das weniger dichte Öl das Licht weit

stärker bricht als das Wasser[235].

Wie *Maurolykus* befaßte sich auch *Kepler* mit der Frage, weshalb

hinter verschieden gestalteten Öffnungen stets ein rundes Sonnenbild

entsteht. Auf die richtige Erklärung kam er durch folgende geometrische

Konstruktion[236]: »Ich nahm ein Buch, das mir die Stelle des

leuchtenden Körpers vertreten sollte, und legte es hin. Zwischen diesem

Buch und einer Wand stellte ich eine Tafel mit einer winkligen Öffnung

auf. Nun befestigte ich an der einen Ecke des Buches einen Faden, zog

ihn durch die Öffnung hindurch und beschrieb, indem der Faden längs

den Grenzen dieser Öffnung bewegt wurde, mit Kreide, die an dem Ende

des Fadens angebracht war, eine Figur auf der Wand. Diese Figur war

der Öffnung ähnlich. Dies wiederholte ich, indem ich den Faden an

sämtlichen Ecken und mehreren anderen Stellen des Buches befestigte.

Aus sämtlichen Figuren, die ich erhielt, entstand schließlich eine

einzige, welche die Gestalt des Buches hatte.«

Das dritte Kapitel enthält außer den Grundlagen der Katoptrik eine

Erörterung der Umstände, von denen unser Urteil über die Entfernung

eines Gegenstandes abhängt. Ohne uns dessen bewußt zu werden, nehmen

wir, wie *Kepler* ausführt, die Entfernung der beiden Augen zu Hilfe

und ermitteln den Ort des Gegenstandes durch ein Dreieck, dessen

Grundlinien jener Abstand der Augen, und dessen Seiten die von jedem

Auge nach dem Gegenstande gezogenen Gesichtslinien sind[237].

In den beiden letzten Abschnitten seiner Optik vom Jahre 1604 behandelt

*Kepler* die Brechung, insbesondere die astronomische Strahlenbrechung,

für die er eine Tabelle entwirft, und die Theorie des Sehens. Da diese

Gegenstände der Optik indessen in *Keplers* Dioptrik vom Jahre 1611

wieder behandelt werden, wollen wir uns auf diese spätere Darstellung

beschränken.

Einen Anlaß, sich von neuem mit der Optik zu beschäftigen, bot *Kepler*

die im Jahre 1609 in Holland gemachte Erfindung des Fernrohrs. Das

Ergebnis seiner, nur durch geringfügige experimentelle Hilfsmittel

unterstützten Erwägungen war seine »Dioptrik«. Durch sie insbesondere

ist *Kepler* zum Begründer der neueren Optik geworden. Er ist auf

diesem Gebiete das gewesen, was *Galilei* für die Mechanik und

*Gilbert* für die Elektrizitätslehre war. Leider wurde dies Verdienst

*Keplers* im Vergleich zu den Leistungen anderer Forscher viel zu

wenig gewürdigt. Während *Galilei* z. B. durch seine Beschäftigung mit

der Optik Ruhm und Gewinn erntete, ohne diese Wissenschaft wesentlich

zu bereichern, trugen *Keplers* höchst wertvolle Arbeiten, die der

Wissenschaft einen neuen Ansporn gaben, nichts dazu bei, das traurige

Los des großen deutschen Forschers zu bessern[238].

*Keplers* Dioptrik[239] ist vor kurzem durch eine Übersetzung[240]

zugänglich gemacht. Wir wollen sie der im nachfolgenden gegebenen

Darstellung der wichtigsten Errungenschaften zugrunde legen, die wir

*Kepler* auf den Gebieten der Brechung, der optischen Instrumente und

der Theorie des Sehens verdanken.

Will man sich das Verdienst *Keplers* nur diese Dinge vergegenwärtigen,

so muß man bedenken, daß man zu jener Zeit mit dem Problem der Brechung

noch so wenig bekannt war, daß man das Verhältnis zwischen dem

Einfalls- und dem Brechungswinkel als konstant annahm. Ferner war die

herrschende Theorie vom Sehen durchaus unrichtig, und bezüglich der

optischen Instrumente war eine Theorie überhaupt noch nicht vorhanden.

In seiner Vorrede zur Dioptrik erklärt *Kepler*, die Erfindung des

Fernrohrs habe in ihm den Wunsch entstehen lassen, die Grundlagen

dieser Erfindung auf geometrische Gesetze zurückzuführen und so für die

Dioptrik das zu leisten, was *Euklid* für die Katoptrik geschaffen habe.

Als Erfahrungsgrundsatz stellte *Kepler* folgende Regel an die Spitze:

Strahlen, die in ein dichteres Medium eintreten, nähern sich nach der

Brechung innerhalb des Körpers der Senkrechten, die auf der Grundfläche

im Einfallspunkte errichtet wird. Diese Brechung bleibt dieselbe, ob

nun die Strahlen ein- oder austreten.

[Illustration: Abb. 46. Keplers Verfahren, den Brechungswinkel zu

bestimmen[241].]

Beim Messen der Brechung verfuhr *Kepler* folgendermaßen: Er bestimmte

die Schattenlänge von BE (siehe EH in Abb. 46) und schob dann einen

Würfel der zu untersuchenden Substanz gegen die senkrechte Platte

BDE. Infolge der Brechung des Lichtes trat dann eine Verkürzung des

Schattens um das Stück GH ein, aus deren Größe er das Verhältnis

zwischen dem Einfalls- und dem Brechungswinkel berechnete. Dabei machte

*Kepler* die Entdeckung, daß ein durch Glas gehender Lichtstrahl,

dessen Einfallswinkel an der Grenze zwischen Glas und Luft größer ist

als 42°, nicht in die Luft tritt, sondern an der Grenze beider Medien

nach dem Gesetz der Reflexion total zurückgeworfen wird[242].

Trotz zahlreicher Messungen der Einfalls- und der zugehörigen

Brechungswinkel vermochte *Kepler* indessen keine gesetzmäßige

Beziehung zwischen beiden Größen zu finden. Zunächst ermittelte

er, daß das Brechungsvermögen von Bergkristall und Glas ungefähr

übereinstimmt. Betrug der Einfallswinkel 0°-30°, so war nach seinen

Messungen das Verhältnis von Einfallswinkel und Brechungswinkel

ungefähr konstant. Die bisher auch für größere Winkel angenommene

Proportionalität fand *Kepler* jedoch nicht bestätigt. »Bei einer

Neigung von 30°«, heißt es nämlich[243] »beträgt die Refraktion 10°.

Nach demselben Maße müßte zu einer Neigung von 90° eine Refraktion von

30° gehören; das Experiment ergibt aber 48°«[244]. Zwar suchte schon

*Kepler* das Brechungsverhältnis zu einer trigonometrischen Funktion in

Beziehung zu bringen, doch gelang dies erst einige Jahrzehnte später

den Bemühungen von *Snellius* und *Descartes*. *Snellius* entdeckte

nämlich (Abb. 47), daß der Weg (CA) eines Lichtstrahls, der aus

Luft in Wasser tritt und auf eine senkrechte Wand BA fällt, sich

zu dem Wege (CB), den derselbe Strahl ohne Ablenkung von seiner

Eintrittsstelle bis zu jener Wand zurückgelegt haben würde, stets

wie 3 : 2 verhält. Mit dem heute gebräuchlichen Ausdruck für dieses

Gesetz, nach dem der Sinus des Einfallswinkels (DCE) zum Sinus des

Brechungswinkels (ACF) in einem bestimmten Verhältnis (für Luft und

Wasser 3 : 2) steht, war *Snellius* noch nicht vertraut[245]. In diese

Form wurde das Brechungsgesetz erst durch den französischen Philosophen

und Mathematiker *Descartes*[246] gebracht.

[Illustration: Abb. 47. Snellius entdeckt das Brechungsgesetz.]

[Illustration: Abb. 48. Ableitung des Brechungsgesetzes.]

Obgleich *Kepler* weder im Besitze des strengen Brechungsgesetzes

noch des Gesetzes der konjugierten Brennweiten war, das, wie wir

sehen werden, erst *Halley* ableitete, war er doch imstande,

eine im großen und ganzen zutreffende Lehre von der Wirkung der

Linsen und der Linsensysteme zu geben. Er läßt zunächst parallele

Strahlen auf eine plankonvexe Glaslinse fallen und findet, indem

er das Brechungsverhältnis 3 : 2 zugrunde legt, daß sie sich in

einer Entfernung von ungefähr dem dreifachen Krümmungshalbmesser

schneiden. Für die beiderseits gleiche bikonvexe Glaslinse fällt der

Brennpunkt nach einem späteren Satze der Dioptrik[247] etwa mit dem

Krümmungsmittelpunkt zusammen. Auch in diesem Falle nahm *Kepler* mit

einer für geringe Öffnungen der Linse hinreichenden Genauigkeit an,

daß sich beim Glase der Einfallswinkel zum Brechungswinkel wie 3 : 2

verhält, während dies Verhältnis ja tatsächlich nicht für die Winkel

selbst, sondern für ihre Sinuswerte zutrifft. Es entging *Kepler*

nicht, daß die vom Rande der Linse kommenden Strahlen mit den aus der

Mitte kommenden nicht genau zusammentreffen[248], eine Erscheinung,

die unter dem Namen der sphärischen Abweichung bekannt ist. Sie tritt

auch an den sphärischen Hohlspiegeln auf und wurde bezüglich dieser

schon von *Roger Bacon* erwähnt. Daß sie infolge der Brechung an einer

Glaskugel auftritt, hatte übrigens schon *Maurolykus* dargetan, so

daß *Keplers* Verdienst in dieser Hinsicht nicht groß ist. Von ihm

rührt indessen der Gedanke her, den Linsen statt der sphärischen eine

hyperbolische Form zu geben, um dadurch die sphärische Abweichung

aufzuheben. Er nahm nämlich mit den Anatomen seiner Zeit an, daß

die Linse unseres Auges auf der hinteren Seite eine hyperbolische

Gestalt habe und infolgedessen scharfe Bilder gebe, während durch die

sphärische Abweichung das Bild an Schärfe verliert.

Bei seinen Ableitungen der für die Linse und für Linsenkombinationen

geltenden Regeln verwendet *Kepler* meist zwei Strahlenkegel,

deren gemeinschaftliche Basis die Linse ist, während die Spitzen

mit einem Punkte des Gegenstandes und dem entsprechenden Bildpunkte

zusammenfallen. Die nebenstehende Abbildung enthält drei solcher

Strahlenbündel, wie *Kepler* jedes Kegelpaar bezeichnet. Da dem Punkte

E des Gegenstandes im Bilde der Punkt F, dem Punkte C dagegen der

Punkt D entspricht, so ist der Satz, daß eine Linse umgekehrte Bilder

liefert, ohne weiteres ersichtlich. Dieses von *Kepler* verfolgte

Konstruktionsverfahren war eine von ihm herrührende Neuerung. Seine

Vorgänger auf dem Gebiete der Optik hatten stets einzelne Strahlen

verfolgt, während uns bei *Kepler* zum ersten Male das aus unzähligen

Strahlen bestehende Strahlenbündel als Konstruktionsmittel begegnet.

Mit dessen Hilfe war er imstande, die Lage und die Größe der Bilder

weit richtiger zu ermitteln, als es vor ihm geschah. *Kepler* entdeckte

beispielsweise die Eigenschaft der bikonvexen Linsen, von einem

Gegenstande, der sich in der doppelten Brennweite befindet, ein gleich

großes Bild in der gleichen Entfernung auf der entgegengesetzten Seite

zu erzeugen.

[Illustration: Abb. 49. Kepler beweist, daß eine Linse umgekehrte

Bilder liefert.]

Besondere Verdienste hat sich *Kepler* auch um die Theorie des Sehens

erworben. Er erklärte die Netzhaut für denjenigen Teil des Auges, der

das von der Linse erzeugte Bild auffängt, und vertrat die Ansicht, es

müsse, nach Fortnahme der undurchsichtigen äußeren Häute des Auges,

auf der Netzhaut ein umgekehrtes, verkleinertes Bild des Gegenstandes

zu sehen sein. Diese Annahme *Keplers* hat später *Scheiner*[249]

durch den Versuch bestätigt. Da *Kepler*, nachdem zahlreiche Versuche

anderer vorhergegangen, als der erste eine richtige Theorie des Sehens

entwickelte, so wollen wir bei seiner sowohl in der ersten Schrift[250]

als in der Dioptrik[251] gegebenen Darstellung dieses Vorganges noch

etwas verweilen.

*Keplers* Vorläufer auf diesem Gebiete waren *Maurolykus* und *Porta*.

Beide nahmen an, daß von jedem Punkte des leuchtenden Gegenstandes ein

Strahl durch die Pupille ins Auge gelange. Das erzeugte Bild sollte

nach *Porta* auf die Kristallinse, nach *Maurolykus* hinter diese

fallen. Nach *Keplers* zutreffender Annahme gehen dagegen von jedem

Punkte des Gegenstandes Strahlenkegel aus, deren gemeinschaftliche

Grundfläche die Pupille ist. Sämtliche Strahlenkegel werden, ähnlich

wie es Abbildung 49 zeigt, durch die Kristallinse des Auges so

gebrochen, daß sie hinter dieser Linse gleichfalls Kegel bilden, deren

Spitzen auf der Netzhaut liegen. Letztere befindet sich an der Stelle

des Schirmes der Camera obscura und ist »in einem hohlen Bogen von

allen Seiten her um die Kristallinse ausgespannt«.

Sehr zutreffend und an die neuesten Theorien anklingend ist das, was

*Kepler* über die Tätigkeit der Netzhaut sagt. Wir wollen hier mit

einigen Abkürzungen seine eigenen Worte bringen: »Das Sehen«, sagt er,

»ist eine Gefühlstätigkeit der gereizten und mit Sehgeist erfüllten

Netzhaut; oder auch: Sehen heißt die Reizung der Netzhaut fühlen. Die

Netzhaut wird mit den farbigen Strahlen der sichtbaren Welt bemalt«.

Die Veränderung der Netzhaut ist jedoch nach *Keplers* Annahme keine

nur oberflächliche, sondern eine stoffliche. In der Netzhaut befinde

sich nämlich ein außerordentlich feiner Stoff, »der Sehgeist«. Auf

diesen wirke das durch die Linse gesammelte Licht zersetzend in der

nämlichen Weise, wie etwa brennbare Stoffe durch die Brenngläser

verändert würden. Das so entstandene Bild sei auch von einiger Dauer.

Als Beweis dafür führt *Kepler* die Nachbilder an, die sich zeigen,

wenn man »sich von einem angeschauten Lichtglanz abwendet«. Eine

Bestätigung hat diese Anschauung später durch die Entdeckung des

chemisch veränderlichen Sehpurpurs gefunden[252].

Vollkommen richtig bemerkt *Kepler*, daß die Abbildung des Gegenstandes

auf der Netzhaut noch nicht den ganzen Sehakt ausmache, sondern, daß

das Bild »durch einen geistigen Strom« in das Gehirn übergehen und dort

an den Sitz des Sehvermögens abgeliefert werden müsse.

Daß nur ein einziges Bild zur Wahrnehmung gelangt, hat seinen Grund

nach *Kepler*[253] darin, daß beide Netzhäute in gleicher Weise gereizt

werden. Dementsprechend würden auch, wenn sie in ungleicher Weise

gereizt würden, zwei Bilder wahrgenommen. Auch mit der Frage, weshalb

wir trotz der umgekehrten Netzhautbilder die Gegenstände aufrecht

sehen, hat sich *Kepler* beschäftigt. Doch vermochte er hierauf keine

befriedigende Antwort zu geben. »Das Oben und Unten der Gegenstände,«

meinte er, »lernen wir schon aus der Bewegung der Augen unterscheiden,

da wir sie in die Höhe richten, wenn wir einen hoch befindlichen

Gegenstand und nach unten, wenn wir einen tief gelegenen sehen

wollen[254].«

Ferner erklärte *Kepler* die Kurzsichtigkeit und die Übersichtigkeit.

Die Ärzte des Altertums handeln zwar auch schon von der

Kurzsichtigkeit. Sie führten indessen diesen Zustand, gegen den sie

kein Mittel besaßen, auf eine Schwäche der vom Auge ausgehenden

Ausströmung zurück[255]. Wie die Ursache der Kurzsichtigkeit, so

blieb den Alten auch das Wesen des Sehvorgangs verborgen. Bei einem

kurzsichtigen Auge schneiden sich, wie *Kepler* richtig ausführt,

die von jedem Punkte eines Gegenstandes ausgehenden Strahlen schon

innerhalb des zwischen der Linse und der Netzhaut befindlichen

Glaskörpers. Sie breiten sich hinter ihrem Durchschnittspunkte wieder

aus und geben daher auf der Netzhaut Lichtkreise an Stelle von

Lichtpunkten. Ähnlich verhält sich das übersichtige Auge. Es bricht die

Strahlen nicht stark genug, so daß die Spitzen der Strahlenkegel hinter

der Netzhaut liegen[256]. Da mit der Entfernung des Gegenstandes von

der Linse sich auch die Bildweite ändert, so blieb noch zu erklären,

durch welchen Vorgang ein normales Auge imstande ist, die Bilder

entfernter und naher Gegenstände mit gleicher Schärfe wahrzunehmen.

*Kepler* meinte, daß dieser, als Akkommodation bezeichnete, Vorgang

durch eine Verschiebung der Linse oder der Netzhaut geschehe[257],

während *Descartes* der später als richtig erkannten Ansicht zuneigte,

daß die Linse infolge eines auf sie ausgeübten, wechselnden Druckes

bald mehr, bald weniger gekrümmt sei[258]. »Da die Netzhaut«, führt

*Kepler* aus, »in ein und derselben Lage nicht zugleich von nahen

und fernen Gegenständen scharfe Bilder erhalten kann und doch bei

den Menschen, die nah und fern deutlich sehen, gleich scharfe Bilder

erhält, so muß die Netzhaut inbezug auf die in der kristallenen

Feuchtigkeit liegende Linse eine Ortsveränderung erleiden.« Es sei

wahrscheinlich, meint *Kepler*, daß ein kräftiges, jugendliches Auge,

wie es eine deutliche Bewegung in der Pupille zeige, so auch hinter

der Linse die Fähigkeit habe, den Augapfel dergestalt zu verändern,

daß der Augengrund sich der Linse nähere oder von ihr zurückweiche,

je nach der Entfernung der Gegenstände, auf die das Auge eingestellt

werde. Vielleicht befinde sich der Sitz dieser Bewegung aber auch in

jener Haut, welche die Linse in der kristallenen Feuchtigkeit festhalte

und jene eigentümlichen, als Ziliarfortsätze bezeichneten, schwarzen

Strahlen aussende. *Kepler* nahm auch an, daß das Innere des Auges

flüssig sei, damit die von ihm geforderten Formveränderungen vor sich

gehen könnten. Er erzählt, daß er sich mit der Erklärung des Sehens

mehrere Jahre fast ausschließlich beschäftigt habe. Dafür gebührt ihm

aber auch der Ruhm, der Begründer der physiologischen Optik zu sein. --

*Keplers* Verdienste um die Theorie der optischen Instrumente haben wir

an der Hand seiner »Dioptrik« schon in einem früheren Abschnitt[259]

gewürdigt.

*Descartes* und *Kepler* waren der Meinung, daß das Licht zu seiner

Fortpflanzung keine Zeit beanspruche. Ersterer stützte sich dabei

nicht ausschließlich auf die Wahrnehmung irdischer Vorgänge, sondern

zog auch astronomische Erscheinungen in Betracht. Da er jedoch nur

die Verfinsterungen des Mondes ins Auge faßte, so konnte sich bei der

verhältnismäßig geringen Entfernung dieses Weltkörpers, die das Licht

in einer Sekunde durcheilt, nur ein negatives Resultat ergeben[260].

Keplers Nachfolger auf dem Gebiete der Astronomie.

Unter den Männern, welche die astronomische Wissenschaft als Nachfolger

*Keplers* mit Erfolg gepflegt haben, ist vor allem *Hevel* zu nennen.

*Johann Hevel*[261] wurde 1611 in Danzig geboren. Sein Lebensgang

erinnert in mancher Hinsicht an denjenigen *Guerickes*. *Hevel* stammte

gleichfalls aus einer alten, vermögenden Familie seiner Vaterstadt.

Er studierte in Leyden Rechtswissenschaft, machte ausgedehnte Reisen,

auf denen er Beziehungen zu hervorragenden Ausländern anknüpfte und

bekleidete, nach Danzig zurückgekehrt, das Amt eines Ratsherrn. Die

Anregung zu astronomischen Arbeiten, denen sich *Hevel* neben seinen

Berufsgeschäften aus Liebhaberei widmete, empfing er von einem seiner

Danziger Lehrer. *Hevel* mußte ihm auf dem Totenbette das Versprechen

geben, den gemeinsam gepflegten Studien treu zu bleiben. Er baute 1641

eine Sternwarte und verfertigte nicht nur alle Instrumente, deren er

sich bediente -- sogar die Linsen schliff er selbst -- sondern besorgte

auch die Herstellung der Kupferplatten für seine Abbildungen und deren

Druck.

Zum Messen benutzte *Hevel* noch nicht das Fernrohr, obgleich die

übrigen Astronomen ihre Meßapparate schon mit dem neuen Instrument

versehen hatten, sondern er bediente sich mit einem gewissen Eigensinn

ausschließlich der für das unbewaffnete Auge eingerichteten Diopter.

Trotzdem erreichte er eine große Genauigkeit. Ja, *Halley*, der *Hevel*

im Auftrage der Royal Society besuchte, mußte sogar zugeben, daß seine

mit dem Fernrohr erhaltenen Messungen mit denjenigen *Hevels* bis auf

die Bogenminute übereinstimmten und oft nur um wenige Sekunden davon

abwichen.

Das größte Verdienst *Hevels* bestand darin, daß er die ersten

genauen Karten vom Monde zeichnete und damit einen neuen Zweig der

astronomischen Wissenschaft, die Selenographie, begründete. *Hevels*

Werk[262] über den Mond erschien als das Ergebnis einer sich über viele

Jahre erstreckenden, mühevollen Arbeit im Jahre 1647. Es ist mit Recht

als eines der ehrwürdigsten Denkmäler ausdauernder wissenschaftlicher

Tätigkeit bezeichnet worden[263]. Leider sind die von *Hevel* für

dieses Werk gestochenen Kupferplatten infolge der Pietätlosigkeit

seiner Erben verloren gegangen. Die dunklen Flecken des Mondes (Abb.

50) hielt *Hevel* noch für Wasseransammlungen; er benannte sie deshalb

Mare frigoris (Eismeer), Oceanus procellarum (stürmischer Ozean)

usw. Um die Berge und Gebirge des Mondes zu bezeichnen, bediente er

sich geographischer Namen. Es begegnen uns daher auf dem Monde der

Vesuv, die Apenninen, die Karpathen usw. Zum großen Schaden für die

Wissenschaft wurde *Hevels* Sternwarte 1679 durch eine Feuersbrunst

zerstört, der auch viele Bücher und Aufzeichnungen zum Opfer fielen.

[Illustration: Abb. 50. Hevels Abbildung des Mondes.]

*Hevel* war auch ein fleißiger Kometenforscher. Es war ihm vergönnt von

1652-1683 neun größere Kometen zu beobachten. Die hierdurch und durch

andere gewonnenen Aufzeichnungen über 400 Kometen hat er in seiner

Cometographie vom Jahre 1668 veröffentlicht.

*Hevel* starb im Jahre 1687. Er hatte einen ausgedehnten Briefwechsel

mit den bedeutendsten Gelehrten seiner Zeit unterhalten. Die von

*Hevel* gesammelten Briefe umfaßten viele Folianten, sind aber von

seinen Erben für einen Spottpreis verkauft worden[264]. In einer

Geschichte der Wissenschaften verdient dies Verhalten verurteilt zu

werden, zur Warnung für spätere Geschlechter und zur Mahnung an die

Pflichten, welche der Staat hat, wenn dem einzelnen das Verständnis

abgeht.

Die unmittelbar auf *Kepler* folgende Generation schuf auch die mit

der Physik und mit der Astronomie in engem Zusammenhange stehende

allgemeine Geographie. Ihr Begründer ist Bernhard *Varenius* und das

Werk, durch das er dies vollbrachte, seine »Geographia generalis«

(1650)[265]. Der große Fortschritt, den wir bei *Varenius* finden,

besteht vor allein darin, daß er nicht lediglich schildert und

beschreibt, sondern in erster Linie vergleicht. Sein Werk wird daher

mit Recht dem zweihundert Jahre später erschienenen Kosmos *A. v.

Humboldts* zur Seite gestellt.

6. Die Förderung der Naturwissenschaften durch die Fortschritte der

Mathematik.

Die Entdeckungen der großen Erneuerer der Naturwissenschaften sind

zum großen Teil der Anwendung der Mathematik auf physikalische und

astronomische Probleme zu verdanken. Der Fortschritt in der von

*Galilei* und *Kepler* eingeschlagenen Richtung war daher nicht nur

an die Ausbildung und Ausbreitung des induktiven Verfahrens, sondern

auch an die Weiterentwicklung der Mathematik geknüpft. Letztere nahm

denn auch in diesem Zeitalter unter der Mitwirkung der bedeutendsten

Naturforscher einen kräftigen Aufschwung, der in der nachfolgenden

Periode durch *Newton*, *Leibniz*, *Descartes* und *Huygens* eine

Fortsetzung erfuhr.

Fortschritte der Rechenkunst.

In dem Maße, wie die Genauigkeit der Beobachtungen zunahm, war auch

die Berechnung der Ergebnisse zeitraubender und mühseliger geworden,

so daß man das Bedürfnis fühlte, an die Stelle des Multiplizierens

und Dividierens großer Zahlen eine Vereinfachung treten zu lassen.

Diesem wurde durch die Erfindung der Logarithmen genügt, durch die jene

Operationen auf das viel schneller zu bewerkstelligende Addieren und

Subtrahieren zurückgeführt wurden. Zur Berechnung astronomischer Tafeln

wandte *Kepler* zum erstenmal im Jahre 1620 die Logarithmen an, die

nach einem Ausspruch von *Laplace* das Leben des Astronomen verlängern,

indem sie die Arbeit von Monaten auf Stunden abkürzen.

Ein großes Verdienst um die für die Allgemeinheit wie für die

Wissenschaft gleichwichtige Fortbildung der Rechenkunst erwarb

sich auch der Holländer *Simon Stevin*[266], dessen Lebensgang und

physikalische Forschungen wir an späterer Stelle kennen lernen werden.

*Stevin* ist die erste systematische Darstellung des Rechnens mit

Dezimalbrüchen zu verdanken. Dabei verfehlte er nicht, auf den

Wert der dezimalen Schreib- und Rechnungsweise hinzuweisen und im

Zusammenhange damit von den Regierungen die Einführung dezimaler Münz-,

Maß- und Gewichtssysteme zu fordern, ein Wunsch, der erst zweihundert

Jahre später durch die Männer der französischen Revolution verwirklicht

wurde.

*Stevins* Schreibweise für die Dezimalbrüche ist noch eine

umständliche. Er fügte nämlich jeder Ziffer die Stelle, die sie

einnimmt, als Index bei. Der Dezimalbruch 0,3469 z. B. nimmt bei ihm

folgende Form an: 3① 4② 6③ 9④. Fast zur selben Zeit

entstand aber nach *Vietas* Vorschlag die heutige Schreibweise unter

Anwendung des Kommas.

Mit Zinsberechnungen war man schon im Altertum bekannt. Bei den Indern

und den italienischen Kaufleuten des Mittelalters begegnen uns auch

Zinseszinsberechnungen. *Stevin* gebührt das Verdienst, zuerst[267]

Tafeln für die Berechnung von Zinsen und Zinseszinsen veröffentlicht zu

haben.

Von größtem Einfluß auf die weitere Entwicklung der Mathematik, wie

auf die mathematische Behandlung der Naturwissenschaften war auch

die Fortbildung der algebraischen Zeichensprache und des wichtigsten

Gebietes der Algebra, der Lehre von den Gleichungen.

Wir haben in früheren Abschnitten erfahren, daß in der ältesten

Periode die Mathematik der Zeichen entbehrte und alle Rechnungen

und Beziehungen in Worten zum Ausdruck brachte. Bald traten jedoch

Fachausdrücke und Abkürzungen und endlich besondere Zeichen auf. So

stellten sich gegen den Ausgang des 15. Jahrhunderts, als man in

Italien noch für Plus und Minus die Abkürzungen p und m brauchte, die

Zeichen + und - ein[268].

Das Zeichen = für die Gleichsetzung ist noch jüngeren Datums.

Es begegnet uns ein halbes Jahrhundert später und wird von dem

Erfinder[269] damit begründet, daß nichts gleicher sei als ein Paar

paralleler Strichelchen. Klammern, Wurzel- und Unendlichkeitszeichen

sind noch später entstanden.

Der bedeutendste Fortschritt in der Ausbildung der Algebra zu

einer auf internationaler Kurzschrift beruhenden Sprache geschah

durch den Franzosen *Vieta* mit seiner Einführung allgemeiner

Buchstabengrößen[270]. Bei ihm begegnen uns auch die ersten Anfänge

einer Verknüpfung der Algebra mit der Geometrie, indem er die

Wurzeln gegebener Gleichungen geometrisch darstellen lehrte. Auch

das Verfahren, die Zahl π durch eine unendliche Reihe zu ermitteln,

rührt von *Vieta* her. Er hat auf diesem Wege π bis auf 10 Dezimalen

berechnet.

*Franziskus Vieta* wurde 1540 im Poitou geboren und starb 1603 in

Paris. Er wirkte unter *Heinrich IV.* als Parlamentsrat und später

als Mitglied des Königlichen Geheimen Rates. *Vieta* gilt als der

hervorragendste französische Mathematiker des 16. Jahrhunderts.

Mit allgemeinen Sätzen war man in der Arithmetik schon lange vor

*Vieta* bekannt geworden. Wollte man aber eine für das ganze Bereich

der konkreten Zahlen gültige Regel ausdrücken, so mußte dies in Worten

geschehen. Ein Beispiel diene zur Erläuterung. Ausdrücke von der Form 3

(4 + 2) = 3 · 6 = 3 · 4 + 3 · 2 = 12 + 6 = 18 lassen sich für beliebig

viele konkrete Fälle bilden. Man hatte auch daraus den allgemeinen Satz

entnommen, daß eine Summe mit einer Zahl multipliziert wird, indem

man entweder zuerst summiert und die erhaltene Zahl mit der gegebenen

Zahl multipliziert, oder auch, indem man die Summanden einzeln mit

der gegebenen Zahl multipliziert und die erhaltenen Produkte dann

addiert. Diese umständliche Regel ließ sich in der mit Buchstabengrößen

arbeitenden Algebra, zumal bald nach *Vieta* der Gebrauch von Klammern

aufkam, auf folgenden, ohne weiteres verständlichen, sämtliche

möglichen konkreten Fälle umfassenden Ausdruck bringen:

a (b + c) = a · b + a · c.

*Vieta* unternahm es auch, die Trigonometrie mit der Algebra zu

verknüpfen, indem er lehrte, wie sich nach algebraischem Verfahren die

trigonometrischen Funktionen umformen und in mannigfache Beziehungen

bringen lassen. Auf diese Weise entstand durch ihn derjenige Teil der

Trigonometrie, den man auch wohl als Goniometrie bezeichnet. So leitete

er die Formeln für sin n α und cos n α ab und zeigte z. B., daß sin 3

α = sin α · cos 2 α + cos α · sin 2 α ist[271].

Die Lehre von den Gleichungen.

Der zweite große Fortschritt auf dem Gebiete der Algebra betraf die

Lehre von den Gleichungen. *Vieta* war noch der Meinung, daß nur die

positiven Wurzelwerte einer Gleichung eine Lösung darstellen. Daß auch

die negativen Wurzeln reell sind und überhaupt jede Gleichung so viel

Wurzeln hat, als ihr Grad anzeigt, erkannten erst die Mathematiker des

17. Jahrhunderts.

Daß jede Gleichung n. Grades n Wurzeln besitzt, folgerte der

Niederländer *Girard* 1629 in seinem Werke »Neue Entdeckungen auf dem

Gebiete der Algebra« aus dem von ihm erkannten Zusammenhange zwischen

den Wurzeln einer Gleichung mit ihren Koeffizienten[272]. Dieser

Zusammenhang ergab sich daraus, daß die Entstehung einer Gleichung

n. Grades durch die Multiplikation von n Faktoren ersten Grades

nachgewiesen wurde, eine Erkenntnis, deren mathematischer Ausdruck

X_{n} = (x - α_{1})(x - α_{2})(x - α_{3}) ... (x - α_{n}) lautet, wenn

wir mit X_{n} das Polynom der Gleichung und mit α_{1}, α_{2}, α_{3},

α_{n} die Wurzeln bezeichnen.

Nachdem *Girard* das Bildungsgesetz der Gleichungen erkannt hatte,

erhielten auch die imaginären Wurzeln, mit denen man früher nichts

anzufangen wußte, gleichsam ihre Daseinsberechtigung. Wenn *Girard*

z. B. findet, daß eine bestimmte Gleichung vierten Grades neben zwei

reellen noch zwei imaginäre Wurzeln liefert, so läßt er sich durch das

Auftreten der letzteren nicht beirren, sondern erläutert es dahin, daß

diese Wurzeln es eben sind, welche dem Bildungsgesetz Genüge leisten.

In der ersten Hälfte des 17. Jahrhunderts begann man mit den negativen

Zahlen und mit der Null zu rechnen. Auch hierin hat *Girard* neben dem

gleich zu nennenden *Descartes* Bahnbrechendes geleistet. *Girard*

bemerkt, die negative Lösung werde geometrisch durch Rückwärtsschreiten

dargestellt[273]. Dieser Gedanke findet sich bei *Descartes* für

eine Reihe von Aufgaben verwertet. Er sowie *Girard* erklären die

negativen Wurzeln geometrisch als Strecken, deren Richtung derjenigen

entgegengesetzt ist, welche die den positiven Wurzeln entsprechenden

Strecken angeben[274].

Auf Gleichungen dritten Grades kamen schon die Alten durch das

Problem der Würfelverdopplung (Bd. I. S. 85). Auch *Archimedes*

wurde auf eine kubische Aufgabe geführt, als er eine Kugel durch

eine Ebene so zu zerlegen suchte, daß die beiden Teile der Kugel

in einem bestimmten Verhältnis stehen. Die Folge war, daß sich

auch die Araber mit Gleichungen dritten Grades beschäftigten, ohne

indessen andere als geometrische Lösungen zu finden. Die algebraische

Auflösung dieser Gleichungen war daher eins der wichtigsten Probleme

der neueren Mathematik. Seine Bewältigung gelang zu Beginn des 16.

Jahrhunderts[275], indem man eine Regel fand, um die Gleichung x^3 +

ax = b zu lösen. Bekannt gegeben wurde diese Lösung durch *Cardano*

(*Cardani*sche Formel). Er hatte sie indes nicht selbst gefunden,

sondern verdankte sie *Tartaglia*. Es ergibt sich, daß eine Gleichung

dritten Grades drei Wurzeln hat und daß die Summe dieser Wurzeln gleich

dem Koeffizienten von x^2 ist. Bei diesen Untersuchungen war man

gezwungen, auch Wurzeln aus negativen Zahlen zu berücksichtigen und mit

solchen »imaginären« Werten wie mit algebraischen Zahlen zu rechnen.

Mit einer Gleichung vierten Grades haben sich zuerst arabische

Mathematiker beschäftigt. Die Lösung gelang durch Konstruktion[276].

Die algebraische Lösung dagegen blieb einem Schüler *Cardanos*[277]

vorbehalten. Er führte die biquadratische Gleichung auf eine kubische

zurück.

Diese Erfolge des 16. Jahrhunderts bewirkten, daß man im 17. und

18. sich eifrig um die Lösung von Gleichungen fünften und höheren

Grades mühte. Alle Anstrengungen waren jedoch vergeblich. Sie führten

schließlich zu dem negativen Ergebnis, daß es unmöglich sei, solche

Gleichungen algebraisch aufzulösen[278].

Die Begründung der analytischen Geometrie.

Eine ganz ungeahnte Wichtigkeit erhielt die Lehre von den Gleichungen,

als *Descartes* diesen Teil der Algebra mit der Geometrie in die

engste Beziehung setzte und dadurch die Grundlagen der analytischen

Geometrie der Ebene schuf. *Descartes* zeigte, daß jede gesetzmäßig

entstandene Kurve auf eine Gleichung zurückgeführt werden kann, aus der

sämtliche Eigenschaften der Kurve sich durch Rechnung ableiten lassen.

Gesetzmäßig entsteht eine Kurve, wenn sie als der geometrische Ort

aller Punkte zu betrachten ist, die einer bestimmten Bedingung genügen.

Jene Bedingung drückt *Descartes* durch eine unbestimmte Gleichung

zwischen zwei voneinander abhängigen Größen x und y aus, die er durch

Linien darstellt. Den Grundgedanken des auf diesen Voraussetzungen

beruhenden Verfahrens[279] spricht er in folgenden Worten aus: »Indem

man der Linie y der Reihe nach unendlich viele verschiedene Größen

beilegt, erhält man auch unendlich viele Werte für die Linie x.« Auf

diese Weise sind aber, wie *Descartes* hinzufügt, unendlich viele

Punkte bestimmt, welche der gegebenen Gleichung genügen. Verbindet man

diese Punkte, so erhält man eine Kurve als das geometrische Bild jener

Gleichung.

Die Möglichkeit einer analytischen Geometrie des Raumes wurde von

*Descartes* nur angedeutet. Er bemerkt nämlich, eine dreidimensionale

Kurve sei völlig bestimmt, wenn man von jedem ihrer Punkte zwei Lote

auf zwei zueinander senkrechte Ebenen fälle. Auf diesen entständen

dadurch ebene Kurven, die uns einen vollkommenen Begriff von dem

Verlauf der Raumkurve gäben.

*Descartes* knüpfte zwar unmittelbar an *Vieta* an, den wir als den

Schöpfer der algebraischen Geometrie kennen gelernt haben. Auf den

Grundgedanken seines Verfahrens wurde er aber durch das Studium

der Alten geführt. In der Einleitung zu seiner »Geometrie« erzählt

*Descartes*, er habe sich mit einer Aufgabe des *Pappus* beschäftigt,

deren vollständige Lösung den Alten nicht gelungen sei. Den Grund dafür

habe er darin gefunden, daß die Aufgabe eine unbestimmte, d. h. die

Zahl der Gleichungen kleiner als die der Unbekannten war. Eine Lösung

ließ sich, wie *Descartes* erkannte, nur dadurch ermöglichen, daß

man für die überzählige Unbekannte oder die überzähligen Unbekannten

bestimmte Werte annahm, wodurch dann jedesmal auch die andere oder

die anderen Unbekannten bestimmt waren. Allerdings ergaben sich dann

soviel Lösungen, so oft man diese Operation vornahm, und statt eines

bestimmten Punktes erhielt man eine Reihe von Punkten oder eine Linie,

deren Punkte der gestellten Aufgabe genügten. Der große Fortschritt

der *Descartes*'schen Methode bestand darin, daß fortan geometrische

Gebilde der Rechnung unterworfen und alle geometrischen Aufgaben

allgemein gelöst werden konnten, während das Altertum nur geometrische

Einzelfälle betrachtete.

Auch neue, für die Weiterentwicklung der Mathematik in ihrer Anwendung

auf die Naturwissenschaften höchst wichtige Probleme wurden durch

das analytische Verfahren zugänglich. Eins der ersten, mit dem

sich schon *Descartes* befaßte und an dem sich vorzugsweise die

Infinitesimalrechnung entwickelt hat, war die Tangentenaufgabe.

*Descartes* stellte sie zunächst in der Fassung, daß er für einen

gegebenen Punkt einer Kurve die zur Tangente senkrechte Linie, die

Normale, suchte. Ein Jahr nach dem Erscheinen seiner »Geometrie« sehen

wir ihn jedoch schon mit der Konstruktion der Tangente an die Zykloide

beschäftigt, jener Kurve, auf die zuerst *Galilei* aufmerksam geworden

war[280]. *Descartes'* Verfahren, unbestimmte Gleichungen geometrisch

zu deuten, lehrte alsbald eine Fülle neuer Kurven kennen. Erwähnt seien

nur die von ihm entdeckte logarithmische Spirale und das gleichfalls

von ihm gefundene und nach ihm benannte Cartesische Blatt, dessen

Gleichung x^3 + y^3 = a · x · y lautet.

Die Geometrie der Ebene wurde insbesondere durch *Fermat*, diejenige

des Raumes erst ein Jahrhundert später durch *Clairaut* (1713-1765)

weiter ausgebaut.

*Fermats* Verdienste um die Fortbildung der Mathematik zur wichtigsten

Hilfsdisziplin der Naturwissenschaften sind so hervorragend, daß wir

bei diesem Manne und seinen Leistungen etwas verweilen müssen.

*Pierre Fermat* wurde 1601 in der Nähe von Toulouse geboren. Er

starb dort im Jahre 1665. Wir wollen versuchen *Fermat*, dem man den

Ruhm zuerkannt hat, der bedeutendste französische Mathematiker[281]

zu sein, als Mitbegründer der analytischen Geometrie zu würdigen,

mit deren Problemen er sich bereits 10 Jahre vor dem Erscheinen des

*Descartes*'schen Werkes beschäftigte. Auch *Fermat* knüpfte wie

*Descartes* an die alte Mathematik an. *Fermat* bemühte sich nämlich,

eine verloren gegangene und nur in Bruchstücken durch *Pappus* bekannt

gewordene Schrift des *Euklid*, die sogenannten Porismen[282], wieder

herzustellen.

*Fermats* für die analytische Geometrie grundlegende Arbeit zeichnet

sich der »Geometrie« des *Descartes* gegenüber durch größere Klarheit

und erschöpfende Behandlung aus. Nirgends findet sich bei *Descartes*

eine solch klare Darstellung des Grundgedankens, wie *Fermat* sie

gleich zu Beginn seiner Arbeit gibt. Die Gleichungen, sagt er, können

in bequemer Weise dargestellt werden, wenn wir zwei Strecken unter

einem gegebenen Winkel, als den man am passendsten den rechten nimmt,

aneinandersetzen und einen Anfangspunkt wählen. Diesen Nullpunkt

bezeichnet *Fermat* mit N. Die Strecke, die er von dort abträgt, wird

mit A (unser x), die dazu senkrechte mit E (unser y) bezeichnet.

Die konstanten Werte (a, b, c usw.) werden bei ihm durch B, D, G

ausgedrückt. Die Gleichung einer Geraden, welche durch den Nullpunkt

geht, begegnet uns bei *Fermat* zum ersten Male. Sie lautet D · A = B ·

E. (unser ax = by). Die Parabelgleichung schreibt er A^2 = D · E (unser

x^2 = ay), die Kreisgleichung B^2 - A^2 = E^2 (heute r^2 - x^2 = y^2)

usw.[283].

Maxima- und Minimaaufgaben.

*Fermat* war einer der ersten, der eine allgemeine Methode fand, die

Maxima- und Minimaaufgaben zu lösen. Zum ersten Male begegnet uns ein

hierher gehöriges Problem, und zwar in geometrischer Fassung, bei

*Euklid*[284]. Es läuft, modern ausgedrückt, darauf hinaus, für x · (a

- x) den größten Wert zu finden. Die Lösung ergibt, daß dies Produkt

ein Maximum ist, wenn x = a/2 gesetzt wird. Daß der Kreis bei gegebenem

Umfang unter allen ebenen Figuren die größte Fläche, und die Kugel

bei gegebener Oberfläche unter allen Körpern den größten Rauminhalt

besitzt, war den Alten gleichfalls bekannt.

Unter den neueren Mathematikern haben sich, von vereinzelten Fällen

abgesehen[285], zuerst *Kepler*, *Cavalieri* und *Fermat* mit den

in ihrer Anwendung auf das physikalische Gebiet so außerordentlich

wichtigen Maxima- und Minimabestimmungen beschäftigt. Mit *Keplers* und

mit *Cavalieris* Verdienst um die Begründung der neueren Mathematik

werden wir uns später befassen.

*Fermats* Methode ist diejenige, die auch heute wohl noch für eine

elementare Behandlung von Maxima- und Minimaaufgaben Anwendung

findet[286]. Er setzt nämlich an Stelle einer Unbekannten x einen neuen

Wert x - Δ, in welchem Δ (*Fermat* braucht dafür die Bezeichnung E) als

eine von Null nur wenig abweichende Größe betrachtet wird.

Nachdem er den Ausdruck umgeformt, wird der Übergang von Δ zur Null

vollzogen und der für x gesuchte Wert ermittelt.

Ein Beispiel *Fermats*, bei dem wir jedoch von seiner Ausdrucksweise

absehen, möge sein Verfahren erläutern. Für x^2 (a - x) wird nach dem

Wert von x gefragt, für den dieses Produkt den größten Wert annimmt.

Für x wird x + Δ gesetzt und wir erhalten:

x^2 (a - x) = (x + Δ)^2 (a - x - Δ).

Die Ausrechnung und Umformung ergibt:

2ax - 3x^2 + Δ (a - 3x - Δ) = 0.

Wird darin Δ = 0 gesetzt, so erhalten wir: