und daraus:
x = 2/3 a.
Der von *Fermat* gelehrten Methode fehlte noch ein bestimmtes
Kennzeichen dafür, ob der erhaltene Wert ein Maximum oder ein Minimum
ist. Dies allgemein zu entscheiden, vermochte man erst mit Hilfe des
von *Leibniz* herrührenden Verfahrens der Differentialrechnung.
In dem Bestreben, die von ihm gefundene Methode auf die Naturlehre
anzuwenden, wurde *Fermat* zu seinem Prinzip von der geringsten
Wirkung[287] geführt. *Fermats* Satz läuft darauf hinaus, daß die
Natur, »die große Arbeiterin, die unserer Instrumente und Maschinen
nicht bedarf«, alle Geschehnisse mit einem Minimum von Aufwand ablaufen
lasse. Dieser Gedanke war auch den Alten nicht fremd. So erklärten
sie die Form der Bienenzellen aus dem Streben der Natur, möglichst an
Material zu sparen[288]. Der alexandrinische Physiker *Heron* äußerte
einen ähnlichen Gedanken in bezug auf das Reflexionsgesetz. Er wies
nämlich darauf hin, daß die Reflexion des Lichtes von A nach B auf dem
kürzesten Wege erfolgt, wenn der Reflexionspunkt C die Lage hat, daß
der Einfallswinkel ACD gleich dem Austrittswinkel BCD ist, da jede
andere Verbindung der Punkte A und B mit der spiegelnden Fläche, z. B.
die Verbindung *AC_{1}B* (Abb. 51), länger ist.
[Illustration: Abb. 51. Das Reflexionsgesetz, erklärt aus dem Prinzip
der kleinsten Wirkung, d. i. in diesem Falle des kürzesten Lichtweges.]
Diese Betrachtungsweise übertrug *Fermat* zunächst auf das damals
im Mittelpunkte der Erörterung stehende Brechungsgesetz. *Fermats*
Gedankengang war etwa folgender: Daß der Lichtstrahl beim Übergang
von dem dünneren zum dichteren Medium gebrochen wird, rührt daher,
daß das Licht in letzterem einen größeren Widerstand findet und sich
infolgedessen langsamer bewegt. Je größer nämlich der Widerstand
ist, um so länger wird die für seine Überwindung beanspruchte Zeit
sein. Die im Sinne des Prinzips der kleinsten Aktion gestellte Frage
lautete also: Welchen Weg muß der Lichtstrahl nehmen, um mit dem
geringsten Gesamtwiderstande, der sich aus den Widerständen in den
beiden Medien summiert, oder was auf dasselbe hinausläuft, da ja dem
kleineren Widerstande eine kürzere Zeit entspricht, um innerhalb der
kürzesten Zeit von A nach B zu gelangen (Abb. 52)? *Fermat* findet mit
Hilfe seines Verfahrens, daß dieses Minimum stattfindet, wenn sich
der Sinus des Einfallswinkels zum Sinus des Brechungswinkels wie die
Geschwindigkeiten in den zugehörigen Medien verhalten (sin α : sin β =
v_{1} : v_{2} = n).
*Fermat* schloß auch umgekehrt aus dem Gesetz als einer feststehenden
Tatsache auf die Zulässigkeit seines, immerhin einen gewissen
metaphysischen Zug aufweisenden Prinzips. Denn metaphysisch war das
Prinzip, so lange es darauf hinauslief, an die Stelle des ursächlichen
Wirkens der Natur gewissermaßen ein überlegtes, aus Vernunftgründen
entspringendes Handeln zu setzen.
[Illustration: Abb. 52. Fermat erklärt das Brechungsgesetz aus dem
Prinzip der kleinsten Wirkung.]
Das Prinzip der kleinsten Wirkung ist für die weitere Folge von nicht
geringem Einfluß gewesen, obgleich es das »unbestimmteste von allen
Prinzipien«[289] ist, aus dem man das Wirken der Natur zu erklären
sucht. Auch *Huygens* benutzte den *Fermat*schen Satz. Bei der nahen
Beziehung, in der *Huygens* zu *Leibniz* stand, hat man wohl vermutet,
daß der letztere seine Lehre von der prästabilierten Harmonie in
Anlehnung an die Gedanken *Fermats* geschaffen hat. Die Mathematiker
und die Physikotheologen des 18. Jahrhunderts hielten gleichfalls an
diesem Prinzip fest und suchten seine Allgemeingültigkeit dadurch
nachzuweisen, daß sie zahlreiche Einzelfälle daraus ableiteten. Auf
solche Weise äußerte das Prinzip eine sehr anregende und fruchtbare
Wirkung. Viele Untersuchungen über größte und kleinste Werte, die
man im 18. Jahrhundert unternahm, waren von dem Bestreben geleitet,
die Naturvorgänge aus dem Prinzip der kleinsten Wirkung zu erklären.
Hand in Hand damit erwuchs in der Variationsrechnung ein besonderer
Zweig der Mathematik, der sich mit Maxima- und Minima-Aufgaben
befaßte und allgemeingültige Regeln für ihre Lösung erkennen ließ.
Einen vorläufigen Abschluß fanden diese Untersuchungen, an denen sich
auch *Johann* und *Jacob Bernoulli* beteiligten, in *Eulers* Schrift
vom Jahre 1744[290]. Welchen Standpunkt *Euler* dem *Fermat*schen
Prinzip gegenüber einnahm, ersehen wir aus folgenden, jenem Hauptwerk
entnommenen Worten: »Da die Einrichtung der Welt die vorzüglichste ist,
wird nichts in ihr angetroffen, woraus nicht irgend eine Maximum- oder
Minimumeigenschaft hervorleuchtet. Deshalb kann kein Zweifel bestehen,
daß alle Wirkungen in der Welt durch die Methode der Maxima und Minima
aus den Zwecken wie aus den wirkenden Ursachen selbst abgeleitet werden
können«.
Inzwischen mehrten sich die Beobachtungen, daß auch für die organische
Welt *Fermats* Satz als Stütze dienen könne. Der Bau der Knochen, der
Federn und der Halme: alles schien darauf hinzudeuten, daß die Natur
von ihren Mitteln den zweckmäßigsten und sparsamsten Gebrauch macht
und insbesondere bei dem Aufbau der organischen Körper gewissermaßen
nach einem Sparsamkeitsgesetz verfährt, das sich als ein besonderer
Fall des in der Optik und in der Mechanik beobachteten Prinzips der
kleinsten Wirkung darstellt. Letzteres wurde dann auch um die Mitte
des 18. Jahrhunderts von *Maupertuis* zur Grundlage der gesamten
Naturlehre gemacht und in folgende Worte gekleidet: »Wenn in der Natur
eine Veränderung vor sich geht, so ist der für diese Veränderung
erforderliche Aufwand der möglichst kleinste«[291].
Wie wir später sehen werden, wurde diese, in ihren Anfängen bis ins
Altertum zurückreichende Vorstellung, die *Fermat* klarer formulierte
und das 18. Jahrhundert weiter entwickelte, erst durch schärfere
mechanische Prinzipien verdrängt, als *Lagrange* die Neubegründung der
Mechanik unternahm.
Wir kehren noch einmal zu *Fermat* zurück, um seine Verdienste um
die Begründung der Zahlentheorie, der Kombinationslehre und der
Wahrscheinlichkeitsrechnung wenigstens kurz zu erwähnen. Schienen auch
diese Gebiete zuerst rein mathematisch zu sein, so sind sie im Laufe
ihrer Entwicklung doch in den Dienst der Naturwissenschaften getreten.
Ganz besonders gilt dies von der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Ihre
ersten Anfänge begegnen uns im 15. und 16. Jahrhundert. Sie knüpfen an
die Glücksspiele an.
Die Begründer der Wahrscheinlichkeitsrechnung als einer mathematischen
Disziplin sind *Fermat* und sein Zeitgenosse *Pascal* (1623-1662).
*Pascal* wurde die Frage vorgelegt, bei wieviel Würfen man Aussicht
habe, mit zwei Würfeln den Sechserpasch zu werfen. Als das wichtigste
Mittel zur Bewältigung der Probleme der Wahrscheinlichkeitsrechnung
schufen *Pascal* und *Fermat* die Kombinatorik, deren Anfänge uns schon
bei den Indern begegnen.
Was *Fermats* Verdienst um die Theorie der Zahlen anbelangt, so sei
daran erinnert, daß auch auf diesem Gebiete ein Satz, und zwar ein
fundamentaler, seinen Namen führt.
Um die Fortentwicklung der Kombinationslehre haben sich im 18.
Jahrhundert *Jacob Bernoulli* und im 19. *Laplace* und *Gauß* die
hervorragendsten Verdienste erworben.
Zur selben Zeit, als *Descartes* neben die alte *Euklid*ische
die analytische Geometrie setzte, begegnen uns die Anfänge
einer dritten geometrischen Betrachtungsweise, derjenigen der
Zentralprojektion. Aus ihr hat sich im 19. Jahrhundert auf Grund
der Untersuchungen *Poncelets* und *Steiners* die projektivische
Geometrie entwickelt[292], deren Sätze sich durch einen hohen Grad
von Allgemeingültigkeit vor denjenigen der *Euklid*ischen und der
analytischen Geometrie auszeichnen.
Die Anfänge der Infinitesimalrechnung.
In den Anfang des 17. Jahrhunderts fallen auch die ersten Schritte zur
Begründung einer mathematischen Methode, deren Ausgestaltung zu einem
der mächtigsten Hilfsmittel der Naturforschung *Newton* und *Leibniz*
vorbehalten blieb. Dies ist die Infinitesimalrechnung. Unter den
Männern, die hier als Vorläufer zu nennen sind, nimmt *Kepler* neben
dem Italiener *Cavalieri*, einem Schüler *Galileis*, die erste Stelle
ein. Schon die Alten, insbesondere *Archimedes*, hatten bemerkt, daß
manche geometrische Aufgaben mit Hilfe der Elementarmathematik nicht
gelöst werden können. Dies hatte auf die Anwendung eines unter dem
Namen der Exhaustionsmethode bekannten Verfahrens geführt, vermittelst
dessen z. B. *Archimedes*[293] die Quadratur der Parabel gelang.
Auch die von *Archimedes* und früheren angestellte Berechnung des
Kreisumfanges mit Hilfe der ein- und umgeschriebenen Vielecke zeigt
uns, wie man schon im Altertum, wenn auch in umständlicher Weise,
die Rektifikation einer Kurve vorzunehmen wußte[294]. Nach neueren
Entdeckungen (s. Bd. I S. 164) besaß *Archimedes* sogar schon ein
Verfahren, das der Integration, wie man sie heute ausübt, in seinem
Wesen schon entsprach.
Der Fortschritt der Astronomie und der Physik war an die Entwicklung
eines Verfahrens geknüpft, das eine allgemein gültige Lösung für die
Ausmessung von Kurven, der von Kurven eingeschlossenen Flächen, sowie
der durch Bewegung solcher Flächen entstandenen Körper ermöglichte.
Wie wichtig mußte es z. B. für *Kepler* sein, den Umfang der Ellipse
aus der großen (a) und der kleinen (b) Achse berechnen zu können[295].
Er hat sich auch hieran versucht und gibt den Wert für diesen Umfang
als nahezu gleich π (a + b) an. Daß es sich hier um eine Annäherung
handelt, hebt *Kepler* ausdrücklich hervor. Auch wird ihm zweifelsohne
bekannt gewesen sein, daß der Ausdruck nur gebraucht werden darf, wenn
a und b wenig voneinander verschieden sind[296].
Mit der Bestimmung des Rauminhaltes von Rotationskörpern befaßt sich
*Kepler* in seiner Doliometrie[297] oder Faßberechnung. *Lagrange* hat
später von diesem Buche gerühmt, daß es ähnlich wie die Sandesrechnung
des *Archimedes* an einem gewöhnlichen Gegenstande die erhabensten
Gedanken entwickele. Ein besonderer Umstand veranlaßte *Kepler*, seine
Betrachtungen gerade an die Raumbestimmung von Fässern anzuknüpfen.
Er hatte nämlich beim Einkauf von Wein beobachtet, daß die Händler
den Inhalt der Fässer bestimmten, indem sie einen Meßstab durch den
Spund bis zu den gegenüber befindlichen Dauben führten, ohne auf die
Krümmung der letzteren Rücksicht zu nehmen. Ein dem Fasse an Inhalt
gleicher Körper entsteht, wenn der Längsschnitt um die Achse rotiert.
*Keplers* Grundgedanke bestand nun darin, derartige Rotationskörper
in eine unendliche Zahl von Elementarteilen zu zerlegen und diese zu
summieren, eine Untersuchung, die er in der »Doliometrie« auf etwa 90
Fälle ausdehnte.
Bei der Quadratur von Flächen hatten sich *Archimedes* und *Euklid*
der »Exhaustionsmethode« bedient, deren Wesen wir an früherer Stelle
kennen lernten. *Kepler* dagegen bediente sich bei seinen Quadraturen
und Kubaturen unendlich kleiner Größen und ging dabei von Vorstellungen
aus, welche die alten Mathematiker im allgemeinen vermieden hatten.
So gelten für ihn unendlich kleine Bogen als gerade Linien, unendlich
schmale Ebenen als Linien und unendlich dünne Ebenen als Körper, eine
Vorstellung, die später auch *Cavalieri* seinen Integrationen zugrunde
legte.
Als Beispiel diene die Quadratur des Kreises, an der wir bei
*Archimedes* das Exhaustionsverfahren kennen gelernt haben. Der
Kreisumfang, sagt *Kepler*, hat unendlich viele Teile. Jedes dieser
Teilchen ist als Basis eines gleichschenkligen Dreiecks anzusehen. Wir
erhalten so unendlich viele Dreiecke, die sämtlich mit ihren Spitzen im
Mittelpunkte des Kreises liegen. Werden nun die sämtlichen Grundlinien,
deren Summe gleich der Peripherie ist, auf einer Geraden aneinander
gefügt und mit dem Mittelpunkte des Kreises verbunden, so erhalten wir
ein aus unendlich vielen Dreieckchen bestehendes größeres Dreieck,
dessen Inhalt gleich dem des Kreises ist.
Auf die gleiche Weise wird der Inhalt der Kugel berechnet. »Sie
enthält«, sagt *Kepler*, »der Möglichkeit nach gleichsam unendlich
viele Kegel, deren Grundflächen sozusagen Punkte sind, während die
Spitzen im Mittelpunkte der Kugel zusammenstoßen.«
Eins der lehrreichsten Beispiele für *Keplers* Verfahren ist seine
Kubatur des Ringes (s. Abb. 53). Dieser wird zunächst durch Ebenen,
welche durch die Achse A gehen, in unendlich viele Scheibchen zerlegt.
Diese Scheibchen sind aber nicht überall gleich dick, sondern sie sind,
von ihrer eigenen Mitte aus gerechnet, nach der Achse A zu dünner und
nach der entgegengesetzten Richtung dicker. Diese Unterschiede gleichen
sich aber aus, und infolgedessen ist der Rauminhalt des Ringes gleich
dem Inhalt eines Zylinders, dessen Grundfläche mit einer Schnittfläche
des Ringes zusammenfällt, während seine Höhe gleich dem Kreise ist, den
der Mittelpunkt F dieser Schnittfläche bei ihrer Rotation um die Achse
A beschreibt.
[Illustration: Abb. 53. Keplers Kubatur des Ringes[298].]
Zu den wenigen, von den Alten betrachteten Rotationskörpern fügte
*Kepler* eine Fülle von neuen, so daß die Gesamtzahl der von ihm
betrachteten Körper sich auf 92 beläuft. Diese Mannigfaltigkeit
ergab sich, indem er geradlinige Figuren und die vier Kegelschnitte
um Durchmesser, Sehnen, Tangenten oder außerhalb dieser Kurven
gelegene Achsen rotieren ließ (s. Abb. 54). Die entstandenen Körper
benannte *Kepler* oft nach Früchten. So entstand sein »Apfel«, wenn
ein Kreisabschnitt, der größer als der Halbkreis ist, um seine Sehne
rotiert[299]. War der rotierende Kreisabschnitt dagegen kleiner als der
Halbkreis, so nannte er den entstandenen Körper »Zitrone«.
Die mathematische Strenge eines *Euklid* und *Archimedes*
vermochte *Kepler* bei seinen Ableitungen nicht zu erreichen. Dazu
bedurfte es der weiteren Entwicklung der Infinitesimalmethode,
die er erst begründete. In manchen Fällen mußte er sich mit
Wahrscheinlichkeitsschlüssen begnügen, oder er verfehlte gar die
richtige Lösung des vorliegenden Einzelfalles.
[Illustration: Abb. 54. Keplers Rotationskörper, den er »Apfel« nannte.]
*Kepler* hatte sich in seiner »Doliometrie« nicht nur die Aufgabe
gestellt, den Inhalt von Fässern und anderen Rotationskörpern zu
berechnen, sondern er wollte zugleich untersuchen, welche Form des
Fasses die zweckmäßigste sei, d. h. beim geringsten Verbrauch an
Material möglichst viel fassen könne. Ein Problem von der Art des
zuletzt erwähnten hat man als ein isoperimetrisches bezeichnet,
und wir werden erfahren, daß auch in späteren Perioden derartige
Probleme für die Entwicklung der höheren Analysis von der allergrößten
Wichtigkeit gewesen sind. Als Beispiel unter *Keplers* hierher
gehörigen Betrachtungen sei der Satz erwähnt, daß der Würfel das größte
Parallelepipedon ist, das in eine Kugel einbeschrieben werden kann[300].
*Kepler* bemerkte auch schon, daß die Maximalwerte dadurch
gekennzeichnet sind, daß in ihrer Nähe die Veränderungen einer Funktion
gleich Null werden. Ist z. B. MP (Abb. 55) die größte Ordinate der
Kurve AMB, so ist die Zu- und Abnahme von MP bei unendlich kleiner
paralleler Verschiebung gleich Null. *Kepler* zeigte durch diesen für
die Theorie der Maxima und Minima grundlegenden Satz, wenn er ihn
auch noch nicht zu beweisen vermochte, wie tief er auch nach dieser
Seite in die Infinitesimalbetrachtungen eingedrungen war. In *Keplers*
Worten lautet der Satz: »An solchen Stellen, wo der Übergang von einem
kleineren zum größten und wieder zum kleineren stattfindet, ist der
Unterschied immer bis zu einem gewissen Grade unmerklich.«
[Illustration: Abb. 55. Keplers Untersuchung der größten und kleinsten
Werte.]
Wenig später als *Kepler* nahm der Italiener *Cavalieri*[301] das
Problem der Quadratur und Kubatur gleichfalls nach einer von der
Mathematik der Alten abweichenden Methode in Angriff. Dies geschah
1635 in seiner »Geometrie der Indivisibilien«[302]. Eine klare
Definition des Wortes »Indivisibilien«, d. h. die »Unteilbaren«, hat
*Cavalieri* nicht gegeben. Sein Verfahren, die Flächen auf Linien und
die Körper auf Flächen zurückzuführen, hat auch wohl das Mißverständnis
hervorgerufen, als ob *Cavalieri* die Flächen als die Summen unendlich
vieler Parallelen und die Körper als die Summen von Flächen auffassen
wollte, und infolgedessen Widerspruch erregt. *Cavalieri* weiß aber
sehr wohl, daß die Summe aller parallelen Sehnen einer geschlossenen
Fläche unendlich und daß das Verhältnis zwischen zwei solchen Summen
unbestimmt ist. Besitzen dagegen die zahlreichen parallelen Sehnen,
welche durch zwei Flächen gelegt werden, die von zwei Parallelen
eingeschlossen sind, gleichen Abstand, so erhält das Verhältnis der
Sehnensummen einen Wert, der sich mit der Vermehrung der Sehnen einer
bestimmten Grenze nähert. Und zwar entspricht dies Verhältnis dem
der beiden Flächen, welche durch die Sehnen zerteilt werden. Ein
einfaches Beispiel möge das Gesagte erläutern. Man errichte über der
Grundlinie eines Dreiecks ein Rechteck von gleicher Höhe und ziehe
dann in beiden Figuren eine Anzahl Linien parallel zur Grundlinie in
gleichen Abständen. Dann wird die Summe der Strecken im Dreieck halb
so groß sein wie die Summe der Strecken im Rechteck. Daraus schließt
*Cavalieri*, daß auch die Flächen im Verhältnis von 1 : 2 stehen.
Nach demselben Verfahren ergibt sich, daß eine Ellipse und ein
Kreis, dessen Durchmesser mit einer Achse der Ellipse zusammenfällt,
sich der Fläche nach verhalten wie die andere Achse der Ellipse zum
Kreisdurchmesser.
Wird *Cavalieris* Methode auf körperliche Gebilde übertragen, so sind
statt der Linien parallele Ebenen in gleichen Abständen zu wählen.
Schneiden diese Ebenen die Körper in Flächen, die in einem gegebenen
Verhältnis stehen, so gilt für die Volumina der Körper das gleiche
Verhältnis. Noch heute trägt dieser Satz bekanntlich den Namen
*Cavalieris*. Eingeschränkt auf inhaltsgleiche Gebilde lautet er:
Gebilde der Ebene sowie des Raumes sind inhaltsgleich, wenn die in
gleicher Höhe geführten Schnitte gleiche Strecken bzw. Flächen ergeben.
Gegenüber der Methode *Keplers*, der sich bestimmte Aufgaben stellte,
besaß die Methode *Cavalieris* den Vorzug größerer Allgemeingültigkeit
und abstrakterer Behandlung. Trotz des Widerspruches, den beide
Männer fanden, war die von ihnen eingeführte Infinitesimalbetrachtung
die wertvollste Idee, die jemals die Mathematik bereichert hat.
Erweisen sollte sich ihre Fruchtbarkeit zwar erst nach der Erfindung
der analytischen Geometrie, aus deren Verknüpfung mit der neuen
Betrachtungsweise die Differential- und Integralrechnung als das
wichtigste mathematische Hilfsmittel der neueren Naturforschung
hervorging.
Unter den wissenschaftlichen Gegnern *Keplers* und *Cavalieris* ist
besonders *Guldin* zu nennen. Er befaßte sich in einem umfangreichen
Werke mit der Bestimmung der Schwerpunkte von Kurven, Flächen und
Körpern und zwar eingehender, als es bisher geschehen war[303].
Fußend auf einem Satz, der sich bei *Pappus* findet, ging *Guldin*
gleichfalls zu Inhaltsbestimmungen über. Der *Pappus-Guldin*sche Satz,
der heute noch als die *Guldin*sche Regel bezeichnet wird, besagt,
daß der Rauminhalt eines Rotationskörpers gleich dem Produkt aus der
erzeugenden Fläche und dem Wege ihres Schwerpunktes ist.
Einen einwandfreien Beweis dieses Satzes vermochte *Guldin* nicht
zu geben. Seine Richtigkeit folgerte er vielmehr aus dem Umstande,
daß man mit Hilfe dieser Regel zu den gleichen Ergebnissen gelangt,
die sich auch auf anderen Wegen finden lassen. Seine Beispiele sind
oft dieselben, die *Kepler* behandelt hat. Während aber *Keplers*,
von *Guldin* als unwissenschaftlich bekämpfte Methode den Keim der
höheren Mathematik enthielt, ist *Guldins* Verfahren ohne Einfluß
auf die Weiterentwicklung dieser Wissenschaft geblieben, zumal die
Quadratur der gegebenen Figur und die Bestimmung ihres Schwerpunktes
häufig weit schwieriger sind, als die direkte Kubatur des betreffenden
Rotationskörpers[304].
Einen weiteren Schritt auf dem Gebiete der Infinitesimalbetrachtungen
bedeutet die »Arithmetik des Unendlichen« des Engländers *Wallis*[305]
(1655). *Wallis* wurde durch die Untersuchungen *Cavalieris* angeregt,
sich mit Quadraturen und Kubaturen zu beschäftigen. Sie bilden den
wesentlichen Inhalt seiner »Arithmetik des Unendlichen«. Aus dem
Titel des Werkes ist schon ersichtlich, daß *Wallis* im Gegensatz
zu *Cavalieri*, der seine Ableitungen geometrisch zu gestalten
suchte, vorzugsweise rechnerisch verfuhr. Dies gelang ihm, indem
er die analytische Methode des *Descartes* auf die infinitesimale
Betrachtungsweise *Keplers* und *Cavalieris* übertrug. Ob *Wallis* mit
der Doliometrie *Keplers* bekannt war, ist allerdings zweifelhaft[306].
*Wallis* zerlegt z. B. eine Fläche, um deren Quadratur es sich handelt,
durch unendlich viele parallele Ordinaten in eine unendlich große
Zahl von unendlich schmalen Parallelogrammen und sucht deren Summe
zu ermitteln. Dabei bedient er sich der noch heute üblichen Form des
Grenzüberganges.
Die Erweiterung dieser von *Kepler*, *Cavalieri* und anderen
geschaffenen Grundlagen einer neuen, höheren Mathematik zu einem
allgemeinen, für die Fortentwicklung der Naturwissenschaft sowohl wie
der Technik unentbehrlichen Hilfsmittel ist insbesondere das Werk von
*Newton* und von *Leibniz*.
Durch seine Untersuchungen über unendliche Reihen war *Newton* zu einer
allgemeineren Lösung der Tangentenaufgabe gelangt, mit der sich schon
*Fermat* und *Descartes* beschäftigt hatten. *Newton* veröffentlichte
sein Verfahren zunächst nicht, sondern setzte seit 1669 mehrere
Personen, mit denen er in wissenschaftlichem Verkehr stand, davon
in Kenntnis. Durch einen Brief des Sekretärs der Royal-Society[307]
erfuhr auch *Leibniz* davon. Diesen Brief empfing *Leibniz* jedoch
erst 1677. Er antwortete noch in demselben Jahre unter Darlegung einer
Methode, die zum gleichen Ziele führe und machte sie im Jahre 1684
und 1686 bekannt. In der Schrift vom Jahre 1684[308] entwickelte er
die Prinzipien der Differentialrechnung. Er bezeichnete es als ihre
Aufgabe, den unendlich kleinen Zuwachs zu bestimmen, den eine Funktion
f(x) erfährt, wenn sich die Variable x unendlich wenig ändert. Jenen
unendlich kleinen Zuwachs nannte *Leibniz* das Differential der
Funktion. Er bezeichnete ihn mit d.
In der zweiten Schrift[309] entwickelte *Leibniz* die Prinzipien der
Integralrechnung. Er stellte sich darin die Aufgabe, umgekehrt aus
dem unendlich kleinen Zuwachs die Funktion zu finden, ein Verfahren,
das man als Integration bezeichnet. *Leibniz* führte für die gesuchte
Funktion das Zeichen ∫ (Integral) ein. Auch erkannte er schon den
Zusammenhang, in dem das Integrationsverfahren mit der Quadratur und
mit der Kubatur steht.
Bald nach diesen Veröffentlichungen erschienen die »Prinzipien« (1687),
in denen *Newton* sich der geometrischen Einkleidung seiner Beweise
bediente. So kam es, daß sich die von *Leibniz* erfundene Methode
rasch ausbreitete, während diejenige *Newtons* fast unbekannt blieb
und vollständig erst nach seinem Tode[310] veröffentlicht wurde. Er
nannte sie Methode der Fluxionen. Die unendlich kleinen Größen, mit
denen *Leibniz* operiert, ersetzt *Newton* durch seine verschwindenden
Größen. Das Neue ist bei *Newton* vor allem der Begriff der Grenze. Er
versteht darunter den Wert, dem sich die gleichsam fließenden (daher
der Ausdruck Fluxionen) Größen immer mehr nähern.
Erwähnt sei noch, daß im Jahre 1699 ein heftiger Prioritätsstreit
entbrannte. Er wurde entfacht durch die Bemerkung eines
Mathematikers[311], daß *Leibniz* sein Verfahren wahrscheinlich
*Newton* entlehnt habe. *Leibniz* war daraufhin so unvorsichtig, in
einer anonymen Schrift *Newton* des Plagiats zu beschuldigen. Eine
Aussöhnung fand nicht statt. *Leibniz* hat bis zu seinem Tode (1716)
sehr unter diesem Streit gelitten. *Newton* hat in seinen »Prinzipien«
anerkannt, daß *Leibniz* auf die gleiche Methode wie er gekommen sei.
Erst in der nach *Newtons* Tode erschienenen Auflage ist die Bemerkung
fortgelassen.
Daran, daß *Newton* die Priorität gebührt, ist nicht zu zweifeln, wie
auch *Leibniz* wohl die Anregung zu seiner Entdeckung durch *Newton*
empfangen hat. Vor allem hat *Leibniz* das Verdienst, die neue Methode
zuerst bekanntgegeben und durch den von ihm geschaffenen Algorithmus
ganz besonders zu ihrer Ausbreitung beigetragen zu haben.
Die tiefere Begründung der Infinitesimalmethode erfolgte erst durch
*Carnot*[312], den großen *Carnot* der französischen Revolution, dessen
Neffe grundlegende Untersuchungen auf dem Gebiete der Wärmelehre
anstellte (s. Bd. III ds. Werkes). Um die mathematische Strenge
des Verfahrens hat sich *Cauchy* das größte Verdienst erworben. Er
entschied sich für die von *Newton* begründete Methode der Grenzwerte,
die an Klarheit und Schärfe von keiner anderen erreicht wird.