nécessité, de rapport avec nos proches, nos semblables, ou pleine de
ménagement pour autrui, de concessions réciproques, de sacrifices
mutuels. La ligne droite représente la vie théorique, l'idéal, l'idée
indépendante, absolue.
Mme PAPE-CARPENTIER.
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Cet extrait est tiré du livre _Le secret des grains de sable_ où
l'auteur recherche «les heureuses corrélations qui relient la
géométrie et le sentiment».
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MOULIN
On peut comparer les mathématiques à un moulin d'un travail admirable,
capable de moudre à tous les degrés de finesse; mais ce qu'on en tire
dépend de ce qu'on y a mis, et comme le plus parfait moulin du monde
ne peut donner de la farine de froment si l'on n'y met que des cosses
de pois, de même des pages de formules ne tireront pas un résultat
certain d'une donnée incertaine.
HUXLEY.
¤---¤---¤
Les mathématiques sont comme un moulin à café qui moud admirablement
ce qu'on lui donne à moudre, mais qui ne rend pas autre chose que ce
qu'on lui a donné.
FARADAY.
¤---¤---¤
Il me semblait que résoudre un problème de géométrie par les
équations, c'était jouer un air en tournant une manivelle.
J.-J. ROUSSEAU.
¤---¤---¤
Lorsqu'on raisonne, on ne peut demander aux prémisses que ce qu'elles
contiennent.
Le calcul constitue une _méthode_ rapide d'analyse, pour résoudre les
problèmes. On pourrait, après coup, rétablir tous les intermédiaires.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
SANS AXIOMES
_La Géométrie sans axiomes_ est le titre d'un livre anglais de
Perronet Thomson, traduit par Van Tenac, où les axiomes, incorporés
dans les définitions, ne sont pas formellement énoncés.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
IMAGES LOINTAINES
Supposez maintenant que vous vous éloigniez de la terre avec une
vitesse _supérieure_ à celle de la lumière, qu'arrivera-t-il? Vous
retrouverez, à mesure que vous avancerez dans l'espace, les rayons
partis avant vous, c'est-à-dire les photographies, qui, de seconde en
seconde, d'instant en instant, s'envolent dans l'étendue.
Si, par exemple, vous partez en 1867 avec une vitesse égale à celle de
la lumière, vous garderez éternellement l'année 1867 avec vous. Si
vous allez plus vite, vous retrouverez les rayons partis aux années
antérieures et qui emportent avec eux les photographies de ces années.
Pour mieux mettre en évidence la réalité de ce fait, je vous prie de
considérer plusieurs rayons lumineux partis de la Terre à différentes
époques. Le premier est je suppose, celui d'un instant quelconque, du
1er janvier 1867. À raison de 75000 lieues par seconde, il a, au
moment où je vous parle, déjà fait un certain trajet depuis le moment
de son départ et se trouve maintenant à une certaine distance, que
j'exprimerai par la lettre A. Considérons maintenant un second rayon
parti de la Terre cent ans auparavant, le 1er janvier 1767: il est de
cent ans _en avance_ sur le premier, et il se trouve à une distance
beaucoup plus grande, distance que j'exprimerai par la lettre B. Un
troisième rayon, celui, je suppose, du 1er janvier 1667, est encore
_plus loin_, d'une longueur égale au trajet que parcourt la lumière en
cent ans. J'appelle C le lieu où en est ce troisième rayon. Enfin, un
quatrième, un cinquième, un sixième, sont respectivement des 1er
janvier 1567, 1467, 1367, etc., et sont échelonnés à des distances
égales, D, E, F, s'enfonçant de plus en plus dans l'infini.
Voilà donc une série de photographies terrestres échelonnées sur une
même ligne, de distance en distance, dans l'espace. Or _l'esprit_ qui
s'éloigne en passant successivement par les points A, B, C, D, E, F, y
retrouve successivement l'histoire séculaire de la Terre à ces
époques.
FLAMMARION.
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Un moraliste, plus ingénieux que solide, puise dans les considérations
précédentes un encouragement au bien. En effet, l'image d'un meurtre
ne disparaît plus et, à l'éternelle honte du meurtrier, cette image
qui s'envole dans l'espace proclame le crime jusqu'aux astres les plus
lointains.
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LOI DES SENSATIONS
Les sensations sont proportionnelles aux logarithmes des impressions
ou des excitations.
WEBER.
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C'est là un énoncé curieux et obscur attribué aussi à Fechner et qui a
été généralement contesté.
«C'est le propre des phénomènes vitaux, assure Bichat, d'échapper à
tous les calculs.» L'assertion est trop absolue, mais il faut être
prudent en ces délicates matières.
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PLUS GRANDS ET PLUS PETITS
La suite continue des nombres entiers, fractionnaires,
incommensurables, où le cas simple est très exceptionnel, est une
conception délicate.
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Quelque petit que soit un nombre, il y a exactement autant de nombres
plus petits que lui que de nombres plus grands, puisque à un nombre
quelconque correspond son inverse.
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On trouve dans les mathématiques des régions philosophiques--ce ne
sont pas les plus claires--où se complaisent certains esprits.
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NOMBRE MYSTÉRIEUX
Que celui qui a de l'intelligence compte le nombre de la bête... son
nombre est six cent soixante-six.
Il s'agit de l'Antechrist.
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ÊTRE OU NÉANT
Qu'est-ce que l'élément infinitésimal? C'est la grandeur décroissante
jusqu'à s'évanouir, et prise au moment où elle s'évanouit, car avant,
ce serait trop tôt, et après ce serait trop tard. C'est la grandeur
prise au moment où, cessant d'être quelque chose, elle n'est pas
encore rien du tout, c'est-à-dire au moment où elle participe à la
féconde identité de l'être et du néant.
HEGEL.
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Très subtil et peu clair.
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CONCILIATION
Le mouvement dans l'espace d'un corps soumis à l'action d'une force
donnée et partant d'une position aussi donnée doit être absolument
déterminé. C'est donc par une sorte de _paradoxe_ que les équations
différentielles dont ce mouvement dépend peuvent être satisfaites par
plusieurs équations qui remplissent en outre les conditions initiales
du mouvement.
POISSON.
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On peut rattacher à cette remarque deux travaux
philosophico-mathématiques plus ingénieux que solides. 1º _Accord de
la liberté morale avec les lois du mécanisme_, par Saint-Venant
(_Comptes rendus_ du 15 mars 1877); 2º _Conciliation du véritable
déterminisme avec l'existence de la vie et de la liberté morale_, par
Boussinesq (_Comptes rendus_ du 19 février et du 5 mars 1877.)
M. J. Bertrand dit à propos de ces tentatives:
«Quand une table rigide et pesante repose par plus de trois pieds sur
un sol parfaitement dur, l'effort supporté par chaque pied est
indéterminé. Le calcul l'affirme mais ni les physiciens ni les
géomètres ne l'ont cru un instant; ils se sont bien gardés surtout de
supposer à chaque pied la faculté de choisir, en lui prêtant une
volonté devenue indispensable».
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
CERTITUDES ANTÉRIEURES
Il y a des certitudes qui ne reposent pas sur l'expérience. Je sais
qu'il y a des polygones de 7, de 11, de 13 côtés, etc., tout en
sachant qu'on ne peut, actuellement du moins, les construire
géométriquement. On admet qu'il y a un carré égal à un cercle donné,
et personne ne s'avisera plus de chercher ce carré. Rien de plus aisé
que de former une équation du _m_^{e} degré, en se donnant au
préalable _m_ racines réelles ou imaginaires; l'équation une fois
formée, on sait qu'elle a ces racines et pourtant on ne peut pas
toujours les dégager.
Or, comment sait-on qu'il y a des polygones réguliers de 7, de 11, de
13 côtés, etc., qu'il y a un carré égal à un cercle donné...? Par un
raisonnement d'analogie et d'induction, celui-ci par exemple: Je sais
diviser une droite en 7 parties égales; si la circonférence était
rectifiée, je pourrais la diviser en 7 parties égales. Y a-t-il une
droite égale à une circonférence donnée? Oui, car une circonférence
est finie et peut croître indéfiniment par infiniment petits; une
ligne droite est dans le même cas, donc on peut faire croître une
ligne droite de manière à lui donner la longueur de la circonférence
proposée.
J. DELBOEUF.
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On peut être sûr de l'existence d'une figure sans savoir la
construire, d'un nombre sans savoir le calculer.
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COMMENCEMENT
Toutes les lacunes, tous les vides ne sont pas remplis, et ces
lacunes, ces vides se font surtout sentir dans ce qui semble tenir de
plus près aux connaissances préliminaires à la géométrie.
PONCELET.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
CONTINUITÉ
D'après le principe de continuité de Leibniz, le repos serait un
mouvement infiniment petit; la coïncidence, une distance infiniment
petite; l'égalité, la dernière des inégalités, etc.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
MUNITO
C'était surtout la manière dont ce chien faisait une addition qui
était curieuse à voir! Des chiffres étaient marqués sur des morceaux
d'os de la grandeur des dominos. Son maître lui posait trois ou quatre
rangées de trois ou quatre chiffres chacun, Munito regardait, puis,
s'il avait:
3
9
7
il allait prendre un carré d'os, et apportait au bas un neuf; puis il
retenait un, et allait ainsi jusqu'au bout sans la moindre erreur.
JAMES ROUSSEAU.
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D'après Delboeuf, les serins ne comptent que jusqu'à trois et une
chienne intelligente ne sait pas distinguer trois de quatre.
Houzeau croit que les mulets savent compter au moins jusqu'à cinq. Le
garde-chasse Leroy admet cette limite supérieure pour les corbeaux.
Romanes a enseigné à un chimpanzé à compter jusqu'à cinq.
Nous ne garantissons pas ces diverses assertions.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
SCEPTICISME MATHÉMATIQUE
Autrefois on prenait pour base de la géométrie abstraite l'espace
réel, avec les lois que l'expérience révèle, avec les trois dimensions
auxquelles sont soumis tous les corps qui tombent sous nos sens.
Aujourd'hui les géomètres s'affranchissent de ces conditions
vulgaires; ils supposent des espaces différents, à quatre, cinq, six
dimensions ou davantage; ils appliquent à ces hypothèses fantastiques
l'analyse mathématique, et les voilà partis, dans un monde imaginaire,
à la poursuite de conclusions très logiquement déduites, mais devant
lesquelles l'esprit se perd.
Puis, quand ils reviennent à ce vieil espace traditionnel au sein
duquel nous habitons, ils prétendent que ces lois n'ont pas, devant la
raison, plus de valeur que les espaces étranges où la somme des angles
d'un triangle est inférieure ou supérieure à deux angles droits, où
une courbe peut servir de parallèle à une ligne droite. Le résultat de
cette débauche d'analyse, c'est le scepticisme mathématique.
D'HULST.
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CHIMÈRES
La pierre philosophale, le mouvement perpétuel, la quadrature du
cercle, le désintéressement parfait, etc.
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DEUX ET DEUX
Vous ne rencontrez nulle part dans la nature deux objets identiques:
dans l'Ordre Naturel, _deux et deux ne peuvent jamais faire quatre_,
car il faudrait assembler des unités exactement pareilles, et vous
savez qu'il est impossible de trouver deux feuilles semblables sur un
même arbre..... Vous pouvez ajouter le ducat du pauvre au ducat du
riche, et vous dire au trésor public que ce sont deux quantités
égales; mais aux yeux du penseur l'un est certes moralement plus
considérable que l'autre.
H. DE BALZAC.
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Les mathématiques sont la science des formes et des quantités; le
raisonnement mathématique n'est autre que la simple logique appliquée
à la forme et à la quantité. La grande erreur consiste à supposer que
les vérités qu'on nomme _purement_ algébriques sont des vérités
abstraites ou générales. Et cette erreur est si énorme, que je suis
émerveillé de l'unanimité avec laquelle elle est accueillie. Les
axiomes mathématiques ne sont pas des axiomes d'une vérité générale.
Ce qui est vrai d'un rapport de forme ou de quantité est souvent une
grossière erreur relativement à la morale. Par exemple, dans cette
dernière science, il est communément faux que la somme des fractions
soit égale au tout.... Il y a une foule d'autres vérités mathématiques
qui ne sont des vérités que dans des limites de rapport. Mais le
mathématicien argumente incorrigiblement d'après ses _vérités finies_,
comme si elles étaient d'une application générale et absolue...
EDGAR POE (_La lettre volée_).
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CRITÉRIUM
Quelques-uns disent que le mouvement excentrique ou d'extension paraît
indiquer une supériorité physique ou morale. Un professeur de
géométrie prétend qu'il juge très vite du caractère d'un élève par sa
manière de tracer spontanément une circonférence au tableau: les
_forts_ la tracent de dedans en dehors, les _mous_ de dehors en
dedans.
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ÂME DE LA TERRE
Kepler croyait que la terre a une âme qui la guide. «Cette âme,
dit-il, a le sentiment des raisons et des proportions géométriques;
c'est ainsi que la terre peut apprécier les distances, évaluer les
angles et reconnaître s'ils sont harmoniques ou incongrus.»
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COEUR ET RAISON
Le coeur sent qu'il y a trois dimensions dans l'espace, et que les
nombres sont infinis; et la raison démontre ensuite qu'il n'y a point
deux nombres carrés dont l'un soit double de l'autre. Les principes se
sentent, les propositions se concluent; et le tout avec certitude,
quoique par différentes voies. Et il est aussi ridicule que la raison
demande au coeur des preuves de ces premiers principes pour vouloir y
consentir, qu'il serait ridicule que le coeur demandât à la raison un
sentiment de toutes les propositions qu'elle démontre, pour vouloir
les recevoir.
PASCAL.
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Il a été donné à bien peu d'hommes de sentir aussi vivement les choses
abstraites.
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ABSTRACTIONS
Qu'est-ce que les mathématiques? Des sciences toutes _formelles_.
L'arithmétique et l'algèbre sont la rhétorique des nombres. On
raisonne et on raisonne, on déduit et on déduit, étant donné n'importe
quoi dans l'abstrait. On applique les principes généraux à des
problèmes particuliers et la solution de ces problèmes devient un
petit talent mécanique, comme la syllogistique du moyen âge, ou comme
la machine à raisonner de Raymond Lulle. La science même du mouvement,
la reine du siècle, la mécanique, roule encore sur des relations
formelles dans l'espace et dans le temps, et elle ne cesse pas de
déduire, de raisonner à perte de vue sur une hypothèse qui est
l'équivalent scientifique d'une matière de discours latin. Il est vrai
que, dans un cas, il faut raisonner juste; dans l'autre, ce n'est pas
nécessaire, et même, quand la cause à soutenir est mauvaise, il est
bon de déraisonner. Mais le mathématicien ne raisonnera pas mieux
qu'un autre dans la vie réelle parce qu'il sera habitué à raisonner
dans l'abstrait, à déduire des conséquences rectilignes d'une
hypothèse, non à observer et à réunir toutes les données de
l'expérience, non à induire, à deviner, à apprécier les probabilités.
L'esprit mathématique, dans la vie privée et dans la vie publique,
c'est l'art de ne voir qu'un des côtés de la question. Dans les
sciences mathématiques, nous faisons nous-mêmes nos définitions; dans
la réalité, c'est l'expérience qui nous les impose et, sans cesse, les
transforme, les corrige par des déterminations nouvelles. Nous
trouvons toujours dans les résultats plus que nous n'avions mis dans
nos définitions et dans nos principes. Nous avions dit: deux et deux
font quatre, et nous trouvons cinq; nos étroites formules sont
débordées par la nature et par la vie.
ALFRED FOUILLIÉE.
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Selon d'Alembert, pour acquérir la sagacité, cette qualité première de
l'esprit, il faut s'exercer aux démonstrations rigoureuses, mais ne
pas s'y borner.
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BENZINE
La benzine, pour l'allemand, c'est C^{6}H^{6}, un hexagone ou un
parallélépipède, puisque cette tendance amène à représenter les corps
chimiques par des images géométriques ou des formules d'algèbre; la
benzine, pour l'anglais, est un produit qui sert à détacher.
LÉON A. DAUDET.
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On connaît le mot de Lagrange: la chimie devient aussi facile que de
l'algèbre.
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SYMBOLES
Dans les mathématiques le raisonnement est devenu automatique à un si
haut degré, que les mathématiciens ont presque tous perdu de vue le
point de départ, et qu'on les étonne beaucoup, quand on leur rappelle
que les symboles des mathématiques ne sont pas de pures créations de
l'esprit... qu'un symbole n'est un symbole qu'autant qu'il symbolise
quelque chose, et que sous chaque signe il y a la chose signifiée.
Malgré cet oubli de la chose et le souci du signe, les raisonnements
des mathématiciens sont cependant rigoureux et les résultats auxquels
ils parviennent sont exacts, mais on ne peut dire qu'ils aient une
notion adéquate de la science sur laquelle s'exercent leurs efforts.
G. MOURET.
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AXIOMES
Quel est le fondement de notre croyance aux axiomes? Sur quoi repose
leur évidence? Je réponds: Ce sont des vérités expérimentales, des
généralisations de l'observation.
JOHN STUART MILL.
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La géométrie est fondée sur l'observation; mais sur une observation si
familière et si évidente que les notions premières qu'elle fournit
pourraient sembler intuitives.
LESLIE.
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Assertions très contestables. Nous les avons déjà discutées.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
PASSIONS
Si la géométrie s'opposait autant à nos passions et à nos intérêts
présents que la morale, nous ne la contesterions et nous ne la
violerions guère moins, malgré toutes les démonstrations d'Euclide et
d'Archimède.
LEIBNIZ.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
CONCEPTIONS
La géométrie ne prouve rien du tout de l'existence des choses, mais
seulement ce qu'elles sont, supposé qu'elles existent réellement.
LE P. BUFFIER.
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HYPERESPACE
Imaginons un être réduit à un point, mais doué d'intelligence et de
sens, assujetti à pouvoir se déplacer sur une ligne droite pour fixer
les idées, mais ne pouvant sortir de cette droite; supposons que ses
sens soient tels qu'ils ne lui permettent pas d'avoir conscience du
monde extérieur à son domaine qui est la droite en question. Si cet
être est conduit à faire de la géométrie, il ne fera que de la
géométrie à une dimension; appelons cet être A. On peut de même
imaginer un être B assujetti à se mouvoir dans un monde réduit à une
simple surface et n'ayant pas conscience du monde extérieur à cette
surface. Si B fait de la géométrie, cette géométrie sera à deux
dimensions. Nous autres, nous pouvons faire de la géométrie à trois
dimensions, parce que notre espace est constitué de telle sorte que
trois quantités sont nécessaires pour définir la position d'un point;
B fait de la géométrie à deux dimensions, parce que deux quantités
seulement lui sont nécessaires pour définir la position d'un point
dans l'espace dont il a conscience. On peut donc se demander si ce que
nous considérons comme notre univers ne serait pas une variété d'un
espace à plus de trois dimensions, dont l'organisation simple de nos
sens nous empêcherait d'avoir connaissance.
H. LAURENT.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
CHERCHEUR
La vie la plus belle, la mieux remplie, la moins sujette aux
déceptions, est encore celle du fou sublime qui cherche à déterminer
l'inconnue d'une équation à racines imaginaires.
H. DE BALZAC.
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LES MARIER
On pourrait se passer complètement de l'idée de nombre et emprunter
tout à l'idée d'espace.
L'algèbre est une symbolie ou écriture hiéroglyphique qui exprime les
faits de déplacement dans des espaces à nombre variable de dimensions:
l'arithmétique raconte ce qui se passe dans un espace à une dimension;
l'algèbre des fonctions algébriques dans des espaces à deux
dimensions; l'algèbre des quantités complexes, dans un espace à _n_
dimensions.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
À qui la palme? À la symbolie? À la graphie? Il serait bien difficile
de décider, chacun suivant son organisation cérébrale peut accorder
son vote à l'une ou à l'autre. Pour éviter des discussions
interminables, le mieux serait, je crois, de les marier.
ARNOUX.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
GRADGRIND
C'est dans son roman _Les temps difficiles_ que Dickens nous présente
ce personnage.
«Thomas Gradgrind, monsieur, l'homme des faits, l'homme qui procède
d'après le principe: deux et deux font quatre, rien de plus, et
qu'aucun raisonnement n'amènera jamais à concéder une fraction en sus!
Thomas Gradgrind, monsieur, avec une règle et des balances, et une
table de multiplication dans la poche, monsieur, toujours prêt à
mesurer et à peser le premier colis humain venu et à vous en donner
exactement la jauge...»
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
VALEUR VARIABLE
Un franc, considéré aujourd'hui, ne valait pas encore un franc hier et
il vaudra plus d'un franc demain, du moins dans certaines questions de
finance. L'hypothèse du placement continuel à intérêts composés est
une fiction hardie et certains pessimistes attribuent une partie des
souffrances de la société moderne, à l'exécrable fécondité de
l'argent.
J'ai deux voisins; l'un se lamente de ce que l'argent ne rapporte plus
que 2%; l'autre réclame le prêt gratuit.
HISTOIRE
CALCUL MENTAL
Mme de Lautré, dont parle Mme de Genlis, faisait dans les salons, des
multiplications de nombres de huit chiffres.
Diner, le berger de Stuttgard, devint péniblement maître d'école.
N'ont pas percé davantage les autres petits calculateurs prodiges:
Annich, Buxton, Colburn, Bidder, Pughiesi, Magiamele, etc. Malgré les
meilleures leçons, Henri Mondeux n'a pas pu s'élever au dessus des
calculs numériques.
De nos jours, c'est Inaudy, qu'on promène comme une curiosité: il a
été présenté à l'Académie des Sciences, comme son prédécesseur. Inaudy
n'est pas un visuel, c'est un auditif: il a pu retenir _d'un seul
coup_ jusqu'à 42 chiffres. La capacité de sa mémoire est le secret de
sa force.
Dans leur enfance, Gauss et Ampère ont calculé très vite, mais cette
faculté s'est ralentie chez eux dès qu'ils se sont livrés à la
recherche mathématique.
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Un de nos amis, lorsqu'il voyageait, décomposait de tête les numéros
des wagons en facteurs premiers, en prenait la racine carrée, etc.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
TAUTOCHRONE ET BRACHISTOCHRONE
La _cycloïde_ ou roulette, qui a été étudiée par Pascal, jouit de deux
propriétés bien curieuses. Un point pesant descendant le long de sa
concavité arrive toujours dans le même temps au sommet inférieur, de
quelque hauteur qu'il parte. De plus, c'est cette courbe, et non une
ligne droite, que doit décrire un point pesant pour descendre dans le
moins de temps possible.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
QUADRATURE DU CERCLE
Il est dit, dans la Bible, qu'il y avait, dans le Temple de Salomon,
un grand bassin hémisphérique dont le diamètre était de dix coudées et
la circonférence de trente.
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«J'étais semblable à ce géomètre qui s'efforce de quarrer le cercle et
cherche en vain dans sa pensée le principe qui lui manque.»
DANTE.
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PISTHÉTÉROS.--Mais, dites-moi, quels instruments avez-vous là?
MÉTON.--Ce sont des règles pour mesurer le ciel... J'appliquerai une
règle droite et je prendrai si bien mes dimensions, que _je ferai d'un
cercle un carré_.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
PISTHÉTÉROS.--...Croyez-moi, retirez-vous au plus vite.
ARISTOPHANE.
¤---¤---¤
Plutarque affirme qu'Anaxagore avait trouvé la quadrature du cercle.
Roger Bacon parle de la question comme si elle était complètement
connue de son temps. Or il est maintenant prouvé qu'on ne peut
résoudre le célèbre problème avec la règle et le compas.
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LONGUES FORMULES
Dans la _Théorie de la lune_, de l'astronome Delaunay (qui s'est noyé
en se baignant à Cherbourg) il y a une formule dont le second membre
occupe 138 pages.
L'oeuvre de Delaunay comprend dans le premier volume l'expression de
la longitude de la lune et, dans le second, celle de sa latitude.
On m'a parlé d'un mémoire d'Olbers qui se compose d'une seule phrase.
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CONCESSION