l'administration publique, un registre exact des effets qu'ont
produits les divers moyens dont on a fait usage, et qui sont autant
d'expériences faites en grand par les gouvernements. Appliquons aux
sciences politiques et morales la méthode fondée sur l'observation et
sur le calcul, méthode qui nous a si bien servi dans les sciences
naturelles. N'opposons point une résistance inutile et souvent
dangereuse aux effets inévitables du progrès des lumières; mais ne
changeons qu'avec une circonspection extrême nos institutions et les
usages auxquels nous sommes depuis si longtemps pliés. Nous
connaissons bien par l'expérience du passé les inconvénients qu'ils
présentent; mais nous ignorons quelle est l'étendue des maux que leur
changement peut produire. Dans cette ignorance, la théorie des
probabilités prescrit d'éviter tout changement: surtout il faut éviter
tout changement brusque qui, dans l'ordre moral, comme dans l'ordre
physique, ne s'opère jamais sans une grande perte de force vive.
LAPLACE.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
La probabilité des décisions d'une assemblée dépend de la pluralité
des voix, des lumières et de l'impartialité des membres qui la
composent. Tant de passions et d'intérêts particuliers y mêlent si
souvent leur influence, qu'il est impossible de soumettre au calcul
cette probabilité. Il y a cependant quelques résultats généraux dictés
par le simple bon sens, et que le calcul confirme. Si, par exemple,
l'assemblée est très peu éclairée sur l'objet soumis à sa décision; si
cet objet exige des considérations délicates, ou si la vérité sur ce
point est contraire à des préjugés reçus, en sorte qu'il y ait plus
d'un à parier contre un que chaque votant s'en écartera; alors la
décision de la majorité sera probablement mauvaise, et la crainte à
cet égard sera d'autant plus fondée, que l'assemblée sera plus
nombreuse. Il importe donc à la chose publique, que les assemblées
n'aient à se prononcer que sur des sujets à la portée du plus grand
nombre: il lui importe que l'instruction soit généralement répandue,
et que de bons ouvrages fondés sur la raison et sur l'expérience
éclairent ceux qui sont appelés à décider du sort de leurs semblables
ou à les gouverner, et les prémunissent d'avance contre les faux
aperçus et les préventions de l'ignorance. Les savants ont de
fréquentes occasions de remarquer que les premiers aperçus trompent
souvent, et que le vrai n'est pas toujours vraisemblable.
LAPLACE.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Cependant l'induction, en faisant découvrir les principes généraux des
sciences, ne suffit pas pour les établir en rigueur... Je citerai
pour exemple un théorème de Fermat sur les nombres premiers. Ce grand
géomètre, qui avait longuement médité sur leur théorie, cherchait une
formule qui, ne renfermant que des nombres premiers, donnât
directement un nombre premier plus grand qu'aucun nombre assignable.
L'induction le conduisit à penser que deux, élevé à une puissance qui
était elle-même une puissance de deux, formait avec l'unité un nombre
premier.
Ainsi deux, élevé au carré, plus un, forme le nombre premier cinq;
deux, élevé à la seconde puissance de deux, ou seize, forme avec un le
nombre premier dix-sept. Il trouva que cela était encore vrai pour la
huitième et la seizième puissance de deux, augmentées de l'unité; et
cette induction, appuyée de plusieurs considérations arithmétiques,
lui fit regarder ce résultat comme général. Cependant il avoua qu'il
ne l'avait pas démontré. En effet, Euler a reconnu que cela cesse
d'avoir lieu pour la trente-deuxième puissance de deux, qui, augmentée
de l'unité, donne 4294967297, nombre divisible par 641.
LAPLACE.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Le physicien Jacobi raconte que son frère, le grand mathématicien,
croyant avoir découvert une loi générale des nombres, l'essaya sur un
nombre pris au hasard. Ce nombre la mit en défaut, tandis que beaucoup
d'autres nombres essayés à leur tour la vérifièrent. Plus tard, le
grand Jacobi reconnut que le nombre pris d'abord appartenait à la
seule catégorie de nombres formant _exception_ à la loi considérée.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Un paradoxe singulier rend ce jeu,--le _problème de
Saint-Pétersbourg_, c'est le nom qu'on lui donne,--mémorable et
célèbre. Pierre joue avec Paul; voici les conditions: Pierre jettera
une pièce de monnaie autant de fois qu'il sera nécessaire pour qu'elle
montre le côté face. Si cela arrive au premier coup, Paul lui donnera
un écu; si ce n'est qu'au second, deux écus; s'il faut attendre au
troisième coup, il en donnera quatre, huit au quatrième, toujours en
doublant. Tels sont les engagements de Paul. Quels doivent être ceux
de Pierre? La science consultée par Daniel Bernoulli, donne pour
réponse: une somme infinie. Le parti de Pierre, c'est le mot consacré,
est au-dessus de toute mesure.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..... Il faut approuver absolument et simplement la réponse réputée
absurde. Pierre possède, je suppose, un million d'écus et les donne à
Paul en échange des promesses convenues. Il est fou! dira-t-on. Le
placement est aventureux, mais excellent; l'avantage infini est
réalisable. Qu'il joue obstinément, il perdra une partie, mille, mille
millions de milliards peut-être; qu'il ne se rebute pas, qu'il
recommence un nombre de fois que la plume s'userait à écrire, qu'il
diffère surtout le règlement des comptes, la victoire pour lui est
certaine, la ruine de Paul inévitable. Quel jour? quel siècle? On
l'ignore; avant la fin des temps certainement, le gain de Pierre sera
colossal.
J. BERTRAND.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
L'application du calcul aux décisions judiciaires est, dit Stuart
Mill, le scandale des mathématiques. L'accusation est injuste. On peut
peser du cuivre et le donner pour de l'or, la balance reste sans
reproche. Dans leurs travaux sur la théorie des jugements, Condorcet,
Laplace et Poisson n'ont pesé que du cuivre.
La réunion, quelle qu'elle soit, qui peut juger bien ou mal, est
remplacée dans leurs études par des urnes où l'on puise des boules
blanches ou noires.....
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..... Mais une autre objection est sans réplique: l'indépendance des
tirages est supposée; les urnes, dans les calculs, échappent à toute
influence commune. Les juges, au contraire, s'éclairent les uns les
autres, les mêmes faits les instruisent, les mêmes sollicitations les
tourmentent, la même éloquence les égare, c'est sur les mêmes
considérants qu'ils font reposer la vérité ou l'erreur. L'assimilation
est impossible.
J. BERTRAND.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Le jeu ruine ceux qui s'y livrent. Il n'y a exception que pour les
joueurs auxquels les conditions acceptées accordent un avantage.
Le fermier des jeux à Monte-Carlo peut accroître sans crainte le
nombre des coups. La menace ne s'adresse qu'aux pontes.
Lorsque le jeu est équitable, la ruine tôt ou tard est certaine.
La proposition semble contradictoire. En ruinant l'un des joueurs, le
jeu enrichit l'autre; en s'exposant à perdre une fortune, on a
l'espoir de la doubler.
Cela n'est pas douteux; mais, quand la fortune est doublée, le
théorème s'y applique avec la même certitude; elle peut doubler
encore, centupler peut-être, tout sera emporté à la fois par un
caprice du hasard. En combien de temps? Nul ne le sait; la probabilité
augmente avec le nombre des parties et converge vers la certitude.
J. BERTRAND.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Les philosophes, qui veulent déterminer l'avenir indéfini de l'espèce
humaine par la seule observation du passé, sont dans une grande
erreur... Ils ne s'occupent du présent qu'après avoir _découvert_
l'avenir. C'est comme si, pour connaître les affections de la courbe
des observations, on se servait du prolongement conjectural de cette
courbe, qui peut n'avoir rien de commun avec ce qui résulterait de la
loi inconnue du phénomène...
Rien ne serait plus dangereux que de confier la direction de la
société à des chefs qui se seraient fait un type bien arrêté de l'état
définitif de la société et la pousseraient sans ménagement dans cette
voie.
DUHAMEL.
ENSEIGNEMENT
Nous estimons que l'étude complète de toute science devrait comprendre
une période préparatoire ou d'amorce, une période théorique ne portant
que sur les parties à la fois importantes et simples et une période
complémentaire où la discussion s'aiguiserait et se généraliserait.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Les premières notions de mathématiques doivent faire partie de
l'éducation des enfants. Les chiffres et les lignes parlent plus qu'on
ne croit à leur imagination naissante et c'est un moyen sûr de
l'exercer sans l'égarer.
CONDORCET.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
La longue formation de l'humanité recommence en chaque petit enfant...
Le premier calculateur n'a pas débuté par les règles abstraites qu'on
trouve dans les livres d'école. Il est assez évident qu'il a dû se
trouver d'abord en présence de problèmes pratiques, dont il n'a pu se
tirer qu'en tendant tous les ressorts de son intelligence pour créer
la règle, et qu'il n'a pas fait de l'art pour l'art. Faire débuter
l'enfant par la règle abstraite, et lui poser ensuite les problèmes à
résoudre, c'est aller au rebours de la marche de l'esprit humain, qui
en est chez lui au point où il en était dans l'enfance de l'espèce.
Alors, qu'arrive-t-il? C'est que son intelligence, ainsi brusquée, se
refuse à l'abstraction qui se présente avant l'heure, et que sa
mémoire seule entre en jeu pour se charger douloureusement de mots et
de pratiques dont le sens lui échappe.
La vraie méthode est donc ici de le replacer dans les conditions du
commencement, et de le faire assister en quelque sorte à la création
de l'arithmétique.
J. MACÉ.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Nous concevons la possibilité d'un enseignement gradué de la géométrie
élémentaire, conduit, à tous ses degrés, d'après un plan unique et
invariable, toujours soumis aux règles de la plus sévère logique, et
où les difficultés ne se montreraient qu'à mesure que les esprits
seraient préparés à les aborder.
Pour cela, l'étude de la géométrie devrait être reprise à divers
points de vue, correspondant aux divers degrés d'initiation des
élèves. Pour les commençants, il s'agit avant tout de se familiariser
avec les figures et leurs dénominations, d'apprendre des faits,
d'entrevoir leurs applications les plus simples et les plus
immédiates, celles surtout qui se rapportent aux usages de la vie
ordinaire.
On devra donc au début multiplier les axiomes, employer, au lieu de
démonstrations, les vérifications expérimentales, l'analogie,
l'induction, en ne laissant jamais oublier que ce mode d'exposition
est essentiellement provisoire. On exercera l'élève aux tracés
graphiques, à la solution de divers problèmes de levé des plans et
d'arpentage, à la construction des figures en relief... Le maître
saura proportionner au degré de développement intellectuel de l'élève
la part plus ou moins grande qu'il devra faire au raisonnement dans
cette première ébauche des études géométriques.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Le premier enseignement sera donc exclusivement expérimental, et peu à
peu on fera voir à l'élève comment toutes les vérités n'ont pas besoin
d'être séparément constatées par l'expérience, et comment elles sont
les conséquences d'un certain nombre d'entre elles, nombre que l'on
restreindra de plus en plus, à mesure que l'on avancera dans l'étude
de la science, jusqu'à ce qu'on soit arrivé aux axiomes fondamentaux,
dont le nombre ne peut plus être réduit.
HOÜEL.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
J'ai dit que la Géométrie n'était pas à la portée des enfants; mais
c'est notre faute. Nous ne sentons pas que leur méthode n'est point la
nôtre, et que ce qui devient pour nous l'art de raisonner ne doit être
pour eux que l'art de voir. Au lieu de leur donner notre méthode, nous
ferions mieux de prendre la leur; car notre manière d'apprendre la
géométrie est bien autant une affaire d'imagination que de
raisonnement. Quand la proposition est énoncée, il faut en imaginer
la démonstration, c'est-à-dire trouver de quelle proposition déjà sue
celle-là doit être une conséquence, et, de toutes les conséquences
qu'on peut tirer de cette proposition, choisir précisément celle dont
il s'agit.
De cette manière le raisonneur le plus exact, s'il n'est inventif,
doit rester court. Aussi qu'arrive-t-il de là? Qu'au lieu de nous
faire trouver les démonstrations, on nous les dicte; qu'au lieu de
nous apprendre à raisonner, le maître raisonne pour nous et n'exerce
que notre mémoire.
Faites des figures exactes, combinez-les, posez-les l'une sur l'autre,
examinez leurs rapports; vous trouvez toujours la géométrie
élémentaire en marchant d'observation en observation, sans qu'il soit
question ni de définitions, ni de problèmes, ni d'aucune autre forme
démonstrative que la simple superposition. Pour moi, je ne prétends
point apprendre à Émile la géométrie, c'est lui qui me l'apprendra; je
chercherai des rapports et il les trouvera, car je les chercherai de
manière à les lui faire trouver. Par exemple, au lieu de me servir
d'un compas pour tracer un cercle, je le tracerai avec une pointe au
bout d'un fil tournant sur un pivot. Après cela, quand je voudrai
comparer les rayons entre eux, Émile se moquera de moi, et il me fera
comprendre que le même fil toujours tendu ne peut avoir tracé des
distances inégales.
Si je veux mesurer un angle de soixante degrés, je décris du sommet de
cet angle, non pas un arc mais un cercle entier; car avec les enfants
il ne faut jamais rien sous-entendre. Je trouve que la portion de
cercle comprise entre les deux côtés de l'angle est la sixième partie
du cercle. Après cela, je décris du même sommet un autre plus grand
cercle, et je trouve que ce second arc est encore la sixième partie de
son cercle. Je décris un troisième arc concentrique sur lequel je fais
la même épreuve; et je la continue sur de nouveaux cercles, jusqu'à ce
qu'Émile, choqué de ma stupidité, m'avertisse que chaque arc, grand ou
petit, compris par le même angle, sera toujours la sixième partie de
son cercle...
Nous voilà tout à l'heure à l'usage du rapporteur.
Pour prouver que les angles de suite sont égaux à deux droits, on
décrit un cercle; moi, tout au contraire, je fais en sorte qu'Émile
remarque cela premièrement dans le cercle, et puis je lui dis: si l'on
ôtait le cercle, et qu'on laissât les lignes droites, les angles
auraient-ils changé de grandeur? etc... On néglige la justesse des
figures, on la suppose, et l'on s'attache à la démonstration. Entre
nous, au contraire, il ne sera jamais question de démonstration; notre
plus importante affaire sera de tirer des lignes bien droites, bien
justes, bien égales; de faire un carré parfait, de tracer un cercle
bien rond. Pour vérifier la justesse de la figure, nous l'examinerons
par toutes ses propriétés sensibles; et cela nous donnera l'occasion
d'en découvrir chaque jour de nouvelles. Nous plierons par le diamètre
les deux demi-cercles; par la diagonale, les deux moitiés du carré:
nous comparerons nos deux figures pour voir celle dont les bords
conviennent le plus exactement et par conséquent la mieux faite; nous
distinguerons si cette égalité de partage doit avoir toujours lieu
dans les parallélogrammes, dans les trapèzes, etc... On essaiera
quelquefois de prévoir le succès de l'expérience avant de la faire, on
tâchera de trouver des raisons, etc...
La géométrie n'est pour mon élève que l'art de se bien servir de la
règle et du compas...
J.-J. ROUSSEAU.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Il est temps d'entrer dans le vif de la question pédagogique: _Comment
convient-il d'étudier une figure avec les commençants?_ Vous
m'excuserez si je numérote les parties successives de la réponse.--1º
Avant tout, montrez le modèle matériel, faites-le circuler et manier,
puis, dessinez-le au tableau et que toute la classe vous imite.--2º
Faites dégager la propriété principale de la figure, celle qui servira
de définition. Cette propriété est jointe à d'autres, simples aussi,
et il faudra parfois aider un peu l'enfant.--3º L'essentiel de la
figure étant connu, prononcez son nom, pour la première fois. On
s'empresse autour de vous d'écrire le nom sur la chose. Vous demandez
des exemples familiers, etc.--4º Vous invitez un élève à formuler la
définition. Elle est un peu embarrassée, cette définition; vous la
rectifiez et vous la dictez, pour qu'elle soit apprise par coeur. La
définition se borne ainsi à résumer nettement ce qui est déjà su.--5º
Il faut ensuite connaître la figure plus en détail. Faites deviner ou
remarquer les autres propriétés, sans les démontrer, c'est-à-dire sans
les déduire de la propriété fondamentale. Les nouvelles propriétés
sont seulement constatées et vérifiées.--6º Terminez enfin par les
constructions et les problèmes simples, se rattachant à la figure
soumise à vos investigations.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
On peut enseigner d'abord une algèbre modeste et, pour ainsi dire,
préliminaire, où les règles découlent d'exemples particuliers et non
de raisonnements généraux et abstraits. Voici les indications
principales pour un enseignement dirigé dans cet esprit.
1º _Généraliser lentement._--Je ne saurais trop le répéter, l'esprit
se refuse aux abstractions brusquement imposées. C'est graduellement
qu'on passe d'une de ces idées à la suivante: trois chevaux, le nombre
_trois_ en général, un nombre quelconque représenté par _a_ ou par
_x_.
2º _Laisser de côté les nombres négatifs, 0/0, m/0 et les
imaginaires._--Ces symboles sont délicats à comprendre et il faut les
réserver pour une étude approfondie de l'algèbre. Composez, en
conséquence, des exercices et problèmes ne présentant pas
d'impossibilités arithmétiques.
3º _Supprimer les discussions._--Ces examens à fond des questions, de
toutes leurs particularités et de toutes leurs exceptions, supposent
des esprits aiguisés. Reportons-les aussi, sans hésiter, à la seconde
période d'enseignement.
4º _Dès le début, de petits problèmes résolus à l'aide de x._--Vous
amorcez ainsi le nouveau sujet au moyen d'un chapitre, pour ainsi
dire complémentaire de l'arithmétique. Le calcul algébrique ne vient
qu'ensuite.
5º _Glisser sur la théorie du calcul algébrique._--Ce sujet est assez
aride; il est, du reste, peu important pour le moment. C'est la
pratique qui importe, en évitant les opérations trop longues.
Insister sur le carré d'un binome et passer sous silence la division
des polynomes.
6º _Raisonner directement des problèmes gradués._--La méthode des
équations s'accuse ainsi d'elle-même plus clairement qu'en la
formulant _a priori_.
7º _Équations abstraites._--Nous pouvons maintenant passer aux
équations séparées des problèmes concrets leur servant de supports. On
n'a qu'à reprendre des raisonnements déjà faits, mais en les
présentant d'une façon plus générale. Se borner à énoncer les
principes qui sont presque évidents.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
La Géométrie est peut-être, de toutes les parties des mathématiques,
celle que l'on doit apprendre la première; elle me paraît très propre
à intéresser les enfants, pourvu qu'on la leur présente principalement
par rapport à ses applications, soit sur le papier, soit sur le
terrain. Les opérations de _tracé_ et de _mesurage_ ne manqueront pas
de les occuper agréablement, et les conduiront ensuite, comme par la
main, au raisonnement.
¤---¤---¤
Les éléments de Géométrie de Clairaut, ordonnés suivant la méthode
des inventeurs, sont les plus convenables pour diriger le maître dans
cette circonstance.....
LACROIX.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Feu M. Clairaut imagina de faire apprendre facilement aux jeunes gens
les éléments de la géométrie; il voulut remonter à la source, et
suivre la marche de nos découvertes et des besoins qui les ont
produites.
Cette méthode paraît agréable et utile; mais elle n'a pas été suivie;
elle exige chez le maître une flexibilité d'esprit qui sait se
proportionner, et un agrément rare dans ceux qui suivent la routine de
leur profession.
VOLTAIRE.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Il y a deux manières d'étudier les mathématiques et deux époques pour
faire ces études avec des fruits divers.
On peut les étudier matériellement, machinalement, en demeurant dans
les faits mathématiques, dans les mots, dans les chiffres, dans les
formules d'un enseignement sans plénitude et sans élévation.....
Ou bien, on peut les étudier intellectuellement, originalement, en
comparant le sens et le lien des mots, des idées et des choses, en
s'élevant aux grandes et aux simples lumières de la science, en
saisissant, pénétrant, possédant réellement la vérité.
DUPANLOUP.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Aujourd'hui la partie philosophique de la science est très négligée;
les moyens de briller dans un examen ou concours marchent en première
ligne; sauf de rares exceptions, les professeurs songent beaucoup plus
à familiariser les élèves avec le mécanisme du calcul qu'à leur en
faire sonder les principes. Je ne sais, en vérité, si l'on ne pourrait
pas dire de certaines personnes qu'elles emploient l'analyse comme la
plupart des manufacturiers se servent de la machine à vapeur, sans se
douter de son mode d'action. Et qu'on ne prétende pas que cet
enseignement vicieux soit un sacrifice obligé à la passion dominante
de notre époque, à la rage d'aller vite en toutes choses.
ARAGO.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Préférez, dans l'enseignement, les méthodes les plus générales.
Attachez-vous à les présenter de la manière la plus simple, et vous
verrez en même temps qu'elles sont presque toujours les plus faciles.
LAPLACE.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Les exemples instruisent mieux que les préceptes.
NEWTON.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Au moyen-âge et jusqu'au XVIIe siècle, l'enseignement portait sur les
sept arts libéraux et il comprenait le _Trivium_ (grammaire,
rhétorique et dialectique) et le _Quadrivium_ (arithmétique,
géométrie, musique et astronomie).
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Sommes-nous revenus au système de Ptolémée?
Je me souviens d'un fort habile homme qui, sur la lecture du premier
volume d'un de nos plus savants traités d'astronomie, voyant l'auteur
toujours parler des mouvements du soleil, des cercles qu'il parcourt,
de sa révolution diurne, de ses mouvements annuels, progrès, stations
et rétrogradations, croyait, d'après cet exposé, que l'Académie des
sciences était revenue au système de Ptolémée.
Pourquoi commencer par décrire longuement et minutieusement à l'élève
des apparences dont il apprendra ensuite la fausseté? Pourquoi ne pas
lui dire tout de suite et franchement ce qui en est?
GRATRY.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
_Ne dites pas:_ _Dites:_
Une ligne (pour une droite),
un cercle (pour une circonférence).
Une droite, une circonférence.
Je mène par un point _une_ perpendiculaire
à une droite, _une_ parallèle...
_La_ perpendiculaire, _la_ parallèle...
7 × 8: ne se lit pas 7 qui multiplie 8.
7 multiplié par 8.
Le lieu des points est _sur_ telle ligne.
Le lieu des points est telle ligne.
Le lieu des points est le segment circulaire, etc.
L'arc du segment circulaire, etc.
Inscrire _dans_ ...
Inscrire _à_ ...
Je divise l'équation par tel nombre.
Je divise les deux membres de
l'équation ...
La racine négative de l'équation du second degré.
La racine où le radical est précédé
du signe -.
Les puissances impaires.
À exposant impair.
Plus grand ou égal à (>=).
Supérieur ou égal à.
7 x 3/11 x 3.--Je multiplie la fraction par _trois_.
Je multiplie les deux termes de la
fraction par _trois_.
4/15 et 8/30.--La plus grande fraction.
La fraction qui a des termes plus
grands.
_a/b, a'/b', a''/b''_ puis _(a+a'+a'')/(b+b'+b'')_.--Ajouter
les fractions. Etc., etc.
Ajouter les fractions terme à terme.
Etc., etc.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Dans le domaine des Mathématiques pures, on peut distinguer deux
parties: l'une, la plus élevée, qui s'augmente constamment, presque
toujours par degrés insensibles, ne regarde que les mathématiciens;
l'autre, longtemps immuable, s'accroît brusquement, à des intervalles
éloignés, par l'adoption de quelque théorie nouvelle: c'est la matière
de l'enseignement, ce que doivent retenir et savoir appliquer tous les
hommes qui s'adonnent aux sciences et, sans cultiver les
Mathématiques, ont toujours besoin de les connaître.
HALPHEN.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Toute science de raisonnement repose sur un petit nombre de
propositions simples irréductibles à d'autres plus simples, appelées
axiomes, et sur les définitions. Ces éléments, convenablement mis en
oeuvre par le raisonnement, conduisent aux propositions les plus
complexes, qui ne sont donc, en définitive, que des composés logiques
de ces éléments. Dans la géométrie élémentaire, l'arithmétique, la
statique et plus généralement dans toutes les sciences où l'on fait
usage de la méthode synthétique, en allant du simple au composé, on
prend pour point de départ ces éléments, axiomes ou définitions, et on
s'élève de proche en proche, jusqu'aux propositions les plus
complexes...
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .