est définie, la construction de leurs projections peut être plus ou
moins facile, et la nature de l'opération doit dépendre de celle de la
définition. Il en est précisément de cet objet comme de l'Algèbre,
dans laquelle il n'y a aucun procédé général pour mettre un problème
en équations. Dans chaque cas particulier, la marche dépend de la
manière dont la relation entre les quantités données et celles qui
sont inconnues est exprimée; et ce n'est que par des exemples variés
que l'on peut accoutumer les commençants à saisir ces relations et à
les écrire par des équations. Il en est de même pour la Géométrie
descriptive. C'est par des exemples nombreux et par l'usage de la
règle et du compas dans les salles d'exercice que l'on peut acquérir
l'habitude des constructions, et qu'on s'accoutume au choix des
méthodes les plus simples et les plus élégantes, dans chaque cas
particulier. Mais aussi, de même qu'en Analyse, lorsqu'un problème est
mis en équations, il existe des procédés pour traiter ces équations,
et pour en déduire les valeurs de chaque inconnue; de même aussi, dans
la Géométrie descriptive, lorsque les projections sont faites, il
existe des méthodes générales pour construire tout ce qui résulte de
la forme et de la position respective des corps.
Ce n'est pas sans objet que nous comparons ici la Géométrie
descriptive à l'Algèbre; ces deux sciences ont les rapports les plus
intimes. Il n'y a aucune construction de Géométrie descriptive, qui ne
puisse être traduite en Analyse; et lorsque les questions ne
comportent pas plus de trois inconnues, chaque opération analytique
peut être regardée comme l'écriture d'un spectacle en Géométrie.
MONGE.
MÉCANIQUE
On connaît la déclaration attribuée à Archimède: «Donnez-moi un point
d'appui et je soulèverai le monde.» Je ne veux pas en contester la
beauté littéraire, mais quand on songe au nombre de tentatives
insensées dont elle a été la cause, il peut être permis de dire que,
pratiquement, elle est absolument vaine.
PRIVAT-DESCHANEL.
¤---¤---¤
Le monde, il s'agit sans doute de la terre. Comment l'homme
pourrait-il prendre un point d'appui extérieur? Du reste la force d'un
homme étant extrêmement petite par rapport au poids du globe, le
déplacement de celui-ci serait insignifiant. Le mot célèbre n'exprime
qu'une vue théorique.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
On ne gagne rien avec les instruments, d'autant que, si l'on applique
une petite force à un grand fardeau, il faut beaucoup de temps, et
que, si on veut le transporter en très peu de temps, il faut une
grande force...
Néanmoins les machines sont utiles, pour mouvoir de grands fardeaux
tout d'un coup sans les diviser, parce que _l'on a souvent beaucoup
de temps et peu de force_. Mais celui-là se tromperait qui voudrait
abréger le temps en n'usant que d'une petite force, et montrerait
qu'il n'entend pas la nature des machines ni la raison de leurs
effets...
Il faut conclure de tout ce discours que _l'on ne peut rien gagner en
force qu'on ne le perde en temps_, et conséquemment que ceux qui
travaillent à suppléer la force et le temps tout ensemble, ne méritent
nullement d'avoir du temps, puisqu'ils l'emploient si mal.
GALILÉE.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
On pousse un corps avec la main, et l'on voit qu'il se meut dans une
direction définie. À première vue, il semble qu'il n'y ait pas moyen
de douter de la réalité de son mouvement ni de la direction qu'il
suit. Cependant il est facile de montrer que non seulement nous
pouvons avoir tort, mais que d'ordinaire nous avons tort de porter
l'un ou l'autre de ces deux jugements. Voici par exemple un vaisseau
que, pour plus de simplicité, nous supposerons mouillé à l'équateur,
l'avant tourné vers l'ouest. Quand le capitaine va de l'avant à
l'arrière, dans quelle direction se meut-il? Vers l'est, répondra-t-on
évidemment, et pour le moment cette réponse peut passer. Mais on lève
l'ancre et le vaisseau vogue vers l'ouest avec une vitesse égale à
celle du capitaine qui marche vers l'est. Dans quelle direction se
meut à présent le capitaine, quand il va de l'avant à l'arrière de son
navire? Nous ne pouvons plus dire: l'est, comme tout à l'heure,
puisque tandis qu'il va vers l'est, le vaisseau l'emporte vers
l'ouest; et réciproquement nous ne pouvons pas dire: l'ouest. Par
rapport à l'espace ambiant il ne bouge pas, quoiqu'il paraisse se
mouvoir pour tout ce qui est à bord. Mais sommes-nous tout à fait sûrs
de cette conclusion? Le capitaine est-il réellement toujours au même
point? Quand nous tenons compte du mouvement de la terre autour de son
axe nous voyons que loin d'être stationnaire, le capitaine voyage vers
l'est à raison de 1000 milles par heure; de sorte que la perception de
celui qui le regarde, pas plus que celle de celui qui tient compte du
mouvement du vaisseau, ne se rapproche de la vérité. De plus, un
examen plus attentif nous fera voir que cette conclusion corrigée ne
vaut pas mieux que les autres. En effet, nous avons oublié le
mouvement de la terre dans son orbite. Comme il est de 68000 milles
par heure, il s'en suit qu'en supposant qu'il soit midi, le capitaine
se meut non pas à raison de 1000 milles à l'heure vers l'est, mais à
raison de 67000 milles vers l'ouest. Et pourtant nous n'avons pas
encore trouvé le vrai sens et la vraie vitesse de son mouvement. Au
mouvement de la terre dans son orbite il faut joindre celui du système
solaire tout entier vers la constellation d'Hercule, et si nous le
faisons, nous voyons que le capitaine ne va ni vers l'est ni vers
l'ouest, mais qu'il suit une ligne inclinée sur le plan de
l'écliptique, et qu'il va avec une vitesse plus grande ou moindre
(suivant l'époque de l'année) que celle que nous avons donnée. À cela,
il faut encore ajouter que si les arrangements dynamiques de notre
système sidéral nous étaient complètement connus, nous découvririons
probablement que la direction et la vitesse du mouvement réel
diffèrent encore considérablement des résultats obtenus.
HERBERT SPENCER.
¤---¤---¤
Nous n'observons que des mouvements relatifs. Lorsque nous croyons
marcher en ligne droite dans notre chambre, notre trajectoire dans
l'espace est en réalité une ligne courbe compliquée. En effet, la
terre se déplace rapidement dans l'espace, en emportant nos maisons.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Si on est fortement penché d'un côté, le corps se porte de l'autre
pour faire le contrepoids, et se balance lui-même en diverses
manières, pour prévenir une chute, ou pour la rendre moins incommode.
Par la même raison, si l'on porte un grand poids d'un des côtés, on se
sert de l'autre à contre-peser. Une femme qui porte un seau d'eau
pendu à la droite étend le bras gauche et se penche de ce côté-là.
Celui qui porte sur le dos se penche en avant; et, au contraire, quand
on porte sur la tête, le corps se tient naturellement droit. Enfin, il
ne manque jamais de se situer de la manière la plus convenable pour se
soutenir; en sorte que les parties ont toujours un même centre de
gravité, qu'on prend au juste, comme si l'on savait la Mécanique.
BOSSUET.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Je me suis proposé de réduire la théorie de cette Science (la
Mécanique), et l'art de résoudre les problèmes qui s'y rapportent, à
des formules générales, dont le simple développement donne toutes les
équations nécessaires pour la solution de chaque problème.
On ne trouve point de figure dans cet Ouvrage (_Mécanique
analytique_). Les méthodes que j'y expose ne demandent ni
constructions, ni raisonnements géométriques ou mécaniques, mais
seulement des opérations algébriques, assujetties à une marche
régulière et uniforme. Ceux qui aiment l'Analyse verront avec plaisir
la Mécanique en devenir une nouvelle branche, et me sauront gré d'en
avoir étendu ainsi le domaine.
LAGRANGE.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Dans la mécanique, le calcul différentiel est le passage de l'effet à
la cause, de l'espace parcouru dans un temps donné à la vitesse
acquise et de cette vitesse à la force accélératrice. Inversement, le
calcul intégral est le passage de la cause à l'effet, de la force à la
vitesse qu'elle produit, et de cette vitesse à l'espace parcouru en
vertu de cette vitesse elle-même.
E. JACQUIER.
ASTRONOMIE
J'ai pensé, puisque d'autres avant moi ont osé imaginer une foule de
cercles pour démontrer les phénomènes astronomiques, que je pourrais
me permettre aussi d'essayer si, en supposant la Terre immobile, on ne
parviendrait pas à trouver, sur la révolution des corps célestes, des
démonstrations plus solides que celles qui ont été mises en avant.
Après de longues recherches, je me suis enfin convaincu: que le Soleil
est une étoile fixe, entourée de planètes qui tournent autour d'elle,
et dont elle est le centre et le flambeau; qu'outre les planètes
principales, il en est d'autres de second ordre, qui circulent d'abord
comme satellites autour de leurs planètes principales, et avec
celles-ci autour du Soleil; que la Terre est une planète principale,
assujettie à un triple mouvement; et que tous les phénomènes du
mouvement diurne et annuel, le retour périodique des saisons, toutes
les vicissitudes de la lumière et de la chaleur de l'atmosphère qui
les accompagnent sont des résultats de la rotation de la Terre autour
de son axe et de son mouvement périodique autour du Soleil.
COPERNIC.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Quand Newton mit au jour cette grande pensée (l'attraction
universelle) appuyée sur une géométrie neuve et sublime, l'astronomie
changea de face, et les cieux parurent raconter pour la première fois
la gloire de leur Auteur: cependant, la théorie n'avait pas rempli
toute sa tâche, il s'en fallait bien; des phénomènes importants lui
échappaient; d'étonnantes exceptions, des désordres inexplicables la
troublaient; la loi mal assurée semblait quelquefois se déconcerter et
se contredire. Un siècle s'était écoulé depuis la publication des
_Principes mathématiques de la philosophie naturelle_, et, dans ce
siècle, plusieurs générations de grands géomètres, d'observateurs
infatigables, avaient réuni leurs efforts gigantesques contre les
difficultés, et ils n'avaient pu les vaincre toutes. Il y avait
encore, il n'y a pas trente ans, des scandales dans le ciel; il y
avait des planètes réfractaires aux tables des astronomes. Bien plus,
en promulguant la loi de gravitation, Newton avait douté qu'elle fût
capable de porter ce poids du monde qu'il lui imposait; il avait pensé
qu'elle vieillirait comme les lois humaines, et qu'un jour viendrait,
il l'a écrit, où il faudrait que la main du Créateur s'étendît _pour
remettre les choses en place_.
Newton se trompait, Messieurs. Non, _pour remettre le système en
ordre_, il ne sera pas besoin de la main du Créateur; il suffira d'un
autre Newton. M. Laplace est venu, et, par ses immenses travaux, par
la puissance et les ressources de son génie, l'astronomie réduite à un
problème de mécanique, ne découvre plus dans les cieux que
l'accomplissement mathématique de lois invariables. Jupiter et ses
satellites, Saturne, la Lune sont domptés dans leurs écarts; ce qui
paraissait exception est la règle même; ce qui semblait désordre est
un ordre plus savant; partout la simplicité de la cause triomphe dans
la complication infinie des effets. Enfin, et c'est le comble de la
gloire de M. Laplace, il lui a été réservé d'absoudre la loi de
l'univers, c'est-à-dire la sagesse divine, de ces reproches
d'imprévoyance ou d'impuissance où le génie de Newton était tombé; le
premier, il a démontré que le système solaire reçoit, dans les
conditions qui lui sont imposées, le gage de son imperturbable durée.
ROYER-COLLARD.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
L'astronomie, considérée de la manière la plus générale, est un grand
problème de mécanique...; sa solution dépend à la fois de l'exactitude
des observations et de la perfection de l'analyse, et il importe
extrêmement d'en bannir tout empirisme, et de la réduire à n'emprunter
de l'observation que les données indispensables.
LAPLACE.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
La plus magnifique confirmation qu'aient reçue les théories
astronomiques a été la découverte de la planète Neptune par Leverrier
en 1846.
Les observations prolongées de la planète Uranus avaient montré un
désaccord constant entre le calcul et les faits. Cette planète pas
plus qu'une autre ne décrit exactement l'ellipse de Kepler; elle
éprouve des perturbations de la part des autres astres du système
solaire. Mais on avait beau tenir compte de toutes celles qui
pouvaient être produites par les planètes connues, on n'arrivait pas à
faire disparaître ce désaccord et à pouvoir construire des tables
suffisamment exactes; il subsistait constamment des différences
sensibles et inexpliquées. On en vint à penser que la cause de ces
différences résidait probablement dans l'existence d'une planète
encore inconnue.
Ce fut Leverrier qui eut la gloire de transformer cette supposition en
certitude. Renversant le problème ordinaire du calcul des
perturbations, il parvint à déterminer la masse et l'orbite de la
planète inconnue, d'après les effets qu'elle produisait sur Uranus; il
alla jusqu'à pouvoir assigner la place qu'elle devait occuper dans le
ciel à une date qu'il désigna. Il suffit à M. Galle, de Berlin, de
diriger une lunette vers cette place pour apercevoir tout près de là
un astre, invisible à l'oeil nu, qui n'était marqué sur aucune carte
du ciel: les observations des jours suivants montrèrent qu'il se
déplaçait parmi les étoiles; c'était donc bien une planète.
GUIRAUDET.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
En réfléchissant au mouvement diurne auquel tous les corps célestes
sont assujettis, on reconnaît évidemment l'existence d'une cause
générale qui les entraîne ou qui paraît les entraîner autour de l'axe
du monde. Si l'on considère que ces corps sont isolés entre eux, et
placés loin de la terre, à des distances très différentes; que le
soleil et les étoiles en sont beaucoup plus éloignés que la lune, et
que les variations des diamètres apparents des planètes indiquent de
grands changements dans leurs distances; enfin que les comètes
traversent librement le ciel dans tous les sens; il sera très facile
de concevoir qu'une même cause imprime à tous ces corps un mouvement
commun de rotation. Mais les astres se présentent à nous de la même
manière, soit que le ciel les entraîne autour de la terre supposée
immobile, soit que la terre tourne en sens contraire, sur elle-même;
il paraît beaucoup plus naturel d'admettre ce dernier mouvement et de
regarder celui du ciel comme une apparence.
La terre est un globe dont le rayon n'est pas de sept millions de
mètres: le soleil est, comme on l'a vu, incomparablement plus gros. Si
son centre coïncidait avec celui de la terre, son volume embrasserait
l'orbe de la lune, et s'étendrait une fois plus loin, d'où l'on peut
juger de son immense grandeur: il est d'ailleurs éloigné de nous
d'environ vingt-trois mille rayons terrestres. N'est-il pas infiniment
plus simple de supposer au globe que nous habitons un mouvement de
rotation sur lui-même, que d'imaginer, dans une masse aussi
considérable et aussi distante que le soleil, le mouvement extrêmement
rapide qui lui serait nécessaire pour tourner, en un jour, autour de
la terre? Quelle force immense ne faudrait-il pas alors pour le
contenir et balancer sa force centrifuge? Chaque astre présente des
difficultés semblables qui sont toutes levées par la rotation de la
terre.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Entraînés par un mouvement commun à tout ce qui nous environne, nous
ressemblons au navigateur que les vents emportent avec son vaisseau
sur les mers. Il se croit immobile; et le rivage, les montagnes et
tous les objets placés hors du vaisseau, lui paraissent se mouvoir.
Mais en comparant l'étendue du rivage et des plaines, et la hauteur
des montagnes à la petitesse de son vaisseau, il reconnaît que leur
mouvement n'est qu'une apparence produite par son mouvement réel. Les
astres nombreux répandus dans l'espace céleste, sont, à notre égard,
ce que le rivage et les montagnes sont par rapport au navigateur; et
les mêmes raisons par lesquelles il s'assure de la réalité de son
mouvement nous prouvent celui de la terre.
LAPLACE.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Pendant des siècles on a fait de la Terre le centre du monde, en
obligeant les planètes, le soleil et jusqu'aux étoiles à tourner
autour d'elle. Copernic est survenu et dès lors la Terre a pris une
place des plus modestes dans le cortège des planètes que gouverne le
soleil. Voici maintenant que le soleil à son tour n'est plus qu'une
des innombrables étoiles de la Voie lactée....
F. TISSERAND.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Toutes nos notions, en fait de distances célestes ou terrestres,
reposent, en dernière analyse, sur quelques bases mesurées çà et là,
principalement par des Français.
FAYE.
PROBABILITÉS
Il y a des jeux où dix personnes mettant chacune un écu, il n'y en a
qu'une qui gagne le tout et toutes les autres perdent: ainsi chacun
des joueurs n'est au hasard que de perdre un écu, et pour en gagner
neuf. Si l'on ne considérait que la perte et le gain en soi, il
semblerait que tous y ont de l'avantage; mais il faut de plus
considérer que si chacun peut gagner neuf écus, et n'est au hasard que
d'en perdre un, il est aussi neuf fois plus probable, à l'égard de
chacun, qu'il perdra son écu et ne gagnera pas les neuf. Ainsi, chacun
a pour soi neuf écus à espérer, un écu à perdre, neuf degrés de
probabilité de perdre un écu et un seul de gagner les neuf écus: ce
qui met la chose dans une parfaite égalité.
Tous les jeux qui sont de cette sorte sont équitables, autant que les
jeux peuvent l'être, et ceux qui sont hors de cette proportion sont
manifestement injustes; et c'est par là qu'on peut faire voir qu'il y
a une injustice évidente dans ces espèces de jeux qu'on appelle
loteries, parce que le maître de loterie prenant d'ordinaire sur le
tout une dixième partie pour son préciput, tout le corps des joueurs
est dupé de la même manière que si un homme jouait un jeu égal,
c'est-à-dire où il y a autant d'apparence de gain que de perte, dix
pistoles contre neuf. Or si cela est désavantageux à tout le corps,
cela l'est aussi à chacun de ceux qui le composent, puisqu'il arrive
de là que la probabilité de la perte surpasse plus la probabilité du
gain que l'avantage qu'on espère ne surpasse le désavantage auquel on
s'expose, qui est de perdre ce qu'on y met.
Logique de Port-Royal.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Pesons le gain et la perte, en prenant croix, que Dieu est. Estimons
ces deux cas: si vous gagnez, vous gagnez tout; si vous perdez, vous
ne perdez rien. Gagez donc qu'il est, sans hésiter.
--Cela est admirable: oui, il faut gager; mais je gage peut-être trop.
--Voyons. Puisqu'il y a pareil hasard de gain et de perte, si vous
n'aviez qu'à gagner deux vies pour une, vous pourriez encore gager.
Mais s'il y en avait trois à gagner, il faudrait jouer (puisque vous
êtes dans la nécessité de jouer) et vous seriez imprudent, lorsque
vous êtes forcé à jouer, de ne pas hasarder votre vie pour en gagner
trois à un jeu où il y a pareil hasard de perte et de gain.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mais il y a ici une infinité de vies infiniment heureuses à gagner, un
hasard de gain contre un nombre fini de hasards de perte, et ce que
vous jouez est fini. Cela est tout parti: partout où est l'infini et
où il n'y a pas une infinité de hasards de perte contre celui de
gain, il n'y a point à balancer, il faut tout donner; et ainsi, quand
on est forcé à jouer, il faut renoncer à la raison, pour garder la vie
plutôt que de la hasarder pour le gain infini aussi prêt à arriver que
la perte du néant.
Car il ne sert de rien de dire qu'il est incertain si l'on gagnera, et
qu'il est certain qu'on hasarde, et que l'infinie distance qui est
entre la _certitude_ de ce qu'on s'expose et l'_incertitude_ de ce
qu'on gagnera égale le bien fini qu'on expose certainement à l'infini
qui est incertain. Cela n'est pas ainsi: tout joueur hasarde avec
certitude pour gagner avec incertitude; et néanmoins il hasarde
certainement le fini pour gagner incertainement le fini, sans pécher
contre la raison. Il n'y a pas infinité de distance entre cette
certitude de ce qu'on s'expose et l'incertitude du gain; cela est
faux. Il y a, à la vérité, infinité de distance entre la certitude de
gagner et la certitude de perdre. Mais l'incertitude de gagner est
proportionnée à la certitude de ce qu'on hasarde, selon la proportion
des hasards de gain et de perte; et de là vient que s'il y a autant de
hasard d'un côté que de l'autre, le parti est à jouer égal contre
égal; et alors la certitude de ce qu'on expose est égale à
l'incertitude du gain; tant s'en faut qu'elle soit infiniment
distante. Et ainsi notre proposition est dans une force infinie, quand
il y a le fini à hasarder à un jeu où il y a pareils hasards de gain
que de perte, et l'infini à gagner. Cela est démonstratif; si les
hommes sont capables de quelques vérités, celle-là l'est.
PASCAL.
¤---¤---¤
Nous devions citer ce morceau célèbre, mais nous nous empressons
d'y joindre le commentaire de M. J. Bertrand:
«On a cru, dans une page de Pascal, voir l'application du calcul des
probabilités à la démonstration de l'existence de Dieu. C'est lui
prêter injustement un ridicule. Pascal, acceptant, comme hypothèse, le
doute sur l'existence de Dieu, doit, la logique l'exige, rencontrer le
dilemme: Ou Dieu existe ou il n'existe pas. L'incrédule hésite! Chaque
opinion est donc pour lui plus ou moins probable; Pascal ne tente
nullement l'examen du problème pour le réduire en formule et en
chiffres. Il n'associe au mot probabilité rien qui tienne à l'algèbre;
la mesure exacte ou approchée des chances reste en dehors de son
argument. Puisque deux hypothèses sont possibles, on pourrait établir
un pari. Il y a deux choses dans un pari: la chance de gagner et la
somme hasardée. Pascal ne s'occupe que de l'enjeu. L'impie qui parie
pour l'athéisme, sera damné s'il perd. Rien n'est trop cher, quelles
que soient les chances, pour se soustraire à ce formidable risque.»
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Ainsi des chances favorables et nombreuses étant constamment attachées
à l'observation des principes éternels de raison, de justice et
d'humanité, qui fondent et maintiennent les sociétés, il y a grand
avantage à se conformer à ces principes, et de graves inconvénients à
s'en écarter. Que l'on consulte les histoires et sa propre expérience,
on y verra tous les faits venir à l'appui de ce résultat du calcul.
Considérez les heureux effets des institutions fondées sur la raison
et sur les droits naturels de l'homme, chez les peuples qui ont su les
établir et les conserver. Considérez encore les avantages que la bonne
foi a procurés aux gouvernements qui en ont fait la base de leur
conduite, et comme ils ont été dédommagés des sacrifices qu'une
scrupuleuse exactitude à tenir ses engagements leur a coûtés. Quel
immense crédit au dedans! Quelle prépondérance au dehors! Voyez au
contraire dans quel abîme de malheurs, les peuples ont été souvent
précipités par l'ambition et par la perfidie de leurs chefs. Toutes
les fois qu'une grande puissance enivrée de l'amour des conquêtes
aspire à la domination universelle, le sentiment de l'indépendance
produit, entre les nations menacées, une coalition dont elle devient
presque toujours la victime.
LAPLACE.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
L'extrême difficulté des problèmes relatifs au système du monde a
forcé les géomètres à recourir à des approximations qui laissent
toujours à craindre que les quantités négligées n'aient une influence
sensible. Lorsqu'ils ont été avertis de cette influence, par les
observations, ils sont revenus sur leur analyse; en la rectifiant, ils
ont toujours retrouvé la cause des anomalies observées; ils en ont
déterminé les lois, et souvent ils ont devancé l'observation, en
découvrant des inégalités qu'elle n'avait pas encore indiquées. Ainsi
l'on peut dire que la nature elle-même a concouru à la perfection
analytique des théories fondées sur la pesanteur universelle; et
c'est, à mon sens, une des plus fortes preuves de la vérité de ce
principe admirable.
LAPLACE.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤