les regarde comme très petites, ce qui est fort indifférent, mais
parce qu'on peut les considérer comme aussi petites que l'on voudra,
sans qu'on soit obligé de rien changer à la valeur des quantités,
telles que les paramètres, les coordonnées, normales, sous-tangentes,
rayons de courbure, etc., dont on cherche la relation. Il suit de là
que toute quantité dite _infiniment petite_ peut se négliger dans le
courant du calcul, vis-à-vis de ces mêmes quantités dont on cherche la
relation, sans que le résultat du calcul puisse en aucune manière s'en
trouver affecté.
LAZ. CARNOT.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Nous avons distingué les différentes manières dont les grandeurs à
mesurer, ou celles auxquelles on les ramène, pouvaient être
considérées comme limites de variables d'une espèce plus simple, et
nous avons dit qu'elles pouvaient en général se réduire à trois. La
première, employée dans quelques cas par Euclide et Archimède,
consiste à regarder les grandeurs comme limites de séries; la
deuxième, due à Archimède, comme limites de sommes de quantités
infiniment petites; la troisième, comme limites de rapports
d'infiniment petits. Les deux premières se sont présentées à propos de
la mesure de la pyramide, de la parabole, de la spirale, de la sphère,
des volumes des corps engendrés par la révolution de sections
coniques, etc. La troisième, due aux modernes, s'est présentée à
l'occasion du problème des tangentes, et s'applique à beaucoup
d'autres questions.
DUHAMEL.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
C'est en cherchant à déterminer les tangentes des courbes, que les
géomètres sont parvenus au calcul différentiel, qu'on a présenté
depuis sous des points de vue très variés; mais quelle que soit
l'origine qu'on lui assigne, il reposera toujours sur un _fait
analytique_ antérieur à toute hypothèse, comme la chute des corps
graves vers la surface de la terre est antérieure à toutes les
explications qu'on en a données; et ce fait est précisément la
propriété dont jouissent toutes les fonctions, d'admettre une limite
dans les rapports que leurs accroissements ont avec ceux de la
variable dont elles dépendent. Cette limite, différente pour chaque
fonction, et toujours indépendante des valeurs absolues des
accroissements, caractérise d'une manière qui lui est propre, la
_marche_ de la fonction dans les divers états par lesquels elle peut
passer.
LACROIX.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Nous avons des idées nettes de la grandeur, nous voyons que les choses
en général peuvent être augmentées ou diminuées, et l'idée d'une chose
devenue plus grande ou plus petite, est une idée qui nous est présente
et aussi familière que celle de la chose même; une chose quelconque
nous étant donc présentée ou étant seulement imaginée, nous voyons
qu'il est possible de l'augmenter ou de la diminuer; rien n'arrête,
rien ne détruit cette possibilité, on peut toujours concevoir la
moitié de la plus petite chose et le double de la plus grande chose;
on peut même concevoir qu'elle peut devenir cent fois, mille fois,
cent mille fois plus petite ou plus grande, et c'est cette propriété
d'augmentation sans bornes en quoi consiste la véritable idée qu'on
doit avoir de l'infini; cette idée nous vient de l'idée du fini; une
chose finie est une chose qui a des termes, des bornes, une chose
infinie n'est que cette même chose finie à laquelle nous ôtons ses
termes et ses bornes; ainsi l'idée de l'infini n'est qu'une idée de
privation et n'a point d'objet réel. Ce n'est pas ici le lieu de faire
voir que l'espace, le temps, la durée, ne sont pas des infinis réels;
il nous suffira de prouver qu'il n'y a point de nombre actuellement
infini ou infiniment petit.....
On ne doit donc considérer l'infini, soit en petit, soit en grand que
comme une privation, un retranchement à l'idée du fini, dont on peut
se servir comme d'une supposition qui peut aider à simplifier les
idées, et doit généraliser leurs résultats dans la pratique des
sciences.
BUFFON.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
L'idée d'infini apparaît dès le seuil des mathématiques: il y a une
infinité de nombres entiers; la ligne droite doit être conçue comme
prolongée indéfiniment.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Au fond, les motifs des répugnances manifestées contre les infiniment
petits se résument dans cette pensée de Lagrange, qu'on a «le grand
inconvénient de considérer les quantités dans l'état où elles
cessent, pour ainsi dire, d'être quantités,» autrement dit, les
infiniment petits n'existent pas. Il me paraît qu'il y a là un
malentendu. Veut-on parler des quantités _naturelles_, ou de l'objet
de nos conceptions _rationnelles_? Si l'on entend que dans la nature
il n'y a pas d'infiniment petits, c'est incontestable; tout ce qui
existe est déterminé et par conséquent fini. Mais à ce point de vue,
il n'y a pas non plus de quantité variable: une quantité, par cela
seul qu'elle est, a une valeur actuelle précise. Notre esprit seul
crée la notion de variable, en rapprochant les grandeurs de quantités
voisines et les regardant comme les valeurs successives d'une même
quantité. La notion de variable n'est pas plus légitime que celle
d'infiniment petit, et il faut les admettre ou les repousser toutes
les deux.
DE FREYCINET.
MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES
Le vaste champ des mathématiques embrasse, d'une part, les théories
abstraites; de l'autre, leurs nombreuses applications. Par cette
dernière face, ces sciences intéressent au plus haut degré la
généralité des hommes; aussi les voit-on, à toutes les époques,
cherchant, suggérant, proposant sans cesse de nouveaux problèmes,
puisés dans l'observation des phénomènes naturels ou dans les besoins
de la vie commune...
ARAGO.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
L'étude approfondie de la nature est la source la plus féconde des
découvertes mathématiques. Non seulement cette étude, en offrant aux
recherches un but déterminé, a l'avantage d'exclure les questions
vagues et les calculs sans issue, elle est encore un moyen assuré de
former l'Analyse elle-même, et d'en découvrir les éléments qu'il nous
importe le plus de connaître et que cette science doit toujours
conserver: ces éléments fondamentaux sont ceux qui se reproduisent
dans tous les effets naturels.
J. FOURIER.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
La géométrie et surtout l'algèbre, sont la clef de toutes les
recherches sur la grandeur. Ces sciences qui ne s'occupent que de
rapports abstraits et d'idées simples, peuvent paraître infructueuses
tant qu'elles ne sortent point, pour ainsi dire, du monde
intellectuel; mais les mathématiques mixtes, qui descendent à la
matière et qui considèrent les mouvements des astres, l'augmentation
des forces mouvantes,..... en un mot toutes les sciences qui
découvrent des rapports particuliers de grandeurs sensibles, vont
d'autant plus loin et plus sûrement, que l'art de découvrir des
rapports en général est plus parfait. L'instrument universel ne peut
devenir trop étendu, trop maniable, trop aisé à appliquer à tout ce
qu'on voudra.
FONTENELLE.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
L'artillerie est mise ordinairement au nombre des branches des
mathématiques..... On y considère principalement le chemin décrit par
le projectile que lance le canon, et l'on conclut les règles suivant
lesquelles il faut diriger le canon pour que le boulet frappe un lieu
donné. Or on suppose, dans cette recherche, que le projectile décrit
une parabole, ainsi que Galilée l'a démontré. Mais cela n'est pas
conforme à la vérité dès que le mouvement n'a pas lieu dans le vide.
On est donc induit grandement en erreur par les règles et les Tables
fondées sur cette hypothèse, leurs auteurs mêmes l'avouent; ils
rejettent l'erreur sur le compte de la théorie, et s'imaginent qu'elle
n'a de valeur que lorsque la pratique la corrige. Or l'air nous
paraît être un fluide trop subtil pour produire une résistance
sensible; et pourtant dans les mouvements très rapides tels que ceux
des boulets et des bombes, la résistance de l'air est assez grande
pour que les projectiles décrivent une courbe très différente de la
parabole. Pour corriger cette erreur notable, pour suppléer à l'emploi
inopportun de la parabole, il faut introduire la courbe véritable
suivant laquelle le projectile se meut dans l'air. Newton paraît avoir
fait beaucoup d'efforts pour la découvrir, et cependant son extrême
habileté dans l'analyse supérieure ne lui suffit pas pour résoudre ce
problème. Il laissa l'honneur de cette découverte au célèbre Jean
Bernoulli. Nous voyons par là combien doit être versé dans les
mathématiques supérieures celui qui veut résoudre les questions
d'artillerie.
EULER.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Les _Mathématiques pures_ se bornent à spéculer sur les grandeurs
abstraites. Elles forment une science de raisonnement qui se déduit de
notions primitives, d'axiomes, sans rien emprunter à l'expérience. Ses
branches sont l'arithmétique, la géométrie et l'analyse (algèbre et
calcul infinitésimal).
¤---¤---¤
La mécanique et l'astronomie forment ce qu'on appelle les _Sciences
physico-mathématiques_.
Viennent ensuite les nombreuses _Applications des mathématiques_. Nous
allons rapidement énumérer les principales.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
_Calcul des probabilités._--La théorie des probabilités a dit Laplace,
n'est que le bon sens réduit en calcul: elle fait apprécier avec
exactitude, ce que les esprits justes sentent par une sorte
d'instinct.
Le calcul des probabilités est utile dans toutes les sciences et aussi
dans la vie sociale.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
_Physique mathématique._--La physique, enfin maîtresse de ses
principes, tend à s'absorber dans les mathématiques. On fait la
théorie analytique de la chaleur, de l'électricité, de la lumière, de
l'élasticité, de l'acoustique, etc.
La chimie commence à suivre le bon exemple, grâce à la thermochimie.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
_Statistique et économie politique._--Quelques lois ont été
découvertes, il y a tendance à plus de précision dans ces utiles
études. Cependant Cournot et Walras se sont trop pressés d'appliquer
l'Algèbre à des données encore un peu flottantes; on dit assez
heureusement que la monnaie sert de dénominateur commun aux diverses
valeurs.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
_Loterie; jeux._--On peut raisonner les chances de la loterie et du
jeu, mais on ne corrige guère les amateurs. La Science a obtenu la
suppression de la loterie d'État, mais il nous reste d'autres
loteries, les valeurs à lots, etc.
Quant aux jeux de combinaisons, ils se rattachent à la géométrie et à
l'analyse indéterminée.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
_Arithmétique appliquée et commerciale._--Il faut considérer, non
comme théorie, mais comme applications, les règles de trois,
d'alliage, de partage, etc., et le système métrique.
D'autre part, la tenue des livres de commerce a une grande importance
pratique.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
_Finances._--Intérêts simples et composés; annuités; banques,
établissements de crédit et de prévoyance; assurances sur les choses
et sur la vie; rentes viagères.
La Bourse.
Répartition des impôts; budget, etc.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
_Calcul mental._--Il est bon d'acquérir une certaine habileté à
calculer de tête, sans chiffrer hors de propos. Il y a quelques
méthodes, mais c'est surtout affaire d'exercice.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
_Géométrie et trigonométrie pratiques._--Comme en arithmétique, on
mêle trop, en géométrie, les applications à la théorie.
Instruments pour les tracés sur le papier et sur le terrain.
Arpentage, levé des plans, nivellement; le cadastre; partage des
terrains, etc.
Les divers mesurages: métrage, cubage; fûts, troncs d'arbre, tas de
pierres, etc.
Application de la trigonométrie au levé des plans.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
_Géométrie descriptive._--Par la méthode des projections, on peut
représenter rigoureusement par un tracé plan les figures et les
constructions dans l'espace.
Application aux ombres, à la perspective, à la charpente, à la coupe
des pierres, etc.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
_Dessin._--Les divers dessins constituent une langue très étendue et
très expressive.
Le dessin dit géométrique l'emporte sur les autres par sa précision.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
_Les graphiques._--Une courbe, parlant aux yeux, résume de nombreuses
observations numériques. Aussi, se sert-on, dans toutes les études,
de ces tracés commodes.
Par exemple, les Guides de chemins de fer donnent bien des résultats
isolés, mais les employés s'aident de graphiques pour se rendre compte
des rapports entre les divers trains.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
_Arts mécaniques._--Il convient que l'ouvrier sache raisonner ses
mesures et ses tracés, au lieu de se servir de règles empiriques et de
patrons.
Ferblantiers, menuisiers, tourneurs, etc.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
_Les machines._--Quelle variété, quelle délicatesse et quelle
puissance, depuis les machines à coudre, à calculer, à écrire,
jusqu'aux machines qui soulèvent les cuirassés ou creuseront le
Panama!
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
_Constructions civiles et militaires._--C'est aux ingénieurs et aux
architectes que nous devons surtout notre civilisation matérielle.
Ponts et chaussées, chemins de fer, canaux, construction des
monuments, etc.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
_Géographie._--Cartes géographiques, surtout celle de l'État-Major,
que tout le monde devrait savoir lire.
Topographie, géodésie, etc.
De nos jours, la géographie devient enfin une science. «Ici, dit
Drapeyron, le corps c'est la topographie, l'âme c'est la géographie
mathématique.»
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
_Navigation._--Constructions navales, conduite du navire (déterminer à
un moment quelconque la position et la route); tables astronomiques,
etc.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
_Chronologie, horlogerie, gnomonique._--Calendrier, comput
ecclésiastique; montres, horloges, chronomètres; cadrans solaires.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
_Arts militaires._--Le fusil et le canon perfectionnés; balistique ou
questions du tir.
Stratégie, dont le problème dépend d'éléments si variés.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Après trente ans de travail, le regretté M. Sonnet a publié sous le
titre de _Dictionnaire des Mathématiques appliquées_, en un seul
volume, le plus riche et le plus précis des répertoires connus sur ces
matières.
SYSTÈME MÉTRIQUE
La réflexion et l'expérience font connaître les _conditions d'un bon
ensemble de mesures_. Nous allons passer en revue les plus importantes
de ces conditions et justifier ainsi l'excellence des mesures
métriques.
1º _Unités parfaitement définies et fixes._--Les anciennes mesures de
longueur se déduisaient des dimensions du corps humain (toises,
coudées, mains, pouces, doigts, etc.) ou des dimensions de certains
temples. Ces bases étaient vagues et variables, les modèles n'en
étaient point arrêtés. On a pu dire que, sous l'ancien régime, il y
avait autant d'arpents et de boisseaux que de villages. Le mètre,
fraction déterminée de la circonférence terrestre, est une longueur
précise, immuable, indépendante du temps et des nations. «On
retrouverait le mètre, dit Arago, quand même des tremblements de
terre, des cataclysmes épouvantables viendraient à bouleverser notre
planète et à détruire les étalons prototypes religieusement conservés
aux Archives.»
2º _Unités d'espèces différentes liées entre elles._--La géométrie
ramène la mesure des surfaces et des volumes à la mesure de certaines
longueurs, qu'on appelle les dimensions de ces figures. Les règles
simples qu'on établit supposent qu'on prend pour unités les carrés et
les cubes construits sur l'unité linéaire.--On se servait de la toise
carrée et de la toise cube, avant de connaître le mètre carré et le
mètre cube. Il y a plus, les unités de poids et de monnaie dérivent
aussi du mètre, quoique moins directement. On pourrait, à la rigueur,
avec les monnaies, peser les corps et mesurer les longueurs. Nos
mesures s'enchaînent ainsi complètement et leur ensemble mérite le nom
de _système_.
3º _Unités assez nombreuses pour chaque espèce de grandeur._--Il
convient de rapporter chaque grandeur particulière à une unité
proportionnée, parce que l'esprit ne voit clairement et rapidement que
les nombres ordinaires, ni trop grands, ni trop petits. De là
l'utilité d'unités secondaires, substituées souvent à l'unité
principale.--Nous avons actuellement des multiples et des
sous-multiples de chaque unité; la plupart sont des instruments
effectifs de mesurage; tandis que les autres ne sont pas fabriqués
(huit règles pour les longueurs, treize vases pour les capacités,
vingt-quatre poids et quatorze monnaies).
4º _Unités de même nature liées simplement._--Dans l'ancien système,
l'échelle était parfois bizarre et variable d'un genre d'unité à un
autre (exemple: les longueurs et les poids). De là le _calcul des
nombres complexes_, assez pénible, malgré les simplifications
provenant des diviseurs de douze.--Les unités nouvelles procèdent
toutes de dix en dix, comme notre système de numération. Les grandeurs
s'expriment par suite en nombres décimaux, aussi faciles à combiner
que les entiers. Les changements d'unité se traduisent par un simple
déplacement de la virgule.--On comprend pourquoi le système métrique
s'appelle aussi système décimal des poids et mesures. (On avait même
proposé de diviser décimalement le temps, jour de vingt heures, heure
de cent minutes, etc., et le cercle en quatre cents grades de cent
minutes chacun, etc.)
5º _Nomenclature expressive et ne comprenant qu'un petit nombre de
mots._--Les mesures antérieures portaient des noms très variés et
n'indiquant pas les rapports, qu'il fallait retenir à part. Nous
n'avons maintenant que six mesures principales: le mètre, l'are, le
litre, le stère, le gramme et le franc; à ces six mots il suffit de
joindre sept abréviations, tirées du grec ou du latin, pour composer
les noms des multiples et des sous-multiples. _Déca_ signifie dix,
_hecto_ cent, _kilo_ mille, _myria_ dix-mille; _déci_ signifie
dixième, _centi_ centième et _milli_ millième. Dès qu'on parle du
décamètre et du décimètre, chacun se rappelle qu'il s'agit de dix
mètres et du dixième du mètre.--Cependant, quelque commode que soit la
nomenclature précédente, elle n'est pas essentielle au système
métrique, qui réside dans les choses et non dans les mots.
6º _Mesures obligatoires et soigneusement contrôlées._--Depuis 1840,
les mesures métriques sont définitivement imposées par la loi, sur
tout le territoire français, et les dénominations mêmes des anciennes
mesures sont prohibées. Les instruments de mesure sont conformes à des
modèles dont les règlements précisent la valeur, les dimensions, la
forme et la substance. Sur ces mesures sont inscrits non seulement le
nom de la mesure mais encore celui du fabricant responsable, et ces
instruments sont soumis à un contrôle au début, puis à un contrôle
périodique, faits par des _vérificateurs des poids et mesures_.--Notre
système justifie la qualification de système _légal_ des poids et
mesures.
7º _Système offrant un caractère international._--Base ne dépendant
d'aucune nationalité particulière, puisqu'elle est prise dans la
nature. Organisation par des savants de tous les pays qui ont signé
les rapports et se sont distribué cent douze des mètres nouveaux. Mots
provenant d'une langue morte, du grec ou du latin. «Si la mémoire des
travaux venait à s'effacer, dit Laplace, si les résultats seuls en
étaient conservés, ils n'offriraient rien qui pût faire connaître
quelle nation en a eu l'idée, en a suivi l'exécution.»--L'adoption par
tous les peuples des mêmes mesures faciliterait grandement les
relations commerciales et scientifiques. Le système métrique est déjà
adopté, entièrement ou partiellement, par les pays suivants: Belgique,
Hollande, Espagne, Portugal, Grèce, Allemagne, Danemark, Suède,
Mexique, Brésil, Républiques de l'Amérique du Sud, Égypte, etc.
Ajoutons que dans les États anglais et dans les États-Unis l'usage de
nos mesures est facultatif.
GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE
Une figure plane peut être représentée sur une surface plane sans
aucune altération dans les proportions de ses parties.
... Il n'en est pas de même d'un corps à trois dimensions, d'un corps
ayant longueur, largeur et profondeur. Sa représentation sur une
surface plane est inévitablement altérée. Des lignes qui sur le corps
sont égales entres elles, peuvent être extrêmement inégales dans la
représentation plane. Les angles formés dans l'espace par les arêtes
ou par les diagonales du corps n'éprouvent pas de moindres altérations
comparatives, quand elles viennent à être figurées sur un plan.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Des hommes de génie, Desargues en tête, réussirent enfin à rattacher
aux règles de la géométrie élémentaire la plupart des méthodes, des
tracés en usage dans la coupe des pierres et dans la charpente.
Malheureusement leurs démonstrations étaient longues, embarrassées;
elles devaient toujours rester hors de la portée des simples ouvriers.
À quoi tenaient ces complications? Elles tenaient à ce qu'on était
obligé de créer la science tout entière, à l'occasion de chaque
problème. Adoptez cette méthode dans telle autre branche quelconque
des mathématiques, et la plus inextricable confusion en sera aussi la
conséquence inévitable.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Monge débrouilla ce chaos. Il fit voir que les solutions graphiques de
tous les problèmes de la géométrie à trois dimensions se fondaient sur
un très petit nombre de principes qu'il exposa avec une merveilleuse
clarté. Désormais aucune question, parmi les plus complexes, ne devait
être l'apanage exclusif des esprits d'élite; avec des instruments bien
définis et une méthode de recherche uniforme, la géométrie
descriptive, dont Monge devint le créateur, pénétra jusque dans les
rangs nombreux de la classe ouvrière.
ARAGO.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Une branche considérable de la géométrie, qui se recommande par des
applications nombreuses, et que cultivaient par instinct plutôt que
méthodiquement tous les ouvriers employés aux arts de construction, a
été réduite en corps de doctrine.. On sent qu'il s'agit ici de la
théorie et de la pratique des opérations qui résultent de la
combinaison des lignes, des plans et des surfaces dans l'espace, et
que M. Monge a fait connaître sous le nom de _géométrie descriptive_.
La coupe des pierres, la charpente, certaines parties de la
fortification et de l'architecture, la perspective, la gnomonique: en
un mot, toutes les parties des mathématiques, soit pures, soit
appliquées, dans lesquelles on considère l'espace avec ses trois
dimensions, sont du ressort de ce complément nouveau de la géométrie
élémentaire qui jusque-là s'était arrêtée à la mesure des aires et des
volumes... Ce n'est pas qu'avant M. Monge, les géomètres n'eussent
connu la méthode des projections et ne l'eussent employée à la
résolution de plusieurs problèmes..., mais cette théorie... n'avait
pas encore cette indépendance et cet enchaînement de questions qui en
ont fait une véritable science...
DELAMBRE.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
La Géométrie descriptive donne des méthodes pour représenter
exactement, sur un seul plan, tout corps susceptible d'une définition
précise, et pour déduire de cette représentation les véritables
grandeurs des diverses parties du corps que l'on considère.
C'est à l'aide de pareils dessins faits sur des aires planes, que les
tailleurs de pierre et les charpentiers parviennent à donner aux
matériaux solides des formes déterminées.
La Géométrie descriptive est donc aussi utile à l'ouvrier qui exécute
un projet qu'à l'ingénieur qui l'a conçu. Ses principales applications
sont la perspective, la théorie des ombres, la charpente, la coupe des
pierres, le tracé des routes dans les pays accidentés, le défilement
dans l'art des fortifications, etc., etc.
ROUCHÉ.
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤