Unterscheidung der verschiedenen Aufgaben.
§ 62. Wir sind in § 22 ausgegangen von dem wichtigsten Gesez in Betreff
der perspectivischen Grössenverhältnisse, wonach jeder Gegenstand im
Verhältnis seiner Entfernung vom Auge kleiner zu werden scheint. Ferner
wissen wir aus § 8, dass wir es nur mit der perspectivischen Grösse
solcher Linien zu thun haben, deren geometrisches Grössenverhältnis zu
andern Linien ein symmetrisches, regelmässiges und notwendiges ist.
Es lassen sich in dieser Beziehung 3 Fälle unterscheiden: 1)
Parallellinien, welche in Wirklichkeit gleich lang sind, aber
verschiedene Entfernung vom Auge haben (in verschiedener Tiefe sich
befinden), wie z. B. in Fig. 62 die senkrechten Umrisslinien der
3 grösseren Fenster. 2) Verkürzte Linien, auf welchen sich gleich
grosse Masse wiederholen, oder welche nach bestimmten symmetrischen
Verhältnissen geteilt sind, wie die Linie _i k_ Fig. 62, wenn die
Fenster in Wirklichkeit gleiche Breite und gleiche Abstände haben.
3) Verkürzte Linien, welche zu einer nicht parallelen Linie in einem
bestimmten Grössenverhältnisse stehen, wie die Seiten eines verkürzten
Quadrats oder die Teile der Linie _i s_ Fig. 62, wenn die Fenster und
Zwischenräume in Wirklichkeit auf beiden Seiten gleiche Breite haben.
Parallellinien von gleicher Länge in verschiedener Tiefe.
§ 63. Die Berechnung der perspectivischen Länge paralleler Linien,
welche geometrisch gleich gross sind, aber in ungleicher Tiefe liegen,
geschieht nach dem § 1 angeführten Geseze, dass parallele Linien,
welche zwischen 2 gleichfalls parallelen Linien liegen, gleich lang
sind.
Mehrfache Beispiele sind schon in den vorangegangenen Figuren
enthalten, z. B. in Fig. 20 sind _i k_ und _c d_, _g h_ und _a b_
perspectivisch gleich lang (stellen Linien dar, welche geometrisch
gleich lang sind), weil sie als unverkürzte Wagrechte unter sich
parallel sind und die Linien _a P_ und _b P_, _c P_ und _d P_, zwischen
welchen sie liegen, gleichfalls perspectivisch parallel sind, vergl.
die gleich langen Linien _a i_, _b g_, _k e_ und _f h_, oder _a e_
und _c d_ in Fig. 36, ähnliche Linien in Fig. 40 und 41 und andere.
Soll in Fig. 62 die Linie _r x_ massgebend sein für die Höhe der
übrigen Fenster, so werden durch _r_ und _x_ 2 Linien parallel mit
den wagrechten Linien dieser Seite bis zu der senkrechten Ecklinie
gezogen und von lezterer aus auf der andern Seite parallel mit _a c_
fortgesezt, wodurch sämtliche zwischen diesen Parallelen liegende
senkrechte perspectivisch gleich lang sind.
§ 64. In Fig. 63 sei die Aufgabe gestellt, die Höhe der Figur _a b_ auf
die in derselben wagrechten Fläche liegenden Punkte _c_, _e_ und _g_ zu
übertragen oder auf den leztgenannten Punkten Figuren von gleicher Höhe
mit _a b_ zu zeichnen. Ziehen wir von _a_ durch _c_ eine Linie nach dem
Horizont, und nach dem Punkte _x_, wo sie denselben trifft, eine zweite
von _b_ aus, so sind alle senkrechten Linien, welche zwischen den 2
Parallellinien _a x_ und _b x_ liegen, perspectivisch gleich hoch.
Eine Linie von _a_ durch _e_ oder von _g_ durch _a_ nach dem Horizont
würde diesen in 2 weit ausserhalb der Zeichenfläche liegenden Punkten
treffen. Man benüzt daher 2 von _a_ und _b_ nach einem beliebigen Punkt
des Horizonts gezogene Linien, z. B. _a x_ und _b x_, zieht von _e_
eine unverkürzte Wagrechte nach _i_ und errichtet dort die Senkrechte
_i k_, welche somit in gleicher Tiefe mit _e_ steht und mittels
einer unverkürzten Wagrechten von _k_ aus auf die gewünschte Stelle
übertragen werden kann. Da eine von _g_ aus nach der verlängerten _x a_
gezogene Wagrechte die leztere nicht mehr innerhalb der Zeichenfläche
erreichen würde, so ist ein Punkt _y_ wie oben benüzt, von _g_ eine
Wagrechte nach der verlängerten _y a_, d. h. nach _m_ gezogen, _m n_ =
_a b_ gemacht und ist somit auch _g h_ = _a b_.
[Illustration: Fig. 63.]
Liegt der Horizont in gleicher Höhe mit dem oberen Ende einer
senkrechten Linie, z. B. in der Scheitelhöhe einer menschlichen Figur,
so ist die Höhe aller gleich grossen senkrechten Linien oder anderer
Figuren, welche in derselben wagrechten Fläche stehen, durch die
Horizontlinie gegeben, vgl. Fig. 64.
[Illustration: Fig. 64.]
§ 65. In Fig. 65 sei _A B_ gegeben und sollen 2 weitere Figuren in _f_
und _g_, d. h. in 2 Punkten gezeichnet werden, welche in gleicher Höhe
und gleicher Tiefe mit den Punkten _a_ und _e_ liegen. Zu diesem Zweck
sind die durch _a_ und _e_ gehenden Senkrechten verlängert bis zu der
wagrechten Fläche, auf welcher _A B_ steht, also bis _o_ und _p_, und
ist auf die oben beschriebene Weise _o c_ = _A B_ gemacht. Die Höhe
_o c_ kann nun mit dem Zirkel nach _a d_ und von hier mittels einer
Wagrechten nach _f k_ übertragen werden. _e p_ ist = _o c_ = _e b_,
somit ist auch _g h_ = _A B_.
[Illustration: Fig. 65.]
§ 66. In Fig. 66 ist angenommen, dass _A B_ als Höhe einer in _A_
stehenden Figur gegeben sei und der Punkt _C_, in welchem eine zweite
Figur stehen soll, um 3 Stufen tiefer liege, als die obere Fläche. Man
errichte eine Senkrechte in _g_, mache _i g_ = 3 mal _g e_, d. h. =
_a g_, und _i p_ = _a b_, d. h. = _A B_, ziehe _i P_ und _p P_, eine
Wagrechte von _C_ nach _m_ und errichte eine Senkrechte in _m_ bis
_p P_, so ist _m n_ und folglich auch _C D_ = _A B_.
[Illustration: Fig. 66.]
Wäre die Höhe _A B_ auf eine der beiden andern Stufen oder auf irgend
einen Punkt der Fläche, in welcher _g_ liegt, zu übertragen, so würde
man bei _b d_, _d f_ und _f h_ = _g e_, _e c_ und _c a_ machen, so dass
_g h_, _e f_ und _c d_ je = _a b_ = _A B_ wären und könnte hierauf jede
dieser Senkrechten auf einen beliebigen Punkt der Fläche, in welcher
ihr unteres Ende liegen soll, wie oben übertragen werden.
§ 67. In Fig. 67 ist die mit _a b_ gleiche Höhe einer in _c_
stehenden Figur berechnet, indem von _c_ abwärts eine mit _d f_ und
_g h_ parallele schräge Linie bis _i_, d. h. bis zu der wagrechten
Ebene, in welcher _a_ liegt, gezogen, die Höhe _a b_ nach _i k_ und
hierauf mittels der weiteren schrägen Parallellinien _k e_ nach _c_
übertragen wurde. In einem derartigen Falle ist vorauszusezen, dass der
Fluchtpunkt oder das Massdreieck einer in der betreffenden schrägen
Fläche liegenden schrägen Linie, wie hier _g m h_, bekannt sei. Ein
ähnliches Beispiel zeigt Fig. 35: Die Höhe _g i_ ist zuerst mittels
_g n_ und _i n_ nach _f_ übertragen, wo die wagrechte Fläche beginnt,
in welcher eine zweite Figur stehen soll. Die Höhe der lezteren ergibt
sich sodann durch _f P_ und _e P_.
[Illustration: Fig. 67.]
Die perspectivische Grösse von Figuren oder irgend welchen Linien,
welche auf unregelmässigem Terrain in verschiedener Tiefe sich
wiederholen, kann nicht genau berechnet werden.
§ 68. Wie auf dieselbe oder ähnliche Weise ~wagrechte~ Parallellinien
von gleicher Länge in verschiedener Tiefe zu zeichnen sind, ist in Fig.
68--70 gezeigt.
Es sei die Aufgabe gestellt, 2 Rechtecke von gleicher Grösse und in
gleicher Stellung wie _A B C D_, Fig. 68, zu zeichnen, so, dass die
linke vordere Ecke des einen in _E_, die des andern in _e_ liegt.
Zieht man von _E_ eine unverkürzte Wagrechte nach _r_, so ist _r s_ =
_A B_ und kann mit dem Zirkel von _E_ nach _F_ übertragen werden. Die
Richtung der verkürzten Seiten ist durch _P_ gegeben, ihre Länge durch
eine Linie von _E_ nach _z_, dem Fluchtpunkt der Diagonale _A C_ und
folglich auch der mit _A C_ parallelen _E G_. Ebenso kann _e f_ = _a b_
gemacht und die Länge _f g_ durch die Diagonale _e g_ bestimmt werden.
[Illustration: Fig. 68.]
Wären die Fluchtpunkte beider Diagonalen des gegebenen Rechtecks
_A B C D_ unzugänglich, so könnten _A B_, _E F_ und _e f_ halbiert
werden, um _y_ als Fluchtpunkt von _o C_ wie oben _z_ behufs Berechnung
der Länge _F G_ und _f g_ zu benüzen. _e h_ könnte auch = _F G_ gemacht
werden mittels einer von _F_ durch _e_ nach dem Horizont und einer
zweiten von _G_ nach _y_ gezogenen Linie. Sollte auf diesem Wege die
Länge _E H_ = _B C_ bestimmt werden, so müsste, da eine Linie von _B_
durch _E_ den Horizont ausserhalb der Zeichnung trifft, eine näher bei
_E_ liegende Linie, z. B. _m n_ = _B C_ gezeichnet werden, um _m E y_
und _n H y_ ziehen zu können.
§ 69. In Fig. 69 ist von _a_ aus ein Rechteck = _E F G H_ gezeichnet,
indem von _E_ eine Linie durch _a_ nach dem Horizont gezogen und
hierauf die Lage von _b_, _c_ und _d_ durch die Linien _F P_, _G P_,
_H P_ und die nach den betreffenden Fluchtpunkten gezogenen _a b_,
_b c_, _a d_ bestimmt wurde. Wäre statt _a_ der Punkt _A_ als vordere
Ecke des zweiten Rechtecks gegeben, welcher in gleicher Tiefe mit _E_
liegt, so könnte man von _E_, _F_, _G_ und _H_ unverkürzte Wagrechte
nach links ziehen, in welchen auch die Punkte _B_, _C_ und _D_ liegen
müssen und hierauf die Lage der lezteren ohne Hilfe ihrer Fluchtpunkte
dadurch näher bestimmen, dass man nach einem beliebigen Punkt des
Horizonts, z. B. nach _P_, Linien von _E_, _F_, _G_, _H_ und _A_ zieht,
und hierauf _f g_ = _i k_, _f C_ = _i G_, _f e_ = _i h_ macht u. s. w.
Ebenso ist _m n_ = _x y_, _n o_ = _y a_ u. s. w.
[Illustration: Fig. 69.]
Wäre _A B C D_ und der Punkt _a_ gegeben, somit der Fluchtpunkt einer
von _A_ durch _a_ gezogenen Linie unzugänglich, so könnte auf die
zulezt angegebene Weise das erstere Rechteck leicht soweit als nötig
zur Seite gerückt werden, wie oben die Linie _B C_, Fig. 68 nach _m n_.
§ 70. Aus dem Vorangegangenen ergibt sich ein weiteres in vielen
Fällen bequemes Mittel, die Richtung verkürzter Parallellinien, deren
Fluchtpunkt unzugänglich ist, zu berechnen. Wenn in Fig. 70 _E_ die
vordere Ecke eines Rechtecks = _A B C D_ sein soll und wie oben eine
Wagrechte durch _A_ sowie die Linien _A E z_, _B z_, _C z_ und _D z_
gezogen sind, so bilde man mit einer aus einem beliebigen Punkt des
Horizonts z. B. aus _y_ durch _B_ gezogenen Linie ein Dreieck _a c B_
und ziehe _c z_. _b d_ ist nun = _a c_, eine Linie von _d_ nach _y_
macht _b F_ = _a B_, somit sind die Dreiecke _a c B_ und _b d F_ oder
_A a B_ und _E b F_ einander gleich und ist _E F_ perspectivisch gleich
gross und parallel mit _A B_. Die Lage der Ecke _G_ ist durch _C z_ und
die Diagonale _E y_ gegeben, könnte aber gleichfalls dadurch berechnet
werden, dass auf die angegebene Weise _F h g_ = _B f e_ gemacht und
eine unverkürzte Wagrechte von _h_ nach _G_ gezogen würde. Um _K_ zu
erhalten, ist schliesslich _D m_ gezogen, durch _m z_ _G n_ = _C m_
gemacht, und durch eine Wagrechte von _n_ nach _D z_ der Punkt _K_
bestimmt.
[Illustration: Fig. 70.]
Da sowohl Richtung als Länge einer schrägen Linie durch die senkrechte
und wagrechte Linie ihres Massdreiecks gegeben ist, so gilt das
Gesagte auch für verkürzte gleich grosse ~schräge~ Parallellinien in
verschiedener Tiefe.
Teilung einer verkürzten Linie nach bestimmten Verhältnissen.
§ 71. Die einfachste und häufigste Art einer solchen Teilung ist die
Halbierung mittels der Diagonalen eines Rechtecks, dessen eine Seite
die zu halbierende Linie bildet. Die vorangehenden Figuren, z. B.
38--41, bieten hievon mehrfache Beispiele. Ebenso von der Verdopplung
einer Linie: in Fig. 48 z. B. ist, nachdem _E h_ gegeben, die zweite
Hälfte _h F_ = _E h_ gemacht mittels eines Rechtecks _E h e c_ und
einer Linie aus _c_ durch die Mitte von _e h_ nach _F_.
[Illustration: Fig. 71.]
Soll in Fig. 71 die Länge _e f_ auf der Fortsezung dieser Linie
wiederholt werden, so bilde man mit _e f_ ein beliebiges Rechteck
_e f b a_, ziehe von _a_ eine Linie durch die Mitte von _b f_ nach _g_,
von _b_ durch die Mitte von _c g_ nach _h_ u. s. w. Auf dieselbe Weise
ist in Fig. 72 die Länge _a b_ nach _c_ u. s. w. übertragen. In Fig. 71
ergibt sich _f n_ als Hälfte von _e f_, wenn _m_ (vom Schnittpunkt der
Diagonalen _a f_ und _e b_ aus) als Hälfte von _a b_ bestimmt und von
da eine Linie durch _d_ gezogen wird.
[Illustration: Fig. 72.]
In der Mitte des Rechtecks _a b c d_ Fig. 73 kann ein Fenster
gezeichnet werden, indem die senkrechte Mittellinie _e f_ gezogen,
_m n o p_ als nähere Hälfte angenommen und _n z_ durch die Mitte von
_m p_ gezogen wird, vgl. die beigefügte geometrische Figur.
[Illustration: Fig. 73.]
Soll auf der Linie _B P_ Fig. 68 von _b_ aus ein Stück = _B C_
abgeschnitten werden, so bilde man ein Rechteck _C b a D_, ziehe _D b_
und _C a_ und durch _i_ eine Linie von _A_ nach _c_.
§ 72. Die Teilung einer verkürzten Linie in eine grössere Anzahl von
Teilen, welche in einem bestimmten geometrischen Verhältnis zu einander
stehen, geschieht gewöhnlich zufolge dem Geseze, dass in einem Dreieck
Linien, welche parallel mit einer Seite zwischen den beiden andern
gezogen werden, auf lezteren Teile von gleichem Verhältnis ergeben.
[Illustration: Fig. 74.]
In Fig. 74 ist z. B. die Linie _a b_ so geteilt, dass _a d_ und _e f_
gleich gross und je die Hälfte von _d e_ und _f b_ sind. Zieht man nun
von _f_, _e_ und _d_ Linien parallel mit _b c_ nach _a c_, so erhält
man auf lezterer Linie Teile von demselben Verhältnis. Ist die Aufgabe
gestellt, die Linie _D C_ Fig. 75 so zu teilen, dass die Fenster je
halb so gross als die Zwischenräume sein sollen, so wird durch _D_
eine unverkürzte Wagrechte gezogen, mit dem Zirkel, nachdem _D a_ als
erster Teil beliebig angenommen ist, _a b_ = 2 mal _D a_, _b c_ = _D a_
u. s. w. gemacht und eine Linie von _f_, dem Endpunkt des letzten
Teilabschnitts, durch _C_ nach dem Horizont gezogen, worauf die Linien
_a p_, _b p_, _c p_ u. s. w. auf _D C_ die gewünschten Verhältnisse
ergeben.
[Illustration: Fig. 75.]
Statt auf _D f_ könnten die Teile auch auf einer höher gelegenen Linie,
z. B. von _m_ aus in der Weise angetragen werden, dass eine Linie von
_m_ durch _D_ nach dem Horizont, eine zweite von _p_ durch _C_ nach _n_
gezogen und _m n_ mit dem Zirkel nach den gewünschten Verhältnissen
geteilt würde.
Auch in Fig. 72 könnte auf diese Weise die perspectivische Weite der
Zwischenräume berechnet werden, wie auf der Linie _a d_ angedeutet ist.
Dasselbe Verfahren ist in Fig. 42 angewandt, um die verkürzte schräge
Linie _b d_ in eine Anzahl gleicher Teile zu teilen und so die
perspectivische Höhe der Stufen zu bemessen, mit dem Unterschied, dass
die senkrechte Linie _b e_ hier die Stelle der unverkürzten Wagrechten
in Fig. 75 vertritt.
§ 73. Ein anderes Verfahren ist das folgende: Wenn in Fig. 73 das
Rechteck _a b c d_ gegeben ist und die Breite eines in der Mitte davon
zu zeichnenden Fensters 1/5 der Linie _a d_ betragen soll, so wird
_a b_ in 5 gleiche Teile geteilt und die Diagonale _a c_ oder _b d_
gezogen. Zieht man nun von _g_ und _h_ Linien parallel mit _a d_
und _b c_, so erhält man da, wo dieselben die Diagonalen schneiden,
die Punkte, welche die Breite des Fensters bestimmen, vergl. die
geometrische Figur. Auch die perspectivische Breite der Fenster und der
Zwischenräume in Fig. 75 könnte dadurch bestimmt werden, dass _A D_
mit dem Zirkel in 9 gleiche Teile geteilt würde (vorausgesezt, dass
das oben angegebene Verhältnis massgebend sein soll). Die Punkte, in
welchen die von 1, 3, 4, 6 und 7 aus gezogenen Parallelen die Diagonale
_D B_ schneiden, ergeben, wie die Figur zeigt, dasselbe Verhältnis wie
die obige Berechnung.
Perspectivisches Grössenverhältnis nicht paralleler Linien.
§ 74. Wenn wir uns von unserem Auge eine Linie nach dem Augpunkt und
2 andere nach den beiden Diagonalpunkten (§ 18) gezogen denken, so
entstehen 2 gleichschenklige rechtwinklige Dreiecke. Denn eine Linie
vom Auge nach dem Augpunkt steht zum Horizont in einem rechten Winkel
und die Entfernung der Diagonalpunkte vom Augpunkt ist gleich der
Entfernung des Auges vom Augpunkt. Wenn in Fig. 76 _D_ unser Auge, _P_
der Augpunkt ist, so sind _Dp_ und _Dg_ Diagonalpunkte.
[Illustration: Fig. 76.]
~Die beiden Linien vom Auge nach den Diagonalpunkten~ -- _D Dp_ und
_D Dg_ -- ~stehen zum Horizont in einem halben rechten Winkel~, wie die
Diagonalen eines Quadrats zu dessen Seiten, vergl. _a b c d_. Steht
eine Linie unseres Gegenstands in einem halben rechten Winkel zu einer
unverkürzten Wagrechten, so steht sie auch zum Horizont in einem halben
rechten Winkel, sie ist also parallel mit einer Linie von unserem Auge
nach einem der beiden Diagonalpunkte und dieser muss ihr Fluchtpunkt
sein. ~Die Diagonalpunkte sind also die Fluchtpunkte aller wagrechten
Linien, welche zu einer unverkürzten Wagrechten in einem halben rechten
Winkel stehen.~
Umgekehrt, ~jede Linie des Bildes, deren Fluchtpunkt ein Diagonalpunkt
ist, stellt eine Linie dar, welche zum Horizont und zu den unverkürzten
Wagrechten derselben Zeichnung in einem halben rechten Winkel steht~.
Ist also in Fig. 77 die Distanz = 2 mal _A P_ = _P Dg_, so ist _Dg_
ein Diagonalpunkt und stellt _A C_ eine Linie dar, welche in einem
halben rechten Winkel zu _A B_ steht; die Linie _B C_, welche ihren
Fluchtpunkt im Augpunkt hat, ist demnach eine rechtwinklig zu
_A B_ stehende Linie und _A B C_ ist die perspectivische Form eines
gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks = _a b c_ Fig. 76. _B C_ Fig.
77 ist = _A B_, wie in Fig. 76 _b c_ = _a b_ ist.
[Illustration: Fig. 77.]
§ 75. Demgemäss kann die Länge einer unverkürzten Wagrechten auf
eine rechtwinklig zu ihr stehende, d. h. nach dem Augpunkt gehende
Wagrechte übertragen werden, indem entweder von einem Endpunkt der
gegebenen unverkürzten Wagrechten eine Linie nach einem der beiden
Diagonalpunkte gezogen wird, welche die nach dem Augpunkt gehende Linie
schneidet: _B C_ Fig. 77 wird = _A B_ gemacht durch eine Linie von _A_
nach _Dg_, welche die Linie _B P_ in _C_ schneidet; oder indem man
eine Linie von einem Diagonalpunkte durch einen Endpunkt der gegebenen
unverkürzten nach der verkürzten Wagrechten zieht: so wird _E A_ =
_C E_ mittels einer Linie von _Dg_ durch _C_ nach _A_. _A B C E_ ist
somit die perspectivische Form eines wagrecht liegenden Quadrats.
Ebenso kann die Länge einer nach dem Augpunkt gehenden Linie auf eine
anstossende unverkürzte Wagrechte übertragen werden: durch _Dg C A_
wird _A B_ = _B C_, durch _A C Dg_ wird _C E_ = _A E_ gemacht.
§ 76. Ist in Fig. 77 die Distanz = 2 mal _P A_, so ist _D_/2 die
Hälfte, _D_/3 ein Drittel, _D_/4 ein Viertel der Distanz. Ebenso ist
_B a_ die Hälfte, _B b_ oder _B e_ ein Drittel und _B c_ ein Viertel
von _A B_. Ziehen wir, statt von _A_ nach _Dg_, eine Linie von _a_ nach
_D_/2 oder von _b_ nach _D_/3 oder von _c_ nach _D_/4, so wird von der
aus _B_ nach _P_ gehenden Linie dieselbe Länge _B C_ abgeschnitten;
gehen wir von der verkürzten Linie _B C_ aus, so erhalten wir durch
eine aus _D_/2, _D_/3 oder _D_/4 durch _C_ gezogene Linie auf der durch
_B_ gehenden Wagrechten die Hälfte, ein Drittel oder ein Viertel von
_B C_.
Da ein Diagonalpunkt stets ausserhalb der Zeichnung liegt, so bedarf
man eines Ersazmittels, welches durch jene Teilpunkte gegeben ist:
soll _B C_ = _A B_ gemacht werden, so zieht man eine Linie von _a_
nach _D_/2, von _b_ nach _D_/3 oder von _c_ nach _D_/4, soll _A B_ =
_B C_ gemacht werden, so erhält man durch eine Linie von _D_/2 nach
_a_, _D_/3 nach _b_ u. s. w. zunächst die Hälfte, ein Drittel oder
Viertel von _A B_ und kann hienach mit dem Zirkel die ganze Länge _A B_
leicht ergänzt werden. Statt der Linie _b D_/3 könnte auch eine Linie
von _e_ nach dem rechts vom Augpunkt liegenden Drittel der Distanz
gezogen werden, sowie man statt der rechtsseitigen Punkte _D_/2 und
_D_/4 die entsprechenden Teilpunkte links vom Augpunkt benüzen und
mittels derselben rechts von _B_ die Hälfte oder ein Viertel von _A B_
abschneiden könnte.
§ 77. Hienach ist es leicht, auch einer nach einem Distanzpunkt
gehenden Linie jedes beliebige Grössenverhältnis zu einer anstossenden
unverkürzten Wagrechten zu geben oder umgekehrt. Wird z. B. in Fig.
77 die Senkrechte _B F_ = _A B_ gemacht, so ist das Dreieck _A B F_ =
_A B C_ (da auch _B C_ = _A B_ ist); _A C_ ist = _A F_ = _A g_; _A f_
ist = _A d_ = _A n_, _A h_ = _A i_. Es kann also ein beliebiger Teil
der Linie _A z_ mit dem Zirkel auf _A F_ oder ihre Verlängerung und von
hier mittels einer Senkrechten und einer nach dem Augpunkt gehenden
Linie auf die Linie _A Dg_ übertragen werden.
Soll die Länge der nach einem Distanzpunkt gehenden Linie _A C_ auf die
durch _A_ gezogene Wagrechte übertragen werden, so zieht man eine Linie
von _P_ durch _C_ nach _B_, eine Senkrechte _B F_ = _A B_ und macht
mit dem Zirkel _A g_ = _A F_ = _A C_.
Das unverkürzte Dreieck kann natürlich ebensowohl oberhalb als
unterhalb der Linie _A B_ gebildet werden. Um z. B. _A o_ auf _A B_
zu übertragen, kann _P o g_ gezogen, die Senkrechte _g p_ = _A g_
errichtet und _A z_ = _A p_ gemacht werden.
[Illustration: Fig. 78.]
Oder sei in Fig. 78 _A B_ die zuerst gegebene Linie, _D_/2 die Hälfte,
_D_/3 ein Drittel der Distanz. _B e_ ist die Hälfte, _B d_ ein Drittel
von _A B_; somit wird _B C_ = _A B_ mittels einer Linie von _D_/2 durch
_e_, oder von _D_/3 durch _d_. _B f_ ist = _A B_, also ist _A B f_ =
_A B C_; _A f_ ist = _A C_; _A h_ ist = _A B_, also erhält man auf
_A C_ den Teil _A i_ = _A B_, indem man eine Senkrechte von _h_ nach
_A B_, und durch den Punkt, in welchem sie _A B_ trifft, eine Linie von
_P_ aus zieht.
§ 78. Mit Hilfe desselben Verfahrens kann nun das perspectivische
Grössenverhältnis jeder verkürzten wagrechten Linie zu einer
andern bemessen werden. Nehmen wir an, dass in Fig. 79 _D_/2 als
Hälfte der Distanz, die perspectivische Richtung der (nicht nach
einem Diagonalpunkt gehenden) Linien _A B_ und _A C_, sowie die
perspectivische Länge _A B_ gegeben und die Aufgabe gestellt sei,
leztere auf _A C_ zu übertragen, so wird durch _A_ eine unverkürzte
Wagrechte und nach dieser aus dem Augpunkt eine Linie durch _B_
gezogen. _B b_ steht somit rechtwinklig zu _A b_; da _D_/2 die Hälfte
der Distanz ist, so ist _b f_ = die Hälfte von _B b_; _b c_ ist = 2
mal _b f_, also = _B b_, folglich ist _A c_ = _A B_. Hierauf ist durch
einen beliebigen Punkt _o_ der zweiten Linie gleichfalls eine Linie aus
_P_ und aus _D_/2 gezogen und hiedurch gefunden, dass _o n_ = _m n_ (=
2 mal _n p_) ist; _A d_ wird nun = _A c_ gemacht und schliesslich eine
Senkrechte von _d_ nach _a_ und eine Linie von hier nach _P_ gezogen,
wodurch sich die Länge _A C_ = _A B_ ergibt.
[Illustration: Fig. 79.]
Wäre _A F_ statt _A B_ als Mass gegeben, so dass eine von _D_/2 durch
_F_ gezogene Linie die durch _A_ gehende Wagrechte nicht mehr innerhalb
der Zeichenfläche treffen würde, so können 2 Senkrechte _A g_ und _F h_
bis zum Horizont und die Diagonalen _F g_ und _A h_ gezogen und kann
von ihrem Schnittpunkt aus durch eine Senkrechte der perspectivische
Halbierungspunkt von _A F_ gefunden werden, um auf dem angegebenen
Wege zunächst die Hälfte von _A F_ auf die Linie _A a_ zu bringen. Ist
angenommen, dass die beiden verkürzten Linien einen rechten Winkel
darstellen, so wird auf kürzerem Wege _A C_ = _A B_ gemacht, indem mit
dem Winkel (Fig. 9) _A d_ = _A c_ rechtwinklig zu _A c_ gezeichnet und
hierauf _d a_ und _a P_ gezogen wird.
[Illustration: Fig. 80.]
In Fig. 80 sind die Wagrechten _A B_ und _A C_, deren Richtung von
_A_ aus gegeben ist, = der in gleicher Fläche liegenden _E F_ gemacht.
Zu diesem Zweck ist zunächst _A G_ = _E F_ gemacht mittels einer Linie
von _F_ durch _A_ nach _z_ und einer zweiten von _z_ nach _E_ und ist
hierauf von _P_ eine Linie nach einem beliebigen Punkte _b_ der Linie
_A B_ gezogen. _D_/2 sei die Hälfte der Distanz; also ist _a c_ = 2 mal
_a n_, _a b_ = 2 mal _a m_, das wagrechte Dreieck _A a c_ ist somit =
dem senkrechten _A a e_, _A a b_ ist = _A a g_ (_a e_ = 2 mal _a n_,
_a g_ = 2 mal _a m_). Nachdem nun _A f_ und _A h_ = _A G_ gemacht sind,
werden die Senkrechten _f m_ und _h i_ gezogen und ergeben die von _P_
nach _m_ und durch _i_ nach _B_ gezogenen Linien die Länge _A C_ und
_A B_ = _A G_ = _E F_.
[Illustration: Fig. 81.]
Fig. 81 zeigt die Anwendung des Vorangegangenen auf eine geöffnete
Thüre. Es ist angenommen, dass die Länge _A B_ und die Richtung _A D_
gegeben, die Richtung _D E_ beliebig und die Breite der Thüre = _A C_
sein soll. In beliebiger Richtung ist aus _P_ nach der durch _A_
gehenden Wagrechten die Linie _a b_ gezogen, welche, wenn _D_/3 ein
Drittel der Distanz darstellt, = 3 mal _b c_, also = _b d_ ist; _A e_
ist = _A C_, somit ist auch _A D_ = _A C_. Nun ist eine Wagrechte durch
_D_ gezogen und in gleicher Weise zuerst an beliebiger Stelle ein
Dreieck _D m i_ = _D g i_ construiert (_i m_ = 3 mal _i h_), um sodann
_D n_ = _D F_, _D E_ = _D n_ zu machen; _D F_ ist = _A C_, somit ist
_E D_ ebenfalls = _A C_.
§ 79. Kann die Länge einer verkürzten auf eine unverkürzte Wagrechte
übertragen werden und umgekehrt, so ist damit auch das Mittel
gegeben, eine bestimmte Grösse von einer ~Senkrechten~ oder einer
~unverkürzten schrägen~ Linie auf eine verkürzte Wagrechte zu
übertragen und umgekehrt, vgl. Fig. 81, wo die Linien _A D_ und _E D_
= der Senkrechten _A C_ gemacht wurden, oder Fig. 78, wo _A C_ = der
unverkürzten schrägen Linie _A f_ und = der Senkrechten _A g_ ist.
[Illustration: Fig. 82.]
Die Berechnung der perspectivischen Länge einer ~verkürzten schrägen~
Linie ist in Fig. 82 und 83 gezeigt. In beiden Beispielen ist die
Richtung der Linien _c e_ und _b c_, sowie die Länge _b c_ als gegeben
angenommen und soll _c e_ = _b c_ gemacht werden. Es ist zunächst die
Länge _b c_ auf die durch _b_ gehende Wagrechte zu übertragen. In Fig.
82 geht _b c_ nach dem Augpunkt, folglich ist _b g_ die Hälfte von
_b c_. Die von _c_ ausgehende schräge Linie ist bis zu einer in _b_
errichteten Senkrechten verlängert, _b i_ ist = 2 mal _b g_, d. h. =
_b c_, somit ist das Dreieck _b i h_ = _b h c_; _i m_ ist = _b i_ =
_b c_; zieht man eine unverkürzte Wagrechte von _m_ nach _n_ und von
_n_ eine mit _b c_ parallele Linie nach _P_, so ist _c e_ = _i m_ =
_b c_. Eine Senkrechte von _e_ nach _o_, eine Wagrechte von _o_ nach
_k_ und eine Senkrechte von _k_ nach _f_ ergeben _f d_ als die mit
_c e_ parallele Seite.
[Illustration: Fig. 83.]
In Fig. 83 ist zuerst eine Linie von _P_ durch _c_ nach _o_ gezogen;
_c o_ ist = 2 mal _o g_ = _x z_, _x y_ ist = _o b_; folglich ist das
Dreieck _b o c_ = _x y z_ und _b c_ ist = _y z_ = _b i_, das Dreieck
_b i h_ ist = _b h c_ u. s. w.
Ist statt _c e_ die Richtung der Linie _c k_ gegeben und soll auf
leztere die Länge _c b_ übertragen werden, so kann _c p_ = _c b_
gemacht (vgl. Fig. 68) und links von _p s_ ein unverkürztes Dreieck =
_c p s_ gebildet werden; oder kann, wenn der Raum dies nicht gestattet,
_s h_ parallel mit _b p_ gezogen, der Punkt _n_ wie oben bestimmt und
von hier aus mittels _n k_ die schräge Linie _c k_ = _b c_ gemacht
werden.
Eine andere Lösung der Aufgabe wäre die Construction eines Halbkreises
über _b p_, indem alle von diesem nach _c_ gezogenen Linien = _b c_
sein würden.
Das Quadrat in gerader Stellung.
§ 80. Die perspectivische Form eines wagrecht liegenden Quadrats
in gerader Stellung ist gegeben durch den Augpunkt, welcher die
Richtung der beiden verkürzten Seiten bestimmt (§ 32) und durch die
Diagonalpunkte, welche Fluchtpunkte der beiden Diagonalen sind und
hiemit das perspectivische Grössenverhältnis der Seiten zu einander
angeben (§ 74); die Ausführung ist aus § 74--75 und aus Fig. 77--78
ersichtlich.
Auch in diesem Fall kommt es hauptsächlich darauf an, dass die
Entfernung des betreffenden Diagonalpunkts vom Auge, welche
gleichbedeutend ist mit der Distanz, nicht zu klein angenommen werde
(§ 34). Die Folge wäre, dass die verkürzten Seiten zu lang erscheinen
würden im Verhältnis zu den unverkürzten. _E F B D_ Fig. 84 kann
ebensowohl ein Quadrat darstellen, als _E F G H_; der Unterschied ist
nur, dass die leztere Form einen näheren Standpunkt voraussezt als die
erstere. Sobald wir aber die Linie _G H_ näher nach dem Horizont hin
rücken, z. B. nach _m n_, so erscheinen die beiden verkürzten Seiten
länger als die unverkürzten. Denn _P D_/2 ist = _P F_ und 2 mal
_P F_ ist in diesem Fall die kleinste Distanz, welche angenommen werden
kann.
[Illustration: Fig. 84.]
~Es ist daher im allgemeinen darauf zu achten, dass bei der
besprochenen Stellung des Quadrats der Punkt, in welchem eine Linie von
der Mitte der unverkürzten Vorderseite durch eine gegenüberliegende
Ecke nach dem Horizont~ (_A G_ oder _A H_, Fig. 84) ~diesen trifft,
wenigstens ebenso weit vom Augpunkt entfernt sein muss, als dieser von
der entferntesten Ecke des Bildes.~
Das Quadrat in schräger Stellung.
§ 81. Ist die Stellung des Quadrats eine solche, dass die eine
Diagonale eine unverkürzte Wagrechte ist, so steht die andere
rechtwinklig zum Horizont, hat also ihren Fluchtpunkt im Augpunkt und
die Seiten haben dieselbe Stellung, welche im vorhergehenden Fall die
Diagonalen hatten, ihre Fluchtpunkte sind die beiden Diagonalpunkte, s.
Fig. 77. Ist _A D_ in Fig. 84 als erste Seite eines solchen Quadrats
gezeichnet, also angenommen, dass der Fluchtpunkt von _A D_ ein
Diagonalpunkt sei, so ergibt sich _B_ dadurch, dass eine unverkürzte
Wagrechte von _D_ nach rechts, eine Linie von _A_ nach _P_ gezogen und
hierauf _k B_ = _D k_ gemacht wird, der Punkt _C_ durch _P D E_, _A E_
und eine Linie aus _E_ durch die Mitte von _D k_ nach _A P_. Oder man
bildet das einschliessende Quadrat in gerader Stellung und bestimmt in
diesem die Halbierungspunkte der Seiten.
§ 82. Wie die geometrisch gezeichneten Quadrate _a b c d_ und
_e f g h_, Fig. 84 zeigen, entstehen, wenn durch Verbindung der
Halbierungspunkte _a b c d_ ein kleineres Quadrat innerhalb des
grösseren gebildet wird, zwischen beiden 4 gleichschenklige
rechtwinklige Dreiecke von gleicher Grösse: _a f b_, _b g c_ u. s. w.
Wird eine Quadratseite in zwei ungleiche Teile geteilt und dieselbe
Teilung auf den 3 andern Seiten wiederholt, wie in Fig. 85 (_a f_ =
_b g_ = _c h_ = _d e_ und folglich _a e_ = _d h_ u. s. w.), so bilden
die Verbindungslinien der 4 Teilungspunkte, hier _a_, _b_, _c_ und _d_,
gleichfalls ein Quadrat und entstehen wieder 4 rechtwinklige Dreiecke
von gleicher Form und Grösse (_a f b_, _b g c_ u. s. w.) mit dem
Unterschiede, dass dieselben nicht gleichschenklig sind. Zieht man aus
_a_ und _c_ 2 Linien parallel mit _f g_, aus _d_ und _b_ zwei weitere
parallel mit _e f_ je nach der gegenüberliegenden Seite des äusseren
Quadrats, so ist _e m_ = _a f_, _m f_ ist = _a e_ und dieselben
Verhältnisse ergeben sich auf allen 4 Seiten.
[Illustration: Fig. 85.]
Ist nun ein verkürztes Quadrat in gerader Stellung z. B. _E F G H_
Fig. 85, gegeben und in demselben ein Punkt _A_ als vordere Ecke eines
inneren Quadrats, dessen Ecken die Seiten des äusseren berühren sollen,
so wird man _F M_ = _A E_ machen, _M P_ und _A P_ sowie eine Diagonale
des äusseren Quadrats und durch die Schnittpunkte _y_ und _z_ oder _i_
und _k_ zwei Wagrechte ziehen, wodurch sich die Lage der Punkte _B_,
_D_ und _C_ ergibt.
§ 83. Ist _A B_ als Seite eines Quadrats und zweimal _P F_ als Distanz
angenommen, so zieht man eine Wagrechte durch _A_ und eine Linie aus
_P_ durch _B_ nach _F_. Eine Linie aus _D_/3 durch _B_ ergibt _F p_
als ein Drittel von _B F_, _F M_ ist = 3 mal _F p_, also ist _F M_ =
_B F_. Wird nun _A E_ = _F M_ gemacht, so kann _E P_ gezogen und das
äussere Quadrat _E F G H_ entweder durch Verlängerung der Diagonale des
Quadrats _M F B z_ oder durch eine Linie aus _D_/3, nach _s_, d. h. dem
Drittel von _F E_ gebildet werden, worauf man wie oben verfährt.
Oder kann man, nachdem _P F_ gezogen, _F M_ = _B F_ und _A E_ = _F M_
gemacht ist, _E P_ und eine Linie von _D_/3 nach _m_, d. h. einem
Drittel von _A F_ ziehen, wodurch das Quadrat _A F n y_ entsteht. Die
verlängerte _n y_ ergibt den Punkt _D_, die verlängerte Diagonale
_F y_ den Punkt _H_, von wo aus eine Wagrechte die Linie _M P_ in _C_
schneidet.
Die Quadrate _A F n y_ oder _E M k D_, durch welche der Punkt _D_
gegeben ist, lassen sich auch ohne die zweite von _D_/3 nach _s_
gezogene Linie durch Verlängerung der Diagonale _F z_ und die von _A_
und _M_ nach _P_ gezogenen Linien bilden.
§ 84. Die Anwendung des hier beschriebenen Verfahrens kann überhaupt
eine mannigfaltige sein. Wäre statt _A B_ die Linie _A D_ als erste
Seite gegeben, so würde man mittels einer von _D_/3 durch _D_ gezogenen
Linie auf der nach links verlängerten _A E_ ein Drittel von _A D_
erhalten oder zieht man eine Linie aus _D_/3 durch _y_, wo sich _A P_
und die von _D_ nach rechts gehende Wagrechte schneiden, nach _o_, um
_A o_ oder _E o_ als ein Drittel von _E D_ zu bestimmen und somit _E M_
= _E D_ zu erhalten. Hierauf wird _A F_ = _E M_ gemacht und mit der
verlängerten Diagonale des Quadrats _E M k D_, welche von _F P_ in _G_
geschnitten wird, das grössere Quadrat gebildet.
[Illustration: Fig. 86.]
Fig. 86 zeigt dasselbe Verfahren mit etwas veränderter Stellung des
inneren Quadrats. Die Distanz ist = 4 mal _P A_ angenommen, also ist
_B r_ ein Viertel von _B F_; _B m_ ist = 4 mal _B r_, also = _B F_,
folglich ist das verkürzte Dreieck _E B F_ = dem unverkürzten _E B f_.
_A H_ ist = 4 mal _A a_ = _A m_ und = _A h_, folglich ist _A H E_ =
_A h E_ und man sieht deutlich, wie auch die übrigen Linien der zwei
wagrechten Quadrate nach Grösse und Winkelstellung durch die Linien
der senkrecht sich anschliessenden Quadrate _A B c d_ und _E f g h_
geometrisch wiedergegeben sind.
§ 85. Hiemit ist zugleich die genaue Berechnung der perspectivischen
Form eines rechten Winkels in schräger Stellung gegeben, auf welche in
§ 33 verwiesen wurde.
Die Ausführung kann, wenn nur die 2 Linien des rechten Winkels
verlangt sind, in wesentlich vereinfachter Weise stattfinden. Wenn z.
B. in Fig. 86 von _E_ aus eine zu _E F_ rechtwinklige Linie gezeichnet
werden soll, so genügt hiezu eine Linie von _D_/4 durch _F_, wonach
_E A_ = 4 mal _B r_, d. h. = _B F_ zu machen ist, eine zweite Linie
von _A_ nach _P_ und eine dritte von _D_/4, nach _a_, indem _A a_ ein
Viertel von _E B_ und somit _A H_ = _E B_ ist. Ist _E H_ gegeben und
soll eine rechtwinklig dazu stehende Linie gezeichnet werden, so bilde
man das Rechteck _H A E y_, mache _E B_ = _A H_ (= 4 mal _A a_), ziehe
_B P_ und eine Linie von _D_/4 nach _r_. Da _B r_ ein Viertel von _A E_
ist, so ist hiemit _F B_ = _A E_. Welcher Weg im einzelnen Fall der
bequemste, ob der Teildistanzpunkt links oder rechts vom Augpunkt für
die Ausführung geeignet ist, wird man bei einiger Übung leicht erkennen.
Bei der Construction ~senkrecht stehender verkürzter Quadrate~ handelt
es sich nur um die Übertragung eines gegebenen Masses von einer
senkrechten auf eine verkürzte wagrechte Linie oder umgekehrt, worüber
in § 74--78 das Nötige angegeben ist; ebenso ist aus § 78 zu ersehen,
wie ein verkürztes ~schräges Quadrat~ zu zeichnen wäre; doch kommt die
leztere Aufgabe seltener vor.
Vergrösserung oder Verkleinerung eines Quadrats oder Rechtecks.
§ 86. Wenn man in Fig. 87, nachdem _g h i k_ gegeben ist, von _b_ aus
die mit _g h_ und _h i_ parallelen _b f_ und _b e_ zieht, oder wenn
man 4 Punkte der Diagonalen _g i_ und _h k_ durch Linien verbindet,
welche mit den Seiten parallel sind, so entsteht bei _A_ wiederum ein
Quadrat _f b e k_ oder _a b c d_, bei _B_ ein Rechteck _f b e k_ oder
_a b c d_, dessen Seitenpaare dasselbe Verhältnis von 2 : 3 haben,
wie _g h_ und _h i_. Wie auf die gleiche Weise aus einem kleineren
ein grösseres Quadrat oder Rechteck durch Verlängerung der Diagonale
gemacht werden kann, ist hienach leicht zu verstehen.
[Illustration: Fig. 87.]
Aber während in _A_ die Linien des inneren Quadrats _a b c d_ überall
gleich weit von _g h i k_ entfernt sind, ist dies bei den Rechtecken
_a b c d_ und _g h i k_ in _B_ nicht der Fall: der Zwischenraum
zwischen den kürzeren Seiten ist grösser, als zwischen den längeren.
Soll auf einem Wege, der auch bei verkürzter Stellung des Rechtecks
anwendbar wäre, innerhalb _g h i k_ ein (paralleles) Rechteck
gezeichnet werden, so dass die Seiten beider überall gleiche Entfernung
von einander haben, so muss auf einer längeren Seite z. B. auf _g h_
ein Teil = der Länge der kürzeren Seite abgeschnitten, also z. B. _g n_
= _g k_ gemacht und so ein Quadrat _g n m k_ gebildet werden, um dessen
Diagonalen zu dem genannten Zwecke zu benüzen. Soll _f g_ die Breite
des Zwischenraums sein, so wird von _f_ eine mit _g h_ parallele Linie
gezogen, welche die Diagonale _g m_ in _o_ schneidet und hiemit den
Punkt _p_ ergibt. Zieht man nun von _m_ durch den Schnittpunkt der
Diagonalen _g i_ und _h k_ eine Linie nach _s_, so ist _g s_ = _n h_,
_s h_ = _g n_ = _h i_; _s i_ ist somit die Diagonale eines Quadrats =
_g n m k_, und können die Punkte _y_ und _z_ durch die mit _k i_ und
_i h_ parallelen Linien bestimmt werden.
§ 87. Die Construction der verkürzten Quadrate und Rechtecke in Fig.
88 und 89 ist hiemit gegeben. In Fig. 89 dient dieselbe dazu, die 4
Tischbeine an die richtige Stelle zu sezen. Fig. 90 stellt in grösserem
Massstab die Verjüngung der Tischbeine nach unten dar.
[Illustration: Fig. 88.]
[Illustration: Fig. 89.]
[Illustration: Fig. 90.]
Fig. 91 zeigt einen Stuhl ohne Lehne. Der Siz bildet ein Quadrat, die
Punkte _a b c d_, von welchen die Stuhlbeine ausgehen, ergeben sich
daher durch die Diagonalen wie in Fig. 87 _A_ und Fig. 88. Da sie nach
auswärts stehen, so ist senkrecht unter _a b c d_ das Quadrat _e f g h_
gebildet und mittels seiner Diagonalen vergrössert.
[Illustration: Fig. 91.]
Stühle mit Lehnen sind gewöhnlich so geformt, dass der Siz hinten
schmäler ist als vorn. Man kann deshalb, wenn beispielsweise _a b_ Fig.
92 die Vorderseite des Sizes sein soll, zunächst ein Quadrat _a b c d_
bilden, um sodann die Lage der geometrisch gleichweit von _c_ und _d_
entfernten Punkte _e_ und _f_ entweder auf früher beschriebene Weise
oder nach dem Augenmass (_e c_ kleiner als _d f_) zu bestimmen. Für die
Punkte, von welchen die Füsse ausgehen, sind nun die Diagonalen _a e_
und _b f_ massgebend.
[Illustration: Fig. 92.]