Verkürzte Parallellinien.
§ 25. Wenn 2 parallele Linien durch eine Anzahl von Linien verbunden
werden, welche unter sich gleichfalls parallel sind, so sind nach § 1,
Fig. 1 diese Verbindungslinien gleich lang. Haben wir nun parallele
Linien in verkürzter Stellung vor uns, wie die Eisenbahnschienen in
Fig. 20, so befinden sich die Verbindungslinien, hier die Schwellen,
in verschiedener Entfernung vom Auge, sie scheinen daher nach der
Ferne hin immer kleiner zu werden, d. h. der Abstand zwischen den
beiden verkürzten Parallellinien scheint sich zu verkleinern, sie
scheinen näher zusammenzurücken je weiter sie sich von unserem Auge
entfernen und wenn sie sich auf sehr weite Entfernung fortsezen, so
müssen sie schliesslich in Einem Punkte, wie hier in dem Punkte _P_,
zusammentreffen, in welchem sie aufhören sichtbar zu sein.
[Illustration: Fig. 20.]
Man nennt diesen Punkt den ~Fluchtpunkt~ oder ~Verschwindungspunkt~ der
betreffenden Linien.
§ 26. In demselben Punkte, in welchem 2 verkürzte Parallellinien
zusammentreffen, müssen auch alle weiteren mit ihnen parallelen Linien,
wie in Fig. 20 die Linien _a P_, _b P_, _c P_, sich treffen, da der
Zwischenraum zwischen allen in demselben Verhältnis nach der Ferne hin
kleiner wird. Wenn _a b_, _b c_ und _c d_ gleich lang, _a e_ und _d f_
je halb so lang sind als _a b_, so müssen _g h_, _h i_ und _i k_, _m g_
und _k n_ in demselben Verhältnis zu einander stehen, sie werden also
zugleich aufhören, sichtbar zu sein.
Wenn wir solche Linien auch nicht mit dem Auge verfolgen können bis
zu dem Punkte, in welchem sie zusammentreffen würden, sondern sie nur
in kürzerer Ausdehnung vor uns haben, wie die geometrisch parallelen
Linien _a a_ und _b b_ in Fig. 21, so müssen sie stets so gezeichnet
sein, dass der Zwischenraum zwischen ihnen nach der Ferne hin kleiner
wird, so dass sie, von ihrem ferner liegenden Ende aus fortgesezt,
irgendwo in Einem Punkte zusammentreffen würden, d. h. ~verkürzte
Parallellinien müssen die Richtung nach einem gemeinschaftlichen
Fluchtpunkt haben~.
[Illustration: Fig. 21.]
Man vergleiche ausser Fig. 20 und 21 die wagrechten Parallellinien
_a a_, _c c_, _f f_ in Fig. 13 und 14, sämtliche wagrechte Linien in
Fig. 22, die schrägen Parallellinien _n n_ in Fig. 21, _a c_ und _e d_,
_a g_ und _e h_ in Fig. 36, _a_, _b_, _c_ und _d_ Fig. 37 und andere.
[Illustration: Fig. 22.]
§ 27. Sobald wir also 2 verkürzte Parallellinien dieser Regel
entsprechend gezeichnet haben, so ist damit auch die perspectivische
Richtung aller weiteren mit ihnen parallelen Linien gegeben: man
verlängert die zuerst gezeichneten bis zu dem Punkte, in welchem sie
zusammentreffen und zieht nach diesem die übrigen.
Wie zu verfahren ist, wenn ein Fluchtpunkt ausserhalb der Zeichnung
liegt, wie die Fluchtpunkte der Linien _a a_, _b b_, _n n_ in Fig. 21,
wird später gezeigt werden. Häufig kann jedoch die genaue Berechnung
in solchen Fällen dadurch ersezt werden, dass man einen Papierstreifen
an das Zeichenblatt anlegt, um die betreffenden Linien bis zu ihrem
Fluchtpunkt verlängern zu können, oder dass man wie in Fig. 21 und
22 sie wenigstens so weit als der Raum gestattet, fortsezt, da sich,
je länger sie sind, desto deutlicher beurteilen lässt, ob sie die
erforderliche Richtung nach Einem Punkte hin haben.
Verkürzte wagrechte Linien.
§ 28. Wenn wir am Ende eines Zimmers stehend Decke und Fussboden
desselben betrachten, so scheint die erstere nach dem jenseitigen Ende
des Zimmers hin zu fallen, der Boden scheint nach dorthin anzusteigen;
ebenso scheinen alle wagrechten Flächen, welche höher liegen als
unser Auge, nach der Ferne hin zu fallen, tiefer liegende scheinen
zu steigen. Halten wir aber eine Fläche, z. B. ein dünnes Brett, ein
Stück Pappe oder dergl. wagrecht in gleicher Höhe mit unserem Auge vor
uns, so sehen wir weder die untere noch die obere Seite dieser Fläche,
wir sehen sie nur als eine wagrechte Linie, welche, da der Horizont
gleichfalls eine in der Höhe des Auges liegende wagrechte Linie ist,
mit diesem zusammenfällt, vgl. Fig. 22. ~Alle wagrechten Flächen
scheinen sich also nach dem Horizont hin zu neigen.~
Denn alle wagrechten Flächen sind parallel und sind verkürzt. Daher
scheint der Zwischenraum zwischen 2 wagrechten Flächen, z. B. zwischen
Decke und Fussboden, nach der Ferne hin immer kleiner zu werden, sie
scheinen einander näher zu rücken, ebenso wie verkürzte parallele
Linien. Wie diese nach Einem Punkte, so scheinen alle wagrechten
Flächen nach Einer Linie hinzustreben und diese Linie kann nach dem
Gesagten nur der Horizont sein: ~der Horizont ist die gemeinschaftliche
Fluchtlinie oder Verschwindungslinie aller wagrechten Flächen~.
§ 29. Mit den wagrechten Flächen scheinen auch die in ihnen liegenden
verkürzten Linien[5] zu steigen oder zu fallen; jede wagrechte Linie
kann als Teil einer wagrechten Fläche gedacht werden; ~folglich müssen
verkürzte wagrechte Linien, wenn sie tiefer liegen als unser Auge, d.
h. unterhalb des Horizonts, von ihrem näheren nach ihrem entfernteren
Endpunkte zu steigen; wenn sie höher liegen als unser Auge, d. h. über
dem Horizont, so müssen sie nach der Ferne hin fallen; wagrechte Linien
aber, welche mit dem Auge in gleicher Höhe liegen, bleiben wagrecht,
auch wenn sie verkürzt sind~. Mit andern Worten: ~die Fluchtpunkte
aller verkürzten wagrechten Linien liegen im Horizont~; jede muss so
gezeichnet sein, dass sie, von ihrem entfernteren Ende aus verlängert,
in irgend einem Punkte den Horizont trifft und dieser Punkt ist
zugleich der Fluchtpunkt aller mit ihr parallelen Linien; vgl. Fig. 20,
21, 22.
[5]: In einer senkrechten Fläche können sowohl senkrechte als
wagrechte und schräge Linien liegen, in einer schrägen Fläche nur
schräge und wagrechte, in einer wagrechten Fläche nur wagrechte
Linien, vgl. die Flächen _A_, _D_ und _C_, Fig. 19.
Haben wir also wagrechte Parallellinien in verkürzter Stellung zu
zeichnen, so ist, sobald die perspectivische Richtung für eine
derselben bestimmt ist, auch die Richtung der übrigen gegeben: man
verlängert die erstere bis zum Horizont und nach dem Punkte, in welchem
sie ihn trifft, werden die andern gezogen.
§ 30. Die Lage dieser Fluchtpunkte kann nun, wie schon die bisherigen
Beispiele zeigen, eine sehr verschiedene sein. Es entsteht also die
Frage, an welcher Stelle des Horizonts in diesem oder jenem Falle der
Fluchtpunkt einer wagrechten Linie liegen muss, d. h. in welchem Grade
die verschiedenen wagrechten Linien nach dem Horizont hin fallen oder
steigen müssen.
Die allgemeine Regel in dieser Beziehung ist, ~dass der Fluchtpunkt
einer verkürzten wagrechten Linie da liegt, wo eine parallel mit ihr
vom Auge nach dem Horizont gezogene Linie diesen treffen würde~. Denn
verkürzte Parallellinien haben denselben Fluchtpunkt.
Z. B.: _a_, _b_, _c_, _d_, _e_ Fig. 23 sind verkürzte wagrechte Linien,
welche zu der unverkürzten Wagrechten _A B_ verschiedene Winkel bilden.
Der Horizont ist parallel mit den unverkürzten wagrechten Linien
unseres Gegenstandes (§ 22), der Winkel also, in welchem eine verkürzte
wagrechte Linie in Wirklichkeit zu einer unverkürzten Wagrechten steht,
ist derselbe, in welchem sie auch zum Horizont steht. Die geometrische
Stellung der Linien _a_, _b_, _c_, _d_, _e_ zu _A B_ Fig. 23 ist in
Fig. 24 angegeben. Dies ist auch ihre Winkelstellung zum Horizont.
Denken wir uns nun, dass die 5 Stäbe in Wirklichkeit so wie sie hier
gezeichnet sind vor uns liegen und dass parallel mit denselben 5 Linien
von unserem Auge nach dem Horizont gezogen seien, so müssten die
Punkte, in welchen die von unserem Auge ausgehenden Linien den Horizont
treffen, die Fluchtpunkte der 5 Stäbe sein. Wenn man sich hievon eine
deutliche Vorstellung macht, etwa indem man einen langen Stab parallel
mit einer verkürzten Linie des zu zeichnenden Gegenstands vor's Auge
hält, so wird man die Lage ihres Fluchtpunkts annähernd bestimmen
können; man wird z. B. verstehen, dass der Fluchtpunkt von _e_ sehr
weit nach rechts, der Fluchtpunkt von _d_ näher nach dem Augpunkt hin
liegen muss u. s. w.
[Illustration: Fig. 23.]
[Illustration: Fig. 24.]
§ 31. Die Stellung einer Linie zum Horizont ist jedoch immer eine
willkürliche, da die Richtung des lezteren von der zufälligen Wahl
unseres Standpunkts abhängt. ~Wenn wir die Lage des Fluchtpunkts einer
wagrechten Linie genauer berechnen, so geschieht dies nicht, damit
ihre Stellung zum Horizont, sondern damit ihre Stellung zu andern
Linien des Bildes eine richtige Wirkung mache. Nur wo es sich um eine
bestimmte und notwendige Winkelstellung wagrechter Linien zu einander
handelt, bedürfen wir einer genaueren Regel in Betreff der Lage ihrer
Fluchtpunkte und können wir eine solche anwenden.~
Nehmen wir z. B. in Fig. 23 als Fluchtpunkt der Linie _d_ den Punkt
_y_ statt _x_ an, so scheint der Winkel, in welchem _d_ zu _e_ steht,
grösser, ihr Winkel zu _c_ kleiner zu sein, als wenn _x_ Fluchtpunkt
ist. Aber die Winkelstellung dieser Linien zu einander und zu den
übrigen Linien des Gegenstands ist ebenso willkürlich und zufällig, wie
ihre Stellung zum Horizont. Mit blossem Auge würde der Beschauer auch
nicht mit Bestimmtheit zu erkennen vermögen, dass ihre geometrische
Stellung zu _A B_ und zum Horizont oder ihre Stellung zu einander genau
die in Fig. 24 angegebene ist. Also können wir auch die perspectivische
Stellung dieser Linien zum Horizont und zu einander nicht genau
berechnen und ist es für die perspectivische Richtigkeit der Zeichnung
ohne Belang, ob beispielsweise _y_ oder _x_ als Fluchtpunkt der Linie
_d_ angenommen wird.
Ebenso ist in Fig. 14 die Winkelstellung der verkürzten wagrechten
Linien _g_ und _h_, sowie der Linien _a_, _b_, _c_, _d_ zu den übrigen
Linien des Bildes eine willkürliche. Notwendig ist nur, dass _g_ und
_h_, _a_ und _b_, _c_ und _d_ als parallele Linien erscheinen und dass
die Linien _a_, _b_, _c_, _d_ ein Rechteck darstellen. Wir überlassen
es deshalb dem Auge des Zeichners, zuerst die Richtung für eine der
Linien _g_ oder _h_ und für eine Seite des genannten Rechtecks zu
bestimmen, natürlich mit Rücksicht darauf, dass die Fluchtpunkte dieser
Linien im Horizont liegen müssen, da sie geometrisch wagrecht sind.
Aber angenommen, dass _g_ und _a_ die zuerst gezeichneten Linien seien,
so ist damit nicht nur die perspectivische Richtung der mit jenen
parallelen Linien _h_ und _b_, sondern auch der rechtwinklig zu _a_
stehenden Linien _c_ und _d_ gegeben. Für die Lage des Fluchtpunkts
der 2 lezteren sind ebenso wie für die Richtung der verkürzten
Parallellinien bestimmte Regeln massgebend.
Unsere nächste Aufgabe soll demgemäss die Beantwortung der Frage sein,
~welche Stellung in unserer Zeichnung wagrechte Linien zu einander
haben müssen, welche in Wirklichkeit rechtwinklig zu einander stehen~,
wie _a_ und _d_ oder _e_ und _f_ in Fig. 14, mit andern Worten, nach
welcher Regel der Fluchtpunkt einer verkürzten wagrechten Linie zu
bestimmen ist, welche zu einer gegebenen Wagrechten geometrisch
rechtwinklig steht.
Rechtwinklige wagrechte Linien.
§ 32. Man unterscheidet die ~gerade Ansicht eines rechten Winkels,
Rechtecks oder Quadrats~, d. i. wenn nur eine der beiden Linien, welche
einen rechten Winkel bilden, verkürzt, die andere aber unverkürzt ist,
wie _A B_ und _B C_ oder _A D_ und _D C_ in Fig. 25 und die ~schräge
Ansicht~, d. i. wenn beide Schenkel des Winkels verkürzt sind, wie
_a b_ und _b c_ oder _a d_ und _d c_. Der Ausdruck »schräg« bezieht
sich also in diesem Zusammenhang auf die Stellung wagrechter Linien zum
Auge oder zum Horizont.
[Illustration: Fig. 25.]
In § 12 Fig. 15 und 16 wurde gezeigt, dass eine vom Auge nach dem
Augpunkt gezogene Linie einen rechten Winkel zum Horizont bilden würde,
d. h. mit andern Worten: ~wenn wir uns eine Linie von unserem Auge nach
dem Horizont gezogen denken, so dass sie rechtwinklig zu diesem steht,
so trifft sie den Augpunkt, der Augpunkt ist ihr Fluchtpunkt~.
Steht nun eine verkürzte wagrechte Linie geometrisch rechtwinklig zu
einer unverkürzten Wagrechten, wie in Fig. 25 _A D_ oder _B C_ zu
_C D_, so steht sie auch zum Horizont in einem rechten Winkel, sie ist
also parallel mit einer von unserem Auge nach dem Augpunkt gehenden
Linie und muss mit dieser denselben Fluchtpunkt haben.
~Also ist der Augpunkt der Fluchtpunkt aller verkürzten wagrechten
Linien, welche zu einer unverkürzten Wagrechten (zum Horizont)
geometrisch rechtwinklig stehen~ oder welche, wie man häufig sagt, sich
in gerader Linie von uns entfernen. Vgl. in Fig. 14 die Linien _f_,
_f_, in Fig. 20 _a P_, _b P_, _c P_ u. s. w.
§ 33. Sind beide Linien, welche den rechten Winkel bilden, verkürzt,
wie in dem Rechteck _a b c d_ Fig. 25, so ist die Frage, wie gross die
Entfernung der beiden Fluchtpunkte von einander, d. h. das Stück des
Horizonts, welches zwischen beiden liegt, sein muss. Denn je nachdem
der Winkel, in welchem 2 verkürzte Linien zu einander stehen, grösser
oder kleiner ist, wird auch die Entfernung ihrer beiden Fluchtpunkte
eine grössere oder kleinere sein und umgekehrt, wie aus § 31 Fig. 23 zu
ersehen ist.
[Illustration: Fig. 26.]
Ausser der geometrischen Grösse des betreffenden Winkels ist jedoch
auch die Grösse der Distanz von Einfluss auf den Abstand der
Fluchtpunkte seiner beiden Schenkel. Eine vom Auge nach dem Horizont
gezogene Linie, welche zu diesem rechtwinklig steht, trifft immer den
Augpunkt und so kann auch die verkürzte Seite eines rechten Winkels in
gerader Ansicht nur im Augpunkt ihren Fluchtpunkt haben, gleichviel,
ob unsere Distanz grösser oder kleiner ist. Steht aber eine verkürzte
Wagrechte in einem beliebigen andern Winkel zum Horizont oder zu einer
unverkürzten Wagrechten, so liegt der Punkt, in welchem eine parallel
mit ihr d. h. in demselben Winkel vom Auge nach dem Horizont gezogene
Linie diesen treffen würde, näher am Augpunkt oder entfernter von ihm,
je nachdem die Entfernung des Auges vom Augpunkt grösser oder kleiner
ist. Dieselbe Linie, welche in Fig. 26 von _a_ aus gezogen die Linie
_m n_ in _z_ trifft, trifft sie von _b_ aus in _p_, von _c_ aus in
_n_ u. s. w. Und wenn wir 2 verkürzte wagrechte Linien vor uns haben,
welche in Wirklichkeit rechtwinklig (oder in einem beliebigen Winkel)
zu einander stehen, so werden die 2 Punkte, in welchen 2 parallel mit
ihnen vom Auge ausgehende Linien den Horizont treffen, desto näher
beisammen liegen, je kleiner die Distanz ist und desto weiter von
einander entfernt sein, je grösser dieselbe ist, wie Fig. 26 deutlich
zeigt: _o p_ ist grösser als _y z_, _m n_ grösser als _o p_.
[Illustration: Fig. 27.]
Demnach kann der Abstand der beiden Fluchtpunkte eines rechten Winkels
in schräger Ansicht ein sehr verschiedener sein. So zeigt Fig. 27
zwei verschiedene Ansichten eines Rechtecks, welche es in derselben
Stellung, aus derselben Höhe und Richtung, aber aus verschiedener
Entfernung gezeichnet darstellen. Mit zunehmender Distanz erscheint
nicht nur das Ganze kleiner, sondern auch die Form der rechten Winkel
wird eine verschiedene: da mit der Distanz die Entfernung der beiden
Fluchtpunkte von einander zunimmt, so erscheinen die Seitenwinkel
bei _b_ und _d_ in _B_ spizer, der Winkel bei _a_ und _c_ erscheint
stumpfer als in _A_.
Natürlich ist die Wirkung dieselbe, wenn wir, statt die Entfernung
unseres Standpunkts zu verändern, den betreffenden Gegenstand näher
oder ferner rücken, vgl. Fig. 29.
Es muss daher die genaue Grösse der für eine Zeichnung angenommenen
Distanz mittels eines Distanzpunkts angegeben und dieser zu Hilfe
genommen werden, wenn der Abstand jener 2 Fluchtpunkte von einander
genau berechnet werden soll. Wie lezteres geschehen kann, ist in §
81--85 gezeigt. Da jedoch die Grösse der vom Zeichner angenommenen
Distanz mit blossem Auge aus den Linien einer Zeichnung nicht zu
ersehen ist, so kann gewöhnlich diese genauere Berechnung entbehrt und
durch Beobachtung der nachfolgenden Regel ersezt werden.
§ 34. ~Überall, wo die Grösse der Distanz von wesentlichem Einfluss ist
auf die perspectivische Form, kommt es hauptsächlich darauf an, die
falsche Wirkung zu vermeiden, welche aus einer zu klein angenommenen
Distanz entsteht. Bei Darstellung eines rechten Winkels in schräger
Ansicht entsteht diese falsche Wirkung, wenn die Entfernung der beiden
Fluchtpunkte von einander zu klein ist.~
[Illustration: Fig. 28.]
Betrachten wir in Fig. 28 _D_ als unser Auge, _P_ als Augpunkt, so
bezeichnet die Linie _D P_ die Grösse der Distanz. Ziehen wir nun (mit
Hilfe des Winkels Fig. 9) von _D_ aus in verschiedener Richtung je 2
rechtwinklig zu einander stehende Linien nach der durch _P_ gehenden
Wagrechten d. h. nach dem Horizont, z. B. _D c_ und _D d_, _D a_ und
_D b_, _D Dg_ und _D Dp_, so ergibt sich, dass die 2 Punkte, in welchen
die verschiedenen Linienpaare den Horizont treffen, dann den geringsten
Abstand von einander haben, wenn sich die beiden Linien in der Stellung
zum Horizont befinden, welche _D Dg_ und _D Dp_ zeigen. Diese stehen
zum Horizont, wie die Diagonalen eines Quadrats zu dessen Seiten, wie
_m n_ und _m o_ zu _o n_, d. h. beide stehen in einem halben rechten
Winkel zum Horizont. _Dg_ und _Dp_ sind Diagonalpunkte: ihre Entfernung
vom Augpunkt ist gleich der Distanz und ihre Entfernung von einander
doppelt so gross als die Distanz, _Dg--Dp_ ist gleich 2 mal _Dp_.
Bei jeder andern Stellung der beiden Linien zum Horizont ist der
Abstand jener beiden Punkte ein grösserer und er wird immer grösser, je
ungleicher die Stellung der beiden Linien zum Horizont ist: _c d_ ist
grösser als _Dp--Dg_, _a b_ grösser als _c d_ u. s. w.
§ 35. Hieraus folgt, ~dass die 2 Fluchtpunkte eines rechten Winkels in
schräger Ansicht wenigstens so weit von einander entfernt sein müssen,
dass der zwischen ihnen liegende Teil des Horizonts doppelt so gross
ist, als die Distanz~. Diese muss nach § 18 wenigstens doppelt so gross
sein, als eine Diagonale des Bildes, oder als eine Linie vom Augpunkt
nach dem von ihm entferntesten Punkte, ~also muss, wenn beide Schenkel
eines aus 2 wagrechten Linien bestehenden rechten Winkels verkürzt
sind, die Entfernung ihrer Fluchtpunkte von einander wenigstens 4
mal so gross sein, als eine Linie vom Augpunkt nach dem von ihm
entferntesten Punkte der Zeichnung~. Z. B. in Fig. 31 müssen, wenn
_A B_ und _A C_ geometrisch rechtwinklige Linien sind, _P_ Augpunkt
und _f_ die von _P_ entfernteste Ecke des Bildes ist, die Fluchtpunkte
der beiden genannten Linien einen Abstand von einander haben, der
wenigstens = 4 mal _P f_ ist.
Kommen in demselben Bilde verschiedene rechte Winkel in schräger
Stellung vor, so müssen sie selbstverständlich in übereinstimmender
Weise behandelt, d. h. es muss überall dieselbe Distanz zu Grunde
gelegt werden.
Die falsche Wirkung, welche entsteht, wenn gegen jene Regel gefehlt
wird, zeigt Fig. 29. Die Entfernung der beiden Fluchtpunkte von
einander ist = 4 mal _P f_; daher wirken alle rechten Winkel, welche
innerhalb der Kreislinie _f f_ liegen, perspectivisch richtig, aber die
Winkel bei _m_, _n_ und _o_ können nicht mehr als rechte Winkel gelten.
[Illustration: Fig. 29.]
Andererseits zeigt Fig. 25, dass dem Zeichner innerhalb der angegebenen
Grenze einige Freiheit gestattet ist: _a b e f_ wird auch dem
geübtesten Auge ebenso als richtiges Bild eines Rechtecks erscheinen,
wie _a b c d_.
§ 36. Allerdings ist nicht sofort ersichtlich, wie gross die Entfernung
der beiden Fluchtpunkte ist oder sein muss, da niemals beide
innerhalb der Zeichnung, häufig dagegen weit ausserhalb derselben
liegen. Will man sich nicht mit der Aushilfe begnügen, welche § 27 in
Betreff entfernter Fluchtpunkte angegeben wurde, so ist in Fig. 30
eine genauere Berechnung gezeigt. _A B_ und _A C_ seien 2 verkürzte
wagrechte Linien. Eine von _A_ zum Horizont gezogene Senkrechte _A P_
ist in 4 gleiche Teile geteilt und vom oberen Teilungspunkt _a_ sind
2 Linien _a b_ und _a c_ geometrisch parallel mit _A B_ und _A C_
gezogen, indem an beliebigen Punkten der lezteren Linien z. B. in _D_
und _E_ 2 Senkrechte errichtet und _D d_ und _E e_ = _A a_ gemacht
wurden. _c b_ kann nun als ein Viertel des Abstandes betrachtet werden,
welchen die Fluchtpunkte der Linien _A B_ und _A C_ von einander haben
und es lässt sich hienach bemessen, ob derselbe hinreichend gross ist.
Wäre z. B. _f_ der von _P_ entfernteste Punkt der Zeichnung, so dürften
die beiden Linien _A B_ und _B C_ nicht stärker als hier der Fall ist
gegen einander geneigt sein, der Abstand ihrer Fluchtpunkte dürfte
nicht kleiner sein als 4 mal _c b_; denn _c b_ ist = _P f_.
[Illustration: Fig. 30.]
Oder: wenn _A B_ als erste Linie gezeichnet ist, so muss, nachdem
_a b_ parallel mit _A B_ gezogen und _b c_ = _P f_ gemacht ist, die
zweite von _A_ ausgehende Linie entweder parallel mit _a c_ oder nach
einem ferner liegenden Fluchtpunkt gerichtet sein, d. h. eine flachere
Richtung haben, als _A C_.
Würden bei einer Vierteilung der erstgenannten Senkrechten nicht beide
den Punkten _b_ und _c_ entsprechenden Punkte innerhalb der Zeichnung
fallen, so halbiere man das dem Horizont zunächst liegende Viertel und
ziehe von hier aus die beiden Linien nach dem Horizont, also _i g_ und
_i k_ statt _a b_ und _a c_. Die Punkte, wo sie den Horizont treffen,
hier _g_ und _k_, müssen in diesem Fall einen Abstand haben, der
wenigstens halb so gross ist, als eine Linie vom Augpunkt nach dem von
ihm entferntesten Punkte.
Verkürzte wagrechte Linien, deren Richtung nicht genau zu berechnen ist.
§ 37. Wo die perspectivische Richtung einer verkürzten wagrechten Linie
ohne genauere Berechnung gefunden werden muss, bietet die Vergleichung
mit einer unverkürzten Wagrechten das beste Mittel, um den Grad, in
welchem jene nach dem Horizont hin fallen oder steigen muss, richtig
zu beurteilen. Man halte zu diesem Zweck den Rand des Zeichenblattes,
ein Lineal oder dergl. in der Richtung einer unverkürzten Wagrechten so
zwischen Auge und Gegenstand, dass ein Endpunkt der verkürzten Linie,
welche man zeichnen will, davon durchschnitten wird, wie in Fig. 34 der
Punkt _a_ von der Linie _e f_. Übrigens ist auch die perspectivische
Länge einer verkürzten Linie von wesentlichem Einfluss auf die richtige
oder unrichtige Wirkung ihrer perspectivischen Richtung. Je weniger die
Stellung einer verkürzten Wagrechten zum Horizont von der Richtung des
lezteren abweicht, desto weniger verändert sich ihr Grössenverhältnis
zu andern Linien; je mehr sie der rechtwinkligen Stellung zum
Horizont, ihr Fluchtpunkt dem Augpunkt sich nähert, desto kürzer
scheint sie zu werden, vgl. Fig. 23. Es kommt nun häufig vor, dass die
perspectivische Richtung verkürzter Linien, wenn sie ganz der Regel
entsprechend angegeben ist, dennoch eine falsche Wirkung macht, weil
ihr perspectivisches Grössenverhältnis verfehlt ist und zwar geschieht
dies gewöhnlich in der Weise, dass sie zu lang gezeichnet wird (vgl. §
7).
Wagrechte Parallellinien, deren Fluchtpunkt unzugänglich ist.
[Illustration: Fig. 31.]
§ 38. In Fig. 31--33 ist gezeigt, wie die Richtung verkürzter
wagrechter Parallellinien, deren Fluchtpunkt nicht erreichbar ist,
genau berechnet werden kann. Es seien in Fig. 31 gegeben die Wagrechten
_A B_ und _A C_ sowie die Senkrechten _A D_ und _C E_ und sollen von
_D_ und _E_ Linien parallel mit _A B_, von _D_ und _B_ 2 weitere
parallel mit _A C_ gezeichnet werden. Man bilde über _A B_ mit der
Horizontlinie und einer in _B_ errichteten Senkrechten das Rechteck
_A B b P_ und errichte in _i_, dem Schnittpunkt seiner Diagonalen, eine
Senkrechte, ziehe hierauf eine Linie von _D_ nach _b_ und von _P_ durch
den Punkt _k_, in welchem _D b_ jene Senkrechte schneidet, eine Linie
nach der verlängerten _B b_, so ist _D G_ perspectivisch parallel mit
_A B_.
Ebenso ist auf der andern Seite durch die Diagonalen des Rechtecks
_A C c P_ dessen perspectivischer Mittelpunkt gefunden und eine in
diesem errichtete Senkrechte benüzt, um die Lage des Punktes _d_ und
hiemit die Richtung der mit _A C_ parallelen Linie _D d_ zu bestimmen.
Um von _E_ eine mit _A B_ parallele Linie zu zeichnen, kann leztere bis
zu der durch _E_ gehenden Senkrechten also bis _s_ verlängert und die
perspectivische Mittellinie des Rechtecks _s A P c_ wie oben benüzt
werden, um den Punkt _t_ zu erhalten. Oder kann seitwärts ein Rechteck
_s o H c_ gebildet, mittels seiner senkrechten Halbierungslinie oben
der Punkt _e_ gefunden und hierauf _e E_ nach rechts verlängert werden.
Wie auf gleiche Weise die mit _A C_ parallele Richtung der von _B_
ausgehenden Linie _B g_ und damit _B r_ mittels der Halbierungslinie
eines Rechtecks _b a f h_ gefunden wird, ist aus den Linien der Figur
zu ersehen. Statt der Linie _A C_ könnte auch eine andere mit ihr
parallele Linie z. B. _d D_ verlängert und durch die Diagonalen _y h_
und _z b_ die Mittellinie von _b h z y_ gefunden werden.
Um schliesslich den Punkt _F_ zu erhalten, kann von _C_ eine mit _A B_
parallele Linie gezeichnet und in dem Punkte _r_, in welchem sie die
verlängerte _B g_ trifft, eine Senkrechte errichtet werden, welche die
parallel mit _A B_ von _E_ ausgehende Linie in _F_ schneidet.
Ist so das schräg liegende Rechteck _E D G F_ gegeben, so lässt sich
die schräge Mittellinie desselben (welche sich durch Verbindung des
perspectivischen Halbierungspunktes von _D G_ mit dem Schnittpunkt der
Diagonalen _D F_ und _E G_ ergibt) verwenden, um von einem beliebigen
Punkte der Linien _D E_ oder _G F_ eine mit _D G_ parallele Linie zu
ziehen, z. B. _m n_.
§ 39. In Fig. 32 sollen, nachdem _A B_ und _A C_ als Seiten eines
Rechtecks gegeben sind, die beiden andern Seiten gezeichnet werden. Da
der Raum nicht gestattet, die genannten Linien wie in Fig. 31 bis zu
den 2 von _C_ und _B_ abwärts gezogenen Senkrechten zu verlangen, so
sind _A a_, _B b_ und _C c_ halbiert und durch die Halbierungspunkte
die Linien _g f e_ und _h f k_ gezogen, welche perspectivisch parallel
sind mit _A B_ und _A C_. Entsprechend § 38 ist nun eine Senkrechte
durch _i_, den Schnittpunkt der Diagonalen _a e_ und _c f_ gezogen,
welche von der Linie _f C_ in _m_ geschnitten wird. Eine Linie von
_e_ durch _m_ ergibt auf der Senkrechten _A a_ den Punkt _p_ und die
mit _A B_ parallele Richtung _C p_. In gleicher Weise ist die mit
_A C_ parallele Richtung _B o_ durch die senkrechte Mittellinie des
Rechtecks _a b k f_ gefunden; statt dessen könnte auch, wie die Figur
zeigt, ein seitwärts gebildetes Rechteck zu demselben Zweck verwendet
werden.
[Illustration: Fig. 32.]
Bequemer wäre jedoch in diesem Fall das in Fig. 33 angewendete
Verfahren, wo gleichfalls _A B_ und _A C_ die gegebenen Seiten eines zu
bildenden Rechtecks sein sollen.
[Illustration: Fig. 33.]
Wenn in einem von 6 Quadraten oder Rechtecken umschlossenen Raume
zwischen 2 entgegengesezten Ecken Diagonallinien gezogen werden, wie
in Fig. 40 die Linien _a b_ und _B c_, so schneiden sich dieselben in
der Mitte jenes Raums: _p_ Fig. 40 ist die Mitte von _A B b C c a G h_.
Eine durch _p_ gezogene Senkrechte trifft also die Rechtecke _a G h c_
und _A B b C_ in dem Durchschnittspunkt ihrer Diagonalen. Ziehen wir
nun in Fig. 33 von _A_, _B_ und _C_ bis zum Horizont die Senkrechten
_A a_, _B b_ und _C c_, so entsprechen die Linien _B c_ und _C b_,
welche sich in _e_ schneiden, den Diagonalen _B c_ und _a b_ Fig.
40 und eine von _e_ abwärts gezogene Senkrechte ergibt _o_ als
perspectivische Mitte der Diagonale _C B_. Die Diagonalen _A b_ und
_a B_ schneiden sich in _k_, _A c_ und _a C_ in _i_; _g_ und _m_ sind
also die perspectivischen Halbierungspunkte von _A B_ und _A C_; _z_
ist Fluchtpunkt der Diagonale _A o_ und folglich auch der von _g_ nach
der Mitte von _B D_ gehenden Linie, da beide geometrisch parallel sind.
_g z_ und die verlängerte _m o_ schneiden sich in _n_, _A z_ und die
verlängerte _B n_ in _D_, womit die Form des Rechtecks gegeben ist.
Die verlängerten Mittellinien _m n_ und _g o_ können sodann benüzt
werden, um entsprechend Fig. 31 und 32 weitere mit _A B_ und _A C_
parallele Linien zu ziehen. Soll z. B. von _d_ nach links eine
mit _A C_ parallele Linie gezeichnet werden, so schneidet man die
verlängerte _m n_ durch _D d_ in _p_ und zieht von _B_ durch _p_ eine
Linie nach _f_; _d f_ ist somit parallel mit _A C_ und _B D_.
§ 40. Muss eine grössere Anzahl von Parallellinien, deren Fluchtpunkt
unzugänglich ist, gezeichnet werden, so würde es zu umständlich
sein, jede einzelne genau zu berechnen. Man kann sich in diesem Fall
begnügen, einige in passenden Zwischenräumen zu konstruieren, um mit
Hilfe derselben ohne weitere Berechnung die übrigen zu zeichnen. So
können in Fig. 21, wenn die Richtung _c d_ gegeben ist, mittels der
senkrechten Halbierungslinie von _c d e f_ die von _g_, _h_ und _i_
ausgehenden Parallellinien genau berechnet und sodann die zwischen
ihnen liegenden ohne weitere Berechnung gezeichnet werden.
Oder können von 2 beliebigen Punkten der zuerst gezeichneten
Wagrechten 2 Senkrechte bis zum Horizont gezogen und beide in eine
gleiche Zahl von gleich grossen Teilen geteilt werden wie in Fig.
30 _A P_, _B G_ und _C F_ in je 4 Teile geteilt sind. Durch die
Verbindung der entsprechenden Teilungspunkte erhält man perspectivische
Parallellinien, zwischen welchen dann weitere gezogen werden können,
vgl. Fig. 75 die Teilung von _A D_ und _B C_ in je 9 Teile. Je nach
Bedürfnis kann sodann dieselbe Einteilung nach oben oder unten in der
Verlängerung jener Senkrechten fortgesezt werden.
Ein weiteres Verfahren, die Richtung verkürzter Parallellinien ohne
Hilfe ihres Fluchtpunkts zu bestimmen, ist in § 70 angegeben.
Verkürzte schräge Linien.
§ 41. In Fig. 36 ist _a c_ eine nach der Ferne hin steigende, _a g_
eine dorthin fallende Linie. (Wenn im Folgenden von fallenden oder
steigenden Linien die Rede ist, so sind immer Linien gemeint, welche
in ~Wirklichkeit~ oder geometrisch nach der Ferne hin fallen oder
steigen). Bilden wir das Massdreieck dieser Linien (vgl. § 23) mittels
der Wagrechten _a b_ und der 2 Senkrechten _b c_ und _b g_, so ist
klar, dass eine steigende Linie wie _a c_, soweit man sie verlängern
mag, niemals einen Punkt treffen kann, der unterhalb der wagrechten
Linie ihres Massdreiecks oder deren Verlängerung liegt und ebenso wenig
eine fallende Linie wie _a g_ einen Punkt, der über jener Wagrechten
liegt.
~Also liegt der Fluchtpunkt einer verkürzten schrägen Linie oberhalb
des Horizonts, wenn sie nach der Ferne hin steigt, unterhalb des
Horizonts, wenn sie nach der Ferne hin fällt~; vgl. die steigenden und
fallenden Linien in Fig. 37.
§ 42. Es kann vorkommen, dass gemäss dieser Regel eine steigende
Linie so gezeichnet werden muss, dass ihr fernerer Endpunkt tiefer
liegt als der nähere, vgl. _a c_ Fig. 34. Häufiger ist der umgekehrte
Fall, dass Linien, welche in Wirklichkeit nach der Ferne hin fallen,
perspectivisch nach dorthin steigen, wie _a b_ und _c d_ Fig. 35.
[Illustration: Fig. 34.]
In solchen Fällen ist es nötig, durch Hervorheben von geometrisch
wagrechten Linien der nächsten Umgebung, welche zu den betreffenden
schrägen Linien einen sichtbaren Gegensaz bilden, die Wirkung der
lezteren zu unterstüzen, damit sie mit hinreichender Deutlichkeit
das ausdrücken, was sie sein sollen. In Fig. 34 sind es z. B. die
Balken der rechten Seite, in Fig. 35 die wagrechten Fugenlinien der
anstossenden Mauer, welche es dem Beschauer deutlich machen, dass _a c_
dort eine in Wirklichkeit von _a_ nach _c_ steigende, _a b_ in Fig. 35
eine nach _b_ fallende Linie ist.
[Illustration: Fig. 35.]
§ 43. In Fig. 36 sind _a b_ und _e f_ wagrechte Parallellinien, ebenso
_a e_, _b f_ und _c d_; _a c_ und _e d_ sind schräge Parallellinien.
Wenn zwischen parallelen Linien Verbindungslinien liegen, welche
unter sich gleichfalls parallel sind, so sind leztere gleich lang (§
1, Fig. 1); also sind _a e_, _b f_ und _c d_ gleich lang, d. h. die
Entfernung der schrägen Parallellinien _a c_ und _e d_ und diejenige
der wagrechten _a b_ und _e f_ von einander ist gleich gross. Da der
Abstand dieser Parallellinien von einander nach der Ferne hin in
gleichem Masse kleiner zu werden scheint, d. h. in gleicher Tiefe immer
wieder derselbe ist -- _m n_ ist = _o p_ u. s. w. -- so müssen beide in
gleicher Tiefe zusammentreffen, d. h. ihre Fluchtpunkte müssen in Einer
senkrechten Linie liegen, wie Fig. 36 deutlich zeigt.
[Illustration: Fig. 36.]
Dasselbe gilt selbstverständlich für die fallenden Linien _a g_ und
_e h_. Mit andern Worten: ~der Fluchtpunkt einer verkürzten schrägen
Linie liegt senkrecht über oder unter dem Fluchtpunkt der wagrechten
Linie ihres Massdreiecks~.
So liegt in Fig. 37 der Fluchtpunkt der Linien _a_, _b_, _c_ und _d_
senkrecht über _n_, der Fluchtpunkt der Linien _g_ und _i_ senkrecht
unter _n_, die Fluchtpunkte von _e_, _f_ und _k_ liegen in einer
Senkrechten, welche durch den Fluchtpunkt der Wagrechten _o_ und _p_
geht.
Ist demnach _a c_ Fig. 36 als Richtung einer schrägen Linie, _a b_ als
Richtung der wagrechten Linie ihres Massdreiecks angenommen, so ist
auch die perspectivische Richtung aller mit _a c_ parallelen Linien
gegeben, indem _a b_ bis zum Horizont, _a c_ bis zu der senkrechten
durch den Fluchtpunkt von _a b_ gehenden Linie verlängert und so der
die Richtung der parallelen Linien bestimmende Fluchtpunkt gefunden
wird.
§ 44. ~Befinden sich in einer verkürzten senkrechten Fläche steigende
und fallende Linien, welche in Wirklichkeit denselben Neigungswinkel
haben, so liegen ihre Fluchtpunkte in gleicher Entfernung vom Horizont.~
Solche Linien sind z. B. _a c_ und _a g_ Fig. 36; _a_ und _g_, _d_
und _i_, _f_ und _k_ Fig. 37. In Fig. 36 ist _a c g_ in Wirklichkeit
ein gleichschenkliges Dreieck, also muss eine von seiner Spize _a_
nach der Grundlinie _c g_ gezogene Wagrechte die leztere in ihrem
Halbierungspunkt _b_ treffen; werden _a c_ und _a g_ verlängert und
an beliebiger Stelle durch eine Senkrechte _s m_ verbunden, so wird
leztere durch die verlängerte _a b_ gleichfalls halbiert, also muss
auch _z_, der Fluchtpunkt von _a b_, in der Mitte liegen zwischen _x_
und _y_, den Fluchtpunkten von _a g_ und _a c_.
[Illustration: Fig. 37.]
In Fig. 37 ist _h h_ parallel mit _i i_ (da beide denselben Fluchtpunkt
haben) und die Senkrechte _y z_ wird von der Wagrechten _m n_ in der
Mitte durchschnitten. Ebenso muss _n_ in der Mitte liegen zwischen
den Fluchtpunkten der Linien _h_, _i_, _g_ und _c_, _d_, _a_; die
Fluchtpunkte von _e_, _f_ und _k_ müssen gleich weit entfernt sein vom
Fluchtpunkt der Wagrechten _o_ und _p_.
Berechnung der Richtung schräger Linien ohne Hilfe ihrer Fluchtpunkte.
§ 45. Man bedient sich jedoch, um die Richtung verkürzter schräger
Linien zu berechnen, selten ihrer Fluchtpunkte, da dieselben in den
meisten Fällen ausserhalb der Zeichenfläche liegen. Den nächstliegenden
Ersaz bietet die senkrechte und wagrechte Linie ihres Massdreiecks. Ist
Richtung und Länge der wagrechten sowie die Höhe der senkrechten Linie
eines solchen Dreiecks gegeben oder leicht zu berechnen, so ist damit
auch die Richtung (und Länge) der betreffenden schrägen Linien gefunden.
Nehmen wir z. B. an, dass in Fig. 38 die Linie _A C_ gegeben sei und
darüber ein Giebel von beliebiger Höhe, dessen 2 Seiten mit _A C_
in Wirklichkeit ein gleichschenkliges Dreieck bilden, gezeichnet
werden soll, so kann _k_ als perspectivische Mitte von _A C_ durch
die Diagonalen eines Rechtecks _A C E D_ oder _A C g f_ gefunden und
in _k_ eine Senkrechte errichtet werden, in welcher die Spize des
Giebeldreiecks liegen muss. -- Ist das Dreieck _A B k_ gegeben, so dass
der Punkt _C_ bestimmt werden muss, so bildet man mit _A k_ und einer
beliebigen Parallellinie, z. B. _i D_, ein Rechteck _A k i D_ und zieht
eine Linie von _D_ durch die Mitte von _i k_ nach der verlängerten
_A k_, wodurch _C k_ = _A k_ gemacht ist.
[Illustration: Fig. 38.]
Soll, nachdem _D F_ und _D E_ gegeben sind, von _E_ abwärts eine Linie
gezeichnet werden, welche denselben Neigungswinkel hat, wie _D F_, so
wird leztere verlängert bis _e_, wo sie die senkrechte Mittellinie
trifft und von _e_ durch _E_ die Linie _E G_ gezogen. -- Oder kann
von _F_ eine mit _D E_ parallele Linie nach links und die senkrechte
Mittellinie von _E D f g_ gezogen, die von _y_ nach _H H_ gehende
Senkrechte halbiert und hierauf durch eine Linie von _r_ durch diesen
Halbierungspunkt der Punkt _G_ bestimmt werden.
§ 46. In Fig. 39 ist angenommen, dass die perspectivische Richtung
und Länge der Linien _A B_ und _A C_, die Höhe _A a_ und die Breite
_a c_ bestimmt seien, womit auch die Richtung der schrägen Linie
_A c_ gegeben ist, in welcher die inneren Ecken der Stufen liegen
müssen; die äusseren Ecken liegen in einer mit _A c_ parallel von _a_
ausgehenden Linie, deren Richtung gefunden wird, indem man _c d_ =
_b c_ macht. Eine Linie von _d_ nach dem Fluchtpunkt von _A C_ ergibt
_e_, eine Senkrechte von hier den Punkt _f_. Bildet man hierauf das
Rechteck _A C h g_, so kann mittels seiner Diagonalen _m n_ als
senkrechte Mittellinie gefunden werden; _C m n_ ist demnach = _A m n_
und die Ecken der ferneren Stufen können durch die von _a_ und _k_
nach dem Fluchtpunkt von _A C_ gezogenen Linien und die entsprechenden
Senkrechten gefunden werden. (Übrigens kann dieselbe Aufgabe auch ohne
Hilfe der zweiten schrägen Linie gelöst werden: man macht _a k_ und
_k g_ = _A a_, zieht von diesen Punkten aus die mit _A C_ parallelen
Linien und erhält die Punkte _d_ und _f_ durch die in _c_ und _e_
errichteten Senkrechten.) Die übrigen Linien der Figur sind teils
senkrecht, teils sind sie parallel mit _A C_ oder mit _A B_.
[Illustration: Fig. 39.]
§ 47. Ein Beispiel, wie die Richtung verkürzter schräger Parallellinien
ohne Hilfe ihres Fluchtpunkts berechnet werden kann, ist auch in Fig.
31 enthalten, wo, um den Punkt _F_ zu finden, _B r_ und _C r_ gezogen
und in _r_ eine Senkrechte errichtet wurde, welche auf der von _E_
ausgehenden Wagrechten den Punkt _F_ und hiemit die mit _D E_ parallele
Richtung der Linie _G F_ ergibt. Auf dieselbe Weise kann in Fig. 40,
wenn das Dreieck _A B D_ und die Wagrechte _A C_ gegeben sind, die
Richtung der mit _A D_ parallelen Linie _C E_ berechnet werden, indem
man von _C_ eine mit _A B_, von _d_ und _D_ zwei mit _A C_ parallele
Linien zieht und in _e_ eine Senkrechte errichtet. Ebenso kann _F n_
gefunden werden durch die Linien _F m_ und _m n_.
[Illustration: Fig. 40.]
In Fig. 38 kann von _p_ aus eine Linie parallel mit _A B_ gezeichnet
werden mittels der Linien _k x_, _p x_ und einer in _x_ errichteten
Senkrechten. Oder kann man in _A_ und _p_ 2 Senkrechte errichten,
_B b_ parallel mit _A C_, _b o_ parallel mit _A p_ ziehen und hierauf
durch eine weitere mit _A C_ parallele Linie von _o_ aus den Punkt _n_
bestimmen.
Soll von _D_ aus abwärts eine mit _A B_ parallele Linie gezeichnet
werden, so kann durch die Verlängerung von _A B_, _A C_ und _D E_ ein
Dreieck _A c d_ gebildet und _d h_ = _c d_ gemacht werden, wodurch
_D h_ parallel mit _B A_ ist. Oder kann, nachdem das Dreieck _A B b_
gezeichnet ist, _D a_ = _A b_ gemacht und von _a_ eine mit _A C_ und
_b B_ parallele Linie bis zu der Senkrechten _B k_ gezogen werden,
wodurch _e D_ parallel mit _A B_ ist und von _D_ aus verlängert werden
kann. Es könnte ferner, wenn _F z_ geometrisch = _y z_ ist, durch den
Halbierungspunkt von _D z_ eine Linie von _i_ nach der verlängerten
_y z_ gezogen werden.
§ 48. In Fig. 41 sei _A G a_ und _A o_ gegeben. Um die Richtung
der parallel mit _A a_ von _B_, _i_ und _o_ ausgehenden Linien zu
berechnen, ist durch den Halbierungspunkt der Senkrechten _n a_ eine
mit _A G_ parallele Linie nach _f_ und von hier aus _f g_ als wagrechte
Mittellinie des Daches gezogen, welche nun ähnlich wie die Mittellinien
in Fig. 31 benüzt werden kann, um zwischen _A B_ und _a p_ beliebige
mit _A a_ parallele Linien z. B. _B b_, _i k_ und _o p_ zu zeichnen:
man zieht _a B_ und _A r b_, _b i_ und _B s k_ u. s. w. Die Richtung
der Linie _C c_ ist auf die in § 45 Fig. 38 angegebene Weise berechnet:
_d h_ ist = _n a_ gemacht und von _h_ eine Linie durch _C_ nach der
verlängerten _m z_ gezogen. Der Punkt _F_ ergibt sich durch eine
parallel mit _A G_ von _E_ nach der Verlängerung von _b B_ gezogenen
Linie; eine Senkrechte von _F_ abwärts schneidet die von _c_ nach
rechts gehende Wagrechte in _e_, womit _E e_ gegeben ist.
[Illustration: Fig. 41.]
Sind auf solche Weise einige Parallellinien gezeichnet, so kann die
perspectivische Richtung weiterer zwischen ihnen liegender Linien auch
ohne genaue Berechnung jeder einzelnen ohne Schwierigkeit bestimmt
werden.
Verschiedene Beispiele. Treppen, Dächer, Dachfenster, Turmhelme.
§ 49. Die Anwendung des vorangegangenen ist in Fig. 42--60 an weiteren
Beispielen gezeigt. Der Gleichartigkeit des Gegenstands wegen befinden
sich unter denselben auch solche, bei denen die im folgenden Abschnitt
besprochene Form des verkürzten Quadrats als gegeben betrachtet werden
muss.
Für die Construction der Treppe Fig. 42 nehmen wir die Höhe und Breite
der untersten Stufe, also die perspectivische Länge der Linien _B b_
und _b c_, sowie die Linie _A B_ als gegeben an. Da leztere eine
unverkürzte Wagrechte ist, so muss der Augpunkt Fluchtpunkt der Linie
_b c_ sein. Wird nun _b m_ = _B b_ gemacht, in _c_ eine Senkrechte
errichtet und von _m_ eine Linie nach _P_ gezogen, so ist _c n_ die
perspectivische Höhe der zweiten Stufe und es ist durch _b n_ die
Richtung der schrägen Linie gegeben, in welcher die vorderen Ecken
der folgenden Stufen liegen müssen. Hierauf wird auf der verlängerten
_B m_ die Höhe _B b_ mit dem Zirkel so oft wiederholt, als nötig
ist, um die gewünschte Zahl von Stufen zu erhalten und werden von
den Teilungspunkten Linien nach _P_ gezogen. Die Punkte, in welchen
leztere die Linie _b d_ schneiden, sind die vorderen Ecken der Stufen,
die hinteren dem Punkte _c_ entsprechenden Ecken ergeben sich durch
die von _o_, _p_ u. s. w. abwärts gezogenen Senkrechten. Auf der
andern Seite schneiden sich _a P_ und die von _c_ nach links gezogene
Wagrechte in _y_, eine Wagrechte von _n_ nach links und eine in _y_
errichtete Senkrechte schneiden sich in _z_ u. s. w.
[Illustration: Fig. 42.]
Um von _F_ aus die mit _a D_ und _b d_ parallele Linie des Geländers
zu zeichnen, ist durch die Diagonalen eines Rechtecks _g h d D_ dessen
wagrechte Mittellinie bestimmt, welche von der Linie _F d_ in _i_
geschnitten wird, worauf die von _h_ durch _i_ nach _D d_ gezogene
Diagonale den Punkt _f_ und hiemit _F f_ als Parallele von _h d_
ergibt.
§ 50. Fig. 43 zeigt 2 häufige Formen von Dachfenstern. _m y_ und _n z_
sind parallel mit _A D_ zu zeichnen, _y z_, _o p_, _m n_ parallel
mit _A C_; die Höhe _m o_ sowie die Länge _m y_ sind beliebig,
vorausgesezt, dass _o y_ und _p z_ als nach _y_ und _z_ hin steigende
Linien gezeichnet sind.
[Illustration: Fig. 43.]
Bei der zweiten Form ist _d f_ parallel mit _A D_; die Höhe des Giebels
kann beispielsweise in _i_ oder in _c_ angenommen werden; _e f_, _i k_,
_c b_ sind parallel mit _A B_; die Punkte _b_ oder _k_ liegen sodann
da, wo die von _c_ oder _i_ parallel mit _A B_ gezogenen Wagrechten
sich mit einer schrägen Linie schneiden, welche von _a_, der Mitte
von _d h_, parallel mit _A D_ aufsteigt. Durch den Punkt _b_, in
welchem die leztgenannte Linie und die Firstlinie des Hauptdaches sich
schneiden, ist _c b_ als grösste Höhe gegeben, welche für die obere
Wagrechte des Dachfensters angenommen werden darf, d. h. eine von
seiner Giebelspize parallel mit _A B_ gezogene Wagrechte darf die von
_a_ parallel mit _A D_ ausgehende Linie nicht jenseits des Punktes _b_,
nicht oberhalb der Firstlinie _D b_ treffen, es wäre denn, dass eine
entsprechende Fortsezung auf der andern Dachseite angenommen würde.
§ 51. In Fig. 44 seien _a b_ und _b c_ als zwei Seiten eines
quadratischen Turmes gegeben und soll darüber ein Dach gezeichnet
werden, dessen Spize über der Mitte des ganzen Turmes, d. h. seiner
quadratischen Grundfläche liegt. Zieht man die mit _a b_ und _b c_
parallelen Linien _d c_ und _a d_, so muss die Spize in einer
Senkrechten liegen, welche in dem Schnittpunkte der Diagonalen _a c_
und _b d_ errichtet wird; die Höhe der Spize ist beliebig. Bequemer
wird in den meisten Fällen die Mitte des Ganzen auf die § 39 angegebene
Weise gefunden: man zieht an beliebiger Stelle die mit _a b_ und
_b c_ parallelen Linien _e f_ und _f g_ (oder benüzt statt derselben
die Horizontlinie), um mittels der Diagonalen _c e_ und _a g_ den
gewünschten Punkt zu erhalten, in welchem jene Senkrechte zu errichten
ist.
[Illustration: Fig. 44.]
Häufig kann man sich auch damit begnügen, die 2 äusseren Senkrechten z.
B. in Fig. 44 _e a_ und _g c_, nach oben zu verlängern und die Spize in
die Mitte zwischen beide zu verlegen. Das Resultat stimmt zwar nicht
immer vollständig mit dem der genauen Berechnung überein, doch ist die
Abweichung eine so geringe, dass die richtige Wirkung nicht dadurch
beeinträchtigt wird; vgl. Fig. 45.
§ 52. In Fig. 45 sind zuerst von _a_, _b_ und _c_ aus 3 Linien nach
einem tiefer liegenden Punkte _o_ der senkrechten Mittellinie gezogen,
hierauf an beliebiger Stelle die mit _a b_ und _b c_ parallelen Linien
_k m_ und _m n_ und von den Punkten _k_, _m_ und _n_ 3 Linien nach der
höher liegenden Spize _p_.
[Illustration: Fig. 45.]
Die Construction von Fig. 46 ist hienach leicht zu verstehen. In Fig.
47 sind von _a_, _b_ und _c_ aus zuerst 3 Linien nach dem höher in
der Mittellinie liegenden Punkt _p_, hierauf die mit _a b_ und _b c_
parallelen _d e_ und _e f_, und nach dem tiefer liegenden Punkt _o_ die
Linien _d o_, _e o_ und _f o_ gezogen.
[Illustration: Fig. 46.]
[Illustration: Fig. 47.]
§ 53. Bei der in Fig. 48 und 49 dargestellten Dachform liegen die
Punkte _E_ und _F_ senkrecht über den Punkten _m_ und _n_, welche
ihrerseits in der Mittellinie _a b_ des Rechtecks _A B C D_ liegen.
_m a_ ist in Wirklichkeit = _n b_; denken wir uns die senkrecht
über _A B_ und _C D_ stehenden Giebelwände _A B d_ und _D C f_
hinzugezeichnet, so wäre auch _E d_ = _F f_. Gewöhnlich haben die
beiden schrägen Dreiecke (_A B E_ und _D C F_) denselben Neigungswinkel
wie die anstossenden Breitseiten des Daches. In diesem Fall müssen die
senkrecht unter _E_ und _F_ liegenden Punkte _m_ und _n_ Mittelpunkte
zweier Quadrate sein, deren Seiten = _A B_ sind, so dass _m a_ = _A a_
wäre. Doch ist die Form auch dann eine richtige, wenn angenommen wird,
dass der Neigungswinkel jener Flächen (_A B E_ und _A E F D_) ein
verschiedener sei. Die Hauptsache ist, dass _E_ und _F_ von _d_ und
_f_ oder _m_ und _n_ von _a_ und _b_ gleich weit entfernt sind, mit
andern Worten, dass die beiden Dreiecke _A B E_ und _C D F_ die gleiche
Neigung haben. Zu diesem Zweck bestimme man in Fig. 48, angenommen,
dass _A B E_ und _A D_ gegeben seien, die perspectivische Mitte der
Firstlinie in _h_ (mittels _A C_ und _B D_ oder _B z_ und _D y_) bilde
das Rechteck _E h e c_ und ziehe _c F_ durch die Mitte von _h e_, so
ist _F h_ perspectivisch = _E h_. Oder man verbinde (Fig. 49) den
Halbierungspunkt _r_ der Linie _A D_ mit _h_, der wie oben gefundenen
Mitte der Firstlinie, ziehe die Diagonale _E D_ und durch den Punkt, in
welchem _E D_ und _r h_ sich schneiden, eine Linie von _A_ nach _F_.
[Illustration: Fig. 48.]
[Illustration: Fig. 49.]
Oder auch man bestimme, nachdem _A B E_ und _A D_ (Fig. 49) gegeben
sind, die perspectivische Mitte von _A B_ und _C D_, also die Punkte
_a_ und _b_, ziehe von _a_ durch _E_ eine Linie nach der senkrechten
Mittellinie des Ganzen (errichtet im Schnittpunkte der Diagonalen _B z_
und _D y_) und von _o_ eine Linie nach _b_, welche die Firstlinie in
_F_ schneidet.
§ 54. Um das Dach Fig. 50 zu construieren, wird zuerst die einfache
Dachform _C A a g h_ und an beliebiger Stelle die Wagrechte _e f_
parallel mit _A a_, sowie _e c_ parallel mit _A C_ gezeichnet. Die
perspectivische Mitte von _A C_ ist _m_, eine Linie von hier durch den
Schnittpunkt _i_ ergibt den Punkt _n_ als Mitte der Firstlinie. Die
Lage des einen der beiden Punkte _D_ oder _d_ wird beliebig angenommen,
die des zweiten durch die Diagonalen _D c_ und _e d_, wie in Fig. 49, §
53, gefunden.
[Illustration: Fig. 50.]
Häufig wird es auch genügen, bei Darstellung von Dachformen wie Fig.
48--50 zuerst die gewöhnliche Dachform mit senkrechten Giebelwänden
oder die perspectivische Mitte der Firstlinie anzugeben und nach dem
Ermessen des Auges den ferneren der beiden geometrisch gleich grossen
Teile kleiner zu zeichnen, als den näheren, also z. B. in Fig. 50 dafür
zu sorgen, dass _n d_ kleiner sei als _D n_, _d h_ kleiner als _g D_.
§ 55. Wenn in einem Dach von der Fig. 48--50 dargestellten Form
Dachfenster wie in Fig. 43 gezeichnet werden sollen, so muss die
schräge Mittellinie der betreffenden Seite gesucht werden. In Fig. 51
z. B. muss die Linie _e d_ perspectivisch parallel sein mit _c D_;
wäre das Dachfenster nicht in der Mitte von _A B D_, so müsste eine
mit _c D_ parallele Linie entsprechend der Linie _a b_ in Fig. 43
gezeichnet und sodann wie dort weiter verfahren werden.
[Illustration: Fig. 51.]
Auf der anstossenden Seite _A C E D_ müssen _a b_, _f g_ u. s. w.
parallel sein mit der Mittellinie _m n_. In Fig. 53 wäre _f c_ am
unteren, _c z_ am oberen Teil massgebend für die schrägen Linien eines
Dachfensters.
§ 56. Fig. 52, ein Staffelgiebel, ist so construiert, dass zuerst die
einfache Dachform _a b c g e_ und die parallel mit _a c_ von _f_ und
_d_ ausgehenden Linien gezeichnet wurden (_d g_ kleiner als _f c_). Um
die Höhe der einzelnen Absäze zu bestimmen, ist in _k_ eine über _a_
hinausreichende Senkrechte _k z_ errichtet und in die erforderliche
Anzahl von gleichen Teilen geteilt. Durch die Teilungspunkte sind
die Linien _m n_, _o p_ u. s. w. und nach dem Fluchtpunkt der
andern Seite _m i_, _o h_ u. s. w. gezogen. Das Weitere ist aus den
Constructionslinien der Fig. 52 leicht zu ersehen.
[Illustration: Fig. 52.]
§ 57. Die Form eines Mansardendaches Fig. 53 ist stets eine solche,
dass die 4 Seiten des unteren und ihrerseits diejenigen des oberen
Teiles denselben Neigungswinkel haben. Es muss daher, wenn _A B_ und
_A C_ gegeben sind, von _A C_ ein Teil _A f_ abgeschnitten werden,
welcher perspectivisch = _A B_ ist, so dass die senkrechte Linie, in
welcher die Punkte _k_ und _d_ liegen müssen, über der Mitte eines
Quadrats (_A B p f_) oder über dem Schnittpunkt der Diagonalen _B m_
und _f n_ errichtet werden kann. Nachdem nun _A a_, _a b_, _B b_, _a d_
und _b d_ gezeichnet sind (vergl. § 52, Fig. 47), so werden die von
_a_, _d_ und _k_ parallel mit _A C_ ausgehenden Linien gezogen; _i_
ergibt sich auf die § 53, Fig. 48 gezeigte Weise (nachdem _z_ als Mitte
der Firstlinie bestimmt ist), _e_ durch eine von _i_ abwärts gezogene
Senkrechte, _g_ durch eine Linie von _i_ nach _C_.
[Illustration: Fig. 53.]
§ 58. Der Turmhelm Fig. 54 und 55 ist eine an Bauten des romanischen
Stils häufige Form: die 4 Seiten des quadratischen Turms schliessen
oben mit 4 Giebeln ab, von deren Spizen 4 Linien nach der Turmspize
gehen und so mit den Giebellinien 4 rautenförmige Flächen bilden.
Zunächst müssen die Giebelspizen in gleicher Höhe liegen; angenommen,
dass in Fig. 54 _a b d_ und _a c_ gegeben seien, so können die
senkrechten Ecklinien von _a_ und _b_ nach oben verlängert werden,
bis sie eine parallel mit _a b_ durch _d_ gezogene Wagrechte treffen;
eine Wagrechte von _g_ aus parallel mit _a c_ und eine Senkrechte über
der perspectivischen Mitte von _a c_ ergeben sodann den Punkt _f_,
eine gleichfalls mit _a c_ parallele Linie von _h_ und eine mit _a b_
parallele Linie von _f_ aus den Punkt _e_ (vergl. Fig. 56).
[Illustration: Fig. 54.]
[Illustration: Fig. 55.]
In Fig. 55 ist die Stellung des Turmes eine solche, dass nur eine der
oberen 4 Flächen und keine der Umrisslinien des dritten Giebelfeldes
zu sehen ist. Die Höhe des zweiten Giebels ist hier dadurch gefunden,
dass, nachdem _a c f_ und die Linie _a b_ gezeichnet waren, von _f_
eine mit _a b_ parallele Wagrechte bis zur senkrechten Mittellinie des
ganzen Turmes, d. h. bis _o_ und von hier eine mit _a c_ parallele
Linie bis zu der in der Mitte von _a b_ errichteten Senkrechten gezogen
wurde, wodurch _d_ als Spize des rechtseitigen Giebels gegeben ist.
[Illustration: Fig. 56.]
So könnte auch in Fig. 54 statt der oben angewendeten Construction
von _d_ eine mit _a c_ parallele Wagrechte nach der senkrechten
Mittellinie, durch den so gewonnenen Punkt _o_ eine mit _a b_ parallele
Linie und hierauf _b e_ perspectivisch parallel mit _a f_ gezogen
werden (vergl. Fig. 56).
Ferner muss, damit _a i_ eine gerade Linie, _a d i f_ eine Fläche sei,
_a d_ und _a f_ = _d i_ und _f i_ sein; _a d f_ und _i d f_ sind in
Wirklichkeit 2 einander gleiche Dreiecke, _o i_ muss daher = _k o_
sein. Oder kann zu demselben Zweck die senkrechte Mittellinie eines
Giebelfeldes z. B. _m f_ benüzt werden: _f p_ wird = _m f_ gemacht und
eine mit _a b_ parallele Linie von _p_ nach der senkrechten Mittellinie
des ganzen Turmes gezogen.
§ 59. Soll ein viereckiges Türmchen an beliebiger Stelle auf ein
Giebeldach gesezt werden, wie in Fig. 57, so geht die Construction am
besten von der mit _a b_ parallelen Linie _c d_ aus, deren Länge nach
Gutdünken bestimmt wird. Man errichtet über _c_ und _d_ 2 Senkrechte,
bildet mit denselben ein Rechteck _m n o p_ und zieht aus _n_ durch den
Halbierungspunkt von _m o_ eine Linie, welche in _f_ die verlängerte
_o p_ trifft und damit die Breite der ganzen Seite angibt. Für die
perspectivische Breite der anstossenden Seite _p g e c_ sind, wenn sie
genau berechnet werden soll, die im folgenden Abschnitt enthaltenen
Regeln über die Construction des Quadrats massgebend.
[Illustration: Fig. 57.]
In Fig. 58 ist ein ähnliches Türmchen auf die Mitte eines Giebeldaches
gesezt. Ist wie hier die Grundfläche ein Quadrat, d. h. _a b_ = _b c_,
so ist wie bei Fig. 46 zu verfahren, nachdem von _i_, der Mitte der
Firstlinie, die Linien _i a_, _i b_ und _i c_ gezogen sind. Ist _a b_
länger als _b c_ oder umgekehrt, so schneide man von der Mitte der
Firstlinie aus 2 perspectivisch gleich grosse Teile _i d_ und _i e_
entsprechend der gewünschten Grösse des oberen Türmchens ab, ziehe von
_d_ und _e_ 2 schräge Linien parallel mit den Seitenlinien des Dachs
abwärts und verfahre wie bei Fig. 57.
[Illustration: Fig. 58.]
In Fig. 59 ist zuerst der Turmaufsaz über _a b g h_ wie oben mittels
der Linien _d a_, _d b_ und _d c_ construiert (vergl. Fig. 55, 56 und
57), die Punkte _f_ und _e_ ergeben sich sodann durch die senkrechten
Mittellinien der beiden Seiten des Turmaufsazes.
[Illustration: Fig. 59.]
§ 60. Fig. 60 ist zuerst geradlinig wie Fig. 47 construiert, wodurch
die für die perspectivische Schweifung der Ecklinien wichtigen Punkte
_n_, _m_ und _k_ gewonnen werden.
[Illustration: Fig. 60.]
In Fig. 61 ist zuerst _a b c d_ gezeichnet, sodann (vergl. Fig. 45) die
Lage der Punkte _k m n_ bestimmt, von welchen die geschweiften Linien
ausgehen, ferner die Lage der 3 Punkte, an welchen sie ihre stärkste
Ausladung haben. Diese Punkte liegen ebenso wie _k m n_ in 2 mit _a b_
und _b c_ parallelen Linien und ergeben sich, je nachdem die Ausladung
eine stärkere oder schwächere ist, durch Verlängerung der senkrechten
Ecklinien, wie _x y z_ oder dadurch, dass von andern in gleicher
Höhe liegenden Punkten der Linien _a d_, _b d_, _c d_, oder ihrer
Verlängerung, z. B. von _e_, _f_ und _g_, 3 Senkrechte und zwischen
diesen in entsprechender Höhe 2 mit _a b_ und _b c_ parallele Wagrechte
wie _o h_ und _o i_ gezogen werden.
[Illustration: Fig. 61.]
§ 61. In Fig. 62 ist schliesslich gezeigt, wie auf Grund der bisher
angewandten Constructionslinien vorspringende Dächer zu zeichnen sind.
[Illustration: Fig. 62.]
Nachdem _A_ als vordere Ecke des Daches angenommen wurde, sind die mit
_a b_, _b c_, _a c_ und _a t_[6] parallelen Linien _A B_, _B C_, _A C_
und _A D_ gezeichnet. _C d_ und _e f_ sind parallel mit _A D_, _m n_
und _o p_ mit _A C_. _z y_ ist geometrisch = _B b_, aber entfernter,
muss also entsprechend kleiner sein als _B b_. Selbstverständlich wird
die Mitte der Giebelseiten bezeichnet durch die von _b_ und _h_ abwärts
gezogenen Senkrechten und dürfen hiezu nicht die Punkte _B_ und _g_
benüzt werden.
[6]: Statt des bei _k_ und _D_ stehenden Buchstaben _b_ ist ein _t_
zu sezen.