Der Kreis in verkürzter Stellung.
§ 88. Die Berechnung der perspectivischen Form eines verkürzten Kreises
kann nur darin bestehen, dass gewisse Punkte desselben gewonnen
werden, mit deren Hilfe es leichter ist, die Kreislinie aus freier
Hand zu zeichnen. Die zu diesem Zweck geeignetsten Punkte sind die
Halbierungspunkte der Seiten eines den Kreis einschliessenden Quadrats
und ferner die Punkte der Diagonalen in lezterem, welche von der
Kreislinie durchschnitten werden, vgl. die geometrische Zeichnung von
Quadrat und Kreis in Fig. 93.
Gewöhnlich kann man sich eines Quadrats in gerader Ansicht bedienen.
Die Halbierungspunkte der Seiten, _a_, _b_, _c_ und _d_ Fig. 93, erhält
man mittels einer unverkürzten Wagrechten und einer nach dem Augpunkt
gehenden Linie, welche durch den Schnittpunkt der Diagonalen gezogen
werden. Ein geübter Zeichner wird sich für gewöhnlich mit diesen 4
Hilfspunkten begnügen können.
[Illustration: Fig. 93.]
Um die Punkte der Diagonalen, welche der Kreis durchschneiden muss,
_m_, _n_, _o_ und _p_ Fig. 93, zu erhalten, wird über oder unter einer
der unverkürzten Seiten oder der unverkürzten Mittellinie, also mit
_A B_, _C D_ oder _b d_, ein senkrecht stehendes Rechteck halb so hoch
als breit, z. B. _A B F E_ oder _C D G H_ gebildet und in diesem ein
Halbkreis beschrieben. In Fig. 93 werden diese Halbkreise von den
Diagonalen _a E_ und _a F_ oder _c G_ und _c H_ in _g_ und _h_, _y_
und _x_ durchschnitten. Zieht man nun die Senkrechten _g i_ und _h k_
oder _y z_ und _x s_ und 2 Linien von _P_ nach _i_ und _k_ oder durch
_s_ und _z_, so ergeben sich auf den Diagonalen des verkürzten Quadrats
die gesuchten Punkte _m_, _n_, _o_ und _p_. Es genügt auch nur eine der
Linien nach dem Augpunkt zu ziehen, z. B. _i P_, um durch 2 unverkürzte
Wagrechte von _m_ und _p_ aus die Punkte _n_ und _o_ zu erhalten.
§ 89. Ein anderes Verfahren beruht darauf, dass die Entfernung der
Punkte _i_ und _k_ Fig. 93 von _a_, der Mitte der Linie _A B_, ebenso
gross ist, als die Diagonale eines Quadrats, dessen Seiten je = ein
Viertel von _A B_ sind. _A f_ ist ein Viertel von _A B_. Wird also
_A e_ = _A f_ gemacht, so kann die Länge _e f_ von _a_ aus nach _i_ und
_k_ übertragen und so die Lage dieser beiden Punkte und der Punkte _m_,
_n_, _o_, _p_ bestimmt werden.
§ 90. In Fig. 94 ist gezeigt, wie mittels derselben Hilfspunkte ein
Kreis innerhalb eines Quadrats in schräger Ansicht gezeichnet werden
kann. Nachdem in _A B C D_ die Diagonalen und Halbierungslinien
gezeichnet sind, ist eine Linie aus _P_ durch _B_ nach der durch _A_
gehenden Wagrechten gezogen und _A b_ ebenso geteilt, wie _A B_ in Fig.
93. Statt abwärts von _A_ aus ist hier seitwärts das Dreieck _b g f_
gebildet, in welchem _b g_ und _g f_ je = ein Viertel von _A b_ sind;
_a i_ und _a k_ werden = _b f_ gemacht und dieselben Verhältnisse
mittels _i P_ und _k P_ auf die Linie _A B_ übertragen.
[Illustration: Fig. 94.]
Aus § 72 Fig. 72 und 75 erhellt, dass man statt _P_ auch einen
beliebigen andern Punkt des Horizonts benüzen könnte, um von demselben
eine Linie durch _B_ nach der Linie _A g_ zu ziehen und sodann wie oben
weiter zu verfahren.
Statt durch _A_ könnte man auch durch _C_ eine Wagrechte und von _D_
eine Linie nach _P_ ziehen, um auf dieselbe Weise wie oben die Punkte
_e_ und _c_, _m_ und _n_ zu bestimmen.
Aus Fig. 94 ist zugleich die Anwendung der beiden in § 88 und 89
angegebenen Berechnungsweisen auf einen ~senkrecht~ stehenden Kreis
zu ersehen. Es ist klar, dass hiebei die zwei senkrechten Seiten des
Quadrats an Stelle der unverkürzten wagrechten treten und dass die
Linien _A E_, _B F_, _i g_, _h k_ der Fig. 93 jezt als Wagrechte
gezeichnet werden müssen. Das Übrige ergibt sich deutlich genug aus den
Linien der Fig. 94.
Parallele und concentrische Kreise.
§ 91. Fig. 95 zeigt 2 in gleicher Höhe stehende parallele Kreise.
Der eine ist von dem Quadrat _a b c d_, der andere von _e f g h_
umschlossen. Die Schnittpunkte der Diagonalen _a c_ und _b d_, _e g_
und _f h_ ergeben die beiden Mittelpunkte _y_ und _z_; die Punkte
_o_, _p_, _i_, _k_ sind auf die oben angegebene Weise bestimmt, die
entsprechenden 4 Punkte auf _e g_ und _f h_ durch Linien, welche
parallel mit _a e_ und _b f_ von _k_, _o_, _p_, _i_ nach links gezogen
sind.
[Illustration: Fig. 95.]
§ 92. In Fig. 96 soll, nachdem der Kreis _A B C D_ gegeben ist, durch
_a_ ein Kreis mit dem gemeinschaftlichen Mittelpunkt _i_, sodann durch
_F_ ein mit _A B C_ paralleler Halbkreis gezeichnet werden. Zunächst
wird _C c_ = _A a_ gemacht, sodann das Quadrat des inneren Kreises
gebildet, indem man durch _a_ und _c_ Linien nach dem Augpunkt zieht
und die Punkte _m_ und _n_, _o_ und _p_, in welchen hiedurch die
Diagonalen des grösseren Kreises geschnitten werden, durch 2 Wagrechte
verbindet. Die Halbierungspunkte der Seiten dieses kleineren Quadrats
sind _a b c d_. Die Punkte der Diagonalen, durch welche der innere
Kreis geht, können auf die § 88--89 angegebene Weise bestimmt werden,
doch sind sie, wenn der Massstab der Zeichnung kein sehr grosser ist,
entbehrlich, nachdem die Linie des äusseren Kreises gezeichnet ist.
[Illustration: Fig. 96.]
Um den unteren Halbkreis zu zeichnen, wird die durch _F_ gehende _E G_
mittels _h E_ und _k G_ = _h k_ gemacht und das Quadrat _E G g e_
gebildet, womit für den unteren Kreis ausser _F_ die Punkte _s_, _r_
und _f_ gegeben sind. Die Punkte der Diagonalen _E g_ und _G e_, welche
er durchschneiden muss, ergeben sich durch die von _m_, _n_, _o_, _p_
abwärts gezogenen Senkrechten.
Teilung eines verkürzten Kreises.
§ 92. In Fig. 96 ist zugleich gezeigt, wie diese Kreise in eine
beliebige Zahl von gleich grossen Teilen geteilt werden können: mit dem
Halbmesser _F G_ ist von _F_ oder von _H_ aus ein Halbkreis gebildet,
der mit dem Zirkel auf die gewünschte Weise, hier in 8 Teile, geteilt
wird. Hierauf sind von den Teilungspunkten senkrechte Linien bis _E G_
und von da Linien parallel mit _E e_ und _G g_, d. h. nach _P_ bis zur
Linie des unteren Halbkreises gezogen. Das Weitere ist aus der Figur
ersichtlich, vgl. die Teilung eines verkürzten Kreises in 8 oder 6
Teile, Fig. 100--104.
Verkürzte Achtecke.
§ 93. Wie Fig. 97 zeigt, entsteht ein Achteck, wenn dieselben 8
Punkte, welche zur Darstellung des Kreises dienten, durch gerade
Linien verbunden werden, nämlich die Halbierungspunkte der Seiten
eines Quadrats und die Punkte seiner Diagonalen, welche von einem
in demselben beschriebenen Kreis durchschnitten werden. Die
perspectivische Form eines verkürzten Achtecks, welches die in Fig. 97
angenommene Stellung zu den Seiten eines gegebenen Quadrats hat, bedarf
also keiner weiteren Erklärung.
[Illustration: Fig. 97.]
Etwas Anderes ist es, wenn ein Quadrat oder eine Seite eines Quadrats
gegeben ist, in welchem ein Achteck wie _a b c d e f g h_ in _A B C D_
Fig. 98 gezeichnet werden soll, d. h. so, dass sämtliche 8 Ecken in den
4 Seiten des Quadrats liegen. Die geometrische Construction würde darin
bestehen, dass die 4 von _i_, dem Mittelpunkte des gegebenen Quadrats,
nach den Halbierungspunkten der Seiten gehenden Linien über diese
hinaus um soviel verlängert würden, dass jede die Länge einer halben
Diagonale des Quadrats hätte, also _i m_, _i n_, _i o_ und _i p_ je =
_i A_ wären. Durch Verbindung der Punkte _m_, _n_, _o_ und _p_ entsteht
ein zweites dem ersten gleiches Quadrat und die Verbindungslinien der
Punkte _b_ und _c_, _d_ und _e_, _f_ und _g_, _h_ und _a_ ergeben das
Achteck.
[Illustration: Fig. 98.]
Ist nun das verkürzte Quadrat _A B C D_ Fig. 99 gegeben, so kann eine
der unverkürzten Seiten z. B. _C D_ benüzt werden, um mit einer Hälfte
derselben ein gleichschenkliges Dreieck _C E F_ zu bilden. Wird hierauf
_E k_ = _E F_ gemacht, so ist das äussere Quadrat _H G K L_ leicht
zu bilden: eine Linie von _P_ durch _k_ schneidet die verlängerten
Diagonalen _A C_ und _D B_ in _H_ und _G_ und 2 unverkürzte Wagrechte
von hier aus ergeben die Punkte _L_ und _K_. Hiermit sind auch die
Punkte _m_, _n_, _o_ und _p_ und die Seiten des Achtecks gegeben.
[Illustration: Fig. 99.]
Oder könnte auch die Länge _E F_ von _C_ nach _f_ und von _D_ nach _e_
getragen werden -- denn aus Fig. 98 ist ersichtlich, dass _C f_ oder
_D e_ = _C i_ sind -- um hierauf die weiteren Constructionslinien teils
parallel mit den Diagonalen, teils parallel mit den Seiten des Quadrats
_A B C D_ zu ziehen.
Wäre statt des Quadrats _A B C D_ _a b_ als Seite eines zu zeichnenden
Achtecks gegeben, so würde man mit der Hälfte derselben ein
gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck _b z y_ bilden, _b B_ und
_a A_ = _y b_ machen und hierauf das Quadrat _A B C D_ construieren, um
wie oben zu verfahren; vgl. die geometrische Zeichnung Fig. 98.[7]
[7]: Fig. 99 ist insofern ungenau, als _b B_ und _a A_ etwas
kleiner sind als _y b_. Der Fehler wurde zu spät bemerkt und ist so
geringfügig, dass es genügen dürfte, hiedurch darauf aufmerksam zu
machen.
§ 94. Fig. 100 zeigt die Construction eines Achtecks, wenn ein solches
anschliessend an die Seiten eines Quadrats in schräger Ansicht
gezeichnet werden soll.
[Illustration: Fig. 100.]
Angenommen, es sei das Quadrat _A B C D_ gegeben, so ziehe man eine
unverkürzte Wagrechte durch _A_ und eine Linie von _P_ durch _B_ nach
_E_. Die perspectivischen Verhältnisse, in welche _A B_ zu teilen ist,
können nun auf _A E_ geometrisch angegeben und durch Linien, welche
mit _E B_ parallel sind, auf _A B_ übertragen werden (vgl. Fig. 72
und 75). Man bildet entsprechend Fig. 98 mit der Hälfte von _A E_ ein
gleichschenkliges Dreieck _p E y_, macht _A o_ und _E s_ je = _p y_
und zieht von _s_ und _o_ zwei mit _E B_ parallele Linien nach _a_ und
_b_. Zieht man nun von _a_ und von _b_ aus zwei Linien nach _r_, dem
Fluchtpunkte der Diagonale _A C_, zwei weitere parallel mit _A D_ und
_B C_, so erhält man die Punkte _c_, _d_, _e_ und _f_, durch eine Linie
von _r_ durch _f_ den Punkt _g_ und ist schliesslich noch die mit _B D_
und _e d_ parallele Seite _a h_ zu zeichnen.
Der Augpunkt ist übrigens nur zufällig benüzt; es könnte statt
desselben ein beliebiger Punkt des Horizonts gewählt werden.
Nehmen wir an, dass _a b_ Fig. 100 als Seite eines zu zeichnenden
Achtecks gegeben sei, so wäre das Verfahren ein ähnliches wie oben:
von _P_ (oder einem andern Punkte des Horizonts) wird eine Linie nach
der durch _a_ gehenden Wagrechten gezogen, _a n_ in _m_ halbiert, ein
gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck _a m t_ gebildet und _n x_
sowie _a z_ je = _m t_ gemacht. Die von _P_ nach _x_ und durch _z_
gezogenen Linien ergeben die Punkte _A_ und _B_, es kann nun mit _A B_
das Quadrat _A B C D_ gebildet werden u. s. w.
§ 95. Es kann auch der Fall eintreten, dass ein verkürzter Kreis
gegeben ist und innerhalb desselben von einem bestimmten Punkte aus ein
Achteck gezeichnet werden soll.
[Illustration: Fig. 101.]
Es sei z. B. die Aufgabe gestellt, in dem verkürzten Kreise _A B C D_
Fig. 101 von dem Punkte _a_ aus ein Achteck zu zeichnen. _o D_ ist =
_D F_ gemacht, mit der Zirkelweite _D F_ von _o_ aus ein Halbkreis
_e D f_ beschrieben und eine Linie von _P_ durch _a_ nach _c_ gezogen;
_o x_ wird rechtwinklig zu _o b_, durch die Mitte von _b x_ der
Halbmesser _o z_ und rechtwinklig zu diesem _o y_ gezogen (vgl. Fig.
97), worauf die Punkte _x y z_ mittels senkrechter Linien nach _E F_
gebracht und von hier durch die aus _m_, _n_ und dem Punkte zwischen
_z_ und _g_ nach _P_ gezogenen Linien auf den Kreis übertragen werden.
Die 4 jenseitigen Punkte sind durch den Mittelpunkt des Kreises,
beziehungsweise den Schnittpunkt der Diagonalen des Quadrats, gegeben.
Verkürzte Sechsecke.
§ 96. Die geometrische Construction eines Sechsecks besteht darin, dass
ein Kreis in 6 Teile geteilt wird, von welchen jeder die Grösse eines
Halbmessers jenes Kreises hat: man gibt -- Fig. 102 -- dem Zirkel die
Weite eines Halbmessers z. B. _O B_, schneidet von _B_ aus den Kreis
in _C_, von _C_ aus in _D_ u. s. w. und verbindet diese Punkte durch
gerade Linien. Zieht man von den 6 Ecken Linien nach dem Mittelpunkt
_O_, so entstehen 6 gleichseitige Dreiecke; schliesst man das Sechseck
in ein Rechteck, wie _H K M N_ ein, so sind die beiden längeren Seiten
je = 2 Seiten des Sechsecks: _H K_ ist gleich 2 mal _A B_, _H G_ =
_A B_; _H A_, _A G_, _G B_ und _B K_ sind gleich gross. Die kürzeren
Seiten sind je = 2 mal _G O_; _H F_ und _F N_ sind je = _G O_.
[Illustration: Fig. 102.]
Ist nun _a b_ als Seite eines verkürzten Sechsecks, _P_ als Augpunkt
und _D_/3 als Drittel der Distanz gegeben, so wird _b k_ und _a h_ je
= der Hälfte von _a b_ gemacht, ein gleichseitiges Dreieck _a i b_
gebildet (indem von _a_ und _b_ aus 2 Kreise mit der Zirkelweite _a b_
beschrieben werden, welche sich in _i_ schneiden) und _k c_ = _g i_
gemacht durch eine Linie aus _D_/3, nach _y_ (_k y_ = ein Drittel von
_g i_). Hiemit sind das Rechteck _h k m n_ und die weiteren Punkte _d_,
_e_ und _f_ gegeben.
§ 97. In Fig. 103 ist angenommen, dass _h n_ als kürzere Seite des von
unten gesehenen Rechtecks, _P_ als Augpunkt und _D_/2 als halbe Distanz
gegeben sei, in _f_ also eine Ecke des Sechsecks liege. Beschreibt man
von _n_ und von _f_ aus zwei Kreisbögen mit der Zirkelweite _n f_,
so schneiden sich dieselben in _s_ und es entsteht, indem durch _s_
eine rechtwinklig zu _f s_ stehende Linie bis zu den in _f_ und _n_
errichteten Senkrechten gezogen wird, ein gleichseitiges Dreieck,
dessen Mittellinie _s f_ = _f n_ oder = _f h_ ist, dessen Seiten also
(vgl. § 96, Fig. 102) auf die durch _f_ gehende Wagrechte übertragen,
die Länge einer Seite des zu zeichnenden Sechsecks darstellen. _h p_
ist = _f z_; die von _h_ nach _P_ gehende Seite des zu bildenden
Rechtecks muss also = 2 mal _h p_ sein (wie _H K_ Fig. 102 = 2 mal
_A B_ ist), was durch eine Linie von _D_/2 nach _p_ erreicht wird. Ist
so das Verhältnis der Seiten in dem Rechteck _h k m n_ das gleiche,
wie in _H K M N_ Fig. 102, so bleibt nur noch übrig, dasselbe mittels
Diagonalen wie dort in 4 gleiche Teile zu teilen, um die weiteren Ecken
zu erhalten.
[Illustration: Fig. 103.]
§ 98. In Fig. 104 soll von dem Punkte _d_ des Kreises _A B C D_ aus ein
Sechseck gezeichnet werden. Das Quadrat des Kreises ist _E F G H_. Wie
in Fig. 101 ist _E e_ und _F f_ = der Hälfte von _E F_ gemacht und von
_o_ aus ein Halbkreis beschrieben, auf welchem _x_ dem Punkte _d_ des
verkürzten Kreises entspricht (mittels _P d m_ und _m x_). Von _x_ aus
schneidet der Zirkel mit der Weite eines Halbmessers _D o_ oder _x o_
den Halbkreis in _b_, von hier aus in _y_, und diese beiden Punkte
werden auf die mehrfach beschriebene Weise nach _a_ und _c_ übertragen;
Linien aus _d_, _a_ und _c_ durch den Mittelpunkt des Quadrats gezogen,
ergeben die 3 jenseitigen Ecken.
[Illustration: Fig. 104.]
Weitere Beispiele. Rad, Wasserrad, Walze, Cylinder.
§ 99. Fig. 105 zeigt die Anwendung von § 91 Fig. 95 auf 2 durch eine
Achse verbundene Räder. Der Deutlichkeit wegen sind hier sowie in der
folgenden Figur nur die wichtigsten Constructionslinien angegeben, mit
deren Hilfe das Übrige ohne Schwierigkeit, so genau als der malerische
Zweck erfordert, ergänzt werden kann.
[Illustration: Fig. 105.]
In Fig. 106 sind zunächst die 4 Kreise entsprechend Fig. 95 und
96 gezeichnet. Hierauf ist der durch _a b c_ gehende Halbkreis in
5 gleiche Teile geteilt und diese Teilung auf die andere Hälfte
übertragen (vgl. Fig. 101 und 104), indem nach dem Halbkreis _c d a_
Linien von jenen Teilpunkten aus durch den Mittelpunkt gezogen wurden.
Diese Linien ergeben zugleich die Stellung der einzelnen Schaufeln;
die wagrechten Linien der lezteren sind parallel mit _e f_, _g h_ und
_o n_; die Verbindungslinien der Punkte _i_ und _k_, _y_ und _z_ u. s.
w. gehen durch den Mittelpunkt _n_.
[Illustration: Fig. 106.]
§ 100. In Fig. 107 ist der Kreis _a b c d_ als vorderer Durchschnitt
einer wagrecht liegenden Walze angenommen. Da derselbe unverkürzt ist
und die durch _i_ gehende Achse der Walze geometrisch rechtwinklig zu
_d b_ steht, so sind von _d_ und _b_ 2 Linien nach dem Augpunkt gezogen
und dieselben an beliebiger Stelle durch die Wagrechte _h f_ verbunden.
Ein Kreis aus _o_, der Mitte von _h f_, durch _h_ und _f_ beschrieben,
ergibt _e f g h_ als den ferner liegenden Durchschnitt, worauf vom
Augpunkt aus 2 die beiden Kreise berührende Linien (Tangenten) parallel
mit _i o_ als Aussenlinien der Walze gezogen werden.
[Illustration: Fig. 107.]
Um den Cylinder Fig. 108 zu construieren, sind den beiden vorderen
Kreisen entsprechend auf die oben gezeigte Weise die beiden ferneren zu
zeichnen.
[Illustration: Fig. 108.]
Dieselben Formen mit verkürzter Ansicht des Kreises zu zeichnen, bietet
hienach keine Schwierigkeit. Man achte dabei auf die bereits erwähnte
geometrisch rechtwinklige Stellung der Achse und der Seitenlinien zur
Kreisfläche, beziehungsweise zu einem Durchmesser derselben.
Tonnengewölbe, Kreuzgewölbe, Spizbogen, Kuppel.
§ 101. Fig. 109 stellt ein sogenanntes ~Tonnengewölbe~ dar. Dasselbe
hat die Form eines halben Cylinders, welcher in Fig. 109 auf den nach
dem Augpunkt gehenden Linien _a e_ und _b f_ ruht. Die Construction
besteht einfach darin, dass über _a b_ und _e f_ je ein Halbkreis von
den Mittelpunkten _c_ und _d_ aus beschrieben wird. Die Fugenlinien
des Gewölbes gehen teils parallel mit _a e_ und _b f_, teils sind
sie Teile von Halbkreisen, welche mit den beiden ersteren parallel
sind, deren Mittelpunkte somit in der Linie _c d_ liegen. So ist der
Mittelpunkt des Halbkreises _m n p_ da, wo die Wagrechte _m p_ von
_c d_ durchschnitten wird, in _o_. Die Fugenlinien _g h_, _i k_ u. s.
w. haben die Richtung nach _c_, dem Mittelpunkt der beiden durch _k h_
und _i g_ gehenden Halbkreise.
[Illustration: Fig. 109.]
§ 102. Fig. 110 zeigt die Hauptlinien eines von aussen und oben
gesehenen rundbogigen ~Kreuzgewölbes~. _A B C D_ ist ein Quadrat; über
jeder Seite desselben erhebt sich ein Halbkreis, die gegenüberliegenden
Ecken des Quadrats, _A_ und _C_, _B_ und _D_, sind nach oben verbunden
durch 2 elliptische Linien, die sogenannten Diagonalrippen oder
-gurten, welche sich über den Diagonalen _A C_ und _B D_ hinziehen.
Der Scheitelpunkt _n_ des Gewölbes, in welchem die beiden Ellipsen
sich durchschneiden, liegt senkrecht über der Kreuzung der Diagonalen
_A C_ und _B D_, er ist zugleich Schnittpunkt der Diagonalen _E z_ und
_F t_. Es entstehen so 4 ~Gewölbefelder~ oder ~Kappen~, welche je von
einem Halbkreis und 2 Hälften jener Ellipsen begrenzt werden, z. B. von
_A m B_, _A n_ und _B n_, vgl. die innere Ansicht Fig. 111--113.
[Illustration: Fig. 110.]
Bei der perspectivischen Construction einer solchen Gewölbeform handelt
es sich, nachdem über jeder Seite des zu Grunde gelegten Quadrats ein
Halbkreis gezeichnet ist, hauptsächlich um die Bestimmung einiger
weiteren Hilfspunkte ausser dem durch _E z_ und _F t_ gegebenen Punkte
_n_ behufs Darstellung der beiden elliptischen Linien. Die Halbkreise
_A m B_ und _A h D_ werden von 2 Linien, welche man aus _E_ nach der
Mitte von _A B_ und von _A D_ zieht, in _a_ und in _b_ geschnitten.
Diese beiden Punkte liegen in gleicher Höhe; zieht man aus _a_ eine
Linie parallel mit _A D_, also nach dem Augpunkt, und aus _b_ eine
Parallele mit _A B_, d. h. eine unverkürzte Wagrechte, so müssen diese
beiden Linien in dem Punkte _c_ der von _A_ ausgehenden Ellipse _A n C_
zusammentreffen, welcher mit _a_ und _b_ in gleicher Höhe liegt und
kann somit dieser Punkt benuzt werden, um _A c n_ zu zeichnen.
Dem Punkte _a_ entspricht auf der rechten Seite _e_, eine Linie von
hier nach dem Augpunkt und eine Wagrechte aus _c_ schneiden sich in
_d_. Die entsprechenden jenseitigen Punkte der beiden Ellipsen ergeben
sich durch die aus _a_ und _e_ nach dem Augpunkt gehenden Linien und
eine Wagrechte von _g_ nach _f_ oder umgekehrt.
§ 103. Fig. 111 zeigt dieselben Linien von unten und von innen gesehen,
mit dem Unterschied, dass die 2 Seitenkappen geschlossen bis _A D_
und _B D_ herabgehen (wie auch in Fig. 113). Der Fluchtpunkt dieser
und der mit ihnen parallelen Linien ist wiederum der Augpunkt; _A B_,
_C D_ und die beiden Halbkreise sind unverkürzt. Um die beiden
Diagonalgurten zu zeichnen, ist hier ein anderer Weg eingeschlagen. In
Fig. 110 liegen die Punkte _y_ und _x_ in gleicher Höhe mit _a_, _b_
und _f_. Zieht man von _y_ eine mit _A C_ und _E z_ parallele Linie
nach _x_, von _E_ und _z_ 2 Linien nach _p_, so erhält man da, wo die
Linie _y x_ von _E p_ und _z p_ geschnitten wird, gleichfalls die
Punkte _c_ und _s_, welche nun mittels unverkürzter Wagrechter nach _d_
und _r_ übertragen werden können.
[Illustration: Fig. 111.]
In Fig. 111 entspricht das senkrecht stehende von unten gesehene
Rechteck _E A C z_ dem Rechteck _E A C z_ in Fig. 110; auch die übrigen
einander entsprechenden Punkte beider Figuren sind durch dieselben
Buchstaben bezeichnet. Der Halbkreis _A m B_ wird von der Diagonale
_E G_ in _a_ geschnitten. Zieht man von _a_ eine Wagrechte nach _y_ und
von _y_ eine mit _E z_ parallele Linie nach _x_, so erhält man durch
_E p_ und _z p_ die Punkte _c_ und _s_ u. s. w.
§ 104. In Fig. 112 ist von einem beliebigen Punkte _a_ des Halbkreises
_A m B_ eine Senkrechte nach _o_ und von hier eine Linie parallel mit
_E y_ d. h. nach dem Augpunkt gezogen, welche die Diagonalen des
Quadrats _E F z y_ in _i_ und _k_ schneidet. Zieht man nun von _i_ und
_k_ 2 Senkrechte nach der aus _a_ nach dem Augpunkt gehenden Linie, so
erhält man die Punkte _c_ und _r_, vgl. dieselben Punkte in Fig. 110.
[Illustration: Fig. 112.]
Durch eine Wagrechte aus _a_ nach _e_, eine Linie von _e_ nach dem
Augpunkt und 2 Wagrechte aus _c_ und _r_ ergeben sich sodann _d_ und
_s_.
[Illustration: Fig. 113.]
Wenn die seitlichen Kappen, wie in Fig. 113, geschlossen bis auf die
wagrechte Linie herabgehen, auf welcher das Gewölbe ruht, so ist das
leztgenannte Verfahren bequemer als das in § 102 beschriebene. Die
Anwendung desselben auf Fig. 113 ist aus den Constructionslinien zu
ersehen. _A m B_ ist hier nicht ein Halbkreis, sondern ein flacher
Bogen, ein sogenannter Korbbogen. Der obere Teil desselben ist aus dem
senkrecht unter _G_ liegenden Punkte _g_ beschrieben, die Fortsezung
bis _A_ und _B_ kann leicht aus freier Hand ergänzt werden.
§ 105. Ein ~Spizbogen~ wird gebildet durch 2 sich durchschneidende
Bögen, wie _A_, _B_, _C_ Fig. 114 zeigen. In _A_ sind die beiden Bögen
von _a_ und von _b_ aus mit der Zirkelweite _a b_ beschrieben, in
_B_ von den Punkten _m_ und _n_ aus mit der Weite _m c_, in _C_ von
_o_ und _i_ aus mit der Weite _i e_ (_m d_ = _n c_, _o e_ = _i f_).
Die den Spizbogen umgebenden Fugenlinien haben die Richtung nach dem
Mittelpunkte des betreffenden Bogens: in _A_ nach _a_ und _b_, in _B_
nach _m_ und _n_, in _C_ nach _i_ und _o_.
[Illustration: Fig. 114.]
Sind mehrere in einer Flucht liegende Spizbögen in verkürzter Stellung
zu zeichnen, so bilde man das Rechteck eines Spizbogens z. B. _a b c d_
Fig. 115 und ziehe in demselben die senkrechte Mittellinie. Man kann
nun eine der Bogenlinien z. B. _a B_ (leichter als _b B_) aus freier
Hand zeichnen und den Punkt _o_, in welchem sie von der Diagonale _A d_
geschnitten wird, mittels _e f_, _A c_, _g C_ u. s. w. nach _n_, _m_
u. s. w. übertragen, was für gewöhnlich genügen wird. Ist grössere
Genauigkeit erforderlich, so kann mit Hilfe eines Distanzpunktes
anschliessend an _a d_ ein unverkürztes Rechteck _a d z y_ gebildet und
_a h_ als geometrische Form der anstossenden unverkürzten Bogenlinie
gezeichnet werden, worauf der Punkt _i_ nach _e_ und von hier nach _o_,
_n_, _m_ u. s. w. übertragen wird.
[Illustration: Fig. 115.]
§ 106. Als Beispiel eines spizbogigen Kreuzgewölbes ist in Fig. 116
der Deutlichkeit wegen die einfachste Form eines solchen gewählt; es
wird jedoch nicht schwierig sein, das dabei angewandte Verfahren auf
andere Formen, welche sehr mannigfaltiger Art sein können, anzuwenden.
Die Mittelpunkte der Bogen _A m_ und _B m_, _D o_ und _C o_ sind in _a_
und _b_, _e_ und _f_. _A a_ ist ein Viertel von _A B_, _A B C D_ ist
ein Quadrat. _A i_ ist = _A B_; eine Linie von _B_ nach _i_ stellt also
die geometrische Länge der Diagonale _A C_ dar. Es ist nun ein Rechteck
_G H h g_ gebildet, in welchem _G H_ = _B i_ = _A C_ und _G g_ = _A E_
ist; _G H h g_ ist somit die geometrische Form des verkürzten Rechtecks
_A E z C_; der von _g_ nach _h_ führende Bogen ist = der von _A_ nach
_C_ führenden Diagonalrippe. Da _G g_ die Hälfte von _G H_ ist, so
ergibt sich, dass jene Diagonalrippe ein Halbkreis ist. Wird nun _E y_
= _G k_ gemacht, so kann die Lage der Punkte _c_, _s_, _d_ und _r_ wie
bei Fig. 111 bestimmt werden.
[Illustration: Fig. 116.]
§ 107. Fig. 117 zeigt eine von oben gesehene, in 8 Felder geteilte
~Halbkugel~. Der ihren äusseren Umriss bildende Halbkreis ist mit
dem Zirkel vom Mittelpunkt der Linie _A a_ aus beschrieben. Indem
die Linien _A i_ und _a i_ zugleich als Teilungslinien angenommen
wurden, ergeben sich die weiteren Teilpunkte der durch _A_ und _a_
gehenden Kreislinie, nämlich _B_, _C_, _D_, _b_, _c_ und _d_, durch
die Halbierungslinie und Diagonale des jenen Kreis umschliessenden
Quadrats, und es stellt sich der von _C_ durch _i_ nach _c_ führende
Halbkreis als Eine senkrechte Linie dar. Um die verkürzten Halbkreise
_B m o b_ und _D n p d_ zu zeichnen, ist das Quadrat _E F G H_ (_E B_
= der Hälfte von _B D_) senkrecht über _B D b d_ gebildet, in welchem
die auf bekannte Weise bestimmten Punkte _m_, _n_, _o_, _p_ als
Hilfspunkte für jene Halbkreise dienen.
[Illustration: Fig. 117.]
§ 108. In Fig. 118 sei der durch _A B C D_ gehende Kreis und in diesem
der Punkt _B_ gegeben, um von hier aus eine achtseitige eiförmige
~Kuppel~ und darüber eine gleichfalls achtseitige Laterne zu zeichnen.
[Illustration: Fig. 118.]
Die Teilung des Kreises in 8 Teile ist in § 95 Fig. 101 gezeigt. Die
Ausführung in Fig. 118 ist nur insofern verschieden, als hier die
Constructionslinien an die fernere Linie des den Kreis einschliessenden
Quadrats nach unten angefügt sind. Sodann ist entsprechend dem Umfang,
welchen die Laterne haben soll, ein kleinerer Kreis von demselben
Mittelpunkt _y_ aus gezeichnet, welcher durch den von _A_, _B_, _C_,
_D_ nach _y_ gehenden Halbmessern in den Punkten _a b c d_ geschnitten
wird. Die in _a b c d_ errichteten Senkrechten bilden die Ecklinien
der 3 sichtbaren Seiten der Laterne, welche oben und unten durch
Parallelen der Linien _A B_, _B C_ und _C D_ begrenzt sind. Die Linien
_A n_, _B e_, _C o_ und _D m_ treffen in ihrer Verlängerung zusammen
in einem Punkte der senkrechten Mittellinie, hier in _z_, und es ist
zu beachten, dass dieser Punkt bei einer derartigen Kuppelform höher
liegen muss, als der Mittelpunkt des Kreises, welcher durch _n_, _e_,
_o_, _m_ geht, hier also höher, als _x_.