§ 68. Der Beweis und seine Arten.
In einem System der Wissenschaft müssen die Begriffe durch Erklärungen
und Einteilungen ihrem Inhalt und Umfang nach genau bestimmt sein. Diese
Begriffe kommen aber nur zustande durch Urteile, welche ihnen gewisse
Prädikate zu- oder absprechen, und diese Urteile selbst bedürfen der
Begründung, um gültig zu sein. Dies geschieht, indem einzelne Schlüsse
_zum Beweis verbunden werden_ und so jedes einzelne Urteil durch seinen
_Zusammenhang mit andern bereits feststehenden_ in das System der
Wissenschaft aufgenommen wird.
Der Beweis ist also die _syllogistische Ableitung eines Urteils aus
anderen Urteilen, die als gewiß und notwendig erkannt sind_. Doch
bedürfen auch diese eigentlich wieder des Beweises und so führt genau
genommen jeder Beweis zu gewissen Sätzen zurück, die einer Begründung
weder fähig, noch bedürftig sind, zu den _Grundsätzen_ oder _Axiomen_.
_Vom einzelnen Schluß unterscheidet sich der Beweis_ dadurch, daß das zu
beweisende Urteil im voraus bekannt ist und die Veranlassung zum Beweis
bildet, und daß auch auf die materiale Wahrheit der Prämissen Rücksicht
genommen wird. Außerdem stellt der Beweis gewöhnlich eine ganze
Schlußkette dar.
Der Beweis ist ein _direkter_, wenn er die Wahrheit eines Satzes einfach
durch kategorischen oder hypothetischen Schluß aus feststehenden
Prämissen ableitet, ein _indirekter_ oder _apagogischer_, wenn der zu
beweisende Satz aus einem disjunktiven Urteil durch Aufhebung der
übrigen Disjunktionsglieder gewonnen wird. Ein direkter Beweis ist es
z. B., wenn daraus, daß die Summe zweier Winkel eines Dreiecks gleich
einem Rechten ist, bewiesen wird, daß der dritte Winkel ein Rechter sein
muß; ein indirekter Beweis wäre es, wenn von der Disjunktion ausgegangen
würde: Entweder ist er ein stumpfer oder ein spitzer oder ein rechter
Winkel, und aus der Ungültigkeit der beiden ersten Glieder die
Gültigkeit des letzten gefolgert würde.
_Die Widerlegung_ (%refutatio%) ist _der Beweis der Unrichtigkeit eines
Satzes oder eines Beweises_. Die Unrichtigkeit eines Satzes folgt
daraus, daß er selbst oder eine seiner Konsequenzen (%deductio ad
absurdum%) einem wahren Satze widerstreitet. Die Unrichtigkeit wird also
bewiesen durch den Beweis des kontradiktorischen Gegenteils. Die
_Widerlegung eines Beweises_ geschieht durch Entkräftung der
Beweisgründe. Zur _gründlichen_ Widerlegung einer entgegenstehenden
Ansicht gehört aber sowohl der Beweis der eigenen Ansicht, als die
Widerlegung des gegnerischen Beweises.
§ 69. Auffindung und Fehler des Beweises.
Es erhebt sich noch die Frage, _wie der Beweis gefunden wird_. Da der
Beweis durch Schlüsse sich bewegt, so muß er das zu gewinnen suchen, was
die Schlüsse möglich macht, einen _Mittelbegriff_. Wäre der Satz zu
beweisen, daß Tugend lehrbar ist, so müßte ein Mittelbegriff gefunden
werden, der einerseits der Tugend als Prädikat zugesprochen werden und
andrerseits das Subjekt zu lehrbar bilden könnte. Ein solcher
Mittelbegriff ist Wissen, daraus ergibt sich der Schluß: Wissen ist
lehrbar, die Tugend ist Wissen, also ist die Tugend lehrbar. Doch wird
nur selten ein einziger Mittelbegriff genügen. In den meisten Fällen
müssen die Vermittlungen auf umständlichere Weise gesucht werden.
Die _hauptsächlichsten Beweisfehler_ sind, neben den schon genannten
Verstößen gegen die Regeln des Schlusses überhaupt, folgende: