L'enseignement des mathématiques.
Au point de vue de leur rôle éducateur, on peut classer les
sciences de la façon suivante:
1º Les sciences naturelles, qui exercent l'esprit
d'observation;
2º Les sciences physiques et chimiques qui exercent à la fois
l'esprit d'observation et le jugement;
3º Les sciences mathématiques, qui sont considérées comme des
sciences exclusivement de raisonnement, mais que nous
montrerons être expérimentales et devant être apprises d'abord
d'une façon expérimentale.
L'enseignement des mathématiques est très développé chez tous
les peuples latins. Ce sont les connaissances qui exercent chez
eux le plus de prestige. Elles constituent le moyen de
sélection employé pour recruter les candidats des grandes
écoles. Les programmes d'admission à l'École Polytechnique ou à
l'École Centrale, roulent presque exclusivement sur les
mathématiques, et l'enseignement y est surtout mathématique.
Les démonstrations au tableau y remplacent entièrement les
expériences.
Ce n'est pas ici le lieu de rechercher si l'aptitude aux
mathématiques constitue une supériorité transcendante, comme
pourraient le faire croire les programmes d'admission aux
grandes écoles. On montrerait aisément que c'est une faculté
analogue à toute autre disposition pour un art ou une science
quelconques.
Prétendre que le développement de l'enseignement des
mathématiques, tel qu'il est donné par nos grandes écoles,
fortifie le raisonnement et développe le jugement, constitue
une assertion illusoire. Cet avis est, du reste, celui des
savants qui sont le mieux à même de connaître les élèves
adonnés presque exclusivement à ces études. Voici, par exemple,
comment s'est exprimé M. Buquet, directeur de l'École Centrale,
devant la Commission d'enquête:
C'est par les mathématiques élémentaires, par la géométrie,
que les élèves se rendent compte des choses, raisonnent.
Quand on s'enfonce plus avant dans les mathématiques
spéciales, on arrive à une certaine gymnastique de
chiffres, de lettres et de formules, qui ne forme pas
beaucoup l'intelligence, et pas du tout le jugement quand
ils ne sont pas suivis d'explications qu'on devrait donner
et qu'à mon avis on ne donne pas assez, ou précédés
d'études approfondies[201].
[Note 201: _Enquête_, t. II, p. 503. Buquet, directeur de
l'École Centrale.]
Les mathématiques peuvent développer le goût des raisonnements
subtils, mais il est fort douteux qu'elles exercent le
jugement. Les mathématiciens les plus éminents ne savent
souvent pas se conduire dans la vie et sont embarrassés par les
choses les plus simples. Napoléon le constata quand il eut fait
de Laplace, le plus illustre mathématicien de son temps, un
administrateur. Voici comment il raconte lui-même l'aventure:
Géomètre de premier rang, Laplace ne tarda pas à se montrer
administrateur plus que médiocre. Dès son premier travail,
nous reconnûmes que nous nous étions trompé. Laplace ne
saisissait aucune question sous son véritable point de vue;
il cherchait des subtilités partout, n'avait que des idées
problématiques et portait enfin l'esprit des infiniment
petits jusque dans l'administration[202].
[Note 202: Cité par A. Rebierre, _Mathématiques et
Mathématiciens_, 2e édition, p. 185.]
Ce fut, on le sait, à un des plus célèbres mathématiciens
modernes, qu'un facétieux escroc vendit, pendant plusieurs
années, des autographes fabriqués de toutes pièces, de divers
savants illustres, autographes qui furent d'ailleurs reproduits
dans les comptes rendus de l'Académie des sciences. Parmi les
documents ainsi achetés par le candide mathématicien, il y en
avait, paraît-il, de Cléopâtre et de Jésus-Christ! On peut
raisonner parfaitement sur les quantités toujours très simples
qui entrent dans une équation et ne rien comprendre à
l'enchaînement des phénomènes.
Les mathématiques constituent une langue dont la connaissance
ne développe pas plus l'intelligence que celle des autres
langues. Un idiome ne s'apprend pas pour exercer
l'intelligence, mais uniquement parce qu'il est utile à
connaître. Or l'habitude d'écrire les choses les plus simples
en langage mathématique est tellement répandue aujourd'hui
qu'il y a nécessité pour les élèves d'apprendre ce langage,
tout comme ils seraient obligés d'apprendre le japonais ou le
sanscrit si tous les livres de sciences étaient écrits dans ces
langues.
Le seul point important est de savoir comment on peut arriver
rapidement à comprendre puis à parler la langue spéciale des
mathématiciens. Les débuts seuls de cette étude, comme ceux de
toutes les langues, sont difficiles.
Il faut la commencer dès l'enfance, en même temps que la
lecture et l'écriture, mais d'une façon diamétralement opposée
à celle qui s'emploie aujourd'hui.
Elle doit s'enseigner par l'expérience, en substituant aux
raisonnements effectués sur des symboles, l'observation directe
de quantités qu'on peut voir et toucher. Ce qui rend si
difficile l'instruction mathématique pour l'enfant, c'est
l'indéracinable habitude latine de toujours commencer par
l'abstrait sans passer d'abord par le concret.
Si l'ignorance de la psychologie infantile était moins
universelle et moins profonde, tous les pédagogues sauraient
que l'enfant ne peut comprendre les définitions abstraites de
grammaire, d'arithmétique ou de géométrie, et qu'il les récite
comme il le ferait pour les mots d'une langue inconnue. Seul le
concret lui est accessible. Quand les cas concrets se seront
suffisamment multipliés, c'est son inconscient qui se chargera
d'en dégager les généralités abstraites.
Donc les mathématiques doivent, à leur début surtout,
s'enseigner expérimentalement, car, contrairement à l'idée
courante, ce sont des sciences expérimentales. C'est une
opinion que j'ai été heureux de voir défendre par un illustre
mathématicien, M. Laisant:
Je considère, dit-il, _que toutes les sciences_ sans
exception sont expérimentales au moins dans une certaine
mesure. En dépit de certaines doctrines qui ont voulu faire
des sciences mathématiques une suite d'opérations de pure
logique reposant sur des idées pures, il est permis
d'affirmer qu'en mathématiques aussi bien que dans tous les
autres domaines scientifiques, il n'existe pas une notion,
pas une idée qui pourrait pénétrer dans notre cerveau sans
la contemplation préalable du monde extérieur et des faits
que ce monde présente à notre observation[203].
[Note 203: Laisant, examinateur à l'École Polytechnique.
_L'Instruction mathématique, Revue Scientifique_, 1899, p. 358]
Joignant l'exemple à la théorie, M. Laisant montre comment on
peut, avec la règle, le compas, quelques morceaux de carton et
du papier quadrillé, apprendre expérimentalement à un enfant
une partie de l'algèbre, y compris les quantités négatives et
une foule de connaissances géométriques, telles que
l'équivalence du parallélogramme et du rectangle de même base
et de même hauteur, l'aire du triangle, le carré de
l'hypoténuse, etc. J'ajouterai qu'avec un ruban gradué et un
cylindre, on peut lui faire trouver tout seul le rapport du
diamètre à la circonférence et bien d'autres choses encore.
M. Duclaux, membre de l'Académie des sciences, a traité le même
sujet dans un mémoire sur l'enseignement des mathématiques[204]
et arrive à des conclusions analogues.
[Note 204: _Revue Scientifique_, 1899, p. 353.]
Ce savant pense, comme M. Laisant et nous-même, que c'est dès
la plus tendre enfance, c'est-à-dire à l'âge où se créent
certaines habitudes d'esprit, qu'il faut commencer l'étude des
mathématiques, de la géométrie notamment. Il s'est rencontré
avec le célèbre philosophe Schopenhauer, sur les dangers
pédagogiques de la géométrie d'Euclide, livre que 2.000 ans de
vénération respectueuse ont auréolé d'une autorité presque
divine dans l'enseignement, et qui n'a guère réussi qu'à
infuser chez des milliers d'êtres l'horreur intense de la
géométrie. Voici comment s'exprime Schopenhauer:
Nous sommes certainement forcés de reconnaître, en vertu du
principe de contradiction, que ce qu'Euclide démontre est
bien tel qu'il le démontre; mais nous n'apprenons pas
pourquoi il en est ainsi. Aussi éprouve-t-on presque le
même sentiment de malaise qu'on éprouve après avoir assisté
à des tours d'escamotage, auxquels, en effet, la plupart
des démonstrations d'Euclide ressemblent étonnamment.
Presque toujours, chez lui, la vérité s'introduit par la
petite porte dérobée, car elle résulte, par accident, de
quelque circonstance accessoire; dans certains cas la
preuve par l'absurde ferme successivement toutes les
portes, et n'en laisse ouverte qu'une seule, par laquelle
nous sommes contraints de passer, pour ce seul motif. Dans
d'autres, comme dans le théorème de Pythagore, on tire des
lignes, on ne sait pas pour quelle raison; on s'aperçoit,
plus tard, que c'étaient des noeuds coulants qui se serrent
à l'improviste, pour surprendre le consentement du curieux
qui cherchait à s'instruire; celui-ci, tout saisi, est
obligé d'admettre une chose dont la contexture intime lui
est encore parfaitement incomprise, et cela à tel point
qu'il pourra étudier l'Euclide entier sans avoir une
compréhension effective des relations de l'espace; à leur
place, il aura seulement appris par coeur quelques-uns de
leurs résultats... A nos yeux, la méthode d'Euclide n'est
qu'une brillante absurdité[205].
[Note 205: _Le monde comme volonté et comme représentation_, t.
I, p. 76.]
M. Duclaux qualifie très justement l'ouvrage d'Euclide de livre
«terriblement ennuyeux, méticuleux, pédant et qui subtilise sur
tout». Il montre l'absurdité de vouloir démontrer des vérités
qu'on saisit par intuition, telles par exemple celle-ci: un
côté quelconque d'un triangle est plus petit que la somme des
deux autres--proposition connue du plus humble caniche, qui
sait fort bien que la ligne droite est le plus court chemin
d'un point à un autre. Pourquoi vouloir démontrer à l'enfant
que deux circonférences de même rayon sont égales? L'élève
s'apercevra parfaitement tout seul que si après avoir tracé une
circonférence avec son compas ouvert, il en fait une seconde
sans changer l'écartement du compas, il tracera la même courbe
que la première fois. «Rien n'est plus pitoyable, conclut M.
Duclaux, que l'enseignement de la géométrie. Voici plus de
trente ans que je fais passer des examens du baccalauréat et
que je constate cette décadence. Je ne crois pas qu'il y ait en
ce moment plus d'un élève sur vingt qui ait le sentiment net de
la méthode euclidienne. C'est bien la peine de l'avoir suivie,
et vraiment je crois que l'enseignement secondaire ferait bien
d'y renoncer.»
Peu d'auteurs ont tenté de présenter les mathématiques sous
forme concrète, ou du moins de n'arriver à l'abstrait qu'après
être passé par le concret[206]. Il faudrait, il est vrai, avoir
presque du génie pour réussir à écrire un livre qui conduirait
l'élève par des méthodes expérimentales de l'enseignement
primaire jusqu'au calcul infinitésimal. Un tel ouvrage n'ayant
aucune chance d'être adopté dans les écoles ne sera
certainement jamais écrit.
[Note 206: Je ne vois que quatre auteurs à citer. Macé pour
l'arithmétique, Clairaut pour la géométrie, Lagout, ingénieur
en chef des Ponts et Chaussées, pour l'algèbre et la géométrie,
et Laisant pour l'enseignement général des mathématiques.]
Pour qu'il puisse l'être, les pédagogues devraient d'abord
essayer de se faire une idée de la psychologie de l'enfant,
qu'ils ne soupçonnent guère, à en juger par leurs méthodes
d'enseignement. Seulement alors ils pourraient comprendre
l'absurdité de commencer l'enseignement de toutes choses,
langues, mathématiques, etc., par l'apprentissage mnémonique de
règles et de symboles abstraits, alors que l'intelligence de
l'enfant--et sur ce point beaucoup d'hommes restent longtemps
enfants--ne peut saisir que le concret.
Le principe général de tout ce qui précède: donner la notion
expérimentale des choses avant d'expliquer les transformations
de leurs symboles, ne s'applique pas seulement à l'enseignement
primaire des mathématiques, mais bien à l'enseignement
secondaire et même supérieur. Il existe une méthode, la méthode
graphique, qui a transformé l'art de l'ingénieur et qui permet
de représenter les diverses phases des phénomènes, les
variations des grandeurs, et révèle, tout aussi bien aux
mathématiciens qu'aux élèves, les relations voilées sous les
symboles.
Une grandeur quelconque, force, poids, durée, température,
etc., peut s'exprimer soit par des chiffres ou des lettres
équivalentes, soit par des lignes. L'expression par des
chiffres ou des lettres représente les méthodes numérique et
algébrique, l'expression par des lignes, la méthode graphique.
Quand il s'agit de traduire, et surtout de comparer les
rapports et les changements de grandeurs variables, la seconde
est à la première ce que serait la carte d'un fleuve à la
description en langage ordinaire des sinuosités de ce fleuve.
Rien n'est plus facile que d'amener un jeune élève à comprendre
par la méthode graphique les principes fondamentaux de la
géométrie analytique, qui ne fait que traduire les relations
existant entre les coordonnées d'une courbe. On montre très
facilement, d'une façon expérimentale, qu'une courbe quelconque
est graphiquement déterminée quand on connaît la distance de
plusieurs de ses points à deux axes fixes, perpendiculaires
l'un à l'autre. Il sera bien aisé ensuite de faire saisir que
le géomètre, l'astronome, le géographe, l'architecte,
n'emploient pas d'autre méthode que ce procédé graphique pour
déterminer sur la carte la position d'un point quelconque. Il
suffit de montrer expérimentalement que la position d'une
partie quelconque d'un objet est déterminée sur un plan quand
on connaît ses distances horizontales et verticales à ce plan.
On explique alors à l'élève que le nom seul de ces deux
longueurs, dites coordonnées, varie suivant les choses
auxquelles on les applique. En géographie, les deux coordonnées
d'un point s'appellent longitude et latitude; en astronomie,
ascension droite et déclinaison; en géométrie analytique,
abscisse et ordonnée. Sous des noms différents, c'est
exactement la même chose.
Si l'élève arrive en réfléchissant, à voir qu'avec l'emploi de
deux coordonnées on ne donne que deux des dimensions d'un même
objet, c'est-à-dire la longueur et la largeur, mais non son
épaisseur, il sera bien simple de lui montrer expérimentalement
que la troisième dimension des corps, la hauteur d'une montagne
par exemple, peut être représentée également par la méthode
graphique. Il suffira de lui indiquer avec un verre d'eau et un
corps solide quelconque plus ou moins immergé comment se
construisent les courbes dites d'égal niveau, avec lesquelles
sont fabriqués les plans en relief et qu'un enfant peut
apprendre facilement à construire.
Les équations et les formules par lesquelles les mathématiciens
expriment les relations entre les diverses grandeurs,
constituent un mode de raisonnement très abrégé, très utile à
connaître, mais qui présente, surtout au début de
l'enseignement, l'inconvénient de faire perdre de vue la nature
des faits sous les transformations des signes qui les
représentent.
Les résultats de la méthode graphique sont fort différents.
Elle donne aux grandeurs des valeurs figurées, dont l'aspect
est frappant, et dont il est facile de saisir les relations,
alors même que ces relations ne pourraient être traduites que
par des équations d'une complexité extrême. Sans doute de
telles lignes sont, elles aussi, des symboles, mais ces
symboles figurés ont une clarté que les chiffres ou les lettres
ne sauraient offrir à l'esprit[207].
[Note 207: On connaît les applications de la méthode graphique
à la statistique. Elle a été aussi, bien que trop rarement,
appliquée à l'histoire. Elle y remplacerait utilement bien des
pages de littérature. Je citerai comme exemple de cette
application le graphique construit autrefois par Minard et
destiné à représenter les pertes de l'armée française dans la
campagne de Russie de 1812. Il constitue la plus concise, la
plus éloquente et la plus instructive des pages d'histoire que
je connaisse. L'armée française, au moment où elle franchit le
Niémen, est représentée par un ruban qui va en décroissant
toujours dans la proportion des pertes qu'elle subit. La large
bande du départ n'est plus qu'un mince filet au retour. Ce
tableau montre tout de suite combien sont erronées les idées
qu'on se fait souvent de cette campagne, en répétant que ce
sont les froids et la neige qui anéantirent la Grande Armée. La
vérité est que plus des trois quarts en étaient détruits avant
que la retraite fût commencée. Des 422.000 hommes qui
franchirent le Niémen, et dont 10.000 à peine devaient le
revoir, 322.000 hommes étaient morts avant d'arriver à Moscou,
et, quand les grands froids commencèrent, des 100.000 repartis
de Moscou, il en restait à peine la moitié. Le froid n'eut donc
à sévir que sur des débris, et sans son action, la campagne
n'en fût pas moins restée un des plus grands désastres des
temps modernes.]
Appliquée à la recherche des relations des diverses grandeurs
entre elles, la méthode graphique possède sur l'expression
algébrique et numérique une supériorité incontestable, et il
serait fort utile de l'introduire dans l'enseignement des
mathématiques élémentaires. On leur ôterait ainsi ce qu'elles
ont parfois d'empirique et d'abstrait. Loin de développer
l'aptitude à raisonner, les mathématiques, telles qu'on les
enseigne, produisent souvent un résultat tout à fait contraire.
La plupart des raisonnements mathématiques sont d'ailleurs
d'une très grande simplicité. C'est uniquement la difficulté de
manier des formules, dont on ne saisit pas le sens pendant la
série de leurs transformations, et l'impossibilité de
considérer les choses en elles-mêmes, qui rendent ces formules
d'un emploi compliqué. «Ce qui a pu faire illusion à quelques
esprits, dit le grand mathématicien Poinsot, sur cette espèce
de force qu'ils supposent aux formules de l'analyse, c'est
qu'on en retire avec assez de facilité des vérités déjà
connues, et qu'on y a pour ainsi dire soi-même introduites, et
alors il semble que l'analyse nous donne ce qu'elle ne fait que
nous rendre dans un autre langage.»
La simplicité des raisonnements mathématiques est prouvée
d'ailleurs par ce fait que l'on construit des machines peu
compliquées résolvant aisément les plus difficiles problèmes de
l'algèbre et du calcul intégral. (Résolution des équations,
quadrature des surfaces, etc.) On ne voit pas d'autres sciences
où le raisonnement direct pourrait être remplacé par les
opérations d'une machine.