Wird die abzuziehende Grösse auf beiden Seiten addiert und sodann
Gleiches vom Gleichen subtrahiert, so erhält man 5x = 20, x = 4.
Es folgt die Probe, man kann wohl sagen bedauerlicherweise.
Beispiel 2: I, 32, W. 37. Zwei so beschaffene Zahlen zu finden, dass
ihre Summe 20 und die Differenz ihrer Quadrate 80, (auch diese Aufgabe
ist allgemein gestellt und wird am Beispiel allgemein gelöst).
Wir setzen die Differenz beider Zahlen 2x, so wird die grössere x + 10,
die kleinere 10 - x betragen. Nun ist noch zu bewirken, dass die
Differenz ihrer Quadrate 80 ist, sie ist aber 40x, also die grössere
12, die kleinere 8.
II, 9. W. 52. Zweite Lösung der Aufgabe eine gegebene Quadratzahl (16),
in zwei Quadrate zu zerlegen.
x sei die eine Seite, die andere gleich einem um die Seite des
gegebenen Quadrats verminderten ¨beliebigen¨ Vielfachen von x, etwa
2x - 4, x = 16/5, y = 12/5.
Zu dieser Aufgabe bemerkt ¨Fermat¨ am Rand:
Dagegen ist es ganz unmöglich, einen Kubus in zwei Kuben, ein Biquadrat
in 2 Biquadrate und ¨allgemein irgend eine Potenz ausser dem Quadrat
in zwei Potenzen von demselben Exponenten¨ zu zerfällen. Hierfür habe
ich einen ¨wahrhaft wunderbaren Beweis¨ entdeckt, aber der Rand ist zu
klein ihn zu fassen. --
M. H. es gibt seit 200 Jahren wohl keinen wirklichen Mathematiker, der
nicht versucht hatte, den ¨Fermatschen Satz¨ zu beweisen, aber es ist
selbst ¨Euler¨, ¨Dirichlet¨ und ¨Kummer¨ nicht gelungen. Kummer hat
mit der ad hoc geschaffenen Theorie der idealen Primzahlen den Satz
bewiesen, mit Ausnahme der sogn. ¨Bernoullischen¨ Zahlen. Aber dass
Fermat sich getäuscht habe, ist beinahe ausgeschlossen.
III, 22. Vier Zahlen der Beschaffenheit zu finden, dass das Quadrat
ihrer Summe ein Quadrat bleibt, wenn jede der vier Zahlen zu ihm
addiert oder von ihm subtrahiert wird.