Zu den von Heron benutzten Autoren kommt nach Metrik S. 58 Z. 19 noch

¨Hipparch¨ hinzu und ¨Apollonios¨ de sectione spatii (ἡ του χωριου

αποτομη) Schöne S. 162, sowie ¨Dionysodoros¨ dessen Kugelteilung

Eutokios gegeben. Auch die Heronische Würfelverdoppelung zeigt den

Einfluss des Apollonios. Ungelöst ist auch noch die Frage inwiefern

Heron für seine Geschützlehre und seine Lehre vom Luftdruck aus

¨Philon¨ von ¨Byzanz¨ (Φιλων ὁ βυζαντιος.) geschöpft hat. Die

Vorstellung, dass schwere Körper schneller fallen müssen als leichte

findet sich z. B. bei Beiden. Die Zuverlässigkeit der Literaturangaben

des ¨Eutokios¨ ist durch die Auffindung der Mechanik wieder bestätigt

worden, Eutokios überschreibt die Lösung mit den Worten »wie ¨Heron¨

in der Einführung in die Mechanik und in den Belopoiika (Anfertigung

von Geschützen)« und sie hat sich auch in der Mechanik, Ausgabe von Nix

S. 24 gefunden.

Ich möchte zu den Datierungsfragen allgemein bemerken, dass was für

Indien gilt mutatis mutandis auch für alle diese Streitfragen gilt.

Der gedankliche Zusammenhang, die Darstellung, die Hilfsmittel sind

der wichtigste Anhaltepunkt, und der spricht für Heron entschieden für

engen Anschluss an Archimedes, wie es insbesondere die Metrika zeigen

und für die ¨Cantorsche¨ Auffassung, welche auch von ¨Hultsch¨ geteilt

wurde. Auch die sehr sorgfältige Dissertation von ¨R. Meier¨ de Herone

aetatis, Leipz. 1905 kommt zum gleichen Resultat. Wie die Heronische

Frage hat entstehen können, darüber spricht sich ¨Cantor¨ völlig

zutreffend aus. Für 1-1/2 Jahrtausend ist wie Euklid für Mathematik so

Heron Lehrer für Geodäsie und angewandte Mechanik. Überaus zahlreich,

griechisch, lateinisch, arabisch, sind die Codices, Excerpte,

Bearbeitungen und ebenso zahlreich sind die Entstellungen und Zusätze,

Verschlimmbesserung der Abschreiber und Ausschreiber.

[Sidenote: Heron, Werke.]

Während die physikalischen Schriften Herons ab und an ediert sind,

ist die erste kritische Ausgabe der unter seinem Namen gehenden

mathematischen Schriften von ¨Fr. Hultsch¨, der bei seiner grossen

Arbeit über die Schriftsteller der Alten, welche sich mit Messkunst

beschäftigten, sich mit Heron beschäftigen musste. Die Hultsche Ausgabe

von 1864, für ihre Zeit mustergiltig, gibt uns den griechischen

Text möglichst bereinigt, sie enthält die Heronischen Definitionen,

die jetzt noch oder wieder für teilweise echt gelten, die Geometria

und als Anhängsel einige an sich wichtige Tafeln der Masse, die

aber grösstenteils unecht sind, dann die Stereometrie, ein Buch

über Flächen- und Raummessung, dann das liber geoponicus, das ein

ziemlich dürftiges Excerpt ist, wie der 8. Abschnitt ein ungenaues

Excerpt aus der unten zu besprechenden Dioptra, und dann vergleichende

Zusätze. Aber nach etwa einem Menschenalter machten grossartige neue

Funde (s. u.) eine neue Ausgabe nötig. Sie ist von ¨W. Schmidt¨,

einem Hultsch ebenbürtigen Kenner der antiken math. Schriftsteller,

unternommen, als Gesamtausgabe Herons und mit ¨deutscher Übersetzung¨.

Erschienen sind: Band 1, 1899 von ¨W. Schmidt¨, die »Druckwerke« und

»das Automatentheater«, mit einem Supplementheft: die Geschichte der

Textüberlieferung und Griech. Wortregister.

Bd. II, 1900 die Mechanik und Katoptrik, erstere von ¨L. Nix¨ aus

dem Arabischen, letztere von ¨W. Schmidt¨; -- B. III 1903, die

Messungslehre (Metrika) und die Dioptra »Vermessungslehre« von

¨H. Schöne¨. Leider ist der verhältnismässig jugendliche ¨W. Schmidt¨

Hultsch im Tode vorausgegangen. Aber schon das jetzige genügt um sich

von Herons wirklicher Bedeutung ein Bild zu machen, und zeigt, dass der

grösste Teil der von Hultsch edierten Schriften höchstens inhaltlich

auf Heron zurückgeht. ¨W. Schmidt¨ konnte die Ansicht Hultschs

bestätigen, wonach sich Herons Schriften vermutlich auf drei grosse

Werke verteilten: 1. Über Feldmesskunst, von denen die grosse Arbeit

über die Dioptra die wichtigste ist. 2. Über Mechanik. 3. Über Metrik,

d. h. die Lehre vom Inhalt der Flächen und Körper.

[Sidenote: Heron, Leben.]

Von den Lebensumständen Herons scheint noch festzustehen, dass er in

Alexandrien ähnlich wie Pappos einen zahlreichen Schülerkreis um sich

gesammelt hatte, sodass seine Werke als Lehrbücher für seine Schüler

vielleicht im Auftrage der Regierung entstanden sind. Es ist nicht

unwahrscheinlich, dass Heron selbst ägyptischer Nationalität war, was

auch seinen Stil erklären würde. Jedenfalls hat er auf ägyptische

Feldmesser als Leser und Hörer gerechnet, und war mit den ägyptischen

Methoden völlig vertraut. Rätselhaft war lange Zeit die Methode mit

der Heron besonders in Metrik und Dioptra die auffallend genauen

Quadratwurzeln gezogen und in der Metrik sogar die Kubikwurzel aus 100

(S. 78). ¨G. Wertheim¨ einer der tüchtigsten Schüler ¨M. Cantors¨ hat

das Rätsel gelöst. Die kurze Notiz steht Cantor-Schlömilch Hist. litt.

Abt. Band 44, 1899 S. 1, es ist so ziemlich das letzte Vermächtnis des

Diophantherausgebers.

[Sidenote: Herons Wurzelausziehung.]

Heron will ∛100 bestimmen. Die Kuben zwischen denen 100 liegt sind 64

und 125, die erstere ist um 36 zu klein, die letztere um 25 zu gross.

Die ∛ sind bezw. 4 und 5. Daher wird ∛100 gleich 4 + einem Bruche sein.

Um den Zähler zu finden multipliziert er 36 mit 5, gibt 180. Der Nenner

ist 100 + 180. Der Bruch ist also 9/14 und so ergibt sich ihm der

Näherungswert 4-9/14.

Wertheim nimmt nun nicht wie ¨M. Curtze¨, der Freund und Genosse

¨M. Cantors¨, die 5 als √25 sondern als ∛125 und 100 sieht er nicht wie

¨Curtze¨ als den gegebenen Radikand an, sondern als das Produkt von 4

als ∛64 mit 5^3 - 100.

ȬAuf diese Weise stellt sich Herons Verfahren als ein dem doppelten

falschen Ansatz analoges dar.¨«

Ich erinnere, dass schon die ältesten Ägypter die Regula falsi

benutzten. Wertheim zeigt, dass die ebenso rätselhaften Näherungswerte

des ¨Archimedes¨ für die Quadratwurzeln mit der gleichen Methode

gefunden werden können und weist dies an den Grenzwerten des der √3 aus

der Kreismessung 265/153 und 1351/780 nach. Dieser Nachweis macht die

Erklärung Wertheims wahrscheinlicher als die sachlich einfachere der

am selben Ort mitgeteilten von ¨A. Kerber¨ sub. 9. Nov. 1897 an Curtze

gesandt.

Sei die zu kleine Wurzel a, und die um 1 grössere schon zu grosse a^1,

so ist (x^3 - a^3) = f = (x - a)(x^2 + ax + a^2) annähernd gleich

(Zeichen ～): (x - a)3ax. Ebenso ist -f^1 ～ 3a^1x, und durch Division

erhält man f/-f^1 ～ (x - a)a/((x - a^1)a^1), wenn man x - a = z setzt,

so ist x - a^1 = z - 1 und z = (fa^1)/(a^1f + af^1) und dies ist die

Korrektion des Heron.

Die Methode würde für die Quadratwurzel ergeben z = f/(a + a^1) also

für √63; z = 14/15 aber Heron setzt sie gleich 7-1/2, 1/4, 1/8, 1/16,

(gut ägyptisch), das ist 7-15/16, welches genauer ist als 7-14/15 und

für √67500 statt 259 den Wert 259-419/515, was bedeutend genauer als

Herons Wert, der auffallend ungenau; es ist seltsam, dass Heron nicht

260 gewählt hat. Aber auch der vierfache falsche Ansatz passt für √63

nicht. Denkt man aber an die alte ägyptische Unterteilung und bedenkt,

dass die Näherungsformel √(a^2 + ε) ～ a + ε/(2a + 1) zunächst 7-14/15

gab, so liegt es nahe, dass probeweise 7-15/16 gesetzt wurde. Übrigens

findet sich bei ¨Theon¨ von Smyrna ein Kettenbruchverfahren für √2, und

dieses oder ein sehr ähnlicher Algorithmus ist vermutlich Archimedes

und Heron auch bekannt gewesen.

[Sidenote: Heron als Schüler des Ktesibios.]

Dass ¨Heron¨ nicht nach ¨Caesar¨ gelebt haben kann, das geht schon

aus der Abhängigkeit ¨Vitruvs¨ von Heron hervor, die ich schon um

deswegen nicht bezweifle, weil Vitruv den Heron nicht erwähnt. Als

sein Lehrer gilt ¨Ktesibios¨, weil ein Werk des Heron die βελοποιικα,

Geschützverfertigung, in einigen Handschriften darunter die beste,

überschrieben ist Ἡρωνος Κτησιβιου βελοποιικα. ¨Wilhelm Schmidt¨, der

verdienstvolle Neubearbeiter des Heron, verwirft diese Begründung, und

mit Recht, spricht sich aber über die Tatsache selbst nicht weiter

aus. Mir scheint das Faktum richtig. Dass auch Heron ein Alexandriner,

Αλεξανδρευς, gewesen wie Ktesibios steht fest, und dass Ktesibios der

ältere war, ebenfalls, und gerade in den »Pneumatika« der Lehre von

der mechanischen Anwendung des Luftdrucks, schliesst sich Heron eng an

Ktesibios an. Und sehr spricht für das Schülerverhältnis die Stelle

bei ¨Proklos¨, Friedl. S. 41: και ἡ θαυματοποιικη τα μεν δια πνων

φιλοτεχνουσα, ὡσπερ και Κτησιβιος και Ἡρων πραγματευονται.

[Sidenote: Der Dampf als Motor.]

Nach ¨Susemihl¨ lebte Ktesibios unter Ptolemaios Philadelphos und

Euergetes I in Alexandrien und zeichnete sich durch Erfindung

schwerer Geschütze, die er mit komprimierter Luft trieb, aus. Wohl

war die Triebkraft der gepressten Luft schon dem ¨Aristoteles¨

bekannt, aber die Windbüchse hat jener konstruiert, der nicht mit dem

anderen Ktesibios, der eine Wasserorgel konstruiert hat »dem Sohn

des Bartscherers« zu verwechseln ist. Ktesibios konstruierte auch

einen Apparat zur Mauerersteigung, sowie Automaten und schrieb eine

theoretische Mechanik. An ihn schliesst sich Heron als praktischer

Mechaniker zunächst an, in der Schrift »πνευματικα,« Druckwerke, in

2 Büchern, welche besonders den Luftdruck verwertet, allerdings ohne

die heutige Theorie. Die in der Einleitung erwähnte Schrift über die

Wasseruhren (wörtlich Stundenzeiger mittelst Wassers) in 4 Büchern ist

bis auf ein ganz winziges Fragment verloren. Neben vielen ergötzlichen

Spielereien findet sich darin der Heber (Philon) der Heronsbrunnen, der

Heronsball, das Gesetz der kommunizierenden Röhren, die Druckpumpe,

die Feuerspritze, ¨die nachweislich erste Anwendung des Dampfes als

Triebkraft¨, ein Dampfkessel mit Innenfeuerung und Schlangenrohr als

Badeofen etc. Unter den Automaten ist die sich selbst regulierende

Lampe, das automatische Restaurant etc.

[Illustration]

[Sidenote: Anwendungen des Dampfes.]

Ich gebe hier II, VI die erste konstatierte Anwendung des Dampfes

als Motor, nach ¨W. Schmidts¨ neuer Ausgabe wieder. »Ferner Kugeln,

welche sich auf Luft bewegen. Ein Kessel mit Wasser, der an der Mündung

verstopft ist, wird unterfeuert, s. Fig. Von der Verstopfung aus

erstreckt sich eine Röhre, mit welcher oben eine hohle Halbkugel durch

Bohrung in Verbindung gesetzt worden ist. Werfen wir nun ein leichtes

Kügelchen in die Halbkugel, so wird es sich ergeben, dass der aus dem

Kessel durch die Röhre getriebene Dampf das Kügelchen in die Luft

emporhebt, so dass es darauf getragen wird.«

Ist hier der Dampf nur zur Spielerei benutzt, so leistet in II 34 in

dem Badeofen, nach seiner Form die einem römischen Meilenstein ähnelt,

Miliarion genannt, der Dampf nützliche Dienste. Die Figur bedarf keiner

Erläuterung. Wir haben hier einen ¨Dampfkessel mit Innenfeuerung¨ und

den Anfang des kupfernen Schlangenrohres, welches etwas später daraus

hervorging. Der Dampf steigt durch eine Röhre, welche in das den Deckel

durchsetzende Rohr eingeschlossen und darin drehbar ist, in den Mund

des kleinen Genius, der nur als Blasebalg für die Kohlenfeuerung dient.

Hier wird man wohl wieder sagen müssen, dass es nichts Neues unter der

Sonne gibt.

[Illustration]

[Sidenote: Automatentheater.]

An die Pneumatika schliesst sich das »Automatentheater« wie

¨W. Schmidt¨ sinngemäss den eigentlichen Titel Περι αυτοματοποιητικης

übersetzt; auch hier wie Heron selbst angibt, in der Einleitung zu

den stehenden Automaten, Schmidt I, S. 404, Z. 12, stützt er sich auf

¨Philon¨. Die Automaten, die heute bei uns nur noch auf den Jahrmärkten

und zu Reklamezwecken in den Schaufenstern dienen, abgesehen von den

grässlichen Musikautomaten, spielten im 17. und 18. Jahrh. eine sehr

grosse Rolle in den Belustigungen auch der Hochgestellten, -- ganz wie

zur Zeit des Philon und Heron. Ich gebe hier den Bericht des Heron über

die Aufführung der Pantomime Nauplios (durch Philon). Der Sage nach war

Nauplios der Vater des Palamedes, der den Tod seines Sohnes Palamedes,

an den Argivern rächte, den Odysseus um seinen Konkurrenten in der

Klugheit zu beseitigen, verursacht hatte. Athene stand ihm bei, sie

zürnte besonders Ajax dem Lokrer, der ihr Palladion geschändet hatte.

Also: auf der Bühne war das auf Nauplios bezügliche Stück vorbereitet

(das Stück selbst: μύθος, vermutlich von Sophokles), das Einzelne

verhielt sich so: Zu Anfang öffnete sich die Bühne, dann erschienen

zwölf Figuren im Bilde, diese waren auf drei Reihen verteilt. Sie

waren als Danaer dargestellt, welche die Schiffe ausbessern und

Vorbereitungen treffen um sie ins Meer zu ziehen. Diese Figuren

bewegten sich, indem die einen sägten, die andern mit Beilen zimmerten,

andere hämmerten, wieder andere mit grossen und kleinen Bohrern

arbeiteten. Sie verursachten ein der Wirklichkeit entsprechendes,

lautes Geräusch. Nach geraumer Zeit wurden aber die Türen geschlossen

und wieder geöffnet, und es gab ein anderes Bild. Man konnte nämlich

sehen, wie die Schiffe von den Achäern ins Meer gezogen wurden.

Nachdem die Türen geschlossen und wieder geöffnet waren, sah man

nichts auf der Bühne als gemalte Luft und Meer. Bald darauf segelten

die Schiffe in Kiellinie vorbei. Während die einen verschwanden, kamen

andere zum Vorschein. Oft schwammen auch Delphine daneben, die bald

im Meere untertauchten, bald sichtbar wurden, wie in Wirklichkeit.

Allmählich wurde das Meer stürmisch und die Schiffe segelten dicht

zusammengedrängt. Machte man wieder zu und auf, war von den Segelnden

nichts zu sehen, sondern man bemerkte Nauplios mit erhobener Fackel

und Athene, welche neben ihm stand. Dann wurde über der Bühne Feuer

angezündet, wie wenn oben die Fackel mit ihrer Flamme leuchtete. Machte

man wieder zu und auf, sah man den Schiffbruch und wie Ajax schwamm.

Athene wurde auf einer Schwebemaschine und zwar oberhalb der Bühne

emporgehoben, Donner krachte, ein Blitzstrahl traf unmittelbar auf der

Bühne den Ajax und seine Figur verschwand. So hatte das Stück, nachdem

geschlossen war, ein Ende.

[Sidenote: Heron, Euthytonos (Geradspanner).]

[Illustration]

Es folgen dann die genauen Vorschriften zur Anfertigung der Automaten.

Die Pneumatik zeigt zugleich, wie falsch die Vorstellung ist, dass das

Experimentieren erst etwa durch Bacon erfunden sei, z. B. Pneum. 28,

29, aber nicht nur Heron war ein tüchtiger Experimentator, sondern

schon ¨Demokrit¨ hat seine physikalischen Theorien auf Experimente

gestützt, indem er z. B. Versuche über Filtrierung von Meerwasser

angestellt hat.

[Sidenote: Geschützverfertigung.]

Es folgt die βελοποιικά, den Titel hat H. Degering nicht ohne Geist

erklärt als Herons Bearbeitung von Ktesibios Geschützverfertigung;

die Frage nach den antiken Geschützen, für die bisher das grosse

Werk von ¨Köchly¨ und ¨Major Rüstow¨ ausschlaggebend war, ist durch

die Versuche von ¨E. Schramm¨ in Metz in ein neues aber noch nicht

abgeschlossenes Stadium getreten. Dass Griechen und Römer über ein

sehr hochentwickeltes Geschützwesen verfügten und eigene kaiserliche

Waffentechniker, armamentarii imperatoris, besassen ist bekannt; soll

doch nach Athenodoros der Winkelspanner des Archimedes einen 12elligen

Balken auf die Weite eines ¨Stadions¨ geworfen haben.

Die Figur S. 323 stellt den ¨Geradspanner¨ (Euthytonos) des Heron dar.

[Illustration]

[Sidenote: Das Delische Problem.]

Der Schluss des Werkes enthält die von Eutokios mitgeteilte

Konstruktion für das Delische Problem, welche mit der des Apollonios

im Prinzip und mit der des ¨Philon¨, der als 4. Buch seiner Mechanik

ebenfalls über Geschützbau ausführlich gehandelt hat, übereinstimmt.

Sollte die Kraft der Geschosse verdreifacht werden, so musste der

Cylinder, der den Spanner aufnahm, verdreifacht werden und damit war

das Delische Problem gegeben, dessen Lösung sich von der des Apollonios

und besonders der des Philon nur sehr wenig, und im Prinzip gar nicht

unterscheidet.

Der Bericht des Eutokios ist überarbeitet, der des Pappos III p. 62

scheint fast genau mit dem Original zu stimmen, bis auf geringfügige

Zusätze, wie z. B. gleichen Umfang παραλληλογραμμον. Das Original

ist zum Schluss vollständig verworren, und ich folge der von Köchly

jedenfalls mit Benutzung von Pappos gegebenen Sanierung und nicht der

in der Mechanik S. 24 aus dem Arabischen übertragenen. Die Konstruktion

des Philon die bei Eutokios sich anschliesst findet sich Köchly S. 238

skizziert.

[Illustration]

Heron: Es seien αβ, βγ die gegebenen Strecken, senkrecht zu einander,

es soll das Rechteck αβγδ vollendet und δγ, δα verlängert worden sein.

Du sollst an Punkt β ein Lineal anlegen, das die verlängerten Strecken

schneidet und das besagte Lineal bewegen bis die zwei ε mit den

Schnitten verbindenden einander gleich sind. Es habe nun das Lineal die

Lage der Geraden ζβη und die beiden andern Geraden seien εζ und εη, so

behaupte ich, dass αζ, ηγ die mittleren Proportionalen der Strecken αβ,

βγ sind.

Der Beweis mittelst (a + b)(a - b) gleich a^2 - b^2 (oder auch mit dem

Potenzsatz) ist ohne weiteres klar.

Die Konstruktion des Philon führt die Gleichheit von ζε und ηε auf die

von ζβ und ηθ zurück, was mittelst geteilten Drehlineals praktisch

vorteilhaft ist.

[Sidenote: Katoptrik.]

Ebenfalls experimenteller Physik gehört Herons ¨Katoptrik¨, die Lehre

vom reflektierten Licht an, die Lehre vom Spiegel, Winkelspiegel,

Vexierhohlspiegel, Spiegel zu Geistererscheinungen etc. Sie ist jetzt

unter den Werken Herons von W. Schmidt 1901 (Bd. II) herausgegeben,

nach einem lat. Manuskript des Wilhelm von Mörbeck, den wir schon bei

Archimedes als Übersetzer erwähnten. Das griech. Original wird sich

vermutlich im Vatikan finden, jedenfalls hat es sich dort befunden. Die

Schrift war unter dem Titel Claudii Ptolemei de Speculis 1518 gedruckt

worden. Als die weit über Heron hinausgehende Optik des ¨Ptolemaios¨

in einer aus dem Arabischen übersetzten Optik des Admirals Eugenius

Siculus (vgl. die Einleitung W. Schmidts S. 303) erkannt war, bewiesen

¨H. Martin¨, ¨Rose¨ und ¨Schmidt¨ dass jene frühere Schrift eine

verkürzte und verstümmelte Wiedergabe der Katoptrik des Heron sei, von

der Kunde existierte.

[Sidenote: Reflexionsgesetz.]

Heron legt die Emissionstheorie zugrunde, die Sehstrahlen sind eine Art

Äthermoleküle, die vom Auge aus mit unendlicher Geschwindigkeit gesandt

werden. Seine mathematischen Ableitungen beruhen auf dem Satz: das

Licht bewegt sich auf kürzestem Wege (wie s. Z. ¨Fresnel¨). Ich gebe

die Einleitung wörtlich und die Ableitung des Reflexionsgesetzes aus

Kp. IV und V dem Sinne nach. Einleitung:

»Da es zwei Sinne gibt, durch welche man nach Platon zur Weisheit

gelangt, nämlich das Gehör und das Gesicht, so hat man sein Augenmerk

auf beide zu richten. Von dem, was in das Gebiet des Gehörs fällt,

beruht die Musik auf der Kenntnis der wohlklingenden Tonbildung und

ist, um es kurz zu sagen, die Theorie von dem Wesen der Melodie und

den Gesetzen der Tonlehre. Was die Möglichkeit betrifft, dass die

Welt entsprechend der musikalischen Harmonie geordnet sei, so stellt

die Theorie viele verschiedenartige Behauptungen darüber auf. Wenn

man nämlich den ganzen Himmel der Zahl nach in acht Sphären einteilt,

nämlich in die der 7 Planeten und in diejenige, welche alle (sieben)

umfasst und welche nur die Fixsterne tragt, so ist die Folge, dass bei

den Planeten das Vorrücken der Gestirne melodiös und harmonisch wird

wegen der gleichmässig starken Bewegungen unter ihnen, wie auch auf dem

Instrumente der Leier die Saiten melodisch erklingen. Denn wie man

sich vorstellen muss, vernimmt man infolge des Vorrückens der Gestirne

durch die Luft gewisse Töne und zwar bald tiefere, bald hellere, je

nachdem die einen sich langsamer, die andern sich schneller bewegen.

Wie wir also nach dem Anschlagen der Saite die Luftschwingungen

erkennen, so gewährt, wie man sich denken muss, uns die Luft dadurch,

dass sie infolge der Bewegung der Gestirne durch den Tierkreis

ununterbrochen sich verändert und verwandelt (in Schwingungen versetzt

wird) einen Akkord.« (Die Sphärenmusik der Pythagoräer.)

Ableitung des Reflexionsgesetzes.

Für den Planspiegel genügt die Figur hier. Es sei ¨ab¨ ein ebener

Spiegel, g der Augenpunkt, d das Gesehene. Es ist da g_{1} symmetrisch

zu g, klar, dass der Weg ¨gad¨ da er gleich der Geraden ¨g_{1}ad¨

kürzer ist als ¨gbd¨, welcher gleich der gebrochenen Linie ¨g_{1}bd¨

ist.

[Illustration]

[Illustration]

Man denke sich dann einen gekrümmten (Convex) Spiegel, bei dem ¨ab¨

die Peripherie, g das Auge, d das Gesehene sei. Und es sollen ¨ga¨ und

¨ad¨ unter gleichen Winkeln einfallen, ¨gb¨ und ¨bd¨ unter ungleichen.

Dann ist nach vorigen Beweis ¨ga¨ + ¨ad¨ < ¨gz¨ + ¨zd¨ und dies <

¨gz¨ + ¨zb¨ + ¨bd¨ < ¨gb¨ + ¨bd¨ (2 Seiten zusammen länger als die

dritte).

[Illustration]

[Sidenote: Dioptrik (Feldmessung).]

Heron selbst berichtet in der Katoptrik, dass er ihr die ¨Dioptrik¨,

sein Hauptwerk über Feldmesskunst, vorausgeschickt habe; sie ist,

in der Schmidtschen Ausgabe von ¨H. Schöne¨ mit der Metrik zusammen

nach dem Codex Constp. herausgegeben. Zuerst wird die von Heron

sehr wesentlich verbesserte Dioptra beschrieben und dann die grosse

Anzahl mittelst ihrer vorgenommenen Vermessungsaufgaben. Die Dioptra

hatte ¨Hipparch¨ nach einer Anregung die er der Bestimmung des

Sonnendurchmessers im Psammites des Archimedes verdankte, eingeführt.

Sie bestand, vgl. ¨Hultsch¨, Winkelmessung durch die Hipparchische

Dioptra Festschrift f. M. Cantor 1899 aus einem soliden Richtscheit,

auf dessen Oberfläche senkrecht zu derselben ein kleines Plättchen

verschiebbar war, dessen Ränder von einer kleinen Öffnung an einem

Plättchen, das fest mit dem oberen Ende des Richtscheits verbunden war,

abvisiert werden können. Hipparch hat mit diesem primitiven Instrument

die scheinbaren Monddurchmesser bewunderungswürdig genau gemessen. Die

Dioptra des Heron, s. Abbild., ist ein sehr vollkommenes Instrument,

ihr fehlte wie man sieht zu unserm Theodoliten nichts als die Linsen,

und zugleich diente sie als Kanalwage, als Nivellierinstrument, wozu

die Plinthe ¯KL¯ abgehoben und das Nivellierlineal, s. Abbildung,

aufgesetzt wurde. Ebenso sind die zum Gebrauch des Visierinstruments

nötigen Schiebelatten mit allem Raffinement ausgeführt. ¨W. Schmidt¨

und ¨H. Schöne¨ haben die Einrichtung festgestellt, ersterer Eneström

1903, 7-12, Schöne, Jahrb. arch. Instit. 14, 1899, S. 91-103. Unter

den Messungen erwähne ich den Bau der Mole und den Tunnelbau, sowie

die allerdings von der Dioptra unabhängige Bestimmung der Entfernung

von Rom und Alexandria. Die Methode für diese Messung ist noch heute

giltig, es wird aus der Zeitdifferenz, die durch Eintreten der

Mondfinsternis festgelegt ist, der Längenunterschied zwischen beiden

Orten bestimmt und dadurch die Entfernung, wenn der Erdradius bekannt

ist. Dabei hat ¨Hoppe¨ schon darauf hingewiesen, dass die Annahme des

Erdumfanges von 252000 Stadien, also des Wertes von Eratosthenes und

nicht die von 240000, welche Ptolemaios nach Poseidonios dem Rhodier

gibt, zeigt, dass Heron älter ist als jener.

[Illustration]

[Sidenote: Tunnelbau.]

Ich gebe hier den Tunnelbau wieder, Herodot hat III, 60 (W. Schmidt

l. c.) schon den Tunnel von Samos des Eupalinos zu den Wunderwerken

der Hellenischen Baukunst gerechnet. Die Tunnelbauten dienten

den Wasserleitungen. Dioptra XV, »Einen Berg in gerader Linie zu

durchgraben, wenn die Mündungen des Grabens im Berg gegeben sind. Man

denke sich als des Berges Grundriss (ἑδρα nicht βασις, die Fläche, auf

der der Berg ruht) die Linie ΑΒΓΔ s. Fig. S. 330, und als die Mündungen

durch welche gegraben werden muss Β und Δ. Ich zog (weil er eine

wirklich ausgeführte Arbeit beschreibt) von Β aus auf dem Boden die

[Strecke] ΒΕ nach Belieben, und mit der Dioptra von Ε aus rechtwinklig

ΕΖ, und dazu von dem beliebigen Ζ mit der Dioptra zu ΖΕ rechtwinklig

ΖΗ. Ferner vom beliebigen Η zu ΖΗ rechtwinklig ΗΘ; schliesslich vom

beliebigen Θ zu ΘΗ rechtwinklig ΘΚ, und zu ΘΚ rechtwinklig ΚΛ. Nun

führte ich die Dioptra längs der Graden ΚΛ bis durch Einstellung

des Visierlineals im rechten Winkel der Punkt Δ erschien, er möge

erschienen sein als die Dioptra in Μ war. Nun denke man sich ΕΒ

verlängert bis Ν und bis zu ihr hin ΔΝ als Lot.« -- Da jetzt ΔΝ als

ΕΖ + ΗΘ + ΜΚ und ΒΝ als ΒΕ + ΖΗ - (ΘΚ + ΜΔ) bestimmt sind, so ist auch

ihr Verhältnis und damit die Richtung des Grabens bestimmt.

[Illustration]

»Entsteht der Graben auf diese Weise, werden die Arbeiter einander

begegnen.« (Was bei dem Tunnel auf Salamis nicht der Fall war.) Heron

braucht rechtwinklige Coordinaten nicht nur hier, sondern vielfach

z. B. No. 24 und No. 25, auch hier im Grunde altägyptischer Tradition

folgend. Die Dioptra enthält jetzt auch die berühmte Heronische

Dreiecksberechnung aus den 3 Seiten unverstümmelt und übereinstimmend

mit der Metrik, von der Hultsch noch 1864 berichtete: Infinitum paene

laborem mihi attulit gravissimum illud theorema, quo areae triangularis

mensura ex tribus lateribus efficitur. Hultsch hielt sie für in die

Dioptra eingeschoben, jetzt sieht man, dass sie ganz naturgemäss dort

hingehört im Anschluss an Flächenteilungen; dem Feldmesser ist es

durchaus bequem die Seiten zu messen und wenn er geübt ist, sie auch so

abzustecken, dass die Differenzen konstant sind.

[Sidenote: Mechanik.]

Ich komme nun zu dem theoretischen Hauptwerk ¨Herons¨ »des

Mechanikers«, die Mechanik. Lange Zeit galten die bei Pappos im 8.

Buch als Heronisch angegebenen Fragmente aus dem sogen. βαρουλκος, dem

Lastenzieher und der Mechanik für Teile zweier verschiedenen Schriften.

Da wurde von ¨Carra de Vaux¨ 1893 in Leyden eine arabische Handschrift

gefunden und im Journal Asiatique Ser. 9, 1 und 2 herausgegeben, welche

bewies, dass die Fragmente bei Pappos zu einem Werke, der Mechanik,

gehören. Da in kurzer Zeit noch drei andere zum selben Archetyp

wie die Leydener gehörenden Handschriften gefunden wurden, und die

Handschriften sich gegenseitig ergänzten, so nahm Schmidt die arabisch

und deutsche Ausgabe der Mechanik von ¨L. Nix¨ als Band 2 in die

neue Edition der Heronischen Werke auf. Die Übersetzung ist laut den

Handschriften von ¨Kosta ben Luka¨ auf Befehl des Chalifen Abul Abbâs

(862-866), Nachfolger Harun al Raschids, angefertigt, gehört also zu

den frühen Aneignungen Hellenischen Wissens seitens der Araber. Das

Leydener Manuskript ist durch den schon bei Apollonios erwähnten Golius

dorthin gebracht worden.

Die Schrift zeigt, dass Heron keineswegs der blosse Praktiker war,

sondern die theoretische Mechanik im Anschluss an ¨Aristoteles¨ und

Archimedes vollständig beherrschte. Er hat das statische Moment scharf

hervorgehoben, das Grundgesetz formuliert: was an Kraft gewonnen wird,

geht an Zeit verloren. Er gibt die vollständige Theorie der 5 einfachen

Maschinen; Wellrad, Rolle, Flaschenzug, Keil, Schraube, alle auf den

Hebel zurückgeführt, (für die Rolle mit einem Fehler in bezug auf feste

und lose Rolle), er streift auch die schiefe Ebene. Das dritte Buch ist

wieder vorzugsweise praktisch, es handelt von den Mitteln zur Bewegung

von Lasten auf Ebenen, und finden wir auf S. 267 den Vorläufer unserer

Drahtseilbahnen: die Bergseilbahn zum Transport von Steinblöcken, und

daran schliessend die Fruchtpressen, über deren Zusammenhang bezw.

Abweichung von den bei Vitruv beschriebenen ¨Hoppe¨ l. c. ausführlich

gehandelt hat. Die Schrift enthält in den beiden ersten Büchern auch

ein ganzes Teil mathematisch Interessantes, so bei Gelegenheit der

Aufgabe zu einem gegebenen Körper einen ähnlichen zu konstruieren,

die schon mitgeteilte Lösung der Würfelvervielfältigung auf S. 24, so

auf S. 28 die Einführung des ¨Ähnlichkeitspunktes¨, so auf S. 32 den

¨Proportionalzirkel¨, auf S. 188 den geom. Beweis, dass die Medianen

des Dreiecks sich im Verhältnis 2:1 schneiden und auf S. 196 die

Bestimmung eines Punktes aus seinen ¨baryzentrischen Koordinaten¨.

Die physikalischen Kenntnisse Herons sind in einer vortrefflich

übersichtlichen Weise zusammengestellt von ¨Franz Knauff¨, Progr. des

Sophien G. zu Berlin Ostern 1900, für die Druckwerke konnte er schon

¨W. Schmidts¨ Arbeit verwerten.

[Illustration]

[Sidenote: Heron, reine Mathematik.]

Ich komme nun zu den eigentlich mathematischen Schriften und beginne

mit den Horoi, den Definitionen. Es scheinen überarbeitete Reste seines

Euklidkommentars zu sein. Dass sich Heron mit den Elementen stark

beschäftigte, geht aus Proklos unzweifelhaft hervor. Ich gebe hier

den hübschen direkten Beweis des Satzes: Stimmen 2 Dreiecke in zwei

Seiten überein und sind die dritten Seiten ungleich, so sind die ihnen

gegenüberliegenden Winkel in derselben Weise ungleich. Die Dreiecke

seien αβγ und δεζ und βγ > εζ. Man schneide auf εζ die Strecke βγ ab

bis η und schlage um δ mit δζ einen Kreis der εδ in θ trifft und um

ε mit εη. Dieser Kreis muss den ersten schneiden und zwar zwischen ζ

und θ, da η ausserhalb liegt und εθ > εη. (Summe zweier Seiten.) Der

Schnitt sei κ. Man ziehe δκ und εκ, so ist εδκ ≅ βαγ und Winkel εδκ

> εδζ d. h. α > δ. Die Schlussformel lautet nicht q. e. d. sondern

wiederholt die Behauptung. Hinweisen will ich auf den Ausdruck εν

ῥυσει. und auf das öfter gebrauchte Wort »fliessen«. Es unterliegt wohl

keinem Zweifel, dass Cavalieri seinen Ausdruck fliessen (fluere), aus

Heron entnommen hat, der vielleicht auf Demokrit zurückgeht. Seltsam

hat es mich berührt, als ich mein Beispiel für den Begriff Fläche aus

den Elem. der Geom. von 1891 bei ¨Heron¨ fand in »Περι επιφανειας.«

Hultsch S. 10 Z. 19 »η το ὑδωρ ποτηριω«, nur dass Heron wie es scheint

abstinenter war. Der Satz lautet vollständig: der Begriff (Fläche)

wird erfasst da wo sich Luft mit Erde oder einem andern festen Körper

mischt, oder Luft mit Wasser, oder Wasser mit einem Trinkgefäss oder

irgend einem andern Behälter.

Eine deutsche Übersetzung des planimetrischen Teils ist 1861 von Prof.

Val. Mayring als Programm von Neuburg a. d. D(onau) verfasst, leider

noch vor der Hultschen Sanierung des Textes.

[Sidenote: Euklid-Kommentar (An-Nairizi).]

In der lateinischen Übersetzung des Kommentars An-Nairîzî (Al-Neirizi)

zu den 10 ersten Büchern von Gherardus Cremonensis aus dem 12. Jh.

welche M. Curtze 1896 in Krakau auffand, ist der Kommentar des Heron

wie es scheint fast vollständig erhalten, und demnach hat Heron nur die

acht ersten Bücher kommentiert, und besonders ausführlich das erste

und zweite Buch. Auch der Kommentar zeigt, dass Heron ein tüchtiger

Geometer ist, unter den vielen Sätzen, die Heron hinzufügt, ist wohl

der interessanteste der ohne Ähnlichkeitslehre mit drei Hilfslinien

gegebene Beweis des Satzes, dass die drei Hilfslinien, welche der

Euklidische Beweis des Pythagoras erfordert, sich in einem Punkte

schneiden.

[Illustration]

[Sidenote: Metrik.]

[Sidenote: Beweis der Heronischen Formel.]

Das Hauptwerk Herons für reine Mathematik sind die »Metrika«. In einem

schon lange bekannten Codex in Konstantinopel aus dem XII. Jh., fand

R. Schöne neben der Dioptra auch eine vollständige Handschrift der

Metrika, die sein Sohn H. Schöne als Band III des Schmidtschen Werkes

1903 herausgab. Das Werk zerfällt in 3 Bücher, Buch I Flächenmessung,

Buch II Körpermessung, Buch III Teilung von Flächen und Körpern. Es

zeigt, dass die von Hultsch herausgegebene Geometrie, Stereometrie,

liber geoponicus, stark überarbeitete Teile dieses Werks sind. Das

Buch »Geoponicus« (über Erdarbeit) erinnert sehr stark an den Papyrus

Aames und spricht am stärksten für das Wurzeln Herons in ägyptischer

Tradition. Buch I findet sich auf S. 20 ff der Beweis der Heronischen

Formel wie in der Dioptra: s = √(s(s - a)(s - b)(s - c)) und zwar

sehr elegant und zunächst an dem sog. Heronischen Dreieck 13, 14,

15 exemplifiziert, das aus den beiden ganzzahligen (Pythagoräischen)

rechtwinkligen Dreiecken 15, 12, 9 und 13, 12, 5 zusammengesetzt ist;

und dann an dem nicht rationalen Dreieck 8, 10, 12. Es wird gefordert

sich dann den Inhalt zu verschaffen, ausser der Höhe. Das gegebene

Dreieck sei ΑΒΓ und jede der (Strecken) ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ sei gegeben: den

Inhalt zu finden. Es soll in das Dreieck der Kreis ΔΕΖ eingeschrieben

sein, dessen Zentrum Η ist, und in die Verbindungslinie ΑΗ, ΒΗ, ΓΗ,

gezogen werden ... Es ist also das Rechteck aus dem Umfang des Dreiecks

ΑΒΓ und ΕΗ, dem Radius des Kreises ΔΕΖ, das Doppelte des Dreiecks.

ΓΒ werde ausgezogen und ΒΘ dem ΑΔ gleichgesetzt. Es ist also ΓΘ die

Hälfte des Umfangs des Dreiecks ... Folglich ist das Rechteck aus ΓΘ

und ΕΗ gleich dem Dreieck ΑΒΓ. Das Produkt aus ΓΘ und ΕΗ ist die Wurzel

(Pleura d. h. Seite) des Quadrats von ΓΘ und ΕΗ Quadrat; also ist das

mit sich selbst multiplierte Dreieck ΑΒΓ gleich Γθ^2 mal ΕΗ^2. Es soll

einerseits zu ΓΗ rechtwinklig ΗΛ, andrerseits zu ΓΒ rechtwinklig ΒΛ

gezogen worden sein, und Γ mit Λ verbunden. Da nun ein Rechter jeder

der Winkel ΓΗΑ und ΓΒΛ so ist ΓΗΒΛ ein Viereck im Kreise [Satz vom

Peripherienzirkel auf dem Halbkreis]. Es sind folglich ΓΗΒ (+) ΓΛΒ

zweien Rechten gleich. Es ist aber auch ΓΗΒ + ΑΗΔ gleich 2 Rechten

... Also ist ΑΗΔ gleich ΓΛΒ. ... Also ist das Dreieck ΑΗΔ ähnlich dem

Dreieck ΓΒΛ, folglich ΒΓ zu ΒΛ wie ΑΔ zu ΔΗ d. h. wie ΒΘ zu ΕΗ und

umgekehrt ΓΒ : ΒΘ wie ΒΛ : ΕΗ wie ΒΚ : ΕΚ ... Und durch Zusammensetzung

ΓΘ : ΒΘ wie ΒΕ : ΕΚ so dass auch ΓΘ^2 : ΓΘ . ΘΒ = ΒΕ . ΓΕ : ΓΕ . ΕΚ

= ΒΕ . ΓΕ : ΕΗ^2. Denn im rechtwinkligen Dreieck wurde vom rechten

das Lot ΕΗ gezogen. Daher wird ΓΘ^2 . ΕΗ^2, dessen Wurzel der Inhalt

des Dreiecks ΑΒΓ war, gleich ΓΘ . ΘΒ . ΕΒ . ΓΕ sein [d. h. also J^2 =

s(s - a)(s - b)(s - c)].

Die Form des Beweises ist von der Euklids und Archimedes nicht

verschieden. Der Beweis selbst sollte von allen Lehrern gekannt sein.

Der Inhalt des Dreiecks 8; 10; 12 ist √1575, Heron bestimmt sie zu

39-1/2 1/8 1/16 d. h. 39-11/16 und das Quadrat weicht von 1575 um noch

nicht 0,1 ab.

Es folgt die Ausmessung des Trapezes, das von ¨Heron¨ vielfach zu

Aufgaben verwertet wird und neuerdings wieder als Quelle hübscher

Elementaraufgaben erkannt ist. Es werden dann die regelmässigen

Polygone bis zum 12Eck inklusive einzeln ausgemessen, im Grunde

mit den Cotangenten von 180/n, die aber ¨geometrisch¨ und nicht

¨trigonometrisch¨ abgeleitet werden, was einerseits wieder an den Skd

der Ägypter erinnert, andererseits für das Alter Herons spricht.

Heron geht dann zur Kreismessung und erwähnt, dass Archimedes in einer

(bis dato) verlorenen Schrift: περι πλινθιδων και κυλινδρων zwischen

die Grenzen 211875 : 67441 und 197888 : 62351 eingeschlossen habe,

d. h. π bis etwa 1/14000 bestimmt hat. Es folgen dann Formeln für die

Kreissegmente, Näherungsformeln für Bogen und Flächen. Paul Tannery

hat sie mit Hilfe der Integralrechnung, Mem. de Bordeaux 2 V. S. 347,

geprüft und sie teilweise von erstaunlicher Genauigkeit gefunden. Er

behandelt auch, als Vorläufer von ¨Diophant¨ (s. u.) Quadratische

Gleichungen rein arithmetisch, er scheut sich nicht Kreisfläche und

Peripherie zu addieren und hat bereits für die 4 Potenz den terminus

technicus δυναμοδυναμις d. h. biquadratisch. Zylinder- und Kegelmantel

berechnet er wie wir, durch Aufrollen, und für die Kugelfläche hält er

sich an Archimedes. Wenn man die Metrik liest, hat man den Eindruck,

dass Archimedes zur Zeit des Heron in voller, alles andre überragenden

Bedeutung gewesen sei und wird geneigt, Heron nicht mehr als zwei

Menschenalter nach ihm anzusetzen.

Das 2. Buch ist der Körpermessung gewidmet, hier kommen die bei

Archimedes erwähnten Zitate aus dem »εφοδικον« vor, leider ohne die

Beweise.

Den Schluss dieses zweiten Buches habe ich einleitend bei Ägypten auf

S. XV angeführt. Der 3. Teil enthält Flächen- und Körperteilungen, es

sind Aufgaben die uns meist noch heute als Schüleraufgaben geläufig

sind. Ich erwähne die Aufgabe 18: Einen Kreis annähernd in drei gleiche

Teile zu teilen. Es wird die Seite des regulären Dreiecks eingetragen,

durch das Zentrum die Parallele gezogen, so ist das Segment ΓΔΖΒ ~

1/3. »Da das Stück, um welches das Segment ΔΓΒ grösser ist als dieses,

(¨nämlich das Drittel¨, und nicht wie Schöne versehentlich übersetzt,

als sie), unerheblich ist im Verhältnis zum ganzen Kreis«. Der

Schlusssatz bestätigt, dass ¨Archimedes¨ im 2. Buch περι σφαιρας και

κυλινδρου die Kugel im gegebenen Verhältnis geteilt hat.

Wenn ich bei ¨Heron¨ langer verweilt habe, als Ihnen vielleicht

wünschenswert erscheint, so tat ich es einerseits weil Heron häufig

unterschätzt wurde und andrerseits weil er für die Geschichte der

Kultur als Techniker sich würdig Euklid dem reinen Geometer an die

Seite stellt, und unter anderen einer der Riesen der Renaissance

¨Leonardo da Vinci¨ die deutlichsten Spuren seines Wirkens zeigt.

[Sidenote: Theodosios, Sphärik.]

Ich erwähne kurz einige historisch wichtige Namen. Ich nenne

¨Theodosios¨, möglicherweise aus einem Tripolis, wahrscheinlich aus

Bithynien, den Cantor als Zeitgenossen des Geminos ansetzt, während

Tannery in seiner Untersuchung über antike Astronomie ihn als

Zeitgenossen des Hipparch und als Bithynier ansieht. Seine Sphärik

in 3 Büchern ist eine reine ¨Geometrie¨ auf der Kugel, und hat erst

im 18. und 19. Jahrh. Nachfolger gefunden, sie hat den Inhalt von

Euklids Phänomenen aufgenommen. ¨E. Nizze¨ hat sie 1826 in Stralsund

ins Deutsche übertragen mit Erläuterungen und Zusätzen. Sie ist

interessant insbesondere auch für die Geometrie des ¨Riemann¨schen

endlichen Raumes. Nizze hat die Sphärik dann 1852 in Berlin griechisch

und lateinisch ediert, nachdem ¨A. Nokk¨ darüber ein Programm 1847 in

Bruchsal geschrieben. Das griechische Originalwerk ist zuerst 1558

von ¨Joh. Pena¨ mit lateinischer Übersetzung ediert. Schon im 11.

Jahrh. wurde durch Platon von Tivoli (nächst Gherard von Cremona der

fleissigste Übersetzer) eine arabische Bearbeitung der Sphairika, der

Kugelschnitte durch Ebenen, ins Lateinische übersetzt, und 1558 von

Maurolycus desgleichen. Aus den vielen Zusätzen des oder der Araber

erwähne ich: wenn die gerade Linie aus dem Pole eines Kugelkreises

nach dessen Umfange gleich ist der Seite des in diesen Kreis

eingeschriebenen Quadrats, so ist der Kreis selbst ein grösster Kreis.

Es ist dies die Umkehr des von Theodosios I, 16 gegebenen Satzes. --

Eine tüchtige, kritische und sachliche Arbeit über die Sphärik ist

das Programm von ¨A. Nokk¨. Die Arbeit des Theodosios lässt sich noch

heute ganz vortrefflich für den Unterricht in der Prima eines Real-

oder humanistischen Gymnasiums verwerten. Nokk zeigt wie sich die

Kenntnis der Geometrie auf der Kugel ¨kontinuierlich¨ von ¨Autolykos¨

über ¨Euklid¨ zu Theodosios und von da zu ¨Ptolemaios¨ entwickelt. Da

neben und vielleicht auch vor der Feldmessung die Astronomie die Quelle

der Mathematik ist, so war die Geometrie auf der Kugel schon früh eine

Notwendigkeit. Und mit Nokk und Nizze muss man Theodosios, wenn auch

als keinen Geometer ersten Ranges, so doch als einen sehr tüchtigen

Geometer zweiten Ranges ansehen, dessen Schrift nach Inhalt und Form

auf die Zeit des Hipparch oder die nächstfolgende Generation hinweist.

[Sidenote: Geminos.]

In gleiche Zeit mit Theodosios setzt Cantor Geminus oder Geminos

(Γεμινος). Mit ihm beginnt ¨Loria¨ das »¨silberne Zeitalter¨« der

griechischen Geometrie, das Zeitalter der »Commentatoren«. Von dem

grossen Werk ¨Gino Lorias¨ »Le science esatte nell' antica Grecia«

standen mir leider nur die drei letzten Bände von 1902 zur Verfügung,

und auch diese nur italienisch, da bedauerlicherweise eine deutsche

Übersetzung von dem Werke dieses als Mathematiker wie als Historiker

der Mathematik gleich hervorragenden Gelehrten noch nicht erschienen

ist. Proklos erwähnt den Geminos 18mal, (den Platon 39mal). Besonders

wichtig ist 38 das grössere Zitat und 112, 24; 113, 26.

Demnach hat Geminos ähnlich wie in unseren Tagen ¨Papperitz¨ eine

Einteilung der mathematischen Disziplinen gegeben, ebenso eine

Einteilung der Kurven.

[Sidenote: Poseidonios.]

[Sidenote: Stoa.]

[Sidenote: Zenon.]

[Sidenote: Chrysippos.]

[Sidenote: Stoiker.]

[Sidenote: Epikuräer.]

Das Citat 112 vindiziert dem Geminos den Nachweis der Verschiebbarkeit

des Kreises, der Geraden, und der Schraubenlinie auf dem geraden

Kreiszylinder und den Satz: wenn von einem Punkt aus an zwei in sich

verschiebbare (ὁμοιομερεις) Linien zwei Geraden unter gleichen Winkeln

gezogen werden, so sind sie gleich lang. Ich vermute aber, dass diese

Betrachtungen aus dem Werke des ¨Apollonios¨ über die Schraubenlinie

auf dem Zylinder herrühren. In derselben Schrift hat Geminos auch

nach Proklos, Friedl. 113, Z. 4 und 5 die Erzeugung der Spirischen

Linien (Schneckenlinien und Wulstschnitte) und der Konchoïden und

Kissoïden gelehrt. Besonderen Wert lege ich auf die Stelle S. 176

f., dort erwähnt Proklos, dass Poseidónios, gemeint kann nur der

Rhodier sein, die Euklidische Definition: Parallelen sind Asymptoten,

dahin umgeändert, dass es Abstandslinien sind, und Geminos hat diese

¨Auffassung¨ akzeptiert. Dies scheint mir für die Datierung des

Geminus entscheidend, Poseidónios war der Lehrer des Cicero, um 75 und

vermutlich auch des Geminus, so kann dieser nicht gut vor 70 angesetzt

werden, was Cantor auch tut. Die Persönlichkeit des ¨Poseidónios¨,

der, obwohl aus Apamea in Syrien nach seinem Wirkungsort meist der

Rhodier genannt wird, tritt im Laufe des letzten Dezenniums immer

mehr hervor; auch die Philosophie der Mathematik bei Geminus stammt

vermutlich ihrem gedanklichen Inhalt nach von ihm vergl. Proklos 80,

20 f., 143, 8 f., 199 und 200. Und dass er auch mit Unterscheidungen

und Einteilungen sich beschäftigte, zeigt Proklos S. 170. Aus 200

und besonders aus dem Exkurs zur Konstruktion der Symmetrieaxe geht

hervor, dass sich Poseidónios sehr eingehend gerade mit den Elementen

der Geometrie beschäftigt hat. Dass Poseidónios als Stoiker sich

besonders gegen Epikur richtet ist erklärlich. Die Stoa ist für das

Verständnis des römischen Lebens der letzten Zeit der Republik und des

Kaiserreichs von grösster Bedeutung, da sie aber für die Geschichte der

Naturerkenntnis nur von geringem Wert ist, so will ich mich auf ganz

kurze Notizen beschränken. Der Gründer war Zēnon der in der bekannten

»bunten Halle« Stoa Poikile lehrte, etwa um 340-325. In engem Anschluss

an die Cyniker, an Antisthenes und an seinen Lehrer Krates hielt auch

Zēnon Bedürfnislosigkeit für die erste Bedingung zur Glückseligkeit,

aber er enthielt sich alles Cynismus. Auch er stellte die Forderung

auf, der ¨Natur¨ zu gehorchen, aber diese Natur ist ihm das von der

Vernunft gegebene Gesetz. Als das einzige Gut gilt den Stoikern die

Tugend und als diese die Herrschaft der Vernunft über die Erregung der

Seele. Nie darf der Weise sich hinreissen lassen Lust oder Schmerz zu

empfinden, sein Ideal ist etwa der Zustand einer völligen Apathie.

Fühlt die Vernunft, dass sie der Affekte nicht Herr werden kann, so

hat sie das Mittel durch Selbstmord die Niederlage zu vermeiden. So

soll Zenon selbst in hohem Alter durch Selbstmord geendet haben. Der

Gegensatz zu Platon und Aristoteles in der älteren Stoischen Schule

liegt hauptsächlich in der Ausbildung des Egoismus, zu der die Lehre

notwendig führen musste; eine enthusiastische Hingabe an den Staat, an

die Gottheit, an die reine Erkenntnis verstiess gegen die Forderung

der Affektlosigkeit. Das geistige Haupt der älteren Stoa ¨Chrysippos¨

aus Soloi in Kilikien, der etwa um 240 blühte, hat die Lehren des

Zenon, die er schon wesentlich in ihrer praktischen Seite mässigte,

streng wissenschaftlich verteidigt. Von seiner ausserordentlichen

schriftstellerischen Tätigkeit, durch die er der Stoa erst ihre

Verbreitung gegeben nicht nur nach Rom, sondern auch nach Alexandrien,

wo er selbst einen ¨Eratosthenes¨ gewann, sind uns nur wenige

Bruchstücke durch Plutarch erhalten. Die Hauptquellen über die Stoiker

sind ¨Diogenes Laertios¨ und ¨Cicero¨ (De Officiis, Timaeus und vor

allem de finibus). Ihre Hauptbedeutung liegt in ihrer Ethik, die sie

als praktische Wissenschaft systematisch erfassten. Die Lehre des

Chrysipp von den Affekten war von der des Spinoza in der Ethik nicht

wesentlich verschieden. Wenn Chrysipp, das Haupt der älteren Stoa, sich

stark polemisch gegen den Idealismus wandte, so suchten die Häupter der

mittleren Stoa, ¨Panaitios¨ und ¨Poseidónios¨ um so mehr zu vermitteln,

sie sind die Begründer des besonders von Cicero, aber auch sonst

von der späteren römischen Zeit vertretenen ¨Eklekticismus¨ der ein

mixtum compositum so ziemlich aller Schulen, vielleicht mit Ausnahme

der Skeptiker (vergl. oben die Sophisten) war. Panaitios aus Rhodos

der mit den vornehmsten Römern seiner Zeit insbesondere mit Lälius

und dem jüngeren Scipio befreundet war, trägt durch sein Werk περι

του καθηκοντος »über das Geziemende« die moralische Schuld an Ciceros

Officien. Panaitios und Poseidónios, der bei ihm gehört hat, erhoben

schon die Forderung »die Waffen nieder«, indem sie in dem (Römischen)

Weltreich eine moralische Forderung erblickten. Übrigens sehen wir aus

Proklos, dass Poseidónios scharf genug gegen die Epikuräer geschrieben

hat. Über ¨Epikur¨ und die ¨Epikuräer¨ will ich mich kurz fassen, sie

waren besser als ihr Ruf, wenn sie es auch nicht liebten sich über die

schwierigen Probleme der Erkenntnistheorie die Köpfe zu zerbrechen.

Wenn sie auch im Prinzip an die Lustlehre des Aristippos anknüpften,

so war das Ideal der Lust des Epikur und seiner Genossenschaft nicht

die rohe Sinnenlust, sondern jene althellenische Tugend der Σωφροσυνη,

der temperantia, des Masshaltens. Freilich müssen sie sich in praxi von

dieser temperantia ziemlich entfernt haben, ich verweise auf ¨Horaz¨

Epist. I, s. u. besonders I, IV an den Dichter ¨Tibull¨:

Me pinguem et nitidum bene curata cute vises,

Cum videre voles ¨Epicuri de grege porcum¨.

»Wenn du fettglänzend mich mit wohlgepflegetem Bäuchlein

Sehen wirst, willst du beschaun ein Schwein Epicurischer Herde.«

[Sidenote: Stoiker.]

Die Stoiker knüpfen in ihrer Physik ganz direkt an ¨Heraklit¨ und

sein Urfeuer an; die neuere Stoa, deren Hauptvertreter ¨Epiktet¨,

¨Seneca¨ und der treffliche Kaiser Marc Aurel waren, knüpften auch

in ihrer Ethik an ¨Heraklit¨ und seine Lehre von der Vergänglichkeit

der Dinge und an seinen Pantheismus an, für die praktische Moral und

die Weisheitslehre im engeren Sinne gehen sie auf Chrysipp zurück und

verwerfen den Eklekticismus des Panaitios und Poseidónios, welche

die Lehren der Stoa stark mit platonisch-aristotelischen Gedanken

durchsetzt hatten. Poseidónios muss übrigens dem stoischen Ideal

des Weisen, der vermöge der Hegemonie der Vernunft alles weiss,

fast vollständig entsprochen haben, er wusste so ziemlich alles,

was seinerzeit zu wissen war. Dass er nicht nur als Philosoph der

Mathematik bedeutend war, sondern auch als Astronom wissen wir aus

Ptolemaios, der durch seinen Einfluss beim geozentrischen System stehen

blieb, er berechnete die Entfernung der Erde von der Sonne richtiger

als ¨Newton¨. Dass er auch als Meteorologe bedeutend war, wissen wir

durch eine Anzahl bei späteren Schriftstellern mitgeteilter Fragmente.

Da ich für Poseidónios nicht über Studien der Originale verfüge, so

verweise ich auf ¨W. Chapelle¨, die »Schrift von der Welt« περι κοσμου,

Neue Jahrb. für das klass. Altertum etc. B. XV, 1905 p. 529 ff. und

zitiere daraus:

[Sidenote: Poseidonios.]

»Von der umfassenden Schriftstellerei des Poseidonios ist uns kein Werk

erhalten. Aber seine Nachwirkung in der griechischen und römischen,

auch der altchristlichen Literatur ist einzig in ihrer Art, seine

überragende Bedeutung in ihrem Einfluss auf die Folgezeit nur der des

Aristoteles vergleichbar.«

[Sidenote: Jüngere Stoa, Marc Aurel.]

Wie die Stoiker an Heraklit und sein Feuer für ihre Physik, oder

wie es Aristoteles richtiger nennt, für ihre Physiologie anknüpfen,

so tun sie das auch in ihrer Metaphysik. Der ¨Logos¨ des Heraklit

ist die Weltvernunft, das dem Feuer als Träger des Geschehens, der

Veränderung, gegenüberstehende gemeinsame ewige ¨Gesetz¨, das besonders

auf ethischem Gebiet das Werden bestimmt, und eben dieselbe Rolle hat

der Logos bei den Stoikern. Ist Heraklit kurz, aphoristisch dunkel, so

verweilen die Stoiker sehr ausführlich bei dem Logosbegriff, der dann

später, wenn auch stark modifiziert, eine so grosse Rolle bei ¨Philon¨

(s. u.), den Neuplatonikern und den christlichen Gnostikern spielt.

Freilich wird, gemäss eines stark materialistischen Zuges der Stoa,

auch der Logos materialisiert, verkörperlicht, und die weltgestaltende

Kraft wird zum Logos spermatikos, zum Weltsamen, aus dem das

Welt-Lebewesen (Zoon) hervorwächst. Ganz an ¨Giordano Bruno¨ erinnert

die Stelle bei Marc Aurel, dem philosophischen Kaiser: Der Kosmos ist

vorzustellen, wie ¨ein¨ Lebewesen, das im ununterbrochenen Zusammenhang

¨ein Sein¨ und ¨eine¨ Seele hat. --

Um auf Geminos zurückzukommen, so ist von ihm noch ein astronomisches

Lehrbuch εισαγωγή εις τα φαινόμενα erhalten, ich werte es höher wie

Cantor, schon deswegen, weil darin eine sehr klare Schilderung des

Sonnensystems des ¨Hipparch¨ erhalten ist.

[Illustration]

[Sidenote: Menelaos.]

[Sidenote: Ptolemaios.]

In die Zeit des Trajan, also vielleicht noch vor Geminos, fällt

¨Menelaos¨, Mathematiker und Astronom; auch er, wie Heron, aus

Alexandria, aber durch Ptolemaios steht fest, dass er auch in

Rom im Jahre 98 observiert hat. Denn Ptolemaios hat zwei seiner

Fixsternbeobachtungen aufgenommen, während es sehr wahrscheinlich ist,

dass er sehr viele und gewissenhafte Beobachtungen von Fixsternen

ausgeführt hat, welche Ptolemaios für seinen Katalog zurechtgemacht

hat, vgl. A. A. Björnbo, Eneström 1901, S. 196. Proklos teilt uns

S. 345 den einfachen Beweis des Satzes mit: der grösseren Seite

liegt der grössere Winkel gegenüber, s. ¨Heron¨, welchen: Μενελαος

ὁ Αλεξανδρευς ανευρεν και παρεδωκεν. Menelaos muss also auch über

die Stoicheia der Geometrie geschrieben haben. Wenn αβγ und δεζ die

Dreiecke sind und αβ = δε, αγ = δζ und βγ > εζ, so trage man εζ auf βγ

auf bis η und Winkel δεζ an βη und mache βθ gleich δε, so ist (nach bc,

α) βθη ≅ δεζ, und θη gleich δζ gleich αγ, somit im Dreieck θακ Seite

θκ > ακ also θακ > αθκ, somit da αβθ gleichschenklig ∢ βαγ > als ∢ βθη

also auch als εδζ.

Das Werk des Menelaos über die Geraden im Kreise, d. h. über

Sehnenberechnung oder doppelte Sinustafeln, in 6 Büchern, ist als

selbständiges Werk verloren gegangen, weil es vermutlich Aufnahme in

die Tafel des ¨Ptolemaios¨ gefunden hat. Dagegen sind seine 3 Bücher

¨Sphärik¨ in arabischer und hebräischer Übersetzung erhalten, sie

stellen die älteste uns erhaltene sphärische Trigonometrie dar. Die

Sphärik enthielt die meisten elementaren Sätze über das sphärische

Dreieck, und darunter auch den noch heute nach Menelaos genannten Satz

über die Transversale im planen und sphärischen Dreieck, wonach die

Produkte der Wechselabschnitte bezw. deren Sinus einander gleich sind.

Chasles hat es als wahrscheinlich hingestellt, dass der Satz (für das

plane Dreieck) schon in den Porismaten des Euklid gestanden habe.

Ptolemaios hat aus diesem Satz die sphärische Trigonometrie mühelos

abgeleitet.

[Sidenote: Almagest.]

Der Zeit nach müssten wir an Menelaos den Arithmetiker Nikomachos

anschliessen, aber sachlich fügt sich an ihn der weitaus bekannteste

und lange Zeit für den bedeutendsten gehaltene Astronom ¨Klaudios

Ptolemaios¨ an. Nach einer aus Arabischer Quelle stammenden Nachricht

des zuverlässigen Gherard von Cremona stammt auch er aus Alexandrien.

Sein Hauptwerk ist die μεγαλη συνταξις, die grosse Zusammenstellung,

die Kodifikation der antiken Astronomie, inkl. der Babylonischen, das

wie heute etwa die Theoria motus von Gauss das wesentliche Rüstzeug

des Astronomen bildete, von den Arabern schon unter Harun al Raschid

und dann gut unter Al-Mamûn von Haggag (siehe Euklid) übersetzt, und

gewöhnlich mit latinisierter arabischer Bezeichnung Almagest genannt.

Mehr und mehr wird es klar, dass das Werk, so bedeutsam es für die

Kulturgeschichte ist, doch im grossen und ganzen tatsächlich nur eine

grosse Zusammenstellung gewesen ist. Das Ptolemäische Weltsystem hat

sich eigentlich bis Kepler gehalten. Denn ¨Kopernikus¨ sah sich noch

wegen der Annahme der Kreisbahnen gezwungen vielfach auf Ptolemaios

zurückzugreifen. Freilich ist das was Ptolemaios selbst ersonnen hat,

gewiss nicht sehr viel gewesen. ¨Die Exzentrische Sonnenbahn¨ rührt von

¨Hipparch¨, der ¨Epizykel¨ von Apollonios her, der damit Stillstand

und Rückläufigkeit der Planeten (s. o.) befriedigend erklärte.

Ptolemaios kombinierte zur Planetenbewegungstheorie die Epizykel des

Apollonios mit dem Exzenter des Hipparch und liess die Planeten sich

gleichförmig bewegen auf einem Kreise, der in einem Deferenzkreise

rollte, dessen Zentrum sich in einem zur Erde exzentrischen Kreise

bewegte. Der Almagest ist im höchsten Grade wertvoll, einerseits durch

die systematische Durchführung der mathematischen Theorie für die

Himmelsbewegungen, andrerseits durch die Nachrichten über die Arbeiten

des Hipparch, durch die vollständige ebene Trigonometrie und die fast

vollständige Sphärische Trigonometrie des rechtwinkligen Dreiecks, --

es fehlt nur die Formel des Djabir (¨Geber¨) 11. Jahrh.: cos α = cos a

sin γ und cot α cot γ = cos b. Die Ableitung des Additionstheorems für

den (doppelten) Sinus, das Verhältnis der Sehne zum Radius, gründete er

auf den nach ihm benannten Satz vom Kreisviereck für den Spezialfall,

dass die eine Seite der Durchmesser ist. Von meinem subjektiven

Standpunkt aus genügt mir schon die Tatsache, dass der Satz (Halma

113) nach Ptolemaios heisst, um dessen Autorschaft zu verwerfen. Er

wird vermutlich in des Hipparchs Geraden im Kreise gestanden haben.

Auch als Beobachter ist die Wertung des Ptolemaios in jüngster Zeit

stark herabgegangen, vgl. den zit. Aufsatz von ¨Björnbo¨ über die

fehlerhafte Beobachtung der Präzession und die tadelnswerte Korrektion

der älteren Beobachtungen. Doch ist seine Entdeckung der Präzession

des Mondes, der Evektion, nicht bestritten. Für sein Geographisches

Werk war er jedenfalls auch dem Poseidonios verschuldet, dagegen ist

seine ¨Katoptrik¨ das bedeutendste was das Altertum auf diesem Gebiet

aufzuweisen hat.

[Sidenote: Parallelentheorie.]

Durch Proklos p. 191 wissen wir, dass Ptolemaios ein Werk über

Parallelentheorie geschrieben hat, es ist, wenn nicht das erste, so

doch eins der ersten aus der Bibliothek, welche die 5. Forderung ins

Leben gerufen hat. Der Beweis des Parallelenaxioms, den Proklos Friedl.

S. 365-66 gibt, ist von Proklos fehlerhaft kritisiert. Er ist nur in

der Form mangelhaft, man muss bedenken, dass Ptolemaios wie Poseidónios

die Parallelen als Abstandslinien auffasst, womit der zweite

Kongruenzsatz (a, b, c) die Gleichheit des Wechselwinkel ohne weiteres

gibt. Sein Beweis S. 362 des vom Parallelenaxiom unabhängigen Satzes:

»wenn ein Paar innerer Winkel zwei Rechte beträgt, so sind die Linien

parallel« ist leider noch immer in den deutschen Lehrbüchern üblich,

während von Euklid I, 27 so schlagend einfach mit I, 16 bewiesen wird.

[Sidenote: Nikomachos von Gerasa.]

Wir kehren jetzt zur Zeit des Menelaos zurück und wenden uns zu

¨Nikomachos von Gerasa¨, vermutlich nahe bei der im alten Testament

erwähnten Stadt Bozra. Wir sehen hier recht deutlich, wie genau die

Entwicklung der Mathematik mit den allgemeinen die Zeit beherrschenden

Geistesströmungen zusammenhängt.

Um die Zeit des Beginns der christlichen Ära waren die tiefer

angelegten Naturen der Nüchternheit der Stoischen und Epikureischen

Lehren satt, die sich im Skeptizismus bis zum unvernünftigen Extrem

überschlagen hatten. Schon ¨Aristoteles¨ hat verglichen mit Platon,

den ich meiner Auffassung des Grenzbegriffs gemäss, als die Vollendung

des Pythagoreismus definieren könnte, einen rationalistischen

Einschlag, auf den sich die Entwicklung der Naturwissenschaften und der

angewandten Mathematik aufbaute, und in den genannten Philosophischen

Schulen trat das ideale Element im Geistesleben der Menschheit immer

mehr in den Hintergrund, bis es von den Skeptikern geradezu geleugnet

wurde. Gegen diese Verflachung des Seelenlebens erhub sich nun in

mächtiger Reaktion der neubelebte Idealismus. Während die trostlosen

realen, die wirtschaftlichen und sozialen Zustände -- man denke nur

an den zum Ding im römischen Recht gewordenen Sklaven -- die grossen

Massen des römischen, von Prätoren und Prätorianern ausgesogenen

Weltreichs für die Essäischen Lehren empfänglich machte und sich

das Juden-Christentum infolge seines Sozialismus rapide unter ihnen

verbreitete, suchten die Gebildeten in der Rückkehr zum Idealismus

der alten Schulen, der Pythagoräer und des Platons, die Befriedigung,

welche sie im wirklichen Leben und in der Philosophie, die sich den

faktischen Zuständen angepasst hatte, nicht fanden.

Mit dem Pythagoreismus lebt zugleich das Interesse für Zahlentheorie,

für Arithmetik und für Zahlenmystik, Zahlentheologie -- Θεολογουμενα

της αριθμητικης. -- genannt, wieder auf, und findet in ¨Nikomachos¨

seinen wichtigsten Vertreter.

[Sidenote: Nikomachos, Introductio.]

Die Theologoumenen sind in dem fälschlich Nikomachos zugeschriebenen

Sammelwerke nur fragmentarisch erhalten, das 1543 in Paris gedruckt

ist. Weil das Werk von äusserster Seltenheit, ich glaube nur in

einem Exemplar vorhanden, und doch von höchster Bedeutung für den

Pythagoreismus und die Philosophie oder richtiger Theologie der

Neupythagoräer ist, hat Fr. ¨Ast¨, der verdienstliche Platoforscher,

es 1817 zugleich mit dem Hauptwerk des Nikomachos, der Einführung in

die Arithmetik, εισαγωγη αριθμητικη. 1817 herausgegeben, die 1538 in

Paris vom selben Verlag ediert war und ebenfalls sehr selten geworden.

Gestützt auf einen neuen Codex aus Zeitz hat dann 1866 ¨R. Hoche¨ die

Eisagoge ediert, höchst bedauerlicher- und schwer begreiflicherweise

ohne deutsche oder lateinische Übersetzung.

Das Verdienst, die jetzigen Mathematiker auf Nikomachos hingewiesen

zu haben, hat sich ¨G. F. H. Nesselmann¨ in seiner trefflichen

»Algebra der Griechen« Berl. 1842 erworben, der ihm 34 Seiten des

knapp gehaltenen Buches widmete. Er hat mit Recht hervorgehoben, dass

die »Einführung in die Arithmetik« eine neue Epoche der Mathematik

bezeichnet, es ist eine wirkliche »Arithmetisierung der griechischen

Mathematik« welche nach Nesselmann vom 2. Jahrh. n. Chr. bis zum 14.

[Maximus Planudes] gedauert hat. Wie bedeutend das Werk des Nikomachos

den Zeitgenossen erschien, erhellt daraus, dass es schon im 2. Jahrh.

ins Lateinische von ¨Apulejus¨ aus Madaura übersetzt ist, eine Schrift

die fast spurlos verloren gegangen ist, vermutlich weil sie durch die

Bearbeitung des Boëtius aus dem 6. Jahrh. verdrängt ist. Apulejus

ist für uns insofern von Wert, als er uns die reizende Erzählung

von Amor und Psyche, ein Märchen auf orientalisch-mythologischer

Grundlage erhalten hat. Ob Boëtius wirklich nach dem Original oder

nach der Bearbeitung des Apulejus gearbeitet, scheint mir trotz der

an den Patrizier Symmachos, seinen Erzieher, gerichteten Einleitung

zweifelhaft. Boëtius hat auch die Musikalische Theorie der Pythagoräer

ebenfalls nach ¨Nikomachos¨ der die Tonleiter bis zur zweiten

Oktave ausgedehnt hatte, gegeben; vergl. ¨G. Friedleins¨ Ausgabe

der Arithmetik, der »Institutio musica« nebst der sogen. Geometrie

des Boëtius, dessen Abacus (Rechentisch) mit den »Apices«, den

»Staubziffern« der Westaraber so viel Staub aufgewirbelt hat.

Die vom Mathematischen Standpunkt aus minderwertige Arbeit des Boëtius

ist schulgeschichtlich von höchster Bedeutung, denn sie ist es gewesen,

welche dem arithmetischen Unterricht der Klosterschulen zugrunde lag.

Schon ¨M. Cantor¨ hat sich der Ansicht des Isidorus von Sevilla, der

600 Bischof von Hispalis war und 636 gestorben ist, angeschlossen, dass

wir in der Isagoge im wesentlichen das Wissen der Pythagoräer und zwar

der Alt- und Neupythagoräer kodifiziert und systematisiert vor uns

haben, und in diesem Sinne wird ¨Nikomachos¨ richtig als der ¨Euklid¨

der ¨Arithmetik¨ gekennzeichnet. Der Vergleich mit Philolaos und dem

oben zit. Werk des Theon von Smyrna zeigt, dass es der Gedankenkreis

der Pythagoräer ist, der uns hier übermittelt wird, wenn auch das

Material durch einen an Archimedes und den anderen Grossen gebildeten

Mathematiker vermehrt ist.

[Sidenote: Nikomachos, Einleitung der Introductio.]

Die Einleitung ist sowohl von ¨Nesselmann¨, als von ¨Cantor¨ und

¨Loria¨ übergangen und doch ist sie vielleicht das interessanteste.

Ich werde sie an anderer Stelle ganz geben, hier hebe ich aus ihr

hervor: Cap. IV, Hoche p. 9; die Arithmetik, ist dies [die Mutter der

anderen Wissenschaften] nicht allein, weil wir sagten, dass sie in dem

Intellekt des göttlichen Künstlers den übrigen vorangegangen sei, wie

ein die Welt ordnender und vorbildlicher Plan, auf den gestützt der

Werkmeister das Ganze etwa wie auf eine Vorlage und ein erstgeprägtes

Vorbild das aus Materie Geschaffene in schöne Ordnung brachte und

bewirkte, dass es den richtigen Zweck erreichte, sondern auch weil sie

von Natur den anderen vorangeht, insofern sie die andern aufhebt, aber

nicht von ihnen aufgehoben wird. (¨Archytas.¨)

Also eine in Zahlen gegebene ¨Praestabilierte Harmonie¨. -- Ferner:

Nikomachos unterscheidet Grössen und Mengen, Cap. II. Grössen sind

in einer Vorstellung zusammengefasst (ἡνωμένα) und ¨kontinuierlich¨

(αλληλουχουμενα ein Synonym für συνεχη), Mengen sind ¨diskret¨

(διηρημενα) und in Nebeneinanderstellung (παραθεσει.) wie ein Haufen.

Dann fährt er fort: da die Menge, (Anzahl) und die Grösse ihrer Natur

nach notwendigerweise unendlich ist, (die Menge von einer bestimmten

Wurzel [der Eins] ausgehend, lässt sich ins Unendliche fortsetzen, die

Grösse von einer bestimmten Ganzheit aus geteilt, hat keinen letzten

Teil und erstreckt sich dadurch ins Unendliche) die Wissenschaften aber

durchaus Wissen vom Endlichen und niemals vom Unendlichen sind, so

ist wohl klar, dass es von der Grösse und der Menge schlechthin keine

Wissenschaft geben würde (denn unbestimmt sind beide, die Menge in

bezug auf Vermehrung, die Grösse in bezug auf Verminderung) sondern nur

in bezug auf etwas von beiden Abgegrenztes, und zwar von der Menge als

begrenzter Vielheit und von der Grösse als begrenzter Grösse.

Hier sieht man, wie klar das Kontinuitätsproblem erfasst ist.

Noch bemerke ich, dass der so berühmte Ausdruck: Quadrivium, für die 4

Wissenschaften Arithmetik, Musik, Geometrie, Astronomie (σφαιρικη ist

nicht, wie Nesselmann sagt, Trigonometrie, sondern Astronomie), der

von Boëtius aus das Ideal höherer Bildung bezeichnete, eine wörtliche

Übersetzung von Kap. IV, Hoche 9 των τεσσαρων μεθοδων ist. [¨Archytas¨,

Harmonik.]

Es schliesst sich an die Einleitung die Definition der Zahl an, welche

wiederum zeigt, dass die Dreiteilung des Zahlbegriffs alt pythagoreisch

(platonisch) ist. Die Zahl ist entweder Anzahl (Kardinalzahl, πληθος

ὡρισμενον) oder Ordnungszahl (μοναδων συστημα) oder Masszahl (relative

Zahl, ποσοτητος χυμα εκ μοναδων συγκειμενον der aus Einheiten

zusammengesetzte Strom der Wievielheit).

[Sidenote: Nikomachos, Introd. Buch 1.]

Das 1. Buch wiederholt nur von Philolaos, Euklid und Eratosthenes

gegebenes, Kap. XIII wird das Sieb des Eratosthenes beschrieben. Das

Diagramm im Codex von Zeitz ist nicht nur eine Primzahlen- sondern

zugleich eine Faktorentabelle, Kap. XIX, Hoche p. 51, findet sich dann

das erste Diagramm des kleinen Einmaleins in der uns geläufigen Form:

μήκος

+----+----+----+----+----+----+----+----+---------+

| α | β | γ | δ | ε | ϛ | ζ | η | θ | ι |

+----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+

| β | δ | ϛ | η | ι | ιβ | ιδ | ιϛ | ιη | κ |

+----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+

| γ | ϛ | θ | ιβ | ιε | ιη | κα | κδ | κζ | λ |

+----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+

| δ | η | ιβ | ιϛ | κ | κδ | κη | λβ | λϛ | μ |

+----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+

| ε | ι | ιε | κ | κε | λ | λε | μ | με | ν |

βάθος +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+

| ϛ | ιβ | ιη | κδ | λ | λϛ | μβ | μη | νδ | ξ |

+----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+

| ζ | ιδ | κα | κη | λε | μβ | μθ | νϛ | ξγ | ο |

+----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+

| η | ιϛ | κδ | λβ | μ | μη | νϛ | ξδ | οβ | π |

+----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+

| θ | ιη | κζ | λϛ | με | νδ | ξγ | οβ | πα | ϟ |

+----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+

| ι | κ | λ | μ | ν | ξ | ο | π | ϟ | ρ |

+----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+

[Sidenote: Nikomachos, Introd. Buch 2.]

Weit bedeutender ist das zweite Buch, es enthält eine ganz achtbare

Zahlentheorie auf altpythagoreischer Grundlage, wie sich Nikomachos,

man vgl. ¨A. Boeckhs¨ Philolaos, durchaus auch in seiner Philosophie

ganz eng an Philolaos anschliesst. Zunächst kommen Betrachtungen über

gewisse, schon den Altpythagoräern geläufige Beziehungen zwischen

Ketten von geometrischen Reihen desselben Exponenten, die im Kap. 4

aber nichts Geringeres enthalten als den ¨Binomischen Satz¨, und zwar

im Grunde nach demselben Bildungsgesetz, welches im sog. Pascalschen

Dreieck angewandt wird.

Es folgt dann die Lehre von den figurierten Zahlen, von denen die

Dreieckszahlen (n [**ueber] 2) und die Viereckszahlen, die Quadrate,

sowie die Tetraederzahlen (n [**ueber] 3) und Würfelzahlen, Kuben,

jedenfalls allbekannt waren. Aber die Lehre von den figurierten Zahlen

(σχηματιζοντες) ist bei Nikomachos, der an ¨Hypsikles¨ einen Vorgänger

hatte, sehr ausführlich behandelt, und sie spielte, man sehe das so

wichtige Werk ¨R. Baltzers¨, Elem. d. Math., von da ab bis ¨in die

Mitte des 19. Jahrh¨. eine grosse Rolle auch im Elementarunterricht.

Die p-te Polygonalzahl ist von der Form n + (p - 2)(n [**ueber] 2) und

der Gnomon im Heronschen Sinne der von n auf (n + 1) überführt ist

1 + (p - 2)n; die Figur zeigt die 5-Ecke der Seiten 1, 2, 3, 4, 5.

x-----x-----x-----x-----x

/ \

/ \

/ \

x x

/ \

/ x-----x-----x-----x \

/ / \ \

x / \ x

/ / \ \

/ x x \

/ / \ \

x / x-----x-----x \ x

/ / / \ \ \

/ x / \ x \

/ / / \ \ \

x / x x \ x

/ / \ \

x / x-----x \ x

/ / \ \

x / \ x

/ \

x x

x

Die n-te (p + 1)-Eckzahl ist gleich der n-ten p-Eckzahl vermehrt

um die (n - 1)te Dreieckszahl. Es handelt sich, wie man sieht, um

Summation arithmetischer Reihen erster Ordnung. Interessant ist der

Satz Kap. 20: n^3 = Σn(n - 1) + 2k - 1 wo k von 1 bis n geht. Nicht

minder interessant ist Kap. 7, wo die Definitionen des ¨Platon¨ und

¨Aristoteles¨ über Punkt, Linie, Fläche, zwar vereinigt werden, aber

die Platonische benutzt wird, um aus dem ¨Ursprung¨ der vorhergehenden

die folgenden Zahlen zu definieren; die Flächenzahl ist Summe der

(vorhergehenden) Linienzahlen, bezw. Reihe von ihnen, die Körperzahl

wiederum von Flächenzahlen.

[Sidenote: Proportionenlehre.]

Mit Kapitel 21 beginnt dann die ganz ausführliche Lehre von den

Proportionen, neu ist vielleicht die Lehre von der vollkommensten, der

musikalischen a : (a + b)/2 = 2ab/(a + b) : b z. B. 6/9 = 8/12 welche

Pythagoras, wie ¨Jamblichos¨ sagt, aus ¨Babylon¨ nach Griechenland

gebracht hat. Mit Unrecht tadelt Nesselmann die Definition des

Verhältnis bei Nikomachos; sie heisst: Verhältnis (λογος, ratio) ist

das gegenseitige Enthaltensein zweier bestimmter Grössen, denn σχεσις

ist bei Nikomachos und allgemein der technische Ausdruck für die σχεσις

κατα πηκλικοτητα für die Messung der einen durch die andere.

Aus dem Résumé Nesselmanns hebe ich No. 1 hervor: »Bei Nikomachos

erscheint die Arithmetik zum ersten Mal frei von den Fesseln

geometrischer Vorstellungen, mit denen sie bei Euklides noch behaftet

ist.« (Aber kaum mehr bei ¨Heron¨.)

[Sidenote: Theon.]

Auch Nikomachos teilt die altpythagoräische Ansicht, dass die

unzerlegbare Eins keine Zahl sei. Diese Ansicht hat sich von Boëtius

bis in die Rechenbücher des 18. Jahrh. gehalten, wenn Nikomachos sie

auch nicht so klar ausgesprochen hat, wie der vielleicht etwas ältere

Astronom ¨Theon¨ von Smyrna in seinem schon mehrfach erwähnten Werk

»των κατα το μαθηματικον χρησιμων εις την του Πλατωνος αναγνωσιν;

was man an Mathematischem wissen muss, um Platon zu verstehen.

Erhalten sind grosse Fragmente der Arithmetik, der Musik, d. h. der

theoretischen Lehre von den Intervallen und dem Kontrapunkt, sowie der

Astronomie, 1892 von ¨J. Dupuis¨ Griechisch und ¨Französisch¨ ediert.

In der Astronomie hängt er von dem Peripatetiker Adrastos ab, der u. a.

einen Kommentar zum Timaios verfasst hat. Erwähnung verdient Theon nur,

weil sich bei ihm die ¨Kettenbruchentwicklung¨ der √2 findet, die sich

auch mit einer Nikomachischen Formel berührt, die selbst wieder seltsam

an f(x + 2dx) = f(x) + 2f′(x)dx + f″(x)dx^2 erinnert, die ihrerseits

wieder den Keim zu einer elementaren, wenn auch nicht strengen

Ableitung der Taylorschen Reihe birgt. Einen Weg der weder für Theon

noch einen andern Pythagoräer gangbar war, der aber geistvoll ist, hat

der Norweger ¨T. Bergh¨, Schlöm-Cantor 31, S. 135 angegeben. Geht man

von einem gleichschenklig rechtwinkligen Dreieck aus, dessen Katheten

α_{n-1} und δ_{n-1} sind und verlängert beide Katheten um δ_{n-1} und

verbindet die freien Endpunkte, so ist α_{n} = α_{n-1} + δ_{n-1} und

d_{n} = 2α_{n-1} + δ_{n-1} und dies sind die Präkursionsformeln für die

Näherungswerte des Kettenbruchs √2 = (1|2), wenn man α_{1} = δ_{1} = 1

setzen könnte wie Theon tut. Viel wahrscheinlicher ist es, dass wir es

hier mit altem Gut der Pythagoräer zu tun haben, bezw. der Platoniker

und dass sie nach Auflösung der Diophantischen Gleichung x^2 + y^2 =

z^2 sich an die Gleichung x^2 - 2y^2 = ±1 gemacht haben.

[Sidenote: Jamblichos, Thymaridas.]

Ich schliesse hier gleich ¨Jamblichos¨ geboren etwa 330 in Chalkis in

Coelesyrien an, der als Philosoph der Stifter der sogen. Syrischen

Abart des Neupythagoreismus oder Neuplatonismus ist, und der ein

grosses Werk in 10 Büchern συναγωγή των πυθαγορείων δογμάτων, Sammlung

der Pythagoräischen Lehren, geschrieben, deren erstes Buch der Roman:

das Leben des Pythagoras, ist und deren 4. Buch die Erläuterungen

zu Nikomachos Arithmetik wichtig ist, erstens für das Verständnis

des Nikomachos und zweitens weil darin beiläufig das »Epanthema«

d. h. Blüte des ¨Thymaridas¨ überliefert wird, möglicherweise eines

Altpythagoräers, obwohl der Name »Blüte« ¨indische¨ Reminiscenzen

weckt, wo poetische und phantastische Bezeichnungen gang und gäbe

waren, und ferner das gänzliche Fehlen jeder geometrischen Einkleidung

auf eine erheblich d. h. mindestens 3 bis 4 Jahrhunderte spätere Zeit

weisen. Die Regel selbst ist von ¨Nesselmann¨, trotz des schlechten

Textes und der schlechten Übersetzung des Tenulius der 1668 den

Kommentar ediert hat, völlig richtig gestellt »Sind x y^I y^{II}

y^{III} y^{IV} etc. eine Anzahl ¨unbestimmter¨ (Grössen), αοριστων

und ist x + Σ y_{k} = a d. h. bestimmt (ωρισμενος), und x + y_{k} =

b_{k}, so ist x = (Σ (b_{k} - a_{k}))/(n - 1). Das von mir mehrfach als

Gesetz für Datierungen angeführte Prinzip auf den ganzen gedanklichen

Zusammenhang zu sehen, bestimmt mich auch den Thymaridas in die Zeit

der Arithmetisierung der Mathematik zu setzen. Von eigener Mathematik

des Jamblichos wären etwa die Sätze n^2 = n + 2(1 + 2 + ... n - 1)

zu erwähnen. Eine moderne, philologische Ausgabe des Kommentars ist

1894 von ¨I. Pistelli¨ gemacht worden, den als arithmetisches Werk

Nesselmann sehr ausführlich S. 236-242 behandelt hat.

[Sidenote: Plotin.]

Auch die Philosophie des Jamblichos, obwohl ihn Proklos im Kommentar

zum Timaios den Göttlichen nennt und obwohl der Kaiser Julianus

Apostata für ihn schwärmte, ist nur eine phantastische und vielleicht

absichtlich unklar gehaltene Ausführung der Lehren des Porphyrios oder

vielmehr des Plotin, interessant wäre es allerdings, den babylonischen

und besonders den ¨indischen¨ Einflüssen bei Jamblichos nachzugehen,

z. B. für die Rolle, welche Opfer und Gebet in seiner Lehre spielen.

¨Plotin¨ den man vielleicht statt Neuplatoniker den neuen Platon

nennen könnte, ist das geistige Haupt der Schule und durch seinen

Einfluss auf ¨Augustinus¨, den grossen kirchlichen Neuplatoniker, den

Plotins Lehre vom Sünder zum Heiligen wandelte, kulturgeschichtlich

von grösster Bedeutung, und ich bedaure aufrichtig m. H., dass ich für

Plotin zur Zeit nicht über Quellenstudien verfüge. Plotin war aber auch

mathematisch gebildet und gab in Rom mathematischen Unterricht, und

Augustins ungeheurem Einfluss auf die Abendländische Kirche wenigstens

von 400-1200 danken wir die Berücksichtigung der Arithmetik als

Wissenschaft in den Kathedralschulen.

¨Plotin¨ ist 202 oder 205 in Lykopolis in Ägypten (Siwet = Assiut)

geboren, seine philosophische Bildung hat er in Alexandrien erhalten,

dem Brennpunkt des wissenschaftlichen Lebens in der Schlussperiode der

antiken Welt. Dort weilte er vom 18. bis 28. Lebensjahre als Schüler

des Neuplatonikers Ammonios, Saccas, d. h. der Lastträger genannt.

Dieser hat wie es scheint nichts geschrieben, aber wie bedeutend er

war, zeigen seine Schüler, Longin, Origenes und Plotin, der von allen

anderen Lehrern unbefriedigt, zehn Jahre in seiner Schule blieb.

[Sidenote: Philon von Alexandria.]

Mehr noch als dem Ammonios verdankte Plotin den Schriften ¨Philons¨.

Philon, etwa von 28 v. Chr. bis 50 n. Chr. war zwar äusserlich strenger

Israelit, aber er hatte in die heiligen Schriften des Judentums eine

Symbolik hineininterpretiert, welche seiner eigenen Philosophie

oder richtiger Religion entsprach. Unter dem Einfluss stoischer

(Heraklitischer) essäischer und christlicher Lehren, kann man die seine

als eine Lehre von der Zweieinigkeit Gottes und des Logos, der zugleich

Heiliger Geist und Gottes Sohn, bezeichnen. Die Symbolische Deutung

der heiligen Schriften, welche sich im gewissen Sinne schon bei Platon

und Aristoteles und ihren Schülern findet, die den Konflikt mit der

Volksreligion vermeiden wollten, hat sich von Philon ab bis heute in

der Theologie erhalten. Von ¨Philon¨ hat ¨Plotin¨ die Askese und die

Ekstase, d. i. die Vereinigung mit Gott oder Erfassung (αφή) Gottes.

Dieses Gottwerden der Menschen durch Kasteiung, Gebet und Busse, weist

wiederum nach Indien, wo solche gottgewordene Menschen noch heute

verehrt werden. Und auch in der Allgemeinheit und damit Leerheit des

eigentlichen Gottesbegriffs wurzelt Plotin in Philon.

[Sidenote: Plotin.]

Um 243 nahm ¨Plotin¨ an dem Feldzug Gordian III. gegen die Parther

teil, wozu ihn das Interesse an der persischen Religion, an dem was

Zarathustra sprach, antrieb. In der Askese und Ekstase und auch in dem

Dualismus zwischen Ormuz und Ahriman fanden sich enge Beziehungen zu

seinen eigenen Gedanken. Nach dem unglücklichen Ausgang des Feldzugs

ging er nach Rom, und er muss schon damals berühmt gewesen sein, da er

in der Weltstadt zahlreichen Zulauf fand und den Kaiser Galienus selbst

zu seinen Schülern zählte. In Rom lehrte er von 244-268, dann zog er

sich schwer leidend auf ein Landgut bei Minturnae in Campanien zurück,

wo sich seine Seele aus ihrem Körper befreite. Die Vorlesungsnotizen,

welche Plotin etwa mit 60 Jahren niedergeschrieben, wurden in seinem

Auftrag von seinem Lieblingsschüler ¨Porphyrios¨ redigiert und in 6

Enneaden d. h. in 6 Büchern zu 9 Abschnitten herausgegeben.

Der wesentliche Unterschied zwischen Plotin und Platon liegt in der

Ideenlehre. Die Ideen, die bei Platon aus der Erfahrung der Einzelnen

abstrahierte grundlegende Konzeptionen der gesamten Vernunft der

Menschheit sind, welche als solche ewige Dauer und regulative Kraft

besitzen, werden zu Ideen oder Gedanken a priori der von der Gottheit

ausstrahlenden Vernunft, des Logos bei Philo, des Noūs (νοῦς) bei

Plotin. Die Emanation stellt sich Plotin etwa vor, wie wir die

Radiumemanationen.

Die Gottheit selbst bleibt unbewegt und ohne Teilnahme, an dem was sie

ausstrahlt, sie ist das Eine schlechtweg, das $το εν$ der Pythagoräer

und steht so hoch über uns, dass wir eigentlich gar nichts von ihr

aussagen können als jene Ausstrahlung. Bei den späteren Neuplatonikern,

insbesondere bei Proklos ist der Begriff der Gottheit so leer geworden,

dass er besser als mit der Eins mit der Null verglichen werden könnte.

Der Noūs selbst aber zeigt schon eine Entzweiung, eine Trennung in

Denkkraft und Gedanken. Abbild und Erzeugung des Noūs, der von Gott

emanierenden Weltvernunft, ist die Psyche und sie, die Seele, erzeugt,

mittelst des Substrats der Materie, der Hyle, die sie durchdringt

wie etwa das Licht ein Medium, die Körperwelt, an deren Leiden oder

richtiger Reizungen die wahrnehmende Empfindung eigentlich keinen

Anteil hat. Da die Psyche Funktion der Vernunft und diese wieder

Funktion Gottes ist, so ist es dem Menschen gegeben nach Ähnlichkeit

mit Gott zu streben und darin liegt die ¨Tugend¨. Ja durch Abtöten des

Sinnlichen und völliges Versenken in die religiöse Betrachtung des

Einen kann es gelingen zur Ekstase, d. h. zur Vereinigung mit Gott zu

kommen und in diesem Zustand war ¨Plotin¨ nach Angabe des Porphyrios

viermal. Die späteren Neuplatoniker, wie Apollonios von Thyana und

Jamblichos, knüpften an diesen Zustand, der etwa dem entspricht,

was die heutigen Mystiker »Trans« nennen an, um die Möglichkeit des

Prophezeiens und der Wundertaten zu begründen.

Ich möchte noch hervorheben, dass die Quelle der ¨Schopenhauerschen¨

Ästhetik eigentlich bei ¨Plotin¨ liegt. Nach jenem liegt das Wesen

der Kunst in der intuitiven Erfassung der im Objekt zur Erscheinung

kommenden Idee, d. h. der bestimmten Abstufung des Willens an sich,

losgelöst von jeder Beziehung auf das individuelle erkennende Subjekt,

und der Wert der künstlerischen Betrachtung darin, dass »das Ixionsrad«

des eigenen Wollens stille steht und wir vor dem Schönen und durch

das Schöne zum ¨reinen¨ willenlosen Subjekte der Erkenntnis werden.

¨Plotin¨ sagt, Enneade V, 81: Nicht in der blossen Symmetrie, sondern

in der Herrschaft des Hohen über das Niedere, der ¨Ideen¨ über den

Stoff, der Seele über den Leib, der Vernunft und des Guten über die

Seele, liegt das Wesen der Schönheit.

[Sidenote: Porphyrios.]

¨Porphyrios¨ hat bei Plotin auch Mathematik gelernt, er wird von

Proklos des öfteren erwähnt, ich führe S. 311 den Beweis von I 18

an: Der grösseren Seite liegt der grössere Winkel gegenüber, den ich

unsern Schulen wieder gewinnen möchte: Wenn αβγ das Dreieck und αβ <

αγ, so mache man αβ mit βε gleich βγ, dann ist αεγ gleichschenklig und

Winkel ε = εγβ + γ und ε noch kleiner als β nach I, 16, dem Satz vom

Aussenwinkel.

[Sidenote: Diophant.]

Den Schluss und zugleich den Gipfel der Hellenistischen

Arithmetisierung der Mathematik bildet ¨Diophantos¨ von Alexandrien.

Seine αριθμητικά bedeuten den durch eine weite Kluft von allem anderen

getrennten Höhepunkt dessen, was die Griechen auf arithmetischem Gebiet

geleistet haben. Sein Werk ist so einzigartig, dass es keineswegs

ausgeschlossen ist, dass Indische und Babylonische Einflüsse wirksam

gewesen sind. Seine Lebenszeit ist wahrscheinlich das Ende des 4.

Jahrhunderts nach Christi, wie ¨Nesselmann¨ l. c. festgestellt hat.

Dass Pappos ihn nicht erwähnt, kann ich mir nur dadurch erklären, dass

er nach Pappos geschrieben. Alles was wir von ihm wissen, steht im

Epigramm 19 der von ¨Maximus Planudes¨, einem byzantinischen Mönch, aus

älteren Exzerpten gesammelten Anthologie:

Hier das Grabmal deckt Diophant, ein Wunder zu schauen,

Durch arithmetische Kunst lehrt sein Alter der Stein.

Knabe zu sein gewährte ein Gott ihm ein Sechstel des Lebens;

Noch ein Zwölftel dazu, spross auf der Wange der Bart.

Und ein Siebentel mehr, sieh Hymens Fackel entbrannte,

Fünf der Jahre darnach, teilt er ein Söhnlein ihm zu.

Ach unglückliches Kind! Halb hatte das Alter des Vaters

Es erreicht, da nahm's Hades der Schaurige auf.

Noch vier Jahre ertrug er den Schmerz, der Wissenschaft lebend,

Und nun künde das Ziel, welches er selber erreicht.

Also mit 33 Jahren verheiratet und mit 84 gestorben.

[Sidenote: Fermatsche Satz.]

So berühmt Diophant als Arithmetiker heute ist, so wenig wurde sein

Werk von den Griechen der folgenden Zeit verstanden, nur ganz wenige

und verstümmelte Handschriften seines Werkes sind erhalten, alle,

auch die jüngst gefundenen vom selben Archetyp stammend. Ein einziger

Grieche, der schon genannte ¨Maximus Planudes¨, der in der ersten

Hälfte des XIV. Jahrh. lebte, hat Scholien zu den beiden ersten

Büchern geschrieben. Dagegen haben sich die Araber verhältnismässig

früh des Diophant bemächtigt und kein geringerer als ¨Abul Wafa¨, der

die Mondvariation festgestellt hat, übersetzte die Schrift gegen Ende

des 10. Jahrh. Das bisher noch nicht aufgefundene Werk findet sich

vielleicht auch noch in Leyden. In Europa hat zuerst ¨Regiomontan¨,

decus Germaniae, wie ihn Petrus Ramus nennt, 1464 zu Venedig einen

Diophant-Codex gesehen. Die erste zwar mangelhafte, aber vollständige

Übersetzung ins Lateinische veröffentlichte 1575 ¨Wilhelm Xylander¨

oder Holzmann zu Augsburg, sie ist eine bibliographische Rarität. Die

erste Textausgabe mit lateinischer Version und vielen Zusätzen und

Erläuterungen rührt von ¨Gaspard Bachet¨, sieur de ¨Méziriac¨ her,

-- Paris 1622, der durch seine »Problèmes plaisants et délectables«

(1612) so bekannt ist. Eine zweite Ausgabe von Bachets Arbeit

veranstaltete S. Fermat; die Ausgabe ist an sich sehr mangelhaft,

aber sie enthält die berühmten Randbemerkungen seines Vaters ¨Pierre

Fermat¨, Frankreichs grössten Mathematikers, darunter den berühmten

¨Fermatschen Satz¨: Die Gleichung x^n + y^n = z^n ist wenn n > 2

nicht in ganzen (rationalen) Zahlen lösbar. Diese Anmerkungen haben

die moderne Zahlentheorie, die Arithmetica sublimior wie ¨Gauss¨ sie

nannte, geschaffen. Eine neue sehr sorgfältig redigierte Ausgabe

ist von ¨P. Tannery¨ 1893 geschaffen. ¨G. Wertheim¨ hat 1890 eine

tadellose deutsche Übersetzung der Arithmetik und der Schrift über

Polygonalzahlen des Diophant und der Anmerkungen Fermats gegeben.

Von den 13 Büchern, welche Diophant selbst in dem Einleitungsschreiben

an einen gewissen Dionysios erwähnt, sind uns in den Handschriften

nur 6 erhalten, aber die allgemeine Ansicht geht dahin, dass das

Verlorene sich im wesentlichen nur auf die Behandlung der gemischt

quadratischen Gleichungen bezogen habe und wissenschaftlich der

Verlust zu verschmerzen. Dagegen scheint der Verlust eines andern

Werkes der »Porismata« (vergl. Euklid) schwerer zu wiegen, wenigstens

nach dem Satz zu urteilen, den Diophant selbst zitiert: die Differenz

zweier (rat.) Kubikzahlen (a und b) ist stets die Summe zweier (rat.)

Kubikzahlen. Von ¨Vieta¨ gelöst: x = a(a^3 - 2b^3)/(a^3 + b^3); y =

b(2a^3 - b^3)/(a^3 + b^3).

Das erste was wir aus den Arithmetica hervorheben, ist dass bis auf

eine einzige vermutlich eingeschobene Aufgabe V, 13, Wertheim S. 209

niemals die Zahlen seiner Aufgaben durch Linien oder sonst geometrisch

versinnlicht sind. Er spricht zwar oft von rechtwinkligen Dreiecken,

aber er meint stets drei Zahlen a, b, c, welche der Gleichung a^2 + b^2

= c^2 genügen. Zweitens gehen auf ¨Diophant¨ die nach ihm genannten

Aufgaben der unbestimmten Analytik zurück, obwohl eine diophantische

Gleichung in unserem Sinne bei ihm nicht vorkommt. Erst ¨Bachet¨

hat die Gleichung ax + by = c allgemein in ganzen Zahlen aufgelöst.

Diophant begnügt sich mit rationalen Zahlen und was die Hauptsache,

er gibt immer nur eine Lösung. Das was speziell an indischen Einfluss

denken lässt, liegt erstens in der Systemlosigkeit und zweitens darin,

dass eigentlich, wenn man vom ersten Buch absieht, der Lehre von den

gewöhnlichen Gleichungen ersten Grades, nirgends allgemeine Methoden

vorkommen, sondern jede Aufgabe durch eigene oft sehr merkwürdige

Kunstgriffe gelöst wird. Oft ist die Aufgabe allgemein gefasst und wird

durch willkürliche Annahmen eingeschränkt.

Ganz eigenartig ist auch die Bezeichnung bei Diophant; vergl.

¨Nesselmann¨ l. c. Kap. 7. Für die Unbekannte die bei ihm αριθμός »die

Zahl« heisst, hat er ein Zeichen ϛ oder auch ϛο, das man früher für das

Schlusssigma hielt. ¨T. L. Heath¨, Diophantos of Alex. Cambr. 1885 hat

mit guten Gründen behauptet, dass es die Abbreviatur von αριθμός ist.

Das Quadrat der Unbekannten, unser x^2 heisst wie gewöhnlich δύναμις,

Zeichen δ^ῡ; x^3 desgleichen κύβος, Zeichen κ^ῡ, x^4 bei ihm wie

durch die Metrika nachgewiesen bei ¨Heron¨: δυναμοδύναμιν [Biquadrat]

δδ^ῡδ, x^5 δυναμοκυβος δκ^ῡ, x^6 κυβοκυβος, κκ^ῡ. Bestimmte Zahlen

(ὡριζομενοι) heissen μοναδες, Zeichen μ^ο, zum Unterschiede von den

αοριστοι den zunächst unbestimmten, also wie bei Jamblichos, 1/x heisst

αριθμοστον; 1/x^2 δυναμοστον u. s. f.

Kein Zeichen bedeutet die ¨Addition¨, welche damals also noch als

die Hauptoperation galt, sie heisst ὑπαρξις; die Subtraktion heisst

λειψις, Zeichen ein umgekehrtes ψ also [**symbol] oder ⬆. Bei

(x - a)(x - b) findet sich die Regel: Minus × Minus ist plus (λ.λ ist

ὑπαρξις), doch schliesst Diophant negative Zahlen wie auch irrationale

Zahlen prinzipiell aus. Cantor sagt mit Recht, dass sich bei Diophant

schon eine hoch entwickelte Buchstabenrechnung findet. Immerhin ist ihr

die ¨Vieta'sche¨ sehr überlegen.

Ich gebe nach Cantor die Gleichung 10x + 30 = 11x + 15.

ςς^{οι} αρα ῑ μ^ο λ ἱσοι εισιν ςς^{οις} ῑᾱ μονασι ῑε (Unbekannte

nun zehn und Einheiten 30 sind gleich Unbekannten 11 und Einheiten

15.) M. H. Cantor hat wiederum recht, wenn er sagt dies ist eine

Stenographie aber noch keine Symbolik.

Die Gleichheit wird übrigens oft nur durch ἱ ausgedrückt.

[Sidenote: Diophant, Beispiele.]

Als Beispiel N. 1 gebe ich Ihnen I, 9 Werth. 15. Von zwei gegebenen

Zahlen eine und dieselbe Zahl zu subtrahieren, so dass die erhaltenen

Reste in einem gegebenen Verhältnis stehen.

Es muss jedoch dieses Verhältnis ¨grösser sein¨ als das in welchem die

grössere der beiden gegebenen Zahlen zur kleineren steht.

Die Bedingung ist nötig damit x > 0 wird.

Es soll [z. B.] von 20 und 100 dieselbe Zahl abgezogen werden und so

gewählt werden, dass der grössere Rest das 6fache des kleineren ist.