Ich gebe die Lösung dieser wahrlich nicht leichten Aufgabe, die sich
zu stellen schon Mut erfordert, nach Wertheim 110 ff., sie hat wie der
Zusatz Fermats beweist sein Interesse in hohem Grade erregt und ihn
u. a. zu dem Satz geführt: eine Primzahl von der Form 4n + 1 ist nur
einmal Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, ihr Quadrat ist es
zweimal, ihr Kubus dreimal, ihr Biquadrat viermal usw. in inf. Lösung:
In jedem rechtwinkligen Dreieck bleibt das Quadrat über der Hypotenuse
ein Quadrat, wenn man das doppelte Produkt beider Katheten zu demselben
addiert oder subtrahiert. Daher suche ich zunächst vier rechtwinklige
Dreiecke mit gleichen Hypotenusen; das ist aber dasselbe wie die
Aufgabe: ein beliebiges Quadrat viermal in je 2 Quadrate zu teilen und
wir haben schon (II, 10) gelernt, ein gegebenes Quadrat auf unzählig
viele Arten in zwei Quadrate zu zerlegen.
Wir nehmen also zwei rechtwinklige Dreiecke, deren Seiten in den
kleinsten Zahlen ausgedrückt sind, wie etwa 3, 4, 5 und 5, 12, 13.
Multiplizieren wir jetzt alle Seiten eines jeden mit der Hypotenuse des
andern, so wird das erstere die Seiten 39, 52, 65 haben und das zweite
die Seiten 25, 60, 65, und wir erhalten zwei rechtwinklige Dreiecke mit
gleichen Hypotenusen.
Ihrer Natur nach lässt sich ferner die Zahl 65 in je 2 Quadrate zweimal
zerfällen, nämlich in 16 und 49 sowie in 64 und 1. ¨Dies rührt daher,
dass 65 durch Multiplikation von 13 und 5 entsteht von denen jede sich
in 2 Quadrate zerlegen lässt.¨ [: (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac + bd)^2
+ (ad - bc)^2 = (ad + bc)^2 + (ac - bd)^2, diese Formel aus der
Theorie der quadratischen Formen, das ist die Quelle der Aufgabe]. Ich
nehme nun die Seiten der Quadrate 49 und 16 nämlich 7 und 4 und bilde
vermittelst dieser das rechtwinklige Dreieck, dasselbe hat die Seiten
33, 56, 65 [a^2 - b^2; 2ab; a^2 + b^2]. Ebenso nehme ich die Seiten
der Quadrate 64 und 1 nämlich 8 und 1, das rechtwinklige Dreieck hat
die Seiten 16, 63, 65. Nun habe ich vier rechtwinklige Dreiecke mit
gleichen Hypotenusen.
Indem ich jetzt zu der ursprünglich gestellten Aufgabe schreite,
setze ich die Summe der 4 gesuchten Zahlen gleich 65x, jede einzelne
derselben aber gleich x^2 mit einem Koefficienten, der das Vierfache
der Fläche eines der 4 Dreiecke ist [2ab], also die erste Zahl gleich
4056 x^2, die zweite gleich 3000 x^2, die dritte gleich 3696 x^2, die
vierte gleich 2016 x^2. Es ist dann die Summe der vier Zahlen 12768
x^2 = 65 x, und daraus ergibt sich x = 65/12678. Daher werden die vier
Zahlen Brüche mit dem gemeinschaftlichen Nenner 163021824 sein und zwar
hat die erste Zahl den Zähler 17136600, die zweite 12675000, die dritte
15615600, die vierte 8517600.
Diese Aufgabe gehört mit zu denen, welche es am begreiflichsten
erscheinen lassen, dass ein Mathematiker solchen Ranges von einem
Zeitalter des Verfalles nicht mehr begriffen wurde.
IV, 11. x^3 + y^3 = x + y. Diophant findet durch ein Verfahren, dass
nur zu begreifen ist, wenn man annimmt, dass er die allgemeine Lösung x
= ±(1 - k^2)/((1 + k)^2 - k); y = ±(1 + 2k)/((1 + k)^2 - k) kannte, x =
5/7; y = 8/7, er setzte k = 1/4 in der ersten (+) Lösung und nicht wie
Wertheim S. 129 angibt k = 1/2; (auch k = -3/2 in der zweiten negativen
Lösung ist richtig), merkwürdig ist, dass auch x = 3/7 und y = 8/7
eine richtige Lösung ist, da 4 - 4p + 2r = o ist. V 34, W. 233: Drei
Quadratzahlen zu finden, so dass das Produkt derselben, wenn es um jede
der Zahlen vermehrt wird, ein Quadrat bildet.
Wir setzen u^2v^2w^2 = x^2 und suchen dann drei Quadrate, von denen
jedes, wenn es um 1 vermehrt wird, wieder ein Quadrat gibt. Das kann
vermittels jedes rechtwinkligen Dreiecks geschehen. Ich wähle also drei
rechtwinklige Dreiecke 3, 4, 5; 5, 12, 13; 8, 15, 17; so wird das eine
Quadrat 9/16 x^2, das zweite 25/144 x^2, das dritte 64/225 x^2 sein,
und jedes derselben bleibt ein Quadrat, wenn es um eins vermehrt wird.
Nun soll noch das Produkt der drei Zahlen gleich x^2 sein. Das Produkt
ist aber 14400/518400 x^6. Das soll gleich x^2 sein. Wird alles durch
x^2 dividiert so folgt 14400/518400 x^4 = 1, also 120/720 x^2 = 1.
Nun ist die Einheit eine Quadratzahl. Wenn daher auch 120/720 x^2 ein
Quadrat wäre, so würde die Aufgabe gelöst sein. Dem ist aber nicht so.
Diophant führt die Aufgabe nicht durch, seine Lösung ist 25/4;
256/81; 9/16. Die Aufgabe ist von ¨Fermat¨ wieder hergestellt.
Diophant nimmt drei rechtwinklige Dreiecke a_{1} b_{1} c_{1};
a_{2} b_{2} c_{2}; a_{3} b_{3} c_{3} und setzt u = a_{1}/b_{1}
x; v = a_{2}/b_{2} x; w = a_{3}/b_{3} x. Dann hat man nur noch
zu sorgen, dass (a_{1}a_{2}a_{3})/(b_{1}b_{2}b_{3}) oder auch
a_{1}a_{2}a_{3}b_{1}b_{2}b_{3} gleich a_{1}b_{1}a_{2}b_{2}a_{3}b_{3}
eine Quadratzahl ist, was keine Schwierigkeit macht.
VI 3. Ein rechtwinkliges Dreieck zu finden, so dass die Zahl, welche
den Flächeninhalt ausdrückt, eine Quadratzahl wird, wenn sie um eine
gegebene Zahl vermehrt wird.
Diese recht schwierige Aufgabe ist in Wertheim S. 256 und 257 allgemein
und ihre Erweiterung durch ¨Vieta¨ (Zetetica V, 9) angegeben.
VI 26. Die letzte Aufgabe Diophants: Ein rechtwinkliges Dreieck von der
Beschaffenheit zu finden, dass die eine seiner Katheten ein Kubus, die
andere die Differenz zwischen einem Kubus und seiner Seite, und die
Hypotenuse die Summe eines Kubus und seiner Seite sei.
Hypotenuse x^3 + x, Kathete x^3 - x, die andere ist dann 2x^2 und soll
gleich einen Kubus sein. Es sei 2x^2 = x^3, so ist x = 2, also ist 6,
8, 10 eine Lösung.
An die Weiterführung dieser Aufgabe durch ¨Bachet¨ hat ¨Fermat¨ eine
Reihe wichtiger zahlentheoretischer Sätze geknüpft, wie z. B. x^4 ± y^4
ist niemals ein Quadrat, und n(n + 1)/2 nur wenn n gleich 2 ist gleich
p^2, welche beide von Euler bewiesen sind. (Werth. S. 294.)
Die Schrift über die Polygonalzahlen, so interessant sie an sich ist,
steht doch an Bedeutung der Arithmetik unvergleichlich nach, so dass
ich auf sie nicht näher eingehe, wertvoller als sie sind ¨Fermats¨
Anmerkungen.
Die Beispiele aus der Arithmetik genügen, um zu zeigen, wie gross
Diophant als Arithmetiker dasteht, dabei ist er, soweit unsre Kenntnis
bis jetzt reicht, fast ohne Vorläufer, von dem einzigen Heron etwa
abgesehen. Nikomachos verschwindet gegen Diophant vollständig, und
sein Ruhm beruht nur darauf, dass sein Verständnis verglichen mit
Diophant nur die geringe Bildung erforderte, welche sich in den Stürmen
der Völkerwanderung mit ihren politischen und religiösen Umwälzungen
erhalten konnte.
[Sidenote: Pappos aus Alexandria.]
Von dem letzten und grössten Arithmetiker der Hellenen gehen wir
zu ihrem letzten grossen Geometer zurück, zu ¨Pappos¨, auch er
Alexandreus. Auch von seinen Lebensverhältnissen wissen wir so gut
wie nichts, doch macht die Äusserung des Proklos ὁι περι Ἡρωνα και
Παππον es wahrscheinlich, dass er als Lehrer in Alexandrien tätig war
und das wird noch mehr als durch diese immerhin der Auslegung fähige
Stelle, durch den Inhalt und Zweck seines Hauptwerkes gesichert,
das ganz und gar in der Absicht geschrieben ist, Studierenden eine
richtige und tüchtige Ausbildung für reine und angewandte Mathematik
zu sichern. Auseinandersetzungen wie die über Analysis und Synthesis,
Kritiken, wie die allerdings nicht ganz gerechtfertigte, über das
Näherungsverfahren zur Lösung des Delischen Problems (III, Anfang),
die Auswahl der Schriften, an die er seine eigenen Lemmata anknüpft,
zeigen hohes pädagogisches Interesse und Erfahrung. ¨Hultsch¨ und
¨Cantor¨ setzen seine Lebenszeit auf das Ende des dritten Jahrhunderts,
gestützt auf eine Notiz, auf welche der bekannte Philologe ¨Usener¨
hingewiesen hat, dass er unter Diokletian gelebt habe. Für diese
Datierung spricht der ganze Inhalt seiner Werke, insbesondere zeigt
das höchst lebhafte Interesse, das er für Sphärik und Astronomie,
speziell für Klaudios Ptolemaios bekundet, dass er nicht mehr als etwa
100 Jahre nach diesem anzusetzen ist. Zur Syntaxis und zwar höchst
wahrscheinlich zur ganzen und nicht nur zu den vier ersten Büchern hat
er einen Kommentar (Scholion) geschrieben, von dem ein Teil, der sich
auf das 5. und 6. Buch bezieht, in der an Schätzen reichen Laurentiana
zu Florenz gefunden und eine Einleitung, welche die Dimensionen der
Erde, Umfang und Inhalt behandelt und eine Definition der Astronomie
gibt im Vaticanus 184. Hultsch macht es im hohen Grade wahrscheinlich,
dass der Ptolemaios-Kommentar des von nur öfter erwähnten ¨Theon¨ von
Alexandrien, etwa 100 Jahre später, wesentlich aus dem des Pappos
geschöpft sei.
¨Pappos¨ hat auch Kommentare zu den Daten und den Elementen des
Euklid geschrieben, von denen Fragmente bei ¨Eutokios¨ und ¨Proklos¨
erhalten sind, und die auch von ¨Marinos¨ aus ¨Neapolis¨ (Sichem in
Palästina), einem Schüler und Nachfolger des Proklos im Rektorat der
Akademie, dem wir die Erhaltung von Euklids Daten verdanken, erwähnt
werden. Ich nenne hier Friedl. S. 249-50 den Beweis der Gleichheit der
Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck, weil der auf die Symmetrie
des gleichschenkligen Dreiecks begründete Beweis meist ¨Bolzano¨
(Betrachtungen etc. p. 17 § 25) zugeschrieben wird, der Quellenangaben
noch nicht für erforderlich hielt. Der Beweis bei Proklos zeigt
allerdings, dass auch ¨Pappos¨ den leitenden Grundsatz des Euklid, die
dritte Dimension in der Planimetrie zu vermeiden, nicht recht erfasst
hat.
[Sidenote: Pappos, Collectiones.]
Erhalten ist uns, obwohl nirgends von den späteren hellenistischen
oder römischen Autoren erwähnt, sein Hauptwerk die Synagoge (συναγωγή,
nicht συναγωγαι) in 8 Büchern, von denen das erste und ein grosser
Teil des zweiten verloren ist. Die Reste des zweiten Buches hat
1688 ¨Wallis¨ herausgegeben. Unter dem Titel: Pappi Alexandrini
mathematicae collectiones hat ¨Federico Commandino¨ 1588 die Bücher
3-8 lateinisch herausgegeben, wie alle Arbeiten dieses Mannes für
ihre Zeit ausgezeichnet. Die einzige Gesamtausgabe Griech. und Lat.
hat ¨Fr. Hultsch¨ 1876-78 geschaffen, sie ist geradezu vorbildlich
geworden, ¨Cantor¨ sagte in der Besprechung des letzten Bandes
(Cantor-Schlömilch 1873): Hultsch hat uns mit einer klassischen
Ausgabe eines klassischen Schriftstellers beschenkt. An dem index
graecitatis, der 125 enggedruckte Seiten umfasst, hat er ein ganzes
Jahr lang gearbeitet, nachdem er viele Jahre auf die Collation der
Codices verwandt hat und im Vaticanus graecus 218 aus dem 12. Jahrh.
den Archetyp sämtlicher anderen festgestellt hatte. Rudio nennt den
Index geradezu ein Lehrbuch der griechischen mathematisch-technischen
Sprache. Die Verdienste des am 6. April 1906 verstorbenen Philologen
um die Geschichte der Mathematik hat ¨F. Rudio¨, Eneström Ser. III,
Bd. VIII meisterlich geschildert, und in diesem Nachruf findet sich
auch eine Analyse der Synagoge (= Sammlung), welche an Klarheit nichts
zu wünschen übrig lässt, und die einfach abzuschreiben vielleicht
das zweckmässigste wäre. Trotz dessen halte ich es angezeigt, was
ich 1903 gesagt, hier zu wiederholen. Die Sammlung des ¨Pappos¨
ist für uns die Hauptquelle der griechischen Geometrie, sie zeigt,
dass Pappos einerseits im höchsten Grade literarisch gebildet war
und vielleicht noch vor oder zur Zeit ¨Caracallas¨ anzusetzen wäre,
andererseits aber selbst ein produktiver Geometer von hohem Range
war, wie z. B. seine Quadrierung des von der sphärischen Spirale
abgeschnittenen Stück der Halbkugel (Hultsch S. 682) und seine Lösung
der Proprosition 43 des IV. Buches zeigen. Insbesondere ist schon so
ziemlich die ganze ¨Steinersche¨ Geometrie, die Arbeiten Steiners über
Isoperimetrie eingeschlossen, in nuce bei Pappos zu finden, vor allem
der grundlegende Satz von der Constanz des anharmonischen Verhältnisses
und die vollständige Theorie der Involution. Die im Altertum so viel
umworbene Lehre von den Proportionen id est die Auflösung der Gleichung
ersten Grades hat er unter einem einzigen einfachen Gesichtspunkt
dargestellt. Er gibt den Inhalt fast aller bedeutenden mathematischen
Werke bis auf seine Zeit mit grosser Gewissenhaftigkeit und unter
Angabe der Namen und hat uns so, wie wir ja gesehen haben, in Stand
gesetzt, eine ganze Anzahl verlorener Werke der Heroen entweder ganz
oder teilweise zu rekonstruieren. Ich nenne nur die Porismata und die
Topoi pros Epiphaneian des Euklid, das 8. Buch der Konika und das
Taktionsproblem des Apollonios, die Schrift des Zenodoros über die
Isoperimetrischen Figuren, die Archimedischen halbregulären Körper
etc. Höchst wichtig ist auch, dass wir durch ihn in Stand gesetzt
sind, die Arabischen Quellen auf ihre Zuverlässigkeit zu prüfen, wobei
sich die ersten islamitischen Jahrhunderte als durchaus zuverlässig
erwiesen haben, z. B. für die Mechanik des Heron, die Wahlsätze des
Archimedes. Dabei begleitet er diese Schriften überall mit wertvollen
eigenen Bereicherungen. Im VI. Buch sehen wir, wie tief die Griechen
auch in die Theorie der krummen Flächen eingedrungen waren, bei der
stereometrischen Erzeugung der Quadratrix, die an ¨Archytas¨ erinnert
aber weit über ihn hinausgeht. Buch IV, Prop. 30 Hultsch p. 264 findet
sich die Quadrierung der Spiralfläche, worauf ich schon in einem
Frankfurter Vortrag hingewiesen habe.
[Sidenote: Kugelspirale.]
Wie man einsieht, dass in der Ebene eine Spirale erzeugt (γινομένη
ist durch existere nicht sinngemäss wiedergegeben) wird wenn ein
Punkt sich auf einem, einen Kreis beschreibenden Strahl bewegt und
in der Stereometrie [z. B. auf den Cylinder- oder Kegelflächen ist
unnötige Konjektur von H.] wenn ein Punkt sich auf einer die Oberfläche
beschreibenden Kante bewegt, so lässt sich auch eine auf der Kugel sich
ergebende Spirale begreifen, beschrieben auf folgende Weise.
Auf einer Kugel gehöre zum Pol Θ der grösste Kreis ΚΛΜ und von Θ aus
soll der Viertelkreis eines Hauptkreises ΘΝΚ beschrieben worden sein
und der Kreis ΘΝΚ, um den ruhenden [Punkt] Θ auf der Oberfläche [der
Kugel] gedreht, möge in sich selbst wieder zurückversetzt worden sein
und irgend ein Punkt auf demselben von Θ aus in Bewegung gesetzt, möge
nach Κ gelangt sein; er beschreibt nun auf der Oberfläche eine gewisse
Schneckenlinie wie es ΘΟΙΚ ist, und welchen Umfang eines grössten
Kreises man auch von Θ aus beschreiben möge, so hat er zum Bogen ΚΔ
das Verhältnis, welches ΘΔ [siehe Figur] zu ΘΟ hat. Ich behaupte nun,
dass wenn ausserhalb [nämlich als Nebenfigur] der Quadrant ΔΒΓ eines
Hauptkreises auf der Kugel gelegt wird um das Zentrum Δ und [die
Sehne] ΓΔ gezogen wird, so geht daraus hervor [der Satz]: wie die
Halbkugel [sich] zu [dem] zwischen der Spirale ΘΟΙΚ und dem Bogen ΚΝΘ
abgeschnittenen [Stück der Kugel]fläche [verhält], so der Sektor ΑΒΓΔ
zu dem Segment ΑΒΓ.
[Illustration]
[Illustration]
[Sidenote: Pappos'sche Aufgabe.]
Der Beweis, dass die Fläche (2π - 4)r^2 ist, kann mit Integralrechnung
ohne weiteres geführt werden, aber der Beweis des Pappos, obwohl
an Archimedes gebildet, ist doch ein beredtes Zeugnis für seine
Veranlagung. Das IV. Buch und die im VII. Buch gegebene »¨Guldin¨sche«
Regel: das Volumen des Rotationskörpers ist gleich dem Produkt der
Meridianfläche in den Weg ihres Schwerpunktes zeigt uns, dass die
Griechen in der Theorie der krummen Oberfläche ungefähr so weit
gekommen sind, wie wir durch Euler und Gauss; vermutlich infolge
verlorener Werke insbesondere von Archimedes und Apollonios (περι
κοχλιου). Ebenfalls im VII. Buch, dem bedeutsamsten für die Wertung
des Pappos als Geometer, löst er die sogen. ¨Castillon¨sche Aufgabe,
ein Dreieck zu konstruieren, dessen Seiten durch je einen festen Punkt
gehen und das einem gegebenen Kreise einbeschrieben ist, die später von
¨Giordano da Ottajano¨ auf ein beliebiges n-Eck erweitert wurde, in
dem speziellen Falle, dass die drei Punkte auf einer Geraden liegen.
Hier im VII. Buch kommt er bei Besprechung des Ortes zu drei und vier
Geraden (Apollonios) auf die noch heute nach ¨Pappos¨ benannte Aufgabe:
wenn eine Anzahl Geraden gegeben sind, den Ort des Punktes zu bestimmen
der so beschaffen ist, dass die von ihm nach den Geraden unter
gegebenen Winkeln gezogenen Strecken in zwei Gruppen eingeteilt werden
können, so dass die Produkte der Gruppen ev. mit Wiederholung oder mit
gegebenen Hilfsfaktoren, zu einander ein bestimmtes Verhältnis haben.
Dabei ist die Bemerkung wesentlich, dass wenn die Zahl der Linien 6
übersteigt, eins oder beide Produkte keinen geometrischen Sinn haben,
aber »οι βραχύ προ ημών«, die kurz vor ihm lebenden Mathematiker,
interpretierten ihn. Die Aufgabe wird dann für beliebig viele Geraden
von Pappos völlig als geometrisch klare aufgestellt. Und nun fügt er
hinzu: weil er sich (der ungenauen Arbeiten) seiner Vorgänger schäme
und selbst sehr viel Wertvolleres und Nützliches bewiesen habe, und
um zu zeigen, dass wenn er dieses von sich »ausposaune« (φθεγξάμενος)
er kein leerer Prahler sei, gibt er die »¨Guldin¨sche Regel«. Die
Buchstabenrechnung im Rest des zweiten Buches ist schon bei Apollonios
erwähnt; wir können den Eindruck der Synagoge des ¨Pappos¨ dahin
zusammenfassen, dass wir jedenfalls in der Geometrie nicht wesentlich
über die Griechen hinausgelangt sind, selbst die Konstruktionen mit
¨einer¨ Zirkelöffnung, die sogen. ¨Mascheroni¨-Konstruktionen finden
sich bei Pappos.
[Sidenote: Niedergang der Hellenischen Kultur.]
Mit Pappos und Diophant endet die Entwicklung der Hellenischen
Mathematik jäh und in den folgenden Jahrhunderten sind es nur einige
wenige Kommentatoren, deren ich schon im Laufe der Vorlesung wiederholt
gedacht habe, welche noch ein Verständnis für die Leistungen der
Vorfahren besassen und übermittelten. Da war aus dem 4. Jahrh.
¨Theon¨ von ¨Alexandrien¨ und seine Tochter ¨Hypatia¨ zu nennen, aus
dem fünften ¨Proklos¨, dessen produktive Befähigung nach dem Beweis
des Parallelenaxioms und der wirren Kosmologie in keinem günstigen
Lichte erscheint. Im 6. Jahrh. sammelte sich um den Baumeister der
Sophienkirche in Konstantinopel ¨Isidoros von Milet¨ eine Schar
eifriger Freunde der Mathematik, aus der ¨Eutokios¨ von ¨Askalon¨,
der Kommentator des Archimedes und Apollonios auch als Mathematiker
hervorragt. Ebenfalls im 6. Jahrh. lebte ¨Simplikios¨, der wichtigste
Kommentator des Aristoteles, dessen wir bei den Lunulae Hippocratis
gedachten. Er gehörte zu den Lehrern der Akademie Athen, welche mit
dem Rektor ¨Damaskios¨ nach Persien zu Kosroë wanderten und Euklid
zu den Persern und damit zu den Arabern brachten. Nicht unbedeutende
Spuren einer Eukliderklärung des Simplikios hat uns ¨Al-Neirizi¨
aufbewahrt. Von da ab sank das Hellenentum rapide; hatten schon vom 4.
Jahrhundert ab Christentum, Völkerwanderung, das im Gegensatz zu dem
auf freie Individualität der Gebildeten gegründeten Hellenismus, mit
einen starken Tropfen demokratischen Öles gesalbte Cäsarentum höchst
ungünstig eingewirkt, so wurden von nun ab die Hellenen in Asien
geistig von den Moslimen und in Europa geistig und körperlich von den
Slaven aufgerieben. Aber meine Aufgabe ist es nicht den Untergang der
Götter Griechenlands zu schildern.
[Sidenote: Römer.]
Ich müsste mich nun zu den Römern wenden, aber Rom hat eine Kultur im
hellenischen Sinne nie besessen. Ihre Verdienste um die praktischen
Wissenschaften, um das bürgerliche Recht und das Verwaltungsrecht,
sind gewiss nicht zu unterschätzen. Ist doch das Napoleonische Préfet
und Souspréfet noch heute nichts anderes als der römische Prätor und
Proprätor. Als Wegebauer haben die Römer ihresgleichen nicht gehabt,
und gross stehen sie in Kriegs-Kunst und -Wissenschaft da. Aber auf
geistigem Gebiet besteht ihr Verdienst darin den konzentrierten
griechischen Geistesextrakt so verwässert zu haben, dass Germanen und
Kelten ihn in dieser Form vertragen und assimilieren konnten, und so in
jener grossen Epoche, die wir ¨Renaissance¨ nennen, für das wirkliche
Hellenentum empfänglich wurden.
Das einzige Gebiet der Mathematik, auf dem die Römer eine gewisse, wenn
auch stark von Ägypten beeinflusste Selbständigkeit zeigten, war die
Feldmesskunst, aber die römischen Agrimensoren oder wie sie nach ihrem
ziemlich rohen Massinstrument hiessen, ¨die Gromatiker¨ hat ¨M. Cantor¨
in seinen Agrimensoren und daraus in seinen Vorlesungen erschöpfend
behandelt.
[Sidenote: Schluss.]
Ich ziehe es vor, hier am Schluss noch einmal auszusprechen, dass über
die Hellenen hinaus nur der eine ¨Galilei¨ einen wahrhaft weittragenden
neuen Gedanken in die mathematische und philosophische Erkenntnis
der Natur hineingetragen hat, als er durch schärfere Erfassung des
Kontinuitätsproblems zur Geschwindigkeit die Beschleunigung, zur Statik
die Dynamik hinzufügte.
Zur Stütze meiner Ansicht zitiere ich aus dem Briefe ¨R. Baltzers¨ an
¨F. Hultsch¨ (Hultsch Pap. p. 1231-32) die Stelle: »Sie werden staunen
über diese Leistung der Griechen: ich bin auch nicht wenig erstaunt,
als ich diese Wahrnehmung machte, um so mehr als dies wirkliche
»analytische« Geometrie ist. Aber die Griechen dürfen dieselbe
doch nicht gehabt haben, sonst hätte Descartes die Erfindung der
analytischen Geometrie nicht machen können!«
(Heute nach Auffindung des Ephodion kann man diesen Satz noch einmal
hinschreiben, und statt »analytische Geometrie« Differentialrechnung
setzen und für »Descartes« Newton oder wen man sonst will.)
Und damit m. H. glaube ich meine Aufgabe gelöst zu haben.
Nachwort.
Um die starke Betonung der Hellenischen Philosophie zu motivieren,
möchte ich hier nachträglich noch den folgenden Eröffnungsvortrag
hinzufügen.
Meine Herren! Wenn ich Hellenische Philosophie und Mathematik
gewissermassen in ¨einen¨ Begriff zusammengezogen habe, analog
dem Mittelalterlichen Musica et Arithmetica, so rechtfertigt
sich dies dadurch, dass gerade in der schöpferischen Periode der
griechischen Philosophie und Mathematik, von Thales an bis Aristoteles
eingeschlossen, die beiden Wissenschaften nicht getrennt werden
können und grade für die Elementare Mathematik, -- ich möchte sie die
¨bildende¨ Mathematik nennen -- meines Erachtens nach bis auf den
heutigen Tag nicht getrennt werden dürfen.
Wenn ich nun systematischer Philosoph wäre, so müsste ich damit
beginnen Ihnen des längeren und breiteren auseinanderzusetzen,
was Philosophie ist, aber m. H., in Scheffels Ekkehard sagt der
Hunnenführer auf die Frage was Philosophie sei: es ist auf hunnisch
schwer zu erklären. So will auch ich mich kurz fassen und nur sagen,
dass ich in der Philosophie die Methode sehe die Welt der äusseren
und inneren Erfahrung in ihrer ¨Notwendigkeit¨ zu begreifen, oder wie
Spinoza sagt, diese Welt zu erfassen sub specie aeterni. ¨H. Cohen¨
bezeichnet in seiner grossartigen Ethik des reinen Willens von 1901,
welche in 5 Jahren die zweite Auflage erlebt hat, die Aufgabe der
Philosophie dahin: die Wissenschaft selbst und die Kultur überhaupt
zum Verständnis ihrer Voraussetzung zu bringen. Dabei ist unter Kultur
allerdings etwas anderes zu verstehen als die »Bezwingung der rohen
Energie der Natur für die Nutzbarmachung unserer Kräfte«. Kultur ist
viel mehr; alle drahtlose Telegraphie, Röntgenstrahlen und Luftballons,
geben noch keine Gesittung, welche im wesentlichen in der Freimachung
der ethischen Werte besteht, darin, dass im einzelnen, und gerade
über je mehr Kräfte er verfügt um so stärker, das Bewusstsein seiner
Verantwortlichkeit der Allgemeinheit gegenüber, gegenüber dem Staate
und der Menschheit geweckt und ausgebildet wird.
Der von mir betonte Gesichtspunkt der Notwendigkeit, das Streben
nach zwingender Folgerichtigkeit, ist es gerade was Mathematik und
Philosophie verbindet, und von Anfang bis Ende die Mathematik zum
Hauptgegenstand philosophischer Betrachtung gemacht hat, wenigstens
soweit es sich um den ältesten ihrer Hauptzweige, die Erkenntnistheorie
handelt. Erst viel später hat sich die Methode, das heisst die
Zusammenfassung grosser Gruppen von Erkenntnissen unter einen
Gesichtspunkt, den Trieben und Gesetzen des menschlichen Handelns
zugewandt, es musste erst die Theorie der Unsittlichkeit, wie sie
von den Sophisten ausgebildet war, praktisch in dem Regiment der 30
Tyrannen und theoretisch durch Sokrates zerstört werden, es musste und
zwar zumeist bei den Römern eine juristische Wissenschaft erwachsen,
ehe eine systematische Philosophische Ethik, insbesondere bei den
Stoikern möglich wurde. Freilich findet sich eine wissenschaftliche
Behandlung der Ethik, die sich aber nur auf einzelne Fragen, wie
Tugend, Gerechtigkeit, Freundschaft bezieht, schon bei Platon und
nicht minder bei Aristoteles und vor beiden schon bei Demokrit. Was
uns von den sogenannten 7 Weisen -- es sind ihrer beiläufig gesagt,
wenn man nachzählt 22 -- überliefert ist, sind meistens sprichwörtliche
oder besser »geflügelte« Worte, welche sich auf vernunftgemässes
praktisches Handeln beziehen, wie das bekannte des Chilon oder Solon
»μηδέν άγαν, Alles mit Mass«; und »Ηρεμια χρω, Nutze die Zeit;« das
Delphische »γνωθι σαυτον, Erkenne dich selbst.« »Mit der Notwendigkeit
kämpfen auch die Götter vergebens.« (Schiller hat die Anagke durch die
»Dummheit« ersetzt, die ja auch Zwangsvorstellungen liefert). Periander
und Hesiod haben beide den Spruch geliefert: das Halbe ist mehr als das
Ganze, was besonders für Festreden zu beherzigen wäre. Aber auch die
grossen Dichter der Hellenen wie Homer und besonders Hesiod erkannten
es an, dass der Mensch zum Unterschied vom Tier sittlichen Gesetzen
untertan sei. Ich zitiere nach der Übersetzung von ¨F. Blass¨ aus
Hesiod die Stelle:
Also hat ja den Menschen bestimmt der Kronide die Satzung: Zwar den
Fischen und Tieren des Felds und geflügelten Vögeln Setzt er einander
zu fressen, denn Recht ist nicht unter ihnen. Aber den Menschen
verlieh er das Recht.
Der dritte Zweig der Philosophie ist ganz modern, die Philosophie
der Kunst, welche die allgemeinen und notwendigen Gesetze des
Ästhetisch-Wirksamen aufzustellen hat. Die Poëtik des Aristoteles
ist eigentlich mehr eine Technologie für den Dichter, der Laokoon
Lessings legt praktisch den Unterschied zwischen der bildenden und
beschreibenden Kunst fest. Erst bei Kant, Schiller, der gerade hier
seine selbständige Stellung als Philosoph, Vischer und vor allem bei
Schopenhauer haben wir eine reine Ästhetik.
Hängen Mathematik und Philosophie in und durch den Trieb ihren
Gegenstand unter dem Gesichtspunkt der Notwendigkeit zu fassen, also
so recht in der Wurzel zusammen, so sehen wir beide in ihren Anfängen
mit der Theologie auf das innigste verwachsen. Bei den Indern ist wie
im europäischen Mittelalter, die Philosophie aus dieser Verbindung
eigentlich nie gelöst worden, so tiefsinnig auch die philosophischen
Gedanken gerade der indischen Theologen sind, da man den Buddhismus in
seiner reinen Form eigentlich geradezu als ein philosophisches System
bezeichnen könnte. Der Druck, den das Unendliche auf das Endliche
ausübt, die Übermacht der kosmischen Erscheinungen, denen der Mensch
hilflos, machtlos, gefesselt, religatus gegenübersteht, erzeugen
das religere, die ehrfurchtsvolle Achtung, die Religion, und die
Welt bevölkert sich mit Personifikationen der Naturkräfte, wie denn
Zeus, der Nationalgott der Hellenen, wie ursprünglich aller Arier,
die Personifikation des Tageslichtes ist. Bei den rohen Naturvölkern
wie z. B. auch ursprünglich bei den Ägyptern entwickelt sich der
Fetischdienst, dann bei den begabteren eine Mythologie und im Laufe
der Zeit eine Theologie, welche nichts anders ist als eine untrennbare
Verbindung der Religion mit der Philosophie. Ich wage zu sagen, dass
die Religion bis auf den heutigen Tag die einzige Form ist, in der die
ethischen Errungenschaften der Philosophie dem Volke nutzbar gemacht
werden können, von den 10 Geboten der Israeliten, dem tat twam asi,
dieses [Andere] bist du, der Inder, bis zu dem »Liebe deinen Nächsten
wie dich selbst« des Christentums. Und auch für die Mathematik, die
angewandte wie die reine, ist der mit der Ausbildung der Theologie
sich entwickelnde Gottesdienst von höchster Bedeutung gewesen, Kultus
und Kultur sind nicht nur wortverwandt. Der Dienst der die Welt
regierenden Gottheit, die Formen in denen der Mensch seine Unterwerfung
unter die Götter zum Ausdruck bringt, ihre Gunst zu erringen, ihren
Zorn abzuwenden sucht, Opfer und Gebet, sind hervorgerufen durch
die unbewusste Erkenntnis, dass der einzelne und wäre er der König
der Allheit untersteht, und in eben dieser Erkenntnis sahen wir das
Wesen des Sittlichen. Der Tempel der Gottheit muss orientiert werden,
das Eigentum das sie schützt, wenn es im Schweisse des Angesichts
erworben (Gesetze des Manu), muss abgegrenzt, vermessen werden. Die
Astronomie der Babylonier steht in engster Beziehung zur religiösen
Verehrung der Gestirne, die wichtigen Probleme der Flächenmessung und
Vervielfältigung und der Würfelverdoppelung knüpfen bei Indern und
Griechen unmittelbar an das Opfer an, ebenso wie das arithmetische
Problem der Zahlenzerlegung in Quadrate ein uralt chaldäisches ist,
das mit der Zahlenmystik, selbst ein Ausfluss astrologischen Kultus,
gesetzt ist.
Eine weitere Verbindung zwischen Philosophie, Mathematik und Theologie
besteht in ihrer gemeinsamen Beziehung zu Poesie und Kunst. Die älteste
Poesie ist die religiöse, die Veden, die Edda, die Hymnen Homers, die
Psalmen der Hebräer. Andrerseits haben Homer und Hesiod den Griechen
zwar nicht ihre Götter aber doch ihren Olymp gegeben. Und an die
religiösen Gedichte knüpfen die Lehrgedichte der Philosophen an, die
schwungvolle Einleitung des Parmenideischen Lehrgedichts ist die
Quelle von Goethes Zueignung. Ein grosser Dichter ist ohne eine grosse
einheitliche Weltanschauung überhaupt nicht denkbar, und wie es Dichter
gab welche Philosophen waren, ich nenne Schiller und Shakespeare, hat
es auch Philosophen gegeben, welche Dichter waren, wie Platon und
Schopenhauer.
Ihrerseits steht auch die Mathematik, die reine wie die angewandte,
in ganz direkter Beziehung zur dichterischen Phantasie und zur
ästhetischen Schönheit. Ich sehe ganz von der grossen Bedeutung ab,
welche Symmetrie und Eleganz für die Gebilde der Algebra und Geometrie
haben, sondern verweise auf die Rolle, welche die schöpferische
Phantasie für die Produktion der grossen Mathematiker gehabt und
bemerke dass Perspektive und darstellende Geometrie von Künstlern
wie ¨Alberti¨, ¨Leonardo¨, ¨Dürer¨, für die Kunst geschaffen sind.
Ich erinnere auch an ¨Schiaparellis¨ Ausspruch: Das Grundprinzip
aller Astronomischen Systeme von Pythagoras bis Kopernikus ist die
Überzeugung von der Schönheit und Einfachheit des Kosmos gewesen.
Und in der einzig dastehenden Befähigung für das Schöne liegt der
Grund, warum gerade die Hellenische Philosophie und Mathematik der
Träger der Bildung gewesen ist und sein wird. Wie die Hellenen
politisch besiegt, das Barbarentum der Römer niedergezwungen, so
hat in der Renaissance das erneute Hervorsprudeln der hellenischen
Quellen das Mittelalter hinweggespült, und drei Jahrhunderte später ist
es wieder das Hellenentum gewesen, welches verbunden mit dem tiefen
sittlichen Ernst der Germanen im Neuhumanismus die seichte Periode,
welche wir Aufklärungszeit nennen, überwunden hat, und ohne dass
Kant und Goethe nicht zu verstehen sind. Denn auch die Schönheit der
Wahrheit ist weder vorher noch nachher, je so tief empfunden worden,
wie von dem Volke, für das das καλον καγαθον καλεθες, das Schöne,
Gute, Wahre, ein einziger Begriff gewesen. Gerade in der Jetztzeit,
in der die sich häufenden Entdeckungen auf physikalischem und
chemischem Gebiete die Macht des Menschen und sein Selbstbewusstsein
ins Ungemessene steigernd, eine rohe Anbetung des materiellen Genusses
grossgezogen haben, da hat sich wieder der Hellenische Geist mächtig
erhoben, der mit Platon, Aristoteles, Lessing das Streben nach der
Wahrheit um der Wahrheit willen als das höchste als das befriedigendste
Gut empfindet.
M. H.! Das Gesetz der Kontinuität, wie es nicht nur die griechische
sondern jede Wissenschaft beherrscht, gilt auch für die Hellenische
Kultur. Von Anfang an durch die grosse Küstenentwicklung und die vielen
Häfen ihres Landes auf das völkerverbindende Meer hingewiesen, haben
sie regsamsten Geistes von den Ägyptern und durch Vermittlung der
Phönizier von den Babyloniern gelernt und den Einfluss des Orients
auf allen Gebieten des Wissens und der Kunst erlitten, aber ebenso
sicher ist es, dass sie diese Einflüsse von Anfang an selbständig
verarbeiteten, »dass sie,« um mit Ostwald zu reden, »diese fremden
Kulturen nicht kopierten«, wohl aber verwerteten. Insbesondere gilt
diese Selbständigkeit für die Hellenische Philosophie und Mathematik.
Die Philosophie anfänglich auf Naturerklärung gerichtet, nimmt
schon mit ¨Anaximander¨ scharf den Weg zur Naturerkenntnis, die bei
¨Demokrit¨ ihren Höhepunkt erreicht, um mit ¨Platon¨ und ¨Aristoteles¨
die Erkenntnistheorie und Wissenschaftslehre überhaupt zu bemeistern.
Aus Ägypten und Babylonien haben wir bisher keine Spur davon gefunden,
dass der Menschengeist selbständig der Natur gegenübergetreten, die
Semiten begnügen sich ihrer eminent religiösen Veranlagung nach mit der
Tatsache: »Im Anfang schuf Gott Himmel und Erde.« In Betracht könnten
nur die Inder kommen, besonders die Vaisesikaphilosophie; aber m. E.
liegt die Sache gerade umgekehrt, und sowohl der Atomismus derselben
als z. B. die Einführung des Äther als fünftes Element, das die
Schallwellen fortlenkt, sind Hellenischem Einfluss zuzuschreiben.
Die wichtigste Quelle für die Geschichte der Hellenischen
Philosophie ist das erste Buch der Metaphysik des Aristoteles und
für Mathematik der Kommentar des Proklos, besonders das sogenannte
Mathematikerverzeichnis. Beide beginnen mit Thales dem Milesier, so
beginnt denn die Geschichte der Philosophie wie der Mathematik mit
Thales dem Jonier.
Ergänzung zur Lehre der Pythagoreer.
Da mir bis vor kurzen die gründliche Dissertation von ¨W. Bauer¨,
der ältere Pythagoreismus, Bern 1897, entgangen war, so sehe ich
mich veranlasst, den Abschnitt über die Pythagoreer zu ergänzen. Zu
diesem Zwecke muss ich etwas näher auf ¨Anaximander¨ den Jonischen
»Physiologen« eingehen, sowie auf die ¨Orphiker¨. Anaximander hat
sicher eine Schrift peri physeos geschrieben, welche noch dem
Theophrast vorlag. Ob er sein Apeiron als Stoff oder als Kraft
gedacht hat oder was das wahrscheinlichste, als beides zugleich,
ist zweifelhaft. In der sehr merkwürdigen Stelle Aristoteles
Phys. 14. 203^b 6 (Diels Frag. S. 14) werden fünf Quellen seines
Unendlichkeitsbegriffs angegeben: die Zeit, die Auflösung des
Continuums, der Fortgang in der Begrenzung des Begrenzten (die
Compositio continui), die Zahl, der Raum (»das ausserhalb des
Himmels«). Nicht minder interessant ist die Stelle bei Simplicius
(Diels 13 oben): Anaximander nennt das Unendliche ¨Prinzip und
Element¨ der Dinge. Nicht das Wasser oder ein anderes der sogenannten
(vier) Elemente, sondern ein anderes Wesen, das Apeiron, sei das
Prinzip, aus dem alles entstanden sei, die ¨Welten¨ und ihre
¨Ordnungen¨. Woraus aber den Dingen die Entstehung stammt, eben
dahin geht auch ihr Untergang nach Notwendigkeit; ¨denn sie zahlen
einander Strafe und Busse¨ der Zeitfolge gemäss. In diesem Satz ist
a) die Unveränderlichkeit des Unendlichen dem Endlichen gegenüber
ausgesprochen, b) in dem Nebeneinanderstellen von Prinzip und Element,
arche und stoicheion, wird gesagt, dass etwas vom Unendlichen
Bestandteil der Dinge sei und c) in dem letzten Satz, der bei Diels
gesperrt gedruckt ist, liegt eine Ahnung von dem Gesetz der Erhaltung
der Energie. Jedes Entstehende entsteht auf Kosten anderer und büsst
dafür durch seinen Untergang.
Wie aus dem Urstoff, dem Unendlichen, die vier Elemente hervorgegangen,
darüber fehlen bestimmte Angaben. Nach Aristoteles und Theophrast
scheint das Apeiron qualitätslos gedacht und die Elemente sind durch
Bewegung ausgeschieden. Zuerst trennten sich das Warme und Kalte, wie
etwa Glas- und Harz-Elektrizität durch Reibung. Zum Unterschiede von
Thales hat Anaximander den ernsthaften Versuch gemacht den Kosmos und
die Naturerscheinungen wissenschaftlich zu erklären, dabei bekunden
die Angaben, dass er die Schiefe der Ekliptik gekannt habe und die
Gestirne als Götter betrachtet, Babylonischen Einfluss. -- Die Erde
selbst dachte er sich in Form eines Cylinders, dessen Höhe 1/3 des
Durchmessers, im Mittelpunkte des Kosmos ruhend, vermutlich infolge
einer Ahnung der sich gegenseitig aufhebenden Wirkungen, denn der
Kosmos ist bei ihm vielleicht zuerst als Kugel gedacht. Geworden ist
die Erde infolge der fortgesetzten Austrocknung durch das umgebende
Feuer, insbesondere die Sonne, weshalb auch die Meere allmählich
austrocknen. (Aristoteles Meteorol. II, 1, 353^b 6). Aus dem Urschlamm
sind dann durch die belebende Wirkung der Sonne die Organismen
entstanden, und hier ist also diese Wandlung der Sonnenenergie zuerst
verwertet. Mit das interessanteste ist, dass, wie ¨Zeller¨ zuerst
hervorgehoben, Anaximander als Vorläufer Darwins angesehen werden kann.
Er wies darauf hin, dass ein so hilfloses Wesen wie das Menschenkind
sofort hätte zugrunde gehen müssen und so meinte er, dass die Menschen
sich aus alligatorähnlichen Tieren entwickelt hätten (was ja so manchen
Zug in der Menschennatur erklären würde) bis ihre Entwicklung soweit
gediehen, dass sie ihre Panzer abwerfen und am Lande leben konnten.
Aristoteles erwähnt in der historischen Übersicht in der Metaphysik den
grössten der Physiologen nicht, sein Apeiron passt eben in keine der
vier Archai des Kapitel III, obwohl das Wort von ihm herrührt, aber
der ausserordentliche Fortschritt gegen Thales ist dem Aristoteles
nicht entgangen. Die grossen Probleme der Materie und der Substanz sind
hier in voller Deutlichkeit erfasst, um nie wieder aus der Philosophie
zu verschwinden, und in seinem Apeiron ist noch vor den Pythagoreern
der Versuch gemacht vom unmittelbar gegebenen Stoff zu abstrahieren
und ihn durch eine gedankliche Hypothese zu ersetzen. Das Apeiron des
Anaximander ist eine der Quellen der Pythagoreischen Kosmogonie. Nicht
minder wichtig ist die eigentümliche theologisch-poetische Bewegung
welche man als ¨Orphische¨ bezeichnet, für deren Verständnis ich
¨Erwin Rohdes¨ klassischer »Psyche« (1894) den meisten Dank schulde.
Das Jahrhundert von 620 etwa bis 520 kann man als die griechische
Sturm- und Drangperiode bezeichnen. Neben jonischen Denkern ein
nicht minder stürmischer Drang nach religiöser Vertiefung. Die
eleusynischen Mysterien, deren Inhalt der Unsterblichkeitsgedanke oder
richtiger das Fortleben der Seele nach dem Tode bildete, gewannen
zahlreiche Teilnehmer aus dem ganzen Hellas und es entwickelte
sich eine philosophisch-theologische Spekulation welche zu einem
abgeschlosseneren systematischeren Kultus führte, als ihn die vielfach
lokalisierte Volksreligion darbot, eben die Orphik.
Die ¨Orphiker¨, nach dem durch die Sage von Orpheus in der Unterwelt
bekannten Thrakischen Sänger benannt, verehrten auch Thrakiens Gott
den Bakchos oder Dionysos. Das älteste Zeugnis über sie gibt Herodot
(2, 81) der die Übereinstimmung ägyptischer Priester-Vorschriften mit
den »orphischen und bakchischen« Geheimdiensten hervorhebt, die in
Wahrheit ägyptisch und pythagoreisch seien, d. h. nach ägyptischem
Vorbilde von Pythagoras eingeführt seien, etwa um die Mitte des 6.
Jahrhunderts. Orphische Gemeinden bildeten sich in Griechenland
und Gross-Griechenland (Unteritalien) mit ganz festen heiligen
Schriften und festem Kult. ¨Rohde¨ sagt: »Die Verbindung von Religion
und einer halbphilosophischen Spekulation war eine kennzeichnende
Eigentümlichkeit der Orphiker und ihrer Schriftsteller,« von denen ich
als den wichtigsten ¨Pherekydes¨ von der Insel Syros erwähne, bekannt
durch seine Theologia, einem Seitenstück zu der ¨Hesiod¨ Theogonie. Die
ganze Lehre trägt einen allegorischen Charakter, ich erwähne nur den
Abschluss.
Am Ende der sich in Geschlechterfolge entwickelnden Götterreihe steht
der Sohn des Zeus und der Persephone, Dionysos, der als Unterweltgott
Zagreus genannt ist. Der Name bedeutet »starker Jäger«, -- das ζα
ist eine Nebenform von δια welches in der Komposition gleich dem
lateinischen per die Bedeutung des Simplex tunlichst verstärkt --
und bezieht sich auf den Tod, den Hades. Dem Zagreus hat Zeus (Zas)
schon als Kind die Herrschaft über die Welt anvertraut, ihn überfallen
die Feinde des Zeus und der sittlichen Ordnung, die Titanen und
nach heftigen Kampfe wird er zerrissen. Nur das Herz rettet Athene,
überbringt es dem Zeus, der es verschlingt. Aus ihm entspringt der neue
Dionysos, des Zeus und der Semele Sohn, in dem Zagreus wieder auflebt.
Die Titanen stellen die Urkraft der Bösen dar, sie zerrissen den Einen
in viele Teile, durch ¨Frevel¨ breitet sich das Eine, die Gottheit,
in die Vielheit der Dinge dieser Welt aus (Anaximander!). Aber die
Gottheit entsteht wieder als Einheit im Dionysos. Zeus zerschmettert
die Titanen durch seinen Blitzstrahl, aus ihrer Asche entsteht das
Geschlecht der Menschen, die also ihrem Ursprung nach eine Spottgeburt
von Dreck und Feuer sind, von Gutem aus Zagreus, von Bösem aus dem
Titanischen Elemente. Damit ist dem Menschen sein Weg vorgezeichnet,
er soll sich von dem titanischen Elemente befreien und zurückkehren
zu Gott von dem ein Teil in ihm lebendig ist. Oder was dasselbe, der
Mensch soll sich frei machen von den Banden des Körpers in dem die
Seele gefesselt ist wie in einem Kerker. Aber der Weg ist lang, der
Tod trennt zwar Seele und Körper, aber die Seele, die beim Austritt
aus ihrem Leibe frei in der Luft schwebt, wird in einen neuen Körper
eingeatmet und so durchwandelt sie den weiten Kreis der Notwendigkeit.
Ja sie kann sogar wie ein periodischer Dezimalbruch immer dieselben
Zustände in derselben Reihenfolge durchlaufen. Nur eine Hilfe gibt es,
die Askese in der gänzlichen Versenkung in die Gottheit.
Wie man sieht sind zeitlich und inhaltlich die indischen buddhistischen
Einflüsse unverkennbar. ¨Pythagoras¨ nun trat, Rohde zufolge, dem
ich völlig beipflichte, in die orphische Gemeinde von Kroton, die er
reformierte. Und zwar ist der Modus der stets befolgte und einzig
Erfolg verheissende, die Sitten, Gebräuche, den Kult liess er
unangetastet, die Dogmatik änderte er; Askese, Seelenwanderung, ja
Musik und Heilkunst übernahm er von den Orphikern.
Die ursprüngliche Lehre selbst zu erkennen, wird dadurch erschwert,
dass wir den Pythagoreismus zuerst in der verhältnismässig späten
Darstellung des ¨Philolaos¨ besitzen. Philolaos aber zeigt nicht nur
den Einfluss des ¨Anaximander¨ und zwar positiv im Apeiron und negativ
in der Betonung der Einzigheit des Kosmos, sondern auch den des
Heraklit für die Rolle die das Feuer im Kosmos, einem pythagoreischen
Ausdruck, spielt. Dass Heraklit in Unteritalien schon kurz nach
500 bekannt war, ist ja erwiesen. Aber auch die vier Elemente des
¨Empedokles¨ und Momente aus der Weltschöpfung des ¨Anaxagoras¨ nahm
Philolaos auf. Ob das formgebende Prinzip oder der ordnende Nous von
einem Zentralpunkt dynamisch wirken, ist dasselbe. Allerdings lagen
dem ¨Aristoteles¨ vermutlich auch noch ältere Quellen als Philolaos
vor. Was nun die sehr dankenswerte Dissertation von ¨W. Bauer¨
(1897) betrifft, so scheint mir die Argumentation etwas durch die
vorgefasste Meinung des Verfassers beeinflusst, der die Quellen je
nach dieser wertet, um z. B. gegen Zeller einen eignen pythagoreischen
Gott zu konstruieren, der dann von dem Nous des Anaxagoras nicht
wesentlich verschieden wäre. Von Aristoteles nimmt er weg, Syrion
und Stobaios legt er zu, das umfassende Feuer ist keineswegs als ein
zusammenfassendes gekennzeichnet, periecho ist nicht synecho, und die
»Lauterkeit der Elemente« selbst bezieht sich nicht auf Materie und
Form sondern auf die vier Elemente selbst. Das umgebende Feuer erklärt
sich einerseits durch die Auszeichnung die Anfang und Ende besitzen und
»Anfang und Ende reichen einander die Hände«. Das von der zentralen
Hestia zur Erhaltung des Kosmos verbrauchte Feuer wird von da aus
ersetzt, durch den »Atemzug des Weltalls«.
Darin pflichte ich Herrn Bauer bei, dass die Betonung der Gegensätze,
die orphisch ist, vielleicht das ursprüngliche ist. Man muss aber
unterscheiden zwischen dem Apeiron, dem Peras und dem Perainon, d. h.
zwischen Stoff und Form und Formgebung und das formgebende Prinzip, die
Seele wie des Menschen so der Welt, ist, wenn man das Wort brauchen
will, der eigentliche »Gott« der Pythagoreer, nämlich die ¨Harmonie¨,
welche die Gegensätze zur Vereinigung zwang und darin erhält. Auch für
sie lagen orphische vielleicht auch Heraklitische Anregungen vor.
Von der Harmonie zur ¨Zahlenlehre¨ der Aristotelischen Darstellung
ist aber nur ein kleiner Sprung, denn wenn die Ordinalzahl, wie ich
an anderer Stelle gesagt habe, der major domus der Zeit ist, so ist
es die relative, die Verhältniszahl, für die Harmonie, die eben nur
in Verhältniszahlen zum Ausdruck kommt. Die Erfindung des Monochords
ist von diesem Prinzip geleitet worden; jedes Kind, das an einer Saite
klimpert, weiss, dass die kürzere den helleren Ton gibt, aber nur wer
den Gedanken erfasst hat, dass die Harmonie in Zahlenverhältnissen
ihre Objektivierung finden muss, wird versuchen messend einfache
Verhältnisse herzustellen. So sind es die Pythagoreer, die sicher noch
vor ¨Platon¨ die Bedeutung der relativen Zahl erkannt haben, und hier
liegt vielleicht ihr grösstes Verdienst um die Mathematik. Hiermit
hängt auch die ihnen eigentümliche Auffassung der Einheit zusammen, die
keine Zahl ist, wie wir das ja noch in den Rechenbüchern des 18. Jahrh.
nach Chr. lesen können, sondern eine Grösse, und ich weise hier auf den
Zusammenhang mit ¨Galilei¨ hin und auf die Stelle Aristoteles Metaph.
XIII 6, 1080, 6, 16.
Zum Schluss noch ein paar Worte über das »Kenon,« das Leere, der
Pythagoreer, denn hier liegt die Grundlage für den wichtigen Begriff
des »μή ὄν« des Nichtseienden, das schliesslich bei Demokrit und Platon
geradezu positiven oder besser konstruktiven Inhalt empfängt.
Dieses Leere scheint mir nichts anderes zu sein als eine Vermischung
von Zeit und Raum, die im »Kenon« zwar noch ungeschieden, aber doch
schon als Sonderungsprinzipien (principia individuationis nach
Schopenhauer) erkannt sind. Sie werden aus dem Apeiron jenseits
der zehnten Sphäre, der des umgebenden Feuers, eingesogen um die
im Kosmos zur ordnungsgemässen Trennung und Bewegung der Sphären
verbrauchte Zeit und Raum zu ersetzen. Die Polemik des ¨Parmenides¨
gegen das Nichtseiende ist also noch mehr gegen die Pythagoreer
als gegen Heraklit gerichtet, denn sie ist gegen Zeit und Raum
und Bewegung gerichtet. Aber dieses Kenon, dieses me on ist dann
von ¨Demokrit¨ aufgenommen, der in dem Leeren der Pythagoreer,
den Poren des ¨Empedokles¨ und den unzählig vielen unendlich
kleinen Elementen des ¨Anaxagoras¨ die Bausteine fand, aus denen er
mittelst der Differentiale der Masse, des Raumes und der Bewegung,
die unerschütterlichen Grundlagen der physikalisch-chemischen oder
richtiger der mathematischen Naturbeschreibung geschaffen hat.