II. Kugel und Cylinder.

»Archimedes grüsst den Dositheos. Früher habe ich dir brieflich das

damals mehrfach behandelte Theorem, dass jedes Parabelsegment 4/3 des

Dreiecks ist, das mit ihm gleiche Grundlinie und Höhe hat, mit den

Beweisen zugesandt. Danach bin ich auf einige noch nicht bewiesene

Sätze gestossen und habe die Beweise ausgearbeitet. Es sind folgende:

Erstens, dass die Oberfläche der Kugel das Vierfache ihres grössten

Kreises ist, sodann, dass der Fläche jedes Kugelsegments ein Kreis

gleichkommt, dessen Radius[1] gleich der Verbindungslinie des Scheitels

mit einen Punkt des Grundkreises ist; dazu kommt der Satz, dass jeder

Cylinder der den grössten Kreis zur Basis und den Kugeldurchmesser zur

Höhe hat, das anderthalbfache der Kugel ist, wie seine Oberfläche von

der der Kugel«.

[1] Der Radius heisst ἡ ἐκ τοῦ κέντρου; zu ergänzen ist γραμμή die

Linie aus dem Zentrum, das Wort Radius ακτις kommt, vergl. ¨Simon¨

Euklid 1901, p. 80 Anmerk. 1 zuerst bei Cicero. Timaeus cap. VI vor.

Es folgt dann die schon bei Eudoxos erwähnte Stelle über die Sätze mit

denen dieser die Demokritische Formel über die Volumina der Pyramiden

und Kegel bewiesen hatte. Wichtig sind die Annahmen, die sich an die 6

Axiome der Einleitung anschliessen.

1) Von den Linien, welche dieselben Endpunkte haben, ist am kürzesten

die Gerade.

¨Archimedes hat auch nicht im mindesten die Absicht mit dieser

Forderung eine Definition der Geraden zu geben.¨

2) Von zwei nach denselben Seiten hohlen (gekrümmten) Verbindungslinien

zweier Punkte ist die umschlossene die kleinere.

3) Ebenso ist von den Flächen, welche dieselben Grenzen haben, falls

diese Grenzen in einer Ebene liegen, die Ebene die kleinste.

4) Von zwei solchen Flächen, welche nach derselben Seite hohl sind, ist

die umschlossene die kleinere.

5) Auch ist bei ungleichen Linien, Flächen oder Körpern der Unterschied

so beschaffen, dass es durch Vervielfältigung desselben möglich ist

jede Grösse derselben Art zu übertreffen.

¨No. 5 ist das Archimedische Prinzip in allgemeinster Fassung.¨

Es folgt dann die Integration oder Quadratur der Kugelfläche in der

auch in unsern Elementarbüchern leider noch oft gegebenen Weise als

Grenze einer Summe von Kegelmänteln und die des Kugelvolumens durch

den Satz eine von Kegelflächen begrenzte Figur die in eine Kugel

eingeschrieben ist, ist gleich einem Kegel, dessen Grundfläche die

Fläche der eingeschriebenen Figur ist, und dessen Höhe gleich dem Lot

vom Zentrum auf die Kante eines der Kegel ist; also als Grenzfall:

Kugel = Kegel dessen Grundfläche die Kugel, dessen Höhe der Radius ist.

[Sidenote: Archimedes' Kreismessung.]

Im Ephodion II hat Archimedes dann uns verraten, dass er erst das

Kugelvolumen mittelst Integration (durch geschickte Benutzung des

Hebelsatzes, die heute überflüssig ist) gefunden hat und dann die

Kugelfläche wie wir, durch den Satz, dass die Kugel eine Pyramide ist,

welche die Fläche zur Grundfläche und den Radius zur Höhe hat, der

heute jedem mit Grenzbetrachtung vertrauten Primaner einleuchtet.

Zugleich berichtet er uns in der Anmerkung, dass die ¨Kreisberechnung¨

ihn auf diesen Gang geführt und man sieht, dass die Kreisberechnung

faktisch der Kugelberechnung voranging, was ich schon in der Vorlesung

von 1903 gesagt hatte.

Archimedes hat wohl mit Fug und Recht das Buch I der Sphaira als

seine bedeutendste Leistung angesehen, obwohl er u. a. im zweiten

Teil unter No. 5 die Aufgabe löste von einer Kugel durch einen ebenen

Schnitt einen gegebenen Bruchteil abzuschneiden, die auf eine Gleichung

dritten Grades und zwar auf den casus irreducibilis führt und in enger

Beziehung zur Winkelteilung steht.

Das Eindringen in die Prinzipien der Integralrechnung und seine

Kenntnis der Integrale rationaler Integranden tritt am deutlichsten

in der Abhandlung No. 4 über Konoide und Sphäroide hervor, d. h.

über Rotations-Paraboloide und -Hyperboloide (Konoide) und

Rotations-Ellipsoide (Sphäroide). Hier quadriert er auch die Ellipse,

den Schnitt des spitzwinkligen Kegels, und zeigt, dass er die Gleichung

der auf ihre konjugierten Axen bezogenen Ellipse und Hyperbel kennt.

Ich komme zur κυκλου μετρησις, sie ist dem Wesen nach schon vor der

sphaera entstanden, aber später redigiert. (Vorlesung 1903.) Sie

beginnt mit dem wieder auf das Prinzip gestützten Nachweis, dass der

Kreis gleich einem Dreieck, dessen Grundlinie die Peripherie und dessen

Höhe der Radius ist. Es wird wohl niemand mehr bezweifeln, dass er das

gleichschenklige Dreieck, dessen Grundlinie das Bogenelement ist, als

Differential und die Kreisfläche selbst als Integral ansah, wodurch

es sich auch erklärt, dass er die Existenz eines solchen Dreiecks bei

seiner Verkleidung der Infinitesimalrechnung stillschweigend annahm.

Durch diesen Satz I hat Archimedes die Probleme der Quadratur und

Rektifikation des Kreises vereinigt. Die beiden Sätze, welche gestatten

die Kette der ein- und umgeschriebenen regulären 2^k n Ecke beliebig

weit fortzusetzen, sind heute Inventar unserer Schulgeometrie. Die

Arbeit gipfelt in dem berühmten Satz III, den ¨Ulrich v. Wilamowitz¨ in

sein Übungsbuch aufgenommen hat:

Παντος κικλου ἡ περιμετρος της διαμετρου τριπλασιων εστι, και ετι

ὑπερεχει ελασσονι μεν η ἑβδομω μερει της διαμετρου, μειζονι δε η δεκα

ἑβδομηκοστομονοις., wo dann in den griechischen Zahlwörtern und den

Dativen ελασσονι etc. jedes Philologenherz schwelgen kann. »Jedes

Kreises Umfang ist des Durchmessers Dreifaches und geht darüber hinaus

durch einen Teil des Durchmessers der geringer ist als ein Siebentel

und grosser als 10 Einundsiebzigstel.« Ausgegangen wird vom 6 Eck,

als Grenze dient das ein- und umgeschriebene 96 Eck. Wie er die

Quadratwurzeln mit solcher Genauigkeit gezogen, steht noch nicht fest,

doch hat er sich vermutlich eines Kettenbruch ähnlichen Algorithmus

bedient und vermutlich auch die Formel gekannt

a ± b/(2a) > √(a^2 ± b) > a + b/(2a ± 1)

[Sidenote: Spirale.]

Für Kreismessung und Kugel-Cylinder sind die Handschriften am

verdorbensten. Eng an die Kreismessung schliesst sich die Schrift περι

ἡλικων, ¨über die Archimedische Spirale¨, erzeugt durch einen Punkt

Μ, der sich gleichförmig auf einem sich gleichförmig drehenden Radius

bewegt. Da die Gleichung der Kurve in Polarkoordinaten r = a . Θ, wo

a2π gleich der Strecke ΑΘ ist, welche Μ auf dem Radius während eines

vollen Umlaufs zurücklegt, so gibt die Kurve sowohl den Kreisumfang als

auch jede beliebige Bogen- oder Winkelteilung. Sie wird mit den denkbar

einfachsten geometrischen Mitteln behandelt, noch elementarer als in

der kleinen analytischen Geometrie, Sammlung ¨Göschen¨ No. 65, auch der

Flächeninhalt durch Integration des Polarflächenelements 1/2 r^2 dΘ

ermittelt. Die Einleitung ist für die Datierung der Werke wichtig, sie

wiederholt die vor langen Jahren an Konon gesandten Sätze, darunter

zwei Vexiersätze, es heisst: Es trifft sich, dass darunter zwei Platz

gefunden haben, welche eine Erfüllung (nämlich der Forderung sie zu

beweisen) vermissen lassen, damit die Leute, welche behaupten, sie

könnten alles finden, während sie doch keinen Beweis herausbringen,

überführt werden, dass sie hier mal eingestanden haben, das Unmögliche

zu finden.

[Sidenote: Archimedes: Ephodion.]

Über das ἐφόδιον habe ich schon Einiges gesagt. Es führt im Palimpsest

¨Heiberg¨, Hermes 42 p 243 den Titel Archimedous peri tōn mechanikōn

Theōrematōn pros Eratosthenen ephodos; seine Existenz war bis 1903 nur

durch eine Stelle des Lexikographen ¨Suidas¨ bekannt, und 1903 durch

ein Zitat in dem von Schoene herausgegebenen Codex Constantinopolitanus

der Metrika des Heron von Alexandria. Die beiden von Heron angeführten

Sätze über die kubierbaren Körper, den Cylinderhuf und den Schnitt

zweier im selben Würfel eingeschriebener Cylinder mit aufeinander

senkrechten Achsen werden gleich in der Einleitung als Hauptleistungen

des έφοδος, der Methode, angeführt. Den ersten Satz habe ich als

Primaner unter ¨Bertram¨, der ihn wohl durch ¨Schellbach¨ kannte,

selbst bewiesen, und seit 1873 meinen Primanern fast regelmässig

vorgesetzt. Wer ihn wieder aufgefunden weiss ich nicht, vielleicht

¨Luca Valerio¨ »der zweite Archimedes«. Als Beispiel der Methode gebe

ich die Kugelberechnung, aus der sowohl die Kunst des Archimedes als

auch die eigenartige Verquickung von Statik und Differentialrechnung in

der Methode auf das deutlichste hervorgeht.

[Sidenote: Archimedes: Ephodion, daraus Kugelberechnung.]

[Illustration]

II. Dies (die Parabelquadratur) ist zwar durch das jetzt Gesagte nicht

voll bewiesen, aber es gibt doch gewissermassen den Nachweis, dass die

Schlussfolge richtig sei etc. Dass aber jede Kugel das vierfache (im

Text fehlt der Doppellängsstrich über das δ von διπλασια) des Kegels

ist, der zur Basis den grössten Kugelkreis und zur Höhe den Kugelradius

hat und von dem Cylinder, der den grössten Kugelkreis zur Basis und

eine Höhe gleich dem Kugeldurchmesser hat, das anderthalbfache ist,

wird folgendermassen nach dieser Methode erschaut. Gegeben eine

Kugel, in welcher ein grösster Kreis αβγδ (s. Fig.) αγ u. βδ seine

zwei aufeinander senkrechte Durchmesser, und um den Durchmesser βδ

sei der auf den Kreis αβγδ senkrechte Kreis gezogen und von diesem

senkrechten (Kreis) aus, sei ein Kegel beschrieben der seinen Scheitel

im Punkte α habe und nachdem seien Oberfläche ausgezogen soll der

Kegel geschnitten worden sein von einer Ebene durch γ parallel zur

Basis. [Sie wird aber einen Kreis schaffen senkrecht auf] αγ, und

sein Durchmesser [ist ζε]. Und von diesem Kreis aus soll ein Cylinder

angeschrieben worden sein, der eine Achse hat (άξονα) welche αγ

gleich ist, und Kanten des Cylinders solle ελ und ζη sei. Und γα ist

verlängert worden (eig. weiter geworfen, vom Seil mit dem die Gerade

ursprünglich konstruiert wurde) und es wurde ihr gleich gesetzt αθ

(κειμαι ist hier nicht liegen, sondern wie häufig Passiv von τιθημι

setzen), und es werde γθ als Wagebalken gedacht dessen Mitte Punkt α,

und es sollte irgend eine Parallele gezogen werden zu βδ, die Linie μν

(wörtlich die für βδ vorhanden seiende), und sie soll den Kreis αβγδ

schneiden in den Punkten ξ und ο [Punkt wird durch den Strich über ξ

und ο angedeutet] und den Durchmesser αγ in σ und die Gerade αε in π,

und αρ in ρ und von der Geraden μν aus soll eine Ebene senkrecht zu

αγ gestellt worden sein. Diese wird nun in dem Cylinder als Schnitt

bewirken [den Kreis dessen Durchmesser μν sein wird und in der Kugel

αβγδ] den Kreis dessen Durchmesser ξο sein wird und in dem Kegel αερ

den Kreis dessen Durchmesser πρ sein wird. Weil nun das Rechteck aus μσ

und σπ -- denn αγ ist gleich σμ und ασ gleich πσ -- und das Rechteck

aus γα und ασ gleich ist den Quadrat über αξ, das heisst ξσ^2 plus

σπ^2, so ist folglich das Rechteck aus μσ und σπ gleich ξσ^2 + σπ^2.

[Ich bemerke dass Zeile 22 am Schluss statt α gelesen werden muss

ὑ.] Und weil γα : ασ wie μσ : σπ und γα gleich αθ, folglich θα : ασ =

μσ : σπ, d. h. gleich μσ^2 : μσ . σπ. Das Rechteck aus μσ und σπ wurde

gleich erwiesen ξσ^2 + σπ^2; also αθ : ασ wie μσ^2 : (ξσ^2 + σπ^2)

wie μν^2 : ξο^2 + πρ^2. Sowie μν^2 : ξο^2 + πρ^2 so verhält sich der

Kreis im Cylinder mit dem Durchmesser μν zu der Summe der Kreise, des

im Kegel mit Durchmesser πρ und des in der Kugel dessen Durchmesser

ξο. Also θα : ασ so wie der Kreis im Cylinder zu den (beiden) Kreisen

(zusammen) dem in der Kugel und dem im Kegel. ¨Wegen dieses Verhältnis

von θα : ασ wird der Cylinderkreis in bezug auf Punkt α den beiden

Kreisen zusammen mit den Durchmessern ξο und πρ, fortgetragen und so

zu θ gesetzt, dass θ der Schwerpunkt jedes der beiden Kreise ist,

das Gleichgewicht halten¨ etc. ... »Nachdem nun der Cylinder von dem

angenommenen Kreise ¨ausgefüllt¨ ist«. Wegen dieser selbstverständigen

Abkürzung, die auch heute noch wohl jeder, der den Satz und Beweis in

der Prima vorträgt, gebrauchen wird, ist ¨ein Archimedes beschuldigt¨

worden, den Körper gleich der Summe von Flächen, wie aus gleichem

Grunde bei Satz I, der Parabelquadrierung, die Fläche als Summe von

Linien angesehen zu haben, hundert Jahre nach Aristoteles und noch dazu

wohl kurz nach seinem Weggang aus Alexandrien, wo doch wahrlich ein

strenger Dogmatismus herrschte! Heranzuziehen ist aus der Einleitung

des Arenarius die Stelle 63. 2, επει γάρ το τάς σφαιρας κέντρον

ουδέν έχει μέγεθος etc.) wird der Cylinder im Punkte α der Kugel und

dem Kegel zusammen das Gleichgewicht halten. Da der Schwerpunkt des

Cylinders im Punkte κ liegt und der der beiden andern Körper in θ,

so wird nach dem Hebelgesetz, das in ἑπιπεδων ἱσορροπιων I bewiesen

ist, der Cylinder doppelt so gross sein, als die beiden andern Körper

zusammen. Mit diesem Nachweis ist das Theorem, da der Kegel nach

¨Demokrit¨ und ¨Eudoxos¨ 1/3 des Cylinders ist, der mit ihm gleiche

Grundlinie und Höhe hat, im wesentlichen bewiesen. Man sieht auch,

dass das Buch I vom Schwerpunkt ebener Flächen der Ausgangspunkt für

Archimedes gewesen und dass er um Buch II schreiben zu können seine

Differentialrechnung ausbilden musste, ich setze daher das Ephodion

gleich hinter Buch I der Konzeption nach. --

[Sidenote: Archimedes: Die zwei Bücher vom Schwerpunkt.]

¨Buch I der Schrift über den Schwerpunkt¨ ist die erste von Archimedes

veröffentlichte Schrift, ¨Nizze¨ vermutet wohl richtig, dass sie dem

¨Konon¨ gewidmet gewesen, sie ist auch inhaltlich wohl die erste

gewesen. Sie ist vermutlich kurz nach des Archimedes Rückkehr in die

Heimat verfasst worden, denn er war unter dem Einfluss der stark auf

angewandte Mathematik gerichteten Alexandrinischen Schule, wie auch aus

der Erfindung der κοχλιας hervorgeht, viel mit Mechanik beschäftigt.

Es ist vom Standpunkt der reinen Mathematik zu bedauern, dass er seine

Differentialrechnung von vornherein mit statischen Ideen belastet hat.

Der Inhalt dieses ersten Buches fehlt in keinem elementaren Schulbuch

der Physik, das Hebelgesetz selbst ist in Satz 6 und 7 auseinander

gezogen, da es für kommensurable und inkommensurable Massen gesondert

bewiesen wird, es wird Buch II, 1 noch einmal bewiesen, mit Hilfe der

einfachsten Sätze über den Schwerpunkt des Parallelogramms I, 9 und 10.

Den Begriff Schwerpunkt definiert er nicht, da er ihn als dem Konon

bekannt voraussetzt.

[Sidenote: Schwerpunkt II.]

Buch II beschäftigt sich im wesentlichen mit parabolischen Flächen,

es zeigt vor allem eine ausserordentliche Vertrautheit mit dem

Proportionenkalkül, sicher ein Rüstzeug aus der Alexandrinischen

Schule, doch ist es von geringerer Wichtigkeit wie Buch I. Die beiden

Bücher über ¨schwimmende Körper¨ gehören zu seinen grössten Leistungen,

sie enthalten die unverrückbare Grundlage der Hydrodynamik, auch ¨ihr¨

Inhalt ist uns in succum et sanguinem übergegangen. Annahme I, Satz

6 und 7 enthalten die eigentlichen Prinzipien und werden heute als

¨Archimedisches¨ Prinzip bezeichnet. Unter Gewicht ist, wie Nizze

bemerkt, immer das spezifische Gewicht zu verstehen. Buch II wiederholt

das Prinzip und geht dann auf die speziellen Fälle in Flüssigkeiten

eingetauchter Umdrehungsparaboloide ein. Die Annahme 11 von Buch I

ist keine genügend klare Fassung des Prinzips von der gleichmässigen

Fortpflanzung des Druckes in Flüssigkeiten. Buch II ist für die

Beurteilung der vis mathematica des Archimedes von hohem Wert und seine

Theorie der Hydrostatik ist auch für beliebige Körper anwendbar.

Das Werk hat ein eigentümliches Schicksal gehabt. Der Dominikanermönch

Wilhelmus de Morbeca hat es um die Mitte des 13. Jahrh. aus

griechischem Text lateinisch übersetzt; ob dem Verfasser des general

trattato, Nik. Tartaglia, ein griechischer Codex vorgelegen, ist

nicht sicher, er gab Buch I lat. 1543 (Venedig) heraus und aus seinem

Nachlass veröffentlichte Trojanus Curtius 1565 das zweite Buch. Jetzt

berichtet ¨Heiberg¨ dass der Palimpsest den Text von περι οχουμενων

fast vollständig enthält und konnte daraufhin schon die Unechtheit des

von ¨A. Mai¨ aus Vatikanischen Codices edierten Fragments, Forderung 1

und die 8 ersten Sätze, feststellen.

[Sidenote: Wahlsätze.]

Von den ¨Wahlsätzen¨, dem liber assumptorum sind als echt erwiesen

die Sätze über den Arbēlos, das Schustermesser und über die

fälschlich Wogenfläche, richtiger Eppigblatt genannte Fläche σέλινον.

Meine Didaktik und Methodik weist die Lehrer auf diese bei der

Kreisberechnung in Secunda so erwünschten Aufgaben hin. Für den Arbēlos

verweise ich auf meine Entwicklung der Elementar-Geometrie (1906) No.

9 p. 87 f. Die 15 Sätze sind aber alle miteinander für den Unterricht

sehr verwendbar, sie machen übrigens durchaus nicht den Eindruck, als

ob sie von verschiedenen Autoren herrühren und können ganz wohl aus

einem Buch des Archimedes über Kreisberührungen stammen.

[Sidenote: Archimedes: Arenarius (Sandzähler).]

Von arithmetischen Werken ist unzweifelhaft in der Fassung des

Archimedes nur ein einziges erhalten, der ψαμμίτης, ¨arenarius, der

Sandzähler¨. Die Einleitung der an den König Gēlon, den Sohn des Hiero

gerichteten Schrift lautet:

»Es glauben manche, König Gēlon, des Sandes Zahl sei unendlich der

Menge nach, ich spreche aber nicht nur von dem um Syrakus und das

übrige Sizilien, sondern auch von dem auf jedem Raum, bewohnten wie

unbewohnten.

Es gibt aber auch Leute, welche zwar nicht annehmen, dass derselbe

unendlich sei, aber doch, dass keine aussprechbare Zahl existiere,

welche die Menge des Sandes überträfe. Wenn diejenigen, welche solche

Ansicht haben eine aus Sand zusammengesetzte Kugel sich denken würden,

so gross im übrigen wie die Erdkugel, aber so, dass auf dieser alle

Meere und Höhlungen bis zur Höhe der höchsten Berge ausgefüllt würden,

so würden sie noch viel mehr der Meinung sein, dass keine Zahl genannt

werden könne, welche die Menge des Sandes ihrer Kugel überträfe.

Ich aber will versuchen dir durch mathematische Beweise, welchen du

beipflichten wirst, zu zeigen, dass unter den von mir benannten Zahlen,

welche sich in meiner Schrift an den Zeúxippos finden, einige nicht

nur die Zahl des Sandes übertreffen, der die Grösse der Erde hat,

ausgefüllt so wie wir gesagt haben, sondern auch dessen, der die Grösse

des Weltalls hat.

Du weisst ja, dass die meisten Astronomen unter Kosmos eine Kugel

verstehen, deren Zentrum das Zentrum der Erde ist und deren Radius

vom Zentrum der Erde bis zum Zentrum der Sonne reicht. Denn dies wird

gewöhnlich geschrieben, wie du von den Astronomen erfahren hast.

¨Aristarch von Samos¨ dagegen gab schriftlich einige Hypothesen

heraus, aus denen, nach dem Vorliegenden hervorgeht, dass die Welt

vielmal grösser sei als die eben genannte. Er nimmt nämlich an, dass

die Fixsterne und die Sonne unbeweglich seien, die Erde aber sich

in einer Kreislinie um die Sonne, welche mitten in der Bahn steht,

herumbewege. Die Kugel der Fixsterne nun, mit der Sonne um dasselbe

Zentrum liegend, habe eine solche Grösse, dass der Kreis, in welchem

nach seiner Annahme die Erde sich bewegt, zur Entfernung der Fixsterne

ein solches Verhältnis hat wie das Zentrum der Kugel zur Oberfläche.

Dies ist nun in seiner Unmöglichkeit ganz offenkundig [Archimedes setzt

nun auseinander, dass Aristarchos das Verhältnis der Erde zur Welt

dem der Kuben der Radien des Erd- und Fixsternkreises gleich erachte,

ein wie Nizze mit Recht hervorhebt absichtliches Missverstehen der

eigentlichen Meinung, dass die Erde gegen die Welt als verschwindend zu

betrachten sei]. Der Schluss lautet: Ich behaupte nun, dass wenn auch

eine Kugel aus Sandkörnern existieren sollte von der Grösse welche nach

der Annahme des Aristarch die Fixsternsphäre hat, auch dennoch von den

in den »Anfangsgründen« (Αρχαι) benannten Zahlen sich einige aufweisen

lassen würden, welche an Fülle die Zahl des Sandes überträfen, der

eine Grösse hat gleich der besagten Kugel, und zwar auf folgenden

Grundlagen.«

Kulturhistorisch wichtig ist besonders Paragraph 3 und 4, sie zeigen,

wie grundlos das Vorurteil ist, dass die Alten nicht experimentiert

hätten, was z. B. noch ¨Ch. Thurot¨ in den Recherches hist. sur le

princ. d'Arch., Rev. d'Archéol. 1868 B. 18 etc. ausspricht; es ist

dies Vorurteil ebenso unausrottbar wie die Anschauung, dass sie die

Brüche etc. nicht als Zahlen angesehen, oder die Bewegung nicht als

Hilfsmittel für die Konstruktion zugelassen.

Die »Archai« sind eine verlorene Schrift an den Ζεύξιππος, der wohl zum

Freundeskreis aus der Studierzeit gehörte, sie handelte vermutlich von

der Zahl und dem Zählen.

Exkurs über das elementare Rechnen der Griechen.

[Sidenote: Exkurs über das elementare Rechnen der Griechen (Logistik).]

Hier ist nun die Stelle, wo ich gezwungen werde auf die griechischen

Zahlzeichen und die praktische Rechenkunst, die Logistik, einzugehen.

Als Quellen führe ich Ihnen an: ¨J. B. J. Delambre¨, Arithm. d. Grecs,

Anhang zu Peyrards Übersetzung des Archimedes von 1807 und noch in

Hist. de l'astron. anc. Par. 1817, ¨Nesselmanns¨ treffliche Algebra der

Griechen nach den Quellen bearbeitet Berl. 1842, leider nur ein Band,

¨G. Friedlein¨ die Zahlzeichen und das elementare Rechnen der Griechen

und Römer, Erl. 1869; ¨F. Hultsch¨ script. Graec. metrol. 1864,

¨S. Günther¨ Gesch. der Math. und Naturw. im Iwan Müller, und dann die

Geschichtswerke.

Anfänglich sind wie überall Striche die Zahlzeichen, dann zur Zeit

des ¨Solon¨ etwa, bezeichnete man die Zahl mit den Anfangsbuchstaben

des Zahlworts: Π war πεντε (τα) fünf, Δ war δεκα zehn, Η war 100, sie

heissen Herodianisch nach einem späteren Alexandrinischen Grammatiker,

so findet sich z. B. auf der Tafel von Salamis ΗΗΗΔΔΔΔΠΙΙΙΙ = 349. Von

hier aus war zur Annahme des Semitischen Gedankens die Zahlen mit den

Buchstaben des Alphabets zu bezeichnen, nur ein kleiner Schritt, und

diese Methode verbreitet sich von 500 ab. Dabei nahmen sie 3 Buchstaben

des phönicischen Alphabets die Lautabstufung bezeichneten, die

Hellenischer Zunge oder Kehle unaussprechbar waren als sogen. επισημα

(Zusatzzeichen) auf; es sind das ϛ Bau oder Wau für 6, ϙ Koppa für 90

und sampi ein liegendes ϡ für 900. Sie schreiben also:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

α β γ δ ε ϛ ζ η Θ

ι κ λ μ ν ξ ο π ϟ

ρ σ τ υ φ χ ψ ω ϡ

Die untereinander stehenden Zahlen unterscheiden sich durch den Faktor

10 also 349 gleich τμΘ.

Sollten die Buchstaben Zahlen bedeuten, so bekamen sie meistens einen

wagerechten Strich oberhalb z, B. ᾱ (die jetzigen Grammatiken ἁ). Die

9 Tausender werden durch die betreffenden Einer mit einem kleinen

Strich darunter dargestellt, also ᾳ...Θι. Das Zeichen für 10000 war M

oder Μυ von Μυριοι Myrioi) 10000 z. B. ϛ/M für 60000. Häufig wird nur

ein Punkt gesetzt z. B. δ.γιυνη ¨gleich¨ 43458. So konnte man bis 9999

Μυ + 9999 also 10^8 - 1 kommen, griech. ΘιϡϟΘ.ΘιϡϟΘ. Die Brüche wurden

meist nach ägyptischem Vorbild in Stammbrüche zerlegt und dann nur der

Nenner mit einem Akzent geschrieben, also ἡ = 1/8, besondere Zeichen

gab es (Ägypten) für 1/2: ϙ und 2/3: Κ. Wurde der Bruch unzerlegt

hingeschrieben, so deutete man den Zähler durch einen Akzent an und

schrieb den Nenner doppelt mit 2 Akzenten also λδ′ ωπη″ ωπη″ = 34/888.

¨Addition¨ und ¨Subtraktion¨ waren von der unsrigen nicht verschieden,

man schrieb die gleich benannten Zahlen unter einander, addierte sie

und behielt die überschiessenden Einheiten im Kopf, und entsprechend

verfuhr man bei der Subtraktion, wofür das Beispiel aus Eutokios

Kommentar zur κυκλου μετρησις entnommen ist.

Θ.γιχλϛ 93636

β.γιυ Θ 23409

------- -----

ζ. σκζ 70227

Auch die Multiplikation vollzog sich unschwer, nach dem Schema des

Eutokischen Beispiels.

φοα 571

φοα 571

--------- -------

κεγ.εφ 25....

ΜΜ ' 35...

5..

γεδϡο 35...

Μ'' 49..

7.

φοα 571

--------- -------

λβ.ϛμα 32^m6041

Μ '

αθϛ' 1009-1/6

'

αθϛ' 1009-1/6

'

ρθρξϛϙϛ' 1009166½ + 1/6

Μ'

θπααϙ 9081

' 1½

ρξϛϙϛ'ακλϛ' 166½ + 1/6

1½ + 1/36

--------------- --------------------

ραηυιζγλϛ' 1018417-1/3 + 1/36

Μ'

¨Delambre¨ sagt mit Recht sie ist leichter als unsere, weniger Fehlern

ausgesetzt, nur etwas länger. Für die Division haben wir bei Eutokios

kein ausgeführtes Beispiel, aber in ¨Theon¨ des Alexandriners Kommentar

zum Almagest findet sich eine Anleitung zum Rechnen mit Astronomischen

Brüchen d. h. mit Sexagesimalzahlen (s. Babylon) welche genau unsern

Dezimalbrüchen entsprechen, der Algorithmus der Division bei Theon

ist nur etwas zeitraubender, während das Quadratwurzelausziehen vom

unsrigen nicht verschieden ist.

[Sidenote: Archimedes, Arenarius.]

Im ¨Sandzähler¨ nimmt ¨Archimedes¨ das einzelne Sandkorn so klein an,

dass 10^4 auf ein Mohnkorn gehen.

Dann weist er nach, dass 64000 Mohnkörner ein Volumen liefern, grösser

als eine Kugel von 1 Zoll (Finger) Durchmesser, also ist die Zahl der

Sandkörner, welche diese Kugel fassen kann < 64 . 10^7 also < 10^9,

also die Sandzahl der Kugel von 100 Zoll kleiner als 10^6 . 10^9 oder

10^{15} und die der Kugel von 10^4 Zoll Durchmesser < 10^{21}. Aber

ein ¨Stadion¨ zu 600 Fuss hat nur 9600 Zoll, also ist die Sandzahl

der Kugel vom Durchmesser eines Stadion kleiner als die Zahl 10^{21},

und die von 100 Stadien kleiner als 10^{27} und die von 10000 Stadien

kleiner als 10^{33} und die Sandzahl der Kugel vom Durchmesser 10000

Millionen Stadien kleiner als 10^{51}.

Nun hat auf Grund der experimentellen Untersuchung des Gesichtswinkels,

in § 3 und § 4 erzählt, Archimedes festgestellt, dass der

Sonnendurchmesser grösser sei als die Seite eines reg. Tausendecks, das

in einen grössten Kreis der Weltkugel eingeschrieben ist, also ist der

Umfang dieses Tausendecks kleiner als 1000 Sonnendurchmesser. Setzt

man nun den Sonnendurchmesser nicht grösser als 30 Monddurchmesser

und den Monddurchmesser kleiner als den des Erddurchmessers, so ist

der Umfang des Tausendecks kleiner als 30000 Erddurchmesser, also der

Durchmesser des Welthauptkreis kleiner als 10000 dieser. Archimedes

setzt nun, was für seinen Zweck möglichst hohe Zahlen abzählbar

zu machen, ein Vorteil, den Erdumfang auf weniger als 3 Millionen

Stadien, (eine gegen die fast gleichzeitige Eratosthenessche Messung

auffallende Überschätzung) und kommt so für den Weltdurchmesser zu der

oberen Grenze von 10000 Millionen Stadien, deren Sandzahl kleiner als

10^{51} war. -- ¨Archimedes¨ zählt nun zunächst in gewöhnlicher Weise

bis zur oberen Grenze, d. h. also Myrio Myriaden -- 1. ΘιϡϟΘ.ΘιϡϟΘ =

99,999,999. Diese Zahlen nennt er ¨erste¨, d. h. ¨erster Ordnung¨,

und macht nun 10^8 zu einer neuen Einheit, die er ¨zweite¨ nennt, und

kann nun bis Myrio Myrioi Myriaden d. h. 10^{16} - 1 zählen, dann

kommen die Zahlen dritter Ordnung von 10^16 bis 10^24 - 1, und so

fort, d. h. also er teilt die Zahlen ab nach ¨Oktaden¨. Aber auch

die Ordinalzahlen, die er zur Abzählung der Oktaden braucht, werden

mit der 100 Millionsten weniger Eins erschöpft, er fasst also die

bisher benannten Zahlen zusammen als Zahlen der ¨ersten Periode¨, er

gelangt so zu einer Zahl welche wir mit 799,999,999 Neunen schreiben

würden, die Zahl 99,999,999 der 99,999,999sten Ordnung, er macht nun

(10^8)^{(10^8-1)} oder (10000^2)^{(10000^2-1)} zu einer neuen Einheit

und zur zweiten Periode und gelangt so schliesslich zur Zahl 10^8, der

Ordnung 10^8 der Periode 10^8 welche wir mit 1 und 80000 Billionen

Nullen schreiben würden.

Der Paragraph 9 der Nizzeschen Übersetzung (Heiberg 268 f.) zeigt

dass Archimedes keineswegs wie Nesselmann meint, nur neue Zahlworte

geschaffen hat, sondern tatsächlich das Positionssystem gefunden und

ebenso zeigt § 10 wie dicht er an ¨Potenz¨ und ¨Logarithmenrechnung¨

gestreift hat. Er führt darin den Begriff des Abstands ein, und nur

dadurch, dass er der Einer-Ziffer den Exponent 1 statt 0 gibt, wird

seine Regel 10^{n+1} . 10^{m+1} = 10^{n+m+1} von unsern Fundamentalsatz

10^a . 10^b = 10^{a+b} abweichend.

Die gefundene Zahl 10^{51} ist die 3. Stelle der 7. Oktade, steht also

ziemlich am Anfang der ersten Periode, welche 100 Millionen Oktaden

weniger einer enthält, aber selbst wenn er statt der Weltkugel die

Fixsternkugel wie er sie dem Aristarch zuschreibt, annimmt, deren

Durchmesser kleiner ist als 10^4 Weltdurchmesser, so wird die Sandzahl

kleiner als 10^{63} d. h. als die 8. Stelle der 8. Oktade.

[Sidenote: Archimedes: Rinderproblem, Eratosthenes.]

An den Psammites schliesst sich das Rinderproblem, προβλημα βοων an, es

ist in Distichen abgefasst und an Eratosthenes gesandt; gefunden wurde

es von ¨Gotthold Ephraim Lessing¨ als Bibliothekar in Wolfenbüttel

und 1773 ediert. Wenn auch die Echtheit der Verse zweifelhaft sein

mag, so ist es jedenfalls ein »Archimedisches Problem« und Heiberg

sagt, dass kein Grund vorliegt, es Archimedes selbst abzusprechen.

Die Einkleidung des Problems schliesst an Odyssee V. 7 an: νηπιοι οἱ

κατα βους Ὑπεριονος Ἡελιοιο ἡσθιον, es soll die Zahl der Rinder des

Sonnengotts auf Trinakria (Sizilien, nach seiner dreieckigen Gestalt

genannt), berechnet werden. Es handelt sich um weisse (w), blaue

(b), gelbbraune (g) und scheckige (s); Stiere und Kühe durch Striche

unterschieden. Zur Bestimmung der 8 Unbekannten hat man 7 Gleichungen

ersten Grades, es handelt sich also um eine sogen. Diophantische

Aufgabe. Dazu kommen noch zwei Bedingungen w + b soll eine Quadratzahl,

g + s eine Dreieckszahl, d. h. von der Form (n [**ueber] 2) sein. M. E.

hat Nesselmann und nach ihm Struve etc. den Text ganz missverstanden,

nach meiner Auffassung lauten die sieben Gleichungen:

w = 5/6 b + g + g′ w′ = 7/12 (b + b′) und: w + b = n^2

b = 9/20 s + g + g′ b′ = 9/20 (s + s′) g+s = n(n-1)/(1·2)

11/20 s = 13/42 w + g + g′ s′ = 11/30 (g + g′)[4]

g′ = 13/42 (w + w′)

Heiberg ist mit Fug und Recht der Ansicht, dass die Behandlung eines

solchen Systems die Kräfte eines Archimedes nicht überstieg, dessen

im Sinne ¨H. Webers¨ spezifische mathematische Begabung ihresgleichen

nicht gefunden hat. Übrigens ist die Weglassung des Faktors [4]

(τετραχη) bei der Gleichung für s′ unberechtigt. Zur Durchführung fehlt

es mir an Zeit.

Der zweite der Heroen des 3. Jahrhunderts, wenn auch in weitem Abstand

von Archimedes ist ¨Eratosthenes¨. Quellen: ¨F. Susemihl¨, Geschichte

der griechischen Literatur in der Alexandrinerzeit; ¨Bernhardy¨,

Artikel Eratosthenes im Ersch und Gruber; ¨Berger¨, Die geographischen

Fragmente des Eratosthenes, Leipzig 1880; Quellen über sein Leben;

¨Suidas¨ und ¨Strabon¨.

[Sidenote: Eratosthenes (vita).]

Eratosthenes wurde 276 in Kyrene geboren, zuerst in seiner Heimat durch

den Grammatiker Lysanias unterrichtet, studierte dann in Alexandria

unter ¨Kallimachos¨, dem berühmten Dichter und Leiter der Ptolemäischen

Bibliothek, ging dann nach Athen, wo er bei den der stoischen Richtung

angehörigen Philosophen ¨Ariston¨ und ¨Arkesilaos¨ sich philosophisch

aber auch besonders mathematisch bildete und eigene bedeutende

Schriften verfasste. Er folgte etwa um 235 einem Rufe des Ptolemäos

Euergetes als Nachfolger des Kallimachos und blieb bis zu seinem Tode

Leiter der Bibliothek. Da er infolge seiner angestrengten Arbeit

zu erblinden fürchtete, so tötete er, der Stoiker war, sich durch

Nahrungsverweigerung im 80. oder 82. Lebensjahre etwa um 196 v. Chr.

Ein hervorragender Zug des Eratosthenes ist seine Freiheit von

nationalen Vorurteilen; im Gegensatz zu ¨Aristoteles¨ hat er Alexanders

grossartige Idee Orient und Okzident zu verschmelzen, voll gewürdigt,

und ist so ziemlich der erste, wenn nicht einzige Hellene, der fremde

Kultur objektiv zu beurteilen vermochte.

Wie erzählt wird, ward er β genannt nach einer Version, weil er es

in allen Künsten und Wissenschaften zum Rang des zweiten gebracht,

nach andern als zweiter Platon; auch πενταθλος wird er genannt, der

Fünfkämpfer, denn er war in der Tat einer der vielseitigsten Gelehrten

aller Zeiten. Am bedeutendsten war er wohl als Geograph und Astronom,

wenn ihn auch auf letzterem Gebiet Hipparch von Nicaea (Bithynien) der

auch nach Rhodos genannt wird, übertroffen hat. Wir haben von seinen

drei Büchern Γεωγραφικα bedeutende Fragmente, und ihr Inhalt ist uns

durch Strabon und durch die Kritik Hipparchs erhalten.

[Sidenote: Eratosthenes: Geographie.]

Eratosthenes hat besonders die sogenannte mathematische und

physikalische Geographie als Wissenschaft im heutigen Sinne geschaffen,

allerdings Vorarbeiten des Dikaiarchos benutzend. Im 1. Buch gibt

Eratosthenes eine kritische Geschichte der geographischen Kenntnisse

der Hellenen bei Homer und Hesiod, wobei er sich nicht im geringsten

scheute die Unwissenheit des homerischen Zeitalters zu betonen, dann

wandte er sich zu der Geographie, beginnend mit ¨Anaximander¨, dem

Schüler und Freunde des Thales.

Das 2. Buch enthält sodann die mathematische und physikalische

Geographie nebst dem Bedeutendsten der eigenen Leistungen; die

Grundlage bildet seine Gradmessung. Eratosthenes hatte bemerkt, dass

am längsten Tage in Syēne die Sonne um Mittag den Boden eines Brunnens

bescheint, d. h. im Zenith steht, also Syēne unterm Wendekreis des

Krebses liegt, und glaubte, dass Alexandria und Syēne auf demselben

Meridiane lägen. Er mass nun am längsten Tage in Alexandria die

Kulminationshöhe der Sonne, bezw. die Zenithdistanz mittelst eines

¨Skaphion¨, einer hohlen Halbkugel, und bestimmte dadurch im Gradmass

die Distanz Siene-Alexandria, dann mass er, allerdings auf Grund der

ägyptischen nomen oder der Gaueinteilung, die direkte Entfernung und

bestimmte so die Länge des Grades.

Die Methode ist im Prinzip die noch heute angewandte, nur irrte sich

Eratosthenes darin, dass Alexandria und Syēne auf demselben Meridian

lägen. Weil aber auch die alten nomen ziemlich fehlerhaft waren, so

glichen sich die Fehler so ziemlich aus und die Angabe des Eratosthenes

auf 109 kil. statt 111 ist merkwürdig genau. Die Gradmessung scheint

er nach Makrobios schon vorher in einer eignen Schrift mitgeteilt

zu haben. Den Umfang der Erde bestimmte er auf rund 250000 Stadien,

genauer 252000.

Der 3. Teil enthält eine kurz gefasste Einteilung und Beschreibung der

bewohnten Erde. Er teilte die bewohnte Erde durch einen Parallelkreis

von Gibraltar bis China in nördliche und südliche Hälfte und jede

Hälfte durch Striche zwischen je zwei Meridiane in »σφραγιδες« d. h.

wörtlich: Siegelabdrücke, die er dann topographisch und ethnographisch

beschrieb und kartographisch aufnahm.

[Sidenote: Chronographie.]

Nicht minder bedeutend waren seine zwei andern Hauptwerke:

1) περι χρονογραφιων vermutlich eine Kritik der bisherigen

Zeitbestimmungen und eine Anweisung einen chronologisch richtigen

Abriss der Geschichte inkl. der Literaturgeschichte zu schreiben.

Wahrscheinlich ist Eratosthenes der Urheber der Einführung des

Schalttages bei den Ägyptern durch das Edikt von Kanopus, das bei

Ägypten erwähnt ist.

Er beschränkte sich nicht auf die politische Geschichte, er bevorzugte

die Kulturgeschichte, Philosophen, Dichter etc. und hat ein eigenes

Werk: »Ολυμπιονικαι« geschrieben. In der Schrift περι της αρχαίας

κωμωδιας. zeigte er sich als feinster Kritiker und wissenschaftlich

recht bedeutender Philologe und als Kenner alles dessen, was zur

Bühnentechnik gehört, auch gibt er eine Menge geschichtlicher

Notizen z. B. über Einrichtung bei den Olympischen und anderen

Spielen. Übrigens war er auch selbst kein unbedeutender Dichter, vide

¨E. Hiller¨, Er. carminum reliquiae Leipzig 1872.

[Sidenote: Würfelverdopplung.]

Von seinen mathematischen Werken ist nur wenig erhalten, das

meiste in dem schon erwähnten Brief an den Ptolemaios III über die

Würfelverdoppelung im Kommentar des Eutokios zu περι σφαιρας etc.

¨Heiberg¨, Arch. p. III S. 102-114.

Nach dem historischen Bericht gibt Eratosthenes seine eigene Lösung

mittelst eines Instruments das nach Pappos und Vitruv »Mesolabos« (von

den mittleren Proportionalen) hiess. Es bestand aus drei massiven

kongruenten Rechtecken, welche zwischen zwei mit je drei Nuten

versehenen Linealen übereinander geschoben werden konnten.

[Illustration]

Die Anfangslage ist bei Eutokios die der Figur. War nun ΑΕ die grössere

ΔΘ die kleinere Strecke, so musste man die Rechtecke so verschieben,

dass das erste einen Teil des zweiten, dieses einen Teil des dritten

verbarg, und zwar so, dass die Linie ΑΔ durch die Punkte Β und Γ ging,

an denen die Diagonalen sichtbar wurden; siehe Figur. ΒΖ und ΓΗ sind

dann die mittleren Proportionalen, da ΑΖ, ΒΗ, ΓΘ einander parallel sind.

[Illustration]

Der Brief ist von ¨E. Hiller¨ angezweifelt, insbesondere erklärt er

das Epigramm am Schluss für zweifelsohne unecht. Aber Proklos hat

p. 111 Z. 23 den Vers von den Menächmischen Triaden zitiert und das

Missverständnis des »ολιγου« im ersten Vers wirft auf den Scharfsinn

des Herausgebers kein günstiges Licht. Die von ¨Ambros Sturm¨ l. c.

angeführte Begründung Hillers ist sehr schwach, noch dazu gegenüber

Eutokios und Proklos und ¨Heiberg¨ fertigt sie mit den Worten »nulla

idonea causa adlata« ab.

Auf diesem allerdings mechanischen Wege »¨organica¨ mesolabi ratione«

(Vitruv) konnte man wie Eratosthenes selbst angab, beliebig viele

Mittlere erhalten, d. h. durch n + 1 Täfelchen die n-Wurzel ziehen.

Verloren ist eine Schrift »über Mittelgrössen« περι μεσοτητων auch

»Orte in bezug auf Mittelgrössen, τόποι προς μεσοτητας« genannt,

von der wir durch Pappos Kunde haben. ¨Zeuthen¨ vermutet in seinem

ausgezeichneten Werke: ¨die Lehre¨ von den Kegelschnitten im Altertum,

deutsche Ausgabe 1886, dass es sich, in Ergänzung der harmonischen

Polare eines Punktes als Pol für einen gegebenen Kegelschnitt, um die

Orte des arithmetischen und geometrischen Mittels der Sehnenschaar des

Pols gehandelt habe. Es ist leicht zu zeigen, dass die beiden Orte

Kegelschnitte sind, welche dem gegebenen ähnlich sind.

Vielleicht aus einer verlorenen grösseren arithmetischen Schrift

ist uns in der Arithmetik des Nikomachos (s. u.) die noch heute

gebräuchliche Methode erhalten die Primzahlen unter p »herauszusieben«,

die noch heute Sieb (κοσκινον, cribrum) des Eratosthenes heisst. Völlig

verloren sind die rein philosophischen Schriften, deren bedeutendste

die von ¨Strabon¨ genannte über Gutes und Böses, περι αγαθων και

κακων gewesen sein soll, darunter bedauerlicherweise auch die Schrift

Πλατωνικός, ein Kommentar zu der Pythagoräischen Kosmologie in

¨Platons¨ Timaeos.

[Sidenote: Apollonios von Pergae (vita).]

[Sidenote: Konika (Kegelschnitte).]

Der eigentliche »Aemulus«, der Nebenbuhler des Archimedes im Ruhme der

Alten, ¨Apollonios von Pergae¨ in Pamphylien war erheblich jünger als

jener, er ist frühestens um 265 unter Ptolemaios Euergetes geboren

und hatte seine Blütezeit unter Ptolemaios Philopator. Gestorben ist

er gegen 190. Er studierte in Alexandria bei den Schülern des Euklid

Mathematik, Hultsch P. III S. 678 oder nach Hultsch ein Scholiar des

Pappos sagt: συσχολασας τοις ὑπο Ευκλειδου μαθηταις εν Αλεξανδρεια

πλειστον χρονον ὁθεν εσχε και την τοιαυτην ἑξιν ουκ αμαθη. Die ganze

nicht gerade geschmackvolle Stelle lautet eigentlich wörtlich: Da er

die Schule teilte mit den Schülern des Euklid in Alexandrien sehr

lange Zeit, woher er auch ein solches nicht unmathematisches Verhalten

hatte. (!) Demnach würde Apollonios ein direkter Schüler des Euklid

gewesen sein von mässiger mathematischer Begabung! Aber im eigentlichen

Hauptkodex steht nur σχολασας und das heisst mit dem Dativ bei jemanden

in die Schule ging, und so ist die lateinische Übersetzung von Hultsch

zutreffend, die Konjektur dagegen scheint mir nicht glücklich. Dann

lebte er in Pergamon und in Ephesos befreundet mit einem Eudemos, dem

er sein grosses Werk über die Kegelschnitte, die »κωνικα« widmete.

Eudemos starb aber vor der Vollendung des Werkes und daher gab

Apollonios dem vierten Buch einen Widmungsbrief an den König Attalos

I. von Pergamon mit, in welchem er den Tod des Eudemos beklagte. Dem

Attalos sind dann auch die folgenden Bücher gewidmet. Von dem Werke,

das dem Verfasser nach dem Zeugnis des Geminos (¨Eutokios¨, Heiberg

S. 170) den Beinamen des grossen Mathematikers μεγας γεωμετρης eintrug,

sind nur die vier ersten Bücher mit dem Kommentar des ¨Eutokios¨

erhalten, die drei folgenden in arabischer Übersetzung. Das letzte

Buch ist verloren, doch haben wir eine Inhaltsangabe bei Pappos, auf

Grund derer der durch seinen Komet noch heute viel genannte ¨Halley¨

1710 eine Rekonstruktion versuchte. Die vier ersten Bücher wurden

zuerst von Joh. Baptist Memus schlecht ins ¨Lateinische¨ übersetzt

und von seinem Sohn 1537 ediert. Weit besser ist die Übersetzung von

¨Federico Commandino¨, dessen wir schon bei Euklid und Archimed rühmend

gedenken mussten, sie enthielt auch den Kommentar des Eutokios und

die Lemmata des Pappos. Ins ¨Arabische¨ wurden die 7 ersten Bücher

schon unter Al Mamun, 830 übertragen, aber diese Übersetzung ist

bisher nicht aufgefunden. Dagegen kam eine zweite von ¨Abulphat¨ von

¨Ispahan¨ 994 verfasste, im 17. Jh. durch den Leydener Orientalisten

und Mathematiker Golius nach Europa, der das Exemplar dem Grossherzog

von Toskana verkaufte. Es wurde von dem Orientalisten Abraham v.

Echelles in Gemeinschaft mit dem bedeutenden Mathematiker ¨Borelli¨

(s. Euklid) 1671 Lateinisch ediert, und bestätigte glänzend die kurz

vorher von ¨Viviani¨ (einer der bedeutendsten Schüler Galileis, der

Urheber des »Florentiner« Problems der Quadrierung einer durchbrochenen

Kugelkappe) versuchte Restitution des 5. Buches. Der Anfang des 5.

Buches, wohl das bedeutendste, ist nach dem Arabischen des mehrfach

genannten ¨Thabit ibn Qurrah¨ 1899 von Nix in Leipzig herausgegeben.

Die einzigen Griechischen Ausgaben sind die von ¨Halley¨, Oxford

1710 Folio mit Eutokios und der Divinatio libri octavi und die von

¨Heiberg¨ mit Eutokios Kommentar und Fragmentensammlung Teubner

1890-93. Von besonderer Bedeutung für Apollonios Wertung ist das oben

genannte Werk von ¨Zeuthen¨. Eine freie Bearbeitung der Konika gab

¨H. Balsam¨, Berlin 1861. Die Kegelschnitte des Apollonios haben die

Eigenschaften der Kurven in solcher Vollständigkeit aufgedeckt, dass

eigentlich nichts Neues im Laufe der Jahrtausende gefunden ist. Selbst

der Satz von ¨Desargues¨ und seine selbstverständliche Anwendung, der

Satz von ¨Pascal¨, sind eigentlich schon bei Apollonios. Involution,

Brennpunktseigenschaften, Erzeugung durch projektive Punktreihen,

Asymptoten, konjugierte Hyperbel etc., alles findet sich bei ihm.

Dass er nun seine Vorgänger, insbesondere Archimedes und Euklid und

Aristaios benutzt hat, das ist selbstverständlich, aber es bleibt doch

ein gewaltiges Quantum selbständiger Arbeit, und Pappos selbst sagt,

dass er die 4 Bücher κωνικα des Euklid stark vermehrt habe (αναπληρωσας

και προσθεις) und dann noch die 4 weitem Bücher hinzugefügt habe. Vor

allem hat Apollonios zuerst bewiesen, dass die Triaden des Menaichmos

aus jedem beliebigen Kegel 2. Grades herausgeschnitten werden können.

Er hat die vollständige Hyperbel d. h. beide Äste in welche sie

zerfällt betrachtet, er hat die Kurven aus den Bestimmungsstücken

konstruiert, nachdem schon Euklid die ebene Konstruktion aus Leitlinien

und Brennpunkten gekannt hatte. Für Genaueres, insbesondere auch die

Werke des Aristaios, verweise ich auf ¨Zeuthens¨ mehrfach zitiertes

Werk über die Kegelschnitte im Altertum; nur die Vorrede mochte ich

Ihnen nicht vorenthalten.

Apollonios sendet dem Eudemos Grüsse. Es wäre schön wenn es dir

körperlich gut ginge und alles übrige nach Wunsch stände. Mir selbst

geht es ja auch ziemlich. Als wir seinerzeit in Pergamos beisammen

waren, bemerkte ich, dass du dich lebhaft für meine Arbeiten über die

Kegelschnitte interessiertest. Ich schicke dir nun das völlig richtig

gestellte erste Buch; das übrige werde ich senden, sobald es mich

befriedigt haben wird. Ich glaube aber du erinnerst dich noch wohl von

mir gehört zu haben, weshalb ich diese Arbeit unternahm. Naukrates

der Geometer hatte mich dazu aufgefordert, als er bei mir während

seines Aufenthalts in Alexandria weilte und deswegen gab ich sie ihm,

in 8 Büchern behandelt, von dort aus mit, und weil er im Einschiffen

begriffen war, konnte ich sie nicht sorgfältig bereinigen, sondern

schrieb alles gerade so hin wie es mir unterlief, indem ich mir eine

letzte Durcharbeitung vorbehielt. Und da ich jetzt dazu Zeit gefunden,

so gebe ich was eben ganz richtig gestellt ist, heraus. Da es sich

aber traf, dass auch einige andere meiner Genossen vom ersten und

zweiten Buch vor der Verbesserung Kenntnis gewonnen haben, so wundere

dich, bitte, nicht, wenn dir abweichende Fassungen begegnen.

Von den 8 Büchern fiel den vier ersten die Einführung in die

Elemente zu. Es enthält aber das erste Buch die Erzeugung der 3

Schnitte und der gegenüberliegenden sowie deren Grundeigenschaften

vollständiger und umfassender ausgearbeitet im Vergleich mit den

früheren Bearbeitungen. Und das zweite enthält die Eigenschaften der

Durchmesser, Axen, Asymptoten und anderes, was zum Gebrauch für die

Konstruktionsbedingungen nötig und hinreichend ist. Was ich unter

Durchmesser und Axe verstehe, wirst du aus diesem Buche ersehen.

Das dritte Buch enthält viele und auffallende Sätze, welche brauchbar

sind für die Konstruktionen der körperlichen Orte und für die

Existenzbedingungen, von denen die meisten und schönsten neu sind.

Und nachdem ich sie ersonnen hatte, sah ich ein, dass von Euklid der

Ort zu drei und vier geraden Linien nicht aufgestellt sei, sondern

nur ein zufälliger Teil desselben und auch dieser nicht gerade gut

getroffen. Es ist auch gar nicht möglich ohne die von mir gefundenen

Sätze die Synthesis durchzuführen. Das 4. Buch gibt an, auf wie

vielerlei Art die Kegelschnitte mit einander und der Peripherie des

Kreises zusammentreffen, und anderes darüber hinaus, worüber von meinen

Vorgängern nichts geschrieben worden ist, z. B. in wieviel Punkten ein

Kegelschnitt und eine Kreislinie zusammentreffen. Der Rest geht noch

weit darüber hinaus. Da handelt ein Buch ausführlich über Minima und

Maxima, ein anderes über gleiche und ähnliche Kegelschnitte, noch ein

anderes über Satze, welche Existenzbedingungen angeben, und das letzte

bringt Probleme über Bestimmungen von Kegelschnitten. Und fürwahr, dann

erst wenn alles herausgegeben ist, ist es denen die darauf stossen

erlaubt es zu beurteilen wie es wohl jeder von ihnen für richtig hält.

Gehab dich wohl.

Was zunächst des Aristaios τοποι στερεοι betrifft, so ist nach

Zeuthen diese Schrift noch vor des Euklids 4 Bücher κωνικα erschienen,

sie behandelte zweifelsohne Aufgaben über geometrische Orte, welche

sich als Kegelschnitte herausstellten. Die Alten unterschieden die

körperlichen Orte, das sind die Kegelschnitte, von den ebenen Orten,

das sind Gerade und Kreis, und später noch die linearen Orte, zu denen

alle andern und auch die Raumkurven gehörten. Hiervon verschieden sind

die 2 verlorenen Bücher des Euklid die τοποι προς επιφανειαν, das sind

Flächen als geometrische Orte.

[Sidenote: Apollonios, Ort zu 3 und 4 Geraden.]

Sodann der Ort zu 3 und 4 Geraden. Man nennt ihn gewöhnlich nach Pappos

die Pappos'sche Aufgabe. Es handelt sich im allgemeinen Falle um den

Ort der Punkte, deren Abstände in gegebener Richtung gemessen von vier

gegebenen Geraden der Gleichung genügen xy/zu = c. Dabei werden die

Linien x = 0, z = 0, und y = 0, u = 0 als gegenüberliegend bezeichnet.

Apollonios hat die Aufgabe vollständig gelöst und den Nachweis, dass

der Ort ein Kegelschnitt ist, direkt geführt. Für das Nähere, den

Zusammenhang mit der projektiven Geometrie, Newtons Wiederherstellung

der Apollonischen Lösung etc. verweise ich auf Zeuthen bezw. auf meine

analytische Geometrie in der Sammlung Schubert. Soviel steht fest, so

unberechtigt es ist, von einer Erfindung der Differentialrechnung durch

einen der Neueren, es sei nun Galilei, Fermat, Leibniz oder Newton

zu sprechen, angesichts der Werke des Archimedes, so unberechtigt

ist es auch, den Alten angesichts der Werke des ¨Archimedes¨ und des

¨Apollonios¨ die analytische Geometrie abzusprechen. Apollonios hat

nicht nur Koordinaten, sondern auch Koordinatentransformation und

Archimedes analytische Geometrie dreier Dimensionen.

[Sidenote: Apollonios, Verhältnisschnitt.]

Auch die andern geometrischen Schriften des Apollonios hängen eng

mit der Theorie der Kegelschnitte zusammen. Da kommen zunächst die

beiden Schriften: De sectione rationis, die αποτομη του λογου, der

Verhältnisschnitt, und De sectione spatii die αποτομη του χωριου,

der Flächenschnitt. Die 2 Bücher der ersten Schrift sind nach einer

arabischen Handschrift, welche der Prof. ¨Bernard¨ in Oxford gefunden,

1706 von ¨E. Halley¨ herausgegeben. Die Aufgabe besteht darin, durch

einen Punkt P (s. Fig.) eine Linie so zu ziehen, dass sie auf zwei

gegebenen Linien ¯L¯ und ¯L¯_{1} von zwei gegebenen Punkten ¯A¯ und

¯A¯_{1} aus Strecken ¯AM¯ und ¯A¯_{1}¯M¯_{1} abschneidet, welche in

einem gegebenen Verhältnis stehen. Die Aufgabe wird im zweiten Buch auf

den im ersten behandelten speziellen Fall zurückgeführt, wo ¯A¯_{1}

mit dem Schnittpunkt ¯A¯_{1}^1 der beiden Geraden zusammenfällt. Diese

Aufgabe wird gelöst durch Ziehen der Parallelen ¯PB¯ zu ¯A¯_{1}¯M¯_{1}

und desgleichen durch den Schnittpunkt ¯A¯_{1}^1 von ¯L¯ und ¯PA¯_{1},

welche ¯PMM¯_{1} in ¯M¯_{1}^1 schneidet und Annahme eines Hilfspunktes

¯C¯ auf ¯L¯, der so gelegen, dass ¯BP¯/¯AC¯ = ¯A¯_{1}^1¯M¯_{1}^1/¯AM¯

= λ, dann folgt durch Umstellung ¯AM¯/¯AC¯ = ¯A¯_{1}^1¯M¯_{1}^1/¯BP¯

= ¯A¯_{1}^1¯M¯/¯BM¯ -- und durch Subtraktion: ¯BM¯ · ¯MC¯ =

¯BA¯_{1}^1 · ¯AC¯ = gegebener Fläche.

[Illustration]

[Sidenote: Sectio spatii und determinata (Involution).]

Die Aufgabe ist, wie man leicht sieht, identisch mit der Aufgabe:

von einem gegebenen Punkt aus an eine durch zwei Tangenten und deren

Berührungspunkte gegebene Parabel die Tangenten zu ziehen (Simon,

Parabel 1878). Das 3. Buch Satz 41 handelt von der Parabeltangente,

Satz 42 und 43 von den entsprechenden Aufgaben: Von einem gegebenen

Punkte aus an eine durch konjugierte Durchmesser gegebene Ellipse oder

Hyperbel die Tangenten zu ziehen und zeigt, dass dies spezielle Fälle

der Aufgabe sind von einem gegebenen Punkt P eine Gerade zu ziehen,

welche auf 2 gegebenen Geraden von gegebenen Punkten aus Strecken

abschneidet, deren Rechteck gegeben ist. Diese Aufgabe hat Apollonios

in den beiden Büchern der Schrift de sectione spatii behandelt, welche

¨Halley¨ nach der Inhaltsangabe bei Pappos und der Angabe ihrer

Übereinstimmung mit der ersten Schrift in der Form gleichzeitig

rekonstruiert hat. Zu diesen beiden Schriften gesellt sich als dritte

die von ¨Rob. Simson¨ nach Pappos wiederhergestellte de sectione

determinata, της διωρισμενης τομης βιβλια β, über den involutorischen

Schnitt. Wenn ¯ABCD¯ gegebene Punkte einer Geraden ¯l¯ sind, soll ein

Punkt ¯P¯ auf ¯l¯ so bestimmt werden, dass ¯AP¯ . ¯CP¯/(¯BP¯ . ¯DP¯) =

λ ist d. h. also die Theorie der Involution, welche er wie wir mittelst

der Theorie des Kreisbüschels und der Zentrale des Büschels gelöst

hat; und er hat sie benutzt um den Schnitt einer Geraden mit einem

durch 5 Punkte gegebenen Kegelschnitt zu bestimmen. Die Halley'schen

und die Simson'sche Bearbeitungen sind frei wiedergegeben von ¨Ad.

Diesterweg¨, ganz besonders lesenswert ist das Programm des um die

Elementarmathematik hochverdienten ¨v. Lühmann¨, weiland Subrektor zu

Königsberg in der Neumark, von 1882: die Sectio rationis, sectio spatii

und sectio determinata des Apollonios.

[Sidenote: Taktionsproblem.]

Es geht aus diesen Schriften hervor, dass Apollonios die Erzeugung der

Kegelschnitte als Enveloppe der Verbindungsgeraden zweier projektiven

Punktreihen kannte, die sich erst wieder findet in ¨Newtons¨ principien

lib. I L. 25. Die Brennpunktseigenschaften und die Konstruktionen bei

gegebenem Brennpunkt haben dann, wie Zeuthen hervorhebt, Apollonios auf

die Beschäftigung mit dem nach ihm genannten Taktionsproblem geführt.

Ist doch schon die Aufgabe, den Schnitt einer Geraden mit einer durch

Leitlinie und Brennpunkt gegebenen Parabel zu bestimmen identisch mit

der Aufgabe, einen Kreis zu konstruieren, der durch zwei gegebene

Punkte geht und eine gegebene Gerade berührt, also zwei 0-Kreise und

einen unendlich grossen. Nach ¨Pappos¨, Hultsch S. 848 hat Apollonios

die Lösung auf den Spezialfall des ¨Castillon'schen¨ Problemes

zurückgeführt, in dem alle 3 gegebenen Punkte auf derselben Graden

liegen. Die Geschichte des Taktionsproblems siehe ¨Simon¨, Entwicklung

der Elem. Geom. Das Problem selbst gehört heute zur eisernen Ration

der Gymnasiasten, mit den Lösungen aus ¨Fr. Vietas¨ Apollonius Gallus,

und zugleich hat Apollonios sich in der Schrift περι πυριου über

Brennspiegel, der Brennpunktseigenschaften der Umdrehungsflächen 2.

Grades bedient. Zeuthen vermutet, und ich glaube mit Recht, dass der

Parabolische Spiegel, der praktisch wichtigste, schon von ¨Archimedes¨

erfunden sei und dass die Sage, er habe mit Brennspiegeln die Römische

Flotte verbrannt, hier ihren Ursprung habe.

Ausserdem hat Apollonios auch eine Schrift geschrieben περι νευσεων.

»Über Einschiebungen auf mechanischem Wege«, dadurch dass ein Lineal

oder ein Streifen meist von gegebener Strecke so bewegt wird -- häufig

durch Drehung der zu ihr gehörigen Geraden um einen festen Punkt --

dass sie zwischen zwei gegebene Linien fällt. Die Neusis galt sowohl

den ältern Mathematikern als auch dem Archimedes, der sich ihrer

bei der Arbeit über die Spirale wie überhaupt zur Winkeldrittelung

bedient hat, als auch dem Apollonios und überhaupt den angewandten

Mathematikern für ein durchaus erlaubtes Hilfsmittel, wie sie ja auch

¨Newton¨ gebilligt hat, erst die Neuplatoniker strikter Observanz

wie Pappos missbilligten sie und ersetzten sie durch Kegelschnitte,

was stets möglich, sobald die gegebenen Linien den zweiten Grad

nicht übersteigen. Die Schrift des Apollonios ist nach Pappos

wiederhergestellt von dem Ragusischen Patrizier Marino Ghetaldi 1607.

[Sidenote: Würfelverdoppelung.]

Sie enthielt vielleicht die von ¨Eutokios¨ l. c. mitgeteilte

Würfelverdoppelung auf welche Pappus I p. 56 hingewiesen hat

(Heiberg 3, p. 78.) Es sei aus den beiden gegebenen Strecken ΑΒ und

ΑΓ das Rechteck ΑΒΘΓ konstruiert, dann ist die Gleichung des ihm

umgeschriebenen Kreises wenn ΑΓ = a und ΑΒ = b gesetzt wird x^2 -

ax + y^2 - by = 0, oder (x - a) : (b - y) = y : x. Die Gleichung

einer Hyperbel, welche durch Θ geht und ΑΒ und ΑΓ zu Asymptoten

hat, ist aber xy = ab also haben wir für den zweiten Schnittpunkt M

nach leichter Rechnung a : x = x : y = y : b. Zur Konstruktion des

Schnittpunkts M benutzt Apollonios den Umstand, dass die Abschnitte

einer Hyperbelsehne zwischen Asymptote und Kurve gleich sind, und dass

die Kreissehne vom Mittelpunktslote halbiert wird. Es braucht also nur

ein Lineal so um Θ gedreht werden, dass die Punkte Δ und Ε in denen es

die Axen schneidet vom Zentrum des Rechtecks gleich weit entfernt sind.

S. Fig. unten.

In einer verlorenen Schrift περι κοχλιου hat Apollonios sich mit der

Schraubenlinie auf dem Cylinder beschäftigt.

Der »grosse Geometer« hat sich aber auch mit den einfachsten Elementen

der Geometrie beschäftigt, wie wir schon bei Euklid erwähnt haben,

u. a. danken wir ihm die Halbierung der Strecke mit den beiden gleichen

Kreisen um die Endpunkte, Proklos Friedl. S. 276: »Απολλωνιος δε ὁ

Περγαιος τεμνει την δοθεισαν ευθειαν πεπερασμενην διχα τουτον τον

τροπον.«

[Illustration]

[Sidenote: Apollonios, Arithmetische Schriften.]

Auch auf arithmetischem Gebiete hat der Pergaier Grosses geleistet.

Eutokios erzählt Heib. 3 S. 300: Man soll auch wissen, dass Apollonios

der Pergaier in seinem Okytokion (Schnellgeburt, Schnellrechner)

dasselbe durch andere Zahlen gezeigt hat, die einander noch näher

kommen, d. h. er hat die Zahl π in noch engere Grenzen als Archimedes

eingeschlossen. Ob der Okytokion dieselbe Schrift war, von der Pappos

im 2. Buch grosse Stücke uns aufbewahrt hat, wird von den besten

Kennern, von Nesselmann und Hultsch stark bezweifelt, doch spricht der

Titel eigentlich dafür. Auch jene zweite Schrift hat im wesentlichen

die Abkürzung des Algorithmus insbesondere der Multiplikation zum

Gegenstande. Die Schrift schloss an den Sandzähler des Archimedes an,

nur dass Apollonios statt der Oktaden die den Griechen geläufigen

Tetraden, die Myriaden, setzte, die er als erste, zweite, dritte

u. s. w. bezeichnete, die er durch Μβ, Μγ etc. bezeichnet und deren

Ordnungsziffer er durch Division mit 4 bestimmte. So ist z. B,

4444444444444 = 4 . 10^{12} + 4 . 10^{11} + .. = Μγ υμδ και Μβδ_{1}

υμδ και Μαδ_{1} υμδ. Auf Grund seiner Ordnungszahlen lieferte er dann

ein Verfahren zur Multiplikation, das im Grunde das unsrige ist;

die Ordnungszahlen werden addiert und die Πυθμενες, d. h. unsere

Einerziffer, die aber hier aus dem Tableau von α bis ϡ genommen werden

konnten, multipliziert. Auch Apollonios, und er fast noch mehr als

Archimedes, hat die Grundgedanken des Positionssystemes, und wie

¨R. Baltzer¨ in seinem Brief an ¨Hultsch¨ auf den ich noch zurückkommen

werde, sehr richtig bemerkt, sind beide an Buchstabenrechnung und

Dezimalrechnung nur dadurch gehindert worden, dass die Hellenen von

den Kanaanäern die Buchstaben als Zahlzeichen übernommen hatten. Die

aller Wahrscheinlichkeit nach bedeutendste Leistung des Apollonios auf

arithmetischem Gebiete ist leider bis dato nur ganz fragmentarisch

erhalten, sie war vermutlich Pappos entweder selbst zu schwierig oder

schien ihm auf einen zu geringen Interessenkreis rechnen zu können. Die

Schrift war eine Weiterführung der Theorie der Irrationalzahlen, wie

sie für quadratische und biquadratische durch das X. Buch des Euklid

gegeben war. Aus einem Kommentar zum X. Buch, von dem ¨F. Woepcke¨

eine Arabische Übersetzung durch Abu Ottmân den Damascener aufgefunden

hat und von dem er die auf Apollonios bezüglichen Stellen Arabisch und

Französisch herausgegeben hat, geht hervor, dass dieser in die Theorie

der algebraischen Zahlen, soweit sie durch Radicale darstellbar sind,

sehr tief eingedrungen war. Den Kommentar selbst vindiziert Woepcke dem

Griechisch schreibenden Römer ¨Vettius Valens¨ (5. Jh. n. Chr.) und die

Übersetzung würde etwa ins 9. Jh. fallen.

[Sidenote: Apollonios als Astronom.]

Ob Apollonius mit dem unter dem Namen Epsilon berühmten

zeitgenössischen Astronomen, der sich besonders mit der Mondtheorie

beschäftigt hat, identisch ist, ist nicht unwahrscheinlich, aber steht

nicht fest. Dass der grosse Geometer ein hervorragender Astronom war,

wissen wir aus Ptolemaios megale syntaxis XII, 1, wo er den Stillstand

und die Rückläufigkeit der Planeten mit der Theorie der Epizyklen

mathematisch ableitet und dabei eine Maximumsaufgabe löst, welche den

grossen Leistungen des 5. Buches der Konika nicht nachsteht.

[Sidenote: Elementarmathematik.]

Noch ist für seine Leistungen auf dem Gebiete der Elementarmathematik

nachzuholen, dass der Satz X des sogen. 14. Buches der Elemente des

Euklid: »Die Volumina des derselben Kugel eingeschriebenen regulären

Ikosaëders und Dodekaëders verhalten sich wie die Oberflächen,« von

ihm herrührt, laut der Vorrede des Verfassers des 14. Buches, des

¨Hypsikles¨. Hypsikles knüpfte daran die Folgerung, dass die Umkreise

der Seitenflächen beider Körper gleich sind.

Mit Eudoxos, Archimedes und Apollonios hat die reine Mathematik der

Griechen ihren Höhepunkt erreicht, die Theorie des Irrationalen und des

Kontinuums, die Prinzipien der Infinitesimalrechnung, die analytische

Geometrie, die rechnende und projektive Geometrie, sind geschaffen

und neue Methoden, die auf allgemeine Problemklassen anwendbar sind,

treten nicht mehr auf. Der eben erwähnte ¨Hypsikles¨ schliesst sich

wohl unmittelbar an Apollonios an, M. Cantor setzt das 14. Buch um 180

an, er war ein tüchtiger Mathematiker, der auch noch eine uns erhaltene

Schrift über die Aufgänge der Gestirne, im Anschluss an ¨Autolykos¨

und ¨Euklid¨ geschrieben hat. Sie ist vergl. ¨M. Cantor¨ I p. 344

dadurch merkwürdig, dass sich in ihr zum ¨ersten¨ Male auf Hellenischem

Boden die ¨babylonische Teilung des Kreises in dreihundertsechzig

Grade¨ findet. Auch auf arithmetischem Gebiete haben wir Hypsikles als

Vorgänger des ¨Nikomachos¨ (s. u.) für die Theorie der figurierten

Zahlen zu erwähnen.

Die theoretische Mathematik sinkt nun im 2. Jahrh. langsam von ihrer

Höhe oder richtiger das Interesse der bedeutenden Geister wendet sich

den angewandten Disziplinen zu; Astronomie und in ihrem Gefolge die

Trigonometrie, Mechanik, Medizin etc. nehmen ihre Stelle ein. Dazu kam

für Hellas das Anwachsen der bildungsfeindlichen römischen Macht und

für Alexandrien das mörderische Regiment des Ptolemaios VII. Physcōn

(Schmerbauch, auch Euergetes II.) 141-116, der nach Ermordung seines

Neffen Eupator sich des Thrones bemächtigt hatte und die bedeutendsten

Gelehrten und Künstler von Alexandria vertrieb. Da nun der Unterricht

im wesentlichen auf dem Vortrag im Kolleg beruhte -- Archimedes und

Apollonios hatten gewissermassen nur zufällig an ihre auswärtigen

Freunde Schriftstücke gerichtet -- so machte sich jetzt der Mangel

an Büchern und damit an einer festen Formelsprache geltend und man

kann annehmen, dass schon im Laufe des Jahrhunderts manches von den

Leistungen der Heroen verloren ging. Das Entscheidende sind wohl die

Brände der Alexandrinischen Bibliothek unter Cäsar und vor allem in

den wüsten Emeuten des fanatischen Mönchpöbels und seiner würdigen

Patriarchen. Die Sage von der Vernichtung der grossen Bibliothek durch

¨Omar¨ gehört zu den böswilligsten Fälschungen der Weltgeschichte. Auch

die grosse Bibliothek von ¨Pergamon¨, das sich zur Konkurrenzstadt

Alexandriens unter Attalos und Eumenes entwickelt hatte, ging verloren,

nachdem sie Antonius an Kleopatra geschenkt hatte.

[Sidenote: Nikomedes.]

[Sidenote: Die Konchoide.]

Dort in Pergamon war vermutlich wenn nicht die Wiege, so doch das

¨Domizil¨ des Nikomedes, den M. Cantor vorsichtig ins 2. Jahrh.

verweist, während P. Tannery ihn nicht ohne triftigen Grund zwischen

Eratosthenes und Apollonios einschiebt. Dass er der Erfinder der

¨Konchoide¨, der Muschellinie gewesen, unterliegt keinem Zweifel,

¨Proklos¨ sagt Friedlein S. 272 im Anschluss an die Winkelhalbierung

bei Euklid: ¨Nikomedes¨ drittelte mit der Konchoide, deren Erzeugung,

Gestalt und Eigenschaften er überlieferte, jeden geradlinigen Winkel,

und er selbst war es der ihre Eigenart gefunden hat. ¨Pappos¨ und

¨Eutokios¨ haben ihre Anwendung zur Lösung des (ersten) Delischen

Problemes durch Nikomedes ausdrücklich bezeugt, und da sie genau

übereinstimmen, so ist es sicher, dass die Lösung sowohl wie ihr Beweis

ganz auf das Konto des Nikomedes zu setzen ist. In der Stelle Hultsch

246 oben nimmt Pappos die Winkeldrittelung durch die Konchoide nicht

für sich in Anspruch, er sagt nur, dass er die Kurve dabei gebraucht

habe, dagegen sagt er 246 unten (§ 42) ganz bestimmt er habe zur

Konstruktion des Nikomedes für die Würfelverdoppelung den Beweis

geliefert, was der Angabe des Eutokios widerspricht. Dass Nikomedes

sich des Zusammenhangs beider Probleme, die er mit der einen Kurve

löste, klar bewusst war, scheint mir völlig sicher, es entspricht das

dem ganzen historischen Gange der Griechischen Mathematik. Nikomedes

kannte die Winkeldrittelung des Archimedes durch die Neusis, die

Einschiebung, und wie dem Archimedes der Zusammenhang zwischen der

Kugeldrittelung und der Winkeldrittelung nicht hat entgehen können, so

hat auch Nikomedes gesehen, dass es sich bei Würfelverdoppelung und

Trisektion um Probleme 3. Grades handelte.

[Illustration]

[Sidenote: Trisektion.]

Die Kurve selbst ist eine ebene Kurve, sie wird erzeugt durch Drehung

einer Geraden um einen festen Punkt, so dass sie eine gegebene

Leitlinie schneidet und beschrieben durch einen Punkt Κ der sich

drehenden Geraden, der von dem Schnittpunkt Ε einen unveränderlichen

Abstand hat. Nikomedes hat das ¨abgebildete¨ einfache Instrument zur

mechanischen Erzeugung angegeben, es besteht aus einem Richtscheit, in

dessen horizontalem Lineal ein Schlitz in der Mitte ist, während das

vertikale den Pol durch einen Nagel angibt. Ein drittes Lineal ist fest

mit den beiden verbunden und hat in Ε einen Zapfen der in dem Schlitz

des zweiten Lineals gleitet, während ΕΚ der gegebene Abstand ist. Legt

man die x-Axe durch den Pol Δ nennt den Abstand b und den Abstand des

Pols vom horizontalen Lineal a so ist die Gleichung der Kurve r : b

= y : (y - a), also quadriert und multipliziert (x^2 + y^2)(y - a)^2

= b^2y^2. Die Kurve ist also vom 4. Grade, geht durch die imaginären

Kreispunkte im Unendlichen, und hat in Δ einen Doppelpunkt. Die

vollständige Kurve, welche Nikomedes auch betrachtet zu haben scheint,

da er die hier konstruierte als erste Konchoide bezeichnete, besteht

aus der oberhalb der Axe und der unterhalb der Axe beschriebenen.

Ausser den in ¨Wölffings¨ so höchst dankenswerter Bibliographie

angegebenen Monographien verweise ich auf ¨G. de Longchamps¨ cours de

Math. spec. und auf das Journal von ¨Bourget¨.

Nikomedes hat gezeigt, dass ΑΒ eine Asymptote ist, und dass jede Gerade

zwischen ΑΒ und der Kurve diese schneidet, ¨Eutokios¨, Heiberg Archim.

3 S. 118 und 120 findet sich der Beweis, während Pappos l. c. nur die

Tatsache angibt.

[Illustration]

[Sidenote: Trisektionen bei Montucla.]

Die Anwendung zur Winkeldrittelung ist uns von Pappos p. 275

überliefert, sie ist, wie ¨Montucla¨ in der noch heute lesenswerten

Histoire des recherches sur la quadrature du cercle Nouv. Edition (par

¨Lacroix¨) 1831 p. 240 sagt, fast selbstverständlich, und stimmt im

Prinzip mit der des Archimedes überein.

Ist αβγ (s. Figur) der gegebene Winkel, so ist nur nötig, von β

als Pol aus eine Strecke δε zwischen αγ und der verlängerte ζα so

einzuschieben, dass δε gleich 2αβ ist, dann ist εβγ = 1/3αβγ. Man

findet also ε durch den Schnitt von ζα mit der Konchoide, deren Pol β,

deren Axe αγ und deren Abstand 2αβ ist.

¨Montucla¨ gibt l. c. 243 an, dass auch die Konstruktion des Archimedes

mittelst der Konchoide gelöst werden kann, nur muss ihr Zweig unter

der Axe benutzt werden. Ist ¯ABC¯ der gegebene Winkel, (Figur) so

beschreibt man mit ¯C¯ als Pol, ¯BA¯ als Axe und ¯BC¯ als Abstand die 2

(untere) Konchoide, welche den Kreis um ¯B¯ mit ¯BC¯ in ¯D¯ schneidet,

so ist ¯DBE¯ = 1/3 ¯CBA¯.

[Illustration]

Montucla gibt auch den Hinweis auf den Appendix ¨Newtons¨ zur

Arithmetica universalis, der so recht deutlich zeigt, wie innig Newton

mit der hellenischen Geometrie vertraut war. Nachdem ¨Vieta¨ (Oper. ed.

van Schooten 1615) gezeigt hatte, dass die Gleichung dritten Grades

sich auf die Würfelvervielfältigung und die Trisektionsgleichung

zurückführen lasse, hat Newton l. c. für alle Arten gemischter

kubischer Gleichungen den zu trisezierenden Winkel und die Lage

des Pols und die Grösse des Abstands angegeben (berechnet). Er hat

ausgesprochen, dass zur Lösung von Gleichungen dritten Grades die

Konchoide des Nikomedes das bequemste Mittel ist; dass dieser sich des

Vorzugs seiner leicht konstruierbaren Kurve vor der Probiermethode des

Eratosthenes voll bewusst war, kann man bei Eutokios nachlesen.

[Sidenote: Würfelverdopplung nach Nikomedes.]

Schwieriger gestaltet sich die Anwendung der Kurve für die

Würfelverdoppelung, die Lösung der reinen kubischen Gleichung oder die

Auffindung der beiden Mittleren. Eutokios beginnt den Bericht also:

Nachdem dies bewiesen (nämlich dass ΑΒ Asymptote, das Wort fehlt,

was auch für höheres Alter als Apollonios spricht, etc.) seien die

gegebenen Strecken ΑΔ und ΓΛ senkrecht aufeinander, zu denen es den

beiden kontinuierlich proportionalen (δυο μεσας αναλογον κατα το

συνεχες) zu finden gilt. Mache das Rechteck ΑΒΓΔ fertig, halbiere ΑΒ

in Δ und ΒΓ in Ε. Verlängere ΛΔ und ΓΒ bis sie sich in Η schneiden,

errichte in Ε auf ΒΓ die senkrechte ΕΖ, mache ΓΖ gleich ΑΔ und verbinde

Ζ mit Η und ziehe zu ihr parallel ΓΘ. Und nun konstruiere man die

Konchoide von Ζ als Pol, ΓΘ als Leitlinie und ΔΑ = ΓΖ als Abstand,

welche ΗΓ in Κ schneidet, ziehe ΚΛ, schneidet ΒΑ in Μ so behaupte ich,

dass ΓΛ : ΚΓ = ΚΓ : ΜΑ = ΜΑ : ΑΛ ist.

[Illustration]

Die Pointe ist, dass ΘΖ gleich ΜΑ ist. Sei ΜΑ = x und ΚΓ = y, ΑΛ = a

und ΓΛ = b so ist x : a = b : y, und ΖΘ : (1/2 b) = 2a : y also ΖΘ : a

= b : y also ΖΘ = x, ferner weil ΖΕΓ und ΖΕΚ rechtwinklige Dreiecke

mit der gemeinsamen Kathete ΕΖ, so ist (x + 1/2 b)^2 - (y + 1/2 a)^2

= (b/2)^2 - (a/2)^2 oder x(x + b) = y(y + a), x/y = (y + a)/(x + b) =

ΒΚ/ΜΒ = ΓΚ/ΓΔ. Die Lösung des Nikomedes ist von Newton l. c. wesentlich

vereinfacht worden. Die Konchoide auf zirkulärer Basis ist von

¨Roberval¨ Limaçon de Pascal, Pascalsche Schnecke, genannt worden, sie

ist vielfach im Journ. élém. (v. ¨Bourget¨) behandelt worden.

[Sidenote: Diokles: Kissoide.]

[Sidenote: Würfelverdopplung mit Kissoide.]

Mit Nikomedes wird stets, infolge des Kommentars des Eutokios,

¨Diokles¨ genannt, von dessen Lebensführung uns zwar so gut wie nichts

bekannt ist, der aber nach seiner Kugelteilung welche Eutokios,

Heib. 3, S. 188 ff. mitteilt, und ebenfalls nach seiner Lösung der

Würfelverdoppelung, ib. S. 78, ein sehr achtbarer Geometer gewesen

ist. Nach dem gedanklichen Inhalt der beiden Fragmente aus seiner

Schrift περι πυρ(ε)ιων halte ich ihn für ziemlich gleichzeitig mit

Nikomedes und für nur wenig jünger als Apollonios. Das Fragment über

die Kugelteilung enthält zwar schon die Apollonischen Benennungen

Ellipse, Hyperbel, Asymptote, aber es ist sicher von ¨Eutokios¨

überarbeitet, der wie ¨Heiberg¨ S. 207 anmerkt, die Konstruktion der

Hyperbel, wenn die Asymptoten und ein Punkt gegeben worden sind »de

suo« hinzufügte. Das Problem der Würfelverdoppelung löste Diokles

mittelst der ¨Kissoide¨, die er wie folgt konstruierte. Man zeichne

einen Kreis um ¯M¯, den Leitkreis, mit Radius ¯r¯, ziehe darin den

Durchmesser ¯SS′¯ gleich ¯d¯. Ziehe ¯BC¯ und ¯B′C′¯ senkrecht zu ¯SS′¯

und symmetrisch zu ¯M¯. Ziehe ¯SB′¯ welche ¯BC¯ in ¯P¯ schneidet,

so ist die Kurve der Ort des Punktes ¯P¯ wenn ¯B′C′¯ sich von ¯S′¯

nach ¯S¯ bewegt (die allgemeine Kurve entsteht: wenn man ¯A′B′¯ sich

unbegrenzt in der Richtung ¯S′S¯ und daher ¯AB¯ von ¯S¯ nach ¯S′¯

zu bewegen lässt). Nimmt man als 0-Punkt ¯S¯ und als + x-Axe den

Strahl [**vector](¯SS′¯), zieht ¯AC¯ und nennt es z, so ergeben die

elementarsten Sätze die Proportion (d - x) : z = z : x = x : y d. h. x

und z sind zwischen d - x und y die Mesoteten. Will man nun zwischen

a und b die mittleren einschalten, so braucht man der Symmetrie wegen

nur auf dem zu ¯SS′¯ senkrechten Durchmesser einen Punkt ¯K¯ so zu

bestimmen, dass ¯S′M¯ : ¯MK¯ = a : b ist und ¯S′K¯ auszuziehen, bis es

die Kissoide in ¯P¯ schneidet, so ist nur noch d - x und y proportional

in a und b zu verwandeln.

[Illustration]

Da aus dem grundlegenden Streifensatz folgt, dass ¯SP¯ = ¯B′D′¯ ist

(entsprechende Querstrecken), so lässt sich die Kurve auch bequemer so

erzeugen, dass man von ¯S¯ aus nach allen Punkten des Leitkreises die

Strahlen zieht und das Stück zwischen der festen Tangente in ¯S′¯ und

dem Kreise von ¯S¯ aus auf den Leitstrahlen bis ¯P¯ abträgt.

[Illustration]

[Sidenote: Newton'sche Erzeugung.]

Aus der ersten Erzeugung durch Diokles lässt sich ebenso elementar

(vgl. a. Samml. Göschen 65 p. 148) die mechanische Herstellung der

Kurve von Newton (l. c.) ableiten, welche Montucla l. c. S. 139

beschreibt. Er bedarf dazu nur noch eines Richtscheites, dessen einer

Schenkel d ist, Endpunkt ¯B″¯, und der in der Mitte einen Stift ¯P¯

hat. Dreht man das Richtscheit um den Pol ¯M′¯, so auf ¯SS′¯ gewählt,

dass ¯M′S¯ = r ist, so dass ¯B″¯ auf dem konjugierten Durchmesser zu

¯SS′¯ gleitet, so beschreibt ¯P¯ die Kissoide.

[Sidenote: Diokles.]

[Sidenote: Zenodoros.]

[Sidenote: Isoperimetrie.]

Die Kurve hat die Gleichung (x^2 + y^2)x = dy^2, ist also eine Kurve

3. Grades, geht auch durch die beiden unendlich fernen imaginären

Kreispunkte, hat die Kreistangenten ¯S′¯ zur Asymptote, ist

Fusspunktenkurve, Rollkurve, durch reciproke Radien transformierte

der Parabel. Sie ist elementar behandelt l. c., auch vielfach im

Journal de Math. spec. Dass die Kurve in ¯S¯ eine Spitze hat wusste

schon Proklos, der die Kurve viel erwähnt, Friedl. S. 126 sagt: »ὁταν

δε αι κισσοειδεις γραμμαι συννευουσαι προς ἑν σημειον, ὡσπερ τα

του κισσου φυλλα -- και γαρ την επωνυμιαν εκειθεν εσχον -- ποιωσιν

γωνιαν«. Wenn die Kissoidenlinien sich nach einem Punkt zu neigen,

wie die Blätter des ¨Efeu¨ -- und sie hat ja davon ihren Namen -- so

bilden sie einen Winkel. Sehr auffallend ist, dass Proklos trotz der

häufigen Erwähnung der Kurve den ¨Diokles¨ nicht nennt, so wenig wie

Pappos, der ihrer zweimal gedenkt. Aber wenigstens bei Proklos ist im

Zusammenhang des Textes die Auslassung des Autornamens ganz sachgemäss,

S. 111, 6 z. B. wird von der Einteilung der Kurven durch Gemīnos

geredet, wobei die Kissoide (Kittoide) nur als Beispiel einer Figur

bildenden Kurve erwähnt wird, woraus übrigens hervorgeht, dass Gemīnos

schon die Asymptote der Kurve kannte. So liegt kein Grund vor, dass

zuverlässige Zeugnis des Eutokios zu bezweifeln. Und dies um so weniger

als Pappos auch den Namen des dritten hervorragenden Mathematikers

verschweigt, der um 200 anzusetzen ist, den des ¨Zēnodoros¨, von

dessen Lebensumständen nichts weiter feststeht, als dass er nach

Archimedes und vor Quintilian gelebt hat, also ein Spielraum von fast

400 Jahren. Aber ¨Hultsch¨ und ¨Cantor¨ setzen ihn auf Grund seiner

Sprache und seines engen Anschluss an den Gedankenkreis des Euklid und

Archimedes gewiss mit Recht in die Nähe des Archimedes, vergl. dazu

noch ¨W. Schmidt¨ Enestr. 1901 S. 8. Und man kann wohl hinzusetzen,

dass der Gegenstand, den er sich zum Vorwurf nahm, auch auf Vorangang

des Apollonios schliessen lässt. Mit dem Namen des ¨Zenodoros¨ sind

die Probleme, welche wir heute als pars pro toto, isoperimetrische

nennen, für immer verknüpft. Er selbst hat zwar seine Schrift, wie

¨Hultsch¨, Papp. III, 1189 hervorgehoben über Inhalte von gleichen

Massen, περι ισομετρων σχηματων genannt, aber man versteht heute

unter Isoperimetrie sowohl Untersuchungen über Konfigurationen, die

bei gleichen Massen der Begrenzung den grössten Inhalt haben, als

diejenigen, welche bei gleichem Inhalte grösste Begrenzung bieten. Es

ist jene hochwichtige Problemklasse aus der sich im 18. Jahrh. die

¨Variationsrechnung¨ entwickelte. Die Notiz des ¨Simplicius¨ welche

W. Schmidt, Eneström 1901 S. 5 anführt, bezieht sich m. E. nur auf die

Kreis- und Kugelmessung durch ¨Archimedes¨, welcher ja de facto in

sehr vielen Fällen den Beweis für die Isoperimetrie des Kreises und

der Kugel liefert. Die Schrift selbst ist uns inhaltlich auf dreierlei

Art erhalten, a) sowie es scheint, wörtlich, durch den Kommentar des

¨Theon¨ von Alexandrien zum Almagest (Pariser Ausgabe 1821 ¨Halma¨,

33 ff.), b) freier aber völlig zu a) stimmend durch Pappos, Buch V,

S. 308 ff.) c) Abhandlung eines Anonymos über die isoperimetrischen

Figuren, welche ¨Hultsch¨, Papp. III 1138-1165 herausgegeben hat,

ebenfalls vielfach wörtlich zu Theons Mitteilung stimmend.

Die Arbeit zerfällt in einen planimetrischen und einen stereometrischen

Teil, sie gipfelt in den Sätzen, dass unter allen ebenen Figuren von

gleichem Umfange der Kreis den grössten Inhalt hat und unter allen

räumlichen Gebilden von gleicher Oberfläche die Kugel das grösste

Volumen hat. Dass beide Sätze nicht streng bewiesen sind, braucht

kaum bemerkt zu werden, hat doch ¨Jacob Steiner¨ nicht vermocht,

den planimetrischen Satz streng zu beweisen, und der Satz über die

Isoperimetrie der Kugel ist erst 1884 von ¨H. A. Schwarz¨ mit den

Mitteln der höchsten Analysis bewiesen worden.

[Illustration]

Der ebene Teil des Werkes ist deutsch bearbeitet von ¨A. Nokk¨,

Programm Freiburg 1860. Nokk hat dort Zenodoros, der bis dahin als

Zeitgenosse des Oinopides also auf 500 v. Chr. geschätzt war, als

Epigonen des Archimedes erwiesen, auch auf die Bestätigung der

Authentizität von ¨Theons¨ Wiedergabe durch ¨Proklos¨ hingewiesen;

Friedlein S. 165 Z. 24: εστι γαρ τριγονα τετραπλευρα, καλουμενα

παρ' αυτοις ακιδοειδη παρα δε τω Ζηνοδωρω κοιλογωνια. »Es gibt eine

dreiwinklige (Figur) mit vier Seiten, von Jenen (Theudios und Euklid?)

[Lanzen] spitzenförmig geheissen, vom Zenodoros aber ¨hohlwinklig¨. Und

dieser Ausdruck kommt bei Theon vor. Zu bemerken ist, dass die Winkel

auf solche, welche kleiner als der gestreckte, beschränkt waren, d. h.

auf solche die im Dreiseit vorkommen konnten und dies noch bei Proklos,

der allerdings wie die Neuplatoniker überhaupt, archaistisch ist. Die

Figur galt also dem Euklid und Proklos als dreiwinklig, trotz ihrer 4

Ecken und 4 Seiten. Der Ausdruck ¨hohlwinklig¨ ist sehr auffallend, es

scheint aus ihm hervorzugehen, dass ¨Zenodoros¨ die Figur schon für

vierwinklig ansah und seine Lebenszeit würde dadurch noch herabgedrückt

werden, wenn es nicht wahrscheinlicher wäre, dass ein literarisch so

gebildeter Autor wie Proklos den Ausdruck eben aus ¨Theons¨ Kommentar

entlehnt hat; wodurch dann wieder sein Zeugnis für die Echtheit von

Theons Wiedergabe entkräftet würde.

[Sidenote: Zenodoros' Satz: Der Kreis ist grösser als das

isoperimetrische regelmässige Vieleck.]

Als Probe gebe ich Ihnen den Beweis des zweiten Satzes nach ¨Nokk¨.

Wenn ein reguläres Polygon mit einem Kreise gleichen Umfang hat, so hat

der Kreis den grösseren Flächeninhalt.

[Illustration]

Der Kreis sei ¯ABG¯, das reguläre Polygon von gleichem Umfange ¯DEZ¯.

Das Zentrum des Kreises sei ¯H¯, das des Polygons sei ¯T¯, man

beschreibe um den Kreis ¯H¯ das dem Polygon ¯DEZ¯ ähnliche, (Fig.).

Verbinde ¯H¯ mit ¯B¯, fälle von ¯T¯ auf ¯EZ¯ das Lot ¯TN¯ und ziehe

¯HL¯ und ¯TE¯. »Da nun der Umfang des Vielecks ¯KLM¯ grösser ist als

der Umfang des Kreises ¯ABG¯, ¨wie es vom Archimedes in seiner Schrift

über Kugel und Cylinder unterstellt wird¨, der Umfang des Kreises

¯ABG¯ aber, dem des Vielecks ¯DEZ¯ gleich ist, so ist auch der Umfang

des Vielecks ¯KLM¯ grösser als der von ¯DEZ¯. Allein die Vielecke

sind ähnlich, mithin ¯BL¯ grösser als ¯NE¯ und ¯HB¯ > ¯NT¯. Also

das Rechteck aus dem Umfang des Kreises und ¯HB¯ > als das Rechteck

aus dem Umfang des Vielecks und ¯NT¯. Allein das erste Rechteck ist

»¨wie Archimedes¨ gezeigt hat« das doppelte der Kreisfläche und das

zweite das doppelte der Fläche des Polygon und somit der Satz bewiesen

(allerdings mit Hilfe des Axiom: Archimedes Kugel und Cylinder Annahme

2).

[Sidenote: Hipparch von Rhodos.]

In diese Epoche der durch Archimedes, Eratosthenes und Apollonios

herbeigeführten Erweiterung des mathematisch-physikalischen

Gesichtskreises der Hellenen, fällt auch der grösste Beobachter des

Himmels unter den Hellenen, ¨Hipparch¨ von ¨Nicaea¨ oder auch von

¨Rhodos¨. Hipparch ist allerdings beim geozentrischen Weltsystem

stehen geblieben, obwohl kurz vorher ¨Seleukos¨, der Kopernikus des

Altertums wie ihn ¨Susemihl¨ nennt, das Weltsystem des ¨Aristarch¨ von

¨Samos¨, dessen wir beim Psammites gedachten, auf wirkliche Beweise

stützte. ¨Seleukos¨ hat auch als der erste auf den Einfluss des

Mondes für Ebbe und Flut hingewiesen und als Grund für die Annahme

der Rotation der Erde darauf, dass die Flut am Äquator am stärksten

ist. ¨Hipparchos¨ muss etwa um 190 geboren sein, seine Beobachtungen

von 161 bis 126 sind uns durch Ptolemaios erhalten, seine letzten

Beobachtungen, Mondbestimmungen, sind vom Juni 126 aus Rhodos.

Ptolemaios nennt ihn Almagest III, 2 p. 140, einen Mann von Arbeits-

und Wissenstrieb. Von seinen Schriften ist uns nur eine einzige

erhalten, eine Exegese zu den Phainomena des Eudoxos (und Aratos) in

3 Büchern, von ¨Vettori¨, Florenz 1567 Folio, herausgegeben, kritisch

und mit deutscher Übersetzung 1894 Leipz. von ¨Manutius¨. Es war

vermutlich eine Jugendarbeit, weil er darin noch nicht die vielen

Abweichungen der Beobachtungen des Eudoxos von den seinen auf die

Präzession zurückgeführt hat, die er später genau feststellte und damit

die Dauer des Jahres von 365,25 Tagen um 5′ reduzierte. Er berechnete

ferner die Exzentrizität der Sonnenbahn, wenn auch etwas zu gross,

desgleichen die der Mondbahn, legte sowohl die Sonnenbahn als die

Mondbahn durch Beobachtung der Fixsterne, welche ihre obere Kulmination

hatten wenn jene ihre untere, genau fest, gab die Entfernungen der

Sonne und des Mondes weit genauer, (namentlich letztere) an, als seine

Vorgänger, kritisierte die bisherigen Planetentheorien, und erklärte

die Ungleichheit der Jahreszeiten durch die Annahme der ¨exzentrischen

Kreisbahn¨, welche ¨Kepler¨ vielleicht die Anregung zur Auffindung

seines ersten Gesetzes gab. Hipparchs Methode die Sonnendistanz

(Parallaxe, d. h. der Winkel unter dem der Erdradius von der Sonne

aus gesehen erscheint) mittelst der Mondparallaxe zu bestimmen durch

den von ihm gegebenen Satz: »Die Summe der Parallaxen von Sonne und

Mond ist gleich der Summe der scheinbaren Halbmesser der Sonne und des

Schattenkegels der Erde«, ist theoretisch richtig. -- Das Auftreten

eines neuen Fixsternes im Jahre 134 brachte ihn auf den Gedanken einer

möglichen Eigenbewegung derselben, und er soll (vgl. ¨Gartz¨ und

¨Schaubach¨) mittelst von ihm erfundener Instrumente, Astrolabien, und

verbessertem Visierrohr oder ¨Diopter¨ (Archimedes im Psammites) die

Position und scheinbare Grösse des Sternes genau festgestellt haben.

Jedenfalls nahm er hier Veranlassung einen ¨Sternkatalog¨ anzulegen und

verzeichnete Ptolemaios zufolge selbst 1080 Fixsterne. Aus der Arbeit

von ¨Frz. Boll¨ 1901 in München entnehme ich, dass der Sternkatalog

des Hipparch zufolge des Fundes von A. Olivieris 1898 höchstens 850

Sterne umfasste, so dass die Meinung ¨Tannerys¨ und ¨Delambres¨ der

Ptolomäische Katalog sei der des Hipparch gewesen, hinfällig wird.

Sein Beweggrund war, späteren Astronomen die Erkenntnis zu ermöglichen,

nicht nur ob Sterne verschwänden und neue entständen, sondern auch, ob

sich die Lage der Fixsterne gegen einander nicht ändere und ob ihre

scheinbare Grösse nicht zu- oder abnähme. Diese Beobachtungen führten

ihn eben zur Auffindung der Präzession; denn als er die seinigen

mit etwa 100 Jahre älteren verglich, fand er, dass sich zwar die

Breiten, die sphärischen Abstände von der Ekliptik oder Sonnenbahn,

nicht geändert, wohl aber die Längen um den konstanten Betrag von

1-1/3° vergrössert hatten, d. h. also, dass die Äquinoktialpunkte

auf der Ekliptik gegen die Bewegung der Sonne hin fortrückten. Wir

verdanken auch diese Kunde dem Almagest, die theoretische Erklärung der

Präzession durch die Rotation der Erdaxe um die Axe der Ekliptik aus

der Anziehung von Sonne, Mond, Jupiter etc. auf dem Wulst des Äquators

gab erst D'Alembert.

[Sidenote: Heron von Alexandria.]

¨Hipparch¨ wird aber auch als der Begründer der ¨Trigonometrie¨

angesehen, wenn überhaupt von einem solchen (vgl. Ägypten) die Rede

sein kann. ¨Theon¨ teilt uns in dem schon erwähnten Kommentar zum

Almagest mit, dass jener in einem grösseren Werke περι της πραγματειας

των εν τω κυκλω ευθειων eine Sehnentafel gegeben. Siehe hierzu die

Bestätigung bei ¨Heron¨ in der Metrik S. 58, 3. 19, wo der Titel (s. u.

Heron) angegeben ist. Es steht jetzt so ziemlich fest, dass die ganze

Sexagesimalbruchrechnung inkl. Wurzelausziehung Eigentum des ¨Hipparch¨

war (cf. ¨Hultsch¨, die Sexagesimalrechnungen in den Scholien zu

Euklids Elementen, Biblioth. Math. 5, 1904, 225).

Nach arabischen Nachrichten hat er auch über quadratische Gleichungen

geschrieben und durch Strabon sind wir über seine Schrift προς

Ερατοσθενην gut unterrichtet. In den beiden ersten Büchern gab er

eine scharfe und nicht immer gerechte Kritik, denn genaue Längen- und

Breitebestimmungen waren dem Eratosthenes nicht möglich, im dritten

die Begründung seines eigenen Systems und die Tabellen der Breiten von

12 Städten und Bestimmung der Finsternisse. Wenn man von Eratosthenes

Sphragides absieht, ist Hipparch auch als Begründer des ¨sphärischen

Koordinatensystems¨ anzusehen.

An Hipparch, den Astronomen, schliessen wir Heron, den Mechaniker an; ὁ

μηχανικος nennt ihn ¨Proklos¨, Fried. 305, 24; 346, 13, und in der Tat

ist er in Mechanik und Technik geradeso der Lehrer der Welt gewesen wie

Euklid für Geometrie. Ob Heron Nachfolger oder Vorläufer des Hipparch

gewesen ist, steht nicht einmal absolut fest. Doch wird in der Metrik

die von Theon erwähnte Schrift unter dem Titel περι των εν κυκλω

ευθειωνπερι των εν κυκλω ευθειων als vollkommen bekannt zitiert.

[Sidenote: Lebenszeit.]

Die sogen. ¨Heronische Frage¨ ist eine der diffizilsten, die Ansichten

der berühmtesten Historiker schwanken zwischen dem 3. Jahrh. v. Chr.

und dem zweiten Jahrh. n. Chr. Ein Forscher von dem Range ¨Diels¨

setzt ihn um 100 n. Chr., ¨De Vaux¨ und ¨Paul Tannery¨ sogar um 200,

der Herausgeber der neuesten Gesamtausgabe ¨W. Schmidt¨ setzt ihn etwa

auf 56 v. Chr. Dem gegenüber stehen ¨Susemihl¨, der genaue Kenner der

Hellenistik, der ihn um 200 v. Chr. ansetzt und ¨M. Cantor¨, der ihn

um 100 v. Chr. setzt. Ich glaube, dass Cantor im ganzen das Richtige

getroffen und neige dazu Herons Geburt etwa um 150 zu setzen und

stimme der Beweisführung ¨Edmund Hoppes¨ im Programm des Hamburger

Wilhelm-Gymnasiums von 1902 bei, welche ich noch bekräftigt finde durch

die von ¨H. Schoene¨ 1903 zum ersten Mal herausgegebene »Metrika«,

deren Handschrift ¨R. Schoene¨ 1896 im Codex Constantinopolitanus

aufgefunden hatte. Da Programme bekanntermassen wenig bekannt zu werden

pflegen, so setze ich den Schluss der ¨Hoppe¨'schen Arbeit hierher, und

um so lieber, als ich bedauerlicherweise vergessen habe, diese tüchtige

Arbeit in der 2. Aufl. meiner Methodik von 1907 unter den historischen

Programmen anzuführen, obwohl sie mir seit 1903 bekannt war. Hoppe

schliesst: Wenn er den älteren Poseidōnios zitiert hat, rückt Heron

gänzlich in das zweite Sec. v. Chr. »Dahin passt er auch seinem ganzen

Inhalte nach durchaus. Heron steht ausschliesslich auf den Schultern

des Archimedes und Ktesibios in seiner Mechanik und Pneumatik, in der

Philosophie und Mathematik ist er abhängig von Aristoteles, Platon,

Pythagoras und Euklid, welche er alle zitiert. Alles Spätere ist

für Heron nicht vorhanden. Heron aber geht über seine Quellen weit

hinaus. Die physikalischen Anschauungen, welche er in der Einleitung

zur Pneumatik darlegt, hat vor ihm keiner und auch nach ihm keiner.

Wohl in Einzelheiten finden sich bei früheren Anklänge, aber ein solch

umfassendes Wissen von der Mechanik der Gase, von der Elastizität etc.

hat keiner seiner Vorgänger. Nach ihm hat man dies alles nicht mehr

verstanden, die römischen Epigonen griechischer Kulturwelt konnten

wohl Automaten und Wasserorgeln nachmachen, aber seine physikalischen

Gedanken begriffen sie nicht. Das charakterisiert Heron als den letzten

einer untergehenden Schule. Darum muss man Heron ansetzen zu einer

Zeit, wo Ägypten vor einer Katastrophe stand, nach einer Periode der

Blüte. Diese Blüte war unter den Ptolemäern, die Katastrophe war das

Einsetzen der Römerherrschaft. Somit spricht alles für den Ausgang des

zweiten sec. a. Chr. Macht man, wie Schmidt es will, Philon von Byzanz

und Ktesibios zu Zeitgenossen des Archimedes, so wäre möglich für Heron

die Zeit am Anfang des zweiten sec. anzunehmen. Setzt man Ktesibios

an das Ende des zweiten sec., so bleibt für Heron die Zeit um 100 n.

Chr., wie Cantor annimmt, bestehen; ein weiterer Spielraum scheint

ausgeschlossen.«