9) περι οχουμενων, über schwimmende Körper. 2 Bücher, bis vor kurzem
nur lateinisch erhalten.
10) προβλημα βοων, das Rinderproblem, bis vor kurzem (bis vor
Entdeckung des Pariser Codex) bezweifelt.
11) εφοδιον, Methodik, das oben besprochene, jetzt erst wieder zum
Vorschein gekommene Werk, welches ¨H. Zeuthen¨ l. c. vor No. 4 ansetzt,
ich vermute, dass Heiberg in seiner neuen Ausgabe mit dem εφοδιον
beginnen wird, da er jetzt schon die Schriften nach ihrem sachlichen
Zusammenhang geordnet hat, ohne sich weiter über seine Gründe in der
Vorrede zu äussern.
Aus dem arabischen Manuskript des ¨Thabit ibn Qurrah¨, der die
Euklidübersetzung des Ishaq ibn Hunein wesentlich verbessert hat, ist
von ¨S. Foster¨ 1659 eine angeblich von Archimedes herrührende Sammlung
von 13 Sätzen herausgegeben unter dem Titel liber assumptorum Λημματα,
Wahlsätze. Dass ein Teil sicher auf ihn zurückgeht, wird durch Pappos
bezeugt.
Dass der grosse Mann auch ein Kinderspiel »loculus Archimedis« unter
dem Namen στομαχιον., von ¨Drachmann¨ mit Neckspiel (¨Heiberg¨,
Hermes 42, 240) wiedergegeben, ersonnen hatte, wird von ¨Heiberg¨ auf
Grund des Palimpsest von 1906 bestätigt, es bestand (Quaest. Archim.
43, 2) aus 14 teils quadratischen teils dreieckigen Plättchen aus
Elfenbein und hat sich bis heute als das »¨Pythagoras¨« genannte
Zusammensetzspiel erhalten.
Aus einer verlorenen Schrift hat uns Pappos, Buch V, Kap. 33-36 die
13 sogen. »Archimedischen Körper« erhalten, das sind halbreguläre
Polyëder, begrenzt von abwechselnden regelmässigen Polygonen zweier
Gattungen, worüber man ¨R. Baltzers¨ klassische Elemente nachsehen
möge. Aus dem Umstand, dass Archimedes diese Körper, abgesehen von den
Prismaten, vollständig aufgestellt hat, geht klar hervor, dass er den
sogen. ¨Euler'schen¨ Satz e + f = k + 2 kannte, wie es ja auch ziemlich
sicher ist, dass er die bei Pappos gegebene sogen. ¨Guldinsche¨ Regel
vom Volumen der Rotationskörper kannte.
Bis auf minimale Spuren verloren sind περι ζυγων, über Wāgen,
κεντροβαρικα. κατοπτρικα περι σφαιροποιας, welche von Pappos, Theon und
Proklos erwähnt werden.
Analyse der Schriften des Archimedes.
[Sidenote: Analyse der Schriften des Archimedes.]
Dieselbe wird dadurch erleichtert, dass sie Archimedes selbst gleich in
der Einleitung gibt.
Ich beginne mit der Quadratur der Parabel von Archimedes (s. o.)
»Schnitt des rechtwinkligen Kegels« genannt. Aus Euklids Konika
schickt er 3 Sätze als bekannt voraus. I. Wenn ¯ABC¯ eine Parabel,
die Gerade ¯BD¯ entweder der Axe (Durchmesser) parallel oder die Axe
selbst ist, und wenn ¯ADC¯ der berührenden an dem Punkte Β der Parabel
(Scheiteltangente des Durchmessers) parallel ist, so wird ¯AD¯ = ¯DC¯
sein, und wenn ¯AD¯ = ¯DC¯ ist, so werden ¯ADC¯ und die berührende an
dem Punkt Β der Parabel parallel sein.
II. Die Tangente im Endpunkt einer Sehne schneidet den konjugierten
Durchmesser so weit hinter dem Scheitel wie die Sehne vor.
III. Die Quadrate zweier paralleler Sehnen verhalten sich wie ihre
Abstände vom Scheitel des konjugierten Durchmessers.
Es folgt dann die Quadratur mittelst der Sätze der Statik aus dem 1.
Buch des »Gleichgewicht der Ebenen« ¨unter Bildung des statischen
Moments¨ und dann von Satz 18 bis 24 die Quadratur in bekannter Weise
als: Σ 1/4^n wobei der strenge Beweis durch das Archimedische Prinzip
gegeben wird. Das Interessanteste ist wohl die Vorrede:
Archimedes wünscht dem Dositheos Wohlergehen. Mit der Nachricht von
dem Tode des ¨Konon¨, der mir aus dem Freundeskreise noch übrig
geblieben war, verband sich die, dass du sein Vertrauter gewesen und
ein geschickter Geometer bist. In der Trauer über den Verstorbenen,
der mir lieb war und ein bewunderungswürdiger Mathematiker, fasste ich
den Entschluss, wie sonst mit ihm, so jetzt mit dir in schriftliche
Verbindung zu treten und dir ein bisher nicht aufgestelltes
geometrisches Theorem zu senden, das jetzt von mir bewiesen ist und
zwar wurde es zuerst statisch gefunden, dann aber auch geometrisch
bewiesen.
[Sidenote: Quadratur der Parabel.]
Einige von denen, welche sich früher mit Geometrie beschäftigten,
unterfingen sich zu schreiben es sei möglich eine geradlinige Figur zu
finden, welche einem gegebenen Kreise oder Kreisabschnitt gleich sei.
Danach versuchten sie auch die Ellipse zu quadrieren [Ellipse gleich
ολα τομα του κωνου., die beiden andern ατελής d. h. unvollendbar]
unter Annahme von Sätzen, die man ihnen nicht wohl zugestehen konnte.
Doch hat meines Wissens keiner von den früheren versucht den von
dem Schnitt des rechtwinkligen Kegels [= Parabel] und einer Geraden
umschlossenen Raum zu quadrieren, was jetzt von uns aufgefunden ist.
Denn es wird gezeigt, dass jedes Parabelsegment 4/3 des Dreiecks ist,
das mit ihm gleiche Grundlinie und Höhe hat, unter Annahme folgenden
Hilfssatzes: ¨Der Unterschied zweier Flächen einer grösseren und einer
kleineren kann durch Vervielfältigung jede vorgelegte begrenzte Fläche
übertreffen.¨ --
[Sidenote: Archimedes' Werke (Prinzip; Kugel und Cylinder).]
Dies ist also das ¨Archimedische Prinzip¨ in Originalfassung.
Es kommt noch einmal vor am Schluss der Einleitung zu der Spirale Heib.
II, 14, wörtlich wie hier, nur dass es auch noch auf lineare Grössen
ausgedehnt ist; in Kugel und Cylinder Heib. 1, 10, ε ist es auch auf
Körper ausgedehnt, vergl. darüber Eudoxos.