B) ¨Beweise gegen die Bewegung.¨

1. Der sich bewegende Körper, der durch unzählig viele Punkte

hindurchgehen müsste, was nicht möglich.

2. Der ¨Achilleus¨; Achilleus, der 100mal schneller als die Schildkröte

ist, kann diese, wenn sie einen Vorsprung von einem Stadion hat, nicht

einholen, denn während er das Stadion zurücklegt, kommt die Schildkröte

um 0,01 vorwärts, und so fort in inf.

3. Der fliegende Pfeil müsste in einem bestimmten Augenblick an einem

bestimmten Orte sein und nicht sein.

Ein vierter Beweis bezieht sich auf die Relativität der Bewegung.

(Einem ruhenden Körper gegenüber scheint die relative Bewegung zweier

sich mit gleicher aber entgegengesetzter Geschwindigkeit bewegender

Körper verdoppelt.) Sie sehen, wie bei Zeno der Begriff der unendlichen

Reihe nach Gestaltung ringt; den infinitären Prozess hat er erfasst,

aber noch nicht seinen Abschluss, den ¨Grenzbegriff¨, auf dem die

¨Konvergenz¨ der Reihe beruht, und der zugleich das ¨Differential¨

liefert. Den hat erst ein grösserer als Zeno, den hat ¨Demokrit¨

erkannt. Aber Sie sehen auch, dass die ganze Lehre von der Bewegung,

von der Veränderung überhaupt, von der Stetigkeit, von der Grenze

ihre Quelle bei ¨Zeno¨ hat, der seinerseits in der Erfassung des

Widerspruchs an die Pythagoräer anknüpft.

Die Bearbeitung der Paradoxien des Zeno hat sehr viel Gedankenarbeit

hervorgerufen, ist doch nach ¨Hegel¨ die Auflösung des Widerspruchs

die Hauptarbeit des menschlichen Geistes. Die Paradoxien des Zeno

kehren in anderer Form immer wieder. Es genügt, an ¨Berkeley¨ zu

erinnern und seine Kritik des infiniment petit. Aber sie haben noch

heutigen Tages ihre Geltung für nicht hinlänglich philosophisch

durchgebildete Mathematiker, erst vor wenigen Wochen las ich in einer

mir zur Durchsicht gegebenen pädagogischen Arbeit so ziemlich dieselben

Einwände.

Insbesondere haben sich, wie in der Natur der Sache liegt, die

Scholastiker mit Zenon beschäftigt, und namentlich der grösste der

Scholastiker und einer der grössten Denker überhaupt, ¨Thomas von

Aquino¨, hat die Paradoxien mit grossem Scharfsinn kritisiert.

Die völlige Überwindung der Schwierigkeiten danken wir ¨Galilei¨,

¨Leibniz¨, ¨Bolzano¨, an den ¨Kerry¨ in Versuch eines Systems der

Grenzbegriffe anknüpft. Aber vor allen diesen, insbesondere auch

vor ¨G. Cantor¨, hat ¨Aristoteles¨ das schwierigste Paradoxon, B 1,

aufgeklärt. Die einzelnen Punkte der Raum- und Zeitstrecke zwischen

Anfang und Ende der Bewegung lassen sich gegenseitig eindeutig einander

zuordnen, d. h. in der Sprache ¨G. Cantors¨: die Raum- und Zeitstrecke

sind von gleicher ¨Mächtigkeit¨, und dieser so hochmoderne Begriff hat

seine Quelle bei ¨Aristoteles¨, der Zeno gradezu als den ¨Erfinder der

Dialektik¨ bezeichnet.

Was den Achilleus betrifft, so bildet er heutzutage eins der typischen

Beispiele der Grenze, indem die Differenzen zwischen den Reihenzahlen

1,[=01] und [1-1/9] eine ¨Nullreihe¨ bilden.

Mit den Paradoxien des Zeno haben sich auch ¨Bayle¨, ¨Descartes¨

und ¨Leibniz¨ beschäftigt, von Neueren nenne ich ¨Ch. L. Gerling¨

(Marburg). ¨Ed. Wellmann¨, Prgr. Frankf. a. O. 1870, ¨P. Tannery¨,

Rev. philos. B. X, 1885. ¨Tannery¨ behauptet, dass Zeno nur habe

beweisen wollen, dass der Raum nicht aus Punkten, die Zeit nicht

aus Augenblicken bestehe, aber ohne Beweise für seine Behauptung

beizubringen. Diese Sätze selbst sind von ¨Aristoteles¨ Phys. VI, 1,

231 a 24 bewiesen. Ich erwähne noch ¨J. H. Loewe¨, Böhm. Gesellsch. d.

Wiss. VI. Folge 1. Bd. 1867, und ¨Überweg¨, System d. Logik 5. Aufl.

1882 S. 245 ff.

[Sidenote: Paradoxien des Zenon; Anaxagoras, Oinopides.]

Das Mathematikerverzeichnis des ¨Proklos¨ erwähnt den Zeno

nicht, es wertet die »Begriffsmathematiker« nicht, sondern grade

so wie noch heute, zählt es nur die doch gegen jene sekundären

»Problemmathematiker«, die geschickten Handwerker der Mathematik, zu

den wirklichen Mathematikern. Zunächst wird ¨Anaxagoras¨ erwähnt, aber

nicht als Philosoph, nicht wegen des monotheistischen Prinzipes, der

Vernunft, des νους, der die Welt geordnet hat, sondern weil er sich

im Gefängnis mit der Quadratur des Zirkels beschäftigt hat. Danach

wird ¨Oinopides¨ genannt, der die Konstruktion des zu fällenden Lotes

aus Ägypten importiert haben soll, und es fährt dann mit Hippokrates

aus Chios fort, den man nicht mit Hippokrates aus Kos, dem Vater

der Medizin, verwechseln darf. Proklos sagt: »Nach diesen wurden

¨Hippokrates der Chier¨, der die Quadratur der Möndchen fand, und

¨Theodoros¨ aus Kyrene in der Mathematik berühmt.«

[Sidenote: Hippokrates von Chios und seine Möndchen.]

¨Hippokrates¨ gehörte dem Pythagoräischen Kreise an, ¨Aristoteles¨

erwähnt seiner als eines Menschen, der im gewöhnlichen Leben unbeholfen

und stumpfsinnig gewesen, »βλαξ και άφρων,« und doch ein tüchtiger

Mathematiker. (Übrigens auch heute noch nichts Seltenes.) Nach Verlust

seines Vermögens soll er in Athen von mathematischem Unterricht gelebt

haben. Ob er wirklich Mitglied des Bundes war, ist nicht sicher,

jedenfalls knüpft seine Beschäftigung mit der Quadratur und der

Winkelteilung an den Gedankenkreis der Pythagoräer an. Seine Blütezeit

fällt etwa um 430 v. Chr.

[Sidenote: Lunulae Hippocratis.]

Ihnen allen sind ja die Lunulae Hippocratis bekannt. Sie haben den Satz

gelernt in der Form: die beiden Halbmonde, begrenzt von den Halbkreisen

über den Katheten nach aussen und dem über der Hypotenuse nach innen

sind gleich dem rechtwinkligen Dreieck. Und dieser Satz steht als

Satz des Hippokrates selbst in der 6. Aufl. des einzigen in bezug auf

historische Angaben zuverlässigen Elementarbuches, das ich kenne, »die

Elemente der Mathematik« von ¨R. Baltzer¨, ja selbst im ¨Rouché¨ von

1900.

¨Hippokrates¨ hat nur einen Mond (Meniskos, lunula) quadriert und

zwar zuerst den, dessen äusserer Bogen der Halbkreis, dessen innerer

der Quadrant ist. Den allgemeinen Satz von den Lunulae gleich dem

rechtwinkligen Dreieck fand ich weder bei ¨Heron¨, noch ¨Pappos¨, noch

bei Cardano, Vieta, Clavius, Gregorius a. St. Vincentio, und Sturm,

wohl aber in der Ausgabe des ¨Taquet¨ von ¨Whiston¨ und zwar schräg

gedruckt, also nicht von Taquet herrührend, und noch früher in der 4.

Ausgabe der Elemente der Geometrie von 1683 bei ¨Pardies¨, Soc. Jesu.

Der Satz ist aber zweifelsohne erheblich älter. -- Die Arbeit des

Hippokrates ist durch einen Glücksfall erhalten.

¨Simplicius¨ aus Kilikien, der Neuplatoniker, der zu den von Justinian

529 vertriebenen Professoren der Hochschule Athen gehörte, hat einen

umfangreichen Kommentar zur Physik des Aristoteles verfasst und uns

darin ein Bruchstück aus des ¨Eudemos¨ Geschichte der Mathematik

aufbewahrt. Es ist zuerst von ¨Bretschneider¨ griechisch und deutsch

1870 publiziert nach der lateinischen Ausgabe ¨L. Spengel's¨: »Eudemi

Rhodii Peripatetici Fragmenta quae supersunt.« Berlin 1865, 2. Aufl.

1870, während der Kommentar des Simplicius schon 1526 bei Aldus

Manutius in Venedig gedruckt ist und 1882 in dem grossen Kommentar der

Aristoteles-Ausgabe der Berliner Akademie von ¨H. Diels¨.

Die wichtigste neuere Arbeit zur Simpliciusfrage ist die von ¨Rudio¨

1902 in der Bibliotheca mathematica von Eneström: »Der Bericht des

Simplicius über die Quadraturen des Antiphon und des Hippokrates.«

Aristoteles bekämpft in seiner Physik im 1. Buch an einer Stelle die

eleatische Weltanschauung, die das Seiende als eins und unwandelbar

auffasste, und erklärt dabei, dass man nicht alle falschen Sätze

widerlegen müsse, sondern nur solche, die nicht schon von vornherein

gegen die Prinzipien verstossen, und als Beispiel gibt er an: So ist

zum Beispiel der Geometer verpflichtet, die Quadratur (sc. des Zirkels)

mittelst der Segmente zu widerlegen, die des Antiphon aber nicht. Und

hierzu gibt Simplicius einen Bericht über die genannten Quadraturen,

der für uns vorn historischen Standpunkt aus gradezu unschätzbar ist.

Es ist ¨Rudio¨ gelungen, nach Vorarbeiten von ¨P. Tannery¨, dem

vor kurzem gestorbenen grossen Kenner hellenischer Mathematik und

hellenischer Wissenschaft, und ¨Allman¨, seinem englischen Nebenbuhler,

den Text des Eudemos wohl so ziemlich endgültig festgestellt zu haben.

Rudio hat durch eine einzige, ganz nahe liegende, schlagend einfache

Konjunktur Licht und Klarheit in den ganzen Bericht und zugleich in den

Gedankengang des Hippokrates gebracht und zugleich sein Urteil über

Simplicius als eines durchaus tüchtigen Mathematikers, wie dies ja

von Simplicius dem Philosophen schon feststand, begründet. Es handelt

sich um das Wort τμήμα, das von τεμνω schneiden herkommt und allgemein

irgend einen Abschnitt, im speziellen Kreissegment, bezeichnet, aber

auch, wie Rudio bemerkt, den Sektor und an der entscheidenden Stelle

kann es nur Sektor heissen; dann lautet die Stelle nach Rudio:

»Aber auch die Quadraturen der Möndchen, die als solche von nicht

gewöhnlichen Figuren erschienen wegen der Verwandtschaft mit dem

Kreise, wurden zuerst von Hippokrates beschrieben und schienen nach

rechter Art auseinandergesetzt zu sein, deshalb wollen wir uns

ausführlicher mit ihnen befassen und sie durchnehmen. Er bereitete sich

nun eine Grundlage und stellte als ersten der hierzu dienenden Sätze

den auf, dass die ähnlichen Segmente der Kreise dasselbe Verhältnis

haben wie ihre Grundlinien in der Potenz (δύναμις), d. h. im Quadrat.

Dies bewies er aber dadurch, dass er zeigte, dass die Durchmesser in

der Potenz dasselbe Verhältnis haben wie die Kreise. Wie sich nämlich

die Kreise verhalten, so verhalten sich auch die ähnlichen Sektoren

(τμήματα). Ähnliche Sektoren nämlich sind die, die denselben Teil des

Kreises ausmachen wie z. B. Halbkreis und Halbkreis und Drittelkreis

und Drittelkreis; deswegen nehmen die ähnlichen Segmente auch gleiche

Winkel auf. Und zwar sind die aller Halbkreise rechte und die der

grösseren kleiner als rechte, und zwar um so viel, um wie viel die

Segmente grösser als Halbkreise sind, und die der kleineren grösser und

zwar um so viel, um wie viel die Segmente kleiner sind.«

Sie sehen, Hippokrates kannte die Sätze vom Peripheriewinkel

ganz genau; er hat den wichtigen Satz Euklid, Elem. XII, 2;

k : k´ = d^2 : d´^2 bewiesen, vermutlich wie Euklid, ihm war

die Ähnlichkeitslehre völlig vertraut wie allerdings schon den

Pythagoräern, er kannte, wie aus dem folgenden hervorgeht, auch den

sogenannten ¨erweiterten¨ Pythagoras.

Was nun die Quadratur der Halbmonde betrifft, so kann es keinem Zweifel

unterliegen, dass Hippokrates von folgender von Tannery, aber auch

schon einige Jahrhunderte früher von ¨Vieta¨, angegebenen Erwägung

ausgegangen ist:

ε : i = p : q z. B. 5 : 3; ε/5 = i/3 und ε/p = i/q

Dann sind die Segmente e_{1} und i_{1}, welche von den kleinen

Sehnen abgeschnitten werden, ähnlich und es ist e_{1} : i_{1} =

r_{e}^2 : r_{i}^2. Wenn nun r_{e}^2 : r_{i}^2 gleich q : p gemacht

wäre, so wäre e_{1} : i_{1} = q : p (hier 3 : 5) und damit pe_{1} =

qi_{1}, d. h. aber ¨der Sehnenzug im äusseren Bogen schneidet so viel

an Fläche ab, als der des inneren hinzubringt¨ und das Möndchen ist

gleich der von des beiden Sehnenzügen begrenzten geradlinigen Figur.

Damit aber der Halbmond quadrierbar sei, ist nötig, dass die Figur mit

Zirkel und Lineal konstruiert werden könne, und dies tritt ein für p/q

= 2/1; 3/1; 3/2; 5/1; 5/3.

Sie sehen aus der Gleichung Winkel ε/i = p/q = r_{i}^2/r_{e}^2 oder

r_{e}^2 . ε = r_{i}^{2}i, dass die Sektoren AEB und AJB flächengleich

sein müssen, dazu ist AB = AB, also r_{e} sin ε/2 = r_{i} sin i/2, also

haben wir die entscheidende Gleichung: √p . sin i/2 = √q . sin ε/2.

[Illustration]

Die elementare Behandlung findet sich bei ¨Vieta¨ (Variorum de rebus

mathem. responsorum liber VIII 1593). ¨Hippokrates¨ hat die Fälle 2/1,

3/1, 3/2 erledigt; die Fälle 5/1 und 5/3 von ¨Th. Clausen¨, Crelle 21

(1840). Sämtliche 5 quadrierbare Möndchen finden sich aber schon in

der Dissertation von M. ¨J. Wallenius¨ (Abveae 1766). Vgl. den Artikel

6 bei ¨M. Simon¨, Über die Entwicklung der El. Geom. im 19. Jh. p. 73

(1906). Der Fall 2/1 ist der bekannteste, er sichert Hippokrates das

Verdienst, die erste krummlinige Figur quadriert zu haben. Den Fall

3/2 findet man ausführlich bei ¨F. Enriques¨ Questioni riguardanti

la Geom. elem. (1900) p. 518, er bietet, trigonometrisch behandelt,

keinerlei Schwierigkeit. Den Fall 4/1 behandelt ¨Vieta¨. Er führt auf

eine reine Gleichung 3. Grades und damit auf die ¨Verdoppelung des

Würfels¨, und dass Hippokrates diesen Weg gegangen, das geht klar

daraus hervor, dass er nach dem Zeugnis des ¨Proklos-Geminos¨ und

dem wichtigeren des ¨Eratosthenes¨ das Problem auf die Einschiebung

zweier mittleren Proportionalen zwischen a und 2a zurückgeführt hat,

a : x = x : y = y : 2a und so Proklos zufolge das erste Beispiel einer

απαγωγή, einer Zurückführung eines Problems auf ein anderes, noch

dazu in einem über das Elementare hinausgehenden Fall geliefert hat.

¨Hippokrates¨ ist auch der erste Grieche, der »¨Elemente¨« geschrieben

hat, wie Proklos im Mathematikerverzeichnis angibt, und sie können nach

dem Muster von Hippokrates Darstellung aus des Simplicius Kommentar in

der Form nicht sehr wesentlich vom Euklid verschieden gewesen sein,

wenn nicht Eudemos (oder Simplicius) redigiert haben. Hippokrates hat

dann auch noch, wie wir bei Simplicius lesen, die Summe eines Mondes

und eines Kreises quadriert, den Zirkel selbst natürlich nicht, obwohl

er höchstwahrscheinlich bei der Suche nach dieser Quadratur auf seine

Monde gekommen ist.

[Sidenote: Antiphon.]

[Sidenote: Bryson.]

Der gleichzeitig erwähnte ¨Antiphon¨, ein Sophist, Zeitgenosse des

Sokrates, glaubte die Quadratur des Zirkels dadurch gefunden zu

haben, dass er in den Kreis ein reguläres Polygon, z. B. ein Quadrat

einschrieb, dann über die Seiten gleichschenklige Dreiecke u. s. f.,

und annahm, dass eines dieser Polygone dem Kreise gleich sein müsste.

Wenn nun auch Aristoteles die Annahme des Antiphon als gegen die

Prinzipien der Logik verstossend scharf getadelt hat, so hat doch

¨Hankel¨ vollständig recht, wenn er sagt: er verdient einen ehrenvollen

Platz in der Geschichte der Geometrie, denn er hat, als der erste, den

völlig richtigen Weg betreten, um den Flächeninhalt eines krummlinigen

Raumes zu ermitteln, indem er ihn durch Vielecke von immer wachsender

Seitenzahl zu erschöpfen (exhaurire) suchte. Der gleichzeitig mit ihm

genannte ¨Bryson¨ hat dann das umgeschriebene Polygon hinzugefügt;

lächeln wir auch heute über seinen Schluss, »weil der Kreis zwischen

dem ein- und umgeschriebenen Quadrate 2r^2 und 4r^2 so schön in der

Mitte liege, wie 3 zwischen 2 und 4, so müsste der Kreis gleich 3r^2

sein,« so haben doch Antiphon und Bryson den Weg gewiesen, auf dem dann

¨Archimedes¨ gegangen und der das Riesenproblem beherrscht hat, bis er

schliesslich Vieta zu dem unendlichen Produkt für π/2 führte.

Auf Hippokrates und seine Elemente folgt bei Proklos unmittelbar

¨Platon¨, aber eine Geschichte der Mathematik, welche zugleich auf die

Begriffsbildung Wert legt, darf an den beiden ihm an Tiefe ebenbürtigen

Vorgängern ¨Heraklit¨ und ¨Demokrit¨ nicht vorübergehen.

[Sidenote: Heraklit.]

¨Heraklit¨, Ηράκλειτος, aus Ephesos in Kleinasien, aus der angesehenen

Familie des Gründers von Ephesos, des Kodriden Androklos, war ein

Zeitgenosse des Xenophanes, er hat seine Blütezeit um 500. Wir haben

als Hauptquellen für seine Lehre die Fragmente seiner einzigen Schrift

περι φύσεως (Von der Natur, ed. von ¨H. Diels¨ 1901) und Platons

Dialog ¨Kratylos¨, ferner ¨Aristoteles¨ und seine Kommentatoren.

Daneben kommen ¨Plutarch¨ und ¨Diogenes Laertios¨ in Betracht. Eine

für ihre Zeit ausgezeichnete Darstellung gab der bekannte ¨Ferdinand

Lassalle¨ in seiner Schrift »Die Philosophie Herakleitos des Dunkeln,«

Bd. 2, Berlin 1858, aus neuester Zeit nenne ich ¨W. Kinkel¨, l. c.

1906. ¨H. Diels¨, Her. von Eph., Berl. 1901, ¨P. Natorp¨, Neue

Heraklitforschung, Ph. Monatsh. 24. Heraklit, der Dunkle, ὁ σκοτεινός,

war kein Systematiker, aber vor seinen tiefsinnigen, orakelhaften

Weisheitssprüchen stand das ganze Altertum voll staunender Ehrfurcht.

Er erinnert an ¨Nietzsche¨, der formaliter und materialiter sehr viel

von Heraklit entlehnt hat. Am bekanntesten ist das πάντα ῥεῖ, alles

fliesst; πάντα χωρεῖ καὶ οὐδὲν μένει, alles weicht und nichts bleibt;

-- πόλεμος πατήρ πάντων, der Streit ist der Vater der Dinge. In der

Kosmologie knüpft Heraklit zunächst an seine Ionischen Landsleute, an

Anaximander und besonders an dessen schwächeren Nachfolger Anaximenes

an, der die Luft als Grundstoff (ὑλη) ansah. Heraklit nimmt das Feuer

als Substanz aller Dinge an, aber ein ideales Feuer, das zugleich die

Weltvernunft, der ¨Logos¨, die Weltseele ist. Im bewussten Gegensatz

zu den Eleaten, insbesondere zu Xenophanes, denn Parmenides ist

jünger, leugnet er alles Sein, und erfasst die Welt als in beständiger

Veränderung, in ewigem Wechsel befindlich. »Wir steigen nicht zweimal

in denselben Strom.« Ein Schein des Beharrens wird nur dadurch erzeugt,

dass Abfluss und Zufluss des Feuers annähernd gleich ist. Er ist in

noch höherem Masse und mit voller Klarheit Pantheist als Xenophanes.

Das Urfeuer oder die Gottheit, ist, in beständiger Umwandlung

begriffen, in allem, soweit es überhaupt ist. »Dieses Weltganze

(Kosmos) hat keiner von allen Göttern und keiner von allen Menschen

geschaffen, sondern es war, ist und wird sein ein ewig lebendiges

Feuer, das sich entzündet und verlöscht nach bestimmter Ordnung.« Man

sieht, es ist die ¨Kategorie Bewegung¨, die er, etwa wie seinerzeit

¨Ad. Trendelenburg¨, als das Bleibende im Wechsel setzt, während die

Eleaten grade die Bewegung leugneten. Und indem ihm der Widerspruch im

Begriff des Werdens, das zugleich ein Sein und Nicht-sein ist, nicht

entging, fasste er eben diesen Widerspruch als »Vater der Dinge«.

¨Hegel¨ hat in seiner Logik an Heraklit angeknüpft, der Widerspruch,

überall vorhanden und doch für uns undenkbar, erfordert seine Auflösung

und Versöhnung als unsere geistige Arbeit. Die späteren Stoiker

schliessen sich direkt an Heraklit an wie auch ¨Philon¨ von Alexandria

in seiner Logos-Lehre. Für uns kommt vom Standpunkt der exakten

Wissenschaft besonders in Betracht, dass sich bei ihm der erste Gedanke

eines ¨physikalischen Kreisprozesses¨ findet. »In dieselben Ströme und

aus denselben steigen wir.«

Rein mathematisch ist von Bedeutung die grosse Betonung der

Veränderlichkeit aller Werte und Grössen; auffallend ist es, dass er,

der kein Entstehen und Vergehen der Materie, sondern eine beständige

Bewegung gelehrt hat, das Zeitproblem, wie es scheint, nie gestreift

hat.

Die Dunkelheit des Heraklit erklärt sich zum Teil daraus, dass er für

seine tiefe Lehre vom Logos keine termini technici vorfand, welche

begriffliches Denken mitteilsam machen, immerhin ist er der erste

Philosoph, welcher das Problem der Erkenntnis als solches empfunden

hat, »εδιζησαμην εμαυτον« (ich suchte mir mich selbst zu verschaffen).

[Sidenote: Empedokles, Sophisten.]

Ich übergehe ¨Empedokles¨ aus Agrigent, so wichtig er auch für die

Physiker und Chemiker ist, denn er hat zuerst die 4 Elemente, Feuer,

Wasser, Luft und Erde, als qualitativ und quantitativ unveränderliche

Urstoffe aufgestellt, um mich zu den sogen. Atomikern zu wenden zum

Leukipp und seinem grossen Schüler ¨Demokrit¨. Vorher aber noch

ein paar Worte über die so übel berüchtigten »¨Sophisten¨«, deren

Bekämpfung das Leben des Sokrates galt, und zugleich der Tod. Denn

dadurch, dass er jene mit ihrer eignen Waffe, der Dialektik, bekämpfte,

hielt ihn das Volk für den Hauptsophisten, und er fiel dem Aufbäumen

des Volksgeistes gegen die unsittliche Lehre der Sophisten zum Opfer.

Das geistige Haupt der Sophisten ist ¨Protagoras¨ aus Abdera, von

480-410; von Zeno, Heraklit und Leukipp beeinflusst, war er an sich von

durchaus ernster, wissenschaftlich nicht unbedeutender Beschaffenheit,

so schildert ihn auch der gleichnamige Dialog des Platon, ein Kunstwerk

ersten Ranges.

Indem Protagoras ganz wie ¨Kant¨ empfand, dass wir das Ding an

sich nicht erkennen, sondern nur unsere Wahrnehmung, kam er zu dem

Faustischen: »Seh ein, dass wir nichts wissen können,« wenigstens

nichts von allgemeiner, sondern nur etwas von subjektiver Wahrheit. Und

indem er ausspricht, dass ¨unsere¨ Wahrnehmung, für ¨uns¨ wahr ist,

formulierte er den Satz: »¨Der Mensch ist das Mass der Dinge.¨« Von

diesem Standpunkt aus kamen seine Nachfolger Gorgias, Hippias etc. zu

einer Verwerfung aller sittlichen Normen und von allen Wissenschaften

blieb nur die Dialektik übrig oder die Rhetorik, die Kunst, den eignen

Willen, das eigene Mass, den anderen aufzuzwingen. Zeitlich traf ihre

Blüte mit dem grossen Aufschwung des öffentlichen Lebens in Hellas

nach den Perserkriegen zusammen, wodurch eine zweckmässige Vorbildung

der Staatsmänner nötig wurde. Die Sophisten fanden daher als Lehrer

der Redekunst gewinnreiche Tätigkeit, Protagoras selbst war ein sehr

geschätzter Wanderlehrer. So haben die Sophisten, die prinzipiellen

Gegner des Wissens, dennoch die Wissenschaft der Satzbildung, der

Grammatik, des Wohlklangs gradezu geschaffen, und was sie für uns

Mathematiker wichtig macht, sie haben die Lehre vom Beweis mächtig

gefördert.

Ich komme zu den Atomikern. Vom ¨Leukipp¨ wissen wir so wenig, dass

¨Epikur¨ meinen konnte, er habe gar nicht existiert. Das Zeugnis des

¨Aristoteles¨ ist aber unanfechtbar. Leukipp ist wohl der Urheber des

Grundgedankens, aber in der überragenden Persönlichkeit seines Schülers

¨Demokrit¨ ist er verschwunden. Zeller fasst beide zusammen als

Atomiker.

[Sidenote: Demokrit.]

¨Demokrit¨ ist in ¨Abdera¨ etwa um 470 geboren, und ist zwischen 90

und 100 Jahre alt geworden. An umfassender Bildung nur dem Aristoteles

vergleichbar, hat er das Wissen, das er auf vielen Reisen, insbesondere

nach Ägypten und Babylonien, erworben, in einer Reihe von Schriften

niedergelegt, von denen leider zurzeit nur wenige Bruchstücke,

meist ethischen Inhalts, erhalten sind. Glücklicherweise hat sich

¨Aristoteles¨ sehr viel mit Demokrit beschäftigt, während Platon in

auffallender Weise über ihn schweigt. Platon neigt überhaupt nicht

zu literarischen Angaben in seinen Dialogen, und wird wohl in seinen

Vorlesungen sich genügend mit Demokrit beschäftigt haben, auch konnte

er die Lehre des Demokrit zu seiner Zeit als bekannt voraussetzen.

Jedenfalls ist beim Charakter Platons irgendwelche böswillige

Absichtlichkeit zurückzuweisen. Soviel steht fest, je tiefer die

Quellenforschung ging, um so höher ist die Gestalt des Demokrit

emporgewachsen, den wir jetzt neben Platon und Aristoteles als den

dritten grossen Hellenischen Philosophen werten. Trotz des geringen

Umfangs der erhaltenen Fragmente können wir uns von der Fülle und

Kühnheit seiner Gedanken ein ziemlich deutliches Bild machen.

Mit den ¨Eleaten¨ hat er die Ewigkeit und Unveränderlichkeit des

Seienden gemeinsam, die Überzeugung von der Unzerstörbarkeit der

Materie. Aber ¨Heraklit¨ missverstehend, fassten jene sein »Werden«

als ein Vergehen und Entstehen der Materie und nicht als einen Wechsel

der Form im Kreisprozess, und da sie den Unterschied zwischen »Werden«

und »Veränderung« verfehlten, leugneten sie schlankweg die Bewegung

und damit die ganze erkenntnistheoretische Physik der Erscheinung,

welche ja in der reinen Bewegungslehre besteht. Hier setzen Leukipp

und ¨Demokrit¨ ein, sie müssen den Begriff der Materie umarbeiten, um

die Bewegung begreiflich zu machen. Das Seiende ist ihnen nicht, wie

dem ¨Parmenides¨, die kugelförmig gedachte, lückenlose Masse alles

reell Existierenden, sondern es sind die unteilbaren, αδιαιρητα,

Atome, ὁι ατομοι, die er hochmodern als der ουσια, dem Wesen nach,

ganz gleich denkt, nur mathematisch, d. h. in bezug auf Figur, Grösse

und Zahl verschieden. Leukipp und Demokrit haben den Begriff des Atoms

geschaffen, diesen Hilfsbegriff, den Physik und Chemie bis auf den

heutigen Tag und in alle Zukunft nicht entbehren können; ein sehr

bekannter Chemiker sagte mir: »Was ¨Demokrit¨ über die Atome gesagt,

bildet die beste Einleitung zu einem modernen Lehrbuch der Chemie.«

Und von ¨Heraklit¨ entnahm er den Gedanken der beständigen Bewegung

und Veränderung in der Zusammensetzung der Atome zu Molekülen. Die

Atome bewegen sich ewig und anfangslos, weil das in ihrem Wesen liegt,

nach einem Grund dieser Bewegung zu fragen, erklärt er für töricht,

wie etwa die Frage, warum ein Löwe Fleisch frisst. Dass aber die Atome

sich ¨bewegen können¨, das liegt daran, dass sie voneinander durch den

¨leeren Raum¨ getrennt werden, und auch dieser für die Mathematik so

entscheidend wichtige Grenzbegriff des leeren Raumes und der Porosität

hat bei Demokrit seine Formulierung gefunden, denn »das Leere« (το

κενόν) der Pythagoräer ist wohl nur ein Synonym für Raum überhaupt,

obwohl selbstverständlich Keime für Demokritische Gedanken bei den

Pythagoräern liegen.

Dieser leere Raum, von dem er mit ironischer Anpassung an des

Parmenides »ἔστι γὰρ εἶναι, μηδὲν δ΄ οὐκ ἔστι« (Es gibt ein Sein, ein

Nichtsein gibt es nicht) sagt, dass er das Nichts ist, ermöglicht alles

wirkliche Sein der Aussenwelt. ¨Aristoteles¨, Metaph. I, 4, 985b:

Λευκιππος δε και ὁ ἑταιρος αυτου Δημοκριτος στοιχεια μεν το πληρες και

το κενον ειναι φασι, λεγοντες τι μεν ον το δε μη ον, το 'των δε τι μεν

πληδες και στερεον το ον, το δε κενον γε και μανον το μη ον, αιτια δε

των οντων ταιτα ως ὑλην. Leukipp und Demokrit, sein Genosse, erklären

das Volle und das Leere als die Elemente und nennen jenes das Seiende,

dieses das Nichtseiende, und diese beiden sind die Ursache, der Stoff,

alles Wahrnehmbaren. Ja mit bewundernswerter Kühnheit der Spekulation

sagt Demokrit: »το δεν ον μαλλον εστι η το μηδέν.« Das Nichts ist

ebenso existenzberechtigt als das »Ichts«.

Wie das Atom nichts anderes ist als das ¨Differential, der Ursprung der

Masse¨, so ist dieses »μηδέν« nichts anderes, als das ¨Differential,

der Ursprung des Raumes¨. Dass dies keine leere Vermutung ist, dass

¨Demokrit¨ als der erste erreichbare Urheber der ¨Differentialrechnung¨

anzusehen ist, dafür haben wir jetzt einen Beweis in dem 1907 von

¨Heiberg¨ aus dem Palimpsest entzifferten »εφόδιον« (so viel wie

Methode) des ¨Archimedes¨, welche ¨H. Zeuthen¨ übersetzt hat. Die

Formel für das Volumen der Pyramide und des Kegels, die nach der Angabe

des Archimedes von ¨Eudoxos¨ streng d. h. euklidisch bewiesen, die

habe, steht im Ephodion, ¨Demokrit¨ gefunden aber nicht bewiesen d. h.

nicht streng, grade so wie Archimedes seine mit Differentialrechnung

gefundenen Formeln nur für wahrscheinlich aber nicht für streng

bewiesen erachtet. Das Verfahren des Demokrit kann kein anderes gewesen

sein als das des ¨Cavalieri¨, das Volumen ist das Integral, die Summe

der unzählig vielen unendlich kleinen Prismen, deren Grundflächen

die veränderlichen Querschnitte sind. Man vergleiche dazu die Angabe

Plutarchs, Diels Fragmente 155 (auch Anmerkung S. 723): »Es machte ihm

nämlich die Frage Schwierigkeiten, ob, wenn man einen Kegel parallel

der Basis durchschnitte, die so entstehenden Schnittflächen einander

gleich seien oder nicht. Schon ¨Aristoteles¨ hat darauf hingewiesen,

wie stark mathematisch durchtränkt die Lehre des Demokrit gewesen, der

sich, Plutarch zufolge, rühmte, selbst die Ägyptischen Harpedonapten

in der Reisskunst zu übertreffen. Bisher schwebte diese Angabe in

der Luft, jetzt ist sie durch den Palimpsest bestätigt worden. Ich

mache auch auf den uns erhaltenen Titel der Schrift: περι διαφορης

γνωμης η περι ψαυσεως κυκλου και σφαιρας und auf seinen Einfluss auf

¨Archimedes¨ und dadurch auf ¨Galilei¨ aufmerksam. Dass sich Demokrit

eingehend mit dem Problem der Kontinuität beschäftigt hat geht aus dem

erhaltenen Titel der verlorenen Schrift: περι αλογων γραμμων και ναστων

(über irrationale Strecken und das Kontinuum) hervor.

¨Demokrit¨ ist von Grund aus Naturforscher im Gegensatz zu ¨Platon¨,

dem Dichter und Metaphysiker, er hat zum ersten Male versucht ernsthaft

eine mechanische Welttheorie durchzuführen. Seine Wirbelbewegung

treffen wir bei ¨Descartes¨ wieder, wie auch seine Unterscheidung

der primären Qualitäten (Schwere, Härte, mathematische Gestalt

etc.), der Eigenschaften der Atome, von den sekundären, wie Farbe,

Geschmack etc. Die Zahl und die Figur der Atome ist es, welche die

wesentliche Verschiedenheit der Dinge bewirkt, mit der Trias, Atom,

leerer Raum, Bewegung haben Leukipp und ¨Demokrit¨ die mathematische

Naturerkenntnis geschaffen. Das Atom sowohl wie der leere Raum sind

¨Ideen¨, das Wort rührt von Demokrit her, und an Demokrit knüpft die

Platonische Ideenlehre an. ¨H. Cohen¨ zählt in seinem vorzüglichen

Marburger Programm Demokrit mit vollem Recht zu den Idealisten und

zum recht eigentlichen Vorgänger von Platon. Wie dieser bezeichnet

er die Sinneswahrnehmung als dunkele, die logische als klare

Erkenntnis; ¨W. Kinkel¨ sagt, es ist schwer begreiflich wie man ihn

hat zum Materialisten stempeln können. Ich möchte aber bemerken, dass

der Idealismus sowohl des Demokrit als der übrigen idealistischen

Philosophen im Grunde eine Doppelnatur besitzt, eine ¨skeptische¨,

insofern er die Realität der Sinneswahrnehmung leugnet, und eine

supranaturalistische, insofern er die Realität des Geistigen lehrt.

Daher ist es ganz begreiflich, dass von Demokrit eine Schule der

Materialisten ausgehen konnte, wie von Platon Skeptizismus und

insbesondere Mystizismus (Plotin, Augustin). Jedenfalls ist die

»tyche« D.'s nicht der blinde Zufall, sondern das Schicksal als eine

durchaus vernünftige Gesetzmässigkeit des in Erscheinung tretenden

(der Phänomena). Nicht bloss auf metaphysischem Gebiet ist Demokrit

ein Vorläufer des Platon, sondern auch auf ethischem Gebiet, in der

Auffassung des Menschen als μικρόκοσμος -- das Wort ist demokritisch

-- in der Wertung der Erziehung berührt er sich mit Platon. Ich

nenne hier ausser Zeller und Kinkel noch ¨P. Natorp¨, Forsch. z.

Gesch. des Erkenntnisproblems im Altertum; ¨G. Hart¨, Zur Seelen-

und Erkenntnislehre des Dem., Progr. Mühlhausen (im Elsass) 1886;

¨P. Natorp¨, Die Ethik des Dem., Marburg 1893.

[Sidenote: Platon.]

¨Platon¨, der Göttliche, wie ihn Schopenhauer bezeichnet, ist im

Todesjahre des Perikles 429 aus vornehmster Familie geboren, mit ihm

erreicht die Hellenische Philosophie ihren Höhepunkt. Wie in einem

Brennpunkt fasst er alle bedeutenden Gedanken seiner Vorgänger, der

Pythagoräer, der Eleaten, des Heraklit und vor allem des Demokrit

zusammen, um sie als Bausteine seiner Theorie des Erkennens zu

verwenden. Es ist das Kennzeichen der Allergrössten, dass sie über

den Parteien stehen, oder richtiger, wie ¨Lange¨ in der Geschichte

des Materialismus sagt, dass sie die Gegensätze ihrer Epoche in sich

zur Versöhnung bringen. Er ist mit ¨Kant¨ der grösste Idealist aller

Zeiten, und keiner hat auf Kant solchen Einfluss geübt, nicht einmal

Hume, wie Platon.

Ich verstehe aber unter ¨Idealismus¨ in der Philosophie diejenige

Weltanschauung, welche die Welt der Dinge nur insofern als seiend

auffasst, als sie Gegenstand oder Objekt der Erkenntnis eines

erkennenden Subjektes ist. Sagt doch ¨Platon¨ oft gradezu (z. B. Rep.

529, Phaed. 833, Tim. 513) das Seiende ist das Unsichtbare, das von

uns nicht Wahrnehmbare, sondern nur Gedachte, das was das Bewusstsein

selbst bei sich selbst sieht. Unter ¨Realität¨ der Erscheinung

versteht man im idealistischen Sinne diejenige Eigenschaft derselben,

vermöge derer sie zu in Zeit und Raum geordneten Gegenständen der

Erfahrung werden. Es ist Platons ewiges Verdienst, dass er das Problem

des Erkennens als das eigentliche Grundproblem der Philosophie in diese

Wissenschaft eingeführt hat, die er mit der Frage τι εστι επιστήμη, was

ist Wissen, eigentlich erst als Wissenschaft geschaffen hat.

¨Kant¨ trifft auch darin mit ¨Platon¨ zusammen, dass beide für ihre

Erkenntnistheorie von der Frage nach dem Erkenntniswert der Mathematik

ausgingen. Ich nehme hier Gelegenheit den Dank auszusprechen, den

ich für das Verständnis des Philosophen Platon der trefflichen

Jugendschrift ¨H. Cohens¨, Plato und die Mathematik, Marburg 1878

schulde. Platon den Dichter und Gottsucher schildert eine Broschüre

¨Windelbands¨ in hervorragender Weise.

Viel schuldete er seinem Lehrer ¨Sokrates¨, sowohl in bezug auf das

Interesse an der Ethik, an den sittlichen Gesetzen und Idealen der

Menschheit, als besonders hinsichtlich des Bestrebens die einzelnen

Begriffe scharf zu definieren. Nach dem Tode des Sokrates floh er aus

Athen, und brachte etwa 10 Jahre auf Reisen zu, überall den Verkehr

mit den geistigen Grössen suchend. In Cyrene hat er beim Pythagoräer

¨Theodoros¨, dessen wir schon bei Gelegenheit des Theätet gedacht

haben, sich das mathematische Wissen der Pythagoräer angeeignet, in

Unteritalien den grossen ¨Archytas¨ von Tarent kennen gelernt, und in

Sizilien ebenfalls viel mit Pythagoräern verkehrt; dass er von Sizilien

aus Ägypten besucht hat, ist sehr wahrscheinlich.

Nach Athen zurückgekehrt, gründete er dort den Freund- und Schülerbund

der ¨Akademie¨, ein Gymnasium bei Athen, nach dem attischen Heros

Ακάδημος benannt, wo Platon ein Landgut besass. Ein glücklicher Zufall

hat uns das Testament des Platon erhalten, es findet sich bei ¨Diogenes

Laertios¨ und ist von ¨U. v. Wilamowitz¨ und Kiessling Phil. Unters.

IV. ediert.

Schon 2000 Jahre vor den Amerikanischen Multimillionären hat hier

ein Privatmann aus seinen Mitteln eine Universität gegründet, die

Universität Athen, die bedeutendste des Altertums, an der Euklid und

Cicero studierten, welche etwa 900 Jahre blühte, bis sie Justinian

529 n. Chr. aufhob, teils um sich ihren Besitz anzueignen, teils weil

die Professoren auf Seiten der Gemahlin des Kaisers, der ¨Theodora¨,

standen, und das Heidentum oder richtiger den Neuplatonischen

Mystizismus unterstützten, während der Kaiser das Christentum oder das

Gottesgnadentum des Monarchen als Staatsreligion durchführen wollte.

Eine zweite Reise nach Sizilien 367 ist wohl von Dion, dem Freunde

des Platon und Schwager des Dionys I., der s. Z. Platon seiner

Freimütigkeit wegen als Sklaven verkaufen liess, veranlasst.

Platon sollte den jungen Dionysios II. nach den in der »Republik«

niedergelegten ethischen und politischen Prinzipien erziehen.

Aber wie fast alle Theoretiker der Pädagogik war er kein glücklicher

Praktiker. Noch einmal 361 unterbrach eine zugunsten des Dion

unternommene Reise seine im höchsten Grade erfolgreiche akademische

Lehrtätigkeit, die bis zu seinem 347 im 80. Jahre eingetretenen Tode

angehalten haben soll.

Was nun Platon als Mathematiker von Fach betrifft, so ist die Legende

von Platons Leistungen in der speziellen Problemmathematik schon von

¨C. Blass¨ in seiner Dissertation »de Platone mathematico«, Bonn 1861,

zerstört worden; als reinen Mathematiker haben ihn seine Zeitgenossen

¨Archytas¨, ¨Theätet¨ und besonders der grosse ¨Eudoxos¨ von ¨Knidos¨

sicher weit übertroffen, er ist von der Philosophie zur Mathematik

gekommen und nicht umgekehrt. Platon hat nicht die Philosophie der

Mathematik geschaffen, wie M. Cantor sagt, -- das würde weit eher

auf Demokrit und Eudoxos passen --, aber was eben so wertvoll ist,

er hat die Bedeutung der Mathematik für die Philosophie erfasst, und

es bedarf nicht des seit ¨Melanchthon¨ immer wieder zitierten μηδεις

αγεωμετρητος εισιτω μου την στεγην, »Kein der Mathematik Unkundiger

betrete meine Schwelle«, aus der zweifelhaften Quelle des ¨Tzetzes¨, um

uns darüber zu belehren. Platon erkannte, dass die Mathematik für die

Philosophie dieselbe Bedeutung als Hilfswissenschaft hat, welche der

Physik für die Mathematik zukommt. Einerseits liefert sie für die Logik

die einfachsten und schlagendsten Beispiele, wie uns denn Aristoteles

den Beweis der Pythagoräer für die Irrationalität der Wurzel aus 2 als

Beispiel eines indirekten Beweises erhalten hat, andrerseits liefert

sie für die Erkenntnistheorie die Probleme, an deren Lösung sich die

Philosophie entwickelt hat. Und Platon gab mit der Betonung dieser

Bedeutung der Mathematik den mächtigen Impuls, der die Blütezeit der

Hellenischen Mathematik im 3. Jahrhundert herbeiführte. Ganz besonders

sind die erkenntnistheoretischen Probleme, welche die inkommensurabeln

Streckenbrüche geben, von Platon und seinen Schülern und Mitarbeitern,

von ¨Theätet¨ und insbesondere von ¨Eudoxos¨ bearbeitet worden.

[Sidenote: Platon und die Mathematik.]

Und noch in einer zweiten Richtung sind wir Platon den grössten Dank

schuldig; ohne ihn und die scharfen Worte, mit denen er den gewaltigen

Wert der Mathematik für die Bildung der Jugend dargelegt hat, würde

wahrscheinlich die Mathematik ihre Stellung als Hauptfach in unseren

Gymnasien weder erhalten noch behauptet haben. In seiner Schrift vom

Staate, der »πολιτεια«, der bedeutsamsten Utopie, die je geschrieben,

in der er als der Erste den grossen Plan einer idealen staatlichen

Erziehung der Jugend ¨ins Einzelne¨ durchgeführt, entwirft, sogar

bis auf die Schulzimmer, vergleicht er die Bedeutung, welche die

Mathematik in seiner Zeit hat, mit der, welche sie haben sollte. Er

geht in seiner Wertung der Mathematik als Bildungsmittel von dem

Fundamentalsatz aus: die Wahrnehmungen zerfallen in zwei Klassen, die

einen finden eine Ergänzung durch das reine Denken, die andern nicht.

Politeia 523 heisst es: »Ich zeige dir also, wenn du es (ein)siehst,

einiges was gar nicht die Vernunft herbeiruft, es wird schon durch die

Wahrnehmung hinlänglich beurteilt, andres hingegen, was auf alle Weise

die Wahrnehmung zu untersuchen auffordert. (Ähnlich Timäos § 46.) Und

diese Untersuchung der Wahrnehmung, welche sie umprägt in Erfahrung

im Kantischen Sinne, bewirkt in erster Linie die Mathematik. Sie ist

ihm der »Paraklet«, der Wecker der reinen, vernünftigen, der wahren

Erkenntnis.

Zunächst die Arithmetik, d. h. nicht die praktische Rechenkunst, die

Logistik, sondern die wissenschaftliche Zahlenlehre, deren Hauptteil

die Lehre von der relativen Zahl, von den Verhältnissen, bildet, die

»θεά«, die innere Schau, der Zahlenverhältnisse. Und dasjenige in der

Wahrnehmung, was solche Verhältnisse liefert, das ist dadurch, das

es uns veranlasst, über die Gründe dieser Verhältnisse nachzudenken,

der Herbeirufer, der Paraklet, der reinen Vernunft. Die Betonung der

dritten Quelle, aus der unser Zahlbegriff fliesst, der Kategorie oder

Konstituente des Bewusstseins Relation, bildet ein grosses Verdienst

Platons um die Begriffsbildung in der Mathematik. Aus zahlreichen

Stellen (man vgl. auch Theon Smyrneus trad. du Grec en Français p.

J. Dupuis 1892) geht hervor, dass ihm die Zahl vorzugsweise relative

Zahl oder Masszahl ist, auf der alle Erweiterungen des Zahlbegriffs

beruhen, da die Cardinalzahl, die Vieleinheit, und die Ordinalzahl, die

Reihungszahl, eine Begriffserweiterung nicht zulassen.

Die gleiche Bedeutung wie der Arithmetik erkennt er der ¨Geometrie¨

zu. Er weiss sehr wohl, dass ihr Ursprung, der Veranlassung nach,

die Wahrnehmung, d. h. der sinnliche Eindruck ist, und spricht dies

nicht nur in der Republik, sondern auch im Timäos ganz unumwunden

aus. Aber, sagt er, der Begriff des Gleichen, die ¨Idee¨ Gleichheit,

steckt nicht in der Wahrnehmung gleicher Steine, obwohl wir ihn ohne

diese Wahrnehmung nicht hätten. [Die gleichen Steine dienten als

Rechenpfennige, daher ψηφιζειν lat. calculare für »rechnen«.] Und er

warnt nachdrücklich davor, die Wertung der Geometrie von ihrem Nutzen

für die Praxis abhängig zu machen, sondern sie lehrt und erleichtert

uns die Erkenntnis »του οντως οντος« des Wahrhaft-Seienden, der Idee,

ja sie bewirkt, dass die höchste Idee, die Idee des Guten leichter

geschaut werde.

[Sidenote: Platonische Ideen.]

Da es Platon ist, der zuerst die Bedeutung der Idealisierung für die

reine Geometrie erkannt hat, wird es nötig auf die so viel umstrittene

Platonische Ideenlehre näher einzugehen. Sie ist der Grundstein

seiner Philosophie, und zugleich von Anfang an grade durch seinen

bedeutendsten Schüler, durch ¨Aristoteles¨ missverstanden, verspottet

und entwertet worden. Nur aus dem Verständnis der Platonischen Idee

lässt sich einsehen wie viel Kant für seine transzendentale Ästhetik

des Raumes aus Platon entnommen hat. Über die Beziehung zwischen Kant

und Platon verweise ich auf einen kleinen Aufsatz in den Philos.

Arbeiten, her. von ¨H. Cohen¨ und ¨P. Natorp¨ Bd. 2 Heft 1 1908 »Über

Mathematik«.

Vom Sokrates nahm er die Betrachtung, dass dem allgemeinen (Gattungs)

Begriff jeder einzelne Gegenstand, von dem er abstrahiert wird,

zukommt. Von den Pythagoräern das Interesse für die geistigen

Prozesse der Mathematik, von den Eleaten den Grundgedanken, dass nur

dem durch die Vernunft erkannten bleibendes Sein zukommt, von den

Atomikern die Erkenntnis, dass die Zahl- und Raumbegriffe, grade weil

sie vom sinnlichen Standpunkt aus Nichts sind, das wirkliche Sein

repräsentieren und schmolz alles zusammen in seiner Idee. Durch eine

wahrhaft göttliche Eigenschaft der Vernunft wird dieselbe, und zwar

am leichtesten durch Vermittlung der Mathematik, angeregt, in den

einzelnen Erfahrungen, die das Daseiende (τὰ όντα) liefert, das dauernd

Seiende (το οντως ον), die Urbilder, die Ideen zu erschauen, Hypothesen

oder Grundlegungen der reinen Vernunft. Von ihnen als dem ewig

Seienden, obwohl in keiner einzelnen Erscheinung verkörpert, empfängt

das Daseiende sein Sein, seine Essenz, seine Substanz.

Sind die Ideen wie die des Gleichen, des Schönen, des Wahren, und

die höchste Idee, welche alle andern trägt, die des Guten erschaut,

denn Idee, ἰδέα, kommt von ιδείν (schauen), so werden ihnen die

Erscheinungen untergeordnet, und nun wird im einzelnen die Idee

geschaut, im breiten Strich die Gerade, im Ball die Kugel etc. Beim

reifen Menschen geht die Idee der sinnlichen Erscheinung voraus. »Ehe

wir also anhuben zu sehen und zu hören und die Aussenwelt wahrzunehmen,

mussten wir in uns, irgend woher genommen, die Erkenntnis des

Gleichen angetroffen haben, das, worauf wir die aus den Wahrnehmungen

stammenden Gleichheiten beziehen können« (Phaedon p. 758, Theätet p.

186 c). Die Platonische Idee nähert sich, wie aus dieser Darstellung

hervorgeht, der (idealistisch aufgefassten) Kategorie der ¨Substanz¨

einerseits, und berührt sich andererseits mit dem Begriff der ¨Kraft¨,

denn z. B. die Idee des Guten ist die Ursache aller Vollkommenheit,

sie ist gradezu die göttliche schöpferische Vernunft. Die Idee, wie

z. B. Sophist 248 A beweist, hat Bewegung, Leben, Seele, wie die

¨Leibniz¨sche Monade, sie wird öfters gradezu ἑνας oder μόνας, Einheit

genannt.

Die Stellung, welche Platon der Mathematik anweist, erinnert

unwillkürlich an Kant, auch bei Platon hat die Mathematik eine

Zwischenstellung zwischen Sinnlichkeit und Logik, auch bei ihm ist

sie »reine Sinnlichkeit a priori«, die in das Objekt der sinnlichen

Wahrnehmung, Zahl und Gestalt hineinsieht und als Ewig-Seiendes, die

»im barbarischen Schlamme der Sinnlichkeit« steckende Seele hinleitet,

im Abbilde das Urbild das wahrhaft Seiende zu sehen. In der Republ.

529 D, 520 C, im Timäos 28 heisst es: Das, was ihr Wirklichkeit

nennt, die bunten Gestalten am Himmel und auf Erden, sind nur die

Abbilder von den Urbildern in der Erkenntnis und dem Bewusstsein.

In seiner Lehrtätigkeit, welche der Hauptfaktor seines Einflusses

auf seine Zeitgenossen war, unterschied er Empfindung; Anschauung;

Hinzuziehung von Mass und Zahl -- διάνοια; und Hinzuziehung der Idee,

die transzendentale Erkenntnis, die νόησις.

[Sidenote: Raum bei Platon.]

Platon hat das Kategorische des Raumbegriffes oder besser die Idealität

des Raumes, die ja schon die »richi« der Inder empfunden haben,

scharf hervorgehoben, während er Zeit und Bewegung nicht hinlänglich

geschieden hat. Die bekannteste Stelle findet sich 50-52 des Timäos,

des schwierigsten Dialogs, welcher beweist, wie völlig Platon im Alter

unter den Bann pythagoräischer Gedankenkreise geraten war (vgl. den

zitierten Aufsatz von 1908). Es heisst da: Der Raum ist die aufnehmende

¨Mutter¨, die Idee, das reine Erzeugnis der Vernunft, der ¨Vater¨ der

Gegenstände der Wahrnehmung der Natur (50 D). Er bildet die 3. Art

der Erkenntnis, der ewige unvergängliche Raum (52 B), der uns durch

nichtsinnliche Wahrnehmung (μεθ' αναισθησιας) durch eine Art von

unechter Vernunfttätigkeit mühsam klar wird, den wir ¨mit offenen Augen

träumen¨. Das ist nichts anderes als der ideale Raum Kants, die reine

Form des äusseren Seins für das erkennende Bewusstsein als solches,

losgelöst von aller Individualität.

Seit Aristoteles und durch Aristoteles ist die Meinung verbreitet,

dass Platon Raum und Materie identifiziert hat, und ¨Fr. Ast¨ hat

dies 1816, Plat. Leben und Schriften Note p. 362 in feiner Weise

aus dem Gedankengang Platons abzuleiten versucht. Dass ich anderer

Meinung bin, habe ich schon in dem erwähnten Aufsatz der Marburger

philosophischen Arbeiten von 1908 gesagt, es handelt sich bei der

Ableitung der Körperwelt im Timäos im wesentlichen um eine Kombination

Pythagoräischer und Demokritischer Gedanken. Auf Demokrit weist auch

die so wichtige Auffassung des Punktes als ¨Streckendifferential¨,

als »αρχή γραμμής«, Ursprung der Linie. ¨Proklos¨ (Friedlein S. 88)

sagt, »aber es liegt in ihm verborgen eine unbegrenzte Macht Längen zu

erzeugen.«

So hoch das Verdienst Platons um die erkenntniskritische Untersuchung

des Raumbegriffs zu veranschlagen ist, so muss doch auch die Sage

von Platon als dem Erfinder stereometrischer Sätze als unbegründet

zurückgewiesen werden. Er hat dies selbst, so drastisch als man es nur

wünschen kann, getan. In der bekannten Stelle der Republik heisst es:

»Ausserdem aber legen sie (die Griechen) hinsichtlich der Messung von

allem was Länge, Breite, Tiefe hat eine bei allen Menschen vorhandene,

eben so lächerliche als schmähliche Unwissenheit an den Tag.«

Kleinias fragt: Welche und wie beschaffene meinst du?

¨Sokrates-Platon¨: Mein lieber Kleinias, habe ich doch selbst ¨erst

spät¨ davon gehört, wie es mit uns in dieser Hinsicht bestellt ist,

nämlich meiner Ansicht nach, nicht wie es sich für Menschen gehört,

sondern für ¨Schweine¨.

Wie es mit den Griechen in dieser Hinsicht bestellt war, erfahren wir

aus Thukydides, wo die Griechen den Inhalt einer Insel dem Umfang

proportional setzen. Platon ist sicher kein Erfinder stereometrischer

Sätze gewesen, sein Verdienst ist auch hier ein methodisches. Durch

seinen Umgang mit ¨Archytas¨ und ¨Eudoxos¨ hat er die Bedeutung der

Stereometrie erkannt, und die ihm zuteil gewordene Anregung auf seine

Schüler übertragen, die denn auch nicht ermangelten die Stereometrie zu

fördern.

[Sidenote: Platon als Mathematiker.]

Eben so falsch ist es, dass Platon die sogen. ¨Analysis¨ zur Lösung

der Konstruktionsaufgaben erfunden habe. Dass Platon die analytische

Methode gekannt hat, geht unwiderleglich aus ¨Menon¨ S. 87 bei der

Frage, ob ein gegebenes Dreieck in einen gegebenen Kreis eingetragen

werden könne, hervor. ¨Proklos¨ p. 58: Sie überlieferten die

trefflichste Methode, und zwar die, welche durch die Analyse das

Gesuchte auf ein anerkanntes Prinzip zurückführt, welche auch ¨Platon,

wie sie sagen¨, dem Laodamas hinterliess, mit der dieser vieles in der

Geometrie gefunden haben soll, dann aber auch jene, die auf genauer

Einteilung beruht, welche Platon ebenfalls stark betonte. (Für letztere

Methode denke man an die Untersuchungen über die Beziehungen zwischen

Gerade und Gerade, Gerade und Kreis etc.) Bei ¨Diogenes Laertios¨ III,

25 heisst es:

Πρωτος ὁ Πλατων τον κατα την αναλυσιν της ζητησεως τροπον εισηγησατο

Λεωδαμαντι τω Θασιω

Aber Pappos, der im Buch VII seiner Kollektaneen, diesem Inventar

Hellenischen Könnens, sehr ausführlich über die Analysis gehandelt

hat, erwähnt mit keinem Wort des Platon. Die Sage liebt es eben, alle

Heldentaten auf das Haupt des Haupthelden zu häufen.

Aber die Sache ist an sich klar, in dem oben erwähnten Überrest der

Arbeit des ¨Hippokrates¨ ist die analytische Methode angewandt,

und jede Gleichung ist ein Beispiel derselben, die Verwandlung des

Rechtecks in ein Quadrat bei den Indern (S. 159) ist ohne Analyse

unmöglich, und im Grunde verfährt jeder Künstler analytisch. Erst muss

das Kunstwerk, der Plan des Architekten, im Kopfe fix und fertig sein,

ehe der erste Pinselstrich, der erste Spatenstich erfolgen kann. Die

Definition von Analysis findet sich Euklid XIII, 5 und sie rührt, wie

¨Bretschneider¨, Geometrie und Geometer vor Euklides, bemerkt hat, von

¨Eudoxos¨ her: Analysis ist die Annahme des Gesuchten als zugestanden

durch die Folgerung hindurch bis zu einem als wahr Bekannten.

¨Platon¨ hat als ¨Philosoph¨ auf die Bedeutung der analytischen Methode

für die Konstruktion und als Beweismittel in jeder Wissenschaft

aufmerksam gemacht und grade an der angeführten Stelle Menon S. 87

wird die mathematische Anwendung als Beispiel gebraucht, weil sie

besonders einfach ist und Plato sagt selbst: Ich brauche den Ausdruck

»Aus der Voraussetzung« so, wie oft die Geometer argumentieren. Ebenso

apokryph ist die unter Platons Namen gehende Lösung des ¨Problems der

Würfelverdoppelung¨. In meinem Urteil über Platon den Mathematiker

schliesse ich mich völlig ¨Blass¨ an, der seine Dissertation de Platone

Mathematico also beendet: nam si amicus Plato, amicior tamen veritas:

et is quoque, qui scientiae amorem aliis iniecit, de scientia bene est

meritus.

Die Würfelverdoppelung.

[Sidenote: Würfelverdoppelung (Delisches Problem).]

Dies Problem, das sogen. erste Delische Problem, ist eins der drei

grossen Probleme: Würfelverdoppelung, Winkel- oder Bogenteilung

(Kreisteilung), Quadratur des Zirkels, an deren Bewältigung sich die

Hellenische Mathematik zu ihrer bewundernswerten Höhe entwickelt

hat. Die beiden ersten Probleme sind von den Pythagoräern und ihren

Ausläufern, unmittelbar nachdem sie durch die nach Pythagoras genannte

Satzgruppe die Probleme, welche auf Gleichungen zweiten Grades führen,

bewältigt hatten, in Angriff genommen worden. Diese Tatsache liefert

einen klaren Beweis, dass der eigentlich leitende Gesichtspunkt der

Hellenen der arithmetische war und dass die Griechen schon zu jener

Zeit klar den Satz des ¨Vieta¨ erkannten, dass mit der Vervielfältigung

des Würfels und der Trisektion des Winkels die Gleichung dritten (und

vierten) Grades allgemein gelöst sei.

In drei aufeinanderfolgenden Programmen von Linz hat ¨Ambros Sturm¨

1895, 96, 97 eine vortreffliche Geschichte »des Delischen Problems«

geliefert, im Anschluss an ¨Montuclas¨ Quadrature du cercle. Über

den Ursprung unseres Problems berichtet ein Brief das ¨Eratosthenes¨

(s. u.), den ¨Eutokios¨, Bischof von Askalon, geb. 480 n. Chr., in

seinem Kommentar zu Archimedes Kugel und Zylinder überliefert hat.

»¨Eratosthenes¨ wünscht, dass es dem Könige Ptolemaios wohlergehe.

Es wird erzählt, dass ein alter Tragiker, den Minos eingeführt habe,

der dem Glaukos ein Grabmal erbauen lassen wollte, und als er dabei

bemerkte, dass es nach allen drei Dimensionen 100 Fuss mass, soll er

gesagt haben:

Zu klein hast du des Königs Grab mir angelegt,

Drum dopple es, doch nicht vergiss der schönen Form,

Verdopple jede Kante schnell des Grabs.

Er schien aber sich geirrt zu haben, denn durch Verdopplung der Seiten

wird das ebene Feld vervierfacht, der Raum verachtfacht. Seitens der

Geometer wurde nun geforscht, wie man einen Körper unter Beibehaltung

seiner Gestalt verdoppeln könne und man nannte dies Problem die

Würfelverdopplung (κυβου διπλασιασμός), denn vom Würfel ausgehend

suchten sie diesen zu verdoppeln. Während aber alle lange Zeit nicht

aus noch ein wussten, wurde es zuerst dem ¨Hippokrates von Chios¨ klar,

dass der Würfel verdoppelt werden würde, wenn zwischen zwei Strecken,

von denen die grössere das Doppelte der kleineren ist, zwei mittlere

Proportionalen in stetiger Proportion gefunden wären. So verwandelte er

diese Schwierigkeit in eine andere nicht geringere.

Nach einiger Zeit sollen einige Delier, welche durch einen Orakelspruch

zur Verdoppelung eines Altars gedrängt wurden, in dieselbe Verlegenheit

geraten sein. Und sie sollen die Geometer aus der Umgebung des ¨Platon¨

in der Akademie gebeten haben das Gesuchte zu finden. -- Die letztere

Version war im ganzen Altertum verbreitet, z. B. ¨Theon von Smyrna¨

(aus einer andern nicht weiter bekannten Schrift des Eratosthenes

»Πλατωνικός« (Ambros Sturm), Plutarch an 2 Stellen »De genio Socratis«

VII; De ει apud. Delphos VI, Joh. Philopömos, (Commentator des

Aristoteles; Προλεγόμενα της πλάτωνος φιλοσοφίας), Vitruv, Valerius

Maximus. Wir sehen hier einen der deutlichsten Beweise für ¨den

Zusammenhang der hellenischen Mathematik mit der indischen¨, nur dass

die Inder, entsprechend der früheren Entwicklungsstufe die Fläche

verdoppeln, d. h. sich mit der quadratischen Gleichung begnügen,

während die Pythagoräer, das kulturelle Problem von den Indern

aufnehmend, das Volumen verdoppeln, d. h. zur Gleichung 3. Grades

fortschreiten.

[Sidenote: Archytas.]

Die älteste Lösung zufolge Eutokios Bericht aus Eudemos (nach

¨P. Tannery¨ aus ¨Sporus¨, der etwa um 300 n. Chr. Eudemos benutzt

hat) ist die des ¨Archytas¨ aus Tarent, den ¨Horaz¨ in der Ode 28 des

Buch I erwähnt »te maris et terrae numeroque carentis arenae mensorem

cohibent, Archyta«, der etwa 430 bis 365 zu setzen ist, wo er durch

Schiffbruch am Kap Matinum den Tod fand. ¨Platon¨ hatte bei seiner

ersten Reise nach Sizilien die Bekanntschaft des als Staatsmann,

Philosoph und Mathematikers gleich ausgezeichneten Pythagoräers

gemacht, und stand mit ihm in Briefwechsel. Archytas soll seinerseits

den Platon in Athen wiederbesucht haben. Von den Schriften, die unter

seinen Namen auf uns gekommen sind, ist fast alles als unecht erwiesen.

Seine Lösung des Delischen Problems, die bedeutendste von allen, zeigt

ihn als erstklassigen Mathematiker. Ich gebe den Wortlaut (s. Figur).

[Illustration]

ΑΛ und Γ mögen die beiden gegebenen Strecken darstellen, verlangt

zwischen ΑΛ und Γ zwei mittlere Proportionalen zu finden. -- Um die

grössere, nämlich ΑΛ, möge der Kreis ΑΒΛΖ beschrieben werden und ihm

werde die Γ gleiche [Sehne] ΑΒ eingefügt, und ausgezogen soll diese

mit der in Λ berührenden [Linie] des Kreises in Η zusammentreffen.

Neben [παρά d. h. parallel] ΗΛΟ möge ΒΕΖ geführt werden, auch ein

Halbcylinder ersonnen werden senkrecht auf den Halbkreis ΑΒΛ und ein

senkrechter Halbkreis auf ΑΛ, welcher in dem Parallelogramm (dem

Achsenschnitt) des Cylinders liegt.

Wird nun der Halbkreis herumgeführt in der Richtung von Λ nach Β,

während der Endpunkt Α des Durchmessers fest bleibt, so wird er die

cylindrische Fläche schneiden und in ihr eine Linie einzeichnen. Und

wenn wiederum herumgedreht wurde [und zwar] bei beharrender [Linie] ΑΛ

das Dreieck ΑΒΛ, in dem Halbkreis entgegengesetzter Bewegung, wird es

für die Strecke ΑΗ eine Kegelfläche erzeugen. Und diese wird bei der

Drehung die Linie auf dem Cylinder in einem gewissen Punkte treffen,

und zugleich wird auch [Punkt] Β einen Halbkreis in der Kegelfläche

beschreiben. An dem Orte des Zusammentreffens der Linien habe nun der

bewegte Halbkreis eine Lage wie etwa Λ′ΚΑ, das entgegengesetzt gedrehte

Dreieck die von ΑΗ′Λ, und der Punkt des besagten Zusammentreffens sei

Κ. Und der von Β beschriebene Halbkreis sei ΒΜΖ und sein Schnitt mit

ΒΛΖΑ sei die [Sehne] ΒΖ. Und es werde von Κ auf die Ebene des Halbkreis

ΒΛΑ das Lot gezogen, so wird es auf die Peripherie des Kreises fallen

wegen des Senkrechtstehens des Cylinders. Es falle also und sei ΚΙ und

die von Ι an Α geknüpfte Linie treffe ΒΖ in Θ, und ΑΗ′ den Halbkreis

ΒΜΖ in Μ. Es möge auch ΚΛ′, ΜΙ, ΜΘ gezogen werden. Da nun jeder der

Halbkreise ΛΚΑ und ΒΜΖ senkrecht steht zur Grundebene, so steht auch

ihr gemeinsamer Schnitt senkrecht zur Ebene des Kreises, daher steht

auch ΜΘ senkrecht auf ΒΖ, das heisst das Rechteck aus ΘΑ und ΘΙ ist

gleich dem Quadrat über ΜΘ. Folglich ist das Dreieck ΑΜΙ jedem der

Dreiecke ΜΙΘ, ΜΑΘ ähnlich, und ist rechtwinklig. Aber auch das Dreieck

Λ′ΚΑ ist rechtwinklig; folglich sind die [Linien] ΚΛ′ und ΜΙ parallel,

und es wird das Verhältnis bestehen wie ΛΑ zu ΚΑ, ebenso ist ΚΑ zu ΑΙ

und so auch ΙΑ zu ΑΜ wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke, also sind die

4 (Strecken) ΛΑ, ΑΚ, ΑΙ, ΑΜ der Reihe nach in Proportion und ΑΜ ist

gleich Γ, da sie gleich ΑΒ ist. Zu den beiden gegebenen ΑΛ und Γ sind

also die beiden mittleren Proportionalen gefunden worden ΑΚ u. ΑΙ.

Analytisch geometrisch ist diese Konstruktion, welche ein glänzendes

Zeugnis von dem Können des Archytas ablegt, sehr leicht zu

verifizieren. Wählt man ΑΛ als Abscissenaxe, Α als Anfangspunkt, und

die Tangente in Α an den Kreis ΑΒΛ als Ordinatenaxe, so ist, wenn Κ {

x, y, z; ΑΛ = a und Γ = ΑΒ = b gesetzt wird, da Κ auf Zylinder, Kegel

und Wulst liegt:

1) x^2 + y^2 = ax (Gleichung des Cylinders); 2) x^2 + y^2 + z^2 =

(a^2/b^2)x^2 (Gleichung des Kegels durch doppelten Ausdruck des Cosinus

des konstanten Öffnungswinkels) 3) x^2 + y^2 + z^2 = ắ√(x^2 + y^2)

(Gleichung des Wulstes). Daraus für Punkt Κ: ắ√(ax) = a^2x^2 : b^2 und

a^3x = a^4x^4 : b^4; x^3 = b^4 : a; x = b∛(b : a), √(x^2 + y^2) = ΑΙ =

∛(ab^2) und √(x^2 + y^2 + z^2) = ΑΚ = ∛(a^2b), also ΑΛ : ΑΚ = ΑΚ : ΑΙ =

ΛΙ: ΑΒ.

Dass ¨Archytas¨ seine Konstruktion analytisch d. h. von der gelösten

Aufgabe aus rückwärts gehend gefunden, unterliegt keinem Zweifel und

ebensowenig die Ansicht ¨Bretschneiders¨, dass er vom rechtwinkligen

Dreieck ΑΚΛ′ ausging und ΑΙ auf ΑΚ projizierte.

Die Lösung des Archytas wird bestätigt durch den oben besprochenen

Brief des Eratosthenes, durch Vitruv und Diogenes Laërtios (200

n. Chr.). Wir sehen hier wie hoch etwa um 400 die Kenntnisse der

Pythagoräer stehen; der Potenzsatz (der zweite Hauptsatz vom

Kreise), die Sätze vom rechtwinkligen Dreieck und ihre Umkehr, die

Ähnlichkeitslehre, die Anwendung der Bewegung zur Konstruktion,

allerdings nach dem Vorgang des ¨Hippias¨ von ¨Elis¨ und seiner

Quadratrix (s. u.)

Der Satz: »Stehen 2 Ebenen auf einer dritten senkrecht, so steht ihre

Schnittgerade auch auf dieser senkrecht«, die Kenntnis und Benutzung

der geometrischen Orte; Schnitt eines Cylinders und eines Kegels, und

damit die erste ¨Raumkurve¨, der Wulst und sein Schnitt, die erste

von Proklos »¨spirische¨« benannte Linie, und überhaupt so grosse

stereometrische Kenntnisse, dass es klar wird, dass die Pythagoräer,

vor allem ¨Archytas¨ die Lehrer des Platon gewesen sind, und ¨nicht¨

umgekehrt, wie das ja die oben zitierte Stelle der Gesetze bestätigt.

[Sidenote: Eudoxos.]

Die nächste Lösung führt uns auf den grössten Mathematiker und Astronom

zur Zeit des Platon, auf ¨Eudoxos¨ von ¨Knidos¨, dessen Ruhm durch

den des Platon lange verdunkelt ist und den die zusammenfassende

Geschichte der Mathematik bisher zu stiefmütterlich behandelt hat. Die

Programme von ¨H. Künssberg¨, Dinkelsbühl 1888-90, der Astron., Math.

und Geograph E. v. Knidos, werden ihm gerecht. ¨Eudoxos¨ auf allen

drei Gebieten und auch auf dem der Gesetzgebung gleich bedeutend,

ist etwa um 410 zu Knidos, einer dorischen Stadt in Karien, an der

Küste von Kleinasien, aus armer Familie hervorgegangen, früh kam er

in das ebenfalls dorische Tarent und genoss dort in Mathematik und

Astronomie den Unterricht des grössten Pythagoräers, des ¨Archytas¨.

Etwa 23 Jahre alt ging er nach kurzem Aufenthalt in Athen, wo er

Platon gehört haben soll, nach Ägypten, vermutlich als Begleiter eines

Arztes Chrysippos, mit Empfehlung des Sparterkönigs ¨Agesilaos¨ an

Nektanebos (Necht-Harebhēt). Die Reise fällt gegen 380, da etwa von

394-380 Nektanebos den Aufruhr seiner Ägypter bekämpfen musste. Dort

verkehrte er in Heliopolis mit den Priestern insbesondere mit dem

Priester Chonuphis und indem er völlig ihre Sitten annahm (ξυρομενος τε

ιβην και οφρυς, geschoren am Scham und Augenbrauen) bekam er Einblick

in das riesige astronomische Beobachtungsmaterial und dort schrieb er

seine Octaëteris etwa um 375, vergl. ¨A. Boeckh¨: Über die vierjährigen

Sonnenkreise der Alten 1863. Die Octaëteris ist eine 8jährige Periode

zum Ausgleich des Mond- und Sonnenjahres. 8 · 354 + 3 · 30 = 2922 =

8 · 365-1/4.

Etwa um 370 in der Akme gründete er in Kyzikos in Mysien (Panorma am

Marmorameer) eine Hochschule, die rasch zu grosser Blüte gelangte,

aber schon nach wenigen Jahren trieb ihn sein rastloser Bildungseifer

in die Weite. Zunächst zog er nach Athen und führte eine grosse Anzahl

seiner Schüler dem Platon zu, darunter die bedeutendsten Mathematiker

der Akademie, wie ¨Menaichmos¨, den eigentlichen Entdecker der

¨Kegelschnitte¨, ¨Dinostratos¨, der den Nutzen der Kurve des Hippias

von Elis für die Quadratur des Zirkels erkannte und ihr den Namen

Quadratrix, τετραγωνίζουσα, verschaffte, Athenaios, Helikon etc. Von

Athen zog er nach Sizilien und studierte dort unter dem italischen

Lokrer ¨Philistion¨, vermutlich auch ein Pythagoräer, Medizin. Dann

kehrte er von Knidos zurück, mit grossen Ehren empfangen, und schuf für

die Stadt neue Gesetze.

Unsere fast einzige Quelle über Eudoxos ist Diogenes Laertios, die

sich aber auf gute Autoritäten wie Kallimachos, Sotios, Nikomachos,

Eratosthenes stützt. Sonst haben wir nur eine kurze Notiz in der

Ethik des Aristoteles 172, b. 15, wonach er Hedoniker etwa im Sinne

Demokrits war und in dem bekannten Lexikon des Suidas, der zwar die

drei sehr gelehrten Töchter des Eudoxos mit Namen nennt, aber über ihn

selbst so gut wie nichts sagt. Doch gibt Aristoteles seinem Charakter

ein günstiges Zeugnis. Aber über die wissenschaftliche Bedeutung des

Mannes war das ganze Altertum einig, und ich kann dafür auf ¨Cicero¨

verweisen, den ich, wie sehr Sie auch sein Cato major, sein Lälius,

seine Officien gelangweilt haben mögen, als ¨Historiker¨ nicht zu

unterschätzen bitte. Diogenes Laertios berichtet, dass er in Knidos

statt »Eudoxos« in »Endoxos« umgetauft wurde, d. h. der Anerkannte

und Eratosthenes nennt ihn, den Astronomen, Mathematiker, Geographen,

Philosophen, Mediziner, Staatsmann, der an die »Allmenschen« des

Cinquecento an Leonardo da Vinci und Michelangelo erinnert, den

»Göttergleichen« in dem Epigramm: »θεουδεος Ευδοξοιο καμπυλον εν

γραμμαις ειδος.«

Auch Platon hatte die höchste Achtung vor Eudoxos als Mathematiker, wie

aus seiner 13. Epistel hervorgeht und aus der Angabe bei Plutarch, dass

er die Delier an den Eudoxos verwiesen habe. Er starb 53 Jahre alt um

356.

[Sidenote: Lösung des Delischen Problems von Eudoxos.]

Seine Lösung des Delischen Problems übergeht Eutokios, die kurze

Andeutung bei Eratosthenes war ihm unverständlich, und die ihm

vorliegende Lösung fehlerhaft überliefert. Eratosthenes sagt in dem

zitierten Briefe: »Während nun diese (die Geometer der Akademie)

sich arbeitsfreudig drangaben und zu zwei gegebenen zwei mittlere

zu fassen suchten, soll sie Archytas der Tarentiner mittelst des

Halbcylinders gefunden haben und Eudoxos von Knidos mittelst der

bogenförmig (καμπύλον) genannten Linien. Das Wort Kampylos bedeutet

»gekrümmt« insbesondere gekrümmt nach Art des Kriegsbogens der Griechen

[**symbol], den ¨Homer¨ stets mit diesem epitheton ornans bezeichnet.

Es ist ¨P. Tannery¨ gelungen (Sur les solutions du problème de Delos

par Archytas et par Eudoxe, Mém. de Bordeaux Ser. 2, T. II Paris

1878 p. 277), die naturgemäss eng an Archytas anschliessende Lösung

des Eudoxos wiederherzustellen, dadurch dass er erkannte die Kurve

müsse ein dem griechischen Kriegsbogen ähnliches Aussehen haben und

daraufhin, nicht wie V. Flauti, Geom. di sit. Napol. 1842, 3. Aufl.

die Projektion der Schnittkurve des Wulstes und des Kegels auf die zx

Ebene, sondern auf den Grundkreis, auf die xy Ebene, untersuchte.

[Illustration]

Eudoxos betrachtete die Schnittkurve des Wulstes und des Kegels, d. h.

also er sah zunächst davon ab, dass Punkt Ι der Figur[*] auf der

Peripherie des Grundkreises liegt, immer ist: ΑΘ^2/(ΑΜ^2) = ΑΙ^2/(ΑΚ^2)

= ΑΙ/ΕΔ oder I: ΑΘ^2 = b^2/aΑΙ.

[*] In der Figur ist Θ durch Q, ξ durch ζ, und Ι durch S ersetzt.

Dadurch ist die Projektion eines Punktes Κ der Schnittkurve und

damit ihre Projektion auf die xy Ebene, die Ebene des Grundkreises,

definiert. Sowohl ihre Gleichung wie ihre Konstruktion ist nun ohne

weiteres klar, sobald man noch nachgewiesen, dass Αξ = ΑΘ, wo Αξ die

Abscisse x von Ι (und Κ).

Es ist: ΑΘ/ΑΕ = ΑΙ/Αξ oder ΑΘ . x = ΑΕ . ΑΙ = b^2/a . ΑΙ also nach

Ι x = ΑΘ also die Gleichung der Kurve ΑΙ^2 = x^2 + y^2 = a^2x^4/b^4

d. h. also eine durch die Substitution ξ = x^2, η = y^2 transformierte

Parabel, welche Tannery analytisch untersucht hat. Ihre geometrische

Konstruktion ist äusserst einfach vergl. die Fig. 1 und das richtige Ι

der Punkt wo diese Kurve den Halbkreis schneidet.

Es ist nach Konstruktion: ΑΘ^1 = Αξ^1 und ΑΙ^1/(Αξ^1) = ΑΘ^1/ΑΕ, oder

ΑΘ′^2 = ΑΙ′ . ΑΕ und da ΑΒ^2 = a . ΑΕ so ist ΑΘ′^2 = ΑΙ′b^2/a somit Ι′

ein Punkt des Ortes.

[Sidenote: Mechanische Lösung von Eudoxos (Platon).]

Vom Eudoxos rührt m. E. auch die Konstruktion her, welche Eutokios dem

Platon zuschreibt. ΑΒ und ΒΓ, s. Fig., seien die gegebenen Strecken;

man verlängere sie nach Δ und Ε, so dass ΑΕΔ und ΓΔΕ rechte Winkel

sind, dann ist nach der Satzgruppe des Pythagoras ΓΒ : ΒΔ = ΒΔ : ΒΕ =

ΒΕ : ΑΒ.

[Illustration]

[Illustration]

Die Punkte Δ und Ε lassen sich auf mechanischem Wege leicht

finden mittelst zweier aufeinander verschiebbarer rechten Winkel

(Winkelhaken); es wurde ein eigenes Hilfsinstrument (siehe Figur)

angefertigt, durch einen beilförmigen Einschnitt β in die Lineale

(κανών, Kanon) wurde dafür gesorgt, dass sich ΚΔ nur parallel zu

ΗΘ bewegen konnte, die nähere Beschreibung siehe man bei A. Sturm

l. c. p. 50. Die ganze Konstruktion ist so unplatonisch wie möglich,

wir wissen dass gerade auf Platon die strenge Beschränkung der

geometrischen Hilfsmittel auf Zirkel und Lineal zurückgeht, dass er die

sogenannte Neusis, die Einschiebung von Strecken auf mechanischem Wege

verpönte. Ausserdem berichtet Plutarch ganz ausdrücklich Quaest, conv.

VIII p. c. 1: Platon ¨tadelte¨ Eudoxos, Archytas und Menaichmos, weil

sie die Verdoppelung eines Körpers auf instrumentale und mechanische

Apparate zurückführten. Dagegen passt sowohl die Anwendung des

Satzes von der Höhe im rechtwinkligen Dreieck, den auch ¨Archytas¨

anwandte und die Lösung mittelst eines Instrumentes sehr gut auf

Eudoxos, der als leidenschaftlicher Astronom mit Apparaten durchaus

vertraut war. Ich schliesse hier gleich den Bericht über ¨Eudoxos¨

Gesamtleistungen an. Von Eudoxos rührt fast sicher das ganze 5. Buch

der Elemente des Euklid her, die so diffizile Lehre vom Streckenbuch,

und zwar wörtlich; man vergl. ¨Proklos¨, ed. Friedlein p. 68 und s. u.

Euklid. Und ein Scholion der lat. Ausgabe der 6 ersten Bücher Basel

1550 zum 5. Buch des »Adelos« und im prächtigen Codex des Euklid aus

der Sammlung Mazarin ist von ¨Knoche¨ als von ¨Proklos¨ herrührend

erkannt, es heisst da: Einige sagen dass dieses Buch die Erfindung des

Eudoxos sei, -- und das wird direkt bestätigt durch weitere Scholien

(¨Knoche¨ 1865) und indirekt dadurch, dass Buch 7 der Elemente die

Lehre von den Proportionen für ganze Zahlen noch einmal aufnimmt,

ohne irgend eine Rücksicht auf das 5. Buch. Von Eudoxos rühren die

fünf ersten Sätze des XIII. Buchs samt der Definition von Analysis

und Synthesis her, vermutlich auch ein ganzer Teil der weiteren Sätze

über die 5 Platonischen Körper. Eudoxos, der als grosser Astronom auf

das genaueste mit der Sphärik vertraut war, ist wohl der eigentliche

Schöpfer der später von Theodosios bearbeiteten Sphärik.

Für eine Anzahl wichtigster Sätze der Stereometrie haben wir das

schwerwiegende Zeugnis des ¨Archimedes¨, der in seiner Quadratur der

Parabel, der ersten grossen Leistung der Integralrechnung, das nach

ihm benannte jetzt so viel besprochene Prinzip älteren Geometern

vindiziert, welche damit bewiesen, dass Kreise sich wie die Quadrate,

Kugeln wie die Kuben ihrer Durchmesser verhalten, ferner dass jede

Pyramide der dritte Teil des Prisma von gleicher Grundfläche und Höhe,

jeder Kegel der dritte Teil des Cylinders von gleicher Basis und

Höhe sei. Alles das haben sie durch Annahme des aufgestellten Lemma

bewiesen. Hier wurde Eudoxos Name nicht genannt. Aber in der Einleitung

zum ersten Buch seiner Schrift: περι σφαιρας και κυλινδρου. heisst

es: »Ebenso verhält es sich mit vielen von ¨Eudoxos¨ über die Körper

aufgefundenen Sätzen, die Beifall erhalten haben z. B. dass jede

Pyramide etc., jeder Kegel etc. Denn obgleich diese Sätze über diese

Gebilde schon früher experimentell bekannt waren, so traf es sich doch,

obgleich es vor Eudoxos viele erwähnenswerte Geometer gab, dass sie von

keinem begrifflich erkannt und auch von keinem folgerichtig bewiesen

wurden.«

Demnach hat Eudoxos auch einen bedeutenden Anteil am XII. Buch der

Elemente. Im besonderen sind die wertvollen Beweise XII, 2 -- XII, 10

Eigentum des Eudoxos, und indem sie sich eng an die Definitionen und

Sätze des 5. Buches anschliessen, geben sie wie ¨L. Ofterdinger¨

bemerkt hat, zugleich einen Beweis für das Eigentumsrecht des Eudoxos

auf Buch V. Freilich müssen wir das mathophilosophische Verdienst des

Eudoxos jetzt nach dem Ephodion erheblich einschränken. Das Prinzip

der Exhaustionsmethode des Euklid ist im Grunde nichts weiter als das

unendlich kleine des ¨Demokrit¨, das Eudoxos den Hellenen mundgerecht

gemacht hatte, welche vor der rücksichtslosen Kühnheit, mit der

Demokrit seine Differentiale der Masse und des Raumes einführte,

scheuten. Es ist so ziemlich derselbe Vorgang, welcher sich in der

Neuzeit abspielte, als die Fluxion, das Moment des ¨Newton¨, das

»infiniment petit« des Leibniz von Lagrange durch die Ableitung ersetzt

wurde.

[Sidenote: Das Weltsystem des Eudoxos.]

So gross die Leistungen des Eudoxos auf mathematischem Gebiete waren,

so bedeutend er als Geograph war durch seine »γης περιοδος«, eine

umfassende Länder- und Völkerkunde, am grössten steht er doch als

Astronom da. So leidenschaftlich war seine Liebe zur Sternkunde,

dass er wie Plutarch erzählt, geäussert hat »Ich wünschte auf die

Sonne zu kommen um die Gestalt und Grösse des Gestirnes kennen zu

lernen und wäre es auch um den Preis, wie Phaëton zu verbrennen«.

An den verschiedensten Punkten des Orbis terrarum hat er die Sterne

beobachtet, noch ¨Strabo¨ wurde seine Warte bei Heliopolis gezeigt,

auch eine eigentümliche Sonnenuhr αραχνη (Spinne, wohl von der

Ähnlichkeit mit dem Netze einer Spinne) hat er konstruiert. Wir

verdanken die Kunde seines Weltsystems, ¨des ersten¨, das ¨streng

mathematisch¨ die Bewegungen der Gestirne zu erklären suchte,

Aristoteles in der Metaphysik und besonders dem so wichtigen

Commentar des Simplicius zu Aristoteles de coelo, auf den gestützt

¨I. K. Schaubach¨ in seiner klassischen Geschichte der griech.

Astron. bis auf Eratosthenes Gött. 1802 und der grosse Chronologe

¨Chr. L. Ideler¨ 1806 und besonders 1828, 29 Eudoxos als Astronom

würdigen konnten. Die völlige Aufklärung gab der hervorragende

italienische Astronom ¨G. V. Schiaparelli¨ in Le sfere omocentriche

di Eudosso, di Calippo e di Aristotele (Mil. 1875), gelesen bei

Gelegenheit des 400. Geburtstags des Copernicus zu Mailand 20. Febr.

1875, deutsch von W. Horn im Supplementband des Schlömilch von 1877.

Er konnte dabei schon einen von ¨Brunet de Presle¨ aus dem Nachlass

des bedeutenden Historikers der Mathematik ¨Letronne¨ in den Not.

et extraits des Manscr. de la bibl. imp. T. 18, p. I Par. 1865

veröffentlichten Papyrus des Louvre benutzen, der vermutlich ein aus

190 v. Chr. stammendes Kollegienheft einer alexandrinischen Vorlesung

über Astronomie ist. Ich folge hier im Wesentlichen Schiaparelli und

¨Künssberg¨ Th. I 1889.

Das Prinzip von dem Eudoxos ausging, war dasselbe, dem wir ¨Kepler's¨

harmonice mundi verdanken und das bewusst oder unbewusst jeder annimmt,

das Prinzip: der Kosmos ist nach einem einzigen allgemeinen Gesetze

geordnet. Schiaparelli sagt: »den griechischen Astronomen fehlte das

physikalische Gesetz der allgemeinen Schwere, sie mussten sich daher

an geometrische Gesetze halten«. Nun aber bot der tägliche Umschwung

des Fixsternhimmels eine gleichförmige Kreisbewegung dar und ebenso

schienen die monatlichen und jährlichen Bewegungen des Mondes und der

Sonne gleichförmig in Kreisbahnen vor sich zu gehen. Die Planeten,

besonders die oberen, zeigten zwar grosse Unregelmässigkeiten, sie

beschrieben ja ganz verwickelte Schleifenlinien, aber man entnahm aus

dem obigen Prinzip das Axiom, es müssten sich alle diese Abweichungen

aus dem Zusammenwirken von mehreren gleichförmigen Kreisbewegungen

erklären lassen. Dies Axiom soll nach Gemīnos (Géminus), isagoge

eis phaenomena Cap. I, von den ¨Pythagoräern¨ herrühren und hat die

theoretische Astronomie bis Galilei und Newton beherrscht.

¨Schiaparelli¨ sagt: »Eine andere Bedingung, der sich die, welche

zuerst über den Bau des Universums nachdachten, fügen mussten, war

diese, für denselben die grösste Einfachheit und Symmetrie anzunehmen.

Da bildeten im System des Philolaos (s. Pythagoräer) die Bahnen der

Himmelskörper ein System von Kreisen, die um ein gemeinsames Zentrum

beschrieben wurden, und dieselbe Regel oder wenigstens eine ähnliche

ist in den verschiedenen Systemen des Platon beobachtet. [Timaios 11].

An dieser Grundanschauung hielt auch Eudoxos fest und stellte sich

vor, dass alle seine Sphären konzentrisch um die Erde gleichmässig

beschrieben seien, weshalb ihnen später der Name homozentrische

Sphären beigelegt wurde. Durch diese Anschauung wurde das Problem viel

schwieriger, weil dadurch diesen Sphären jede fortschreitende Bewegung

genommen wurde und dem Geometer zur Erklärung ihrer Bewegung nichts

anderes übrig blieb als die Kombination ihrer Rotationsbewegung, aber

dem Bau der Welt wurde dadurch eine Eleganz bewahrt, von welcher die

Konstruktionen des Hipparch [von Rhodos], des Ptolemaios und alle

andern, selbst des Copernicus weit entfernt blieben und die bis Kepler

ihresgleichen nicht wiederfand.« --

¨Eudoxos¨ dachte sich ungefähr wie Platon, dass jeder Himmelskörper

von einer um zwei Pole in gleichförmiger Rotation drehbaren Sphäre

in kreisförmige Bewegung versetzt würde. Er nahm ausserdem an, dass

derselbe in einem Punkt des Äquators dieser Sphäre befestigt sei.

Zur Erklärung der Planetenbewegung genügte diese Hypothese nicht,

Eudoxos setzte deshalb fest, dass die Pole der den Planeten tragenden

Sphäre nicht unbeweglich bleiben, sondern von einer grösseren, der

ersten konzentrischen getragen würden, welche gleichförmig und mit

einer ihr eigentümlichen Geschwindigkeit um zwei von den vorigen

verschiedene Pole rotiere. Da auch dies noch nicht genügte, so liess

er die Pole der zweiten auf einer dritten konzentrischen grösseren

Kugel fest sein; welche wieder ihre besonderen Pole und ihre besondere

Geschwindigkeit besass. Und wo drei Sphären nicht ausreichten, nahm

er noch eine vierte hinzu, welche die drei ersten umschloss und die

zwei Pole der dritten enthielt, und mit eigener Geschwindigkeit um

ihre Pole rotierte. Für Sonne und Mond fand er 3 Sphären bei passender

Wahl der Geschwindigkeiten, der Pole und der Neigungswinkel genügend,

für die 5 anderen Planeten fand er 4 Sphären nötig. Die bewegende

Sphäre eines jeden Planeten machte er völlig unabhängig von denen der

anderen. Für die Fixsterne genügte eine einzige Sphäre um die tägliche

Bewegung hervorzubringen. Für die Sonne hätte er mit zwei Sphären

auskommen können, da er die sogen. Anomalie, die ungleiche Dauer der

Jahreszeiten, d. h. die Ungleichförmigkeit der Geschwindigkeit nicht

berücksichtigte, aber er glaubte an eine geringfügige Veränderung der

Sonnenbreite in bezug auf die Ekliptik. Somit hatte er 27 Sphären nötig.

[Illustration]

Hier die Figur, das Abbild eines von Künssberg nach Eudoxos

konstruierten Planetolabium ist durchaus geeignet das System klar zu

machen. Kreis I dient dazu die tägliche, Kreis II die Bewegung in der

Ekliptik, Kreis III die Abweichung von der Ekliptik, Kreis IV die

Ungleichförmigkeit des Planeten in Bezug auf Geschwindigkeit und

Richtung zu erklären. Ich hebe hervor, dass Eudoxos den Neigungswinkel

von etwa 5° der Mondbahn gegen die Ekliptik kannte und damit dem

¨Babylonischen Saros¨ von 6585-1/8 Tagen und dass auch die Reihenfolge

der Planeten die ¨Babylonische¨ ist. Ich muss für weiteres auf

¨Schiaparelli¨ und ¨O. Tannery¨ [Note s. le syst. astron. d'Eudoxe,

Mém. de Bordeaux, Ser. II T. 1 (1876) und T. 5 (1883)] verweisen,

welche beide erklären, dass das System nach der Verbesserung durch

Kallippos ebenso gut die Bewegung von Sonne und Mond darstelle,

sowie die hauptsächlichen Unregelmässigkeiten der Planetenbahnen wie

die Epicykeln des Ptolemaios. Nur noch einige Bemerkungen über die

eigentliche Bahn der Planeten, welche durch die beiden innersten Kugeln

3 und 4 hervorgebracht wird, die sogen. ¨Hippopede¨ (Pferdefessel)

des Eudoxos, die erste sphärische Raumkurve, welche Schiaparelli sehr

richtig als ¨Lemniskate¨ bezeichnet.

Eudoxos hat nur auf die Elementargeometrie gestützt das folgende

schwierige Problem gelöst: um zwei feste Pole dreht sich eine Kugel

gleichförmig, um zwei Pole auf dieser dreht sich ebenso eine zweite

mit derselben aber entgegengesetzt gerichteten Geschwindigkeit,

welche Bahn beschreibt ein Punkt des Äquators. Die Kurve ist dadurch

ausgezeichnet, dass ihre Bogenlänge wie die der ebenen Lemniskate

durch ein elliptisches Integral 2. Gattung dargestellt wird. Die

elementargeometrische Behandlung der Kurve wäre eine vorzügliche

Übungsaufgabe.

Die grossen Verdienste des Eudoxos um Geographie und Kalender sind

neben Schaubach auch von ¨A. Boeckh¨ in der cit. Schrift 1863 voll

gewürdigt.

[Sidenote: Lösung des Delischen Problems durch Menaichmos.]

Ich verlasse Eudoxos, den grössten Mathematiker seiner Zeit, der

vermutlich ebenso nüchtern war wie Platon phantastisch war, berichtet

doch Cicero in De Divinatione, dass er die Astrologie der Babylonier

für Unsinn hielt und dies, obwohl er unzweifelhaft von Babylonischer

Astronomie beeinflusst war, wie schon aus seiner Festsetzung des

Verhältnisses von Sonnen- und Monddurchmesser hervorgeht und wende

mich zum Delischen Problem zurück. Knüpfte Eudoxos an seinen Lehrer

Archytas an, so folgte ihm wieder sein Schüler ¨Menaichmos¨, den er

seinerzeit dem Platon zugeführt hatte. Menaichmos, der um die Mitte

des 4. Jahrh. lebte, wird von den Alten einstimmig als der Erfinder

der Kegelschnitte bezeichnet. Eratosthenes nennt sie in dem Briefe,

die Menächmischen Triaden »man braucht nicht die Men. Triaden aus dem

Kegel zu schneiden«. ¨Proklos¨ (oder Gemīnos) beziehen sich auf diese

Stelle (Friedl. p. 111). Und aus des Eutoxios Excerpt aus Eudemos oder

Geminos sehen wir dass die Delische Aufgabe und der Weg des Archytas

und Eudoxos den Menaichmos geleitet haben. Es heisst bei Eutokios:

[Illustration]

»So wie Menaichmos: Es seien die gegebenen Geraden (die Alten kannten

den Ausdruck »Strecke« nicht) Α und Ε, gefordert zwischen Α und Ε zwei

mittlere Proportionalen zu finden. Es sei geschehen und sie sollen

Β und Γ sein, uns möge die im Punkte Λ begrenzte Grade (d. h. der

Strahl) ΛΗ gezeichnet vorliegen [εκκεισθω θεσει.] und bei Λ liege [auf

ihr] die Γ gleiche Strecke ΛΖ, und senkrecht [dazu] werde ΘΖ gezogen

(als Strahl) und ΘΖ [als Strecke] (s. Figur) gleich Β gemacht. Da nun

die drei Geraden Η, Β, Γ, proportional so ist das Rechteck aus Α und

Γ gleich dem Quadrat über Β.« Es ist also ΑΓ = Β^2 = ΘΖ^2 = Α . ΛΖ,

folglich liegt Θ auf der Parabel mit dem Scheitel Λ, der Axe ΛΗ und dem

Parameter A/2. Da auch das Rechteck ΓΒ oder ΛΖ . ΖΘ gegeben ist, weil

es gleich Α . Ε ist, so liegt Θ auch auf der gleichseitigen Hyperbel

mit den Asymptoten ΛΚ und ΛΗ, also ist Θ gefunden. Es folgt dann bei

Eutokios nach dieser Analyse auch die Synthese, ausdrücklich als solche

bezeichnet, und darauf eine zweite Lösung des Menaichmos; von der ich

auch nur die Analysis (s. Figur) gebe.

Es seien die auf einander senkrechten Strecken ΑΒ und ΒΓ die gegebenen,

ΒΛ und ΒΕ die gesuchten, so dass ΓΒ : ΒΛ = ΒΛ : ΒΕ = ΒΕ : ΒΑ. Man ziehe

die Normalen ΛΖ, ΕΖ, so ist ΓΒ . ΒΕ = ΒΛ^2 = ΕΖ^2, also Ζ auf eine

Parabel, deren Achse ΒΕ, deren Parameter 1/2 ΓΒ. Da aber auch ΒΑ . ΒΛ =

ΒΕ^2 = ΛΖ^2 ist, so liegt Ζ auch auf der Parabel, deren Axe ΒΛ, deren

Parameter 1/2ΑΒ ist.

[Illustration]

Die Darstellung ist jedenfalls von Eutokios oder schon von Geminos

redigiert, denn die Namen Parabel, Ellipse, Hyperbel sind erst von

¨Apollonios¨ von ¨Pergae¨ (s. u.) im 3. Jahrh. eingeführt, ebenso wie

das Wort Asymptote.

[Sidenote: Menaichmos, Kegelschnitte.]