[Illustration]
Man verlängere das Mass A B um seinen dritten Teil und diesen wieder
um seinen vierten Teil weniger einem 34stel dieses vierten Teils (Fig.
3). Die √2, die dvi-karani von karana »machen«, heisst (sa-visesa)
d. h. ¨die Zahl mit dem Rest¨. Die Verlängerung ist der visesa; √2 ist
also 1 + 1/3 + 1/(3·4) - 1/(3·4·34) = 577/408 = 1,4142156; da √2 =
1,414213, so ist der Fehler kleiner als 3 Einheiten der 6. Dezimale.
Der Näherungswert des Baudhāyana ist 17/12 = 1,417, also genau bis
auf 0,003. ¨G. Thibaut¨ hat ganz richtig (bis auf einen kleinen
Rechnungsfehler) angegeben, wie sie zu beiden Näherungswerten gekommen
sind. Sie suchten zunächst nach einem Quadrat, das doppelt so gross wie
ein anderes sei, und fanden, dass 2·12^2 annähernd gleich 17^2, und
setzten daher √2 = 17/12, wodurch der Gott ja nicht zu wenig erhielt.
Da sie aber genauer verfahren wollten, so setzten sie (17 - x)^2 =
288. Dass ihnen der Satz vom Gnomon bekannt, wird gleich aus dem
Text nachgewiesen werden. Das ergab 34x - x^2 = 1, und indem sie das
ersichtlich sehr kleine x^2 vernachlässigten, setzten sie 34x = 1, also
x = 1/34 und somit die Dvi-karani (rajju) gleich 17/12 - 1/12 · 1/34,
was ja immer noch eine Zugabe enthielt.
Hervorzuheben ist hier zunächst die ¨intuitive Erfassung¨ der
Ähnlichkeit. Sodann setzt die Konstruktion die Teilung der Strecke im
vollen Umfang voraus, aber auch Ansatz und Lösung einer Gleichung.
Ausserdem geht aus der Bezeichnung der √2 als der Zahl mit dem Rest
hervor, dass sie sich bewusst waren, die √2 zwar ¨geometrisch¨, aber
nicht arithmetisch genau konstruieren zu können, d. h. also, dass sie
bis zu einem gewissen Grade in diesem einen Falle die Erkenntnis der
¨Irrationalen¨ hatten. Ob sie den ¨Begriff¨ des Areton, des Alogon
gehabt haben, bleibt freilich durchaus zweifelhaft; aber, und darauf
ist der Hauptwert zu legen, ¨diese Näherungskonstruktion kann keine
Frucht des Zufalls sein, sondern sie musste eine Folge zielbewusster
Tätigkeit sein¨.
Kap. II, 1 wird dann die eben konstruierte Savisesa-Grösse
zur Konstruktion des Quadrats benutzt. Sehr hübsch ist das
Sama-caturasra-karana in I, 7, wo gleich alle 4 Quadrate des Atman des
Falkenförmigen konstruiert werden mittelst der Raute, die aus zwei
gleichseitigen Dreiecken besteht. (Euklid I, prop. 1. Die Figur wird
wohl genügen.)
[Illustration]
II, 2 wird dann, wie schon oben S. 156 beschrieben, die dvi-karani und
mit ihr nach I, 4 die tri-karani und mittelst ihrer in II, 3 die √(1/3)
als 1/3√3 konstruiert.
[Sidenote: Anwendungen des Pythagoras.]
II, 4 wird der Pythagoras zur Addition zweier Quadrate verwandt, II,
5 dann zur Subtraktion; es wird ein ¨regelrechter Beweis¨ in N 6
¨mittelst des Pythagoras gegeben¨. Wir sehen, dass die Bedeutung des
Pythagoras für die Flächenrechnung vollkommen klar erkannt ist; es wird
systematisch multipliziert, addiert, subtrahiert und dann dividiert,
wozu es erforderlich ist, ein Rechteck in ein Quadrat zu verwandeln;
dies lehrt I, 7. Das Rechteck heisst dirgha-caturasra, directum
quadrangulum, die Aufgabe das sama-caturasra-cikirsana. Wünscht man das
Rechteck in ein Quadrat zu verwandeln, so schneide man mit der kürzeren
Seite ab, teile den Rest, füge an beiden Seiten hinzu, fülle den leeren
Platz mit einem zugefügten Stück, dessen Subtraktion gelehrt worden ist.
[Illustration: Addition zweier Quadrate.]
[Illustration: Subtraktion zweier Quadrate.]
[Illustration]
M. H. Diese Verwandlung ¨setzt notwendig die Analysis¨ voraus a(a + b)
= a^2 + ab = a^2 + 2(ab)/2 = a^2 + 2(ab)/2 + (b/2)^2 - (b/2)^2 =
(a + b/2)^2 - (b/2)^2.
¨Sie kommt m. W. bei den Hellenen nicht vor.¨
III, 1. Will man ein Quadrat in ein Rechteck verwandeln, so mache
man eine Seite so lang als man das Rechteck wünscht. (Es ist ganz
klar, dass hier die Rechnung xy = a^2 die Analyse gibt, und dass sie
wissen, dass eine Seite unbestimmt bleibt, also »so lang sein kann als
man wünscht«.) Darauf füge man den Rest zu dem Rechteck hinzu wie es
passt. Die Methode wird dann von dem Kommentator Sundara des Baudh.
an dem Beispiel des Quadrats mit der Seite 6 erläutert (s. Fig.), das
in ein Rechteck mit der Seite 4 verwandelt werden soll 36 = 4 . 6 +
4 . 2 + 4 . 1 = 4(6 + 2 + 1) = 4 . 9.
[Illustration]
Hochinteressant ist es, dass hier die ¨Inhaltsgleichheit¨ wie bei
¨Wolfgang Bolyai¨ aufgefasst wird. Der Kommentator des Baudh.,
¨G. Thibaut¨ 1875 l. c. 247, gibt dann unsere auf den Satz von den
Ergänzungsparallelogrammen gegründete Kegel, doch kommt dies für die
altindische Geometrie nicht in Betracht.
[Sidenote: Verwandlung des Quadrats in den Kreis und v. v.]
III, 2. ¨Verwandlung eines Quadrats in einen Kreis¨ (nötig für den
Aufbau des rathacakra-cit, s. Fig.), denn »so viel als verloren geht,
kommt hinzu«. Der Kreis hat den Radius MN = MG + 1/3 GE und wenn MG =
1 gesetzt wird, so ist MN = 1 + 1/3 des visesa = 1 + 0,414213 : 3 =
1,138071, also 1,138071^2π = 4, also π = 3,0883 = 18(3 - 2√2) = 105/34.
Die Regel scheint durch Probieren gewonnen, die halbe Seite ist zu
klein, und die halbe Diagonale zu gross.
[Illustration]
III, 3. ¨Kreis-Quadratur¨, nötig für Vervielfältigung des
»Wagenradförmigen«. Als Seite wird 13/15 des Durchmessers genommen,
also π = 169 . 4/225 = 3,004. Baudhāyana hat genau den vorhin
ermittelten Wert für π nämlich 105/34 und gibt als Regel an
7/8 + 1/(8 . 29) - 1/(8 . 29 . 6) + 1/(8 . 29 . 6 . 8) vom Durchmesser.
Dies setzt erstens eine ¨sehr bedeutende Gewandtheit in der
Bruchrechnung¨ voraus, zweitens die Auflösung einer reinquadratischen
Gleichung, d. h. die Ausziehung der Quadratwurzel, da der Wert λ =
√(π/4) = √(105/136) = √0,77205882353 = 0,878668[8=] mit seiner Zahl
9785/11136 = 0,878682 übereinstimmt bis auf 13 Einheiten der 6 Dezimale!
III, 7. Eine Schnur bringt jedesmal soviel Reihen hervor als sie Masse
enthält, d. h. ein Quadrat über a Längeneinheiten enthält a Reihen von
Flächeneinheiten zu a; also die Inhaltsformel des Quadrates, die in §
4, 6, 8, 10 spezialisiert ist.
[Illustration]
[Sidenote: Der Satz vom Gnomon.]
III, 9. ¨Der Satz vom Gnomon¨: Es folgt nun eine allgemeine Weise
(nämlich ein Quadrat zu vergrössern, s. Fig.). Man fügt das (Rechteck),
welches man mit der jedesmaligen Verlängerung umzieht, an zwei Seiten
(Norden und Osten) hinzu und an der (nordöstlichen) Ecke das Quadrat,
welches durch die betreffende Verlängerung hervorgebracht wird. --
D. h. also nichts anderes als (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
Der Satz vom Gnomon konnte ihnen, da sie ihre Quadrate vergrösserten
und meist mit quadratischen Backsteinplatten arbeiteten, nicht
entgehen, und dass in ihm die Quelle des Pythagoras liegt, haben
Bretschneider und Hankel gesehen. Der durch die punktierte Linie
angedeutete Beweis, der sich bei Bhaskara findet, heisst noch heute der
indische und beruht vermutlich auf uralter Tradition.
[Sidenote: Dreieck und Trapez.]
Kap. IV, 4 wird gelegentlich der Anlage der drei Feueraltäre (S. 145)
die Konstruktion des Dreiecks aus den drei Seiten gelehrt.
Man teilt eine Schnur gleich dem Abstand zwischen garhapatya und
ahavanīya (der, falls der Opferpriester ein brāhmana war, 8 Schritt
betrug) in 5 oder 6 Teile, fügt einen 6. bezw. 7. Teil hinzu, teilt
das Ganze in 3 Teile und macht am westlichen Drittel ein Zeichen, dann
befestigt man die beiden Enden am garh. und ahav., zieht die Schnur
an dem Zeichen nach Süden und macht ein Zeichen; das ist, gemäss der
Schrift, die Stätte des daksinagni.
Sie wissen, wie man sieht, dass 2 Seiten eines Dreiecks zusammen
grösser sind als die dritte.
[Illustration]
Kap. V ist von besonderer Bedeutung. Zuerst § 1 die Konstruktion der
grossen Vedi für das Somaopfer aus I, 2, nur dass statt des Rechtecks
das Achsentrapez gezeichnet wird; das rechtw. Dreieck oder nach
indischem Sprachgebrauch das Rechteck ist das mit den Seiten 36 und 15
und der Diagonale (Hypotenuse) 39. Ganz besonders ist § 3 interessant.
Es heisst da: [Sind] die beiden Seiten eines Rechtecks 3 und 4, so
ist die Diagonale 5. Mit diesen legt man die beiden amsa (Schultern),
nachdem man sie je um ihr Dreifaches verlängert hat, fest, und nachdem
sie um ihr Vierfaches verlängert worden sind, die beiden sroni (die
Schenkel).
[Sidenote: Ähnlichkeit.]
Hier leuchtet ein, dass sie mit dem Begriff der Ähnlichkeit vertraut
gewesen sind. Das gleiche gilt bei No. 4. Die beiden Seiten 12 und 5,
die Diagonale 13. Mit diesen die beiden Amsa und nachdem sie um ihr
Doppeltes verlängert sind, die sroni.
[Illustration]
[Illustration]
V, 5. Das Dreieck 15, 8, 17 gibt die sroni; sind die Seiten 35 und 12,
so ist die Diagonale 37, mit diesen die amsa.
So viele »(als rational) feststellbare« Konstruktionen der vedi gibt es.
[Illustration]
V, 7. Die grosse Vedi (d. h. die sub 2-5 konstruierte Saumiki
Vedi) misst 972 (Quadrat) pada (Fuss). Man ziehe vom südlichen
Amsa zur südlichen sroni hin zu 12 (s. Fig.). Darauf drehe man das
abgeschnittene Stück um und füge es auf der Nordseite hinzu. ¨So erhält
die Vedi die Gestalt eines Rechtecks.¨ In dieser Form berechne man den
Inhalt 27 . 36 = 972.
Hier haben wir einen vollgültigen Beweis, denselben, den wir heute noch
geben,
V, 8. Für die Sautrāmani-Zeremonie wird gelehrt: Man opfere in dem 3.
Teil der vedi des Soma-Opfers; hier tritt die trtīya-karanī an Stelle
des pramana (des Grundmasses). Oder man konstruiere mit der tri-karani
(√3). ¨Hierbei sind die kürzeren Seiten 8 und 10 und die prsthya¨ (¨die
Rückenlinie¨) das 12fache desselben. (Ich vermute, dass die Vedis den
Querschnitt durch einen menschlichen Rumpf darstellen sollten.) Hier
ist die Ähnlichkeit sogar erfasst als ¨Abänderung des Massstabs¨!
Und das wird durch die Vorschriften in V, 10 und VI, 1 bestätigt. In
V, 10 heisst es: Die Vedi des asva-medha, des Rossopfers, soll das
Doppelte der saumiki vedi sein und in VI, 1 heisst es: Es tritt die
dvi-karani des Masses an Stelle desselben!
Es folgen nun in den Sulba-Sutras die detaillierten Vorschriften für
den Aufbau der verschiedenen Kamyas; sie sind alle in Beziehung auf
die speziellen Wünsche gedacht, der falkenförmige Agni z. B. für den,
der die himmlische Welt zu erlangen wünscht, weil der Falke sich dem
Himmel am nächsten aufschwingt. Die Vorschriften für die Anfertigung
der Ziegel offenbaren ein ganzes Teil mathematischer Kenntnisse,
insbesondere der Flächenteilung, wie beim Anblick der Figur das
vakra-paksa-syena-cit des Falken mit den krummen Flügeln klar wird.
[Illustration: vakra-paksa-syena-cit.]
Aber das hier Mitgeteilte genügt, um den Standpunkt der indischen
Weisen etwa um 900 v. Chr. zu beurteilen. Zunächst ist es Ehrenpflicht,
des Mannes zu gedenken, der zuerst auf die Sulba-Sutras als Schlüssel
zur Geometrie der Inder hingewiesen. Es war ¨A. C. Burnell¨, der in
seinem »Catalogue of a Collection of Sanscrit Manuscripts« 1869 p. 29
gesagt hat: »Wir müssen die Sulba-Teile der Kalpa-sutras ansehen als
die ersten Anfänge der Geometrie unter den Brahmanas.« Die Kenntnisse
selber sind achtbar genug; sie umfassen so ziemlich das ganze erste
Buch des Euklid inkl. I, 47 (der Pythagoras), Streckenteilung,
Flächenberechnung, Ähnlichkeit und die Kenntnis einer Anzahl
ganzzahliger rechtwinkliger Dreiecke.
[Sidenote: Altindische Arithmetik.]
[Sidenote: Die Null bei den Indern.]
Auch die arithmetischen Kenntnisse der Sulba-sutras sind keineswegs
unbedeutend; sie kennen Quadratwurzelausziehung, auch Auflösung
von Gleichungen, sind mit der Bruchrechnung vertraut. Gegen die
Rigveda-Zeit zeigen die Yajur-veden sehr erhebliche Fortschritte.
H. Zimmer l. c. p. 348 gibt an, dass die höchste bestimmte Zahl im
Rig-veda 100000 sata sahasra ist; aber schon in der Yajurveden-Zeit,
wie z. B. in der Taitt. Samh. und im Satapatha-Brahmana finden sich
Zahlworte bis zu 10 Billionen, und im Mahabhārata Zahlworte für
die Potenzen von 10 bis 10^{17}. Im Rig-veda kommen nur wenig Brüche
vor; ardha halb, auch sami, pada ein Viertel (der Fuss des Rindes),
tri-pad drei Viertel, sapha ein Achtel (Halbhuf der Kuh), kala ein
Sechzehntel. Als eine Grosstat, wozu sich zwei gewaltige Götter,
Indra und Vishnu, vereinigen müssen, gilt die Teilung von 1000 durch
3. Dagegen finden sich schon im Satapatha-Br. eigene Namen bis zu
15^{-4}30^{-1} als Zeitmass, und die Sulbas, insbesondere Baudh.,
haben hoch entwickelte Bruchrechnung. Was das indische Positionssystem
betrifft, kann höchstens noch, vgl. Babylonien, die Einführung der
Null in Frage kommen. Nun kommt die Null vor in dem Manuskript von
¨Bakhshali¨. In Bakhshali (im nordwestlichen Indien) wurden 1881
Bruchstücke eines Manuskripts auf Birkenrinde ausgegraben. Da die
Indologen das Alter dieses Manuskriptes oder seines Inhaltes jetzt auf
den Beginn unserer Ära setzen, so müssen wir es hier besprechen. Es
enthält Textgleichungen, auch diophantische, und die Kuttaka- d. h.
Zerstäubungs- id est ¨Kettenbruch¨methode; diese würde damit vermutlich
schon 500 Jahre vor ¨Aryabhata¨ indischer Besitz gewesen sein; ferner
Summation arithmetischer Reihen, ein eigenes Subtraktionszeichen;
und was für uns das Bedeutsamste ist, es enthält die Null in Form
eines Punktes . als Zeichen für das leere Feld und als Bezeichnung
der Unbekannten, die ja auch vorläufig leer ist. Die erste sonstige
Erwähnung der Null, auch in Form eines Punktes, findet sich in
Subandhu's Vasavadatta, wo die Sterne mit Nullen verglichen werden, die
der Schöpfer bei der Berechnung des Wertes des Alls wegen der absoluten
Wertlosigkeit des Samsara (Weltgetriebe) mit seiner Kreide -- der
Mondsichel -- überall auf das Firmament einzeichnete. (¨G. Bühler¨,
Grundriss der Indo-Arischen Philol. u. Altertumskunde II, 11 p. 78.)
Die Null in Kreisform kommt zuerst in den Cicavole Kupferplatten vor.
Ihr Name ist eigentlich sunya-bindu und wird abgekürzt zu sunya oder
bindu. Über die verschiedene Bezeichnung der Zahlen und Ziffern vgl.
Bühler l. c. Kap. VI, die Zahlenbezeichnung.
[Sidenote: Eleaten: Xenophanes, Parmenides.]
Wenden wir uns nun aus Indien nach Hellas zurück und zunächst zu den
Eleaten.
¨Xenophanes¨ aus Kolophon, ein jüngerer Zeitgenosse des Pythagoras, ist
ihr Stifter. Das Weltganze als unvergängliches, ewig unveränderliches,
ewig gleichartiges Sein ist sein Gott, er ist der erste wirkliche
Pantheist. Wenige Fragmente seiner Lehrgedichte sind erhalten, aus
denen ich die Stellen anführe:
ἑις θεος εν τε θεοισι και ανθρωποισι μεγιστος,
ουτε δεμας θνητοισιν ὁμοιιος ουτε νοημα.
Ein Gott unter den Göttern und unter den Menschen der Grösste, nicht an
Gestalt den Menschen vergleichbar noch auch an Denkkraft.
Und an einer andern Stelle sagt er, nachdem er gegen den
Anthropomorphismus geeifert: »Wenn die Pferde und Ochsen ihre Götter
malen könnten, so würden sie dieselben ohne Zweifel als Pferde und
Ochsen darstellen.« Xenophanes ist der Urheber der Lehre vom ἑν
και παν, von der Einheit aller Dinge, wie Platon und Aristoteles,
Theophrast und Timon übereinstimmend bezeugen. Ob der Pantheismus des
Xenophanes von den ¨Pythagoräern¨ beeinflusst ist, ob beide von den
¨Orphikern¨, und diese wieder von den ¨Indern¨ hierin beeinflusst sind,
wage ich nicht zu entscheiden.
¨Xenophanes¨, der sich in Elea in Lukanien niedergelassen hatte, ist
für uns besonders wichtig, als Lehrer des ¨Parmenides¨ aus Elea, des
eigentlichen Hauptes der ¨Eleaten¨, welche noch weit schärfer als
die Pythagoräer, ja bis zum Extrem, die Priorität der Begriffe vor
den Erscheinungen gelehrt haben. Geboren etwa um 515 aus vornehmer
Familie, fällt seine ακμή, seine Blütezeit, etwa um 480. Die Lehre
der Pythagoräer war ihm vertraut; ohne der Schule anzugehören, hat
er sich die Sittenlehre der Pythagoräer zur Richtschnur genommen,
während er als Philosoph die Lehre des Xenophanes, welche hauptsächlich
theologischen Charakter hatte, weiterbildete. Er hat seine Ansichten
in seinem Lehrgedicht περί φύσεως niedergelegt, von dem uns nicht
unbedeutende Bruchstücke erhalten sind, welche zuletzt von ¨Diels¨
mit dem ganzen Rüstzeug philologischer Schärfe herausgegeben sind.
(H. Diels, P. Lehrgedicht, griech. und deutsch, Berl. 1891.)
[Sidenote: Eleaten: Parmenides, Zenon.]
¨Parmenides¨ ging weit über Xenophanes hinaus. Es gibt, ihm zufolge,
nur ein einziges unteilbares lückenloses Kontinuum des Seienden,
unveränderlich, nicht werdend, nicht geworden, unbeweglich, zeitlos.
Es ist klar, dass die Eleaten mit der Veränderung auch das Zeitproblem
ausschalteten. Die Zeit, mitsamt der Vielheit der Dinge, ihr Werden
und Vergehen, wird uns durch die Sinne vorgetäuscht (die ¨Maja¨ der
Inder!), als Bleibendes, als einziges Sein erkannten sie nur das des
Begriffes, und das enthält die Zeit nicht mehr. Indem Parmenides
aussprach, dass wahres bleibendes Sein nur dem Begriffe zukommt,
identifizierte er Denken und Substanz. Das für uns interessanteste ist,
was Parmenides über den Raum sagt. Da zitiere ich l. c. Vers 42 ff. die
Stelle:
αυταρ επει πειρας πυματον, τετελεσμενον εστι
παντοθεν, ευκυκλου σφαιρης εναλιγκιον ογκωι
μεσσοθεν ισοπαλες παντηι· το γαρ ουτε τι μειζον
ουτε τι βαιοτερον πελεναι χρεον εστι τηι η τηι.
»Aber da es eine letzte Grenze gibt, so ist er von allen Seiten aus
abgeschlossen, der wohlgerundeten Kugel ähnlich an Gestalt, von der
Mitte aus an Kräften gleich überall, denn da darf es kein Mehr oder
Weniger, Hier oder Dorten geben.« Hier also bei Parmenides treffen
wir Jahrtausende vor ¨Riemann¨ die Hypothese von der Endlichkeit des
Raumes an und zugleich das Axiom von der Gleichförmigkeit des Raumes.
Parmenides hat auch das Verdienst, auf das ¨Problem¨ der ¨Kontinuität¨
weit deutlicher hingewiesen zu haben als die Pythagoräer, die das
Problem allerdings auch in ihrer geometrischen Veranschaulichung der
Zahlenbeziehungen gestreift haben. Und ¨Zeno¨, der dritte grosse Eleat,
hat grade durch diese Frage seine bleibende Stelle in der Geschichte
der Mathematik:
[Sidenote: Die Paradoxien des Zenon.]
¨Zenon¨ (Ζηνων) aus Elea, der Sohn des Teleutagoras, ist ungefähr
500 geboren und seine Reife fällt um 450. Es ist sein Verdienst, die
Schwierigkeiten und Widersprüche, welche der Begriff der Bewegung,
wie überhaupt der der Veränderung enthält, aufgedeckt zu haben,
Widersprüche, welche zu ihrer Auflösung den ¨Grenzbegriff¨, diesen
wichtigsten aller mathematischen Begriffe erfordern. Eine Geschichte
der ¨Differentialrechnung¨ wird stets von Zeno und seinen berühmten
¨Paradoxien¨ auszugehen haben. Von Zeno aufgestellt, um einerseits
die Einheit und Unveränderlichkeit des Seins und andrerseits die
Unbeweglichkeit des Seienden zu beweisen, sind sie uns in der Fassung
des ¨Aristoteles¨, Physik 202a, 210b erhalten und die Beweise
insbesondere durch den Kommentar des ¨Simplicius¨ zur Physik des
Aristoteles.
A) Beweise gegen die Vielheit des Seienden.
1. Wenn das Seiende Vieles wäre, so müsste es zugleich unendlich klein
und unendlich gross sein. Unendlich klein, denn jede Vielheit ist Summe
von Einheiten, diese selbst aber unteilbar (Pythagoräer), also hat sie
keine Grösse, ist nichts, also ihre Summe desgleichen. Andrerseits muss
jede solche Vielheit, um zu sein, Grösse haben, ihre Teile voneinander
entfernt sein, die Teile der Teile desgleichen und so fort, also müssen
sie unendlich gross sein.
2. Zeigt Zeno, dass das Viele auch der Anzahl nach begrenzt und
unbegrenzt zugleich sein müsste. ¨Begrenzt¨, denn es ist so Vieles als
es ist, nicht mehr und nicht weniger. ¨Unbegrenzt¨, denn zwei Dinge
sind nur dann zwei, wenn sie voneinander getrennt sind; damit sie
getrennt sein, muss etwas zwischen ihnen sein usw.
Als konsequenter Denker und ausgezeichneter Dialektiker ¨leugnet¨ Zeno
in Numero 3 den ¨Raum¨.
3. Die Dinge scheinen sich im Raum zu befinden, aber das ist nicht
wahr, es gibt gar keinen Raum. Denn jedes Ding ist in einem andern; ist
nun der Raum wirklich, so ist auch er in einem andern Dinge, und muss
doch wohl in einem andern Raume sein; von diesem gilt nun dasselbe wie
vom ersten, es ist also kein letzter Raum denkbar, mithin auch kein
erster und überhaupt keiner. (Dies ist wörtlich Kants Antinomie.)
4. Ein fallendes Korn macht kein Geräusch, aber der Scheffel, also auch
das Korn, denn 0 + 0 wäre 0; also täuscht uns das Gesicht, wenn es uns
eine Vielheit von Körnern vorspiegelt.