Den Gedankengang des Menaichmos hat Bretschneider, Geom. und Geometer

vor Euklides 1870 p. 156 ff., wiederhergestellt. Derselbe Eutokios

erzählt in seinem Kommentar zu des Apollonius Kōnika, dass die Alten

den Kegel nur erzeugten durch Rotation eines rechtwinkligen Dreiecks um

eine seiner Katheten. Je nachdem nun der Öffnungswinkel spitz, recht

oder stumpf war, erhielt Menaichmos Ellipse, Parabel, Hyperbel, wenn

er den Kegel durch eine Ebene, welche auf einer Seitenkante senkrecht

stand, durchschnitt. Die Ellipse war übrigens als Cylinderschnitt

schon den Ägyptern (vergl. die Säulen des Tempels von Luxor) und auch

den Hellenen vor Menaichmos bekannt, ihr alter Name war ἡ (γραμμή)

του θυρεού. [vielleicht die Schildförmige Linie, das Oval, obwohl das

ovale Schild gew. ἀσπίς und nicht θυρεός heisst]. Die Erzeugung des

Menaichmos gab sofort die Hauptachsen des Kegelschnitts. Men. erkannte

die ¨Verwandtschaft¨ seiner Kurven mit dem Kreise, da er sah dass

dieselben ¨Projektionen¨ des Kreises waren, und suchte daher nach

einem Analogon zum Potenzsatz, im Anschluss an Archytas und Eudoxos,

und fand es auch. Der ¨Begriff¨ der ¨Verwandtschaft¨ gehört zu denen,

welche sich den Geometern von selbst aufdrängen, man vergleiche die

Ähnlichkeitslehre bei Ägyptern und Indern, wenn auch Theorien der

Verwandtschaften als solcher modernen Ursprungs sind. Als Beispiel

nehme ich die Parabel, den »Schnitt des rechtwinkligen Kegels« wie sie

noch bei ¨Archimedes¨ heisst und sogar noch bei Proklos. Es ist ¯LAD¯,

s. Fig. rechtwinklig bei ¯A¯, der Schnitt ¯MIDKN¯ normal gegen die

Kante ¯AC¯ geführt, also ¯ID¯ || ¯AB¯. Es ist ¯IG¯/¯LD¯ = ¯DI¯/¯AL¯

also gleich ¯IG¯ . ¯HI¯ : ¯LD¯^2 = ¯IK¯^2 : ¯DL¯^2 (Potenzsatz des

Kreises). Ferner wenn ¯LM¯ ⟘ ¯LD¯, ist ¯MD¯ : ¯LD¯ = ¯LD¯ : ¯AL¯,

¯LD¯^2 = ¯MD¯ . ¯AL¯ oder ¯IK¯^2 : ¯MD¯ . ¯AL¯ = ¯DI¯ : ¯AL¯, also

¯IK¯^2 = ¯MD¯ . ¯DI¯, dies ist die Grundeigenschaft (Gleichung) der

¨Parabel¨. Analog ist die Herleitung für Ellipse und Hyperbel.

[Illustration]

[Sidenote: Parabel; Trisektion (Dinostratos).]

Da die nächste Lösung, die des Eratosthenes selbst ist, so unterbreche

ich hier die Geschichte des Delischen Problems um mit ¨Dinostratos¨,

den Bruder des Menaichmos der ebenfalls Schüler des Eudoxos und Platon

ist, auf die beiden andern grossen Probleme, welche die Pythagoräer

in die Hellenische Wissenschaft einführten, überzugehen. Zunächst die

Trisektion, die Dreiteilung des Winkels. Das Problem ist unzweifelhaft

von den Pythagoräern gestellt worden, und geradezu im Zusammenhange mit

dem Delischen Problem. Wie die mittlere Proportionale der Natur nach

zusammenhing mit der Halbierung des Bogens, so glaubte man würden die

beiden Medianen mit der Dreiteilung zusammenhängen und indem man die

reinkubische Gleichung lösen wollte, kam man auf die gemischte, es ist

also kein Zufall, dass dies Problem das zweite Delische genannt wurde.

Dass die Kenntnisse der Pythagoräer zu der Aufstellung der Gleichung

ausreichten, ist leicht zu zeigen vergl. Figur. Man muss nur sehen,

dass ¯ABC¯ ≅ αβγ ist. Es werde bezeichnet: αβ = ¯AB¯ = z, ¯A¯α = 2αγ

= y, ¯AD¯ = s, ¯AF¯ = σ, ¯MF¯ = p, ¯BC¯ = u = βγ, dann ist 1) s/y =

(y + z)/z, 2) u^2 + 1/4y^2 = z^2, 3) weil ¯MFB¯ ～ ¯ABC¯, 2up = y(σ - z)

4) σ^2 + p^2 = r^2.

[Illustration]

Setzt man u = zτ, so ist nach 2) y^2/4 = z^2(1 - τ^2) und nach 3)

gleich z^2τ^2p^2/(σ - z)^2 also 5) 1 - τ^2 = τ^2p^2/(σ - z)^2 aus 1)

und 3) folgt 6) s(σ - z)/(2τpz) = 2τp/(σ - z) + 1.

Aus 5) folgt σ - z = τp : μ wo μ = √(1 - τ^2) ist, also z =

σ - τp : μ, also geht 6) über in 7) s = (2μ + 1)2μ(σ - τp : μ); s =

(2μ + 1)(μs - 2τp) woraus nach leichter Rechnung 4τ^3 - 3τ + ps : r^2 =

0 und da ps = ηr, wenn die Höhe des Dreiecks ¨AMD¨ von D aus η genannt

wird, 8) 4τ^3 - 3τ + η/r = 0.

Das ist die bekannte Gleichung für sin φ/3 da η : r = sin φ ist.

Es gewannen also die beiden Delischen Probleme die Bedeutung der

Auflösung der kubischen Gleichung, [da sich für y die Gleichung 4.

Grades y^4 + sy^3 - 3y^2r^2 - 2ysr^2 + s^2r^2 = 0 ergibt, so ist damit

zugleich die Lösung der Gleichung des 4. Grades angebahnt].

[Sidenote: Hippias von Elis, Dinostratos (Quadratrix).]

Das arithmetische Problem vermochten die Pythagoräer nicht zu lösen,

und das geometrische nicht mittelst Zirkel und Lineal, d. h. elementar,

doch scheuten sie sich wie wir bei Archytas gesehen haben, keineswegs

vor Bewegungsgeometrie und so erfand denn der seiner Zeit ziemlich

übel berüchtigte Sophist ¨Hippias¨ von ¨Elis¨ im letzten Drittel des

5. Jahrh. eine mechanische Lösung und damit die erste uns bekannte vom

Kreise verschiedene nach bestimmten Gesetz erzeugte Kurve, die später

vermutlich durch oder doch ¨nach¨ Archimedes, nachdem ¨Dinostratos¨

ihren Gebrauch zur Rektifikation (Streckung) und damit auch zur

Quadratur des Zirkels gelehrt hatte, den Namen τετραγωνίζουσα lat.

Quadratrix erhielt. Es sind sogar gegen die Autorschaft des Hippias von

Elis Bedenken erhoben (Blass, Friedlein) und ¨H. Hankel¨ der genialste

Historiker der Mathematik hat sich sehr scharf gegen die Autorschaft

des Hippias von Elis ausgesprochen, aber Gründe hat er nicht angegeben

und ich muss ¨Cantor¨ beipflichten, der aus der ständigen Gewohnheit

des Proklos nur bei der ersten Erwähnung die Herkunft anzugeben und

sie später als schon genannt wegzulassen, mit grösster Energie sich

für den Hippias von ¨Elis¨ aussprach. Proklos kann nur diesen Hippias

meinen und wenn auch der Hippias major des Platon vermutlich unecht, so

genügt doch der Hippias minor um zu beweisen, dass Hippias seinerzeit

für einen hervorragend tüchtigen Mathematiker galt. Pappos, dem wir

die Kenntnis der Kurve verdanken, erwähnt den Namen des Hippias nicht.

Die Kurve und ihre Konstruktion finden sich Buch IV prop. 25 p. 253

der ¨Hultschen¨ Ausgabe. Während der Radius αβ, vergl. die Fig., sich

gleichförmig um α bis αδ dreht, verschiebt sich ebenfalls gleichförmig

βγ bis αδ, unsere Kurve ist der Ort des Schnittpunktes ζ der beiden

sich bewegenden Strecken. Die Grundeigenschaft ist: βκ/αβ = (Bogen

βε)/(Bogen βεδ) = Θ/(π/2). Damit ist nicht nur die ¨Trisektion¨ sondern

sogar die ¨Multisection¨ vollzogen, denn nichts hindert αβ oder irgend

ein Stück von αβ in beliebig viele gleiche Teile zu teilen. Es folgt:

(αβ - βκ)/αβ = (π/2 - Θ)/(π/2) oder 1) y . π/2 = [**arc]εδ, daraus

y_{1} : y_{2} = [**arc]ε_{1}δ : [**arc]ε_{2}δ und als Gleichung der

Kurve 2) x = y cot yπ/2. Die Proportion 1, kann auch heissen Quadrant/r

= [**arc]εδ/ζυ. Dinostratos, der mit Demokritischen Gedanken vertraut

war, bemerkte nun, dass der Bruch rechts auf der Grenze, wenn αε

unendlich nahe bei αδ ist, weil der Sektor dann in ein Dreieck übergeht

gleich δε′ : ηη′ = αδ : αη gleich r : x_{0} ist, womit zwar nicht

die Quadratur aber doch die Rektifikation des Kreises mittelst der

gezeichnet vorliegenden Kurve vollzogen ist. Der Beweis des Dinostratos

den Pappos l. c. mitteilt, rechnet selbstverständlich nicht mit dem

Unendlich kleinen, sondern ersetzt die Differentialrechnung durch

die Grenzmethode, wie das auch Archimedes selbst noch getan, obwohl

wir aus dem Ephodion sehen, wie genau er sich der Tragweite der

Infinitesimalrechnung bewusst war. Man braucht ja nur an des Cavalieri

»geometria indivisibilium« zu denken, die er umarbeiten musste, weil

seine Zeitgenossen an dem nackten Unendlich kleinen und grossen, am

Differential und Integral des Volumens, Anstoss nahmen. ¨Newton¨ der

Urheber des selbständigen Differentialkalküls hat in den Prinzipien

und in seinen geometrischen Werken ängstlich die Methode verschleiert

und noch heute gibt es Mathematiker genug, welche vor dem »infiniment

petit« scheuen, wie etwa Pferde vor einem Automobil.

[Illustration]

[Sidenote: Theaítetos und Theudios.]

Sind Menaichmos und Dinostratos die produktivsten Mitglieder des

Platonischen Kreises, »derer um Platon,« so sind Theaítetos der

Athener und Theudios der Magnesier, (wohl in Karien) diejenigen,

welche die methodische Seite der Akademie am energischsten vertreten.

Von Θεαίτητος, dem schon oft genannten, rührt ein grosser Teil der

selbst für uns Heutige nicht leichten Sätze des X. Buchs der Elemente

des Eukleides her, das selbst ein Petrus Ramus, obwohl ein genauer

Kenner von Proklos' Kommentar zum I. Buch, nicht verstand, und

Θευδιος ὁ Μαγνης hat das Lehrbuch der Akademie verfasst. Von ihm sagt

Proklos: Er brachte gute Ordnung in die Elemente und verallgemeinerte

vieles in den einzelnen Abschnitten (Friedl. p. 67, wenn ὁρικων, was

Friedlein bezweifelt, richtig ist, so kann es auch vielleicht besser

als »begrenzt« d. h. »zu eng gefasst« übersetzt werden, »er machte die

Begrenzungen weiter«).

[Sidenote: Aristoteles.]

Die Elemente des Theudios gehen denen des Euklid unmittelbar voran, und

auf sie beziehen sich die mathematischen Angaben bei ¨Aristoteles¨.

[Sidenote: Zeit bei Platon.]

Dieser weltumfassendste Geist nicht bloss des Altertums, der

Wissenschaft und Kunst fast 2000 Jahre lang beherrscht hat und die

formale Logik sogar bis auf ¨Sigwart¨, d. h. bis zum letzten Drittel

des 19. Jahrhunderts, hat noch weit mehr als Platon die Mathematik

nur als Hilfswissenschaft der Philosophie insbesondere für die Lehre

vom Schluss und von den Beweisen betrachtet, und allenfalls für die

Astronomie, in der er wie ¨Kant¨ den stärksten Beweis des für sein

System ganz unentbehrlichen Gottesbegriffes sah. Es steht nicht einmal

fest, ob Aristoteles auf der vollen Höhe der mathematischen Bildung

seiner Zeit gestanden hat, von höheren Problemen streift er eigentlich

nur einmal ganz gelegentlich in de coelo die Quadratur des Zirkels.

Dass er die Kegelschnitte nicht beachtet hat, versteht sich von selbst,

da sie ja gerade zu seiner Zeit von seinem Mitschüler ¨Menaichmos¨

gefunden wurden. Aber um so grösser ist seine Bedeutung für die

Grundbegriffe der Mathematik. Während ¨J. L. Heiberg¨ (Teubner Abh.

z. Gesch. der Math. Wiss. Heft 18, 1904) das spez. Mathematische bei

Aristoteles gesammelt hat, ähnlich wie Theon Smyrneus die Mathematik

bei Platon, ist ¨A. Görland¨ in seiner Dissertation und besonders

in dem Werke: Aristoteles und die Mathematik, Marburg 1899 auch der

begrifflichen Seite gerechter geworden. Aristoteles ist auch der

erste der Hellenen der sich genauer mit dem Begriff Zeit beschäftigt

hat. ¨Platon¨, wie er den Aristoteles an schöpferischer Kraft der

Phantasie weit überragt, übertrifft ihn auch in der Erkenntnis gerade

der tiefsten Quellen unserer Erkenntnis, aber dass die Zeit auch eine

Idee sei, wie das Gute, ist dem Idealisten κατ ἐξοχήν entgangen. Die

Hauptstelle findet sich Timäos 366-370. Gott schuf die Welt als Abbild

der ewigen Ideen (personifiziert durch die einzelnen Götter), und in

der Freude über seine Schöpfung beschloss er sie dem Urbilde noch

ähnlicher zu machen und schuf dazu die Zeit als ¨bewegliches¨, nach

Zahlenverhältnissen fortschreitendes, ewiges Abbild. Denn Tage und

Nächte und Monate und Jahre gab es nicht, bevor der Himmel geschaffen,

sondern damals als dieser zusammengesetzt wurde, bewirkte er zugleich

auch ihre Entstehung. Alle diese (die Tage etc.) sind Teile der Zeit,

und das »¨Es war¨« und das »¨Es wird sein¨« sind entstandene Formen

der Zeit, die wir ¨unvermerkt¨ auf das ewige Wesen übertragen, und

mit ¨Unrecht¨. Denn wir sprechen von einem »es war, es ist, es wird

sein« jener aber kommt in Wahrheit nur das »Es ist« zu, das »war«

und das »wird sein« aber ziemt es sich von der in der Zeit sich

bewegenden Entstehung auszusagen. Wenn hier auch die transzendentale

Idealität der Zeit gestreift ist, so sind doch Zeit und Bewegung nicht

scharf geschieden, und insbesondere scheint die Zeit selbst als Dauer

aufgefasst zu sein, was schon eine Anwendung der Kategorie Raum auf die

Zeit einschliesst.

[Sidenote: Aristoteles über Zeit.]

¨Aristoteles¨ hat sich besonders in der Physik mit der Zeit

beschäftigt, er hat den Zusammenhang der Zeit mit der Zahl erkannt und

im direkten Gegensatz zu Kant die Zeit auf die Zahl zurückgeführt. Im

Buch IV der Physik heisst es: die Zeit ¨scheint¨ die Bewegung einer

Kugel zu sein, weil durch sie die übrigen Bewegungen (Rotationen)

¨gemessen¨ werden. -- Ganz ähnlich heisst es in der Naturphilosophie

¨Lorenz Oken's¨, des Vorgängers von Darwin, die Zeit ist gleichsam

eine fortrollende Kugel, die immer in sich selbst wiederkehrt. -- An

anderer Stelle nennt er die Zeit die ¨Zahl des Kontinuums¨, und die

Zahl der Bewegung in bezug auf ¨vorher¨ und ¨nachher¨, Mass der Ruhe

und Bewegung. Wichtig ist, dass er Phys. 10 auseinandersetzt, dass die

Zeit nicht aus Momenten bestehe und ganz des Aristoteles würdig ist die

Stelle Phys. IV Kap. 10: Ob das Jetzt, das Vergangenheit und Zukunft

trennt, immer ein und dasselbe sei, oder anderes und anderes, das ist

nicht leicht zu entscheiden.

[Sidenote: Aristoteles (vita).]

¨Aristoteles¨, der ¨Stagirite¨, wie er oft genannt wird, ist 384 in

Stageira einer Stadt der athenischen Landschaft Chalcidice geboren.

Sein Vater Nikomachos war Leibarzt des Königs Amyntas von Macedonien,

des Vaters Philipps der die entzweiten Hellenen unter das Macedonische

Joch einte. Im 18. Jahre kam er nach dem Tode beider Eltern als ein

wohlhabender und wohlerzogener Hellene nach Athen vermutlich um

Platons willen, dessen Schule er bis zum Tod Platons, zwanzig Jahre

lang angehörte. Daneben muss der Sohn des Arztes mit dem Fleiss und

der ungeheuren Arbeitskraft eines grossen Genius geschafft haben um

sich auf naturwissenschaftlichem und politisch-historischem Gebiete

das Riesenmaterial von Kenntnissen anzueignen, das in seinen Schriften

verarbeitet ist. Zwei Strömungen von ganz ungewöhnlicher Stärke sind in

Aristoteles vereinigt, einerseits ist er der erste grosse ¨Biologe¨,

der mit gleicher Sorgfalt das grösste wie das kleinste Lebewesen

beobachtet, er hat es ja selbst ausgesprochen, dass es für den

Forscher nichts Grosses und nichts Kleines gebe, -- andererseits ein

Systematiker von extremer Nüchternheit und Klarheit.

Dass der über dreissigjährige Mann in den letzten Jahren seines Lehrers

dem Platonismus schon mit kritischem Geiste gegenüberstand, ist an sich

im höchsten Grade wahrscheinlich, auch wenn es nicht durch den Klatsch

der Schule bezeugt wäre. Insbesondere richtete sich seine Kritik wohl

damals schon gegen die Ideenlehre. Aristoteles hat hier wohl von

Anfang an dem Schwunge des Dichters nicht folgen können, vermöge einer

Schwäche seiner Begabung gerade auf dem Gebiete der Phantasie. Und

dann muss gesagt werden, dass Platon selbst seine eigene grossartige

Auffassung der Idee, des reinen ewigen Urbilds, die über den Dingen

stehend, die Kraft ist, welche die Dinge schafft, mit zunehmendem

Alter mehr und mehr verdunkelt und abgeschwächt hat, man vergleiche

die »νόμοι«, die Gesetze, auch den Zusatz, die επινομις. So erklärt es

sich, dass in der Darstellung des Aristoteles die Ideenlehre in die

Zahlenmystik der Pythagoräer überging.

Doch war und blieb er Platoniker, wie schon daraus hervorgeht, dass er

unmittelbar nach dem Tode des Meisters Athen für lange Zeit verliess,

und zwar in Gemeinschaft mit dem leidenschaftlichsten Verehrer Platons,

dem ¨Xenokrates¨, der nach dem Tode von Platons Neffen Speusippos

der Leiter der Akademie war. Aristoteles brachte die nächsten drei

Jahre bei seinem Bundesbruder Hermias, dem Fürsten von Atarneos und

Assos zu, und heiratete nach dessen Tode die Schwester oder Nichte

desselben. Im Jahre 343 (oder 342) übernahm er die Ausbildung des

damals dreizehnjährigen ¨Alexander¨, und diese Verbindung, obwohl sie

nur 3 Jahre dauerte, da Alexander schon mit 16 Jahren die Vertretung

seines Vaters Philipp in Macedonien übernahm, wurde für beide grosse

Männer von höchster Bedeutung. -- Aristoteles ging zunächst in seine

Heimatstadt Stageira, er blieb aber bis kurz vor Alexanders Tode, bis

er durch die Torheit seines Neffen Kallisthenes jenem entfremdet wurde,

in innigster Verbindung mit dem Könige. Mit königlicher Freigebigkeit

gewährte Alexander die Mittel, welche er zu seinen Arbeiten brauchte,

alle fremden Tiere und Pflanzen wurden ihm zugesandt, und die Summen,

derer er zu seiner grossen Bibliothek bedurfte, verdankte er wohl auch

zum grossen Teil dem Könige. Aristoteles ist der erste Gelehrte, von

dem wir wissen, dass er sich eine grosse Büchersammlung angelegt hat,

und das war damals ein noch weit kostspieligeres Vergnügen als heute,

um so mehr als er auch dafür sorgte, dass die wichtigsten Werke durch

Abschriften weiteren Kreisen zugänglich gemacht wurden. Die Sammlung

hat er seinem bedeutendsten Schüler, dem ¨Theophrast¨ hinterlassen.

Dreizehn Jahre nach dem Tode Platons kehrte er nach Athen zurück, nahm

den Unterricht in der Rhetorik, den er schon bei Lebzeiten Platons sehr

erfolgreich geführt hatte, wieder auf, und eröffnete jetzt ebenfalls

bei einem Gymnasium, dem Lyceum, eine eigene Philosophenschule und

begründete den dazu gehörigen Freundschaftsbund. In den Parkanlagen des

Lyceums auf- und abgehend, disputierte er mit seinen Schülern und von

dieser Gewohnheit erhielten die Jünger den Namen der »Peripatetiker.«

Übermenschliches hat er in den 12 Jahren seiner Lehrtätigkeit

geleistet. Abgesehen von einzelnen Dialogen, welche schon zu

Platons Zeiten veröffentlicht waren, sind fast alle seine grossen

Lehrschriften, die ja im wesentlichen Vorlesungshefte für seinen und

seine Schüler Gebrauch waren, hier entweder entstanden oder doch wenn

nicht konzipiert, so doch redigiert. Aristoteles starb 332 zu Chalcis

auf Euboea, wo er ein Landgut besass, an einem Magenleiden.

[Sidenote: Aristoteles, Werke.]

Ich erwähne zuerst seine grossartigen naturwissenschaftlichen Werke,

als Systematiker beginnt er mit der unorganischen Natur. Zunächst die

¨Physik¨, φυσικη ακροασις, 8 Bücher, zu denen uns der sehr wichtige

Kommentar des Simplicius erhalten ist. Dies Werk hat bis an das 18.

Jahrh. heran den Stoff für die Vorlesungen über Physik gegeben. Dann

die Astronomie, περι ουρανου de coelo, 4 Bücher (dazu Kommentar des

Simplicius). Er kritisiert die Pythagoräer, den Hiketas, den Aristarch

von Samos, welche die zentrale Stellung der Erde im Weltsystem

aufgegeben; und seine Autorität hat bis auf Kopernikus den Weg zum

Fortschritt versperrt. In de coelo β 13, 293 lesen wir: δειν τη γη του

μεσου χωραν αποδιδοναι. Man muss der Erde die Stelle des Mittelpunktes

wiedergeben: denn χώρα Raum steht bei Aristoteles häufig für τόπος

Ort. Weiter nenne ich die Schrift über Entstehen und Vergehen, περὶ

γενέσεως καὶ φθορᾶς 2 Bücher, die Meteorologie 4 Bücher, woran sich

auch ein Werk über Mathematik im engeren Sinne angeschlossen haben

soll, was aber nicht gerade wahrscheinlich ist. Es schliessen sich dann

die Werke über die lebenden Wesen an, beschreibende und untersuchende.

Zunächst die grossartige ¨Zoologie¨, περὶ τα ζῷα ἱστορια. 9 Bücher,

dann 7 Bücher ¨Anatomie¨, dann die (physiologische) ¨Psychologie¨,

περὶ ψυχής, Wahrnehmen und Wahrgenommenes, Gedächtnis und Erinnerung,

Traum und Wachen. -- Ferner über Kurz- und Langlebigkeit, Leben

und Tod, und damit verbunden, über das Atmen. Über die Teile der

Tiere, die Erzeugung und den Gang der Tiere (wahrscheinlich unecht).

-- Die 2 Bücher über die Pflanzen sind verloren, weil sie von der

reichhaltigeren Schrift des ¨Theophrast¨ aufgesaugt und verdrängt

sind, eine im Altertum häufige Erscheinung. -- An die Zoologie, welche

mit dem Menschen endet, reihen sich dann folgerichtig die grossen

Werke über das sittliche Handeln des einzelnen Menschen, und über

sein Leben im Staate an, Ethik und Politik. Von den drei Ethiken ist

die grosse sog. ¨Nikomachische Ethik¨ unbezweifelt das echte Werk

des Aristoteles, während die andere die Eudemische ein Kollegienheft

des Eudemos ist, und die dritte, die sog. grosse Moral ein Auszug

aus dem Eudemos ist. Die Ethik handelt von dem höchsten Gut, von der

Tugend, von der Freundschaft etc. Das höchste Gut sieht sie in der

reinen Denktätigkeit; die wissenschaftliche Arbeit um ihrer selbst

willen, diese ist göttlich. Ihr zunächst steht im Werte die Tugend, die

ethische Tugend ist auf den ¨Willen¨ gerichtet, der lernen muss, um es

kurz auszudrücken, die richtige Mitte zwischen zwei Lastern zu halten.

Tief empfunden und wahrhaft beredt ist, was Aristoteles über die

¨Freundschaft¨ sagt, ohne die ihm zufolge keine Gemeinschaft bestehen

kann.

Von den ¨staatswissenschaftlichen¨ Werken ist uns die Politik

erhalten, 8 Bücher, unvollendet, aber wie ¨Zeller¨ sagt, eins von

den reifsten und bewundernswertesten Erzeugnissen seines Geistes.

Verloren sind bis auf wenige Bruchstücke, die sog. πολιτείαι, eine

wahrscheinlich lexikalisch geordnete Sammlung der Verfassung von 158

Staaten oder Städten, anfangend mit Athen. Vor wenigen Jahren ist

gerade die Verfassung Athens in der Leichenbinde einer ägyptischen

Mumie gefunden und von ¨Keibel¨ und ¨Kiessling¨ meisterhaft

übersetzt worden. Sie zeigt uns was wir verloren haben und ist

unschätzbar für die Beurteilung des Aristoteles. Während dieser in

den exakt-wissenschaftlichen und philosophischen Schriften in Sprache

und Form meist trocken, nüchtern und knapp ist, -- er hat ja die

philosophische Fachsprache, ich möchte sagen, den Jargon geschaffen,

der die meisten philosophischen Werke so ungeniessbar macht, --

begreifen wir hier wie ¨Cicero¨ sagen konnte, Aristoteles habe die

alten Rhetoren »suavitate et brevitate dicendi,« durch Anmut und

treffende Kürze der Sprache, weit hinter sich gelassen.

Zugleich aber bekommen wir auch zum ersten Male ein genaues Bild vom

alten Athen und sind imstande die Anziehungskraft zu begreifen, welche

Athen auf die Hellenen ausübte. Wir sehen hier eine Verfassung von

solchem echten Liberalismus und von solcher Humanität, wie sie noch nie

zum zweiten Male existiert hat. Selbst die Staatssklaven der Athener

erfreuten sich einer Freiheit, die in vieler Hinsicht grösser war als

die der heutigen Staatssklaven, der Beamten. Interessant ist auch die

Rolle, welche die Erbtochter schon damals spielte.

Die Anschauung des Aristoteles über ¨Kunst¨ kann ich hier nur flüchtig

streifen, erhalten ist nur die ¨Poëtik¨, und auch sie nur als

Fragment, aber Sie wissen, welchen langdauernden Einfluss die sog.

drei Einheiten, welche Aristoteles für das Drama forderte, die Einheit

des Orts, der Zeit und der Handlung, gerade weil die Forderungen

missverstanden wurden, insbesondere auf das klassische Drama der

Franzosen gehabt haben.

Nun zu den eigentlichen philosophischen Schriften des Aristoteles.

Zuerst bereitet er sich den Boden für das Verständnis seiner Gedanken

dadurch, dass er die Gesetze, denen unser Denken unterworfen ist,

die Lehre vom Schluss und vom Beweise, die formale Logik, als der

Erste genau formulierte. Die Logik des Aristoteles zerfällt in 2

grosse Abteilungen, die ¨Topik¨ und die Analytik, zusammengefasst

als ¨Organon¨ id est Werkzeug. Ich nenne hier ¨F. Kampe¨, die

Erkenntnistheorie des Aristoteles Leipz. 1870, ¨R. Eucken¨, die

Methode der arist. Forschung Berl. 1872. Von neuen Ausgaben seien die

der Berliner Akademie von 1831-70 in 5 Bänden und die auf 35 Bände

berechnete der griech. Kommentare hervorgehoben, darunter die ¨Physik

des Simplicius¨ von ¨H. Diels¨ 1882 und eben desselben Astronomie von

¨J. L. Heiberg¨ 1894.

Die Grundlagen jeder wissenschaftlichen Arbeit sind im Organon für ewig

gelegt. Die Logik wird als wissenschaftliche Technik aufgefasst, er

will keine vollständige Erkenntnistheorie geben, etwa wie ¨H. Cohen¨'s

Logik der reinen Erkenntnis, sondern zunächst eine Untersuchung über

die Formen und Gesetze der wissenschaftlichen Beweisführung. Die Topik

beschäftigt sich mit der Dialektik, der Lehre vom Beweisbaren und

dem Wahrscheinlichen; von den Analytiken beschäftigt sich die erste

mit dem Schlusse, die andere mit der Beweisführung gestützt auf den

Syllogismus. Die Syllogistik hat es mit der Erkenntnis derjenigen

Denkformen zu tun, denen zufolge mit Hilfe eines Zwischenbegriffs,

der im einen Urteil Prädikat, im anderen Subjekt ist, entschieden

werden soll, ob ein Begriff unter einem andern subsumiert werden soll,

ganz oder teilweise, oder nicht. Aristoteles hat die Urteile nach

Quantität und Qualität eingeteilt, und zwar nach Quantität: generelle,

partikuläre, singuläre, (allgemeine, besondere, einzelne) und nach

Qualität: affirmative und negative (bejahende und verneinende).

Ein Punkt der für Mathematiker besonders wichtig ist muss betont

werden. Nicht ¨Schopenhauer¨ hat zuerst die Forderung erhoben: der

wahre Beweis muss nicht nur dass etwas ist, sondern warum es ist,

aufdecken, sondern ¨Aristoteles¨ hat περι ψυχής II, 2 mit grösster

Schärfe das nämliche gefordert.

[Sidenote: Aristoteles Philosophie.]

An die Logik, die Wissenschaftslehre, schliesst sich die ¨Metaphysik¨

an. Aristoteles setzt die Platonische Philosophie voraus, und indem

er sie umbildet, verbildet und fortbildet, ist er der Vollender der

Begriffsphilosophie. Die Metaphysik beginnt mit der berühmten Tafel

der ¨Kategorien¨, der irreduzibeln Stammbegriffe der Vernunft, die

Grundformen aller Aussagen. Sie sind bei ihm nicht völlig das was ich

¨Konstituenten¨ des Intellekts nenne, Methoden grosse Gruppen von

Erkenntnissen zusammenzufassen und zu ordnen.

[Sidenote: Aristoteles über Grösse.]

Er unterscheidet: 1) Substanz (ουσία, Wesenheit) 2) Grösse, Quantität,

ποσόν., 3) Beschaffenheit, Qualität, ποιόν, 4) Beziehung, Relation,

πρός τι., 5) Worin, Raum, χώρα., 6) Wann, Zeit, πότε., 7) Lage, θέσις,

8) Haben, ἕξις, 9) Wirken, ποιεῖν, 10) Leiden, πάσχειν. Lage und

Haben scheinen nur aufgestellt, um die Zehnzahl der Pythagoräer voll

zu machen, er lässt sie im Laufe der Untersuchung fallen. Doch wird

die θέσις die Lage von ihm als Grundeigenschaft des Raumes erkannt.

Uns interessiert am meisten was er über Grösse sagt. Alles was sich in

substantielle Teile teilen lässt, ist eine Grösse (dieselbe Definition

gab ¨Weierstrass¨ im Colleg.). Sind die Teile zusammenhängend, so ist

die Grösse ¨stetig¨ (συνεχές), die Lehre von der kontinuierlichen

Grösse geht wie beinahe jede scharfe begriffliche Untersuchung auf

Aristoteles zurück, der auch die recht eigentlichen mathematischen

Probleme, die Zusammensetzung und Trennung des Kontinuums erfasst

hat. Ausführlicher spricht er sich über Kontinuität in der Physik c.

3, 227 und 10 aus: Es sei etwas stetig, wenn die Grenze eines jeden

zweier aufeinander folgenden Teile, in der dieselben sich berühren,

¨ein und dieselbe ist¨, und sie, wie es auch das Wort bedeutet, (συν

zusammen, έχω halten) zusammengehalten werden. Sind die Teile in einer

bestimmten ¨Lage¨, so sind die Grössen extensive oder Raumgrössen,

das ¨Ungeteilte¨ oder die ¨Einheit¨, mit der sie gemessen wird, und

die ¨Messbarkeit¨, dass sie ein Mass hat, ist das unterscheidende

Merkmal der Grössen. Auch die für die Ausbildung des Integralbegriffs

grundlegenden Probleme der Zusammensetzung und Trennung des Kontinuums

sind von ihm gestellt. Und wenn auch περι ατομων γραμμων vielleicht

wie Tannery meint, nur ein Schülerheft, so ist doch περι φύσεως

unbestritten. Das Argument mit dem Aristoteles bewies, dass Raum und

Zeit nicht aus Punkten bestehen (es hätten sonst z. B. Seite und

Diagonale des Quadrats gleichviel Punkte und wären gleich) haben die

Arabischen Aristoteliker, (wie Averroës), gegen die Mutakallimun

(Logiker) gebraucht.

Für die Qualitäten werden zwei Hauptarten unterschieden, diejenigen,

welche sich auf einen substantiellen Unterschied und diejenigen, welche

sich auf Bewegung und Tätigkeit beziehen. Als ein charakteristisches

Merkmal der Qualität wird der Gegensatz des Ähnlichen und Unähnlichen

betrachtet; zu bemerken ist hier, dass Kategorien der Anschauung von

Aristoteles nicht aufgestellt werden, wie z. B. Abstand, Richtung.

Der wichtigste Stammbegriff ist der der Substanz, der der Träger der

Übrigen ist, und so ist es die Untersuchung über das Seiende als

Seiendes von der die Philosophie, welche den Zweck hat die Erfahrung

zur Einheit zusammenzufassen, ausgehen muss. Ich führe hier als den

wichtigsten Satz an das berühmte: το δ' ειναι ουσια ουδενι., der

widerspruchsfreie Begriff begründet keine Existenz des Definierten, mit

dem z. B. der ontologische Beweis des Daseins Gottes und die Grundlage

¨Spinozas¨ zusammenbricht. Die erste und höchste Philosophie hat die

Aufgabe die letzten (A. sagt richtiger die ersten) und allgemeinsten

Gründe der Dinge zu erforschen, sie gewährt das umfassendste Wissen,

dasjenige, welches am schwersten zu erlangen ist, da die allgemeinsten

Prinzipien von der sinnlichen Erfahrung am weitesten abliegen, das

sicherste, weil sie es mit den irreduziblen Begriffen und Axiomen zu

tun hat, das was am meisten Selbstzweck ist, weil es die Zwecke, denen

alles dient, feststellt. Sie muss alles Wirkliche schlechthin umfassen,

denn die letzten (πρώτας) Gründe sind nur die, welche alles Seiende als

Solches erklären. Andere Wissenschaften, wie Medizin und Mathematik,

beschränken sich auf ihr Gebiet, das sie nicht weiter definieren, die

Wissenschaft von den letzten Gründen muss die Gesamtheit der Dinge

auf ihre ewigen Ursachen und in letzter Instanz auf das Unbewegte und

Unkörperliche, d. h. auf ¨Gott¨ zurückführen, von dem alle Bewegung

und Gestaltung des Körperlichen ausgeht. Er nennt diese Wissenschaft,

die Metaphysik, erste Philosophie auch Theologie. Angesichts des

Schwungs der Sprache und der Wucht der Gründe mit denen Aristoteles

den Gottesbegriff stützt, wird es begreiflich, wie die Scholastik, wie

ein Thomas von Aquino im Gegensatz zu Platon, mehr und mehr sich auf

Aristoteles stützen musste, der fast zu einem Heiligen der katholischen

Kirche geworden ist. Verbot doch im Jahr 1624 das französische

Parlament jeden Angriff gegen seine Autorität bei Todesstrafe.

[Sidenote: Aristoteles und die Ideenlehre.]

Indem er nun näher auf dasjenige eingeht, was allen Seienden als

solchem zukommt, untersucht er den Satz vom Widerspruch, der ja in der

Mathematik eine so entscheidende Stelle im indirekten Beweis einnimmt,

denken Sie nur an die grosse Menge stereometrischer Sätze, welche sich

auf den Widerspruch gegen das Parallelenaxiom zurückführen lassen. Er

knüpft an seine Untersuchung den Satz vom »ausgeschlossenen Dritten«

(aut est, aut non est, tertium non datur). Ich muss für Aristoteles'

Metaphysik auf Bonitz, Windelband, Zeller etc. verweisen, nur seine

Gestaltung der Ideenlehre muss ich besprechen, denn in ihr besteht

ja seine Emanzipation von ¨Platon¨. Aristoteles hat die Idee Platons

missverstanden, vielleicht weil Platon sich nicht mit Konsequenz dahin

ausgesprochen, dass seine Idee auf der Ausschaltung des Zufälligen

beruht. Letzteres ist für uns unbefriedigend und indem wir es auffassen

als etwas, was sein oder nicht sein kann, verstösst es gegen den Satz

vom Widerspruch. Die Platonische Idee, als zeitlose Norm aus wenigen

Erfahrungen vermöge eines Grundtriebs unseres Intellekts geschaffen,

steht ¨über¨ den Dingen, Aristoteles und vermöge seiner Autorität fast

alle Nachfolger fassen sie als ¨neben¨ den Dingen, ἑν παρα τα πολλα.,

als ausserhalb der wirklichen Welt und in keinem Zusammenhange mit

ihr stehend, wie die ¨praestabilierte Harmonie des Leibniz¨, wo ihre

Wirkung dann allerdings unerklärlich ist. Aristoteles fasst die Idee

als ἑν κατα πολλα, als in jedem Dinge, jedes Ding existiert eigentlich

nur insoweit, als es seine Idee ausdrückt. Man sieht, dass er Platon

missversteht, um im Grunde auf ihn zurückzugreifen. Aristoteles

unterscheidet die ὑλη, den Stoff, die Materie, die gestaltlos, nur die

Möglichkeit, die δύναμις, zum Wirklichen, zur ενεργεια hat, das ihnen

allein durch die Idee εἶδος, die Form zugeführt wird. Die Idee ist

zugleich die ¨Zweckursache¨, der gemäss die Wesen sich entwickeln, sie

ist die Seele jedes einzelnen Dinges.

[Sidenote: Aristoteles, Stoff und Form.]

Man darf den aristotelischen Begriff der Form nicht mit unserm Wort

verwechseln, ein toter Mensch ist der Idee nach kein Mensch, noch ein

gefällter Baum ein Baum. Stoff und Form wechseln, Bauholz ist in Bezug

auf den lebenden Baum Stoff, in Bezug auf den unbehauenen Stamm Form,

Erz für den Bildhauer Stoff, für den Erzgiesser Form etc. So stellt

sich die Gesamtheit alles Seienden als eine Stufenleiter dar, deren

unterste Stufe, die erste Materie oder πρωτη ὑλη, unterschiedslos,

unbestimmt und formlos, deren oberste eine letzte Idee, der mit gar

keinen Stoff behaftete absolute göttliche Geist. Der Gottesbegriff des

Aristoteles hat etwas Überwältigendes. Er hat den ontologischen, den

kosmologischen, den teleologischen, den moralischen Beweis für das

Dasein Gottes geschaffen, er beherrscht die katholische Theologie nicht

nur durch das ganze Mittelalter, sondern noch heute und Metaphysik

XII finden Sie in einen bei Aristoteles ganz ungewöhnlichen fast

dichterischem Schwung die Schilderung des Wesens der Gottheit.

In dem Verhältnis des Stoffs zur Form hat nun Aristoteles die beiden

für sein System und für die ¨Mathematik¨ gleich wichtigen Begriffe

des Potentiellen und Aktuellen, der δυναμις und ενεργεια (auch

εντελεχεια Vollendung), Möglichkeit und Wirksamkeit geschaffen, denken

Sie nur an die potentielle und aktuelle (kinetische) Energie der

heutigen Mechanik. In der Auffassung der Bewegung als Übergang des

Potentiell-Seienden zum Aktuell-Seienden hat er die Schwierigkeit die

der Begriff des Werdens seinen Vorgängern machte überwunden; es ist

ein und dasselbe Sein, um das es sich handelt, nur auf verschiedener

Entwicklungsstufe. Potentiell, κατα δυναμιν ist das Samenkorn ein Baum,

der ausgewachsene Baum ist es aktuell, κατ' ενεργειαν. Potentieller

Philosoph ist Aristoteles, wenn er schläft, der bessere Feldherr Sieger

vor der Schlacht, potentiell ist der Raum ins Unendliche teilbar, die

Zahl ins Unendliche zählbar, potentiell ist Alles, was sich gemäss der

in ihm liegenden Idee entwickeln kann, wenn möglich zur Vollendung, zur

Entelechie, zur vollendeten Darstellung seiner Idee.

[Sidenote: Aristoteles, das Unendliche.]

Diese beiden fundamentalen Unterschiede des Seins, das Potentielle

und das Aktuelle, hat Aristoteles auch im Begriff des Unendlichen

hervorgehoben; von ihm rührt die bis auf den heutigen Tag, ich nenne

¨Georg Cantor¨, herrschende Unterscheidung des infinitum potentia

et actu, des Unendlichen im Werden und des Unendlichen im Sein. Es

ist unmöglich die Scholastiker oder Cusanus zu verstehen, ohne diese

Unterscheidung zu kennen. Aristoteles hat zuerst und bis auf ¨Galilei¨

als der Einzige wissenschaftlich den Begriff Unendlich untersucht. Wohl

hat Zeno den Integralbegriff gestreift, Demokrit diesen ganz bewusst

benutzt, aber hier handelt es sich um eine logische Untersuchung,

denn Unendlichkeitsbetrachtungen sind an sich so alt wie der Mensch.

Schon in den Veden kommt die Göttin des Unendlichen, ¨Aditi¨, vor

und Max Müller sagt in seiner ersten Strassburger Vorlesung »alle

Religion entspringt aus dem Druck, den das Unendliche auf das Endliche

ausübt«. Ich habe l. c. auf den Ursprung des Unendlichkeitsbegriffs

aus dem Werkzeug unseres Intellekts: Zeit hingewiesen, bezw, darauf,

dass wir uns ein Ende unserer Erlebnisse nicht denken können. Wenn

¨Frege¨ in seinen Grundlagen der Arithmetik von 1884 den Versuch macht

die Existenz von (n + 1) mittelst des Schlusses von n auf n + 1 zu

beweisen, so halte ich dagegen die Unendlichkeit der Anzahlenreihe für

das Prius, das unmittelbar durch den Zusammenhang der Ordinalzahl mit

der Zeit gegeben ist. Mit jedem neuen Erlebnis ist eben auch eine neue

Einheitssetzung und damit eine neue Ordinal- und Kardinalzahl gegeben.

Aristoteles kommt wie ¨Gauss¨ zu dem Schluss, dass das Unendliche im

Sein, das infinitum actu oder κατ' ενέργειαν, das ἄπειρον, das wovon

es kein Jenseits gibt, in der Natur nicht existiert, ἡ φυσις φευγει

το απερον, also als sinnlich wahrnehmbar existiert keine unendliche

Grösse. Nur in Gott als der unendlichen Kraft, welche die unendliche

Bewegung der Welt hervorbringt, existiert das infinitum actu. Wohl

aber gibt er zu, dass es ein infinitum potentia (κατά δύναμιν) gibt.

Die Raumgrösse ist unbegrenzt teilbar, aber ein unendlich kleines gibt

es nicht, sondern das ἄπειρον ist nur im Entstehen und Vergehen. Und

die Zeit und mit ihr die Zahl ist unendlich gross im Werden, aber auch

hier ist die Zunahme endlich, die grosse Zahl entsteht und vergeht, und

macht der grösseren Zahl Platz, eine unendlich grosse Zahl existiert

nicht. Aber dieser grosse Denker streift doch schon die Lösung, er

sagt in der Physik Cap. 5, 204: »Vielleicht ist die Untersuchung ob

das Unendliche auch in der Mathematik und in dem Denkbaren und in

demjenigen was keine Grösse hat, existiere, eine weit allgemeinere.«

Die Lösung liegt eben darin, dass das mathematisch Unendliche

überhaupt keine Grösse besitzt. Es genüge hier auf ¨B. Bolzano¨'s

klassische »Paradoxien des Unendlichen« zu verweisen. Bolzano, auf

den ¨Weierstrass¨ und ¨G. Cantor¨ ganz unmittelbar fussen, hat den

Hauptanstoss hinweggeräumt, allerdings wörtlich nach ¨Galilei¨, als

er hervorhob, dass der Begriff des Ganzen keineswegs durch alle seine

Teile hindurchzugehen braucht. Ich verweise hier auf einen Vortrag im

internationalen Kongress zu Rom.

[Sidenote: Raum und Zeit.]

Mit dem was Aristoteles über das ἄπειρον sagt, hängen seine

Betrachtungen über Raum und Zeit und Bewegung eng zusammen. Der Raum

kann wohl unbegrenzt verkleinert, aber nicht unbegrenzt vergrössert

werden, auch gegen den Demokritischen Begriff des leeren Raumes (und

des Atoms) polemisiert er, dagegen nähert er sich der Auffassung

¨Kants¨ und noch mehr der von ¨H. Cohen¨ beträchtlich und führt die

Zeit auf die Bewegung des Jetzt (το νύν) zurück und bemerkt, dass

sie ohne das erkennende Subjekt nicht existiere. Sehr wichtig ist

das, was er vom Zeit- und Raumpunkt sagt: das zeitlich und räumlich

nicht mehr Teilbare ist niemals an und für sich (actu) gegeben,

sondern nur potentiell in der ¨stetigen¨ Grösse enthalten, und wird

nur durch ¨Verneinung¨ d. h. durch negative Prädikate (limitierende

Urteil Cohens) erkannt. Und einigermassen erstaunt war ich, als ich

die Auffassung der Ruhe als Grenze der sich stetig verlangsamenden

Bewegung, welche ich mir vor 30 Jahren ohne noch ¨Leibniz¨ zu kennen

gebildet hatte, dem Wesen nach bei ¨Aristoteles¨ fand, der sagt, dass

es in einem Zeitpunkt weder Ruhe noch Bewegung gibt, sondern nur einen

Übergang und der Körper, wenn er von der Bewegung zur Ruhe übergeht,

noch in Bewegung ist.

¨Aristoteles¨ der heute nach mehr als 2000 Jahren noch lebendig

fortwirkt, der auf Christentum, Judentum, ja selbst auf den Islam

auf das tiefste eingewirkt hat, -- ist doch Moses ben Maimon,

der auf Thomas von Aquino so bedeutenden Einfluss übte, durch

seine Schule gegangen -- der abstrakteste Denker und zugleich der

exakteste Beobachter, der grösste Empiriker und zugleich einer der

grössten Idealisten, hat eigentlich erst die einzelnen Disziplinen

geschaffen. Bis zu ihm gibt es eine Gesamtwissenschaft τα μαθήματα,

von ihm ab und durch ihn existieren die einzelnen Disziplinen. Sein

Schüler Medon schrieb nach seinem Plan die Medizin »Ιατρικα.«, seine

Physik, Astronomie, Zoologie, Psychologie bilden den Inhalt der

Universitätsvorlesungen bis in die Neuzeit, Botanik, Meteorologie,

ja selbst Chemie wie Rhetorik, Poetik etc. werden selbständig, wie

Mathematik und die Philosophie selbst, der er die besondere Aufgabe

zuwies, die Erfahrung zur Einheit zusammenzufassen. Und nicht minder

die Geschichte, das erste Buch seiner Metaphysik ist die erste und

zugleich mit die beste Geschichte der Philosophie und überall hat

er Geschichte und ¨Kritik¨ hineingewoben. Von ihm an beginnt eine

500 Jahre andauernde Periode der Einzelforschung, die erst bei den

Neuplatonikern zur Zusammenfassung führt.

[Sidenote: Aristoteles: Theophrast, Eudemos.]

Die beiden bedeutendsten Peripatetiker, ¨Theophrast¨, der Freund und

Schüler des Aristoteles, der die Botanik seiner Zeit kodifiziert hat,

und ¨Eudemos¨ der Rhodier haben beide eine Geschichte der Mathematik

geschrieben. Die des Theophrast ist spurlos verschwunden, von der

des Eudemos sind spärliche Fragmente durch Proklos, Eutokios und

Simplicius erhalten, sowie eine Notiz aus dem Buch über den Winkel,

περί γωνίας, bei Proklos. Das wichtigste ist das oft erwähnte

Mathematikerverzeichnis bei Proklos. Friedl. Prolog II p. 65 ff., das

aber ¨Tannery¨ zufolge nicht direkt aus Eudemos stammt, sondern aus

einer Verarbeitung des Eudemos durch ¨Geminos¨ im 1. Jahrh. n. Chr. Es

endigt unmittelbar vor ¨Euklid¨.

[Sidenote: Euklid, vita.]

Von dem Verfasser der »Elemente«, des Werkes, das unter allen

mathematischen Werken für die Bildung der Menschheit weitaus das

wichtigste gewesen ist, kennt man weder Ort noch Zeit der Geburt

und des Todes, γενέσεως και φθοράς. Seinen Zeitgenossen und der

nächstfolgenden Generation war Euklid einfach der »στοιχειοτης«,

der Verfasser der Elemente und bald ging die Kenntnis seiner Person

verloren. Viele Jahrhunderte ist er mit dem Philosophen Euklid von

Megara verwechselt worden, der nach dem Tode des Sokrates die Schule

zusammenhielt, und dieser Irrtum findet sich schon bei Valerius

Maximus um 30 v. Chr. und ist dort aus einer falschen Auffassung einer

Stelle bei Geminos (Prokl. p. 60) entstanden. -- Das Wenige, was wir

von ihm wissen, verdanken wir zumeist ¨Proklos¨, einem Neuplatoniker

und Nachfolger (Diadochos) des Plato in der Leitung der Akademie,

d. h. also Rektor der Universität Athen, der um 450 n. Chr. einen

Kommentar zum Euklid verfasst hat, von dem uns die beiden Prologe und

der Kommentar des ersten Buchs der Elemente erhalten sind. Die Stelle

(Friedl. S. 68) lautet: »Nicht viel jünger als diese (Hermotimos, der

Kolophoner und Philippos, der Schüler Platons) ist Eukleídēs, der die

Elemente [τα στοιχεία] verfasste, wobei er vieles was vom ¨Eudoxos¨

herrührte, in zusammenhängende Ordnung brachte, vieles was Theaitet

begonnen, vollendete und ausserdem so manches was früher ohne rechte

Strenge bewiesen war, auf unantastbare Beweise zurückführte. Und

dieser Mann lebte unter Ptolemaios dem ersten, denn ¨Archimedes¨,

dessen Lebenszeit sich an die des ersten Ptolemaios anschliesst,

erwähnt des Euklid [in περί σφαίρας και κυλίνδρου, Heib. I, 2, p. 14]

und zwar erzählt er: Ptolemaios frug einmal den Euklid, ob es nicht

zur Geometrie einen bequemeren Weg gebe als die Elemente. Jener aber

antwortete: Zur Geometrie gibt es für Könige keinen Privatweg [ουκ εστι

βασιλικη ατροπος επι γεωμετριαν]. Er ist also jünger als die [direkten]

Schüler des Platon und älter als Eratosthenes und Archimedes, denn

diese waren Zeitgenossen, wie Eratosthenes irgendwo sagt. Aus Grundsatz

war er Platoniker und in der Platonischen Philosophie zu Hause.«

Danach ergibt sich für Euklid etwa 300 v. Chr. als Zeit seines

Mannesalters (der ακμή, der Zeit blühendster Körper- und Geisteskraft,

welche die Hellenen in das vierzigste Jahr verlegten), und dass er

in Athen an der Akademie gehört hatte und dem engeren Kreise der

Akademiker angehörte.

Zur Charakterisierung des Euklid haben wir noch eine Stelle bei

Stobaios. »Ein Mensch, der bei Euklid Unterricht in der Geometrie zu

nehmen begonnen hatte, frug, nachdem er den ersten Satz der Elemente

kennen gelernt hatte, was habe ich nun davon, dass ich das weiss?

Euklid rief seinen Sklaven und sagte: Gib dem Manne drei Obolen, da er

studiert um Profit zu machen.« Und schliesslich schildert ihn ¨Pappos¨

in der Vorrede zum 7. Buch der Kollektaneen wie folgt: Erat ingenio

mitissimus et erga omnes, ut par erat, benignus qui vel tantillum

mathematicas disciplinas promovere poterant, aliisque nullo modo

infensus, sed summe accuratus. »Er war von mildester Gesinnung und wie

es sich geziemt wohlwollend gegen jeden, der und wär's noch so wenig,

die mathematischen Disziplinen zu fördern vermochte, in keiner Weise

anderen gehässig, sondern im höchsten Grade rücksichtsvoll.« Sie sehen,

dass Euklid in der Tradition seines Volkes als hochgesinnter, reiner

wissenschaftlicher Tätigkeit hingegebener Mann fortlebte.

Gelehrt hat er für reife Leute, ganz in der Weise unserer

Universitätsprofessoren, an der Universität (Museum) ¨Alexandria¨,

wie uns l. c. Pappos berichtet. Unter der den Wissenschaften überaus

ergebenen Diadochen-Dynastie der Ptolemäer entwickelte sich des grossen

Alexander Stadt zur Zentrale des Hellenischen Geisteslebens. Man nennt

diese Periode die ¨Hellenistische¨. Es ist lange Zeit Mode gewesen die

Alexandriner zu verspotten als Pedanten, wegen ihrer grammatischen,

auf die einzelnen Worte gerichteten Untersuchungen, haben sie doch

z. B. die Akzente eingeführt. Aber auf dem Gebiete der exakten

Wissenschaften ist die Hellenistische Periode erstklassig. Euklid grade

hat den Schwerpunkt von Athen nach Alexandrien verlegt, ¨Archimedes¨,

¨Apollonios¨, ¨Eratosthenes¨ sind aus der Alexandrinischen Schule

hervorgegangen. --

[Sidenote: Euklid, Schriften: die Data.]

Die Euklidischen Schriften kennen wir durch die Angaben der Proklos

p. 68 f. und Pappos l. c. Von den Elementen abgesehen sind im

griechischen Urtext erhalten a) die Data, δεδομενα, »Gegebenes,« mit

einer Vorrede des ¨Marinos¨ von Neapolis in Palästina, einem Schüler

des Proklos. Die Echtheit des Textes wird durch die Inhaltsangabe

bei Pappos (300 n. Chr.) bestätigt, welche im Wesentlichen mit dem

Text der Codices übereinstimmt. Die Schrift enthält 95 Sätze (Pappos

90) welche aussagen, dass wenn gewisse geometrische Gebilde gegeben

sind, andere dadurch mit bestimmt sind, also eine Art ¨geometrischer

Funktionentheorie¨. Beispiele: Satz 2: Wenn eine gegebene Grösse zu

einer zweiten Grösse ein gegebenes Verhältnis hat, so ist die zweite

ebenfalls gegeben. Satz 33: In einem gegebenen Streifen ist durch die

¨Winkel¨, welche eine Querstrecke mit den Grenzen bildet, die ¨Länge¨

der Querstrecke bestimmt. Dem Inhalt nach gehen die »Data« nicht über

die »Elemente« hinaus, doch war und ist eine solche Zusammenstellung

praktisch im hohen Grade wertvoll für die Anwendung der seit und durch

Platon sich immer mehr ausbreitenden analytischen Methode, deren Wesen

gerade darin besteht, die durch die gegebenen Stücke mit bestimmten

Punkte, Linien, Figuren aufzusuchen, bis man zu einer konstruierbaren

Nebenfigur gelangt. Die Data sind daher eine sich eng an die Elemente

anschliessende Anleitung zum Konstruieren nach der analytischen

Methode, etwa entsprechend ¨Petersen's¨ bekannten »Methoden und

Theorien«.

[Sidenote: Astronomie.]

Erhalten ist unter dem Titel »Phaenomena« eine Schrift über Astronomie

(lectio sphaerica) mit den Anfangsgründen der Sphärik. Die Schrift

geht bedeutend über die kurz vorhergehende des ¨Autolykos¨ hinaus. Ich

bemerke beiläufig, das die lectio sphaerica bis in die Neuzeit hinein

der Schrittmacher für die Geometrie gewesen, die sich im Lehrplan der

Gymnasien erst aus ihr entwickelt hat. Die Schrift beginnt mit dem

Satz: »Die Erde liegt in der Mitte der Welt und vertritt in bezug auf

dieselbe die Stelle des Mittelpunkts« (Aristoteles) und schliesst mit

dem Satz: »Von zwei gleichen Bogen des Halbkreises zwischen dem Äquator

und dem Sommerwendekreis durchwandelt der eine, beliebig genommen in

längerer Zeit die sichtbare Halbkugel als der andere die unsichtbare.«

Das Wort »¨Horizont¨« stammt aus der Schrift, welche von Pappos im

6. Buch seiner Kollektaneen erläutert und ergänzt wurde. (¨A. Nokk¨,

deutsche Übersetzung Prgr. Freiburg i. Brg. 1850). ¨Heiberg¨ hat

nach einer Bemerkung Nokks bewiesen, dass diese Schrift des Euklid

einen sehr wesentlichen Bestandteil der für unsere elementare Sphärik

grundlegenden Schrift des ¨Theodosios von Tripolis¨ (etwa 100 v. Chr.)

gebildet hat (siehe ¨M. Simon¨, ¨Euklid¨ und die sechs planim. Bücher,

Leipzig 1901).

[Sidenote: Optik.]

Echt Euklidisch sind auch die »Optica«, deren Text Heiberg restituiert

hat. Der sonst gebräuchliche Text geht vermutlich auf ein Kollegienheft

nach ¨Theon¨ von Alexandrien, dem Vater der ¨Hypatia¨, der ersten uns

bekannten ordentlichen Professorin. Sie ist mutmasslich der Autor

unserer Quadratwurzelausziehung und bekannt durch ihre Schönheit

und ihr unglückliches Schicksal. Von dem bestialischen christlichen

Mönchspöbel Alexandriens zerrissen, wurde sie nach ihrem Tode zu

Professorenromanen ausgeschlachtet. Die Schrift Euklids gehörte zu der

Sammlung, welche unter dem Titel »μικρος αστρονουμενος,« der kleine

Astronom, neben den »Elementen« das Rüstzeug des Astronomen bildete,

ehe er an das grosse Lehrbuch des Ptolemaios, die μεγαλη συνταξις

(der Almagest) gehen konnte. Die Schrift gibt die Anfangsgründe der

Perspektive.

Dagegen ist die andere Schrift über Optik, welche unter Euklids Namen

ging, die ¨Katoptrik¨ unecht. ¨Heiberg¨ macht es sehr wahrscheinlich,

dass die von Proklos unter diesem Titel erwähnte Schrift des Euklid

rasch durch das inhaltreiche Werk des ¨Archimedes¨ über den gleichen

Gegenstand verdrängt wurde.

[Sidenote: Euklid, Schriften: Musik.]

Noch über einen anderen Zweig der angewandten Mathematik haben

wir eine Schrift des Euklid, die καταιομη κανονος, die Lehre von

den musikalischen Intervallen, 20 Sätze, wissenschaftlich auf dem

Standpunkt der Pythagoräer. Eine zweite musikalische Schrift, die

Harmonielehre, εισαγωγή ἁρμονική, rührt wie schon ¨Hugo Grotius¨

1599 erkannte von dem Aristoxenianer Kleonides her. [¨Aristoxenos¨,

direkter Schüler des Aristoteles als Philosoph, setzte der auf die

arithmetischen Intervalle gegründete Harmonielehre der Pythagoräer die

Lehre von den harmonischen Sinneseindrücken entgegen].

[Sidenote: Über Teilung.]

Aus ¨Arabischen Quellen¨ besitzen wir durch ¨Dee¨ 1563 eine Bearbeitung

und durch ¨Woepcke¨ 1851 eine Übersetzung der von ¨Proklos¨ zweimal

erwähnten Schrift περὶ διαιρέσεων, über Teilungen, welche wertvolle

Aufgaben über Flächenteilung enthielt. Dort findet sich die noch

heute im Schulunterricht stets vorkommende Aufgabe: ein Dreieck durch

Gerade von gegebener Richtung in Teile zu teilen, welche ein gegebenes

Verhältnis haben; ferner Teilung von Vierecken, von Kreisen, von

Figuren die von Kreisbogen und Geraden begrenzt sind. Euklid zeigt sich

hier als sehr gewandter Konstrukteur, er benutzt ausser den Sätzen der

Elemente nur solche, welche sich mühelos aus ihnen ergeben.

[Sidenote: Euklid, Verlorene Schriften.]

¨Verloren¨ sind die Schriften, welche sich auf die eigentliche höhere

Mathese seiner Zeit beziehen. Zunächst die zwei wichtigen Bücher τόποι

πρὸς ἐπιϕάνειαν, Oberflächen als geometrische Orte, welche Proklos und

Pappos erwähnen. Der Begriff des geometrischen Ortes wird schon von

Pappos gerade so wie heute definiert als die Gesamtheit aller Punkte,

denen ein und dieselbe bestimmte Eigenschaft (Symptoma) zukommt, und je

nachdem diese Gesamtheit eine Linie oder eine Fläche bildete, heissen

die Orte Linien- oder Flächenorte. Davon verschieden sind »körperliche

Orte« (στερεοι), dies sind Linien, welche durch den Schnitt von

Körpern entstehen, wie die ¨Kegelschnitte¨. Die Schrift des Euklid

hat nach Pappos vermutlich Ortseigenschaften der Kugel-, Kegel- und

Zylinderflächen behandelt und scheint in der bedeutenderen Arbeit des

¨Archimedes¨ über Konoide und Sphäroide aufgegangen zu sein.

[Sidenote: Porismata.]

[Sidenote: Elemente.]

Mehr wissen wir von den 3 Büchern »Porismata«, da Pappos den Inhalt

so ausführlich angegeben hat, dass ¨Michael Chasles¨ danach eine

Rekonstruktion versucht hat, nach Vorarbeiten von ¨R. Simson¨, dessen

Euklidbearbeitung von 1756 noch heute für England massgebend ist.

Allerdings hat ¨P. Breton de Champ¨ zuerst erkannt, dass die 29

Sätze in der Vorrede des VII. Buches bei ¨Pappos¨ ein Résumé der 171

Sätze des Euklid enthalten. Das Wort Porisma selbst bildet noch eine

Streitfrage. Es hat 2 Bedeutungen, erstens Zusatz, so kommt es vielfach

in den Handschriften der Elemente vor, zweitens bedeutet es ein

Mittelding zwischen einem gewöhnlichen Lehrsatz und einem sogenannten

Ortssatz, d. h. einem Satz der ausspricht, dass eine bestimmte Kurve

eine bestimmte Eigenschaft hat. Als Beispiel diene der Satz: Der

Ort der Punkte, deren Abstände von zwei festen Punkten ein festes

Verhältnis haben ist der Kreis (des ¨Apollonios¨) dessen Durchmesser

die Strecke zwischen den beiden in diesem Verhältnis zu den gegebenen

Punkten harmonischen auf der gegebenen Graden ist. Ein Porisma wäre

demzufolge in der Geometrie etwa das, was man in der Arithmetik

einen Existenzbeweis nennt, es spräche aus, dass ein bestimmter Ort

existiert, ohne ihn direkt zu konstruieren. Die Porismata bildeten

vermutlich für die synthetische oder direkte Konstruktionsmethode

ein Seitenstück zu den »Data« als Hilfsmittel für die analytische

Methode. Nach dem Résumé bei Pappos gingen sie weit über die Elemente

hinaus und mit ¨Chasles¨ und ¨H. Zeuthen¨ müssen wir annehmen, dass

sie die Grundlagen für die ¨projektive¨ Behandlung der ¨Kegelschnitte¨

enthalten.

Auch über diese zu seiner Zeit höchste Mathematik hat Euklid

geschrieben, vier Bücher Konika. Ebenso wie Euklid die Arbeiten seiner

Vorgänger insbesondere des Theudios für seine Elemente benutzte und

verdrängte, wurden seine Konika nach dem Zeugnis des Pappos von dem

grossartigen Werk der 8 Bücher Konika des ¨Apollonios¨ verdrängt, in

dessen erste 4 Bücher sie vermutlich vollständig Aufnahme gefunden

haben. Sie werden daher auch schwerlich aus arabischen Quellen je

wieder zum Vorschein kommen, wenn sie nicht zufällig als Leichenbinde

einer Mumie gefunden werden.

Verloren ist auch eine Schrift mathophilosophischen Charakters

ψευδαρια, »Trugschlüsse« genannt und zwar sind absichtliche

Falschschlüsse gemeint. Proklos nennt die Schrift »καθαρκεικον και

γυμναστικον«, reinigend und übend durch Anstrengung d. h. die Schrift

war zur Geistesgymnastik der Schüler bestimmt.

Und nun zu dem Werke das den Namen des Euklid unsterblich gemacht hat,

zu den Elementen, die »στοιχεία«, wozu ich meine Schrift Euklid etc.

von 1901 heranzuziehen bitte.

Die Elemente des Euklid.

[Sidenote: Die Elemente des Euklid.]

Den 13 Büchern der Elemente des Euklid wurden schon früh zwei Bücher

angehängt. Das 14. Buch ist eine tüchtige Arbeit des in Alexandrien

etwa 150 v. Chr. lebenden Mathematikers und Astronomen ¨Hypsiklēs¨,

über die fünf regulären (platonischen) Körper; das 15. Buch ist

eine weit schwächere Arbeit und hat nach ¨Tannery¨ und ¨Heiberg¨,

beides grosse Kenner der hellenischen Mathematik, einen Schüler des

¨Isidoros¨, des Erbauers der Sophienkirche um 530 n. Chr. zum Verfasser.

Den Zweck der Elemente gibt Proklos S. 72 an: Elemente nennt man

das, dessen Theorie hinreicht zum Verständnis von allem anderen, und

mittelst dessen man im Stande ist die Schwierigkeiten, welche das

andere bietet, aus dem Wege zu räumen. Stoicheion bedeutet eigentlich

Buchstabe und l. c. sagt Proklos gradezu: die Elemente enthalten

die Sätze, welche als Bestandteile aller folgenden auftreten, wie

die Buchstaben im Wort. Die Grundbedeutung von Stoichos ist eine

militärische es bedeutet das, was wir einen Zug nennen, also auch die

Grundlage der Formation.

Der Zweck und die Notwendigkeit der Euklid'schen Elemente folgt aus der

Entwicklung der hellenischen Mathematik. Die Pythagoräer (s. d.) waren

bei den Problemen zweiten Grades auf die √2, die Savisescha gestossen

oder gestossen worden und damit auf die Irrationalzahl und die

Inkommensurabilität. Damit wurden alle früheren Beweise über Teilung,

Ähnlichkeit, Flächenmessung hinfällig. Das 4. Jahrhundert, ¨Platon¨,

Theaitet, Eudoxos und die Schüler des Platon und Eudoxos, widmeten

sich der methodischen Arbeit die neuen Grundlagen festzustellen. Boten

doch die mathematischen Definitionen Platon vortreffliche Beispiele

seinem sokratischen Hang zur Definition der Begriffe zu folgen. Von

¨Eudoxos¨ rührt das ganze fünfte Buch der Elemente, die Lehre von

den Proportionen in, ich möchte sagen, Weierstrass'scher Strenge,

her, er ist der eigentliche Schöpfer der Exhaustionsmethode, die

vermutlich durch ihn schon bei ¨Aristoteles¨ erwähnt ist, und die

sich später, befruchtet mit dem Demokritischen Differentialbegriff,

bei Archimedes und Apollonios zur Infinitesimalrechnung auswuchs. Von

¨Theaitet¨ wissen wir, dass er die Einteilung der Irrationalzahlen oder

genauer die Lösung von Gleichungen 4. Grades, welche auf quadratische

Gleichungen reduzierbar sind, jedenfalls begonnen hat. Wahrscheinlich

von ¨Platon¨ selbst, jedenfalls aus seiner Schule, rühren die Fassungen

vieler Definitionen und Axiome bei Euklid her, welche Aristoteles (vgl.

¨Heiberg¨, Teubnersche Abh. z. Gesch. etc. Heft 18, 1904) nach den

Elementen des Magnesiers Theudios zitiert. Nach einem Jahrhundert waren

die methodischen Arbeiten zum Abschluss reif und den gab Euklid, bei

dem das methodische Gefühl bereits in so eminenten Grade ausgebildet

ist, dass er mit dem Beweise schliesst: ¨Mehr als fünf regelmässige

Körper kann es nicht geben.¨

Die Aufgabe die er sich setzte auf Grund der notwendigsten

Voraussetzungen die Geometrie und in geometrischer Einkleidung auch die

Arithmetik als ein zusammenhängendes Ganzes unantastbar darzustellen,

hat er in einer Weise gelöst, die alle Vorgänger spurlos verschwinden

liess und die, niemals übertroffen, die Bewunderung aller Zeiten und

aller Völker erregt hat.

Daran schliesst sich die Frage, inwieweit Euklid in den Elementen

Eigenes gegeben. Die Frage ist nur summarisch zu beantworten.

¨M. Cantor¨ sagt: »Ein grosser Mathematiker wird auch da, wo er

anderen folgt, seine Eigentümlichkeit nicht verleugnen, und so war

es sicherlich auch bei Euklid.« Gewiss, denn so ist es ja bei jedem

Schullehrer, der seine Elemente gedruckt oder ungedruckt traktiert.

Aber ebenso klar ist es auch, dass ein Werk wie die Elemente die Kräfte

eines einzelnen übersteigt, und eine ganze Reihe von Vorarbeiten

erfordert, von Hippokrates, Leōn, der die Fülle der Sätze und Strenge

der Beweise erhöhte (Proklos 66 unten) bis auf Theudios, der sich auch

in den anderen Wissenschaften auszeichnete. Die von ¨Heiberg¨ l. c.

gesammelten Zitate aus seinen Elementen zeigen vielfach wörtliche

Übereinstimmung. Ebenso sicher ist die Form des Vortrags die zum Teil

schon von den Ägyptern überkommene gewesen, samt den so berühmten

Schlussformeln »quod erat demonstrandum«, was zu beweisen war, ὅπερ

ἔδει δεῖξαι, und quod erat faciendum, was zu machen war, ὅπερ ἔδει

ποιῆσαι. Euklid gehört wohl vor allem die Auswahl der Definitionen an,

die Forderungen (Erfahrungstatsachen) sind sein Eigentum, wie Heiberg

l. c. festgestellt hat, oder wenigstens ihre Trennung von den Axiomen,

und dann die strenge Durchführung des Prinzips keinen früheren Satz

mittelst eines späteren zu beweisen, kein Gebilde zu benutzen, dessen

Existenz nicht vorher durch geforderte oder gegebene Konstruktion

gesichert ist.

Ferner gehört ihm ein grosser Teil des zehnten Buches, die Vollendung

der Einteilung der Irrationalitäten durch Theaetet. Dem Euklid

gehört der elementare Beweis (ohne Integralrechnung) des Satzes,

dass die Pyramide gleich dem dritten Teil des Prisma ist, dass mit

ihr gleiche Grundfläche und Höhe hat; sodann viele Sätze des 13.

Buches über die Bestimmung von Stücken der regulären Körper und mit

grösster Wahrscheinlichkeit der schon erwähnte Schlusssatz. Etwa 420

war das Dodekaëder den Hellenen bekannt geworden, wenig früher war

überhaupt erst das logische Element in der Geometrie, die Forderung

nach dem Beweise, zur Geltung gekommen. Die Ausbildung des logischen

Sinnes bis zum Bedürfnis eines solchen Existenzbeweises erforderte

sicher ein Jahrhundert. Der einzige, der noch in Frage kommen konnte

wäre ¨Eudoxos¨, doch überwog bei ihm auf der Höhe seiner Kraft das

astronomische Interesse.

[Sidenote: Parallelentheorie.]

Wenn ich aber trotz der verhältnismässig geringen »Produktivität«

Euklids doch ¨M. Cantor¨ beipflichte, der ihn zu den drei Heroen der

griechischen Mathematik im 3. Jahrh. zählt, so tue ich es mit Rücksicht

auf Euklids Behandlung des Parallelenproblemes, dass er so recht

eigentlich in die Welt geworfen hat und das bis auf den heutigen Tag,

ja heute noch mehr als je im Zentrum des Interesses steht. Der gesamte

Aufbau des grundlegenden ersten Buches wird vom Parallelenproblem

beherrscht. Euklid hat rund 2000 Jahre vor ¨Saccheri¨ und ¨Legendre¨

den Zusammenhang des Problems mit dem Satz über die Winkelsumme

im Dreieck erkannt. Schon Proklos hat bemerkt, dass das berühmte

und berüchtigte sogen. »11. Axiom«, richtiger die 5. Forderung,

hervorgegangen ist aus dem vergeblichen Bemühen den Satz: »In jedem

Dreieck sind zwei Winkel zusammen kleiner als 2 Rechte« umzukehren; und

so kam er zu der Forderung in der Fassung: »Und wenn eine, zwei Geraden

schneidende, Gerade mit ihnen innere an derselben Seite liegende Winkel

bildet, die zusammen kleiner sind als 2 Rechte, so schneiden sich jene

beiden Geraden bei unbegrenzter Verlängerung an der Seite, auf der

diese beiden Winkel liegen.«

[Sidenote: Die Elemente des Euklid, Ausgaben.]

Von der Bibel abgesehen, ist niemals ein Werk in so vielen Auflagen und

Bearbeitungen verbreitet gewesen, als die 13 »βιβλία« des Eukleídes,

dessen Namen geradezu mit der Geometrie identifiziert wird. Eine

sehr vollständige Zusammenstellung findet sich in Mem. d. R. Acad.

d. Sc. d. Ist. di Bologna Serie IX, T. VIII und X 1887 und 1890 von

¨P. Riccardi¨; ¨R. Bonola¨, Bull. d. ¨Loria¨ und Festschr. f. Joh.

Bolyai 1902 zählt gegen 1700 Ausgaben. Im Mittelalter und bis in die

Neuzeit wird die Professur für Geometrie häufig als die des Euklid

bezeichnet, die Studenten lasen den Text, sei es ganz, sei es im

Auszug, und der Professor kommentierte, wobei selten mehr als das

erste Buch erledigt wurde. ¨Savile¨, der die noch heute in ¨Oxford¨

bestehende Professur des Euklid stiftete, kam bis zum 8. Satz des

ersten Buches, nur ¨Petrus Ramus¨, dessen Bedeutung in erster Linie auf

seiner Lehrtätigkeit und seiner grossen literarischen Bildung beruht,

rühmte sich die ganzen Elemente in einer Vorlesung erledigt zu haben.

Es war selbstverständlich, dass der Text im Laufe der Jahrhunderte

entstellt, verdorben, erweitert wurde. Letzteres gilt besonders für die

schwierigen Teile des zehnten bis letzten Buches.

[Sidenote: Euklid, Übersetzungen der Elemente.]

Ich verweise auch für die Bibliographie der Elemente auf meine Schrift

von 1901, hervorzuheben ist die Bearbeitung des ¨Theon v. Alexandria¨,

der etwa 350 n. Chr. lebte und lehrte, sie muss die früheren fast

völlig im Buchhandel verdrängt haben, obwohl sie keinen Fortschritt

bedeutete. Alle bis 1808 bekannte Codices, deren Zahl sehr gross ist,

alle Drucke und Übersetzungen sind, wenn man von ¨arabischen Quellen¨

absieht, aus dieser Ausgabe hervorgegangen. Erst 1808 fand ¨F. Peyrard¨

in einer durch ¨Napoleon¨ dem Vatikan geraubten Handschrift (Vatic.

190, 1814 zurückgegeben) die bis jetzt einzige vollständige

Handschrift, welche auf eine ältere und bessere Ausgabe zurückgeht. Aus

diesem Codex konnte man die Änderungen des Theon feststellen und die

Codices kritisieren, eine Arbeit, welche von ¨E. F. August¨ 1826-29 in

seiner griechischen und noch gründlicher von ¨J. L. Heiberg¨ in der

griech.-lat. Ausgabe von 1882-88 geleistet ist. Ausser dem Vat. 190

geht auch der Palimpsest Bologna M. 1721 (¨Heiberg¨, Cant.-Schlöm. 29)

auf ältere Quellen als Theon zurück.

Neben dürftigen Auszügen die, von oder nach ¨Boëtius¨ (etwa 500 n.

Chr.) verfasst, sich in den Klöstern und Klosterschulen hielten und

besonders durch ¨Gerbert¨ den nachmaligen Papst Sylvester II. von

Wichtigkeit wurden, verdankt Europa die Kenntnis der Elemente den

arabischen Übersetzungen und Bearbeitungen. Auf sie geht die erste

gedruckte Ausgabe zurück, die dem ¨Giovanni Campano¨ aus Novara

zugeschrieben wird, der um die Mitte des 13. Jahrh. gelebt hat, und

1482 bei ¨Erhard Ratdolt¨ in Venedig erschienen ist. Die Ausgabe

ist sehr selten, sie ist von ¨A. G. Kästner¨ Gesch. der Math. Bd. I

S. 289 f. genau beschrieben.

Als der hellenische Geist zum zweiten Male für die europäische Kultur

fruchtbar wurde in jener Glanzepoche, die man die ¨Renaissance¨ nennt,

erschienen zunächst lateinische Ausgaben gestützt auf griechische

Codices. Die erste Originalausgabe ist die des Simon Grynaeus des

älteren, sie erschien 1533 bei ¨Herwagen¨, der auch in Strassburg eine

Druckerei besass, leider verarbeitet diese Ausgabe zwei sehr schlechte

Handschriften.

[Sidenote: Euklid-Commentatoren.]

Indem ich wieder auf meine zitierte Schrift verweise, erwähne ich

nur noch die beiden wichtigsten lateinischen Ausgaben, die des

¨Commandinus¨ Pisa 1572, der zuerst unseren Euklid von dem Megarenser

schied, und die des ¨Clavius¨ von 1574. Die Arbeit dieses für seine

Zeit hoch bedeutenden Jesuiten ist von allen Historikern der Mathematik

von ¨Montucla¨ und ¨Kästner¨ bis auf ¨M. Cantor¨ gleich hoch gewertet

worden; Kästner nennt sie die Pandekten der Mathematik, sie soll 22

Auflagen gefunden haben.

¨Die Commentatoren des Euklid¨, vergl. Euklid 1901 p. 16 ff.

Der festgefügte Bau der Elemente hat, wie er seinerseits die höchste

Bewunderung erregte, andererseits die Versuchung erweckt die

Geometrie auf andere Weise ebenfalls zu begründen. Dazu kommt, dass

der Euklid in seinem ersten Buch einen mathophilosophischen Teil

enthält, der die Grundbegriffe der Geometrie und die nötigen und

hinreichenden Voraussetzungen angibt, von denen die ersteren ihrer

Natur nach unauflöslich, die anderen variabel sind. So haben die

Elemente des Euklid, und das ist vielleicht sein grösstes Verdienst,

eine staunenswerte Geistesarbeit hervorgerufen, die besonders in der

Geschichte des Parallelenaxioms zutage tritt. Hier will ich nur (Euklid

1901) einen Überblick über die hervorragendsten Interpretationen geben,

welche zeigen, wie Recht ¨Gino Loria¨ hat, wenn er als Prinzip seiner

schönen Arbeit »Della varia fortuna di Euclide, Roma 1893« das ¨Gesetz

der Kontinuität¨ ausspricht. Es geht ein ununterbrochener Zusammenhang

von Archimedes und Apollonios bis Veronese und Hilbert.

Von ¨Apollonios¨ sind Spuren eigener »Elemente« erhalten; darunter eine

ganz allgemeine Definition des Winkels (Heiberg V S. 88).

¨Archimedes¨ gab eine von Euklid abweichende mechanische

Grundeigenschaft der Geraden (ebenfalls auch der Ebene) an und neue

Prinzipien, darunter das nach ihm benannte, obwohl von ¨Eudoxos¨

oder vielleicht ¨Demokrit¨ stammende für die Exhaustionsmethode, die

er zur Integralrechnung umbildete. Ihm schliesst sich ¨Heron¨ von

Alexandrien, der grösste Mechaniker des 1. Jahrh. an; von seinem

Kommentar sind uns Fragmente durch Proklos und ¨An-Narizi¨ (s. u. bei

Heron) überliefert.

Aus der Zusammenstellung der Euklidstellen bei ¨Heron¨ durch Heiberg

geht klar hervor, dass die Definitionen des Euklid schon zu Herons

Zeit die uns überlieferte Form hatten, Euklid also damals schon, wie

¨Tannery¨ sagt, der unantastbare Klassiker der Elemente war.

Es ist das Parallelenaxiom und die Definitionen, überhaupt die ganze

Anordnung der ersten Bücher, dann gewisse Inkongruenzen zwischen dem

sechsten und den beiden letzten Büchern, der sonderbare Umstand,

dass Euklid die Lehre von den Proportionen ganz allgemein im fünften

Buch begründet, und dann die elementare Lehre von den Verhältnissen

ganzer Zahlen noch einmal im siebenten Buche gibt, was von jeher die

Kommentatoren in Tätigkeit gesetzt hat.

Die Inkongruenz bezieht sich besonders auf die Bewegung. In den

sechs planimetrischen Büchern wird sie ängstlich vermieden; nur zum

Beweis des 4. Satzes (ersten Kongruenzsatz) und seiner Umkehrung wird

sie herangezogen, dagegen scheut sich Euklid im 11. und 12., den

stereometrischen Büchern, absolut nicht die Definition der Körper auf

die Bewegung zu stützen.

Man hat daraus schliessen wollen, »einen Homeros gab es nie, sondern

acht bis zehn«, aber Euklid war Platoniker, und nach Platon und

Aristoteles setzt der Begriff der Bewegung einen körperlichen Raum

voraus.

Auf Heron folgt Gemīnos, bezw. Géminus, von dem Proclus berichtet,

er habe die Verschiebbarkeit in sich der Schraubenlinie auf dem

Rotationscylinder, wenn nicht gefunden, so doch gekannt. Es folgt

eine Ära, in der die zusammenfassende eigentlich philosophische

Geistesrichtung unter dem Einfluss des Aristoteles gegen die Ausbildung

der einzelnen Spezialwissenschaften zurücktritt. Aus dieser Zeit, in

der sich von mathematischen Disziplinen die Trigonometrie (ebene und

sphärische) im Anschluss an die Astronomie entwickelt, wissen wir von

besonderen Kommentaren nichts, aber von den Elementen, dass sie für

unentbehrlich zur Ausbildung der angewandten Mathematiker galten.

Als gleichzeitig mit dem Christentum gegen diese nüchterne Periode

in Anlehnung an den Theosophen Platon zunächst der Neupythagoreismus

sich erhob, war es anfangs die arithmetische Seite des Euklid, die

Bücher 7, 8, 9, die in Nikomachos von Gerasa um 100 n. Chr. dem

»Elementenschreiber der Arithmetik« (¨M. Cantor¨) und in Theon von

Smyrna ihre Kommentatoren fand. Um 300 lehrte dann zu Alexandria

¨Pappos¨, dessen Kollektaneen von unschätzbarer Bedeutung sind. Pappos

hat sicher einen Kommentar zum zehnten Buch geschrieben, von dem Reste

im Vaticanus erhalten sind und der uns nach Heiberg wahrscheinlich ganz

in einem noch unedierten Leydener Manuskripte erhalten ist.

Mit dem ¨Neuplatonismus¨, jener seltsamen Mischung christlicher und

platonischer Mystik, nimmt auch die Mathematik die platonische Richtung

auf die Probleme, welche die geometrischen Grundbegriffe und die

Methodik bieten energisch auf. Ich nenne ¨Jamblichos¨, ¨Porphyrios¨,

von denen uns Spuren ihrer Scholien erhalten sind, ¨Theon¨ und

¨Proklos¨, dessen Kommentar zum ersten Buch uns fast ganz erhalten ist.

Der Kommentar, der bis 1873 nur in der Ausgabe von ¨Simon Grynäus¨

1533 bei Herwagen gedruckt war, ist für die Geschichte der Mathematik

bei den Hellenen einzig; Tannery, der zuverlässigste Detailforscher

hellenischer Mathematik, nennt sein Verständnis geradezu das Problem

der Geschichte der Mathematik.

Die Ausgabe von ¨Friedlein¨ 1873 ist philologisch sehr bedeutend, wenn

auch nach ¨Heiberg¨ noch nicht das letzte Wort über Proklos, aber

griechisch; es existiert nur die lateinische Übersetzung des ¨Barocci¨

von 1560, welche oft nur eine Wortübersetzung ist und von Taylor

ebenso wörtlich ins Englische übertragen ist.

Als ¨Justinian¨ 529 die Schule von Athen, mit der die hellenische

Kultur begann und schloss, aufhob und die Lehrer vertrieb, kam ¨Euklid¨

mit ihnen nach Persien und so an die Araber, wo er, wie schon gesagt,

im 8. und 9. Jahrh. an Haggag und Ishaq Übersetzer fand. Sehr bald

darauf muss es auch arabische Kommentare gegeben haben, wie aus

der Ausgabe des Campanus hervorgeht; der schon erwähnte ¨Nasir ed

Din¨ im 13. Jahrh. ist keineswegs unbedeutend, der auch zuerst die

Trigonometrie als eigenen Zweig behandelt hat.

Die Renaissance macht Proklos bekannt, an ihn schliesst sich

¨Commandinus¨ und ¨Clavius¨ an. Der erstere wirkte besonders auf

die Engländer, auf ¨Savile¨, der die Professur des Euklid in Oxford

begründete, wodurch ¨Wallis¨ und wohl auch ¨Barrow¨ (erste Ausgabe

1652) und durch diese Newton auf Euklid und die Beschäftigung mit den

Grundlagen hingewiesen wurden.

Vor allem haben wir ¨Robert Simson¨ zu nennen, der direkt Commandinus

zugrunde legt und der besonders auf die englische Schulmathematik vorn

allerwesentlichsten Einfluss gewesen ist. Der Kommentar erschien 1756,

Titel: die sechs ersten Bücher des Euklid mit Verbesserung der Fehler,

wodurch Theon und Andere sie entstellt haben etc. mit erklärenden

Anmerkungen (aus dem Englischen übersetzt von Rieder. Herausg. von

Niesert, Paderborn 1806).

¨Clavius¨ kennt den Proklos ganz genau; auch er harrt noch der

deutschen Herausgabe, der er in hohem Grade wert ist; er hat neben

¨Borelli¨ (Euklides restitutus 1658) sicher auf seinen Ordensbruder

¨Saccheri¨ gewirkt, von dessen: Euklides ab omni naevo vindicatus

(Mediol. in 4. 1733), die heutige sogenannte nicht-Euklidische

Geometrie gezählt wird. Es ist wahrscheinlich, dass ¨Lambert¨ in

Chur den Saccheri kennen lernte und fast sicher, dass ¨Gauss¨ wieder

Lamberts Abhandlung im Hindenburg'schen Archiv von 1786 gelesen.

Gauss wirkte dann auf seinen Jugendfreund ¨Wolfgang Bolyai¨ und durch

ihn auf seinen Sohn ¨Johann¨ und durch Vermittelung von Bartels auf

¨Lobatscheffski¨.

Für Frankreich ist ausser Clavius noch ¨Petrus Ramus¨, der

sogenannte »Besieger der Scholastik«, von Bedeutung. Ramus, dem es

an philosophischer Tiefe fehlte, war nicht imstande den Euklid zu

würdigen wie ganz besonders seine Kritik des zehnten Buches beweist,

aber seine revolutionäre Anfechtung der Autorität kommt in Frankreich

im 18. Jahrh. zur Geltung. Hier geht der Weg von Clavius über Tacquet

1659 und Arnauld durch Zurückgreifen auf Ramus zu ¨Clairaut¨ 1741 und

¨Legendre¨ 1794 und ¨Bertrand¨ 1810. ¨Clairaut¨, dessen wahrhaft kühne

Elemente der Geometrie vom Rechteck als der unmittelbar anschaulichen

Figur ausgeht, hat sich auch auf die deutschen Ritterakademien, z. B.

Ilfeld verbreitet. Es scheint, als ob auch ¨Lambert¨ ihn gekannt hat;

doch ist der Ausgangspunkt vom Rechteck ein so natürlicher, dass ich

selbst um 1880 ohne eine Ahnung von Clairaut oder Lambert zu haben, im

Unterricht einen ganz ähnlichen Weg einschlug. Der ausserordentliche

Erfolg und die grosse Verbreitung der »¨Elements¨« ¨Legendres¨ (1794)

ist bekannt und berechtigt; noch heute beeinflussen sie den Unterricht

auf den Mittelschulen nicht nur Frankreichs sondern Spaniens, Hollands

und Deutschlands.

[Sidenote: Euklid-Gegner.]

Was die deutschen Schulen betrifft, so möchte ich auf eine Schrift

¨Hubert Müller's¨ aus Metz aufmerksam machen: »Besitzt die heutige

Schulgeometrie noch die Vorzüge des Euklid-Originals?« Ich kann meine

Kritik in der deutschen Literaturz. 1887 No. 37 nur dahin ergänzen: die

deutsche Schulgeometrie hat sie nie besessen. Weder Johannes Vogelin,

bekannt durch die Vorrede Melanchthons in der Ausgabe von 1536, noch

des Conrad Dasypodius Volumen I und II, noch die Mathesis juvenilis

Sturms oder Wolffs oder Kästners Anfangsgründe oder Thibauts Grundriss,

von Kambly, Mehler, Henrici und Treutlein ganz zu schweigen, sind

jemals dem Gange Euklids gefolgt. Dagegen waren die Studenten und die

Lehrer bis etwa um 1860, wie die rasch auf einander folgenden Ausgaben

beweisen, völlig mit dem Euklid vertraut. Von da an ändert sich die

Sache, und ich bin sicher, dass es nur eine minimale Anzahl von Lehrern

gibt, die den Euklid gelesen haben.

Einen Teil der Schuld an dem Sinken der Autorität Euklids tragen

auch die Angriffe ¨Schopenhauers¨ gegen die »Mausefallenbeweise des

Euklid«. Schopenhauer hatte als Künstler, der er war, für die intuitive

Erkenntnis vollstes Verständnis, aber bar aller mathematischen Bildung,

fehlte ihm jedes Verständnis für die logische Erkenntnis, die oft

ebenso unmittelbar wie jene ist. Nun ist aber die euklidische Geometrie

als Wissenschaft eine chemische Verbindung von Anschauung und Logik,

und darum musste der Versuch, den z. B. ¨Kosak¨ in dem Nordhäuser

Programm anstellte die Geometrie nur auf Anschauung zu begründen,

gerade so scheitern wie der noch berühmtere ¨Bolzanos¨ von 1804 die

Geometrie rein logisch zu begründen. ¨Bolzano¨ hat übrigens viel mehr

von Leibniz entlehnt als bekannt ist. Der grosse »aemulus« Newtons

zeigt sich auch in der Auffassung der Grundlagen als Widerpart.

Während Newton in der Vorrede der Principia phil. nat. ausdrücklich

auf den Ursprung der mathematischen Grundgebilde aus der Mechanik

hinweist: »Gerade Linien und Kreise zu beschreiben sind Probleme, aber

keine geometrischen,« ist Leibniz bemüht der Anschauung so wenig als

möglich einzuräumen. Es scheint wenig oder gar nicht bekannt, dass

schon bei Lebzeiten Leibniz' Ansichten desselben über die Grundlagen

der Geometrie veröffentlicht sind bei ¨La Montre¨ 1691: Les 47 propos.

du I livre des Elém. d'Euclide avec des remarques de G. G. Leibniz.

Ähnlich wie in Deutschland liegt die Sache in Frankreich und Italien,

nur in England folgt Ausgabe auf Ausgabe und noch ist der sogenannte

Syllabus nicht zustande gekommen, der den Euklid verdrängen sollte,

doch ist das Festhalten an Euklid mehr Schein als Wirklichkeit s. mein

Referat von 1906, No. 4 p. 26. Auch in Schweden und Norwegen scheint

sich Interesse für Euklid dauernd erhalten zu haben. Für Deutschland

und Italien ist mit dem Ende des 19. Jahrh. ein Umschwung eingetreten,

man kann geradezu sagen, dass die Kenntnis des Euklid durch die neueste

Richtung, deren Haupt in Deutschland ¨Hilbert¨, in Italien ¨Veronese¨

ist, wieder unentbehrlich wird.

[Sidenote: Euklid's Elemente: Definitionen.]

Über den Inhalt des Euklid muss ich sehr kurz sein, von meinen Hörern

kann ich erwarten, dass sie den Euklid selbst lesen. Nur wenige Worte

über das Wichtigste des Wichtigsten, die ὁροι, αιτηματα, κοιναι

εννοιαι, die Definitionen, Postulate und Axiome des ersten Buches. Eine

Bibliothek ist gleich über die ersten Worte geschrieben: σημειον εστι

ὁυ μερος ουθεν (oft auch οὐδὲν).

Punkt ist das, dessen Teil nichts ist oder das keinen Teil hat. In

beiden Fällen ist klar, dass Euklid, der seinen Platon und Aristoteles

kannte, hiermit ausdrücklich gesagt hat, dass der Punkt nicht unter die

Kategorie Grösse fällt; so klar dies ist, ist es doch niemals gedruckt

worden, ausser bei Kant (Kritik d. reinen Vernunft p. 169), wo es frei

nach ¨Aristoteles¨ heisst: Punkte und Augenblicke sind nur Grenzen, der

Raum besteht nur aus Räumen, die Zeit aus Zeiten.

Die Definition ist sicher platonisch; Aristoteles sagt der Punkt ist

μονας θεσιν εχουσα eine Einheit, welche Lage hat. Definition 4: ευθεια

γραμμη εστιν, ἡτις εξ ισου τοις εφ' ἁυτης σημειοις κειται. Die Gerade

ist diejenige Linie, welche gleichmässig durch ihre Punkte gesetzt

ist. Auch über diese Definition existiert eine ganze Literatur. Man

hat nicht berücksichtigt, dass Euklid die gerade Linie erst völlig

definiert durch die Forderungen 1 und 2. Es soll gefordert werden

1) dass sich von jedem Punkte bis zu jedem Punkte eine und nur eine

Strecke führen lasse, 2) und diese Strecke sich kontinuierlich auf

ihrer Geraden (vielleicht richtiger bis zur Vollendung der Geraden)

ausziehen lasse. Mit Definition 4 zusammen definiert sie die Gerade

völlig, natürlich nicht anschaulich, denn die Anschauung der Geraden,

die psychologisch ist und experimentell gewonnen wird, setzt Euklid bei

seinen Hörern voraus. Euklid sagt, die Gerade ist eine unterschiedslose

und unendliche Linie, die durch zwei ihrer Punkte völlig bestimmt ist.

Def. 7) Ein ebener Winkel entsteht, wenn zwei Linien der Ebene

zusammentreffen, welche nicht in derselben Geraden liegen, durch die

Biegung von der einen Linie zur andern. Die Definition des Winkels

ist oft und mit Recht getadelt worden. In Schottens vergleichender

Planimetrie füllen die Abänderungen 40 Seiten aus; die von mir

herrührende »der Winkel ist die Grenze des Kreissektors bei über jedes

Mass wachsendem Radius«, ist für den Unterricht ungemein zweckmässig,

aber ich fand sie nachträglich schon 70 Jahre vor mir bei ¨Stein¨ in

Gergonnes Annales Bd. XV (1824) p. 77. --

Das Wort κλισις. »Neigung« kann Richtungsänderung bedeuten, kann

Drehung bedeuten etc. Proklos (Eudemos) setzt daher κλασις in περί

γωνίας. d. h. Brechung. Apollonius definiert: der Winkel ist die

Verengerung der Ebene oder des Raumes an einem Punkte infolge der

Biegung von Linien oder Flächen.

Dass Euklid den gradlinigen Winkel ¨abc¨ im Wesentlichen als eine

Flächengrösse auffasst, das folgt aus der Definition 9 des gradlinigen

Winkels, wo περιεχουσαι »enthaltend« gebraucht wird, und aus der

ständigen Anwendung der Winkel ὑπὸ αβγ d. h. περιεχομενη, der von dem

gebrochenen Linienzug αβγ umschlossene und besonders da er unmittelbar

vom Winkel als der nicht völlig begrenzten Fläche auf die ¨Figur¨

»οχημα« übergeht als der völlig begrenzten.

[Sidenote: Euklid's Elemente: Forderungen.]

Nun zu den fünf Forderungen:

¨Proklos¨ sagt, dass die Forderungen von den Grundsätzen sich

unterscheiden wie die Aufgaben von den Lehrsätzen. Die ersteren

verlangen Konstruktionen, die jeder leicht ausführen kann, die andern

Sätze, die jeder leicht zugibt.

¨Aristoteles¨ sagt: die Forderung ermangelt des Beweises, den man gern

geben möchte, wenn man nur könnte, während der Grundsatz von jedem ohne

Weiteres als richtig anerkannt wird.

Die Unterscheidung des Proklos passt aber nur auf das schon genannte

1. Petitum und das 3. »Und um jedes Zentrum und mit jedem Abstand

sich ein und nur ein Kreis zeichnen lasse«, d. h. dass vom gegebenen

Zentrum aus durch jeden Punkt der Ebene ein und nur ein Kreis geht. Es

enthalten aber No. 1 und 3 Forderungen, die, ich erinnere an Newton,

von der angewandten Mechanik ihre Lösungen empfangen haben. Es darf

daher nicht überraschen, wenn in den Handschriften eine ziemliche

Verwirrung herrscht und sich z. B. in sehr vielen No. 5, das schon

erwähnte Parallelenaxiom, als 11. Grundsatz findet und das schon vor

Theon rezipierte unechte »zwei Gerade schliessen keinen Raum ein« sich

im Vaticanus als Forderung 6 und in andern Codices als Grundsatz 9

findet. Der richtige Unterschied ist der: die Forderungen enthalten

Grundtatsachen der Anschauungen und die Axiome Grundtatsachen der Logik.

Forderung 4: »Und alle rechte Winkel einander gleich seien«.

Sie ist nach Proklos von Geminos und anderen angegriffen als beweisbar.

Ich gebe hier den Beweis des Geminos: Wäre αβγ < δεζ und ¨legte¨ man

δεζ auf αβγ, so dass δε u. αβ zusammenfallen, so fiele εζ als βη

innerhalb und dann wäre κβα das nach Definition des rechten Winkels

= αβη ist > θβα > αβγ, also δεζ zugleich kleiner und grösser als αβγ

(Fig.).

[Illustration]

Der Beweis setzt voraus, dass die Verlängerung von ηβ sich nicht mit

θβ deckt, d. h. also, dass eine Strecke sich nur auf ¨eine¨ Weise zu

einer Geraden verlängern lasse. Darin hat ¨H. Zeuthen¨ recht, aber

dies zu sagen wäre die Forderung eine seltsame Form und Euklid hat

eine ganze Reihe stillschweigender Voraussetzungen ohne die keine

geometrische, d. h. anschauliche Geometrie existieren kann, und die

genannte Forderung hat er in No. 1 und 2 ausgesprochen.

Dem Geminos und den andern, vermutlich den Mechanikern Heron und

Archimedes ist die strenge Aristotelische Auffassung der Bewegung

verloren gegangen; der Beweis verlangt ja auch die Verschiebbarkeit und

Drehung der Ebene in sich selbst, bezw. die dritte Dimension und die

will und kann Euklid von seinem Standpunkte aus hier nicht zu Hilfe

nehmen; so bleibt ihm nur übrig zur Forderung seine Zuflucht zu nehmen.

[Sidenote: Euklid's Elemente: Grundsätze.]

Über die 5. und letzte Forderung, das Parallelenaxiom, und dem was drum

und dran hängt, kann ich auf ¨F. Engel¨ und ¨P. Stäckel¨, Theorie d.

Parallellinien (1895) und auf meine früheren Schriften verweisen. So

gehe ich zu den Grundsätzen. Von Proklos sind als echt bezeichnet:

1) Was demselben (zu ergänzen: dritten) gleich ist, ist unter sich

gleich.

2) Und wird Gleiches zu Gleichem hinzugesetzt, so sind die Ganzen

gleich.