Wenn der Inder durch das Opfer besondere Wünsche erzielen wollte, so
traten an die Stelle der Normalform die Kamyas, d. h. es gibt besondere
agnis für solche Zwecke. Dahin gehört der agni in Gestalt eines Falken
mit eingebogenen Flügeln und ausgebreitetem Schwanze, der in Form eines
gleichschenkligen Dreiecks praüga-cit, vordere ochsenjochförmig, eines
Doppeldreiecks, eines Wagenrads, rathacakra-cit, eines Troges etc. Aber
so mannigfach die Gestalten der Kamyas waren, so musste die Grundfläche
¨genau so gross¨ sein wie bei der Normalform. Man musste also schon zur
Zeit der Taittirīya Samhita verstehen, eine geometrische Figur in eine
andere ihr flächengleiche zu verwandeln.
Die Aufgabe zu diesem Zwecke war:
1. Beim kreisförmigen hatte man zunächst ein Quadrat = der 7-1/2
Quadrat-purusa messenden Grundfläche des caturasra syena-cit zu
zeichnen, was ohne Pythagoras nicht möglich, und ¨das Quadrat in einen
Kreis zu verwandeln¨.
2. Beim praüga-cit musste man das Quadrat 7-1/2 verdoppeln, also die
dvi-karani konstruieren; die Hälfte des Quadrats über der √2 gab dann
das gesuchte gleichschenklige Dreieck. Nun kommt das für die Geometrie
eigentlich Wesentlichste: Nach Satapatha-Brāhmana, Baudhāyana Sulb.
Sutra; Ap. S. und Ap. Sulba S. war der agni, wenn er das zweite Mal
konstruiert wurde, um einen Quadrat-purusa grösser als beim ersten Mal,
ebenso beim dritten um einen Quadrat-purusa grösser als das zweite Mal
und so fort. Also mussten die Inder spätestens schon zur Zeit der Sat.
Brāh. verstehen eine Figur zu konstruieren, die einer gegebenen ähnlich
ist und zu derselben in bestimmtem Verhältnis steht.
a) War nun der erstmals konstruierte agni der »einfache« (eka-vidha)
gleich ein Quadrat-purusa -- was Apastamba nebenbei noch zulässt,
während Satapatha Brāhmana es verbietet -- so hatte man den zweiten
ebenfalls quadratischen doppelt so gross herzustellen, den dritten
dreimal und Apastamba geht bis zum sechsfachen, d. h. der Reihe nach
√2 √3 bis √6 zu konstruieren, d. h. die Summe zweier Quadrate zu
¨addieren¨, also Pythagoras.
b) War aber der erste agni der sapta-vidha wie meist, so konnte man bei
den folgenden Malen entweder, wie Baudhāyana vorschreibt, alle Teile
der Normalform proportional vergrössern und dann das, was hinzukam
zunächst in 15 gleiche Teile teilen, oder, wie Apastamba nach älterer
Tradition lehrt, nur die 7 purusas, nicht aber auch die beiden aratnis
und den pradesa des caturasra syena-cit zunehmen lassen und dann
den Zuwachs in 7 gleiche Teile teilen. Ein solches Siebentel musste
dann, wenn es zunächst als Rechteck gezeichnet war, in ein Quadrat
verwandelt werden (Apast. S. S. II. 7) und hierbei tritt bei Apastamba
die ¨Subtraktion¨ von ¨Quadraten¨ als Hilfskonstruktion auf, und
dieses Quadrat musste dann mit jedem der sieben zu einem neuen Quadrat
vereinigt werden.
3. Beim asva-medha musste der sapta-vidha von vornherein mit 3 oder
21 multipliziert werden, und beide Vorschriften sind nach Angabe des
Baudhāyana Sulba Sutra durch Brāhmana-Stellen belegt.
[Sidenote: Pythagoras bei den Indern.]
Wir sehen also, dass der Pythagoras und seine Satzgruppe eine geradezu
prominente Rolle beim indischen Opferkult spielt.
Wir kommen nun zu der Frage, wie alt ist der Pythagoras?
Ausgesprochen ist der Satz bei Baudhāyana, Katyāyana, Apastamba,
z. B. Ap. Sulba S. I, 7: Die Diagonale eines Rechtecks bringt beides
hervor, was die längere und die kürzere Seite desselben jede für sich
hervorbringen, und I, 5: Die Diagonale eines Quadrates bringt eine
doppelt so grosse Fläche des Quadrates hervor samasya dvi-karani (die
das Doppelte hervorbringende). Der Satz ist also jedenfalls so alt als
die genannten Sulba Sutras. Die des Apastamba bildeten den 24. Prasna
(Buch) des Srauta Sutra, und dieses kann nach der Untersuchung der
Sanskritisten nicht nach dem Anfang des 4. Jahrh. v. Chr. entstanden
sein. Damit ist die Heron-Hypothese Cantors ohne weiteres beseitigt.
Aber der Pythagoras ist den Indern, musste den Indern viel länger
bekannt sein. Zunächst ist das Baudhāyana S. S. wahrscheinlich
mindestens 200 Jahre vor dem Apastamba Sulba Sutra redigiert; und
dann ist klar, dass die Vorschriften selbst weit älter sind als ihre
schriftliche Fixierung. Insbesondere scheint das Apast. Sulba Sutra
durchaus die ältere Tradition festgehalten zu haben. Dann aber finden
sich Vorschriften über die Vergrösserung z. B. des Asvamedha- und
Sutrāmani-Altars und über die Konstruktion der Kamyas in der Taittirīya
Samhita und über die Vergrösserung des falkenförmigen Normalaltars im
Satapatha-Brāhmana, die ohne Pythagoras unmöglich sind. Nun ist die
Taittirīya S. noch etwas älter als das Satapatha, und beide gehören zu
einer Klasse von Werken, von denen Oldenberg (Buddha 3. Aufl. S. 19)
sagt: »Wir werden schwerlich fehlgehen, wenn wir ihre Entstehung vom
10.-8. Jahrh. setzen.« Übrigens wird dieses Minimal-Alter durch Bürk
l. c. nachgewiesen mittelst zweier Stellen, je eine aus der Taitt.
Samh. und aus dem Sat. Brāh. Taitt. Samh. 6. 2, 4, 5 heisst es von der
Vedi für das Somaopfer: Die westliche Seite ist 30 padas lang, die
¨praci¨ 36; die östliche Seite 24, und genau dasselbe sagt die Stelle
im Satapatha-Brāhm. 10, 2, 3, 4.
[Illustration]
Bei Baudhāyana erscheint der allgemeine Pythagoras an zweiter Stelle,
und er setzt hinzu: diesen zweiten Fall erkennt man aus den Rechtecken
mit den Seiten 3 und 4, aus 12 und 5, aus 15 und 8, aus 7 und 24, aus
12 und 35, aus 15 und 36, und Cantor selbst sagt 2. Aufl. S. 398:
»Das ist nun offenbar der Pythagoräische Lehrsatz, erläutert an
Zahlenbeispielen.« Das Fehlen der Hypotenuse darf nicht auffallen.
Die Taittirīya- und die anderen Srauta-sutras sind die Yajurveden in
der Redaktion der betreffenden Schule und diese enthalten »diejenigen
Sprüche oder Verse, welche der die eigentliche Opferhandlung
verrichtende Priester, der Adhvaryu, zu sprechen oder zu murmeln hatte.«
Auch die Brāhmanas bieten keine fortlaufende Darstellung des Opfers,
sondern vielmehr Erläuterungen zu demselben. Im Sulba Sutra bei
Apastamba, da wird die wirkliche Konstruktion gegeben und da tritt denn
auch z. B. beim Dreieck 30 : 15 die ganzzahlige Hypotenuse 39 auf.
[Sidenote: Das Alter des Pythagoras bei den Indern.]
Somit ist der ¨Pythagoras bei den Indern aus dem 8. Jahrh. sicher
konstatiert¨, aber höchst wahrscheinlich den Indern schon viele
Jahrhunderte vorher bekannt gewesen. (¨H. Hankel.¨) -- »Was nun
das Alter der Sulba-Sutras betrifft, so weiss jeder, der sich mit
indischer Literatur beschäftigt hat, dass jedes Erzeugnis nach seinem
Zusammenhange mit der ganzen Literaturgruppe, zu der es gehört,
beurteilt werden muss.« (¨E. Leumann.¨) Da kann nun kein Zweifel
darüber sein, dass die Sulbas, sie mögen niedergeschrieben sein wann
sie wollen, zur Yajurveden-Literatur gehören, d. h. zum Opferkult,
sie bilden ein durchaus nötiges Kapitel des Srauta Sutra, der bis
aufs i-Pünktchen detaillierten Lehre vom Opferzeremoniell und damit
ist entschieden, dass ihr Inhalt bis etwa 900 v. Chr., vielleicht
sogar noch höher hinaufreicht, und insbesondere zeichnen sich die
Apastamba- wie die Taittirīya-Schule durch Bewahrung alter Tradition
aus. Nun sind noch zwei Punkte zu besprechen. Indische Manuskripte sind
verhältnismässig jung. Baumrinde kann sich an Dauerhaftigkeit nicht
mit Papyrus, noch weniger mit gebrannten Tontafeln messen, zudem tritt
die Schrift im eigentlichen Sinne bei den Indern verhältnismässig spät
auf und ist nicht original. Dasselbe würde ja auch für das gewaltig
umfangreiche Heldengedicht des ¨Mahabharata¨ gelten. Aber abgesehen
davon, dass Zeichen analog den Runen der Germanen vermutlich auch bei
den Indern uralt waren, so war das Gedächtnis eben durch den Mangel
an Schrift enorm entwickelt. Leute, die täglich ein Kapitel auswendig
lernten, etwa wie die arabischen Geistlichen die Suren des Koran,
die kannten bald ganze Werke auswendig, und auch heute sind solche
Gedächtniskünstler nicht selten unter den Brahmanen.
Ein zweiter Einwand klingt einleuchtender. Die erstaunlich
verklausulierten Vorschriften der Kalpasutras sollen Zeichen der
Erstarrung und des Verfalls sein. Ganz abgesehen davon, dass die
Indologen von Fach die Blüte des detaillierten Opferkults zwischen
1000 und 800 setzen, ist darauf folgendes zu erwidern: Das richtig
vollbrachte Opfer hat die Macht, die Götter unter den Willen des
Opferers zu beugen; ich habe ja schon bei Babylon darauf hingewiesen,
dass die Arier sich der Gottheit nicht annähernd so knechtisch
gegenüberstellten wie die Semiten. Ein durch Germanen, Hellenen und
Inder, kurz durch die ganze Arische Welt hindurchgehender Zug ist
das Misstrauen gegen die Götter, die Furcht vor ihrem Neide, die
Teufelslehre knüpft hier an, und der Stammbegriff des Wortes Teufel ist
das Sanskritische Wort für Gott. Grade aus der ältesten Zeit tiefster
Religiosität stammt dies Gefühl und jene Genauigkeit ist grade ein
Zeichen der naiven Periode, es darf dem Gott auch nicht die leiseste
Handhabe geboten werden, seinem Unwillen über den auf ihn ausgeübten
Zwang Ausdruck zu verleihen.
Ich glaube nicht, dass irgend ein heutiger Indologe bezweifeln wird,
dass das Alter der Sulba-Sutras dem Inhalt nach bis mindestens 1000
heraufgeht, und dass sich die indische Geometrie auf dem Boden der
Opferlehre, des Aufbaues der Altäre entwickelt hat.
[Sidenote: Der Satz vom Gnomon.]
Was aber die Entlehnung des Pythagoras von den Indern seitens des
Pythagoras noch viel sicherer macht, das ist das Auftreten des
sogenannten Gnomon, des Satzes von dem Ergänzungsparallelogramm. Schon
¨Bretschneider¨ sagt, dass die Kenntnis dieses Satzes dem Pythagoras
mutmasslich zur Auffindung des Satzes gedient hat, und Hankel sagt
l. c. mit ahnungsvollem Scharfblick, diese Herleitung erscheine
wahrscheinlich. Aber eben dieser Gnomon war den Indern auch bekannt.
¨Baudhāyana¨ geht mittelst desselben vom Quadrat mit der Seite 16 zu
dem mit der Seite 17; er sagt z. B.: Wenn man aus 256 quadratischen
Backsteinen ein Quadrat gebildet habe, so soll man nun 33 Backsteine
hinzufügen. Und ¨Apastamba¨ sagt II, 7, es folgt nun eine allgemeine
Regel: Man fügt: 1. das [Rechteck], welches man mit der jedesmaligen
Verlängerung (und mit den Seiten des gegebenen Quadrates) umzieht
[d. h. herstellt], an den zwei Seiten des Quadrates, nämlich an der
östlichen und an der nördlichen hinzu, und 2. an der nördlichen Ecke
das Quadrat, welches durch die Verlängerung hervorgebracht wird; dazu
die Figur und das ist klipp und klar
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
Der Satz konnte ihnen, da sie meist mit Backsteinen arbeiteten, gar
nicht entgehen.
[Illustration]
[Illustration]
[Sidenote: Die Pythagoräischen Dreiecke bei den Indern.]
Dass die Inder den Satz gefunden haben, ist natürlich nicht bewiesen,
aber so lange babylonische und ägyptische ältere Quellen uns nicht zur
Verfügung stehen, sind sie diejenigen, die am frühesten nachweisbar den
Satz besessen haben und die Auffindung kann ganz gut so wie ¨Bürk¨ es
angibt, geschehen sein; sie kann aber auch ganz leicht direkt erfolgt
sein, zunächst für das Dreieck 3, 4, 5 durch Drehen der Schnur, was
ja eine ihnen ganz geläufige Operation war. Es kommen im Apastamba
Sulba-Sutra 5 »erkennbare«, d. h. ganzzahlige rechtwinklige Dreiecke
vor, die Inder sagen: Rechtecke.
3 4 5
5 12 13
7 24 25
8 15 17
12 35 37
15 36 39, letzteres
das wichtigste für die Vedi. Davon fallen die ersten 3 auch unter
die von Proklos ausdrücklich dem Pythagoras, bezw. seinen Schülern
zugeschriebenen Formeln 2a + 1; 2a^2 + 2a; 2a^2 + 2a + 1; die beiden
folgenden sind platonisch 2a; a^2 - 1; a^2 + 1.
[Illustration]
Das letztere ist dem zweiten ähnlich; aus Apastamba V, 4 folgt, dass
diese Ähnlichkeit ihm völlig klar war. Angesichts von ¨Thibauts¨
Darstellung in ¨Bühlers¨ Grundr. ist es nicht uninteressant an der
Hand der Sulba-Sutras nachzusehen, was den Indern jedenfalls um 800 v.
Chr. an geom. Kenntnissen zur Verfügung stand. Ich benutze ¨Thibauts¨
Übersetzung des Baudhāyana und ¨Bürks¨ Übers. des Ap. S. S. im 56.
Bande der Zeitschrift der D. Morgenländischen Gesellschaft. Das
Werkzeug, dessen sie sich für ihre Konstruktionen bedienten, war die
Schnur (sulba oder rajju), und gelegentlich auch ein Bambusstab. Ich
beginne mit der Konstruktion des einfachen Quadrats, Ap. Kap. VIII,
5-10, IX, 1.
[Illustration]
»Man schneide an einem Bambusrohr in einer Entfernung gleich der Höhe
des Opferers mit emporgehobenen Armen (der purusa, Menschenlänge,
später war das Mass die babylonische Doppelelle) zwei Zeichen (A
und B) ein, und in der Mitte ein drittes (die Mitte wird durch die
zusammengelegte Schnur bestimmt). Man lege das Bambusrohr westlich
von der Grube des Opferpfostens längs der prsthya (d. i. Rückenlinie,
die schon zuvor ein für allemal von Westen nach Osten prak gezogen
war, daher sie auch oft praci heisst). Schlage an den Einschnitten
Pflöcke ein (D, E, F), mache (das Rohr) von den beiden westlichen
(Pflöcken E und F) los und beschreibe (von F aus) in der Richtung nach
Südosten einen Kreisbogen bis zu dem (östlichen) Ende (des zu konstr.
Quadrats).« Entsprechend verfährt man von F aus, legt das Rohr von
E über G nach H, schlage in H einen Pflock ein, befestige in H das
mittlere Zeichen des Rohrs, lege die beiden andern an die Enden der
beiden Linien und schlage in die beiden Zeichen zwei Pflöcke.
[Sidenote: Altindische Geometrie.]
Hier haben wir die Konstruktion des Lotes mittelst der
¨Symmetrieachse¨, und die gemeinsame Tangente zweier Kreise im
speziellen Falle und die Quadratkonstruktion, die wir mit 4 Kreisen
ausführen, zugleich eine Art mechanischer Konstruktion, die bei den
Hellenen Neusis heisst (s. unter Apollonius).
Diese Methode gilt als die älteste für die »Quadratmachung«, das
Catur-asra-karana, älter als die des Baudhāyana, welche die Figur auf
S. 148 zeigt. Von der einfachen Quadratform war dann der Agni vom
einfachen bis zum 6fachen des Grundquadrats, es musste also mittels
Pythagoras das Quadrat mit 2, 3, 4, 5, 6 multipliziert werden. Dann kam
der Saratni-pradesa saptavidha, d. h. also der caturasra syena-cit,
der viereckig falkenförmige, und dann die Vorschrift: Was beim 8fachen
und den folgenden von den 7 verschieden ist, teile man in 7 Teile, und
lasse in jedes purusa einen Teil eingehen, weil die Veränderung der
Gestalt nicht schriftgemäss wäre. Auch hier hat Apastamba weitaus die
ältere Methode, während B., wie oben gesagt, die Zunahme auf alle 10
Flächen gleichmässig verteilt, da auch paksa und puccha, Flügel und
Schwanz, berücksichtigt werden, was schon recht komplizierte Teilungs-
und Messungsoperationen voraussetzt. A. geht bis zum 101fachen des
Quadratpurusa.
I, 2 Konstruktion der Achsentrapez-förmigen Opfergrube, Vedi, mittelst
des rechtwinkligen Dreiecks 36, 15, 39.
[Illustration]
Man nimmt eine Massschnur (pramāna, A^1B^1 = 36, Fig. 1), verlängert
sie um ihre Hälfte (bis G), macht dann am westlichen Drittel (d. h.
also von G aus) weniger 1/6 desselben ein Zeichen (H). Man befestigt
die beiden Enden (der verlängerten Schnur) an den Enden der prsthya,
zieht an dem Zeichen nach Süden (daksina), ebenso verfährt man im
Norden (uttara), und nachdem man vertauscht hat, nämlich die in A
und G befestigten Enden, nach beiden Seiten (im Osten). Denn die
Fertigstellung durch diese wird eine Verkürzung oder eine Verlängerung
(12, 17) herbeiführen.
[Illustration]
I, 3 wird dann zur Konstr. des rechten Winkels das Dreieck 3, 4, 5
analog benutzt (Fig. 2).
I, 4 und 5 ¨der Pythagoras¨.
Bei Apastamba zuerst in 4 der allgemeine:
Die Querschnur (aksnaya-rajju, Diagonale) eines Rechtecks, was die
längere und kürzere jede für sich hervorbringt, das bringt sie zusammen
hervor. Mittelst dieser und zwar solcher, die »erkennbar« sind, ist die
Konstruktion (in § 2 u. 3) gelehrt worden. (jneya würde wohl besser mit
»feststellbar« d. h. als ganzzahlige rechtw. Dreiecke wiedergegeben.)
5. Die Diagonale des Vierecks erzeugt die zweifache Fläche
(ausdrücklich das Wort bhumi Fläche, dvis-tāvati bhumi), sie des
Quadrats Doppeltes hervorbringende (dvi-karani). Viereck, schlechtweg
catur-asra, ist wie das griechische τετραγωνον das Quadrat, um aber
ganz deutlich zu sein, wird es im Nachsatz sama »das mit gleichen
Seiten« genannt. Katyāyana unterscheidet sogar die beiden Arten
gleichseitiger Vierecke.
[Sidenote: Wurzel aus 2.]