Hellas

Unser Werdegang müsste uns nun eigentlich nach Indien und China

führen, aber die Kultur der Inder und Chinesen ist so abhängig von

Babylon, oder, was richtiger ist, ganz Asien bildete von 4000 v.

Chr. bis etwa 100 n. Chr. ein einziges Kulturgebiet, Ägypten bis

zum Nil eingeschlossen, dass wir uns zunächst gleich nach ¨Hellas¨

wenden. Die Hellenen sind das erste Volk, das die Wissenschaft um der

Wissenschaft willen getrieben hat, das Volk, von dem man wohl sagen

kann, dass ihm an Begabung für Kunst und Wissenschaft kein anderes je

gleichgekommen ist, und unter ihnen erwuchs im 6. Jahrh. v. Chr. aus

den Handwerksregeln ägyptischer und babylonischer Priester die reine

Mathematik als Wissenschaft.

Wohl steht seit den Ausgrabungen ¨Heinrich Schliemanns¨ fest, dass

die Hellenische Kultur und Kunst sich unter starkem orientalischen

Einflusse, Ägypten eingeschlossen, entwickelt hat, aber schon für

¨Kreta¨, ja selbst für ¨Cypern¨ ist auch die selbständige Entfaltung

Hellenischen Geistes deutlich. Die Aufeinanderfolge ist wohl diese.

¨Cypern¨ fast völlig unterm Einfluss Babyloniens (Phöniziens);

¨Kreta¨: Ägypten und Babylon vereint. Für Kreta sind epochemachend

die Ausgrabungen von ¨Evans¨ zu ¨Knossos¨, Annalen der brit. Schule

in Athen 1899 ff. bes. 1902 (Bd. 8) u. ff. Daneben die der Italiener

in ¨Phaistos¨, Acad. dei Lincei Bd. XII (1902) ff. Das von Evans in

Knossos gefundene herrliche Kunstwerk des becherkredenzenden Epheben

(Jüngling, Page) geht über die Orientalischen Vorbilder schon hinaus,

auch Architektur und Kleinkunst, z. B. die ¨polychromen Vasen¨ (sogen.

Kamaris-Stil) ist selbständig.

Es folgt dann die durch ¨Schliemanns¨ Ausgrabungen in Mykene, Tyrinz,

Troja zeitlich früher bekannte »¨Mykene-Periode¨«. Auch sie bekundet

starken Verkehr mit dem Orient durch kretische Vermittlung, aber sie

zeigt auch Kreta gegenüber eigenartige Entwicklung. Die Palastanlage

ist ganz verschieden, sie ist genau die von Homer beschriebene. Was

die Kleinkunst betrifft, so genügt es an die Becher von ¨Vaphio¨ zu

erinnern. Für die Mykeneperiode verweise ich auf ¨C. Schuchhardts¨

Wertung der Schliemann'schen Funde (2. Aufl.). Die Beziehung zwischen

Mykene und Kreta ist zurzeit eine brennende Streitfrage. ¨Dörpfeld¨,

kret. u. hom. Paläste, Athen. Mitteilungen Bd. 30 (1905 p. 257),

unterscheidet für die kretischen Paläste zwei Perioden, a) eine

ältere genuin-kretische, b) eine jüngere, in der Mykenische Eroberer

ihre Paläste auf den zerstörten Resten der älteren erbaut hätten.

Gegen Dörpfeld hat ¨Mackenzie¨, Annals of brit. School XI u. XII

die Einheitlichkeit und Selbständigkeit der kretischen Paläste mit

triftigen Gründen behauptet. Dörpfeld hat 1907, Athen. Mitt. 32 p. 576

erwidert. Die Herkunft der altkretischen Schrift ist zurzeit noch nicht

entschieden, möglicherweise ist sie hetitisch.

Die politische Geschichte der Hellenen und die Geschichte der

Hellenischen Kunst zu schildern, muss ich den Historikern und

Archäologen von Fach überlassen.

[Sidenote: Mathematikerverzeichnis des Proklos.]

Die wichtigste Stelle für die Geschichte der hellenischen Mathematik

ist das sogenannte Mathematikerverzeichnis bei ¨Proklos¨. Es ist

vermutlich ein bei ¨Geminus¨, einem Schriftsteller des ersten Jahrh. v.

Chr. erhaltener Auszug aus der Geschichte der Mathematik des ¨Eudemos¨,

von der leider nur wenige Fragmente, z. B. in dem Kommentar des

¨Simplicius¨ zu Aristoteles uns erhalten sind.

[Sidenote: Thales von Milet.]

Beginnen wir also mit ¨Thales von Milet¨. Herodot sagt in seinem ersten

Buch, dass Thales von phönizischer Abkunft gewesen, unzweifelhaft

lebte er im 7. Jahrh. v. Chr. und war ein Zeitgenosse des Krösos und

Solon. Proklos gibt p. 250 der ¨Friedlein¨'schen Ausgabe an, dass

er den Satz von der Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen

Dreieck gefunden habe und zwar habe er die Winkel nicht ἴσας sondern

ὁμοιας genannt; p. 299 Satz von der Gleichheit der Scheitelwinkel;

p. 157 Satz, dass die Durchmesser den Kreis halbieren, und p. 352

sagt Proklos, nach Eudemos, dass Euclid I, 26 der sogenannte 2.

Kongruenzsatz von Thales herrühre, der sich seiner notwendig bedienen

musste bei seiner Methode die Entfernung der Schiffe im Meere zu

bestimmen.

¨Marcus Junius Nipsus¨, ein römischer Agrimensor, gibt (¨M. Cantor¨)

folgende alte Methode, die so ziemlich die einzige sein kann, die mit

den geringen Kenntnissen, welche nach Proklos dem Thales zur Verfügung

standen und zugleich mit der Angabe des Eudemos stimmt:

Die Dreiecke ASD und DCB (s. Fig.) sind nach den 2 Congr. congruent und

damit ist CB die gesuchte Entfernung.

[Illustration]

Ausser Proklos haben wir Angaben von ¨Plutarch¨ (100 n. Chr.

Neuplatoniker, ziemlich zuverlässig), in septem sapient. conviv.,

wonach Thales die Höhe der Pyramide durch Messung ihres Schattens

bestimmt habe; aber die Quelle dieses Berichtes ist nach ¨Diogenes

Laertios¨ (Kompilator des 3. Jahrh. n. Chr.) Hieronymos von Rhodos,

welcher sagt, er mass die Pyramiden aus dem Schatten, wenn der Schatten

der Pyramidenhöhe gleich, d. h. bei einer Sonnenhöhe von 45°. Noch weit

unsicherer ist die Angabe bei Diogenes Laertius: ¨Pamphila¨ (Ende des

1. Jahrh. n. Chr.) erzählt uns, dass er als der erste, den Halbkreis

in den rechten Winkel einschrieb, und dass er bei dieser Gelegenheit

einen Ochsen opferte. Andere, z. B. ¨Apollodoros¨, der Rechenmeister,

schreiben diesen Zug den Pythagoräern zu. Da Proklos den Satz

ausdrücklich erst den Pythagoräern zuschreibt und eine bei Eutokios

erhaltene Stelle dies bestätigt, so verliert die Nachricht der Pamphila

ihren Wert.

Auch als Astronom wird Thales gerühmt; im Theätet des ¨Platon¨ p. 174

lesen wir die Anekdote, dass, als er, den Blick nach oben gerichtet

um den Himmel zu schauen, in den Brunnen fiel, eine thracische Magd

ihn verspottet habe: das was am Himmel vorginge, wäre ihm bekannt,

aber was vor seinen Füssen läge, das sähe er nicht. (¨Socrates¨ setzt

bekanntlich hinzu, dass man mit diesem Spott noch immer gegen die

ausreiche, die in der Philosophie leben.) Die von ihm vorausgesagte

Sonnenfinsternis ist, wie Herodot berichtet, die vom 28. Mai 585

bei der Schlacht zwischen Medern und Lydern. Nach ¨Eudemos¨ hat er

auch die Ungleichheit der Jahreszeiten gekannt. Beides würde auf

babylonische Bildungsquellen deuten; und das wird ganz sicher durch

ein Missverständnis des ¨Diogenes Laertius¨, er habe die Sonne als

720 mal Mond angegeben, während der eigentliche Autor ¨Apulejus¨

klar und deutlich sagt, er habe den Sonnendurchmesser als 1/720 der

Ekliptik gefunden. Soviel steht fest durch das einwandfreie Zeugnis

von ¨Herodot¨, ¨Platon¨, ¨Aristoteles¨, ¨Eudemos¨ und wohl auch

von ¨Xenophanes¨, des zeitlich ersten Eleaten: sein Ruhm war sehr

bedeutend, er steht stets an der Spitze der sieben Weisen, und nach

Aristoteles ist er der Begründer der ionischen oder physikalischen

Philosophenschule, des (fälschlich) sogenannten ¨Hylozoismus¨.

Aristoteles sagt, dass Thales im Wasser die eigentliche Urmaterie

gesehen habe und setzt hinzu, er vermute, dass er dazu durch die

Beobachtung geführt sei, dass die Nahrung aller Tiere feucht ist und

dass alles aus Samenfeuchtigkeit entstehe.

[Sidenote: Thales von Milet, Anaximander.]

¨Aristoteles¨ (περί Ψυχής, de anima) fügt hinzu, Thales habe vielleicht

angenommen, dass alles voll Götter sei; beispielsweise habe er gesagt,

dass der Magnet eine Seele habe. Noch müssen wir seinen Schüler oder

wohl richtiger jüngeren Stadtgenossen ¨Anaximander¨ erwähnen, obwohl

das Mathematikerverzeichnis ihn nicht nennt. Anaximander markiert

in der Geschichte des Erkenntnisproblems die Stelle, in der das

Mathematisch-Unendliche auftritt. Er lehrte, der Weltstoff müsse

unendlich sein, damit er sich nicht in der Erzeugung erschöpfe. Er darf

daher nicht unter den empirisch gegebenen Stoffen gesucht werden, und

es bleibt nur das Merkmal der zeitlichen und räumlichen Unendlichkeit

übrig. Daher sagte er αρχη εστι το απειρον. Anaximander erklärte also

die sinnliche Welt durch ein Gedachtes, er sagt: απειρον ist αιδιον,

und ist somit ein Vorläufer der Pythagoräer, und er hat auch eine

Vorstellung davon, dass gegen das Unendliche die Endliche Anzahl

verschwindet.

[Sidenote: Pythagoras.]

Die dem ¨Thales¨ zugeschriebenen Schriften sind alle Fälschungen; der

nach ihm von Proklos genannte Mamerkos samt seinem Bruder, dem Dichter

Stesichoros, sind spurlos verschollen, nicht aber der zu dritt genannte

¨Pythagoras¨, der einzige Mathematiker, der in den ganz und halb

gebildeten Schichten aller Kulturnationen populär geworden ist. Und

doch ist in dem Fabelmeer, in dem er geradezu ertrunken ist, sehr wenig

wirklich festes Land zu finden.

¨E. Zeller¨ sagt: »Unter allen Philosophenschulen, welche wir kennen,

ist keine, deren Geschichte von Sagen und Dichtungen so vielfach

umsponnen und fast verhüllt, deren Lehre in der Überlieferung mit

einer solchen Masse späterer Bestandteile versetzt wäre wie die der

Pythagoräer.«

[Sidenote: Pythagoräer.]

Die Schriftsteller vor ¨Aristoteles¨ erwähnen des Pythagoras und seiner

Schüler nur selten. Aus dem 5. Jahrh. haben wir einzelne Angaben von

Xenophanes, Heraklit, Empedokles, Jon aus Chios, Herodot, Demokrit; aus

dem 4. Jahrh. von Platon, Isokrates, Anaximander II, Andron, Heraklid,

Eudoxos, Lyko, dem Pythagoräer. ¨Platon¨, der doch in die Schule der

Pythagoräer ging, ist sehr zurückhaltend mit historischen Nachrichten.

¨Aristoteles¨ hat zwar die pythagoräische Philosophie in eigenen

Schriften behandelt; was uns erhalten ist, ist wenig und besonders

was die Zahlenlehre betrifft, nicht frei von Unklarheiten. Pythagoras

selbst spielt dabei nur eine geringe Rolle. Unter den Schülern des

Aristoteles beginnt schon die Sage das Leben des Pythagoras zu

umspinnen, aber erst in der Zeit des Neupythagoreismus vom 1. Jahrh.

v. Chr. ab sind Romane wie die des ¨Apollonios von Thyana¨ und des

¨Porphyrios¨ und des ¨Jamblichos¨ entstanden.

Feststeht durch das Zeugnis ¨Herodots¨, IV., 95, der ganz beiläufig

dort den ¨Pythagoras¨ erwähnt, dass er als Sohn des Mnesarchos in

Samos geboren, feststeht, dass er um die Mitte des Jahrhundert, etwa

von 580-500 gelebt hat, als reifer Mann 530 etwa nach Unteritalien

ausgewandert ist, in Kroton eine Kongregation, die etwa nach Art der

Freimaurer organisiert war, gegründet hat, und hochbetagt in Metapont

gestorben ist. Vorher soll er zu seiner Bildung lange Jahre Reisen in

so ziemlich alle Länder des orbis terrarum gemacht haben, und dies

scheint nicht unwahrscheinlich. Ganz besonders lange soll er in Ägypten

verweilt haben; aber dann wäre es im höchsten Grade auffallend, dass

¨Herodot¨, der etwa 100 Jahre nach ihm Ägypten bereist hat, und der den

Spuren des Hellenentums dort sehr sorgsam nachgegangen ist, kein Wort

davon erwähnt.

Der Bund der Pythagoräer war ein religiös ethischer; er sollte eine

Pflanzschule der Mässigkeit, der Tapferkeit, der Ordnung, des Gehorsams

gegen Obrigkeit und Gesetz, der Freundestreue, überhaupt aller jener

Tugenden sein, die zum griechischen und insbesondere zum dorischen

(Spartaner) Begriff eines wackeren Mannes gehören. Neben den religiösen

Beweggründen, die sich aus dem Walten der Götter und vor allem aus

des Stifters Lehre von der Seelenwanderung für das sittliche Ideal

ergaben, wurde von ihm auch als Bildungsmittel in erster Linie auf die

Beschäftigung mit Mathematik, Musik, auch auf Diätetik und Beschwörung

mittelst Zahl und Musik zur Heilkunst hingewiesen. Da der Bund seiner

ganzen Natur nach sehr bald politisch oligarchisch wurde und die

Regierungsgewalt in den grossen unteritalienischen Kommunen Kroton,

Tarent, Metapont etc. an sich riss, so richtete sich die demokratische

Strömung gegen ihn und in den Kämpfen, die um die Wende des 5. Jahrh.

die Aristokratie der Städte stürzten, wurde der Bund gesprengt, ein

grosser Teil der Pythagoräer getötet, darunter vielleicht ¨Pythagoras¨

selbst, die andern vertrieben.

Diese Vertreibung hatte eine Wirkung, die wir mit der durch die

Eroberung von Constantinopel geweckten ¨Renaissance¨ vergleichen

können. Die mathematischen, philosophischen, naturwissenschaftlichen

Kenntnisse, die bisher auf einen kleinen Kreis beschränkt waren, wurden

nach Griechenland, Kleinasien, Sizilien verbreitet und bewirkten dort

das Aufblühen der mathematischen Wissenschaften.

Von den Lehren der ¨Pythagoräer¨ ist am bekanntesten die Lehre von der

Seelenwanderung (Metempsychose) und die Anschauung, dass das Wesen

der Dinge die Zahl sei, dann ihre Kosmologie mit der Ordnung der

Sphären, dem Zentralfeuer, der Sphärenmusik, und dann die Harmonielehre

gestützt auf die Auffindung der Intervalle mittelst des Monochords.

Ihre ganz hervorragende Pflege der Mathematik ist unbestreitbar und

ebenso, dass sie zuerst das Bedürfnis nach Systematik und wirklichen

Beweisen empfanden und befriedigten. Wie weit aber die Kenntnisse

der Pythagoräer selbst reichten, ist ganz unmöglich zu bestimmen

und schwierig ist es auch den Stand des Wissens in der Schule der

Pythagoräer, die wir bis zu ¨Platon¨ und ¨Archytas¨ rechnen, zu

skizzieren.

[Sidenote: Philolaos.]

Die ersten wirklichen Nachrichten über die Lehre des Pythagoras rühren

von ¨Philolaos¨ her, einem älteren Zeitgenossen des Sokrates und

Demokrit, der nach der Vertreibung aus Unteritalien sich nach Theben

geflüchtet hatte. Es scheint, dass ¨Platon¨ seine Schrift von den Erben

in Sizilien gekauft und daraus seine Kunde des Pythagoreismus und auch

viele Anregung für seine eignen mathematischen und philosophischen

Gedanken geholt hat. Sein Neffe und Nachfolger in der Leitung der

Akademie, ¨Speusippos¨, hat die Schrift geerbt und dessen Bibliothek

hat ¨Aristoteles¨ gekauft, der das Werk veröffentlichte, d. h.

mehrfach abschreiben liess. Nicht unbedeutende Fragmente dieses

Glaubensbekenntnisses der Pythagoräer haben sich erhalten und ¨Aug.

Boeckh¨ hat ihre Echtheit dargetan. Ausserdem besitzen wir eine geringe

Anzahl echter Bruchstücke des Archytas und haben an guten Quellen die

Dialoge des ¨Platon¨: Philebos, Theätet, Timäos, der ganz besonders

wichtig ist, und die Physik und Metaphysik des absolut zuverlässigen

¨Aristoteles¨, sowie einige Stellen des ¨Eudemos¨, die uns besonders

durch Proklos erhalten sind.

¨Philolaos¨ bezeichnet die Zahl als das Gesetz und den Zusammenhalt der

Welt, als herrschende Macht über Götter und Menschen, die Bedingung

aller Bestimmtheit und Erkenntnis. ¨Das Begrenzende aber und das

Unbegrenzte, diese zwei Bestandteile der Zahlen, sind die Dinge, aus

denen alles gebildet sei.¨ Die Zahl ist nicht bloss die Form, durch

welche der Zusammenhang der Dinge bestimmt wird, sondern auch die

Essenz, das Wesen, (nicht etwa die Materie), aus welcher sie bestehen,

oder vielleicht richtiger ¨das Gesetz¨, welches die Dinge erschafft.

In Fortbildung des auf Naturerkenntnis gerichteten Gedankengangs der

Ionier erkannten sie die Bedeutung der Zahl, insbesondere der relativen

Zahl, für eben diese Erkenntnis. Philolaos braucht die Ausdrücke ουσια,

Wesen, und αρχη, Grundlage. ¨Aristoteles¨ und ¨Philolaos¨ selbst geben

als Grund an, dass alle Erscheinungen nach Zahlen geordnet sind, dass

namentlich die Verhältnisse der Sphärenharmonie und der Töne, alle

ästhetischen, alle räumlichen Bestimmungen, von gewissen festen Zahlen

und Zahlenverhältnissen beherrscht sind. (Symbolische Rundzahlen

z. B. 40. Kabbala der Chaldäer), und dass unsre Erfahrung nur in der

Feststellung der Zahlenverhältnisse besteht (vgl. Diels, Fragmente der

Vorsokratiker p. 250).

Die Zahlen zerfallen in gerade und ungerade und die gerad-ungeraden

2 (2n + 1). Eins, die unteilbare monas, steht ausser oder richtiger

über den Zahlen; in der reinen Eins, die geradezu mit der Gottheit

identifiziert wird, sind die Gegensätze vereinigt, und so wird auch

die Eins als gerad-ungerad bezeichnet.

Zunächst möchte ich die scheinbaren Widersprüche, die sich bei

Aristoteles in seinem Bericht über die Grundlagen der Pythagoräischen

Philosophie finden, rechtfertigen. Zwischen der »phantastisch

orakelnden, grossartig erhabenen« Sprache des ¨Philolaos¨ und der

Darstellung bei ¨Archytas¨, dem grossen Mathematiker, sind sicher

nicht bloss zeitliche, sondern auch sachlich bedeutende Differenzen.

Ich zweifle gar nicht, dass Archytas der Pythagoräer gewesen, dessen

einfache Klarheit ¨Dionysios von Halikarnassos¨ rühmt (Boeckh l. c. p.

43). Und zwischen beiden gab es sicher zahlreiche Nuancen. Übrigens

interpretiere ich die Stelle Metaph. XIII, 8, 1083b so: »Die Körper

bestehen auf Grund von Zahlen (Verhältnissen).« Auf chemische Ideen der

Pythagoräer habe ich schon in meinem Aufsatz »Über Mathematik«, Bd.

II, Heft 1 der Cohen-Natorp'schen Hefte hingewiesen. Die Pythagoräer

haben die Tonempfindungen durch den Monochord in Zahlenverhältnisse

umgewandelt, und so sind sie es gewesen, welche zuerst den Schritt von

ungeheurer Tragweite getan, Qualitäten in Quantitäten umzusetzen und

so die Welt der äusseren Erscheinungen, die Physik, in die Welt der

inneren Verknüpfungen, die Mathematik, umzuwandeln. Und so kommen sie

naturgemäss darauf als ουσια, als Substanz, nicht als ὑλη, Materie, der

Dinge, das Bleibende in der Vergänglichkeit, die Zahl zu setzen, d. i.

das math. Gesetz. Als Belag für diese Auffassung genügt es auf die von

Boeckh p. 141 angeführte Stelle aus ¨Stobäos¨ zu verweisen; Boeckh hat

sie frei in dem eben angeführten Sinne übersetzt, und den Vergleich mit

dem Gnomon meisterhaft interpretiert: »Das Erkannte (die Dinge) wird

von dem Erkennbarmachenden (der Zahl) umfasst und ergriffen, wobei eine

ursprüngliche Übereinstimmung und Anpassung, wie des ¨Gnomon¨ um sein

Quadrat herum vorausgesetzt wird.«

Das Gnomon ist die ungerade Zahl 2a + 1, welche durch ihr Hinzukommen

aus a^2 das Quadrat von (a + 1) liefert und zwar in der geometrischen

Form des Winkelhaken.

[Illustration]

Eine nähere Ausführung zeigt die Analogie mit den Chaldäern noch

deutlicher, die Zuordnung von Zahlen an die Planeten und an bestimmte

Begriffe. Die Gerechtigkeit z. B. entsprach dem ισακις ισος, dem

Gleichmal gleichen, d. h. der 4 oder der 9, als der ersten geraden,

bezw. ungeraden Quadratzahl; 5 als Verbindung der ersten männlichen mit

der ersten weiblichen Zahl gleich Ehe, die Einheit Vernunft, weil sie

unveränderlich, die 2 Meinung, weil sie veränderlich etc.

Das Männliche und Weibliche bezieht sich auf die bekannten 10

Gegensätze des ¨Philolaos¨: 1) Grenze und Unbegrenztes. 2) Ungerade und

Gerade. 3) Einheit und Vielheit. 4) Rechts und Links. 5) Männliches und

Weibliches. 6) Ruhendes und Bewegtes. 7) Gerades und Krummes. 8) Licht

und Finsternis. 9) Gutes und Böses. 10) Quadrat und Rechteck.

¨Aristoteles¨ berichtet uns auch in der Metaphysik über das dekadische

System. Die Zahlen über 10 sind nur Wiederholungen der ersten 10. (Eine

¨Art arithm. Kongruenzidee¨.) Die Dekas umfasst alle Zahlen und alle

Kräfte der Zahlen; sie heisst daher bei ¨Philolaos¨ gross, gewaltig,

alles vollbringend, Anfang und Führerin des göttlichen wie des

irdischen Lebens, sie gilt ihm nach Aristoteles als das Vollkommene,

welches das ganze Wesen der Zahl einschliesst. Wir danken es nur ihr,

dass uns ein Wissen überhaupt möglich ist.

Eine ähnliche Bedeutung hatte die 4heit nicht als 2^2, sondern

weil 1 + 2 + 3 + 4 = 10, so wird in der Tetractys, dem Schwur der

Pythagoräer, die Zehn, d. h. die Zahl selbst als Wurzel und Quelle der

ewigen Natur gefeiert.

Auch von den anderen Zahlen hat jede ihre eigene Wesenheit, z. B. 3 ist

die erste vollkommene, denn sie hat nur Anfang, Mitte und Ende (|||

älteste Zahlenschreibung); 6 die zweite gleich der Summe ihrer Teiler

1 + 2 + 3; 3, 4, 5 sind die Zahlen des vollkommensten rechtwinkligen

Dreiecks.

Sie sehen in dieser »Zahlenspielerei« den Ernst der Zahlentheorie,

und wenn Aristoteles uns erzählt, dass der Pythagoräer Eurytos die

Bedeutung der einzelnen Zahlen dadurch beweisen wollte, dass er

die Figuren der Dinge, denen sie äquivalent gesetzt wurden, aus

der entsprechenden Zahl von Steinchen (Kinderspiel: Pythagoras)

zusammensetzen wollte, so sehen Sie hier die Richtung gewiesen, welche

die griechische Arithmetik (nicht die Logistik, die Rechenkunst)

während der ganzen klassischen Epoche eingehalten hat; man vergleiche

die Kapitel des Hauptarithmetikers ¨Nikomachos von Gerasa¨ über die

figurierten Zahlen.

Ich komme damit auf die Anwendung der Zahlenlehre auf die geometrischen

Figuren. ¨Aristoteles¨ sagt, sie haben die Linie durch die Zahl 2

erklärt. ¨Philolaos¨ nennt 4 die Körperzahl, ¨Platon¨ scheint die 3-

und 4-Zahl als Flächen- und Körperzahl von ¨Philolaos¨ entnommen zu

haben. Die Pythagoräer setzten die Einheit den Punkten gleich, weil die

μόνας (Leibniz' Monade) unteilbar; die gerade Linie als 2, weil sie

durch 2 Punkte bestimmt sei, das Dreieck durch 3 Punkte, der einfachste

Körper durch 4 Punkte bestimmt seien.

Der Körper ¨besteht¨ ihm zufolge auf Grund der ihn umschliessenden

Linien und Flächen, wie die Linien und Flächen durch Punkte und Linien

determiniert werden. Von den 4 Elementen weisen sie nach ¨Philolaos¨

der Erde den Kubus, dem Feuer das Tetraëder (eine Ableitung von

Pyramide), der Luft den Oktaëder, dem Wasser den Ikosaëder zu, dem

fünften alles umfassenden Element, dem Äther, den Dodekaëder, d. h. sie

nahmen an, dass die kleinsten Teile dieser Elemente die betreffende

Form hätten. (Hier haben wir also schon den Grundgedanken der

Stereochemie, nur kommt der Tetraëder dem Feuer statt der Kohle zu.)

Daher heissen diese Körper oft die kosmischen, und, da sich ¨Platon¨ im

Timäus von ¨Philolaos¨ diese Zueignung angeeignet hat, so heissen sie

auch oft die platonischen.

Es scheint nicht unglaubhaft, dass der fünfte Körper, der Dodekaëder,

eine Entdeckung der Pythagoräer gewesen und im Zusammenhang damit steht

die Konstruktion des regelmässigen Fünfecks und damit des goldenen

Schnittes.

[Sidenote: Boeckh's Interpretation des Philolaos.]

In der Geschichte des Erkenntnisproblems, das die eigentliche

Geschichte der Kultur ist, bezeichnen die Pythagoräer einen grossen

Fortschritt gegenüber den Ioniern, da sie zum ersten Mal nicht in

religiöser sondern in philosophischer Form die Erkenntnis haben, dass

die sinnliche Erscheinung der Welt nicht das letzte, sondern dass ein

geistiges Prinzip dahinterstehe. Sie fanden es in der Mathematik, die

ja auch Plato als zwischen den Dingen und den Ideen stehend auffasst;

und nicht weil sie sich mit Mathematik beschäftigten, sahen sie in der

Zahl die Substanz der Dinge, sondern umgekehrt, weil sie nach einem

die Erscheinungswelt beherrschenden Gesetz der Vernunft ¨suchten¨,

¨fanden¨ sie dies in Mass und Zahl. Das Hauptwerk für die Philosophie

der Pythagoräer ist neben ¨Brandis¨ und ¨Zeller¨, die Geschichte der

Phil. von ¨Ritter¨ 1828, wozu die Kritik von ¨Ernst Reinhold¨ (Jena)

im Jahrb. für wiss. Kritik 1828 p. 358 zu vergleichen ist. Am tiefsten

scheint mir der grosse Philologe ¨August Boeckh¨ in den Geist der

Pythagoräer eingedrungen zu sein in seiner Schrift: ¨Philolaos¨ des

Pythagoräers Lehren etc., Berlin 1819. Gegenüber Zeller, dem Klassiker

der griechischen Philosophie, der aber auch m. E. nach den Pythagoräern

nicht gerecht geworden ist, ist ¨W. Kinkel¨ in seiner Geschichte

der Philosophie als Einleitung in das System der Philosophie Bd. 1,

1906 neben eigenen Auffassungen vielfach auf ¨Ritter¨ und ¨Boeckh¨

zurückgegangen. Bei dieser Sachlage sei mir ein näheres Eingehen auf

den Kern des Pythagoreismus gestattet.

Auch über den dunkelsten Punkt der Lehre des Philolaos hat Boeckh

mit bewunderungswürdig genialem Instinkt Licht verbreitet: Es ist

die Stelle Metaphysik I, 5 des Aristoteles: Του δε αριθμού στοιχεια

το τ' αρτιον και το περιττόν, τούτων δε το μεν πεπερασμενον το δε

άπειρον, το δ' ἑν εξ αμφοτέρων ειναι τουτων [και γαρ αρτιον ειναι

και περιττον], τον δ' αριθμον εκ του ἑνος. »Grundlegungen der Zahlen

sind das Gerade und das Ungerade, das erste begrenzt, das andere

unbegrenzt. Die Eins besteht aus beiden. Die Zahl aber stammt aus

der Eins.« Was zunächst die Gegensätze begrenzt (bei Philolaos und

Platon richtiger begrenzend oder Grenze) und Unbegrenztes, und Gerade

und Ungerade, wie überhaupt die 10 Gegensatzpaare der Pythagoräer

betrifft, so stimme ich Ritter bei, dass sie den einen Heraklitischen

Gedanken verkörpern, der Streit (id est die Polarität) ist der Vater

der Dinge. Gerade in der Ausgleichung dieser Gegensätze besteht nach

Philolaos die pythagoräische ¨Harmonie¨. Dann aber hat Boeckh es

hervorgehoben, dass hier in andrer Form in der Bildung der Zahl aus

Grenze und Unbegrenztem, auch Unbestimmtem, eigentlich schon von den

Pythagoräern genau dasselbe ausgedrückt wird, was ich 1884 chemisch

rein von Kenntnis des Pythagoreismus auf S. 1 meiner »Elemente der

Arithmetik als Vorbereitung auf die Funktionentheorie«, sub 4, d gesagt

habe: »d) wird die erzählte Zahl als Anzahl des abgezählten Komplexes

erhalten durch eine eigne Tätigkeit, welche den Zählprozess abschliesst

(begrenzt).« Und 1906 fügte ich hinzu: Hierin haben wir die erste

Äusserung des so entscheidend wichtigen ¨Grenzbegriffs¨ (Meth. der

elem. Arithm. p. 9 u.). Und ganz analog dem was bei Boeckh S. 55 über 1

und die unbestimmte Zweiheit, die erst durch Anwendung der begrenzenden

Eins zur zwei wird, gesagt wird, habe ich l. c. gesagt, dass zwei im

Grunde die einzige Zahl sei, und die Drei eine neue Zwei. In diesem

doppelten Zusammentreffen sehe ich wieder eine Bestätigung meines

Lieblingssatzes: Nie hat irgendwer irgendwas gefunden.

Der Grund, weshalb in sekundärer Weise die ungeraden Zahlen dem

Begrenzenden zugeordnet werden und die geraden dem Unbegrenzten,

scheint mir darin zu liegen, dass aufgelöst in Einheiten die ungeraden

Anfang, Mitte und Ende haben, die geraden nur Anfang und Ende, und die

Mitte unbestimmt ist. Ausserdem hat Boeckh wohl auch darin recht, dass

im Volke eine Bevorzugung der ungeraden Zahl herrscht: (Aller guten

Dinge sind 3, 1001 Nacht etc.).

Auch der Zusammenhang der Zahl mit der Zeit findet sich angedeutet.

Zeit und Raum verlegen sie an die Peripherie der Welt, von wo aus sie

in die Welt eintreten, und indem sie sich mit der schöpferischen Eins

verbinden die Erzeugung des Seienden bewirken. Hier liegt, wenn auch

bildlich verschleiert, die Ahnung von Zeit und Raum als Bedingung der

Erfahrung vor und zugleich davon, dass die Kategorie Zeit mittelst der

Kategorie Zahl die Welt der Erscheinungen realisiert d. h. begreiflich

macht.

[Sidenote: Kosmogonie und Pantheismus der Pythagoräer.]

Die Kosmogonie der Pythagoräer ist von ¨Boeckh¨ l. c. und in seinen

Arbeiten zum ¨Timäos des Platon¨ erschöpfend behandelt, sie ist voll

tiefer Gedanken und der des Aristoteles entschieden überlegen. Aber die

gewaltige Autorität des Aristoteles, dem sich ¨Poseidonios¨ anschloss,

hat die Entwicklung heliozentrischer Ideen wie sie sich schon bei

Philolaos und noch mehr bei ¨Hiketas¨ finden auf Jahrtausende gehemmt,

bis infolge der Renaissance ¨Kopernikus¨ auf die Pythagoräer zurückging.

Nur noch ein paar Bemerkungen, welche für die Frage nach der Priorität

des Pythagoräischen Satzes wichtig sind. Der bei Philolaos (vgl. Boeckh

und Ritter) scharf ausgesprochene ¨Pantheismus¨ und die ¨Weltseele¨

weisen deutlich auf Indien, wie die Zahlenmystik, das grosse Weltjahr

auf Babylon. Wie die Babylonier den einzelnen Göttern einzelne

Zahlen zuordnen, so werden hier den einzelnen Göttern, d. h. den

Personifikationen von Kräften des Einen einzelne Winkel zugeordnet.

Möglicherweise können auch die ¨Orphiker¨ mit ihrer Geheimlehre die

Vermittler zwischen dem Orient und den Pythagoräern gewesen sein.

[Sidenote: Mathematische Kenntnisse der Pythagoräer.]

Nach diesem Exkurs fahre ich in dem Bericht über die rein

mathematischen Kenntnisse der Pythagoräer fort.

Es ist sehr glaubhaft, dass ihnen das Sternfünfeck, das Pentalpha oder

pentagramma bekannt gewesen und dass sie sich desselben als Symbol für

»sei gesund« bedienten, wofür die bekannte Stelle aus Lukianos (pro

lapsu in salut.) angeführt wird (s. Fig.).

[Illustration]

Das Θ statt des Diphtonges ει, die Figur als Anfang der Briefe statt

des sonst üblichen: »sei gegrüsst«.

In Verbindung damit steht die Kenntnis von den Proportionen, der

arithmetischen a - b = c - d, der geometrischen a : b = c : d, und der

Spezialfälle a - b = b - c, a : b = b : c, d. h. des arithmetischen

und geometrischen Mittels, dem sie als drittes das harmonische Mittel

anreihten: (a - b)/(b - c) = a/c; (2/b = 1/a + 1/c); harmonisch, weil

die Seitenlängen des Grundtones c der Quinte g der Oktave C 1, 2/3, 1/2

diese Proportion bilden, denn 1 - 2/3 : 2/3 - 1/2 = 1/(1/2). Dass sie

diese Verhältnisse kannten, bezeugt ¨Philolaos¨ ausdrücklich und ebenso

¨Eudemos¨, und sie fanden sie auch am Würfel anschaulich vor.

In der Geometrie schuldet man ihnen nach dem Zeugnis des Eudemos bei

Proklos den Beweis des Satzes von der Winkelsumme im Dreieck durch

Ziehen der Parallele und den Satz von den Wechselwinkeln.

Nach der durch Geminos, dem Eudemos vorlag, verbürgten Notiz im

Kommentar des ¨Eutokios¨ zu den Kegelschnitten des Apollonios bewiesen

»die Alten den Satz für jede besondere Form des Dreiecks einzeln,

zuerst für das gleichseitige aus der Sechsteilung des Kreises, dann für

das gleichschenklige und zuletzt für das ungleichseitige.«

Diese Notiz ist für die ¨Geschichte des Parallelenaxioms¨ von grösster

Bedeutung, sie beweist, dass der vielleicht neueste Weg das Axiom zu

begründen, von der Sechsteilung des Kreises aus, zugleich der älteste

ist.

Wir haben ferner das Zeugnis des Eudemos, Proklos I prop. 44, dafür

dass die Pythagoräer sich schon mit den drei Aufgaben beschäftigten,

welche die Grundlage der Kegelschnitte enthalten: An eine gegebene

Strecke einen gegebenen Flächenraum zu entwerfen (παραβαλειν) bezw.

die Aufgabe (Euclid 1, 44 Eucl. 3, 28, 29) so zu verallgemeinern, an

eine gegebene Strecke AB einen gegebenen Flächenraum als Rechteck

Ay so anzulegen, dass ein Quadrat By übrig bleibt (ελλειψις) oder

überschiesst υπερβολή. Man sieht in der Tat (s. Fig.), wir haben: ax =

y^2; ax - x = y^2; ax + x^2 = y^2.

[Illustration]

[Sidenote: Das Irrationale bei den Pythagoräern.]

Nehmen wir dazu noch die Kenntnis der Pythagoräer von der

¨Irrationalität der √2¨ und damit die Entdeckung des Irrationalen,

oder, wie es zuerst weit passender genannt wurde, des ἄρρητον, so fehlt

uns nur noch der Pythagoräische Lehrsatz selbst.

Von der ungeheueren Revolution, die diese Entdeckung des Irrationalen

in den Köpfen der griechischen Mathematiker hervorbrachte, haben wir

noch deutliche Spuren. Es wird uns erzählt, dass sie diese Kenntnis

als das Hauptgeheimnis behandelten und dass ein Pythagoräer, der es

unter die Leute gebracht, zur Strafe ertrunken sei. Man denke sich

nur den Eindruck! Die Zahl, die das Mass aller Dinge, die Grundlage

aller Ordnung und damit Erfahrung, hier versagte sie, und Grössen,

deren Verhältnis in der Potenz, έν δυνάμει, im Quadrat, das denkbar

Einfachste, haben in der Linie kein Verhältnis. Die ganze Grundlage des

Gebäudes wankte, alle Satze, wie z. B. die Streckenteilung, mussten neu

geprüft werden. ¨Aristoteles¨ hat uns den mutmasslich ältesten Beweis

erhalten:

»Wenn eine √2 existierte, so müsste Gerades gleich Ungeradem sein.«

Wir wissen aus dem Theätet, dass dann geometrische Beweise gegeben

sind; der für 2 ist im Euclid erhalten, der für ist vermutlich der,

den Bretschneider und ich selbst unabhängig von ihm gegeben, für 5 ist

er selbstverständlich. Theätet erzählt bei Plato, dass der Pythagoräer

Theodoros von Schritt zu Schritt bis zu 17 solche einzelnen Beweise

gegeben und dann den allgemeinen auf arithmetischer Grundlage, indem er

die Zahlen in Quadratzahlen und in Rechteckzahlen geteilt, d. h. in

solche die nicht in zwei gleiche Faktoren zerlegt werden können. Der

Beweis war also arithmetisch:

n = p^2q, √n = λ, λ^2 = p^2q, λ = p√q, √q = ν, q = ν^2 gegen die

Voraussetzung.

Resumieren wir, so waren den Pythagoräern im wesentlichen die

geometrischen Sätze bekannt, die auf Gleichungen ersten und zweiten

Grades führten; das erste und zweite Buch des Euclid, ein grosser

Teil des dritten und des zwölften; und ihre Ausläufer insbesondere

¨Archytas¨ und ¨Hippokrates¨ haben schon die Probleme dritten Grades in

Angriff genommen.

[Sidenote: Der Pythagoräische Lehrsatz.]

Ich wende mich nun zu dem Satz, der den Namen des Pythagoras seit über

2 Jahrtausenden trägt.

Über diesen grossen Satz, den magister matheseos, auf den die

Flächenrechnung und die Trigonometrie sich stützen, drückt sich

¨Proklos¨ sehr vorsichtig so aus: »Wenn wir auf die, welche alles

erzählen wollen, hören, so finden wir, dass sie diesen Satz auf

Pythagoras zurückführen und sagen, bei der Auffindung habe er einen

Ochsen geopfert.« Der erste Schriftsteller, welcher ganz bestimmt

Pythagoras nennt, ist der römische Architekt ¨Vitruv¨, und nur

in Verbindung mit der Hekatombe wird die Sache erzählt. ¨Hankel¨

sagt: »Doch möchte ich nicht so weit gehen, den Satz dem Pythagoras

abzusprechen, obwohl keine einzige nur einigermassen glaubwürdige

Nachricht darüber vorhanden ist.« ¨Cantor¨ plädiert für Pythagoras

selbst, und er hat darin wohl recht, dass die Schule durch den Meister

den Satz kennen gelernt; den Satz selbst aber hat Pythagoras aus Asien

und mit ausserordentlicher Wahrscheinlichkeit aus Indien. Auf Babylon

weist die Zahlenmystik, die Symbolisierung der Begriffe in Zahlen, und

auf Indien der Lehrsatz und die Lehre von der Seelenwanderung.

[Sidenote: Die Geometrie der Inder.]

¨M. Cantor¨ hat noch in der 2. Aufl. die indische Geometrie als nicht

original erklärt, er hat es wiederholt, dass wir die Geometrie nur

auf indischer Grundlage nicht begreifen können, ja, er hat sie von

Heron von Alexandria, dessen Blüte zwischen 100 v. Chr. und 100 n.

Chr. schwankt, abhängen lassen, und das, obwohl er die Existenz der

¨Sulba-sutras¨, d. i. der ¨Schnurregeln¨, der Zimmermannsregeln für

die Herstellung der Opferstätte aus ¨Thibauts¨ schöner Arbeit in

der Asiatic society of Bengal von 1875 kannte. Dabei hat 1884 der

Sanskritist ¨Leopold v. Schröder¨ ein Buch geschrieben: »Pythagoras und

die Inder,« in welchem er bereits ziemlich entscheidende Beweise für

die Beeinflussung der Pythagoräer durch die Inder beigetragen hat.

Ich schiebe hier einiges aus meinem Vortrag im mathem. Kolloquium

vom 2. Febr. 1903 ein. -- Als ich für die Enzyklopädie den Artikel

Pythagoras abschliessen wollte, machte mich unser Indologe ¨Leumann¨

auf die damals gerade erschienene Arbeit von ¨A. Bürk¨ über das

Apastamba Sulba-sutra (Zeitsch. d. Deut. Morgenl. Ges. Bd. 55,

1901, p. 543) aufmerksam. ¨Leumann¨ gab mir auch die Schrift

¨L. v. Schröders¨ »Pythagoras und die Inder« Dorpat 1884. Auf Grund

dieser Arbeiten inkl. Thibauts trat ich den Ansichten Schröders und

Bürks, dass der Pythagoras bei den Indern weit älter als bei den

Hellenen und vermutlich von den Indern her entlehnt sei, bei und

machte die Mathematiker auf die Arbeit ¨Bürks¨ aufmerksam, ¨Hoffm.

Ztsch.¨ 33, S. 183, 1902. Wie ¨Bürk¨ legte auch ich besonderen Wert

auf das Auftreten des Satzes vom ¨Gnomon¨, d. i. von der Gleichheit

der Ergänzungsparallelogramme, bei den Indern. Etwa ein Jahr später

erschien, auf Verlangen ¨Cantors¨ beschleunigt, im Archiv ein Artikel

desselben, in dem er ebenfalls von der Arbeit Bürks Notiz nahm. Aber

statt dass nun Cantor die Selbständigkeit oder wenigstens die relative

Selbständigkeit der Inder, d. h. die Unabhängigkeit ihrer Geometrie

von den Griechen zugegeben, drückt er sich äusserst gewunden aus, ja

selbst seine Heron-Hypothese gab er nicht auf, indem er sie hinter

der zweifelnden Frage am Schluss versteckt, ob nicht am Ende in

den Sulba-sutras verhältnismässig moderne Einschiebsel seien. Das

Auftreten von Stammbrüchen bei den erstaunlich genauen Näherungswerten

von √2 sollte auf Heron und Ägypten hinweisen; aber sieht man näher zu,

so liegt gerade hier ein entscheidender Unterschied. Während bei den

Ägyptern die gemeinen Brüche als Summe von Stammbrüchen erscheinen,

haben wir bei den Indern auch Differenzen oder genauer Aggregate; und

die Stammbruchform rechtfertigt sich als Bruchteilung der Massschnur.

Kulturzusammenhänge bezweifle ich so wenig wie jeder der sich nicht

bloss mit der Kultur eines einzigen Volkes beschäftigt hat. Angesichts

der babylonischen Zahlenzerlegungen und der quadratischen Gleichungen

der Ägypter glaube ich persönlich, dass der Pythagoras Babyloniern wie

Ägyptern vielleicht schon vor 3000 v. Chr. bekannt war. ¨Aber Glauben

ist kein Beweis.¨

Und was den Einschub in das Sulba-sutra nach Apastamba betrifft, so

wäre der gleiche Einschub bei Taittirīya, Baudhāyana, Maitrāyana,

Katyāyana und Mānava, und im Satapatha-Brāhmana gemacht worden!

Als ich Heft 9 des ¨Bühler¨'schen Grundrisses der Indo-Arischen

Philologie, Astronomie, Astrologie und Mathematik von ¨G. Thibaut¨

las, wunderte ich mich, wie befangen sich dieser hervorragende Kenner

des indischen Wissens auf dem Gebiet der exakten Wissenschaften der

Autorität ¨Cantors¨ gegenüber zeigte. Derselbe Mann, der 1875 so

treffend geschrieben hatte: »Was nur immer fest mit altindischer

Religion verknüpft ist, muss betrachtet werden, als bei den Indern

selbst entsprungen, wenigstens so lange bis das Gegenteil erwiesen«,

der liess sich verblüffen durch Argumentationen von solcher

Ungeheuerlichkeit, wie die rhetorische Frage: »Kann unmittelbare

Anschauung zur Erfindung neuer Satze führen?« Ich sehe von ¨Jakob

Steiner¨ ganz ab, von dem es ja notorisch ist, wie viele seiner

Sätze, gelegentlich auch unrichtigen, er der unmittelbaren Anschauung

verdankt, sondern weise nur auf ¨E. E. Kummer¨ hin, gewiss ein reiner

Mathematiker wie nur einer, und doch der eigentliche Urheber der

Modellgeometrie für Flächen. Herr ¨Bürk¨ hat sich dann auch nicht

geniert, die Schwäche der Cantor'schen Argumente auch bezüglich der

Seilspannung beim Tempel von ¨Edfu¨ -- nebenbei bemerkt erst 237 v.

Chr. -- aufzudecken, und er wies mit Recht auf ¨H. Hankel¨ hin, dessen

dünnleibige Fragmente von einem fast prophetischen, wahrhaft genialen

Verständnis für die Seele der Völker zeugen. Angesichts einiger

Bemerkungen möchte ich hier sagen, dass ich von Bewunderung für die

beinahe übermenschliche Arbeitsleistung Cantors erfüllt bin, aber die

betreffenden Äusserungen in meiner Entwicklung der Elementargeometrie

aufrecht halte. Das Recht zur Kritik, das mir ¨Weierstrass¨ zugestand,

lasse ich mir von niemandem und niemand gegenüber rauben, und wenn an

irgend einer Stelle, so gilt für die Wertung der indischen Mathematik

durch Cantor das Horazische:

Interdum bonus dormitat Homerus,

Nec semper arcum tendit Apollo.

Übrigens ist die indische Verwandlung des Rechtecks in ein Quadrat

ohne eine schulgerechte Analyse unmöglich, und bei der Ausmessung der

Saumiki vedi findet sich derselbe Beweis, den wir heute noch für die

Flächenformel des Trapezes geben.

Erklärlich wird das Verhalten Cantors durch sein Dogma, dass die

Hellenen speziell für Geometrie, die Inder für Arithmetik, insbesondere

für Rechnen begabt waren. Leider ist dies in dem Umfange, wie es

Cantor annimmt, falsch. Der leitende Gesichtspunkt der Entwicklung

der griechischen Mathematik war ein rein arithmetischer. Sie haben

erst die Gleichungen ersten Grades in Form der Proportion gelöst, dann

die der zweiten vermöge der Satzgruppe des Pythagoras und dann die

Gleichungen dritten Grades angegriffen, wie man absolut deutlich aus

den beiden sogenannten Delischen Problemen, der Verdoppelung, bezw.

Vervielfachung des Würfels und der Trisektion des Winkels erkennt,

an die sie sich unmittelbar nach der im zweiten Buch des Euclid

ausführlich behandelten Lösung der quadratischen Gleichungen machten.

Und die Inder, welche im Anfang ihrer Geschichte in der Astronomie und

damit in der Rechenkunst durchaus abhängig von Babylon waren, haben

höchst wahrscheinlich ihre Geometrie infolge ihres Kultus selbständig

entwickelt.

[Sidenote: Abhängigkeit der Pythagoräer von den Indern.]

Für die Abhängigkeit der Pythagoräer von den Indern hat ¨v. Schröder¨

auf die Lehre von der Seelenwanderung hingewiesen; sie war ein

Hauptbestandteil der Pythagoräischen Lehre, unzweifelhaft, schon

Xenophanes berührt sie; Philolaos trägt sie vor; Aristoteles bezeichnet

sie als pythagoräisch; Plato hat seine poetische Darstellung von dem

Zustand nach dem Tode den Pythagoräern nachgebildet. Philolaos sagt,

die Seele sei an den Körper ¨zur Strafe¨ gefesselt und gleichsam im

Körper begraben. Diese Anschauung hat ¨Platon¨ in dem durch und durch

von Philolaos beeinflussten ¨Timäos¨ angenommen, im Gegensatz zu seiner

früher z. B. im Phädon aufgestellten Ansicht.

¨Herodot¨, der die Seelenwanderung als durchaus unhellenisch

bezeichnet, schreibt sie den Ägyptern zu, aber die Denkmäler der

Ägypter, soviel sie sich auch mit dem Tode und dem Leben nach dem

Tode beschäftigen, weisen keine Spur der Metempsychose auf. Und was

für einen Zweck hätten dann die riesigen Opfer, welche die Ägypter

für die Behaglichkeit des Kha brachten, ihre Pyramidenbauten, ihre

Einbalsamierung gehabt? Ein einziges ägyptisches Märchen, das von den

drei Brüdern, könnte allenfalls herangezogen werden, doch das gehört

unzweifelhaft in den Kreis der Osirissage.

[Sidenote: Altindischer Kulturzustand.]

Aber in Indien da beherrschte und durchdrang gerade um diese Zeit

die Lehre von der Seelenwanderung das ganze Volk. Wir wissen mit

Bestimmtheit, dass gerade um diese Zeit der Buddhismus hereinbrach,

als dessen Ziel einzig und allein die Befreiung von dem Kreislauf

der Geburten, von der Wanderung der Seelen durch immer neue

Existenzen bezeichnet werden muss. Und nicht Buddha Gautama war der

erste (¨Oldenberg¨ 1881, Buddha, sein Leben, seine Lehre, seine

Gemeinde), sondern vor und mit ihm durchzogen schon Asceten, Mönche,

Wanderpriester teils einzeln, teils schon Orden und Kongregationen

bildend das Land, um in Busse das Ziel der Erlösung zu suchen.

Buddhas Erfolg beruht gerade darauf, dass er den Zug nach Erlösung von

der sich immer wiederholenden Qual des ¨Sterbens¨ durch seine Lehre

befriedigte.

[Sidenote: Der Rigveda und der Yajurveda.]

Die Lehre von der Seelenwanderung entwickelte sich in Indien

naturgemäss im Zusammenhange mit der Lehre vom All-Einen, deren Wurzeln

schon in dem Rigveda, der Sammlung der uralten heiligen Lieder, die

die Inder zum Teil beim Einwandern aus Afghanistan mitbrachten, zu

finden sind. Wohl sind auch ein paar weltliche Lieder dabei, aber sie

finden sich erst im 10. Buch des anerkannten Textes, der Redaktion der

Çakalaschule, das erst etwa um 1000 v. Chr. den übrigen 9 Büchern oder

mandala zugefügt ist, wenngleich ihr Ursprung natürlich viel älter

ist. Wenn wir uns den Kulturzustand der Inder, der Arya zurzeit der

Entstehung des Rigveda vergegenwärtigen wollen, so brauchen wir nur die

Germania des Tacitus zu lesen, nicht einmal der Spieltrieb fehlt, wie

10, 34 bekundet: »Nach seinem Weibe greifen fremde Hände, indes mit

Würfeln er auf Beute ausgeht.« Auch hier ein freies Volk, der König

eigentlich nur Herzog, d. h. Heerführer im Kampfe, der Hausvater,

der Sippenälteste, Herr und König in seinem Hause und zugleich auch

Priester. Eine eigentliche Priesterkaste, ein Bramanentum gab es noch

nicht, überhaupt kein Kastenwesen, auch keine Witwenverbrennung. Das

alles hat sich erst in der folgenden Periode entwickelt und hängt mit

der Ausbildung des Opferrituals eng zusammen. Wohl spielt auch im

Rigveda das Opfer, insbesondere das des Agni und noch mehr des Soma

eine bedeutende Rolle, aber im Vordergrund steht doch der Hymnus.

Übrigens ist die Periode des Rigveda nicht mehr die altindogermanische,

wie aus dem Zurücktreten des indogermanischen Lichtgottes Djaus, Zeus,

des Tiu der Germanen, angerufen als Djaùs-pitar, Griech. Ζευ πατερ,

umbrisch Dispiter, Lat. Jupiter (vgl. A. Kaegi, der Rigveda Anm. 112),

des Lichtgottes, des Himmelsvaters, und der Gäa, der ¨Mutter¨ Erde,

Prithivi, hervorgeht.

Auch die Götter des Rigveda müssen in der Brahmanen-Periode dem

Dreigestirn Brāhman, Vishnu, Çiva weichen. Der erstere eine

priesterliche Abstraktion der Weltseele, die beiden anderen, in den

Veden erwähnt, aber doch erst später hervortretend gegen ¨Varuna¨, den

Himmel, und ¨Indra¨, den Kriegsgott, den eigentlichen Nationalgott

des Rigveda. Namentlich der Kult des schrecklichen Zerstörers Çiva

entstammt so recht eigentlich dem Grund der einheimischen Volksseele,

welche die Gewalt der Naturmächte oder Götter als schwer versöhnliche

Feinde der Menschheit empfindet. Im übrigen sei für die altindische

Kultur zur Vedenzeit auf ¨H. Zimmers¨ klassisches Werk: Altindisches

Leben (1879) verwiesen.

[Sidenote: Die Bedeutung des Opfers.]

In der auf die Rigvedazeit folgenden Periode, der des Yajurveda,

der Lehre vom Opfer, und der Brāhmana-Texte, der Kommentare der

einzelnen hervorragenden Weisen, nimmt der Zug nach Erlösung von der

Qual des Wiedersterbens seinen Anfang. Und auf der andern Seite in

der Flucht der Erscheinungen bildet nur eins den ruhenden Pol, der

Kern aller Wesen, der Atman Brahman, der in allem ist, die heilige

Weltseele. Seelen, die in der Hölle der Existenz wandern, werden durch

Busse erlöst zu einem seligen Sein auf dem Monde, aber die gleiche

Vorstellung findet sich bei den Pythagoräern, nur dass an Stelle des

Mondes die Sonne tritt, wie im Satapatha Brāhmana die seligen Seelen

als Sonnenstäubchen erscheinen.

Gemeinsam ist auch in der Buddha- und Pythagorassage die Erinnerung an

den früheren Seelenzustand.

¨v. Schröder¨ sagt in Pythagoras und die Inder:

»Wer nun mit dieser durch mehrere Jahrhunderte sich erstreckenden

Epoche der indischen Kulturgeschichte vertraut ist, der nur eigentlich

vermag es ganz zu ermessen, welch eine Rolle zu jener Zeit das Opfer

mit seinen unzähligen Details im Geistesleben der Inder spielte.

Das gesamte Sinnen und Trachten des hochbegabten Volkes ist in

diesem Jahrhundert auf das Opfer, seine Vorbereitung und Ausführung

gerichtet. Die umfangreiche Literatur, die als Zeuge jener Zeiten

zu uns redet, handelt vom Opfer und immer nur vom Opfer. Dem Opfer

in allen seinen Einzelheiten wird die höchste Bedeutung beigelegt,

die Kraft Götter und Welten zu zwingen, Natur und Menschen zu

beherrschen. Wunderbar übernatürliche Macht wohnt ihm inne und selbst

die Kosmogonie geht auf das Opfer zurück. Aus Opfern sind alle Welten

und Wesen, alle Götter und Menschen, Tiere und Pflanzen entstanden.

Das Zeremoniell des Opfers, wie schon die Yajurveden zeigen, ist ein

ungeheuer kompliziertes und die kleinste Äusserlichkeit wird mit

einem Nimbus von Wichtigkeit umgeben, der für uns nicht selten das

Lächerliche streift. Die Vorbereitung zum Opfer, die Fertigstellung

des Opferplatzes etc. spielt hier eine hervorragende Rolle. Dabei

ist natürlich die ¨Konstruktion der Altäre¨ von allerhöchster

Bedeutung. Jede Linie, jeder Punkt, jedes Formverhältnis war hier von

entscheidender Wichtigkeit und konnte nach dem indischen Glauben jener

Zeit, je nachdem es ausgeführt war, Segen oder Unheil bringen. Über

die ¨Gestalt¨ und ¨Grösse¨ der ¨Altäre¨, ihr Verhältnis zueinander und

zu ihren einzelnen Teilen, zu den mannigfachsten abstrakten Begriffen,

ihre symbolische Bedeutung und die richtige, nicht bloss gottgefällige,

sondern selbst Götter ¨zwingende¨ Art ihrer Herstellung haben

Generationen eines hochbegabten, für Spekulation und Abstraktion und

namentlich für rechnerische Leistung sehr beanlagten Volkes gegrübelt

und immer wieder gegrübelt.«

Und ¨Bürk¨ und ¨Leumann¨ stimmen dem zu.

Es mussten daher die Inder schon in jener sehr frühen Zeit gezwungen

werden, wenigstens auf dem Opferplatze eine Feldmesskunst auszubilden.

¨Cantors¨ Ansicht ist um so unbegreiflicher als er selbst sagt, dass

die Sulba-sutras Schriften von geometrisch-theologischem Charakter

sind; wie sie abgesehen von einigen ägyptischen Inschriften in keiner

Literatur sich wiederfinden.

[Sidenote: Konstruktion der Opferstätten und Altäre.]

Wenn nun ¨Pythagoras¨ in Indien war, so konnte er nicht nur, so musste

er von dort den Satz über das Quadrat der Hypotenuse mitbringen. Selbst

¨Cantor¨ hat sich dem, wie erwähnt, nicht ganz verschliessen können.

Das Apastamba-Sulbasutra, die Lehre von der Messschnur nach Apastamba,

gehört in den Ausgang der Brāhmana-Literatur, der Zeit, die auf die

Veden folgt.

Die Veden, von Veda (Lehre, Wissenschaft), enthalten die ältesten

religiösen Satzungen: den Rigveda, soweit sie sich in Liedern

formulieren, und den (schwarzen und weissen) Yajurveda, der vom Opfer,

seiner Zurüstung, den Zeremonien etc. handelt. Die Veden sind kurz und

dunkel. Die riesige Brāhmana-Literatur bestand in Kommentaren zu den

Veden, die die Veden selbst als bekannt voraussetzen. Gehören die Veden

der Zeit von 1200-1000 an, so gehen die Brāhmanas bis etwa 600, der

Zeit vor dem Auftreten Buddhas.

Die Sulba-sutras bilden in den verschiedenen Lehrbüchern der Schulen

ein Kapitel der Kalpa-Sutras oder Çrauta-Sutras, deren Aufgabe es ist

das Opferritual übersichtlich darzustellen, und ihr Sulba-Sutra gibt

die Regeln für die genaue Abmessung des Opferplatzes, der verschiedenen

Altäre etc.

Diese Schulen entsprechen den Babylonischen Tempelhochschulen, und wie

die Fürstpriester Babylons stehen die altindischen Weisen, die rishi,

an genialer Begabung für religiöse und philosophische Spekulation

keinem Platon und Aristoteles nach.

Die Anfänge des indischen Opferwesens reichen bis in die Zeit des

Rigveda zurück; schon in ihm werden die Altar-Stätten (vedi) und der

dreifache »tri-schadhastha« Sitz des Agni, des Feuers (= lat. igni-s),

des sozusagen irdischen Gottes im Rigveda, die drei geschichteten

Altäre erwähnt: der Altar des Hausherrn, der garhapatya -- der

ahavanīya -- Opferaltar -- und der daksinagni -- Südaltar. Nach den

Angaben des Yajurveda handelte es sich bei dieser Dreiteilung um

Quadrate, Kreise und Halbkreise, die von gleicher Fläche sein mussten.

[Sidenote: Altindische Geometrie.]

Das Verfahren wird selbstverständlich in dem Rigveda, den wir auf

1200 v. Chr. setzen, nicht erwähnt, doch heisst es: »kundige Männer

massen den Sitz des Agni aus.« Die eigentliche Blütezeit des indischen

Opferwesens war die Periode der Brahmanas, welche nach ¨Leumann¨ sich

bis ins 7. Jahrhundert vor Chr. erstreckt. ¨L. v. Schröder¨ sagt in

»Pythagoras und die Inder«, was ¨Bürk¨ und ¨Leumann¨ akzeptieren: »Auf

Grund dieser Sulba-Sutras und unter Berufung auf noch bedeutend ältere

Werke wie die Taittirīya-Samhita (Sammlung) und das so hochbedeutende

Satapatha-Brāhmana (die hundertpfadige Lehre) lassen sich nun die

geometrischen Kenntnisse bestimmen, welche die Konstruktion der Altäre

erforderte,« und ich werde hier also Gelegenheit nehmen auf die

altindische Geometrie näher einzugehen.

Bei den Altären unterscheidet man die vedi, d. h. das Altarbett, und

den Agni, d. h. den beim Agni-Opfer und beim Soma- (dem heiligen

Trank-) Opfer aus meist quadratischen Backsteinen geschichteten

Feueraltar. Das Somafest wurde zu Ehren Indras, des Kriegsgottes,

gefeiert. Der Gott und die Krieger sollten sich berauschen an dem

Somatrank, der aus einer stark milchsafthaltigen Pflanze bereitet

wurde. Es hatte so hohe Bedeutung, dass der Somatrank selbst zum Gott

gemacht wurde.

I. ¨Vedi.¨ Die Inder legten grossen Wert auf genaue rechtwinklige

Herstellung ihrer Altäre, und Apastamba lehrt zu diesem Zwecke bei

der Vedi für das Somafest mehrere $ganzzahlig$ rechtwinklige Dreiecke

anzuwenden, deren Masse zum Teil schon im Taittirīya- Text und im

Satapatha-Brāhmana vorkommen. Und auf diese bei der Saumiki vedi

gelehrte Methode der Ausmessung weist er bei einer Reihe andrer Vedis

zurück. Unter diesen ist erstens noch die Vedi der Sautramani-Zeremonie

hervorzuheben, welche nach einer alten Vorschrift 1/3 der Saumiki vedi

messen soll (¨Thibaut¨). Es handelt sich dabei um das Opfer für Indra

Su-trāman (Ζευς σωτηρ). Ihre Konstruktion geschah entweder mit Hilfe

der tri-karani oder trtīya-karani (der drei oder 1/3 machenden), d. h.

entweder mittelst der geometrischen Konstruktion von √3 oder √1/3,

und das geht nicht ohne Pythagoras (denn √1/3 = 1/3√3). Apastamba

Kap. II, 2 steht die Figur (s. S. 158), natürlich ohne Buchstaben.

Ferner die vedi beim asvamedha (Rossopfer); da diese doppelt so gross

als die Saumiki vedi sein soll, wird sie mit der dvi-karani; der √2,

ausgemessen.

[Sidenote: Grundriss des Normalaltar.]

Damit ist auch die trtīya-karani erklärt: das Quadrat über der

tri-karani ist in 9 Teile zu teilen (Fig. S. 158).

Nur wenn die Vedi genau den Vorschriften entsprach, war das Opfer Gott

wohlgefällig, im andern Fall eine Beleidigung. Die genannten Arten der

Vedi und die meisten andern hatten die Form eines Achsentrapez; dies

musste zuerst in ein Rechteck verwandelt werden (Ap. V, 7), dessen

Berechnung, z. B. Ap. S. V 7 und 9 gelehrt wird.

II. ¨Agni -- geschichteter Feueraltar.¨ Alle in den Brāhmanas und

Sutras vorkommenden Vorschriften beziehen sich, wenn nicht anders

angegeben wird, auf den catur-asra syena-cit, auf den viereckig

falkenförmigen. Der atman (Wesen, Seele, Körper) des Altars, der die

Gestalt eines Falken in rohen Umrissen nachahmte, bestand aus vier

Quadraten über dem purusa (Menschenlänge) und der Schwanz und jeder

Flügel aus einem Quadrat-purusa; um der Gestalt des Vogels noch näher

zu kommen wird jeder Flügel um 1 aratni (Elle = 1/5 purusa) und der

Schwanz um 1 pradesa (= 1/10 purusa) verlängert (s. Fig.). Gemäss

seiner Zusammensetzung heisst dieser Altar auch agni saratni-pradesa

saptavidha (z. B. Ap. Sulb. s. XV, 3.).

[Illustration]

[Sidenote: Altindische Geometrie zur Konstruktion der Altäre.]

Bei der Anlage der Grundfläche handelt es sich nun um die Konstruktion

von Quadraten, wofür Apastamba zwei Methoden überliefert. Die erste

Ap. VIII, 8 bis IX, 2 beschrieben, ist höchst altertümlich und

primitiv (Fig. 2), sie ist älter als die bei Thibaut beschriebene von

Baudhāyana zum caturasra-karana. Für alle vier Quadrate sieht sie aus

wie Fig. 3, aus der sich dann die von Baudhāyana beschriebene Fig. 4

entwickelt hat.

[Illustration]

Die zweite jüngere ist die mittelst des visesa, d. h. mit einem Rest,

d. h. der Näherungswert 17/12 (Thibaut) für die √2, also 1,417, Fehler

< 0,003; sie setzt den Pythagoras voraus für den Spezialfall. (Ap.

Sulba sutra IX, 3), bei Apastamba 577/408 = 1,4142156; der Bruch ist

auf 5 Dezimalen richtig