(Von) 6 5 3 (ist es das) Quadrat.
Also: 653^2= 426409 ist zerlegt in:
400^2 = 160000
122^2 = 14884
30-1/2 · 30-9/20 = 929
114 · 864 = 98496
390^2 = 152100
[Sidenote: Die Tafel von Senkereh.]
Ehe ich diese Rechnung weiter bespreche, möchte ich Ihnen die Tafel
von Senkereh in 4facher Vergrösserung aus dem grossen und kostbaren
Rawlinson'schen Werke vorführen und Sie auf gewisse Eigentümlichkeiten
der Tafel aufmerksam machen. Leider steht mir nur die erste Auflage
und nicht die wesentlich veränderte zweite Auflage zur Verfügung.
Sie sehen in der Tabelle No. 2 die Tafel der Quadrate der Zahlen von
1-60 mit einer Lücke von 25-44, so dass das Quadrat voransteht, d. h.
also die Tabelle ist zum Wurzelziehen eingerichtet und daneben zum
Quadrieren. Die Tabelle, welche die Überschrift Reverse trägt, ist eine
Tafel der Kubikzahlen von 1-32. Die wichtigste Tafel, die (irrtümlich)
die Überschrift Obverse trägt, ist die rechte Tabelle, die für die
Metrologie von entscheidender Bedeutung geworden.
Nun sehen Sie, bitte, mal hier [**symbol] (3) und dort [**symbol]
(121) und bedenken Sie die 4fache Vergrösserung, dann werden Sie
sehen, welche Übung und Schärfe nötig war um die, wie Sie schon an dem
Beispiel 653 gesehen haben und wie bei der Besprechung der Astronomie
noch deutlicher hervorgehen wird, recht komplizierten Rechnungen
auszuführen mit einem System von 2 Ziffern; es ist klar, dass sehr
ausgedehnte Tabellen diesen Rechnern völlig geläufig sein mussten.
Kritisch würde die Sache bei 61 sein, aber ich vermute, denn die Zahl
ist m. W. nicht gefunden, sie würden ebenso wie sie dort [**symbol] 120
sehen, ganz ruhig geschrieben haben [**symbol] und es dem Scharfsinn
des Lesers überlassen haben darin 60 + 1 oder 1 + 1 zu sehen.
[Sidenote: Die magische Rechnung.]
Ich komme nun auf unsere magische Tafel und die Rechnung zurück.
Berossus und Eusebios von Cäsarea berichten uns, dass die Chaldäer
ihre heroische Zeit auf 60 · 653 geschätzt haben, die Bibel gibt
von Erschaffung der Welt bis auf Abraham 292 Jahre und von Abraham
bis zum Ende der Genesis 361, macht 653 Jahre. Gerade diese beiden
Bestandteile der Zahl sind das, was sie zur magischen Zahl gemacht
hat. 5 · 292 = 1460 ist die Sothisperiode, die Anzahl der Jahre, die
vergeht bis der Anfang des bürgerlichen Jahres zu 365 Tagen mit dem
heliakischen (heliakisch = Aufgang in der Morgendämmerung) Aufgang des
Sirius zusammenfällt und 1805 oder 5 · 361 Jahre ist die Lunarperiode,
die Zahl der Jahre, nach welcher der Mond immer wieder die gleiche
Stellung einnimmt sowohl im Vergleich zu den Jahreszeiten als auch in
seinem Abstand von der Sonne (Phasen), in bezug auf das Eintreten der
Finsternisse als auch in seiner Beziehung zu den Sternen.
Nimmt man das tropische Jahr der Babylonier zu 365^d 2475, so sind:
1805^a = 659271^d ferner:
22325 synod. Monate = 659270^d (Neulicht zu Neulicht)
24227 draconische Mon. = 659271^d (Rückkehr zum Knotenpunkt)
24130 Siderische Mon. = 659271 (Rückkehr d. Mondes z. Fixstern).
Ich will auf das Exempel noch weiter eingehen, es ist nach ¨Oppert¨
ein klassisches Beispiel altchaldäischer Zahlenmystik, die unter
dem Namen der Kabbala bis in die neueste Zeit, ja noch heute unter
den Juden Galiziens im Schwange ist. Die Zahl und Rechnung spielten
im Kulturleben der Babylonier eine enorme Rolle, jeder Gott hat
seine eigene Zahl, z. B. Bel das Symbol [**symbol], d. h. Gott, dem
die 20 zukommt, Marduk als Stier des Tierkreises repräsentiert die
[**symbol], die Zahl der Zeichen die er anführt. Sin des Mondes Gott
hat die [**symbol] vielleicht weil er in ältester Zeit der Hauptgott,
wahrscheinlich wegen des Monats von 30 Tagen, die Engel-Brüche etc. Die
Horoskope, die ja auch babylonischen Ursprungs sind, sind ein Ausfluss
solcher Zahlenmystik, die sich von Babylon aus über die ganze Welt
verbreitet hat. Wer unter Ihnen bibelfest ist, wird sich an die Kabbala
im Daniel erinnern (s. u. Pythagoräer).
Wir haben bereits eine grosse Anzahl solcher magischer Tafeln und
sehen, wie wir auch an unserm Beispiel nachweisen können, darin die
Anfänge der wissenschaftlichen Zahlentheorie, man vergleiche Astronomie
und Astrologie.
Unter den wenigen aus Khorsabad geretteten Inschriften haben wir
glücklicherweise die Angabe des Sargon II. über die von ihm gegründete
Stadt Dar Sarkim- (Khorsabad von E. Botta 1842-45). Die Mauer war
rechteckig, sie hat 1647 auf 1750^m. Keine Halle, kein Zimmer, kein
Stadtplan durfte aus religiöser Scheu rein quadratisch sein; dies
scheint als eine Verletzung der Ehrfurcht gegen den Gott gegolten zu
haben, bei dem Allerheiligsten war eine sehr enge Annäherung an das
Quadrat gestattet. In der Inschrift von Khorsabad gibt Sarkin nun an,
dass der Umfang der Mauer die Zahl seines Namens sei; dieser Name ist
sar Fürst und kin das wir allenfalls mit mächtig wiedergeben können;
sar entsprach der Zahl 20 und kin 40; und misst man den Umfang aus,
so findet sich, dass er 20 · 3265 + 40 · 1460 Spannen, d. h. also die
Stadt sollte 20 Phönix- und 40 Sothisperioden überdauern.
»In unserer Tafel haben wir es nun mit einem zyklischen Flächenraum zu
tun, 653^2, und dies ist in Quadrate zerlegt bis auf 99425, das in zwei
Rechtecke zerlegt ist, das ist auffallend, da doch
99425 = 311^2 + 52^2; 305^2 + 80^2; 292^2 + 119^2; 284^2 + 137^2;
280^2 + 145^2; 247^2 + 196^2
und keine dieser Möglichkeiten den Chaldäern unbekannt sein konnte,
die mit der Zerlegung von Quadraten vollkommen vertraut waren.« Ich
halte es für äusserst wahrscheinlich, dass der Pythagoras bereits den
Chaldäern bekannt war und von ihnen nach Indien gekommen ist. Die
Ausschliessungen aller der Zerlegungen muss also ihren guten Grund
gehabt haben.
[Sidenote: Die Zahlenmystik auf Tempel-Grundrisse angewandt.]
Es handelt sich um ein schwieriges arithmetisches Problem: »Ein
heiliges Quadrat von 653 so zu zerlegen, dass der Umfang der Figur
eine Zahl von Phönix- und Sothisperioden und die Tiefe eine ganze
Lunarperiode darstellt.« Demgemäss würde der Tempel folgendermassen
angelegt (nach Oppert). Ein Vorhof von 400 Ellen im Geviert, mit
einer Öffnung von 16 Ellen, einer Vorhalle desgleichen von 122, eine
kleine heilige Stelle von 30-1/2 auf 30-9/20, danach ein langer Gang
von 869 auf 114, eine quadratische Endhalle von 390. Die Tiefe ergibt
1806, was unmerklich von 1805, der Lunarperiode, abweicht, den Umfang
findet Oppert, mittelst der Öffnung zu 5086 = 6 · 653 + 4 · 292. Meine
Berechnung ergibt aber nur 5071 und für das gesamte Mauerwerk 5429.
Die erste Zahl kann mit 2 Öffnungen hinten und vorn auf die Summe von
5 Phönix- und 6 Sothis-Perioden reduziert werden, wodurch die heilige
Zahl des Marduk ihre Ehrung findet, die letztere (unwahrscheinlichere)
auf 1 Phönix- und 3 Sothisperioden mit Zusatz von 8 Ellen für einen
Eingangsvorbau.
[Illustration: Tempel-Grundriss des Sargon.]
Als sehr interessantes Beispiel der Zahlenschreibung hebe ich Zeile
6 aus der von J. Oppert 1903 behandelten magischen Quadrattafel
hervor, wo sich vorne das von Oppert ergänzte Summenzeichen tab
[**symbol] findet, die 118 sar geschrieben werden als 120 - 2,
mit dem Minuszeichen lal, die beiden ner nicht [**symbol] sondern
[**symbol] wiedergegeben sind, und das Wortzeichen für ¨Ibdi¨, Quadrat,
[**symbol], welches selbst in seiner neuassyrischen Form deutlich die
Kombination von Zusammenfassung und Zwei bekundet, wie das Zeichen von
Kubus, Badie, sich durch drei innere Striche kennzeichnet.
[Sidenote: Über das Vorkommen der 0; Entstehung des Sexagesimalsystems.]
Es drängt sich hier die Frage auf nach der 0, denn das ist ja noch das
einzige, was für die Inder zu retten wäre, da der Gedanke die Potenzen
der Grundzahl durch den Stellenwert der Ziffer zu kennzeichnen, wie
Sie gesehen haben, altbabylonisch ist und auf die ältesten Zeiten der
Völker von Sumer und Accad zurückgeht. Da geben nun die Tafeln von
Senkereh keinen Aufschluss, denn weder unter den Quadratzahlen noch
unter den Kubikzahlen der Tafel kommt eine Zahl vor, welche die 0
in der Mitte verlangte. Aber in den Stimmen von Maria Laach haben
die beiden Patres ¨S. J. Strassmaier¨ und ¨Epping¨ eine sehr schöne
Arbeit veröffentlicht »Astronomisches aus Babylon« oder »Das Wissen
der Chaldäer über den gestirnten Himmel«; hier kommt der Fall der 0
des öfteren vor, da ist nun meist die 0 aus der Lücke zu erkennen wie
auch sonst, aber es kommt auch dafür das Zeichen [**symbol], genannt
der ¨Trenner¨, vor. Mit diesem Zeichen für die Null ist die Möglichkeit
näher gerückt, dass die 0 babylonisch ist. Es spricht allerdings
wieder manches dagegen, so schreibt der Babylonier 2 meist [**symbol]
und nicht [**symbol] und 61 wird durch (soss) d. h. [**symbol]
wiedergegeben und z. B. 120 kommt bis dato nicht in der Form [**symbol]
vor, statt [**symbol] oder [**symbol].
[Sidenote: Ursprung des Sexagesimalsystems.]
Nun, meine Herren, lassen Sie uns die allerinteressanteste Frage
berühren: wie ist das Sexagesimalsystem entstanden?
Da waren nun bis vor kurzem alle Autoritäten, vor allen ¨M. Cantor¨
darin einig, dass es vom Himmel stamme, d. h. nicht bildlich sondern
physisch, und dass es auf das Engste mit der Teilung des Kreises in
360 Teile, die als altbabylonisch feststeht, zusammen hänge. Nach dem
Vorgang eines Italieners ¨Formaleoni¨ von 1788 nahm auch M. Cantor
100 Jahre später an, die Quelle der Kreisteilung in 360 sei ein
uralter grober Irrtum der Babylonier über das Sonnenjahr gewesen.
Diese schärfsten aller Himmelsbeobachter, deren ganzes Leben seit
uralter Zeit unter dem Einfluss der himmlischen Konstellationen stand,
deren ganzer Kult ein Kult der Sonne, des Mondes und der Sterne, der
Naturerscheinungen insgesamt war, die hätten einen Irrtum, der so grob
war, dass er in 8 Jahren 42 Tage betrug, nicht eher gemerkt, als bis
sie ihr ganzes Mass-, Münz- und Gewichtssystem darauf zugeschnitten.
Cantor meint nun, sie seien zur 60 gekommen von der Kreisteilung aus,
auf der Suche nach einer passenden Untereinheit hätten sie den Radius
als Sehne in den Kreis getragen und dabei gefunden, dass er 1/6 des
Kreises gleich 60 Grad spanne, und da hätten wir ja glücklich die 60!
Wenn ¨Letronne¨, Journal des savants étrangers 1817 diese Hypothese
aufstellte, so konnte man diesen Versuch anerkennen.
Bis etwa 1900 nahmen die Assyriologen diese Erklärung gedankenlos
hin; sie hatten so viele schwierige Probleme, dass sie das geringe
mathematische Material zunächst beiseite liessen. Wurde doch das
Sexagesimalsystem erst nach 1854 von ¨E. Hincks¨ entdeckt. In dem von
ihm behandelten Mondtäfelchen (Irish academy) handelt es sich um die in
15 auf den Neumond folgenden Tagen sichtbar werdenden Teile des Mondes.
Es seien, heisst es, an diesen 15 Tagen der Reihe nach sichtbar:
|5 |10 |20 |40 1|20
1|36 1|52 2|8 2|24 2|40
2|56 3|12 3|28 3|44 4|
Hincks nahm an, dass die Mondscheibe in 240 Teile zerlegt gedacht sei
und die weiter nach links stehende Zahl 1.60 2.60 etc. bedeutete und
die Beobachtungszahlen in den ersten 5 Tagen einer geometrischen, in
den folgenden 10 Tagen einer arithmetischen Reihe folgen. Nebenbei
bemerkt ist es nicht unwichtig hier eine Kreisteilung in 4 Quadranten
und jeden Quadranten in 60 Teile geteilt zu finden, denn damit ist der
astronomische Ursprung des Grades verurteilt. Die Erklärung Hincks
wurde dann zuerst 1854 durch die Tafeln von Senkereh und dann immer
mehr bestätigt. Um 1900 wendeten sich gleichzeitig drei Assyriologen
¨Mahler¨, ¨Ginzel¨, ¨Lehmann¨ gegen den Ursprung des Systems aus der
Jahresbewegung. ¨Mahler¨ machte höchst zutreffend darauf aufmerksam,
dass das Jahr sich überhaupt nicht zum Massentnehmen eigene, die
Babylonier schon so lange die Denkmäler reichen mit der Zahl 365,2(4)
der Tage vertraut waren und wie auch die Ägypter ein eigenes Fest der 5
Extratage feierten. Er wies darauf hin, dass die tägliche Bewegung den
Lichttag als Hälfte und Vor- und Nachmittag einen Vierteltag ergäbe.
[Illustration]
Noch ansprechender war die Hypothese ¨Lehmanns¨, dass die Babylonier
beobachtet hätten, dass der Sonnendurchmesser 1/720 der Ekliptik und
jedes Tierkreisbild 1/12 und damit das Verhältnis 1/60 gewonnen sei.
Leider stimmt die Sache nicht. Die Wasseruhr war den Babyloniern
bekannt und mit ihrer Hilfe wurde der Sonnendurchmesser zu 32′ 6″
bestimmt. Nebenbei bemerkt, ist die genaue Bestimmung eines der
diffizilsten astronomischen Probleme, man vgl. die Arbeiten ¨Auwers¨ in
den Berliner Sitzungsberichten.
Der Tierkreis ist allerdings unzweifelhaft babylonischen Ursprungs;
Sie sehen hier in der schon erwähnten Arbeit Eppings Abbildungen.
Die Gleichheit aber der 12 Zeichen ist nicht ursprünglich. Lehmann
fand auch in der Festsetzung der Gold- und Silberwährung 40 : 3 etwas
Himmlisches, nämlich das Verhältnis der Tage des Jahres 360 und deren
des Monats 27. Alles dies wäre sehr schön, wenn es nur richtig wäre.
Das Verhältnis des Sonnendurchmessers zum Vollkreis ist ungefähr
1/673, das des Jahres zum Monat keineswegs 40 : 3. Auch die 12 Monate
zu 30 Tagen stimmen nicht, denn nie hat ein Monat volle 30 Tage. Das
erlösende Wort hat 1904 wieder ein Lehrer der Mathematik, diesmal ein
pensionierter, gesprochen, ¨Kewitsch¨ in Freiburg. Er hat den, man
sollte meinen, selbstverständlichen Satz ausgesprochen: erst Zählen,
dann Messen; 6, 60, 360, 3600 waren runde Zahlen bei den Babyloniern
und sind von ihnen an den Himmel versetzt, in die Natur hineingelegt.
Damit ist freilich die Frage wie die 6 und die 60 zu Grundzahlen
wurden, nicht gelöst. Kewitsch leitet sie von der Fingerrechnung
ab; er gibt zwei Wege an; den ersten hält er selbst für nicht sehr
wahrscheinlich; dem zweiten zufolge sollen sie, nachdem alle fünf
Finger benutzt, noch einmal die Hand mit weggestrecktem Daumen als 6
gezählt haben und in Verbindung mit den 10 Fingern zu 6 · 10 = 60 als
Grundzahl gelangt sein. Kewitsch führt den Umstand, dass das Zeichen
für Hand ursprünglich 6 Striche gehabt hat, als Beweis an: Quat-Hand
[**symbol], später [**symbol]; andrerseits ist die natürliche Stellung
der ausgestreckten Hand doch die, dass der Daumen nicht angedrückt
wird. Ausserdem scheint mir Kewitsch einen Umstand nicht beachtet zu
haben, nämlich den, dass das Sexagesimalsystem der Sumerer ein durchaus
künstliches ist, das mit einer ausserordentlichen Übung im Rechnen mit
grossen Zahlen verknüpft ist und dass das Zählen an den Fingern bei
Entwicklung dieses Systems ein längst überwundener Standpunkt gewesen
ist. Ausserdem ist die älteste Form des Idiogrammes für Hand, (s. o.),
ein ganz deutliches Bild der 5 Finger mit der Handwurzel und zugleich
Name für fünf.
Ich halte die Frage für nicht geklärt und wage nur Vermutungen wie
die, dass es sich um eine ganz bewusste von den Gelehrten, d. h. den
Priestern ausgehende Wahl der 6 als teilbar durch 2 und 3 gehandelt
haben kann. Diese Teilung war auch technisch leicht durchführbar, man
vergleiche die Elle des Gudea bei ¨Borchardt¨ (Berliner Berichte 1888,
I); diese Wahl kann sehr wohl astronomisch beeinflusst gewesen sein.
Die 60 empfahl sich als Grundzahl, weil sie durch die ersten 6 Zahlen
teilbar ist und sich sowohl ins Fünfer- als Zehner- als Zwölfer-System
einfügt. In den Mondtafeln von Hincks kommen so ziemlich alle Faktoren
von 60, sogar die Mandel vor.
Die Beobachtung der Gestirne durchdrang das ganze Leben des Volkes,
denn vom Himmel holten sie die Omina, die Vorbedeutungen, nach denen
sie ihre Handlungen einrichteten. Ein Wechsel des Beobachters alle
4 Stunden, später alle 2 Stunden ist durchaus praktisch; (lösen wir
doch unsere Posten alle 2 Stunden ab) und wir wissen jetzt, man
vergleiche ¨Epping¨, dass vom Anbeginn an bis in die Seleuciden- und
Arsacidenzeit die Chaldäer den vollen Tag in 6 Teile oder Kas. pu
geteilt haben, und die eigentliche Bedeutung des Wortes Su-su (Schock)
ist 1/6. Die Unterteilung der Doppelstunden in 10 Teile ist dann zu
genauer Ortsbestimmung durchaus praktisch, und die Zehnteilung ist am
System unserer Finger vorgebildet. Erst später trat die Halbierung
der Doppelstunde und damit die Stunde als 24stel des Tages ein. Der
Tag, d. h. die Dauer der Rotation ist und bleibt die einzige wirklich
in der Natur gegebene Masseinheit, und selbst wenn die Achsendrehung
der Erde nicht völlig konstant ist, sind wir ausserstande die kleinen
Schwankungen zu konstatieren. Nachdem die 360-Teilung des Tages
durchgeführt, lag es nahe zur Erleichterung des Geschäftsverkehrs das
¨Geschäftsjahr¨, wie auch heute auf 360 Tage und den Monat auf 30 Tage
abzurunden. Sie wissen ja, dass noch heute unsere Soldaten für den 31.
keinen Sold bekommen.
[Sidenote: Die Tafeln von Senkereh.]
Ich komme nun auf die Tafel von Senkereh zurück, von der wir erst
seit 1870 durch ¨Georg Smiths¨ wissen, dass wir darin Zahlentabellen
haben, und die erst ¨Hincks¨, wohl des geistig bedeutendsten
Keilschriftentzifferers Entdeckung des Sexagesimalsystems bestätigte.
¨R. Lepsius¨, der grosse Ägyptologe, hat die Tafel 1877 in der Berliner
Akademie in einer längeren Arbeit behandelt. Abgesehen davon, dass ihm
die mathematische Bildung mangelte um einzusehen, dass eine Tabelle der
Quadratzahlen zugleich eine der Wurzeln ist, hat er in der Tabelle,
deren linke Kolonne benannte, deren rechte unbenannte Zahlen enthält,
einen Vergleich sumerischer und assyrischer Längenmasse gesehen. In
seiner Arbeit: Beiträge zur alten Geschichte, 1902, hat ¨C. F. Lehmann¨
nachgewiesen, dass es sich hier um eine Vergleichung von Zeitmass
und Längenmass handelt und dass wir hier strikte Durchführung
des Sexagesimalsystems vor uns haben. Lehmann hat nachgewiesen,
dass während wir 114 Schritt auf die Minute rechnen, Römer und
Babylonier 120 Schritt à 1-1/2 Ellen, also 180 Ellen, und somit auf
die Doppelminute 360 Ellen und auf den Zeitgrad, auf 1/360 Tages,
360 Doppelellen gehen. Dass aber die Doppelelle das ursprüngliche
Längenmass ist, das zeigen uns die beiden Massstäbe der Gudea, von
denen ich hier Ihnen ein Exemplar vorführe.
[Illustration: Massstab der Gudeastatue, 1/2 der nat. Grösse.]
Ich gebe nun die Tafel von Senkereh in Umschreibung wieder:
Kolonne III.
Zeit | Zeit- | Grade |Zeiteinheit| Raum-
|Doppelelle| | |doppelelle
------------------+----------+-------+-----------+----------
1 Zeit-Finger | 1/60 |1/21600| 1/90 Sek.| 1/60
5 | 1/12 | 1/4320| 1/18 " | 1/12
1 Elle | 1/2 | 1/720| 1/3 " | 1/2
1/2 Gar | 3 | 1/120| 2 " | 3
1 Gar | 6 | 1/60| 4 " | 6
------------------+----------+-------+-----------+----------
5 Gar | 30 | 1/12| 20 " | 30
1 Soss = 60 Gar | 360 | 1| 4 " | 360
1 Kas-pu = 30 Soss| 10800 | 30| 2 Std.| 10800
2 Kas-pu | 21600 | 60| 4 " | 21600
Darin scheint nun Lehmann recht zu haben, dass die Zeiteinteilung die
ursprüngliche gewesen und dass die experimentelle Beobachtung, dass
zirka 480 Schritt auf den Taggrad kommen, bezw. 120 auf die Minute,
dahin geführt hat, das Längenmass auf die Länge des Sekundenpendels zu
gründen.
[Sidenote: Astrologie.]
Welche ausserordentliche Rolle die Astrologie und die sich aus ihr
entwickelnde Astronomie für das religiöse und praktische Leben der
Babylonier spielte, darüber belehren uns schon die jetzt entzifferten
Denkmäler auf das genaueste. In dem schon erwähnten Werk Sargons I.,
das nach seinen Anfangsworten genannt wird: »Wenn der Bel-Stern,«
sind bereits 66 ganze oder gebrochene Tafeln und teilweise in
mehreren Exemplaren bekannt. Wir haben ein anderes Werk: »Wenn der
Mond bei seinem Erscheinen;« hunderte von Tafeln mit astrologischen
Berichterstattungen meist an den König sind im British Museum. Ich gebe
ein paar Beispiele:
1) Am 15. Tage des Nisan (März-April) halten sich Tag und Nacht die
Wage; sechs Doppelstunden war Tag, sechs Doppelstunden Nacht. Mögen
Nebo und Merodach meinem Herrn König gnädig sein. Nebo, Gott der
Weisheit, Sohn von Merodach, der als Gott der Frühlingssonne Sohn Bêls,
des Gottes der Luft gedacht wird. Merodach wurde zum Hauptgott in
Babylonien und verschmolz mit Bêl.
2) An den König, meinen Herrn Ischtarnadinapal, der oberste der
Astronomen der Stadt Arbela; Friedensgruss dem König (Salem aleikon)
meinem Herrn. Ischtar (Astarte, Aphrodite) von Arbela sei dem Könige,
meinem Herrn gnädig; am 29. Tag machten wir eine Beobachtung, aber
die Sternwarte war umwölkt und wir sahen den Mond nicht. Am 1. Tag
des Monats Schebat (Januar-Februar) im Eponymat (s. u. S. 66) des
Bilcharranschadua.
3) Der Mond ist sichtbar am 1. Tag wie am 28.: Unglück für das
Westland. Der Mond ist am 28. Tage sichtbar: Glück für das Land Akkad
(Babylonien), Unglück für das Westland; Bericht des Oberastronomen.
[Sidenote: Babylonische Kosmologie.]
Aus derselben Zeit etwa dem 8. Jahrhundert stammen auch mehrere
Fragmente von Festkalendern, welche für jeden einzelnen Tag des Monats
Angaben enthielten, welchem Gott der Tag geweiht und welche Opfer in
den Tempeln dargebracht werden sollten. Diese Fragmente lassen uns
erkennen, dass damals ein ausgebildeter Kalender in Assyrien bestand,
und wenn wir damit den Eponymenkanon in Verbindung bringen, so ist
der Schluss berechtigt, dass dieser Kalender bis zum Anfang dieses
Kanons heraufreicht, d. h. bis in das 10. Jahrhundert v. Chr. Aus der
Astrologie hat sich die Astronomie der Babylonier entwickelt, wie aus
der Kabbala, den magischen Rechnungen, die Anfänge der Zahlentheorie.
Der Hauptstern ist der Nordpol der Ekliptik, der dem Anu (Himmel)
geweiht war. Als Gegenpol ist der Ea-Stern (Ozean) = η Argus. (?)
Die drei Regionen des Himmels, welche vom Nordpol ausgehen, sind die
Region des Anu: Stier, Zwillinge, Krebs und Löwe, und, beginnend mit
dem Aldebaran, die Regionen des Bel (Luft): Jungfrau, Wage, Skorpion,
Schütz; die Regionen des Ea (Ozean): Steinbock, Amphora (Wassermann),
Fische, Widder.
Die Milchstrasse, mit ihren beiden Verzweigungen wird als Euphrat
und Tigris aufgefasst. Die Ekliptik ist die Furche des Himmels; die
Milchstrasse erscheint auch unter dem Begriff des Hirtenzeltes, woher
auch unser poetisches »Himmelszelt«. Entstanden ist der babylonische
Tierkreis zu einer Zeit als der Frühlingspunkt, der jährlich etwa
um 50″ zurückweicht, im Stier lag; also etwa 3000-4000 v. Chr.,
der dann im Laufe der Zeit mannigfache Veränderung erlitt bis die
völlige Gleichteilung durchgeführt wurde. Besonders wichtig ist die
Untersuchung der alten Grenzsteine (Kudurru) geworden, von denen
Hommel 14 untersucht hat. Die Abbildung des Tierkreises auf diesen
Steinen geschah vielleicht zum Zweck Konstellationen zur Datierung
festzuhalten. Auf keinem der Steine fehlt die grosse Schlange als Bild
der Milchstrasse und schon auf dem ältesten, der auf 1070 datiert ist,
sind die 12 Zeichen. Die Bilder sind die bei den Griechen und zum Teil
noch heute üblichen.
Das neueste Werk über diese Grenzsteine ist A new Boundary Stone
of Nebuchadnezzar I. von ¨W. M. J. Hinke¨, Bd. IV der Serie D des
grossen Hilprechtschen Sammelwerks the Babylonian Expedition of the
Univ. of Pennsylvania 1907. Hier ist auch der Zusammenhang mit dem
¨tibetanischen¨ und indischen Tierkreisen besprochen.
[Sidenote: Astronomie.]
Die Untersuchung der Namen etc. zeigt, dass der Tierkreis
babylonisch-sumerischen Ursprungs ist und sich von den Babyloniern zu
Ägyptern, Griechen, Indern, Chinesen und zu uns verbreitet hat. Das
gleiche gilt von den Mondstationen oder Häusern, ihre Zahl schwankte
zwischen 24-36, und sie haben sich ebenfalls nach China, Indien
(naxatra) und Arabien verbreitet. Die helleren Sterne waren ihnen in
sehr alter Zeit bekannt. Aus der Arsakidenzeit der Jahre 122 v. Chr.
und 110 sind uns vollständige Ephemeridentafeln, Bestimmungen der
Abstände der Sterne von festen Sternen der Ekliptik, erhalten. Sie
hatten ganz bestimmte Regeln für die Berechnung des Neumondes und
Neulichtes, die von ¨J. Epping¨, S. I. unter Beihilfe des Assyriologen
Strassmaier, S. I. 1889 in den Stimmen aus Maria Laach unter dem Titel:
Astronomisches aus Babylon mitgeteilt sind; es finden sich darin auch
Tabellen des heliakischen Auf- und Untergangs der Planeten und einer
Anzahl von Fixsternen, vor allem des Sothis, id est Sirius und des
»Kakkab mišre« des Orion. Sie kannten die Periodizität der Finsternisse
und konnten deren Sichtbarkeit für Babylon annähernd vorausbestimmen.
Sie hatten Instrumente, die unserem Astrolabium und Planetarium
entsprechen; sie kannten die mittlere Geschwindigkeit des Mondes,
d. h. den Bogen, den der Mond durchschnittlich während eines Tages
in der Ekliptik beschreibt, die grösste Geschwindigkeit des Mondes,
ebenso die der Sonne und das Gesetz, nach dem die Geschwindigkeit
der Sonne in der Ekliptik sich ändert, sie kannten die Jahresdauer,
die Durchschnittsdauer des Monats von Neumond zu Neumond, also des
sogenannten mittleren synodischen Monats, den sie nur um 0,4 ¨Sekunden¨
länger als wir ansetzten, sowie die Durchschnittsdauer von einer
Erdnähe des Mondes zur andern, d. i. also den sogenannten mittleren
anomalistischen Monat, den sie nur um 3,6 ¨Sekunden¨ zu lang ansetzten.
Dabei ist erst ein kleiner Teil des aufgefundenen Materials entziffert
und dieser aufgefundene ein verschwindender Teil des vorhandenen.
Hilprecht berechnet die Zeit, die für Nippur nötig ist bei 400
Arbeitern auf etwa 100 Jahre!
Über die Instrumente, deren sich die Babylonier zu ihren Beobachtungen
bedienten, ist wenig bekannt; wir wissen, dass sie die Zeit durch die
Wasserwage massen und durch die Sonnenuhr, mittelst des Gnomon und aus
der Schattenlänge die Meridiane, bezw. den längsten und kürzesten Tag
bestimmten. Aus dem 3. Jahrhundert v. Chr. sind aber durch ¨Kugler¨
eine ganze Reihe sehr feiner Positionsbestimmungen festgestellt worden,
die nur mit Hilfe von Instrumenten wie der sogenannten Armillarsphäre,
dem Diopter etc. möglich war. Der Diopter setzt dann allerdings die
Ähnlichkeitslehre für rechtwinklige Dreiecke, kurz eine Sehnenrechnung
voraus und damit wird es wahrscheinlich, dass die Sehnenrechnung, die
bis dato dem Bessel des Altertums, Hipparch von Rhodus zugeschrieben
wurde, babylonischen Ursprungs ist. Soviel steht fest, wenn auch
anfangs die Astrologie zur Himmelsbeobachtung insbesondere der Sonnen-
und Mondfinsternisse trieb, seit etwa 300 Jahren v. Chr. gab es an
den Sternwarten eine vollkommen wissenschaftliche Astronomie, und die
Beobachtungen der Babylonier sind oder werden für unsere Mondtafeln
noch wertvoll.
¨Kugler¨ hat seiner »babylonischen Mondrechnung« von 1900, der
pietätvollen Vollendung des ¨Strassmeier-Epping¨schen Werkes, 1907
den ersten Band seines grossen auf 4 Bände berechneten Werkes
»Sternkunde und Sterndienst in Babel« folgen lassen, unter dem Titel
»Entwicklung der Babylonischen Planetenkunde von ihren Anfängen bis
auf Christus.« Wenngleich, wie Oefele (Mitteilungen zur Gesch. d.
Med. u. Naturw. 29. Juni 1908) schon hervorgehoben hat, dieser Titel
nicht glücklich gewählt ist, so ist das Buch doch reich an wichtigen
Resultaten: Der unbezweifelbare Nachweis des Babylonischen Ursprungs
des Tierkreises und seiner 12 Zeichen, die Kenntnis der Namen für die
Planeten und die Masisterne, die hellen Sterne der Ekliptik, welche zur
Positionsbestimmung dienten, in Fortsetzung der Leistungen ¨P. Jensens¨
aus seinem Hauptwerke, die Kosmologie der Babylonier 1890, die Kunde
der technischen Sprache der Babylonischen Astronomie, die Tatsache
der Ekliptikkoordinaten, die Feststellung des Bogenmasses und der
Richtungen, Festsetzung des Bogens von 22° 3′ zwischen dem festen
Koordinatenanfangspunkt 0° arietis der Babylonier und dem 0-Punkt,
dem Frühlingsäquinoktium von 1800 n. Chr., die Planetenephemeriden
infolge Auffinden von grossen und kleinen Perioden, z. B. für Mars 71
und 41 Jahre, für Venus 8 Jahre (Fehler nur 3′ 13,3″) etc. Freilich
hebt Kugler hervor, dass im 2. Jahrh. v. Chr. die wissenschaftliche
Astronomie der Babylonier sehr grosse Fortschritte gegen die früheren
Zeiten aufweist, und wie weit dabei hellenischer Geist insbesondere der
grosse Hipparch in Betracht kommt, müsste erst noch untersucht werden.
[Illustration]
[Sidenote: Geometrie.]
Über die Geometrie der Babylonier müssen wir uns zurzeit kurz fassen
bis grösseres Material vorliegt. Ein Bauplan, eine Tempelanlage
von so vorzüglicher Ausführung wie der von ¨L. Borchardt¨ l. c.
veröffentlichte, in dem die Türleibungen und die Mauerstärke
berücksichtigt ist (siehe Fig. auf S. 112), Beobachtungen, wie die
von ¨Kugler¨ mitgeteilten, sind nicht ohne bedeutende geometrische
Kenntnisse möglich, aber was uns direkt übermittelt ist, beschränkt
sich auf ganz wenige Zeichnungen wie die bei Cantor abgedruckten aus
¨A. H. Sayce¨ Abhandlung: Babylonian augury by means of geometrical
figures. In der hier beigegebenen Kopie scheinen mir mehrfach ¨alte
Idiogramme¨ wie N 15 etc. vorzuliegen. ¨Bezold¨ bemerkt (Z. A. XVII p.
95), dass ein grosser Teil z. B. der in Kujundschik gefundenen Figuren
analoge Bedeutung besitzen, wie die Oppert'sche Konstr. s. Fig. S. 100
und sich auf kabbalistische Rechnung beziehen z. B. 10 und 3.
[Illustration: Bruchstück des Bauplanes.]
[Illustration: Borchardt'scher Bauplan.]
[Sidenote: Babylonische Kreisteilung.]
Feststeht aus ägyptischen und babylonischen Abbildungen, dass den
Babyloniern die Teilung des Kreises in 6 Teile bekannt gewesen sei,
d. h. de facto. Vom Hereintragen des Radius ist bisher keine Spur
gefunden. Wenn Cantor meint, die 6-Teilung ist ohne diese Kenntnis
nicht möglich, so irrt er sehr. Man braucht nichts zu wissen als die
Tatsache, dass das Rad, bezw. der Kreis in sich drehbar ist, also zu
gleichen Bogen gleiche Sehnen etc. gehören, u. v. v., dies reicht aus
den Kreis experimentell zu vierteln und zu sechsteln. Im höchsten Grade
wahrscheinlich ist allerdings, dass sie bei einem gesechsteilten Kreise
gesehen haben, dass die Sehne gleich dem Radius ist. Die im Buche
der Könige erwähnten fünfeckigen Pfosten, können genau so auf einer
experimentellen Teilung des Kreises in fünf gleiche Teile beruhen, wie
sie meine Quartaner ohne allen goldenen Schnitt sehr exakt ausführen.
Es ist ausserdem eine Tafel bekannt geworden, aber leider zurzeit nicht
auffindbar, in der ein in drei gleiche Teile geteilter rechter Winkel
vorkommt, und das ist fast alles, was wir zurzeit von der babylonischen
Geometrie wirklich wissen; vermuten müssen wir sehr viel mehr; wäre
der Pythagoras, was nach den Beispielen der quadratischen Gleichungen
ganz gut möglich, den Ägyptern bekannt gewesen, so wäre er sicher den
Babyloniern nicht unbekannt geblieben, aber hier heisst es abwarten.
[Sidenote: Babylonische Rechentabellen.]
Von grosser Bedeutung für die Auffassung der Babylonischen Arithmetik
ist Band XX part. 1 Serie A des ¨Hilprecht¨schen Werkes The Babyl.
Expedition of the Univers. of Pennsylv. 1906 (mir erst vor kurzem
zugänglich geworden). Es sind hier, abgesehen von Wiederholungen, 31
math. Tafeln veröffentlicht; Multiplikationstafeln, Divisionstafeln,
Tafeln von Quadratzahlen und -Wurzeln, eine geometrische Progression.
Auf Tafeln, welche dazu dienen, die Rechnungsresulate rasch in das
Sexagesimalsystem einzureihen, hat H. hingewiesen, deren eine (s.
Bild) er schon in seinem Vortrag von 1903 Bild 45 veröffentlicht hat.
Es hat nun Hilprecht bemerkt, dass ¨sämtliche bis jetzt bekannten 46
Multiplikationstafeln sich auf Divisoren der Zahl 60^4 beziehen¨, inkl.
der 2 aus Sippar und Kujundschik, und zwar gehen sie bis 180000×1.
Dazu konstatierte er das Multiplikationszeichen A-R A z. B. 2×1 (=)
2: [**symbols], Plan 1, N. 1, das wie das unsrige, oft weggelassen
wird, das Divisionszeichen Igi-Gal, habend Auge gelegentlich mit
hinter dem Quotienten folgenden Distributivzeichen a-an»je«. Hilprecht
konstatierte, dass ¨alle diese Divisionstabellen sich wiederum auf 60^4
beziehen¨, es sind Tafel N. 20, 21, 24, auf denen das Divisionszeichen
fehlt, und Tafel 22 obv., wo es gesetzt wird. Mit Hilfe der wichtigsten
Tafel 25 ergänzt H. Tafel 22:
[Illustration]
Igi-1-Gal-Bi = 8640000
Igi-2-Gal-Bi = 6480000
Igi-3-Gal-Bi = 4320000
etc., das »Bi« »dessen« bezeichnet den gemeinsamen Dividend 60^4. Ich
gebe hier als Beispiel die Multiplikationstabelle 15 (Obv. und Bev.),
das 1×1 mit 540, es ist zunächst eingerichtet wie die anderen, d. h.
es fehlt das Zeichen, und es enthält 1a bis 20a, und dann 30a, 40a,
50a, so dass also 23a berechnet wird als 20a + 3a, wofür es ja auch
Tabellen gab. Diese Tafel ist aber besonders interessant, weil sie
eine derjenigen ist, in denen die Zweideutigkeit durch die Zusatzlinie
am Schluss gehoben wird. Die Tafel lässt es zweifelhaft, ob man es mit
dem 1 × 9 oder 1 × 9.60 zu tun hat, die Schlusszeile (colophon) gibt
die nächstniedrige Tabelle der Serie an und lautet hier 8.60 + 20 mal 1
ist 8.60 + 20 id est 500 × 1 = 500, somit ist die [**symbol] in unserer
Tafel 9.60. Sehr bedeutsam ist die Tabelle 25, welche in Hilprechts
Übertragung lautet:
Linie 1: 125 720
2: Igi-Gal-Bi 103680
3: 250 360
4: Igi-Gal-Bi 51840
5: 500 180
6: Igi-Gal-Bi 25920
7: 1000 90
8: Igi-Gal-Bi 12960
9: 2000 18
10: Igi-Gal-Bi 6480
11: 4000 9
12: Igi-Gal-Bi 3240
13: 8000 18
14: Igi-Gal-Bi 1620
15: 16000 9
16: Igi-Gal-Bi 810
[Sidenote: Babylonische Divisionstafeln.]
H. erkannte darin unschwer Divisionen von 60^4 durch eine aufsteigende
Reihe von Divisoren, für die Bedeutung der Zahlen 720; 360 etc. bis
9 wandte er sich an Mathematiker, diese brachten heraus dass, wenn
man die Divisoren in die Form a šar + b ner + r schreibt, dann 60^2/r
diese Zahlen ergibt. Hiernach erscheint es allerdings als im hohen
Grade wahrscheinlich, dass wir es hier mit einer kabbalistischen
Rechnung zu tun haben, und wir sehen dass hier wieder 60^4 seine
Rolle spielt. ¨Hilprecht¨ selbst zitiert aus dem Literaturverzeichnis
von ¨Bezold¨: »Die Mathematik stand bei den Babyloniern-Assyriern,
soviel wir bis jetzt wissen, vornehmlich im Dienste der Astronomie und
letztere wiederum in dem einer Pseudowissenschaft, der Astrologie, die
wahrscheinlich in Mesopotamien entstand, sich von dort aus verbreitete.«
[Sidenote: Die goldene Zahl des Platon.]
Ich möchte aber doch bemerken, dass wie der Mangel an beglaubigender
Unterschrift der Tafeln aus Nippur beweist, und nicht minder die
zahlreichen Fehler, dass wir es auch hier, ähnlich wie in Ägypten,
vielfach mit Schülerübungen zu tun haben. Ebenso sorgfältig wie das
Schreiben und Lesen, wurde auch die Elementarkunst des Rechnens
geübt, selbstverständlich vorzugsweise an »heiligen« Zahlen, von denen
60^4, wie es scheint, im Vordergrund stand. H. hat sicher mit Recht
auf die Abhängigkeit ¨Platons¨ von Babylon hingewiesen. In die Stelle
Republik VIII, 546 B-D hat zuerst der grosse, kürzlich verstorbene
Philologe ¨Fr. Hultsch¨, der Herausgeber des Pappos, Licht gebracht,
er hat, Schlömilch XXVII hist. lit. Abt. S. 41, in der sehr dunkel
beschriebenen Zahl des Platon die Zahl 60^4 erkannt und hervorgehoben,
dass ihre Teiler von glückbringendem Einfluss auf die Geburten und
Schicksale der Menschheit sein sollten, wie denn tatsächlich die nach
der kürzesten Fötalperiode von 216 Tagen geborenen 7 Monatskinder
bessere Lebenschance besitzen als die 8 Monatskinder. Wesentlich
ist hier der Nachweis des Einfluss Babylonischer Kultur auf die
Hellenische, den übrigens m. W. niemand mehr bestreitet. Gegenüber
¨Hommel¨ führe ich an, dass die Babylonische Phönixperiode 653 Jahre
und nicht 500 betrug, und gegenüber Hilprecht, dass nach ¨Censorinus¨,
wie Hultsch erwähnt, Plato das Alter der Menschen nicht auf 100,
sondern auf 81 setzte. Dass dabei 36000 eine Rolle gespielt hat, ist
nicht unwahrscheinlich, denn noch Ptolemäos gibt in der μεγαλη συνταξις
36000 als Cyclus der Präzession an, und Berosus dieselbe Zahl als
altbabylonische Präzessionszahl.
Dass aber nicht nur die Inder, wie bekannt, in Riesenzahlen schwelgten,
sondern auch die alten Babylonier, beweist die von Hilprecht mit Glück
restaurierte Tafel ¨Bezold¨, Katalogue Kujundschik Vol. I N. 2069,
von denen Bezold l. c. die folgenden 4 Zeilen (2 bis 5 der Tablette)
veröffentlicht hat:
[Illustration]
[Sidenote: Babylonische Riesenzahlen; Quadratwurzeln.]
H. hat überzeugend nachgewiesen, dass diese Tafel aus der Bibliothek
Asurbanipals mit ihren 28 Zeilen dieselbe Bedeutung hatte wie die
Tabellen No. 20, 21, 22, 24 Hilprecht's auf S. 21, es ist eine
Divisionstabelle, aber Divisoren und Quotienten beziehen sich
auf [**symbol] -- -- -- -- -- -- d. h. auf 60^8 + 10.60^7 id est
195,955,200,000000 also 195 Billionen 955200 Millionen! Zu dieser
Erkenntnis wurde H. in den Stand gesetzt durch die Bemerkung, dass
die längste Zahl links vorn Teilungsstrich vor [**symbol] drei
Ziffergruppen von je zwei Ziffern hat, also mit 60^3 zu multiplizieren
ist, und die längste Zahl rechts hat hinter ihrer Ziffergruppe vier
andere, ist also mit 60^4 zu multiplizieren.
Tabellen von Quadratzahlen bezw. Wurzeln sind ziemlich zahlreich in
Nippur gefunden, die Quadrierung ist teils durch das A-Ra »mal«, teils
durch das Idiogramm für Ibdi das aber etwas von der Rawlinsonschen
Tafel IV, 40 abweichende Gestalt hat. Am leichtesten lesbar ist Pl. 16,
No. 28, Quadrate der Zahlen von 31-39, die dadurch interessant ist,
dass sie sich an die Tafel des Berliner Museums genau anschliesst.
H. hat aus ihr die Kenntnis der Formel für (a + b)^2 gefolgert, da
diese Formel in Indien bekannt war, vgl. S. 161, so ist sie höchst
wahrscheinlich auch den Babyloniern-Assyriern bekannt gewesen. Ein
irgendwie zwingender Beweis ist aber, da mir die Resultate gegeben
werden, ¨nicht¨ erbracht.
Sehr dürftig ist wenigstens die bisherige Ausbeute für die Geometrie,
der Inhalt des geraden Prisma und des geraden Zylinders ist zu allen
Zeiten ohne weiteres als Grundfläche mal Höhe angenommen worden. Das
einzige was von Interesse, ist, dass nach einer Veröffentlichung von
¨Thureau-Dangin¨ schon unter der 2. Dynastie von Ur, also rund 3000 v.
Chr. man in Babylonien den Inhalt des Trapezes als Mittellinie mal Höhe
berechnen konnte.
[Sidenote: Vase mit geometrischer Zeichnung.]
Wie hoch entwickelt aber schon in unvordenklicher Zeit die
geometrische Zeichenkunst war, beweist die von ¨Kapitän Cros¨ 1903 in
Telloh gefundene Vase, mit deren Bild ich diesen Abschnitt schliesse.
[Illustration]