4. Abschnitt.

[Sidenote: Abschnitt 4: Gleichung ersten Grades (Hau-Rechnung).]

Die Haurechnung oder die Lösung von Gleichungen ersten Grades. No.

24-38.

Die Nummern 24-34 sind Zahlengleichungen; die vier letzten Aufgaben

beziehen sich auf Teilung des Getreidemasses auit. Die Unbekannte

heisst hau, d. h. Haufen, also eine unbestimmte Menge, analog dem cosa

irgend ein Ding der italienischen Mathematiker der Renaissancezeit.

Über die Lösung der Gleichungen entstand ein Streit zwischen

¨J. Rodet¨, dem bekannten französischen Orientalisten, speziell

Sanskritisten und ¨M. Cantor¨, in dem, wie so häufig beide recht und

beide unrecht haben. Rodet meint, die Ägypter hatten die regula falsi

benutzt, Cantor sagt, sie hätten gerade so wie wir operiert. C. selbst

bemerkt ganz richtig, dass bei den Gleichungen ersten Grades beide

Methoden schwer zu unterscheiden sind. Ich nehme das erste Beispiel:

Haufe, sein Siebentel, sein Ganzes, es macht 19; also x/7 + x = 19.

Es ist schwer zu sagen, rechnet der Ägypter x(1/7 + 1) = x 8/7 = 19;

x/7 = 19/8 · x = 19/8 · 7 oder setzt er probeweise für x 7, wonach er

als Summe 8 statt 19 bekommt und somit den Proportionalitätsfaktor 19/8

erhält und damit seinen Probewert multipliziert.

Die Rechnung sieht so aus:

/. 7 . 8 / 1/4 2 /. 2-1/4 1/8 (n. b. 19/8 das ist der

/ 1/7 1 /.. 16 / 1/8 1 /.. 4-1/2 1/4 Proport.-Faktor)

1/2 4 / 4. 9-1/2

nun kommt die stehende Formel:

[**symbols] ȧrt mȧ cheper, tue wie folgt:

Der Hau 16-1/2 1/8 (Probe) 1/7 : 2-1/4 1/8 [**symbol] (zusammen) 19.

Vom Beispiel No. 28 an kann man aber nicht mehr gut von einem

unmittelbaren Probieren reden zum Beispiel No. 32: x/3 + x/4 + x = 2.

Es wird 1 1/3 1/4 multipliziert bis das Ergebnis 2 ist, d. h. es wird x

ausgeklammert und mit 1 1/3 1/4 in 2 dividiert.

Unter den Beispielen sind einige recht komplizierte, z. B. No. 28

und sie liefert zugleich ein Beispiel für die Schwierigkeit der

Entzifferung. Die Aufgabe lautet:

[**symbols]

neb em iw ro chomt em ān met uta

2/3 im hinzugehen 1/3 im weggehen 10 sind aufzubewahren.

Gemeint ist: (x + 2/3x) - 1/3(x + 2/3x) = 10.

Die Rechnung ist falsch, das Resultat 9 ist richtig; die Probe zeigt,

wie die Aufgabe gemeint ist. Noch komplizierter ist No. 29. Ein

wahres Muster von Kompliziertheit und nicht minder von ägyptischer

Bruchrechnung sind No. 31 und 33: Haufe sein 2/3, sein 1/2, sein 1/7,

sein Ganzes, es beträgt 37. Es wird die Division mit 1 2/3 1/2 1/7 ganz

direkt durchgeführt.

Die Aufgabe 30 übersetze ich abweichend von Eisenlohr und Cantor:

Wenn dir der Schreiber (id est Lehrer) sagt: 10 ist das Ergebnis von

2/3 und 1/10, lass mich den Grund hören.

Um die Division von 10 durch 2/3 + 1/10 auszuführen, wird dies zunächst

mit 13 multipliziert, das gibt 9-29/30; man muss dann noch 1/30

dividieren und findet zum Schluss 13-1/23 als sogenannten Hau.

No. 35: Um die Masseinheit zu erreichen, bin ich dreimal genommen

und 1/3 von mir zu mir, dann bin ich zur Einheit vervollständigt.

Diese Aufgabe 3x + 1/3 x = 1 ist das textliche Vorbild zu einer

Menge von eingekleideten Gleichungen, die sich noch bis heute in

den Rechenbüchern finden. Die Einheit ist das Hequatmass. Die

Verteilungsaufgaben der Fruchtmasse bedurften sämtlich einer genauen

Revision, die durch ¨Erman¨ 1902 und ¨Schack-Schackenburg¨ 1904

vollzogen ist.

[Sidenote: Arithmetische Reihe (Tunnu-Rechnung).]

Es folgen dann zwei Aufgaben, die als »Tunnu«-Rechnung bezeichnet

werden, zu denen sich sachlich noch Aufgaben aus einem späteren

Abschnitt gesellen, der eine Anzahl praktischer Beispiele enthält und

vielleicht einem ¨zweiten¨ Schülerheft entnommen ist. Von besonderer

Bedeutung ist No. 40: Brode 100 an Personen 5; 1/7 der 3 ersten an die

2 letzten Personen, was ist der Unterschied? Die Rechnung lautet: Tue,

wie folgt: (die stehende Formel) der Unterschied 5-1/2 / 23, 17-1/2,

12, 6-1/2, 1 [**symbol] zusammen 60. Vervielfältige diese Zahlen 23,

17-1/2 etc. mit 1-2/3, das gibt dann 38-1/3, 28-1/6 ... zusammen 100.

Hier haben wir a) Gleichungen mit mehreren Unbekannten, b) die

arithmetische Reihe, c) unzweifelhaft regula falsi. Ist der Tunnus d

und der Anteil des letzten a, so bekommen die Personen 4d + a, 3d + a,

2d + a, d + a, a, und es ist: 9d + 3a = 7 (d + a); also 2d = 11a; d =

5-1/2 a. Es wird nun als falscher Ansatz a = 1 gesetzt, also d = 5-1/2

und da 100 = 60 + 2/3 · 60 ist, mit dem Proportionalitätsfaktor 1-2/3

multipliziert.

Hierhin gehört No. 64, die darauf hinausläuft eine arithmetische Reihe

von 10 Gliedern zu bilden, deren Summe 10 und deren Differenz 1/8 ist.

Es wird wieder zuerst das höchste, das letzte Glied bestimmt. Wir haben

aus den bekannten Formeln:

s = n/2(a + u) und u = a + (n-1)d; u = s/n + (n - 1)d/2,

d. h. also um das letzte Glied zu bestimmen, muss man den

Durchschnittswert s/n bilden und dazu (n-1) · d/2 addieren, und ganz

genau so verfährt der ägyptische Rechner.

Ich teile in der Mitte, gibt 1; ziehe 1 von 10 ab Rest 9, halbiere den

Unterschied: 1/16, nimm es 9 mal, gibt 1/2, 1/16, lege es hinzu zum

Durchschnittswert, gibt für u 1 1/2 1/16 etc. Ja, m. H. hier ist jeder

Zweifel an der Kenntnis der allgemeinen Formeln ausgeschlossen.

[Sidenote: Geometrische Reihe.]

Und das gleiche gilt von der geometrischen Reihe. Der fünfte und

zugleich letzte Teil enthält unter No. 62-84 eine Sammlung praktischer

Beispiele, welche sich auf Landwirtschaft beziehen, Aichung von

Bierkrügen, Futterverbrauch auf dem Geflügelhof und in Stallungen,

Mehlverbrauch beim Backen, Lohnzahlung etc. Solche Aufgaben kommen

auch in Tempelrechnungen sehr vielfach vor, denn die ägyptischen

Priesterschaften hatten wie die mittelalterlichen Klöster grosse

Ausgaben um das Volk an den Festtagen zu beköstigen. Mitten hinein

schneit dann die Aufgabe 19. Die Aufgabe war nach Eisenlohr völlig

rätselhaft. Es ist von einer Sutek (vielleicht Leiter? unsre Skala) die

Rede, deren Sprossen

7, 49, 343, 2401, 16807

sind, und bei diesen Zahlen stehen Worte, welche bedeuten: Person,

Katze, Maus, Gersten, Ähre, Mass.

Eisenlohr meinte, dass dies die Namen der 5 ersten Potenzen seien,

während doch erst ganz vor kurzem bei Heron dynamo-dynamis für die 4.

Potenz konstatiert ist.

Die Rechnung sieht so aus:

7

/. 2801 49

/.. 5602 343

/... 11204 2402

[**symbol] 19607 16807

[**symbol] 19607

Das Rätsel hat ¨Rodet¨ in der schon erwähnten Abhandlung gelöst.

Er fand dieselbe Aufgabe bei ¨Leonardo Pisano¨ um 1200 in dem

epochemachenden Liber abaci, das aus Afrika stammt, aus Bugia, einer

Pisaner Handelsstation, der westlichsten von Nordafrika.

Die Aufgabe heisst: 7 Personen haben je 7 Katzen, jede Katze frisst

7 Mäuse, jede Maus 7 Ähren Gerste, jede Ähre bringt 7 Mass ? ist die

Summe, und sie ist berechnet nach der richtigen Formel:

(a^n - 1)/(a - 1) · a, da (7^5 - 1)/(7 - 1) = 16806 : 6 = 2801 ist

wo also die Multiplikation mit 7 gut ägyptisch vollzogen ist und durch

Addition geprüft wird. Nicht vielleicht, wie Cantor meint, sondern

unzweifelhaft war die Summenformel der geometrischen Reihe um 2000 v.

Chr. bekannt. Wir sehen über 3000, wahrscheinlich über 4000 Jahre hat

sich die Aufgabe in den Schulen Afrikas gehalten, ein Seitenstück zur

Bruchrechnung.

Aber die arithmetischen Kenntnisse der alten Ägypter gingen noch

weit darüber hinaus, was Cantor freilich auch bei der 2. Auflage

vom Dezember 1893 nicht wissen konnte. In den von ¨Griffith¨ 1897

herausgegebenen mathematischen Papyri der Funde Petries in Kahun fand

sich das erste Beispiel einer quadratischen Gleichung.

Die quadratische Gleichung der Ägypter.

Als Griffith die Petriepapyri 1897 herausgab, fand sich dort das erste

Beispiel einer quadratischen Gleichung auf Tafel 8 des Papyrus. 1900

hat Schack im Berliner Papyrus 6619 ein zweites gefunden. Der Papyrus

ist vermutlich aus dem mittleren Reiche und lautet folgendermassen: Ein

ferneres | Beispiel der Verteilung einer gegebenen Fläche auf mehrere

Quadrate | wenn dir gesagt wird | 100 Quadratellen auf zwei unbekannte

Grössen zu verteilen und | 3/4 der Seite der | einen Grösse für die

andere | zu nehmen | bitte gib mir | jede der unbekannten Grössen an |.

Die Ausrechnung geschieht mit der regula falsi, der Verfasser drückt

sie so aus: Mache ein Rechteck von immer 1 (d. h. also ein Quadrat)

und nimm 3/4 | der Seitenlänge | der einen für die andere | dies gibt

3/4 |. Multipliziere dies mit 3/4 das gibt 9/16. Wenn so die eine

Grösse zu 1 die andere mit 3/4 genommen ist, so vereinige diese beiden

Grössen, das gibt 25/16. Nimm die Quadratwurzel daraus, das gibt 5/4.

Nimm die Wurzel der gegebenen von 100 das gibt 10. Teile 10 durch 5/4,

der Quozient ist 8 (Zeichen: [**symbol] auch Zeichen der Differenz).

Der Rest ist zerstört, doch ist noch soviel zu erkennen: Nimm 3/4 von

diesen 8 das gibt 6. Hier haben wir also

x^2 + y^2 = 100; x : y = 1 : 3/4.

Das Beispiel des Kahun Papyrus bezieht sich darauf, 120 kubische

Ellen in 10 Körper von der Höhe einer Elle so zu zerlegen, dass die

Grundflächen Rechtecke sind, deren Seiten sich wie 1 : 3/4 verhalten.

Hier würde die Anwendung der regula falsi auf die irrationale

Quadratwurzel aus 3/4 führen. Der Verfasser verfährt also ganz anders.

Er geht davon aus, dass der Inhalt des Rechtecks mit 4/3 multipliziert

das Quadrat der grossen Seite gibt.

[Illustration]

Die Rechnung lautet: Dividiere 1 : 3/4, das gibt 1-1/3, multipliziere

12 mit 1-1/3, das gibt 16, die √ ist 4, das ist die Länge der einen

Seite. Nimm 3/4, das ist 3. Hier haben wir also xy = 12-x/y = 1 : 3/4.

Man sieht, beide Male haben wir das Dreieck 3, 4, 5 bezw. 6, 8, 10, das

also schon um 2200 den Ägyptern bekannt war.

Das dritte Beispiel hat Schack 1903 aus demselben Papyrusfragment

entziffert.

Es handelt sich um:

x : y = 2 : 1-1/2 und x^2 + y^2 = 400.

Wird dann probeweise x = 2, y = 1-1/2 gesetzt, so gibt es 6-1/4, die √

ist 2-1/2, dies ist 1/8 von 20, also ist x = 16, y = 12

[16, 12, 20 ～ 3, 4, 5 ～ 8, 6, 10]

Das Zeichen der Quadratwurzel ist dem unsrigen nicht unähnlich

[**symbol] To-Erdreich, Grund, auf dem etwas ruht?

In Mitteilungen zur Gesch. der Med. u. Naturw. vom 18. April 1908 p.

337 wird diese Hieroglyphe als ¨Gnomon¨ erklärt, und den alten Ägyptern

damit eine Kenntnis des Quadratwurzelausziehens nach der Formel

(a + b)^2 supponiert. Einem Sprachforscher von Fach wäre die äussere

Ähnlichkeit, ich verweise auf Max Müller, ein Grund das Zeichen nicht

vom Gnomon abzuleiten. Es ist bisher auch keine Spur einer Ausziehung

von Wurzeln aus Nicht-quadratzahlen bei den alten Ägyptern gefunden, so

wie die Babylonier haben sie die Quadratwurzeln (tabellarisch?) durch

Multiplikation von 1 × 1, 2 × 2 etc. gefunden.

Es ist nicht unwahrscheinlich, dass der Pythagoras den Ägyptern schon

um jene frühe Zeit bekannt war.

Geometrie.

[Sidenote: Geometrie der Ägypter.]

Ich komme zur Geometrie, sie findet sich im Abschnitt 3 und 4 des

Papyrus Ahmes, daneben ist für uns die Schenkungsurkunde des Tempels

von Edfu von Wichtigkeit, die allerdings 1500 Jahre nach Ahmes zu

datieren ist; aber auch die 500 Jahre älteren Papyri von Kahun kommen

in Betracht. Vor allem muss ich die Quadratur des Zirkels erwähnen,

No. 41, No. 48 und No. 50. Sie setzen den Kreis, der bald teben,

bald paut, bald k d heisst gleich einem Quadrat, dessen Seite 8/9

des Durchmessers, d. h. sie setzten π gleich 256/81 = 3,1605; eine

Übereinstimmung mit dem alten indischen √10 = 3,162, die zu denken

gibt. Die Frage, wie sie zu diesem erstaunlich genauen Näherungswert

gekommen sind, scheint mir unschwer zu beantworten.

[Sidenote: Quadratur des Zirkels.]

Sie nahmen einen Zylinder mit der Höhe h und dem Durchmesser d des

Grundkreises und gossen Wasser hinein und dieses Wasser in ein

balkenartiges Gefäss mit dem Grundquadrat a^2. Das Wasser stieg bis zur

Höhe η, dann hatten sie xd^2h = a^2η und x = a^2/d^2 · η/h, falls a =

d, x = η/h und fanden für das Verhältnis η/h, oder x den Wert 64/81.

Wie selbstverständlich es war, dass man das Volumen eines Gefässes von

konstantem Querschnitt seiner Höhe proportional setzte, das kann man

bei Heron lesen. Der Begriff des (rationalen) Verhältnisses war ihnen,

wie schon die Rechenaufgaben des Ahmes zeigen, völlig geläufig.

[Sidenote: Volumenbestimmung.]

Die Geometrie beginnt mit der Bestimmung des Volumens von

Fruchtspeichern mit kreisförmiger, bezw. krummliniger und rechteckiger

Grundfläche, z. B.: Ein rundes Fruchthaus von 9 Ellen Höhe in der

grössten Ausdehnung und 6 Ellen Breite, wieviel Getreide geht hinein?

Es wird, wenn statt 9 l und statt 6 h gesetzt wird, gerechnet nach der

Formel

(4/3 · 8/9 l)^2 · 2/3 h.

[Sidenote: Halbkugel.]

Es lässt sich mit diesen Beispielen nicht allzuviel anfangen, die

Abbildungen fehlen und alle näheren Angaben über die Beschaffenheit der

Haufen. Aber schon ¨Eisenlohr¨ bemerkt: sollte unserm Rechner die zur

Bestimmung der Halbkugel nötige Formel πr^2 2/3 r vorgeschwebt haben?

Ich komme damit auf die Berechnung der Kugel, bezw. Halbkugel.

Im ersten Hefte der Kahunpapyri auf Tafel 8 ist eine Figur gezeichnet,

die der Herausgeber der Petriepapyri Griffith richtig umschrieben und

gelesen hat, deren Deutung er aber nicht gefunden zu haben bekennt. Er

sagt, es scheint sich um den Inhalt eines kreisförmigen Fruchthaufen zu

handeln, dessen Höhe 12 und dessen Durchmesser 8 ist. Er hat sich durch

eine Zahl 12, welche über der Figur steht, und die zur Rechnung gehört,

täuschen lassen, sonst wäre er wohl selbst darauf gekommen, dass

wir hier die Zahlenrechnung zur Ermittelung eines halbkugelförmigen

Getreideschobers von 8 Ellen Durchmesser vor uns haben. Die Figur zeigt

einen Kreis, neben dem links 8, der Durchmesser in Ellen, steht, und in

dem 1365-1/3 der Inhalt zu lesen ist.

12

[**symbol]

[1] 1365-1/3 / 1 . 256 In unserer Rechnung:

8 2 .. 512 8 . 3/2 = 12

2/3 8 / 4 . 1024 12 . 4/3 = 16

/ 1/3 4 / 1/3. 85-1/3 16 . 16 = 256

zusammen 16 [**symbol] 1365-1/3 256 . 5-1/3 = 1365-1/3

/ 1 16

/10 160

/ 5 80 Heute d^3π/12 = 134,041 Kubikellen = 1340,41.

zusammen 256

Abgesehen von dem Fehler für π ist also der Inhalt in 1/10 Kubikellen

ausgedrückt. Was dieses Mass betrifft, so ist es eine ganz natürliche

Übereinheit. Das Haupthohlmass ist das Hin; die Kubikelle = 320 Hin,

die Elle = 0,526^m ergibt für das Hin 0,455 Liter, 32 Hin sind 14,61

Liter, ungefähr 1/2 Scheffel. Das Hin wurde geteilt in 1/2 1/4 1/8 1/16

1/32, es ist also 32 Hin als Übereinheit durchaus gerechtfertigt.

Die Rechnung ist:

(d-3/2 . 4/3)^2 . 2/3 d = 32d^3/12.

[Sidenote: Ausmessung eines grossen Haufens durch kleines Mass.]

Der Fehler bleibt unter 2%, für π ergibt sich 3,2. Dies ist ungenauer

als im Handbuch, wo π = 3,16 ist, aber ¨Borchardt¨, der Erklärer,

setzt ganz richtig hinzu: Dies Resultat ist durch häufiges wirkliches

Ausmessen solcher halbkugeligen Haufen gewonnen worden. Dabei waren

viele Beobachtungsfehler unvermeidlich. Die mathematische Form

der Haufen war kaum herzustellen, die Hohlmasse (32 Hin) waren

recht ungleich gefüllt und endlich lassen sich von einem grossen

Getreidehaufen infolge des grösseren Druckes und dadurch veranlassten

dichteren Lagerung in seinem Innern in praxi mehr kleinere Hohlmasse

füllen als man theoretisch rein nach der Volumenvergleichung erwarten

sollte, da sich im kleineren Masse die Körner naturgemäss loser lagern.

Die Aufgabe zu ermitteln, wieviel kleine Masse sich aus einem gegebenen

grossen füllen lassen, gibt ¨so¨ gefasst noch unsern heutigen

Mathophysikern Rätsel auf. Davon können Sie sich überzeugen, wenn Sie

z. B. die Correspondence ¨Quetelet¨ nachlesen, wo das Problem öfter

behandelt wird. Daher ist es gar nicht zu verwundern, dass die Ägypter

sie nicht aufs Haar lösen konnten. Ich weise aber noch auf einen

Umstand hin, der mir ganz besonders wichtig scheint: der Näherungswert

3,2 für π passt vorzüglich für die Übereinheit 32 Hin.

[Sidenote: Ausmessung der Dreiecke und Trapeze.]

Der 3. Abschnitt des Ahmes, der eigentlich geometrische Teil,

handelt von der Ausmessung der Felder, kreisförmiger, dreieckiger,

trapezförmiger, und solcher, die in Dreiecke und Trapeze zerlegt

werden. ¨Eisenlohr¨ fasst auf Grund der Autorität M. Cantors und des

grossen Ägyptologen ¨Rich. Lepsius¨, was mir beinahe unfassbar ist,

die Dreiecke und Trapeze als gleichschenklige, und vindiziert den

Ägyptern den groben Fehler, das gleichschenklige Dreieck zu bestimmen

als halbes Produkt der Grundlinie und des ¨Schenkels¨, und das Trapez

als Produkt der Mittellinie mit dem Schenkel statt der Höhe, und diesen

Fehler sollten sie bis nach Christi, hunderte von Jahren nach Euklid

und Heron begangen haben, und ¨Cantor¨ hat mit dem Starrsinn des Alters

an seiner Auffassung festgehalten, trotz der Kritik ¨Revillout's¨

in der Revue égyptologique von 1882 und der davon ganz unabhängigen

¨Borchardt's¨, die darauf hingewiesen haben, dass die Figuren ganz rohe

Handzeichnungen sind, wie Sie z. B. bei Nr. 48 (Figur) sich überzeugen

können, wo statt des Kreises ein rohes Achteck gezeichnet ist. Die

Dreiecke sind (Figur), wie Sie ebenfalls sehen, mindestens so gut

rechtwinklig wie gleichschenklig.

[Illustration]

M. H., es ist an sich unwahrscheinlich, dass die Ägypter solche groben

Fehler begangen haben. Aus den von ¨Wilke¨ mit unendlichem Fleiss

gesammelten Ostraka, d. s. im wesentlichen Steuerquittungen auf dem

billigsten Material, auf Tonscherben, wissen wir, dass es eine eigene

Steuer gab. περι γεομετριας.

[Sidenote: Widerlegung der Lepsius-Cantor'schen Formel.]

Die Ägypter besassen nachweislich im alten Reich eine Reichsbank,

sie hatten eine Plankammer, sie hatten statt des Tabakmonopol das

Ölmonopol. Jedes Fleckchen, wo ein Ölbaum stand, wurde vermessen, jedes

Stückchen Weizenland, von dem eine Naturalabgabe für die Ernährung

der Truppen erhoben wurde, desgleichen. Sie haben von den jährlichen

Nachmessungen unter Sesostris gehört; und dann sollen solche groben

Irrtümer begangen worden sein! Ich kann Ihnen für Revillouts und

Borchardts Auffassung einen schlagenden Beweis geben; hier sehen

Sie die Figur im Codex konstantinopolitanus, der 1903 von Schöne

edierten Metrica des Hero, da haben Sie zwei Figuren zur Ableitung

des sogenannten erweiterten Pythagoras. Die Höhen sind gefällt und

die Winkel der Figur weichen vom rechten Winkel weit erheblicher ab

als die des Ahmes. Man kann gegen die Ostraka einwenden, sie stammen

grösstenteils aus der Zeit der Ptolemäer; ja, m. H. wer den Charakter

der Ägypter kennt, und nicht nur den der Ägypter, dem wird klar sein,

dass die Steuergesetzgebung so wenig wie der Totenkult und das Erbrecht

geändert werden konnte.

Wenn Alexander sich zum Sohn des Amon machen liess, so tat er es

wahrlich nicht aus Grössenwahn, sondern genau so wie vor ihm die

Hyksoskönige, weil das Volk seinen Pharao nur als Sohn des Gottes

anerkannte.

Und was die Steuern betrifft, als wir 1870 die elsässische Verwaltung

einrichteten, sagte der Oberpräsident von ¨Möller¨ die Fenstersteuer,

das Enregistrement, das ganze Steuersystem ist miserabel, aber wir

rühren nicht daran, die Leute sind daran gewöhnt.

Cantor stützte sich bei seinem Widerstand, ich möchte sagen

ausschliesslich, auf die Schenkungsurkunde des Tempels von Edfu, dessen

Grundlegung, wie ¨Dümichen¨ nachgewiesen am 23. Aug. 237 v. Chr. von

Ptolemäus XI, Alexander I, Philometor genau in der schon geschilderten

Weise vollzogen ist. Die Schenkungsurkunde nimmt einen grossen Teil der

Aussenwand der östlichen Umfassungsmauer des Tempels ein. Der gesamte

Text 164 Kolonnen ist auf 8 grössere Felder verteilt, von denen,

als ¨Cantor¨ seine erste Auflage schrieb, nur die drei ersten durch

¨Lepsius¨ publiziert waren. Es werden von den Feldern von 60 Kolonnen

die Masse angegeben, z. B.

22 + 23 4 + 4 oder 90 etc.

15 + 15 3-1/2 + 2-1/2 1/4 1/16 1/32 oder 47-1/2 1/8 1/16.

(nicht stimmend 47, 1/2 . 1/16 1/64) richtiger Wert 47,566425.

[Sidenote: Lepsius-Cantor'sche Formel.]

Lepsius hat nun gefunden, dass diese Vierecke nach der Formel

(a + b)/2 · (c + d)/2 berechnet wurden, wo a und b das eine Paar

Gegenseiten, c und d das andere Paar ist. Es kommen, wie es

scheint, ein ganzer Teil Rechtecke vor, ein anderer Teil sind

Trapeze, dazwischen Dreiecke, die als Vierecke, deren eine Seite 0

ist, aufgefasst werden. In dieser Auffassung liegt soviel von der

Philosophie der Null, die hier als Grenzbegriff gefasst ist, dass ich

Cantor nicht zustimmen kann, wenn er sagt: an eine Zahl 0 ist in keiner

Weise zu denken.

[Sidenote: 0 als Grenze.]

Gewiss, eine Ziffer 0 hatten sie nicht, brauchten sie auch nicht;

aber dass sie mit 0 rechneten, dass ihnen der Zahlencharakter der

Null bekannt war, samt dem Grenzbegriff und dem sogen. Arbogast'schen

Prinzip, das geht doch zur Evidenz aus der Urkunde hervor. Als Cantor

aber seine zweite Auflage schrieb, da waren schon die übrigen 98

Colonnen durch ¨Brugsch Pascha¨ publiziert, und da stellt sich die

Sache sehr anders; die Lepsius'sche Formel, welche übrigens schon für

das zweite Beispiel, das sich bei Lepsius findet, ¨nicht¨ passt, ist

häufig genug nicht angewandt. Sieht man näher zu, so bemerkt man, dass

es sich um ¨angenäherte Quadratwurzelausziehung¨ handelt. Ich habe fast

alle nachgerechnet, die Fehler sind sehr gering und alle Angaben etwas

zu gross z. B. auf Tafel 6: 2 + 1-1/2; 1 + 0 als Inhalt 7/8, während

der richtige Inhalt noch nicht 6/8 ist. Natürlich, der König hatte ja

ein Interesse daran dem Gott, oder was dasselbe ist, seinen Priestern

die Schenkung möglichst gross darzustellen. Ich bemerke, dass nach

meiner Erkundigung nicht nur die römischen Agrimensoren, wie Cantor

angibt, sondern auch unsere heutigen, und zwar gerade diejenigen,

welche über mathematische Bildung verfügen, sich das Wurzelziehen

tunlichst sparen, indem sie z. B. für:

√(α^2 + ε) α + 1/2·ε/α setzen.

Aus dem Text der ägyptischen Aufgabe hat ¨Revillout¨ die

Unwahrscheinlichkeit der Cantor'schen Auffassung nachgewiesen, die

mit allen Traditionen des Altertums in Widerspruch steht. Ägyptische

Baumeister wurden in der ganzen Welt des Mittelmeeres geholt, und als

Augustus das römische Reich vermessen liess, nahm er dazu ägyptische

Feldmesser.

[Sidenote: Ägyptische Trigonometrie.]

Ich komme nun zu dem Bedeutsamsten und zugleich zu dem Seltsamsten, was

sich im Papyrus Ahmes (2. Schülerheft) und, muss ich leider sagen, bei

Cantor-Eisenlohr findet. Der 4. Teil des Papyrus enthält die ägyptische

¨Trigonometrie¨: Aufgabe Nr. 56-60, Aufgabe 59 ist doppelt. In den fünf

ersten Aufgaben heisst die Pyramide, die stets quadratische Grundfläche

hat, mr (nicht smr) in der 6. Aufg. Nr. 60, die von einer viel

steileren Pyramide handelt -- ¨Borchardt¨ vermutet einen Monolithen --

heisst sie in. Es kommen zwei Abmessungen in Betracht, in den Aufgaben

56-59;

a) die Pir--m--s Pirems, woher vielleicht der Name Pyramide.

b) die ucha--tebet.

und in Nr. 60 a) k^3y --n--h r w. b) Snti: Das Verhältnis zwischen 1/2

b : a heisst überall Sqd.

Z. B. Nr. 56. Berechnung einer Pyramide. Die uchatebet ist 360, ihre

Pirems 250. Lass mich ihren Seqd wissen. Nimm die Hälfte von 360, macht

180, dividiere mit 250 in 180 macht 1/2 + 1/5 + 1/50 von einer Elle.

Eine Elle hat 7 Spannen, multipliziere mit 7: ihr Skd ist 5-1/5 Spannen.

Nr. 57. Eine Pyramide, 140 ist die uchatebet, 5-1/4 Spannen ihr Skd,?

die Pirems. Antwort: 93-1/3.

Nr. 58. Pirems 93-1/3, uchatebet 140,? Sqd. -- Antwort: 5-1/4 wiederum.

Die Rechnung enthält wieder einen groben Fehler des Schreibers.

Nr. 59 a. Pirems ist 12, uchatebet 8? Sqd. Antwort wieder 5-1/4.

und Nr. 59 b. Kontrollaufgabe, uchatebet gefragt, ganz verworren

abgeschrieben. Resultat 4 statt 8, wenn die eine Linie 12 und der Sqd

5-1/4.

Nr. 60. Ein In von 15 Ellen an seinem Snti und 30 an seinem k^3y--n h r

w. Lass mich seine Skd. wissen. Multipliziere 15; 1/2 davon ist 7-1/2,

multipliziere 7-1/2 mit 4 um 30 zu erhalten. Sein Rhi ist 4.... Das ist

sein Skd.

¨Eisenlohr¨ bemerkt Rhi ist unklar, was jedoch ohne Einfluss auf die

Rechnung ist.

¨Eisenlohr¨ und ¨Cantor¨ erklären nun die Pir--m--us als die

Seitenkante und die ucha tebet als die Diagonale des Grundquadrates,

während sie durch das Koptische gezwungen sind die Kaienharu als die

Höhe und die snti als die Grundlinie aufzufassen; sie erklären also den

Sekt in den fünf ersten Aufgaben als den Cosinus des Neigungswinkels

der Kante und Grundfläche und in der letzten als die Cotangente des

Böschungswinkels!

Dagegen wenden sich nun ganz unabhängig voneinander ¨Revillout¨ und

¨Borchardt¨ und schon ¨Weyr¨ trat ihnen bei, beide zunächst vom

Standpunkt des Steinhauers und Architekten; beide bemerken, dass der

Neigungswinkel für den Steinhauer ganz wertlos.

[Illustration]

Die Pyramide wurde in geraden Absätzen gebaut, die dann mit

mächtigen Steinplatten ausgefüllt wurden. Kannte der Arbeiter den

Böschungswinkel, der an allen Quadern derselbe, dann konnte er jedes

Stück richtig behauen; der Neigungswinkel ergab sich dann ganz von

selbst. (Figur.)

Eisenlohr erklärt Piremus als die aus der Säge heraustretende und

seqet leitet er von qd -- ähnlich machen -- ab und übersetzt es mit

Ähnlichkeit, besser wäre wohl Verhältnis. Revillout sagt, piremus

bedeutet hinausgehen in die Breite oder aus der Breite und beides passt

für die Höhe der Pyramide, die Linie, welche die Spitze mit der Mitte

der Grundlinie verbindet; uchatebet ist die Basis, und beide Worte

sind Synonyma für Kainharu und senti. ¨Cantor¨ noch in dem Brief an

Weyr und in der 2. Auflage mutet den Ägyptern die Ungeheuerlichkeit zu

zwei verschiedene Funktionen mit demselben Namen bezeichnet zu haben.

¨Revillout¨ und ¨Borchardt¨ sagen, es sei stets die Cotangente des

Böschungswinkels und nun erinnern Sie sich daran, dass Ägypten aus

zwei verschiedenen Ländern mit verschiedener Sprache zusammengewachsen

ist. Synonyma sind häufig, wie wir aus analogen Gründen die ähnliche

Erscheinung im Englischen haben. Die Pyramide heisst smr und in, der

Kreis Deben und kd, der Vater heisst ¨if¨ und atef, der König bjty und

hk^3 usw.

[Sidenote: Koordinaten.]

Die Höhe ist als Summe der Schichtenhöhen, ev. auch aus der

Schattenlänge und die Seite des Grundquadrats ganz direkt messbar. Die

Diagonale muss aber berechnet werden, und zwar mit dem Pythagoras.

Eisenlohr hat die Winkel der Pyramiden γ und β (siehe Figur S. 50)

berechnet aus

cos β entweder 5-1/4 Sp oder 5-1/25 und damit

cos β = 3/4 oder = 126/175 = 18/25

und sie stimmen so ziemlich mit den Winkeln der erhaltenen Pyramiden,

was für den, der weiss, wie oft grobe Fehler der Schüler geringe Fehler

im Resultat geben, nicht wunderbar ist.

Aber Borchardt hat die Neigungswinkel aus der Cotangente berechnet. Es

sind dies Winkel von 54° 14′ 16″; 53° 7′ 48″ (kommt 4 mal vor) und in

No. 60, 75° 57′ 50″.

Von diesen Neigungswinkeln gleicht der erste ¨genau¨ bis auf die

Sekunde dem Winkel an der südlichen Steinpyramide von Daschur (untere

Hälfte), der zweite stimmt, ebenso haarscharf mit dem von Petrie an Ort

und Stelle gemessenen Winkel der zweiten Pyramide von Giseh überein und

der letzte ist ebenso ¨genau¨ der von Petrie 1892 nachgewiesene Winkel

aus der Mastaba von Meidum. Und dass die Werkleute wie die unsrigen

nach solchen Vorschriften, sogenannten Leeren, arbeiteten, das zeigen

die von Petrie aufgedeckten Winkelmauern an den Ecken der Mastaba No.

17 zu Meidum.

Diese Eckwinkelmauern zeigen wie die Erbauer der Mastaba sich die

anzulegende Neigung der Winkel ¨genau¨ nach der in No. 60 gegebenen

Vorschrift aufgezeichnet haben. Damit ist die Seqtfrage entschieden.

Sekt ist die Cotangente, rhi vermutlich nichts anderes als die

¨Tangente¨, die also den Ägyptern auch schon bekannt war.

Das Wort seqd aber leitet Revillout von kd -- bewegen ab und aus dem

hapt -- Richtscheit, das ein unentbehrliches Werkzeug war; seine

aufrechtstehende Kathete ist 1 Elle, die untere ist in 7 Spannen und

4 Finger geteilt, und eine Schnur wurde nach dem unteren beweglichen

Punkte geknüpft und gab dem Arbeiter damit durch den sekd unmittelbar

den Winkel, nach dem er seinen Stein zurichtete.

Ein ganz entscheidendes Moment liegt aber in der Natur der Sache; der

königliche Bauherr der Pyramide der sagt einfach, meine Pyramide soll

so und so viel im Geviert haben und so und so hoch soll sie sein, die

Ausführung überlässt er seinem Architekten.

Dass die Ägypter aber mit der Proportionalitäts- und Ähnlichkeitslehre

ganz vertraut waren, das zeigen ihre Abbildungen. Sie teilten die Wand

durch Linien in ein Netz von Quadraten, ganz wie unsere Ingenieure ihr

Zeichenpapier, und trugen in die einzelnen Quadrate die Figuren in

entsprechendem Massstab ein. In dem sogenannten Grabe Belzoni zu Biban

el Moluk ist ein solches Coordinatensystem erhalten in einer unfertig

gebliebenen Grabkammer König Sety I., des gewaltigsten der Bamessiden

nächst seinem Sohne Ramses II.

[Sidenote: Darstellende Geometrie bei den Ägyptern.]

Nun zeigen die Bilder und Inschriften, ähnlich wie die japanischen,

keine Perspektive, und man nahm an, dass den Ägyptern die Perspektive

unbekannt gewesen sei. Aber vor etwa 10 Jahren wurden in Fayum, vom

trockenen Wüstensand geschützt, eine grosse Anzahl Totenmasken,

Porträts der Verstorbenen, gefunden, allerdings aus hellenistischer

Zeit, die meisten Handwerksarbeiten, aber auch eine ganze Anzahl

Kunstwerke ersten Ranges, die unsern besten Porträts nicht nachstehen.

Und dazu noch eins, was ich Ihnen nicht vorenthalten darf, oben auf

dem Pylon des Isis-Tempels von Phile, den Ptolemeus IX. Euergetes II.

150 v. Chr. erneuert hat an der Stelle, von wo der Werkmeister seinen

Bau am besten übersehen konnte, sind in Stein geritzt zwei Zeichnungen

erhalten.

M. H. Nicht Menge, nicht Lambert, nicht Dürer sind die Urheber der

darstellenden Geometrie, hier sehen sie eine Werkzeichnung in dem

Sandstein der Plattform des Pylon, welche Borchardt 1878 aufgenommen

hat, mit beigeschriebenen Massen, ¨Grundriss¨ und ¨Aufriss¨, und noch

steht die Säule, welche genau danach gearbeitet ist.

[Sidenote: Résumé.]

Resumieren wir die ägyptische Mathematik so weit wir jetzt davon wissen.

In der Arithmetik hatten sie eine entwickelte Fingerrechnung und

Rechenbretter, auf denen sie mit Steinen rechneten, kannten alle vier

Spezies mit ganzen und gebrochenen Zahlen, wussten mit Gleichungen 1.

und 2. Grades, arithmetischen und geometrischen Reihen Bescheid und

hatten Näherungsmethoden für die Ausziehung der Quadratwurzeln.

In der Geometrie war ihre Konstruktions- oder Reisskunst hoch

entwickelt. 420 v. Chr. rühmte sich der grosse Demokrit, dass ihn in

der Reisskunst nicht einmal die ägyptischen Harpedonapten überträfen;

sie hatten eine sehr achtenswerte Quadratur des Kreises, kannten

Symmetrie und Proportion, waren mit der Kreisteilung vertraut, hatten

Ähnlichkeitslehre und Anfänge der Trigonometrie und Elemente der

darstellenden Geometrie.