que las del capítulo precedente. No veo ninguna dificultad en admitir
la idea de un número infinito, ni que de ella resulte contradiccion de
ninguna clase.
[70]. Número es una coleccion de unidades; esta idea nosotros la
tenemos en toda su generalidad; para concebir el número, no
necesitamos saber ni de qué clase son ni cuántas. La idea de número en
general prescinde absolutamente de semejantes determinaciones. Es
evidente que sea cual fuere el número determinado que imaginemos,
siempre podemos concebir otro mayor; aun cuando al número le podemos
señalar un límite, este podemos retirarle indefinidamente, de suerte
que el límite de uno no sea el límite de otro. Unimos pues á la idea
de número la idea de límite y la de negacion de cierto límite; luego
si además unimos á la idea de número en general, la de negacion de
todo límite en general, formaremos idea de un número infinito.
[71]. ¿Qué nos representará esta idea? Nada determinado: es un
concepto enteramente abstracto, formado de dos igualmente abstractos:
número y negacion de límite. No le corresponde ningun objeto
determinado; es obra de nuestro entendimiento referida á objetos en
general, sin determinacion de ninguna especie. Ahora podremos resolver
las dificultades arriba indicadas.
[72]. ¿Por qué una serie de términos se nos ofrece como infinita, y
luego bien examinada, vemos que no reune los caractéres de infinidad?
Porque en el primer caso aplicamos la negacion de límite bajo una
condicion de que nos desentendemos en el segundo.
Tomemos una serie
a, b, c, d, e,....
Es evidente que la podemos continuar hasta lo infinito, y concebir que
se niega todo límite á su prolongacion: el número de términos es
infinito en este sentido, porque la idea de negacion de límite está
realmente aplicada á la serie. Cuando preguntamos si el número de los
términos es infinito absolutamente, prescindimos de la condicion con
que habíamos unido la negacion de límite: lo que era pues infinito en
un caso, no puede serlo en otro: no hay una verdadera contradiccion;
porque el sí y el nó se refieren á suposiciones diferentes.
[73.] Tomemos una línea y midámosla por piés. Prolongando esta línea
se multiplicará el número de piés; y en general podemos concebir
negado el límite á dicha multiplicacion. Entonces el número de piés
resultará infinito. Considerando luego que el pié tiene doce pulgadas,
si en vez de tomar por unidad el pié tomamos la pulgada, el resultado
será un número doce veces mayor: hé aquí dos números infinitos,
mayores el uno que el otro. ¿Hay en esto alguna contradiccion? nó por
cierto: lo que hay es una diferente combinacion de ideas. En el primer
caso, la idea de negacion de límite estaba subordinada á una
condicion: la division de la línea en piés; en el segundo,
introducimos una condicion diferente: la division de la línea en
pulgadas.
[74.] Pero se nos replicará tal vez, estos números considerados en sí
mismos, prescindiendo de que se refieran á piés ó á pulgadas, ¿son
iguales ó nó? y en ambos casos ¿son infinitos ó nó? la objecion se
desvanece haciendo notar la equivocacion en que se funda. Si se
prescinde enteramente de toda relacion á divisiones determinadas, se
considera el número en general, en cuyo supuesto no hay dos casos sino
uno; solo entonces no puede haber relacion de mayor y menor, porque
solo se tiene el concepto del número en general combinado con la idea
de negacion de límite tambien en general: el resultado pues, será el
número infinito en toda su abstraccion (70).
La dificultad estriba en una contradiccion, que á primera vista no se
nota; se quiere prescindir de condiciones particulares, para saber si
los números en sí, son infinitos ó nó; y no se quiere prescindir de
ellas, pues solo atendiendo á las mismas, tiene sentido la objecion,
que siempre supone la division en varias especies de unidades. Cuando
se habla pues de _estos_ números, y al mismo tiempo se pretende
considerarlos _en sí_, se incurre en una contradiccion, tomándolos á
un mismo tiempo con las condiciones particulares y sin ellas.
[75.] Inferiremos de lo dicho que el concepto de número infinito
considerado en su mayor abstraccion, prescindiendo de la naturaleza y
relaciones de las cosas numeradas, no es contradictorio, pues que no
encierra mas que las dos ideas de número, ó sea conjunto de seres, y
absoluta negacion de límite; pero esto no es bastante para afirmar que
el número infinito sea realizable. El número infinito no puede ser
actual, sin que haya un conjunto de seres infinito; y estos seres
realizados, no pueden ser seres abstractos, que no encierren nada mas
que ser, sino que han de tener sus propiedades características, y han
de estar sujetos á las condiciones que estas les impongan. Como en el
concepto general se prescinde absolutamente de dichas condiciones, no
puede descubrirse por el concepto solo, la contradiccion que en ellas
pueda haber; de donde resulta que no encerrándose en el concepto
ninguna contradiccion, se puede tropezar con ella tan pronto como se
quiera realizar lo que está contenido en el mismo. Así podrá suceder
que sin ser contradictorio el concepto general é indeterminado, lo sea
su realizacion: á la manera que se conciben perfectamente ciertas
teorías mecánicas, que sin embargo no pueden reducirse á la práctica,
porque no lo consiente la materia á que se debieran aplicar. Los seres
finitos son, por decirlo así, la materia en que se han de realizar los
conceptos metafísicos é indeterminados: la posibilidad de estos no
prueba de una manera absoluta la posibilidad de aquellos. La realidad
puede traer consigo tales determinaciones que envuelvan una
contradiccion que en el concepto general se hallaba en estado latente,
y que al llegar á la realidad se pone de manifiesto.
CAPÍTULO X.
CONCEPTO DE LA EXTENSION INFINITA.
[76.] ¿Es concebible la extension infinita? Este concepto incluye dos
ideas: la de extension y la de negacion absoluta de límite. La de
extension es á su vez un concepto general, referido á esa intuicion,
que sea lo que fuere en sí y en su objeto, representa la extension ó
el conjunto de las tres dimensiones, cuya forma pura es el espacio. Es
evidente que nosotros podemos reunir en un concepto estas dos ideas:
extension en general, y negacion de límite; y si á esto se llama idea
de una extension infinita, es claro que poseemos dicha idea. Salta á
los ojos que en este concepto de la extension infinita, se prescinde
de todas las condiciones de realidad; y que no sabemos todavía, si en
la naturaleza de los seres extensos, se hallaria algo, que se opusiese
á la absoluta infinidad de su extension; y por consiguiente ignoramos,
si hay aquí alguna contradiccion latente, que no podemos conocer por
solo el concepto general.
[77.] Nótese bien que aquí hablo de la idea, y nó de la representacion
sensible de la extension; porque si bien tengo por posible aun para
nosotros, el concepto de una extension infinita, no pienso lo mismo de
su representacion sensible. Esta podemos dilatarla indefinidamente,
mas nó hacerla infinita.
A mas de que la conciencia nos atestigua dicha imposibilidad, la razon
la demuestra. En efecto: las representaciones sensibles internas, no
son mas que una repeticion de las externas; ó cuando menos están
formadas de los elementos que estos suministran. La vista y el tacto
son los dos sentidos que nos producen representacion de extension, y
es evidente que ambos necesitan un límite: al tacto no se le ofrece
sino lo inmediato; la vista no ve, sin un límite que le envie los
rayos luminosos. Las representaciones sensibles internas, sean las que
fueren, no pueden perder ese carácter de limitacion: dilatarán el
objeto cuanto se quiera; retirarán el límite, mas no le destruirán, so
pena de destruirse á sí propias. Luego es imposible para nosotros, y
para todo ser sensible, la imaginacion de una extension infinita.
[78.] Contra la infinidad de la extension, en cuanto nos la podemos
representar en un volúmen sin límites, he propuesto mas arriba [40]
una dificultad fundada en que como la idea de impenetrabilidad no
entra en el concepto de sólido, dentro de un infinito, se podrá
colocar otro, y así sucesivamente; por manera que la penetrabilidad
da orígen á otra serie que tampoco tendrá fin. Pero esta dificultad
que es concluyente si se trata del concepto de sólidos que encierra
algo mas que la pura idea de extension, no lo es cuando nos
limitamos á esta idea: porque entonces, la extension implica
necesariamente el que unas partes estén _fuera_ de otras, pues que
sin este _fuera_, no es posible concebirla. Es cierto que dentro de
una parte del espacio puede situarse un cuerpo; y que despojando á
este de la impenetrabilidad, podemos todavía colocar otro en el
mismo lugar, y así hasta lo infinito; pero en tal caso concebimos ya
algo mas que extension pura; unimos algo mas, siquiera en general é
indeterminadamente, á la idea de cosas situadas; pues de otro modo,
no distinguiríamos entre el espacio, representante de la extension
pura, y los sólidos que en él se colocasen; y aun estos mismos no
los distinguiríamos entre sí, á no reconocer en ellos alguna
diferencia, siquiera en general é indeterminadamente.
[79.] Parece pues mas probable que la idea pura de la extension
infinita está en la de un volúmen infinito; la cual no es otra que la
del espacio. Lo demás que puede introducirse en la idea es un elemento
extraño á la misma; pues á la extension pura añade algo que no le
pertenece, como son las diferencias entre los seres extensos, aunque
concebidas con indeterminacion.
CAPÍTULO XI.
SOBRE LA POSIBILIDAD DE LA EXTENSION INFINITA.
[80.] ¿Qué pensaremos de la posibilidad de esas infinidades que
nosotros concebimos? examinémoslo.
¿Es posible una extension infinita? no se descubre ninguna
repugnancia: la idea de extension y la de negacion de todo límite, no
se excluyen, por lo menos segun nuestro modo de concebir; mas bien
tenemos dificultad en concebir el límite absoluto de la extension que
no en concebirla ilimitada: mas allá de todo término imaginamos
espacios sin fin.
[81.] Considerando la cuestion con respecto á la omnipotencia divina,
tampoco se descubre ninguna imposibilidad en la existencia de una
extension sin límites. Mas allá de toda extension puede Dios criar
otra extension; si suponemos que haya querido aplicar su fuerza
creadora á toda la extension posible, habrá criado una extension
infinita.
[82.] Ofrécese aquí una dificultad. Si Dios hubiese criado una
extension infinita, no podria criar otra extension; luego su poder
estaria agotado, luego no seria infinito.
Esta dificultad nace de que se entiende en un sentido falso el poder
infinito. Cuando se dice que Dios lo puede todo, no se quiere
significar que pueda hacer cosas contradictorias; la omnipotencia no
es un atributo absurdo, como lo seria si se refiriese á cosas
absurdas. Una extension absolutamente infinita es contradictoria con
otra extension distinta; pues por lo mismo que es infinita
absolutamente, contiene todas las extensiones posibles. Si la
suponemos existente, no será posible otra distinta de ella; al afirmar
que Dios no podria producir otra, no se limita su omnipotencia, solo
se dice que no puede hacer una cosa absurda.
[83.] Aclaremos mas la solucion anterior. La inteligencia de Dios es
infinita, y no puede entender mas que lo que ahora entiende: todo
progreso supondria imperfeccion, pues que envolveria mudanza de una
inteligencia menor á una inteligencia mayor. Ahora bien; si se dice:
Dios no puede entender mas de lo que entiende en la actualidad, ¿se
limita su inteligencia? es cierto que nó: pues que no puede entender
mas porque entiende todo lo real y todo lo posible, y no es dable
concebir sin contradiccion que pueda entender mas que lo que entiende
en la actualidad; esto no limita la inteligencia, antes afirma su
infinidad; porque no es suceptible de perfeccion por lo mismo que es
infinita. Con este ejemplo se comprende el sentido de la expresion _no
puede_, aplicada á Dios: lo que se niega, no es una perfeccion, sino
un absurdo: por cuya razon observa muy oportunamente Santo Tomás, que
mas bien se debiera decir que la cosa no puede ser hecha, que no que
Dios no puede hacerla.
CAPÍTULO XII.
SOLUCION DE VARIAS DIFICULTADES CONTRA LA POSIBILIDAD DE UNA EXTENSION
INFINITA.
[84.] Las discusiones sobre la posibilidad de una extension infinita
datan de muy antiguo; y no puede menos de ser así, supuesto que el
grandioso espectáculo del universo, y los espacios que imaginamos mas
allá de todo confin, deben suscitar naturalmente las cuestiones que
siguen. ¿Existe algun límite de tamaña inmensidad? ¿Puede existir? ¿Es
posible que no exista?
Algunos filósofos opinan en contra de la posibilidad de una extension
infinita; examinemos las razones en que se fundan.
[85.] La extension es propiedad de una substancia finita, y lo que
pertenece á una cosa finita no puede ser infinito; pues no se concibe
cómo la infinidad de ninguna clase puede caber en un ser finito. Este
argumento no es concluyente. Es verdad que la substancia extensa es
finita, en el sentido de que no tiene la infinidad absoluta, cual se
concibe en el Ser Supremo; mas de aquí no se infiere que no pueda ser
infinita bajo ciertos aspectos. Con decir que ninguna substancia
finita puede tener ninguna propiedad infinita, porque las propiedades
dimanan de la substancia, y de lo finito no puede salir lo infinito,
tampoco se consolida la razon. Para que este argumento valiese seria
menester probar que todas las propiedades de un ser dimanan de su
substancia: las figuras de los cuerpos son propiedades accidentales de
los mismos, y sin embargo muchas de ellas no tienen ninguna relacion
con la substancia, son meros accidentes que aparecen ó desaparecen, nó
por la fuerza interior de la substancia, sino por la accion de una
causa externa. Nosotros vemos la extension en los cuerpos; pero no
conociendo la esencia de la substancia corpórea, no podemos decir
hasta qué punto están ligadas dicha propiedad y la substancia, y si
aquella dimana de esta, ó es únicamente una cosa que se le ha dado y
que se le puede quitar sin alteracion esencial (V. Lib. III, cap. XIX,
XXI, XXIV, XXV, XXVI, XXVII, XXVIII).
Además: al decir que de lo finito no puede salir lo infinito, no
negamos que de una substancia finita en su esencia, pueda salir cierta
propiedad infinita. En efecto: por lo mismo que en tal caso
admitiríamos la propiedad infinita, podríamos admitir tambien todo lo
que fuese necesario en la substancia para que en ella se radicase
dicha propiedad, con tal que se salvase el carácter de finito que debe
siempre tener toda criatura. Cuando se niega de estas el que sean
infinitas, y que puedan serlo, se habla de la infinidad esencial, de
la que implica necesidad de ser é independencia absoluta bajo todos
respectos; mas no se trata de una infinidad relativa, cual lo seria la
de extension.
Empezar por sostener que la extension infinita es imposible porque
toda propiedad de la substancia finita es finita; equivale á suponer
lo mismo que se disputa; pues precisamente la cuestion está en si una
de estas propiedades, la extension, puede ser infinita. Para afirmar
que ninguna lo puede ser, es necesario probar que lo mismo se verifica
de la extension: pues de otro modo la proposicion negativa: «ninguna
propiedad de la substancia finita es infinita» no podria establecerse.
Por donde se ve que el argumento que combatimos, implica en algun modo
una peticion de principio, cuando se funda en una proposicion general,
de la que no podemos estar ciertos antes de tener resuelta la cuestion
presente.
[86.] La extension infinita debiera ser la mayor de todas, y no hay
ninguna que pueda tener este carácter. Dada una cualquiera, Dios puede
quitarle una cierta cantidad, por ejemplo una vara; y en este caso la
extension infinita se habrá convertido en finita, porque será menor
que la primera; y como la diferencia entre las dos será de sola una
vara, resultará que ni aun la primera habrá sido infinita; pues entre
lo finito y lo infinito, es imposible que no haya mas diferencia que
de una vara.
Esta dificultad merece una contestacion bien meditada; porque á
primera vista parece tan concluyente, que no se concibe la posibilidad
de una solucion satisfactoria.
La proposicion de que la diferencia entre lo finito y lo infinito no
puede ser finita, no es de todo punto exacta, y da lugar á diversas
consideraciones. Ante todo es necesario advertir que la diferencia
entre dos cantidades positivas, finitas ó infinitas, no puede ser
absolutamente infinita en el sentido del minuendo. Diferencia es el
exceso que va de una cantidad á otra, y esto entraña por necesidad
algun límite; pues por lo mismo que se trata solo de exceso, se
entiende que no entra en la diferencia la cantidad excedida. Llamando
D la diferencia, A la cantidad mayor, y a la menor, digo que D en
ningun caso puede ser infinita. Por el supuesto tenemos: D=A-a; luego
D+a=A; luego para que llegue D al valor de A, es necesario añadirle a;
luego D no puede ser infinita. Si suponemos A infinita haciendo
A=[oo]; tendremos: D=A-a=[oo]-a; lo que nos da: D+a=[oo]. Luego para
que D se nos haga infinita necesita que le añadamos a; y nunca será
D=[oo], sino en el caso de a=0; pero entonces no será una verdadera
diferencia; pues la ecuacion D=A-a, se convertirá en D=A-0=A; y por
tanto la diferencia no será real sino figurada.
Se sigue de lo dicho que ninguna diferencia entre cantidades positivas
puede ser infinita absolutamente; y que si en algun modo lo es, no
puede serlo en el sentido del minuendo, y que en tal caso el reunir
estas dos ideas de diferencia é infinito, es incurrir en una
contradiccion[1].
[Nota 1: Hablo de diferencia entre cantidades _positivas_, porque
en no suponiéndolas tales, se puede representar algebráicamente una
diferencia infinita. Sean estas dos cantidades (x-a) y (-a). Buscando
la diferencia tenemos: D = (x-a) - (-a) = x-a+a = x.]
La diferencia entre una cantidad infinita, y otra finita dada, no
podrá ser otra finita dada, sino que será infinita en algun sentido.
Supongamos una línea infinita, y otra finita de un valor dado; la
diferencia entre las dos no la podemos expresar en un valor lineal
finito dado. Porque supuesto que la línea es finita y dada, podremos
suponerla á la línea infinita en una cualquiera de sus direcciones, y
desde uno cualquiera de sus puntos, en cuyo caso llegará hasta un
cierto punto de la infinita, pero esta continuará prolongándose hasta
lo infinito. Si suponemos otra línea finita dada, en la cual pensamos
representar la diferencia, deberemos superponerla á la infinita desde
el punto en que acaba la otra finita, y es evidente que se acabará en
otro punto determinado por la longitud de la misma, luego no agotará
la diferencia entre la línea infinita, y la finita.
El mismo resultado se encuentra con expresiones algebráicas. Si A es
un valor finito dado, la diferencia entre A y [oo] no puede ser otro
valor finito dado. Porque expresando la diferencia por D, tendremos
[oo]-A=D. Luego D+A=[oo], luego si ambos fuesen valores finitos dados,
un infinito resultaria de dos valores finitos dados, lo que es
imposible.
Se infiere de esto que una diferencia puede ser infinita en cierto
sentido, segun la acepcion que diésemos á la palabra infinidad. Si
desde el punto en que nos hallamos se tira una línea en la direccion
del norte hasta lo infinito, y luego se la prolonga en la direccion
del sud tambien hasta lo infinito, la diferencia entre la suma de las
dos y una de ellas, será infinita en un solo sentido (Cap. VIII).
Lo que hallamos en valores lineales lo encontraremos tambien en
expresiones algebráicas: si tenemos el valor infinito 2 [oo], y lo
comparamos con [oo], resultará 2 [oo]-[oo]=[oo].
En general teniendo un valor infinito cualquiera, podemos sacar con
respecto á él una diferencia finita cualquiera, con tal que no tomemos
por substraendo, un valor finito dado. Sea [oo] el valor infinito,
digo que podemos encontrarle una diferencia finita. Porque siendo [oo]
un valor infinito, contiene todos los valores finitos de su órden;
luego contiene el valor finito A; y por consiguiente puedo formar esta
ecuación: [oo]-A=B. Sea cual fuere el valor de B, tengo que lo que va
de B á [oo] es A; pues con solo añadir A á B, me resulta [oo]. La
ecuación [oo]-A=B; me da B+A=[oo], y tambien [oo]-B=A; y como A es un
valor finito dado por el supuesto, y A es la diferencia finita dada,
entre [oo] y B, resulta que á todo valor infinito se le puede
encontrar una diferencia finita.
Inferiremos de esto que el poderse asignar á una extension infinita
una diferencia finita no prueba nada contra su verdadera infinidad. Lo
infinito, por lo mismo que es tal, contiene todo lo perteneciente al
órden en que es infinito: tomando uno cualquiera de aquellos valores,
y considerándole como una diferencia, nos resultará una diferencia
finita. Mas esto lejos de probar la falta de infinidad, confirma su
existencia; pues indica que todo lo finito está contenido en lo
infinito.
En tal caso el substraendo será infinito bajo cierto aspecto; pero no
lo será en el órden del minuendo, por faltarle la cantidad que se ha
quitado.
[87.] Hay en contra de la infinidad absoluta de la extension otro
argumento que me parece mas fuerte que ninguno de los anteriores, y
que no sé por qué no habrá ocurrido á los que combaten dicha
posibilidad; hélo aquí. Supongamos existente una extension infinita.
Dios puede anonadarla, y despues criar otra nueva igualmente infinita.
La suma de las dos es mayor que una cualquiera de ellas; luego ninguna
de por sí será infinita. Es evidente que este aniquilamiento se puede
suponer repetido tantas veces como se quiera; de donde resultará una
serie de extensiones infinitas. Los términos de esta serie no pueden
existir á un mismo tiempo, pues que una extension infinita actual
excluye las otras; luego como la suma de las extensiones es mayor que
un número cualquiera de los sumandos, la extension infinita absoluta
debe hallarse, nó en los sumandos sino en la suma, luego la extension
infinita en acto es intrínsecamente imposible.
Para desvanecer esta dificultad se debe distinguir entre la extension
y la cosa extensa: toda la cuestion gira sobre la posibilidad
intrínseca de la infinidad de la extension, considerada en sí,
prescindiendo absolutamente del sujeto en que se halla. La dificultad
propuesta hace desfilar á nuestros ojos una serie de extensiones
infinitas que se suceden; pero si bien se reflexiona la sucesion se
verifica entre los seres extensos, cuyo número se va multiplicando;
pero nó en la extension misma. La idea pura de la extension infinita
que tenemos para un caso, no se aumenta con las nuevas extensiones que
vienen; la extension aparece, desaparece, reaparece y vuelve á
desaparecer, mas con esto no se aumenta. La sucesion nos indica la
posibilidad intrínseca de su aparicion y desaparicion, su contingencia
esencial, por lo que no le repugna el dejar de existir cuando existe,
y el pasar de nuevo de la no existencia á la existencia. Examinemos
nuestras ideas, y echaremos de ver que concebida la extension
infinita, no la podemos agrandar con ninguna suposicion imaginable; y
que todo cuanto hacemos se reduce á una sucesion de producciones y
aniquilamientos. La idea de la extension infinita parece un hecho
primitivo de nuestro espíritu; esa infinidad que imaginamos en el
espacio, no es otra cosa que el resultado de los esfuerzos de nuestra
idea para expresarse en una realidad. Habiendo sido criados con
intuicion sensible, se nos ha dado la posibilidad de dilatar esa
intuicion en una escala infinita; para esto necesitábamos la idea de
una extension infinita.
CAPÍTULO XIII.
SI EXISTE LA EXTENSION INFINITA.
[88.] La cuestion sobre la posibilidad de una extension infinita es
muy diferente de la de su existencia. Admitiendo la primera se puede
negar la segunda.