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FILOSOFÍA FUNDAMENTAL.
por
D. JAIME BALMES, PRESBÍTERO.
TOMO IV.
Segunda edicion.
Barcelona: IMPRENTA DE A. BRUSI. Calle de las Libreterías nº 2. 1848.
_Es propiedad del Autor._
LIBRO OCTAVO.
LO INFINITO.
CAPÍTULO I.
OJEADA SOBRE EL ESTADO ACTUAL DE LA FILOSOFÍA.
[1.] En las obras de filosofía trascendental publicadas de algunos
años á esta parte, se emplean con mucha frecuencia las palabras
infinito, absoluto, indeterminado, incondicional, haciéndolas
representar un gran papel en la explicacion de los mas recónditos
arcanos que ofrecerse puedan á la consideracion del hombre. Con ellas
se combinan las de finito, relativo determinado, condicional; y de
esta combinacion se pretende que ha de surgir el rayo de luz que
disipe las tinieblas de las regiones filosóficas.
[2.] A pesar del mal uso que muchos hacen de semejantes palabras,
preciso es confesar, que es consolador el hecho indicado por el mismo
prurito de emplearlas. Este hecho es un esfuerzo del espíritu humano
para levantarse del polvo en que le hundiera la impía escuela del
pasado siglo.
[3.] ¿Qué era el mundo á los ojos de los falsos filósofos que
precedieron á la revolucion francesa? un conjunto de materia, sujeta á
movimiento por simples leyes mecánicas, cuya explicacion estaba dada
pronunciando: ciega necesidad. ¿Qué era el espíritu humano? nada mas
que materia. ¿Qué era el pensamiento? una modificacion de la materia.
¿En qué se diferenciaba la materia pensante de la no pensante? En un
poco mas ó menos de sutileza, en una disposicion de átomos mas ó menos
feliz. ¿Qué era la moral? una ilusion. ¿Qué eran los sentimientos? un
fenómeno de la materia. ¿Cuál era el orígen del hombre? el de la
materia; de un fenómeno ofrecido por una porcion de moléculas, que
ahora se hallan en una disposicion y luego en otra muy diferente.
¿Hablabais de un destino mas allá del sepulcro? Se os contestaba con
una desdeñosa sonrisa. ¿Pronunciabais la palabra religion? El desden
aumentaba, se convertia en desprecio. ¿Recordabais la dignidad humana?
Sí, se os otorgaba esta dignidad, con tal que os consideraseis como
una graduacion mas perfecta, mas nó de distinta naturaleza, de los
demás animales. No se os negaba que vuestra figura fuese mas noble y
galana que la del mono; no se os disputaba la superioridad de la
inteligencia; pero debiais guardaros de pretender ni á orígen ni á
destino mas elevados. El curso de los siglos podia desarrollar y
perfeccionar las formas del mono, é igualarlas con las vuestras; podia
desarrollar y perfeccionar su masa cerebral de tal suerte que de los
descendientes de ese mono que os divierte con sus movimientos
extravagantes y sus actitudes ridículas, nacieran hombres como Platon,
san Agustin, Leibnitz ó Bossuet.
[4.] Con semejante sistema, inútil era pensar en ideas; no habia mas
que sensaciones: cuanto se agita en la mente del hombre, desde el mas
imbécil, hasta el genio mas poderoso, no era mas que una sensacion
trasformada. Los elementos de la humana inteligencia eran
absolutamente los mismos de que dispone el bruto; pensar no era mas
que sentir mejor. Tal era el último término del análisis, tal el
resultado de la mas delicada observacion, tal la solucion que á los
problemas del entendimiento del hombre encontrara la mas profunda
filosofía. Platon, Aristóteles, san Agustin, santo Tomás, Descartes,
Malebranche, Leibnitz, no eran mas que soñadores sublimes, cuyo genio
contrastaba con su ignorancia de la verdadera naturaleza de las cosas.
Todos ellos no sabian nada en materia de ideología y metafísica: estas
ciencias eran un mundo desconocido, hasta que vinieron á descubrirlo
Locke y Condillac.
[5.] Esa escuela tan funesta como frívola, habia envuelto el espíritu
en la materia, y le habia ahogado. La mariposa no podia desplegar sus
leves alas, de lindos y variados colores; era preciso que se despojase
de ellas, y que se convirtiese en gusano torpe é inmundo, enredado en
una envoltura, tan inmunda y torpe como él. En esto consistia el
progreso. El límite de la perfeccion ideológica era negar las ideas;
el de los estudios metafísicos, negar los espíritus; el de los
morales, negar la moral; el de los sociales, negar el poder; el de los
políticos, establecer la licencia; el de los religiosos, negar á Dios.
Así marchaba la razon humana en una direccion retrógrada, creyendo
avanzar; así pensaba levantar el edificio de sus conocimientos, cuando
no hacia mas que demoler; así queria llegar á un resultado científico,
negando cuanto encontraba al paso, y negándose por fin á sí misma.
[6.] En la actualidad, hay una verdadera reaccion contra filosofía tan
degradante; basta abrir los escritos de los filósofos de este siglo
para convencerse de esta verdad consoladora. En todas partes se
encuentra la palabra idea, contrapuesta á la de sensacion; la de
espíritu, á la de materia; la de actividad del pensamiento, á la de
movimiento corpóreo; las de causa, órden, libertad de albedrío, moral,
infinidad. Las ideas que las acompañan son á veces inexactas, á veces
monstruosas; pero en el fondo se ve un afan por salir del abismo en
que sumiera al espíritu humano una filosofía atea y materialista.
Algunos filósofos que han contribuido á la reaccion no admiten un Dios
inteligente y libre, distinto del universo; es verdad, y por esto he
dicho mas arriba que el panteismo era un ateismo disfrazado; pero al
menos el ateismo de los panteistas de la época, es un ateismo que se
avergüenza de confesarse tal, que algunas veces procura quizás
engañarse á sí propio, persuadiéndose que no lo es.
[7.] El ateismo de los modernos filósofos se aviene con lo infinito;
no rechaza esas grandes ideas que vagaban por el mundo antiguo, como
restos de una tradicion primitiva, y que luego fueron fijadas,
aclaradas y elevadas por la superior enseñanza del cristianismo. La
filosofía del siglo pasado se habia sentado en las tinieblas y sombras
de la muerte, y se declaraba á sí propia en posesion de la luz y de la
vida. La filosofía actual está todavía en la oscuridad, pero no se
contenta con ella; anda á tientas en busca de una salida á las
regiones de la luz. De aquí esos esfuerzos desesperados por fijarse,
nó en la materia, sino en el foco de la inteligencia, en el _yo_, es
decir en el espíritu; de aquí ese continuo empleo de las palabras,
absoluto, incondicional, infinito; palabras que si bien las mas veces
solo la conducen á un absurdo, indican sin embargo una aspiracion
sublime.
[8.] Estas observaciones manifiestan, que no confundo la filosofía
actual con la del siglo pasado; que no considero el panteismo de
ahora, como un materialismo puro; y que á pesar del ateismo de que
acuso la doctrina de algunos filósofos, no desconozco que en medio de
su extravío conservan una especie de horror hácia él, y perdidos en el
laberinto de sus especulaciones buscan el hilo que los conduzca á las
puertas de la verdad.
[9.] Esta justicia que les hago gustoso á los modernos filósofos, no
impedirá que combata sus pretensiones á un mérito que no tienen. Ellos
se apellidan los restauradores de la espiritualidad del alma, y de la
libertad humana; y cuando hablan de Dios, poco falta si no le exigen
un tributo de gratitud por haber restaurado su trono. Antes de
ostentar pretensiones tan orgullosas, debieran considerar que distan
mucho todavía de la verdad con respecto á Dios y al hombre, no solo
tal como la ha enseñado en todos tiempos el cristianismo, sino como la
han profesado los mas ilustres filósofos modernos. Quieren apellidarse
restauradores, pero su restauracion es con sobrada frecuencia, una
nueva revolucion, á veces tan terrible como la que tratan de combatir.
[10.] Hay otra consideracion que debiera moderarlos cuando se quieren
dar el aire de inventores, y es, que al hablar de Dios, del espíritu
humano, del pensamiento, de las ideas, de la libertad de albedrío,
nada bueno dicen que no se halle en todas las obras de los filósofos
que florecieron antes del siglo XVIII, y aun á principios de él. Abrid
los libros de texto de las escuelas, y en ellos encontraréis muchas de
las cosas que ahora se os presentan cual descubrimientos importantes.
Los grandes filósofos se glorian de saber, lo que antes aprendian los
niños. La tradicion filosófica de las sanas ideas no se interrumpió
durante el siglo pasado; en muchos puntos de Europa se conservaban
escuelas que los enseñaban con escrupulosa fidelidad. Y á mas de las
escuelas humanas habia la del Hombre-Dios, la Iglesia de Jesucristo,
que entre sus dogmas sobrenaturales conservaba tambien las verdades
naturales, que esfuerzos insensatos se empeñaban en hacer olvidar.
[11.] ¿A qué se reducen pues la invencion y la restauracion? Invencion
con respecto á Dios, al espíritu humano, y á la moral, no la hay; todo
lo que se diga de verdad, estaba dicho ya. Restauracion tampoco la hay
propiamente hablando; no se restaura lo que no pereció. La verdad
existia; y conocida y atacada por los siete mil que no habian doblado
la rodilla ante Baal; cuando los tránsfugas vuelven y se acercan al
número escogido, que no digan que restauran, digan que recobran; no
dan, reciben; no iluminan al mundo, son ciegos á quienes la bondad de
la Providencia les abre los ojos á la luz.
CAPÍTULO II.
IMPORTANCIA Y ANOMALÍA DE LAS CUESTIONES SOBRE LA IDEA DE LO INFINITO.
[12.] El exámen de la idea de lo infinito es un objeto de la mayor
importancia. A mas de que la encontramos en varias ciencias, inclusas
las exactas, encierra uno de los principales caractéres en que
distinguimos á Dios de las criaturas. Un Dios finito no seria Dios;
una criatura infinita no seria criatura.
En la escala de los seres finitos notamos una gradacion, por la cual
se eslabonan los unos con los otros: los menos perfectos, á medida que
se perfeccionan, van acercándose á los perfectos; y salvos los límites
de la naturaleza de cada uno, hay puntos de comparacion que nos sirven
para medir las distancias respectivas. Entre lo finito y lo infinito,
no hay comparacion; todas las medidas son insuficientes, desaparecen:
pasamos de la gota imperceptible á la inmensidad del océano; del átomo
que se escapa á toda observacion, al piélago de materia difundida por
los espacios; y por mucho que esos tránsitos expresen, son nada para
representar la idea de lo infinito: estos océanos comparados con la
infinidad verdadera, se convierten á su vez en nuevas gotas
imperceptibles, y así recorre el espíritu una escala interminable, en
busca de algo que pueda corresponder á su idea. El exámen de la idea
de lo infinito, aunque no tuviese mas objeto que la contemplacion del
grandor de la misma, deberia ocupar un puesto preferente en los
estudios filosóficos.
[13.] Al fijar la consideracion en las disputas sobre la idea de lo
infinito, relativas no solo á la naturaleza de ella, sino tambien á su
misma existencia, échase de ver una extraña anomalía. Si existe en
nuestro entendimiento, parece que deberia llenarlo todo; y que ha de
ser imposible el dejar de experimentarla. No obstante es bien sabido
que los filósofos disputan hasta sobre la existencia de esta idea, de
suerte que siendo ella un tesoro infinito, los que le poseen dudan de
su realidad: á la manera de los antiguos caballeros que hallándose en
un soberbio castillo adornado con gran riqueza y esplendor, dudaban de
si lo que estaban presenciando era realmente un castillo ó una ilusión
producida por un hechicero.
[14.] La simple disputa sobre si la idea de lo infinito es positiva ó
negativa, equivale tambien á la cuestion de su existencia. Si es
negativa, expresa una falta de ser: si es positiva, significa una
plenitud del ser; ¿puede acaso entablarse disputa mas vital para una
idea que la de buscar si representa la falta ó la plenitud de una
cosa?
[15.] Hénos aquí pues con el hecho que hemos notado ya en las
discusiones anteriores: la razon tocando á sus cimientos, y como
amenazada de encontrar la muerte entre las ruinas de los mas altos
edificios que encuentra en sí propia.
CAPÍTULO III.
SI TENEMOS IDEA DE LO INFINITO.
[16.] ¿Tenemos alguna idea de lo infinito? Parece que sí; de lo
contrario la palabra _infinito_ no significaria nada para nosotros; y
al emplearla, no nos entenderíamos recíprocamente, como nos
entendemos.
[17.] Sea lo que fuere de la naturaleza y perfeccion de nuestra idea
de lo infinito, es cierto que envuelve algo fijo, comun á todas las
inteligencias. Fácilmente podemos observar que esta idea la aplicamos
á cosas de órdenes muy diferentes; y que la significacion en cada
caso, es una misma para todos los hombres. Hasta las dificultades que
nos abruman al querer explicarla en sí, y en sus aplicaciones, dimanan
de ella misma; y á todos nos confunden igualmente, porque todos
concebimos de un mismo modo, lo que se entiende por infinito, tomado
en general.
[18.] Infinito é indefinido expresan cosas muy diversas. Infinito
significa carencia de límites; indefinido significa que los límites se
retiran continuamente; se prescinde de la existencia de los mismos, y
solo se dice que no se los puede asignar.
[19.] Todo cuanto existe es ó finito ó infinito: pues que, ó tiene
límites ó no los tiene; en el primer caso, es finito, en el segundo,
infinito: no hay medio entre el sí y el nó.
[20.] Por donde se echa de ver que propiamente hablando, no hay en la
realidad nada indefinido: esta palabra expresa una manera de concebir,
ó mas bien una vaguedad en el concepto, ó una indecision en el juicio.
Cuando no conocemos los límites de una cosa, y por otra parte no nos
atrevemos á afirmar su infinidad, la llamamos indefinida. Así han
dicho que era indefinido el espacio, los que no han visto medio de
señalarle un límite, y consideraban que no era conveniente apellidarle
infinito. Hasta en el lenguaje comun se llama indefinido, lo que no
tiene señalados los límites: así se dice «se ha concedido tal ó cual
cosa por un tiempo indefinido» aunque este, con ciertas condiciones,
haya de ser limitado en alguna época que no se determina.
[21.] La idea de la infinidad no consiste en concebir que á una
cantidad dada se le pueda siempre añadir otra; ó que á una perfeccion
se la pueda hacer mas intensa: esto no expresa mas que la posibilidad
de una serie de conceptos con la que procuramos acercarnos á la idea
absoluta de lo infinito. Que esta idea absoluta es algo distinto de
aquellos conceptos, se ve claro en que la miramos como un tipo al cual
referimos la serie, y al que no podemos igualarla por mas que la
prolonguemos.
[22.] Notemos el lenguaje con que naturalmente expresamos lo que pasa
en nuestro interior al pensar en lo infinito.
Qué es una línea infinita?
Una línea que no tiene límites.
¿Será de un millon, de un billon de varas?
No se puede expresar su longitud con ningun número; será siempre
mayor.
A medida que prolongamos una línea finita, ¿nos acercamos á la
infinita?
Cierto, en cuanto _acercarse_ significa poner cantidades que se
encuentran en aquello á que nos acercamos; pero nó que esta diferencia
pueda asignarse. No hay comparacion, entre lo finito y lo infinito; y
por consiguiente, no es dable asignar la diferencia.
Sumando todas las líneas finitas, ¿se formaria una infinita?
Nó: porque en esta adicion es concebible la multiplicacion de cada uno
de los sumandos; y por tanto, un aumento en lo infinito, lo que es
absurdo.
La infinidad de la línea, ¿consistirá en que no conozcamos sus
límites, ó no pensemos en ellos?
Nó: sino en que no los tenga.
[23.] Por este diálogo, que está al alcance de las inteligencias mas
comunes, y que no expresa mas de lo que diria cualquiera persona de
una comprension regular, aunque no se hubiese ocupado nunca en
estudios filosóficos, se echa de ver que la idea de lo infinito se
halla en nuestro entendimiento, como un tipo constante, al cual no
pueden llegar todas las representaciones finitas. Conocemos las
condiciones que se han de llenar, pero vemos la impotencia de
llenarlas: cuando se nos quiere persuadir que esto se ha conseguido,
reflexionamos sobre la idea de lo infinito: y decimos: «nó; todavía
nó; esto es contradictorio con la infinidad; esto no es infinito, sino
finito.» Distinguimos perfectamente, entre la falta de la percepcion
del límite, y su no existencia: si se quiere que confundamos estas dos
cosas, respondemos: «nó; no deben confundirse: hay mucha diferencia
entre el no concebir un objeto, y su no existencia: no se trata de que
nosotros concibamos ó nó el límite; sino de que exista ó nó.» Por mas
que se retire un límite, ocultándose por decirlo así á nuestros ojos,
no nos engañamos: existe ó nó: si existe, no está cumplida la
condicion encerrada en el concepto de la infinidad; el objeto no es
infinito, sino finito; si no existe, hay infinidad verdadera: la
condicion está cumplida.
[24.] Mientras la idea de lo infinito es considerada en general, no se
puede confundir nunca con la de lo finito; hay entre las dos una línea
divisoria, que no nos permite equivocarnos, pues que está tirada por
el mismo principio de contradiccion: se trata de distinguir entre el
_sí_ y el _nó_: con decir _finito_, se afirma el límite, con decir
_infinito_, se niega: no caben ideas mas claras y precisas.
CAPÍTULO IV.
EL LÍMITE.
[25.] Infinito parece expresar una negacion, puesto que equivale á no
finito. Pero las negaciones no siempre son verdaderamente tales,
aunque así lo indiquen las palabras: porque, si aquello que se niega
es una negacion, el resultado es una afirmacion. Por esto suele
decirse que dos negaciones afirman. Si alguno dice: no ha llovido; y
otro contesta que no es verdad, niega la negacion del otro, pues que
negar la proposicion: no ha llovido, es lo mismo que decir ha llovido,
esto es, afirmar la lluvia. Así para conocer si la palabra infinito
significa una verdadera negacion, es necesario saber qué se entiende
por la palabra finito.
[26.] Finito es lo que tiene límite. Límite es el término mas allá del
cual no hay nada del objeto limitado. Los límites de una línea son los
puntos mas allá de los cuales la línea no se extiende; el límite de un
número es el extremo mas allá del cual no se extiende el número; el
límite de los conocimientos de un hombre es el punto á donde llegan, y
del cual no pasan. Siendo el límite, negacion; negar el límite es
negar la negacion, y de consiguiente afirmar.
[27.] Por estos ejemplos se echa de ver que el límite tomado en el
sentido vulgar, expresa una idea algo distinta del límite definido por
los matemáticos. Estos llaman límite á toda expresion finita, infinita
ó nula, á la cual se puede acercar continuamente una cantidad, sin que
jamás pueda alcanzarla. Así el valor 0/a es el límite del decremento
de un quebrado, cuyo numerador es variable x/a; porque, suponiendo que
x va menguando continuamente, el quebrado se acercará á la expresion
0/a, sin que jamás pueda llegar á confundirse con ella, mientras la
cantidad x no se desvanezca del todo. Si suponemos (b+x)/a donde la x
vaya decreciendo, la expresion se acercará continuamente á esta otra
(b+0)/a = b/a, la cual será el límite del quebrado. Suponiendo la
expresion a/x y que x va menguando, nos acercaremos continuamente a la
expresion a/0 = [oo], valor infinito á que el quebrado no llegará
nunca mientras x no se convierta en 0, lo que jamás podrá verificarse,
habiendo de ser x una verdadera cantidad. Con estos ejemplos se ve por
qué los matemáticos admiten límites finitos, infinitos, y nulos.
Además se manifiesta tambien como en estos casos se toma la palabra
límite, en un sentido diferente del vulgar, que es tambien el
filosófico.
[28.] Límite pues, expresa una verdadera negacion; y así la palabra
finito ó limitado envuelve por necesidad una negacion. No se limita lo
que no es; por consiguiente, lo finito no puede ser una negacion
absoluta. Esta seria la nada, y la nada no se llama finita. Luego en
la idea de finito entran dos: 1.º ser, 2.º negacion de otro ser. Una
línea de un pié envuelve dos cosas: el valor positivo de un pié, y la
negacion de todos los otros valores fuera del de un pié. Luego lo
finito en cuanto finito, envuelve una negacion referida á un ser. Si
pudiésemos expresar en abstracto esta idea usando del término finidad,
así como tenemos el de infinidad, diríamos que la finidad en sí, nada
expresa, sino la negacion de ser referida á un ser.
[29.] De esto se infiere que la palabra infinito no es negativa; pues
que con ella se niega una negacion; infinito es lo no finito, esto es
lo que no tiene carencia de ser; y por consiguiente lo que posee todo
el ser.
[30.] Tenemos pues alguna idea de lo infinito, y esta no es una pura
negacion; sin embargo no se crea que con esto hemos llegado al último
término del análisis de la idea de lo infinito. Mucho nos falta que
andar, y despues de largas investigaciones es dudoso que obtengamos un
resultado satisfactorio.
CAPÍTULO V.
CONSIDERACIONES SOBRE LA APLICACION DE LA IDEA DE LO INFINITO Á LA CANTIDAD
CONTINUA, Y Á LA DISCRETA EN CUANTO SE EXPRESA EN SERIES.
[31.] Una de las propiedades características de la idea de lo infinito
es su aplicacion á órdenes muy diferentes. Esto da lugar á importantes
consideraciones que contribuyen no poco á la aclaracion de dicha idea.
[32.] Desde el punto en que me encuentro, tiro una línea en la
direccion del norte, y es evidente que puedo prolongarla hasta lo
infinito. Dicha línea es mayor que otra cualquiera finita; ninguna de
estas puede ser tan larga como ella; porque siendo finita, tendrá un
valor determinado, por lo cual si la superpongo á la infinita, solo
llegará hasta un cierto punto, y no pasará de allí. Parece pues que
esta línea es infinita en toda la propiedad de la palabra; porque no
habiendo medio entre lo finito é infinito, y no siendo ella finita
pues que acabamos de demostrar que es mayor que todas las finitas,
habrá de ser infinita.
La demostracion anterior parece que nada deja que desear; no obstante,
hay tambien en contra de la infinidad de dicha línea una razon
concluyente. Lo infinito carece de límites, y esta línea los tiene,
pues que partiendo del punto desde el cual se la tira, hácia el norte,
no se extiende en la direccion del sud.
[33.] Esta línea es mayor que todas las finitas; pero es dable
encontrar otra mayor que ella. Si la suponemos prolongada en la
direccion del sud, la que resulte de ella mas la prolongacion, será
mas larga; y si en la direccion del sud se la prolonga hasta lo
infinito, el resultado será una línea doble de la primera.
[34.] Con la prolongacion de una línea hasta lo infinito en las dos
direcciones opuestas, parece que resulta una línea absolutamente
infinita. A primera vista no se concibe que pueda haber un valor
lineal mayor que el de una recta prolongada hasta lo infinito, en
direcciones opuestas; sin embargo no es así; y considerando que al
lado de esta recta se pueda tirar otra, finita ó infinita, y que la
suma de las dos formará un valor lineal mayor que la primera, tenemos
que esta no era infinita; puesto que es dable encontrar otras mayores
que ella. Y como por otra parte es evidente que se pueden tirar
infinitas líneas prolongadas hasta lo infinito, resulta que ninguna de
ellas forma un valor lineal infinito, puesto que no es mas que una
parte de la suma lineal que resulta del conjunto de las líneas que se
pueden tirar.
[35.] Reflexionando sobre esta contradiccion que parece encontrarse en
nuestras ideas, se descubre que la idea de infinito es indeterminada,
y por tanto susceptible de aplicaciones diferentes. Así en el caso que
nos ocupa, no puede dudarse de que la recta prolongada hasta lo
infinito tiene alguna infinidad, pues que es cierto que carece de
límite en sus respectivas direcciones.
[36.] Este ejemplo hace conjeturar que la idea de infinito no nos
representa nada absoluto; pues que aun en los objetos que mas claros
se ofrecen á nuestro espíritu, cuales son los de la intuicion
sensible, encontramos bajo un aspecto la infinidad, que por otro vemos
contrariada.
[37.] Lo que hemos observado en los valores lineales, se extiende
tambien á los numéricos expresados en series. En las matemáticas se
habla de las series infinitas; pero si bien se reflexiona no hay
ninguna que merezca este nombre. Sea la serie a, b, c, d, e,.... se la
llamará infinita, si sus términos continúan hasta lo infinito. No
puede negarse que hay infinidad bajo un aspecto, porque falta el
límite que ponga fin á la serie en un sentido; pero es evidente que el
número de sus términos no será jamás infinito, pues que hay otros
mayores; cual seria por ejemplo, si al continuar la serie de izquierda
á derecha la continuásemos al mismo tiempo de derecha á izquierda en
esta forma
...., e, d, c, b | a, b, c, d, e,....
en cuyo caso es evidente que el número de los términos seria duplo del
primero.
Luego las series llamadas infinitas no lo son ni pueden serlo,
hablando con rigor.
[38.] Pero lo curioso es que la infinidad no se encuentra en la serie,
ni aun suponiéndola prolongada en direcciones opuestas; porque si á su
lado imaginamos otra, es evidente que la suma de los términos de las
dos, será mayor que la de una de ellas; de donde resultará que ninguna
será infinita. Y como es evidente que sean cuales fueren las series,
siempre se pueden imaginar otras, resulta demostrado que no puede
haber una serie infinita en el sentido que los matemáticos toman la
palabra serie; esto es, por una continuacion de términos; no
excluyendo la posibilidad de otras continuaciones, á mas de la
supuesta infinita.
[39.] Las dificultades contra la infinidad lineal, se extienden á la
de superficie. Suponiendo un plano infinito, es evidente que se pueden
tirar infinitos planos distintos del primero, y que le corten en
infinita variedad de ángulos: la suma de estas superficies será mayor
que una cualquiera de ellas. Luego la prolongacion infinita de un
plano en todas direcciones, no constituye una verdadera superficie
infinita.
[40.] Un sólido dilatado en todas direcciones parece infinito; pero si
se reflexiona que en la idea matemática del sólido no entra la de
impenetrabilidad; se verá que dentro de un sólido infinito, se puede
colocar otro, cuyo volúmen sumado con el del primero, dará un valor
duplo de este. Sea E un espacio puro y vacío, que imaginaremos
infinito; sea M, un mundo de igual extension que se coloca en él, y le
llena; es evidente que E+M, será mayor que E. Luego aunque supongamos
á E infinito igual á [oo]; tendremos que siendo M tambien igual á
[oo], resultará E+M = [oo] + [oo] = 2 [oo]. Y como este valor expresa
el volúmen; el primero no será infinito, porque se puede duplicar. Si
se prescinde de la impenetrabilidad, la operacion puede repetirse
hasta lo infinito; luego, el primer infinito, lejos de merecer este
nombre parece una cantidad susceptible de incrementos infinitos.
CAPÍTULO VI.
ORÍGEN DE LA VAGUEDAD Y APARENTES CONTRADICCIONES EN LA APLICACION DE
LA IDEA DE LO INFINITO.
[41.] Las dificultades que se ofrecen al aplicar la idea de la
infinidad, parecen probar que dicha idea ó no existe para nosotros, ó
es muy confusa; pero estas mismas dificultades tambien indican por
otra parte, que la poseemos, y muy perfecta. ¿Por qué descubrimos que
no son infinitos los números que á primera vista nos lo parecian? ¿por
qué negamos la infinidad de ciertas dimensiones, no obstante su
infinita prolongacion en un sentido? porque examinando bien dichos
objetos, hallamos que no corresponden al tipo de la infinidad. Si este
tipo no existiera en nuestro entendimiento ¿cómo seria posible que nos
sirviésemos de él? ¿Cómo podríamos compararle los seres, si él nos
fuese desconocido? ¿Es posible saber cuándo una cosa llega á un
extremo, si no tenemos idea del extremo? Esto equivaldria á comparar
sin punto de comparacion, es decir, á ejercer un acto contradictorio.
[42.] A pesar de estas razones que parecen concluyentes en favor de la
existencia de la idea de lo infinito, si interrogamos nuestro interior
no podemos negar que experimentamos cierta vaguedad, cierta confusion,
que inspira vehementes dudas sobre la realidad de esta idea. ¿Qué se
le ofrece á nuestro espíritu al pensar en lo infinito? la imaginacion
abandonada á sí misma, extiende el espacio, agranda las dimensiones de
cuanto le ocurre, multiplica indefinidamente los números, pero sin
ofrecer á la inteligencia nada con el carácter de infinito. Si
prescindimos de la imaginacion, y nos referimos al entendimiento puro,
aunque descubrimos en él un tipo para juzgar de la infinidad ó no
infinidad de los objetos que se le presentan, al reflexionar sobre el
tipo en sí, perdemos la claridad que antes nos iluminaba, y hasta nos
quedamos perplejos sobre la existencia del mismo.
[43.] ¿Negaremos la existencia de dicha idea? ¿abandonaremos el
intento de explicarla? creo que no debemos hacer ni uno ni otro, que
es preciso admitirla, que no es imposible explicarla, y que hasta se
puede señalar la razon de la oscuridad que en ella encontramos.
[44.] Ante todo conviene advertir que una de las causas de la
confusion en que andan envueltas las discusiones sobre la idea de lo
infinito, nace de que no se hace distincion entre el conocimiento
intuitivo y el abstracto (Lib. V, cap, XI). Si se hubiese atendido á
esta distincion, se hubieran evitado muchas dificultades. Con decir
que la idea de lo infinito no es intuitiva sino abstracta, se prepara
la solucion á las principales objeciones que contra ella se dirigen.
[45.] La idea de infinidad no es para nosotros intuitiva: esto es, no
ofrece á nuestro entendimiento un objeto infinito; esa intuicion no
puede verificarse mientras no veamos la misma esencia de Dios, como
sucederá en la otra vida.
[46.] Si tuviésemos ahora la intuicion de un objeto infinito, veríamos
sus perfecciones infinitas, tales como son, con sus propios
caractéres; ó mas bien, veríamos como todas las perfecciones,
dispersas en los seres limitados, se reunen en una sola perfeccion
infinita. Cuando quisiésemos referir la idea de lo infinito á objetos
determinados, por ejemplo á la extension, veríamos que estos objetos
se hallan en contradiccion con la idea; no nos seria dable modificarla
de varias maneras, aplicarla primero en un sentido y luego en otro muy
diferente: la idea única, simplicísima se referiria siempre á un
objeto único, simplicísimo; y este nó indeterminado, nó vago, como
ahora, sino con la determinacion de una existencia necesaria y de una
perfeccion infinita. El ser infinito nos seria dado en intuicion, como
se nos dan los hechos de nuestra propia conciencia: el conocimiento
que de él tendríamos seria de un objeto eminentemente incomunicable
como predicado, á cualquier órden de cosas finitas; y cuando se nos
preguntase si la idea de esa infinidad es aplicable á un número ó á
una extension, veríamos una contradiccion tan manifiesta como si nos
propusiéramos identificar un acto de nuestra conciencia con los
objetos externos.
[47.] La indeterminacion que nos ofrece la idea de infinidad; la
facilidad que experimentamos para modificarla de varias maneras y
aplicarla á objetos diversos, en sentidos muy diferentes; nos está
indicando que no es intuitiva sino abstracta é indeterminada: que es
uno de aquellos conceptos generales que nos sirven para tener algun
conocimiento de las cosas cuya intuicion no se nos ha concedido.
Esta observacion hasta para señalar el orígen de la vaguedad que
experimentamos en la idea de lo infinito. Como los conceptos
indeterminados, por lo mismo que son indeterminados, no se refieren á
ningun objeto en particular, ni á ninguna propiedad, que por sí sola
sea concebida como realizable, no encierran aquellas determinaciones
que fijan de una manera absoluta nuestro conocimiento. La misma
indeterminacion con que ofrecen alguna propiedad de los seres, da
motivo á la diversidad de las aplicaciones, segun son diversas las
propiedades particulares que se combinan con la general. Si se nos da
un triángulo rectángulo, conociendo la medida de todas sus líneas y de
sus ángulos agudos, la determinacion de la idea evita la vaguedad
intelectual, y no permite la aplicacion á diversos casos de lo que de
suyo es determinado y fijo; pero si se nos da un triángulo rectángulo
en general, sin determinársenos el valor de sus líneas y de sus
ángulos agudos, las aplicaciones pueden ser infinitas. A medida que la
idea del triángulo vaya siendo mas general é indeterminada, se
aumentará la variedad de sus aplicaciones.
[48.] Las ideas indeterminadas, para representar algo, necesitan una
propiedad á la cual se apliquen, y que sea como la condicion bajo la
cual se realicen ó se puedan realizar; hasta que dicha aplicacion se
verifica, son formas intelectuales puras, á las cuales no se puede
pedir la representacion de nada determinado. Y no quiero decir con
esto que dichas ideas sean conceptos vacíos, é inaplicables fuera del
órden sensible, como pretende Kant cuya opinion llevo ya impugnada
(Lib. V, cap. XIV, XV y XVI); sino que concediéndoles un valor
universal, les niego el que por sí solos tengan un valor
representativo de algo realizable, sin mas propiedad que lo que ellos
expresan. Ateniéndonos al mismo ejemplo podemos observar, que la idea
_pura_ de triángulo es irrealizable; porque todo triángulo _real_,
contendrá algo mas que lo contenido en la idea; pues que será
rectángulo ú oblicuángulo, etc. etc. de todo lo cual prescinde la idea
pura. Si las notas encerradas en el concepto van siendo mas
indeterminadas, la indeterminacion del objeto será mayor; y por
consiguiente mas vago será lo que se ofrezca al entendimiento, y mas
numerosas y variadas las aplicaciones que se podrán hacer de la idea.
Así sucede en las de ser, no ser, límite, y otras semejantes.
CAPÍTULO VII.
EXPLICACION FUNDAMENTAL DE LA IDEA ABSTRACTA DE LO INFINITO.
[49.] Supuesto que nuestra idea de lo infinito no es intuitiva, sino
abstracta, veamos cómo se puede explicar su verdadera naturaleza.
Tenemos idea del ser y de su opuesto el no ser: consideradas en sí
mismas, son ideas generales puras, sumamente indeterminadas,
aplicables á cuanto se somete á nuestra experiencia.
De todo ser limitado podemos afirmar y negar algo: afirmar lo que es;
negar lo que no es; el límite como tal, no se concibe sino cuando se
niega una cosa de otra.
[50.] Nuestro ser nos ofrece una actividad nunca agotada, pero siempre
limitada, por la falta ó la resistencia de los objetos; el mundo
externo es un conjunto de seres que se nos ofrece con mucha variedad
de limitaciones.
Luego la experiencia tanto interna como externa nos da idea de lo
finito, esto es, de un ser que envuelve algun no ser: el bruto siente,
mas no entiende: _es_ sensitivo, hé aquí el ser; _no es_ inteligente,
hé aquí el límite. El hombre es sensitivo é inteligente; el límite del
bruto no es el del hombre. Entre los seres inteligentes, el uno
entiende mas cosas que otro; el límite de este no es el límite de
aquel.
[51.] Encontrando límite en la experiencia interna y externa, es
evidente que podemos formarnos la idea general de límite, esto es, de
una negacion aplicada á un objeto.
[52.] La misma experiencia nos enseña que los límites de unas cosas no
son los de otras; que tal límite aplicado á un objeto debe ser negado
de otro; comparando los seres entre sí, nos hallamos frecuentemente en
el caso de _negar ciertos_ límites. Como nuestro entendimiento tiene
la fuerza de generalizar, es evidente que la negacion de _ciertos_
límites que encontramos aplicable á muchos objetos, podemos concebirla
en general, teniendo un concepto indeterminado en que se incluyan
estas dos ideas _negacion_ y _límite_.
[53.] No veo que se pueda objetar nada á la posibilidad y existencia
de este concepto: sin embargo como necesito de este hecho para
explicar la idea de infinidad, voy á robustecerle con algunas
observaciones.
Tenemos alguna idea de la negacion en general; este es un hecho
primitivo de nuestro espíritu; sin él no son posibles los juicios
negativos, ni nos seria dado conocer el principio de contradiccion: es
imposible que una cosa _sea y no sea_ á un mismo tiempo: _no sea_, hé
aquí la negacion; luego es indudable que la concebimos. Este concepto
es general, pues no encierra ninguna determinacion: se habla del no
ser sin referirse á ningun objeto particular, ni siquiera á una
especie ó género que contenga alguna determinacion; luego el concepto
de la negacion es general y absolutamente indeterminado.
[54.] Tenemos idea de límite; porque como hemos visto ya, es una
negacion aplicada á un ser. Tenemos además la idea de negacion de
límite, porque así como le concebimos aplicado ó aplicable, podemos
concebirle y le concebimos en efecto, no aplicado ó no aplicable. A
cada paso negamos límites determinados: generalizando esta idea,
resulta la negacion general de límite en general.
[55.] Con las observaciones que preceden podemos señalar lo que se
contiene en la idea de lo infinito. En mi juicio esta idea es un
concepto general que envuelve los dos siguientes: 1.º ser en general;
2.º negacion de límite, tambien en general. La reunion de estos dos
conceptos constituye la idea abstracta de lo infinito.
[56.] El concepto de límite generalizado y negado, nos da alguna idea
de la infinidad en abstracto, pero nó idea de una cosa infinita. Sin
conocer intuitivamente un objeto infinito, y solo alcanzando á
formarnos idea muy imperfecta de él, podemos hablar de la infinidad,
sin caer en contradiccion, determinando los casos en que se halla
aplicada á un ser, ó á un órden de seres, real ó posible. Si bien se
observa, el hombre tiene muchas ideas de este género vago; pero que no
obstante le sirven para cuanto necesita. Hagámoslo sensible con
algunas aplicaciones.
[57.] Se le muestran á un ignorante algunos sabios, y se le asegura
que uno entre ellos sabe mas que todos los otros juntos. El pobre
ignorante no tiene ninguna idea de lo que sabe el que mas ni el que
menos, ni del grado de la ciencia, ni de la ciencia misma, pero tiene
en general las ideas de grado, de mas y de menos, así como la de
conocimiento; pues bien, esto le basta para hablar sin contradecirse,
ni confundirse, de la mayor ciencia del uno y de la menor ciencia de
los otros, y aun para resolver con acierto las cuestiones que se le
ofrezcan sobre la ciencia de aquellos individuos, en cuanto se hallan
contenidas en la idea general de que la ciencia de uno es mayor que la
de todos los otros juntos.
Otro ejemplo. Un dependiente de un establecimiento donde se hallen
reunidos los mas bellos producto del arte, puede hablar de todos ellos
sin confundirse ni contradecirse, aun cuando sea incapaz de conocer su
mérito, é ignore absolutamente las circunstancias que constituyen la
belleza de los objetos. Le bastará tener idea de perfeccion ó belleza
en general, y vincular con ciertos signos arbitrarios los grados de
perfeccion ó belleza de los objetos, para que pueda designarlos á los
concurrentes, y ponderar la mayor habilidad de un artista, la menor
felicidad de otro, el atinado acierto de aquel, los desaciertos de
este, el mayor valor de las obras del primero, la inferioridad de las
del segundo, y formar otros pensamientos por este tenor que á primera
vista pudieran hacernos creer que el dependiente es un artista
consumado, ó cuando menos un aficionado de grande inteligencia y de
gusto exquisito.
[58.] Fácil seria manifestar con otros ejemplos la fecundidad de
ciertas ideas generales, y cómo se prestan á innumerables
combinaciones, sin que por ellas conciba el entendimiento nada
determinado. Hé aquí precisamente lo que nos sucede con la idea de lo
infinito: en vano nos preguntamos qué es lo que corresponde á ella en
nuestro interior: el concepto de ser en general y de negacion de
límite, nada nos presentan fijo, sino ciertas condiciones abstractas á
que vamos sometiendo los objetos, á medida que se ofrecen á nuestra
intuicion, ó que por lo menos se nos presentan con algunas propiedades
que los caractericen, permitiéndonos formar una idea menos vaga de la
negacion del límite.
CAPÍTULO VIII.
SE COMPRUEBA CON APLICACIONES Á LA EXTENSION, LA DEFINICION DE LA
INFINIDAD.
[59.] Hemos explicado la idea de infinidad en general, por los
conceptos indeterminados de ser y negacion de límite. Para
cerciorarnos de que la explicacion es fundada, y de que se han
señalado los caractéres constitutivos del concepto, veamos si sus
aplicaciones á objetos determinados corresponden á lo que se ha
establecido en general.
Si la idea de infinidad consiste en lo que se ha dicho, se verificará
que será susceptible de aplicarse á todos los objetos de la intuicion
sensible ó del entendimiento puro, obteniéndose los resultados que
deben obtenerse, inclusas las anomalías que anteriormente se han hecho
notar (Cap. V).
[60.] Las anomalías, ó mas bien contradicciones, que parecen
encontrarse en las aplicaciones de la idea de infinidad, ofreciéndose
como infinita una cosa que luego se descubre no serlo, se originan de
que se aplica dicha idea bajo condiciones diferentes. Esta variedad no
seria posible, si la idea representase algo determinado; pero como
solo contiene la negacion de límite en general, unida á un ser tambien
en general, resulta que esta negacion la sometemos en cada caso á
condiciones particulares, y así sucede que cuando pasamos á otras
condiciones, la idea general no puede darnos el mismo resultado.
[61.] Una línea tirada desde el punto en que nos encontramos, en
direccion del norte y prolongada hasta lo infinito, nos ha resultado
infinita y no infinita (Cap. V). Esta contradiccion solo es aparente:
en la realidad no hay mas que el diferente resultado á que debe
conducir la idea general por la condicion bajo la que se le aplica.
Cuando consideramos una línea prolongada hasta lo infinito en la
direccion del norte, no aplicamos la idea de infinito á un valor
lineal en abstracto, sino á una recta que parte de un punto y
prolongada solo en una direccion: el resultado es el que debe ser; se
afirma la negacion del límite bajo una condicion; el infinito resulta
sujeto á la misma condicion. Se dirá que no hay medio entre el sí y el
nó, y por consiguiente entre lo infinito y no infinito; pero no es
difícil soltar la dificultad observando que el sí y el nó para ser
contradictorios, se han de referir á una misma cosa, lo que no sucede
cuando se han cambiado las condiciones del objeto.
[62.] Si en vez de suponer una prolongacion sola, hubiésemos tratado
de aplicar la negacion de límite á una recta en general, es evidente
que debiéramos haberla prolongado en los dos sentidos opuestos;
entonces nos resultaba un nuevo infinito con arreglo á la nueva
condicion.
Ya hemos visto (Cap. V) que ni aun en este caso teníamos un valor
lineal infinito en todo rigor; pues que esta recta solo formaba parte
de la suma de otras que se podian imaginar. ¿Qué diremos pues de ella?
¿será infinita ó nó? ambas cosas se pueden decir haciendo la
distincion debida. Será infinita, esto es, tendremos la idea de
infinidad ó negacion de límite, aplicada con todo rigor á una linea
recta _sola_; pero si en vez de tratar de _una recta sola_ se trata de
un _valor lineal_, sin ninguna condicion, la línea supuesta no será
infinita; la negacion de límite no está aplicada bajo aquella
condicion; el resultado pues será diferente, dejará de ser infinito.
[63.] Considerando dos líneas solas se puede hacer notar la misma
anomalía. Supóngase una recta prolongada en los dos sentidos hasta lo
infinito, y descríbase á su lado una curva que en undulaciones
continuas se vaya prolongando hasta lo infinito en direccion paralela
á la recta. Serán ambas infinitas segun como se las considere. Si se
atiende solo á su direccion, prescindiendo del valor lineal que
encierran, ambas son infinitas; pero si se atiende á este, la curva es
mas larga que la recta porque es evidente que tomando una parte de la
curva correspondiente á una parte de la recta y extendiendo ó
rectificando la de la curva, resultará mayor que la de la recta; y
como esto se puede hacer en toda la prolongacion de las líneas
tendremos que el valor lineal de la curva será mayor que el de la
recta en proporcion á la ley de sus undulaciones.
[64.] Por esta doctrina se echa de ver como la idea de infinidad puede
aplicarse bajo diferentes condiciones, y producir diferentes
resultados, sin ninguna contradiccion. Lo que es infinito bajo un
aspecto, no lo es bajo otro; y de aquí procede lo que se llama
_órdenes de infinitos_, y que tanto figuran en las matemáticas; pero
repito que estas contradicciones no son susceptibles de explicacion si
se atribuye á la idea de infinito un valor absoluto y no se le
considera como la representacion abstracta de negacion de límite.
[65.] ¿Es posible concebir en una línea recta ó curva, una longitud
infinita absolutamente hablando, ó sea un valor lineal, al cual se
aplique absolutamente la negacion de límite? creo que nó: porque sea
cual fuere la línea que consideremos, siempre se podrán tirar otras
cuyo valor sumado con el de la primera, será mayor que el de esta
sola. Hé aquí un caso en que hallamos contradiccion entre la negacion
de límite y la condicion á la cual se la quiere someter. Se exige un
valor lineal al cual se aplique absolutamente la negacion de límite; y
por otra parte se exige que este valor lineal se presente en una línea
determinada, la cual por el hecho de ser determinada excluye la
negacion absoluta de límite: se ponen en el problema datos
contradictorios, el resultado ha de ser pues una contradiccion.
[66.] ¿Qué deberemos suponer para concebir un valor lineal
absolutamente infinito? bastará no suponer ninguna condicion que
excluya la negacion absoluta de límite. Aquí es menester distinguir
entre el concepto puro, y la intuicion sensible en que se exprese. El
concepto de un valor lineal infinito existe, desde el momento que
unimos las dos ideas generales: valor lineal y negacion de límite. La
intuicion sensible en que pueda representarse dicho concepto no es tan
fácil excogitarla, ni aun en general. Para llegar á ella en algun
modo, es preciso que imaginemos un espacio sin ningun límite; y que
entonces considerando en general todas las líneas que en él se pueden
tirar rectas ó curvas, en todas direcciones, y bajo todas las
condiciones posibles, tomemos la suma de todos estos valores lineales:
el resultado será un valor lineal absolutamente infinito, porque le
habremos aplicado la negacion de límite sin ninguna restriccion.
[67.] Del mismo modo podremos obtener un valor de superficie infinito;
porque es evidente que se le puede aplicar todo cuanto hemos dicho de
los valores lineales.
[68.] Es de notar que en todos estos casos aplicamos la negacion de
límite á la extension considerada únicamente en algunas de sus
dimensiones. Si queremos obtener una extension infinita absoluta, es
necesario que no prescindamos de ninguna dimension; por manera que el
infinito absoluto de este órden es la extension en todas sus
dimensiones, negando absolutamente el límite. Pero tambien es de notar
que aun para obtener un valor de líneas ó de superficies,
absolutamente infinito, necesitamos ya presuponer el valor de
extension absolutamente infinito; pues á esto equivale el suponer el
espacio infinito en que se puedan tirar las líneas y las superficies
en todas las direcciones, y bajo todas las condiciones posibles.
CAPÍTULO IX.
CONCEPTO DE UN NÚMERO INFINITO.
[69.] ¿Concebimos nosotros un número infinito? Por una parte parece
que nó, pues que dudamos de su posibilidad; duda que no existiria, si
tuviéramos su idea. Por otro lado parece que sí, pues que conocemos
desde luego cuándo un número no es infinito; lo que no sucederia, si
no tuviésemos idea de número infinito.
Lo que hemos demostrado con respecto á la infinidad de las series
(Cap. V), parece indicar que la idea del número infinito es una
ilusion, puesto que números que habíamos creido infinitos, se nos
presentan luego como no infinitos.