erstlich eine Regel, ein Maaß äußerlich gegen das bloße Quantum;
zweitens specifische Quantität, welche das äußerliche Quantum bestimmt;
drittens verhalten sich beide Seiten als Qualitäten von specifischer
Quantitätsbestimmtheit gegeneinander, als Ein Maaß.
a. Die Regel.
Die Regel oder der Maaßstab, von dem schon gesprochen worden, ist
zunächst als eine an sich bestimmte Größe, welche Einheit gegen ein
Quantum ist, das eine besondere Existenz ist, an einem andern Etwas,
als das Etwas der Regel ist, existirt,—an ihr gemessen, d. i. als
Anzahl jener Einheit bestimmt wird. Diese Vergleichung ist ein
äußerliches Thun, jene Einheit selbst eine willkürliche Größe, die
ebenso wieder als Anzahl (der Fuß als eine Anzahl von Zollen) gesetzt
werden kann. Aber das Maaß ist nicht nur äußerliche Regel, sondern als
specifisches ist es dieß, sich an sich selbst zu seinem Andern zu
verhalten, das ein Quantum ist.
b. Das specificirende Maaß.
Das Maaß ist specifisches Bestimmen der äußerlichen Größe, d. i. der
gleichgültigen, die nun voi einer andern Existenz überhaupt an dem
Etwas des Maaßes gesetzt wird, welches zwar selbst Quantum, aber im
Unterschiede von solchem das Qualitative, bestimmend das bloß
gleichgültige, äußerliche Quantum, ist. Das Etwas hat diese Seite des
Seyns-für-Anderes an ihm, der das gleichgültige Vermehrt- und
Vermindertwerden, zukommt. Jenes immanente Messende ist eine Qualität
des Etwas, dem dieselbe Qualität all einem andern Etwas gegenübersteht;
aber an diesem zunächst relativ mit maaßlosem Quantum überhaupt gegen
jene, die als messend bestimmt ist.
An Etwas, insofern es ein Maaß in sich ist, kommt äußerlich eine
Veränderung der Größe seiner Qualität; es nimmt davon nicht die
arithmetische Menge an. Sein Maaß reagirt dagegen, verhält sich als ein
Intensives gegen die Menge, und nimmt sie auf eine eigenthümliche Weise
auf; es verändert die äußerlich gesetzte Veränderung, macht aus diesem
Quantum ein Anderes, und zeigt sich durch diese Specifikation als
Fürsichseyn in dieser Äußerlichkeit.—Diese specifisch-aufgenommene
Menge ist selbst ein Quantum, auch abhängig von der andern oder ihr als
nur äußerlichen Menge. Die specificirte Menge ist daher auch
veränderlich, aber darum nicht ein Quantum als solches, sondern das
äußere Quantum als auf eine konstante Weise specificirt. Das Maaß hat
so sein Daseyn als ein Verhältniß, und das Specifische desselben ist
überhaupt der Exponent dieses Verhältnisses.
Im intensiven und extensiven Quantum ist es, wie sich bei diesen
Bestimmungen ergab, dasselbe Quantum, welches das einemal in der Form
der Intensität, das anderemal in der Form der Extensität vorhanden ist.
Das zu Grunde liegende Quantum erleidet in diesem Unterschiede keine
Veränderung, dieser ist nur eine äußere Form. In dem specificirenden
Maaße hingegen ist das Quantum das eine Mal in seiner unmittelbaren
Größe, das andere Mal aber wird es durch den Verhältnisexponenten in
einer andern Anzahl genommen.
Der Exponent, der das Specifische ausmacht, kann zunächst ein fixes
Quantum zu seyn scheinen, als Quotient des Verhältnisses zwischen dem
äußerlichen und dem qualitativ bestimmten. Aber so wäre er nichts als
ein äußerliches Quantum; es ist unter dem Exponenten hier nichts
Anderes als das Moment des Qualitativen selbst zu verstehen, welches
das Quantum als solches specificirt. Das eigentlich immanente
Qualitative des Quantums ist, wie sich früher ergeben hat, nur die
Potenz-Bestimmung. Eine solche muß es seyn, welche das Verhältniß
konstituirt, und die hier als die an sich seyende Bestimmung dem
Quantum als der äußerlichen Beschaffenheit gegenübergetreten ist.
Dieses hat zu seinem Princip das numerische Eins, das dessen
An-sich-Bestimmtseyn ausmacht; und die Beziehung des numerischen Eins
ist die äußerliche und die nur durch die Natur des unmittelbaren
Quantums als solchen bestimmte Veränderung besteht für sich in dem
Hinzutreten eines solchen numerischen Eins und wieder eines solchen und
so fort. Wenn so das äußerliche Quantum in arithmetischer Progression
sich verändert, so bringt die specificirende Reaktion der qualitativen
Natur des Maaßes eine andere Reihe hervor, welche sich auf die erste
bezieht, init ihr zu- und abnimmt, aber nicht in einem durch einen
Zahlexponenten bestimmten, sondern einer Zahl inkommensurabeln
Verhältnisse, nach einer Potenzenbestimmung.
Anmerkung.
Um ein Beispiel anzuführen, so ist die Temperatur eine Qualität, an der
diese beiden Seiten, äußerliches und specificirtes Quantum zu seyn,
sich unterscheiden. Als Quantum ist sie äußerliche Temperatur und zwar
auch eines Körpers als allgemeinen Mediums, von der angenommen wird,
daß ihre Veränderung an der Skale der arithmetischen Progression
fortgehe und daß sie gleichförmig zuoder abnehme, wogegen sie von den
verschiedenen in ihr befindlichen besondern Körpern verschieden
aufgenommen wird, indem dieselben durch ihr immanentes Maaß die
äußerlich empfangene Temperatur bestimmen, die Temperatur-Veränderung
derselben nicht der des Mediums oder ihrer untereinander im direkten
Verhältnisse entspricht. Verschiedene Körper in einer und derselben
Temperatur verglichen, geben Verhältnißzahlen ihrer specifischen
Wärmen, ihrer Wärme-Kapacitäten. Aber diese Kapacitäten der Körper
ändern sich in verschiedenen Temperaturen, womit das Eintreten einer
Veränderung der specifischen Gestalt sich verbindet. In der Vermehrung
oder Verminderung der Temperatur zeigt sich somit eine besondere
Specifikation. Das Verhältniß der Temperatur, die als äußerliche
vorgestellt wird, zur Temperatur eines bestimmten Körpers, die zugleich
von jener abhängig ist, hat nicht einen festen Verhältnissexponenten;
die Vermehrung oder Verminderung dieser Wärme geht nicht gleichförmig
mit der Zu- und Abnahme der äußerlichen fort.—Es wird hierbei eine
Temperatur als äußerlich überhaupt angenommen, deren Veränderung bloß
äußerlich oder rein quantitativ sey. Sie ist jedoch selbst Temperatur
der Luft oder sonst specifische Temperatur. Näher betrachtet würde
daher das Verhältniß eigentlich nicht als Verhältniß von einem bloß
quantitativen zu einem qualificirenden, sondern von zwei specifischen
Quantis zu nehmen seyn. Wie sich das specificirende Verhältniß gleich
weiter bestimmen wird, daß die Momente des Maaßes nicht nur in einer
quantitativen und einer das Quantum qualificirenden Seite einer und
derselben Qualität bestehen, sondern im Verhältnisse zweier Qualitäten,
welche an ihnen selbst Maaße sind.
c. Verhältniß beider Seiten als Qualitäten.
l. Die qualitative, an sich bestimmte Seite des Quantums ist nur als
Beziehung auf das äußerlich Quantitative; als Specificiren desselben
ist sie das Aufheben seiner Äußerlichkeit, durch welche das Quantum als
solches ist; sie hat so dasselbe zu ihrer Voraussetzung und fängt von
ihm an. Dieses aber ist von der Qualität selbst auch qualitativ
unterschieden; dieser Unterschied beider ist in der Unmittelbarkeit des
Seyns überhaupt, in welcher das Maaß noch ist, zu setzen, so sind beide
Seiten qualitativ gegeneinander, und jede für sich ein solches Daseyn;
und das eine zunächst nur als formelle, an ihm unbestimmte Quantum ist
das Quantum eines Etwas und seiner Qualität, und wie sich deren
Beziehung auf einander nun zum Maaße überhaupt bestimmt hat,
gleichfalls die specifische Größe dieser Qualitäten. Diese Qualitäten
sind nach der Maaßbestimmung im Verhältniß zu einander; diese ist ihr
Exponent, sie sind aber an sich schon im Fürsichseyn des Maaßes
aufeinander bezogen, das Quantum ist in seinem Doppelseyn als
äußerliches und specifisches, so daß jede der unterschiedenen
Quantitäten diese zweifache Bestimmung an ihr hat und zugleich
schlechthin mit der andern verschränkt ist; eben darin allein sind die
Qualitäten bestimmt. Sie sind so nicht nur für einander seyendes Daseyn
überhaupt, sondern untrennbar gesetzt; und die an sie geknüpfte
Größebestimmtheit ist eine qualitative Einheit,—Eine Maaßbestimmung, in
der sie ihrem Begriffe nach, an sich zusammenhängen. Das Maaß ist so
das immanente quantitative Verhalten zweier Qualitäten zu einander.
2. Im Maaß tritt die wesentliche Bestimmung der veränderlichen Größe
ein, denn es ist das Quantum als aufgehoben, also nicht mehr als das,
was es seyn soll uni Quantum zu seyn, sondern als Quantum und zugleich
als etwas Anderes; dieß Andere ist das Qualitative, und wie bestimmt
worden, nichts anderes als das Potenzenverhältniß desselben. Im
unmittelbaren Maaße ist diese Veränderung noch nicht gesetzt; es ist
nur irgend und zwar ein einzelns Quantum überhaupt, an das eine
Qualität geknüpft ist. Im Specificiren des Maaßes, der vorhergehenden
Bestimmung, als einer Veränderung des bloß äußerlichen Quantums durch
das Qualitative ist Unterschiedenheit beider Größebestimmtheiten und
damit überhaupt die Mehrheit voll Maaßen an einem gemeinschaftlichen
äußerlichen Quantum gesetzt; das Quantum zeigt sich erst als daseyendes
Maaß in solcher Unterschiedenheit seiner von sich selbst, indem es, ein
und dasselbe (z.B. dieselbe Temperatur des Mediums), zugleich als
verschiedenes und zwar quantitatives Daseyn (—in den verschiedenen
Temperaturen der in jenem befindlichen Körper) hervortritt. Diese
Unterschiedenheit des Quantums in den verschiedenen Qualitäten—den
verschiedenen Körpern, —giebt eine weitere, diejenige Form des Maaßes,
in welcher beide Seiten als qualitativ bestimmte Quanta sich zu
einander verhalten, was das realisirte Maaß genannt werden kann.
Die Größe ist als eine Größe überhaupt veränderlich, denn ihre
Bestimmtheit ist als eine Grenze, die zugleich keine ist; die
Veränderung betrifft insofern nur ein besonderes Quantum, an dessen
Stelle ein anderes gesetzt wird; die wahrhafte Veränderung aber ist die
des Quantums als solchen; dieß giebt die, so gefaßt, interessante
Bestimmung der veränderlichen Größe in der höhern Mathematik; wobei
nicht bei dem Formellen der Veränderlichkeit überhaupt stehen zu
bleiben, noch andere als die einfache Bestimmung des Begriffs
herbeizunehmen ist, nach welcher das Andere des Quantums nur das
Qualitative ist. Die wahrhafte Bestimmung also der reellen
veränderlichen Größe ist, daß sie die qualitativ, hiermit, wie zur
Genüge gezeigt worden, die durch ein Potenzenverhältniß bestimmte ist;
in dieser veränderlichen Größe ist es gesetzt, daß das Quantum nicht
als solches gilt, sondern nach seiner ihm andern Bestimmung, der
qualitativen.
Die Seiten dieses Verhaltens haben nach ihrer abstrakten Seite als
Qualitäten überhaupt irgend eine besondere Bedeutung, z.B. Raum und
Zeit. In ihrem Maaßverhältniß als Größebestimmtheiten zunächst
überhaupt genommen, ist die eine davon Anzahl, die in äußerlicher,
arithmetischer Progression auf- und abgeht, die andere eine Anzahl, die
durch jene, welche Einheit für sie ist, specifisch bestimmt wird.
Insofern jede ebenso nur eine besondere Qualität überhaupt wäre, läge
kein Unterschied in ihnen, welche von den beiden, in Rücksicht auf ihre
Größen-Bestimmung als die bloß äußerlich quantitative, und welche als
die in quantitativer Specifikation sich verändernde genommen werde.
Wenn sie sich z.B. als Wurzel und Quadrat verhalten, ist es gleichviel,
an welcher die Vermehrung oder Verminderung als bloß äußerlich, in
arithmetischer Progression fortgehend, und welche dagegen an diesem
Quantum sich specifisch bestimmend angesehen wird.
Aber die Qualitäten sind nicht unbestimmt verschieden gegen einander,
denn in ihnen soll als Momenten des Maaßes die Qualifikation desselben
liegen. Die nächste Bestimmtheit der Qualitäten selbst ist, der einen,
das Extensive, die Äußerlichkeit an ihr selbst zu seyn, der andern, das
Intensive, das Insichseyende oder Negative gegen jene. Von den
quantitativen Momenten kommt hiernach jener die Anzahl, dieser die
Einheit zu, im einfachen direkten Verhältnisse ist jene als der
Dividend, diese als Divisor, im specificirenden Verhältniß jene als die
Potenz oder das Anderswerden, diese als Wurzel zu nehmen. Insofern hier
noch gezählt, d. i. auf das äußerliche Quantum, (das so als die ganz
zufällige, empirischgenannte Größebestimmtheit ist) reflektirt, hiermit
die Veränderung gleichfalls auch als in äußerlicher, arithmetischer
Progression fortgehend genommen wird, so fällt dieß auf die Seite der
Einheit, der intensiven Qualität, die äußerliche, extensive Seite
hingegen ist als in der specificirten Reihe sich verändernd
darzustellen. Aber das direkte Verhältniß (wie die Geschwindigkeit
überhaupt, s/t) ist hier zur formellen, nicht existirenden, sondern nur
der abstrahirenden Reflexion angehörigen Bestimmung herabgesetzt; und
wenn noch im Verhältniß von Wurzel und Quadrat (wie in s = at[hoch 2])
die Wurzel als empirisches Quantum und in arithmetischer Progression
fortgehend, die andere Seite aber als specificirt zu nehmen ist, so ist
die höhere dem Begriffe entsprechendere Realisation der Qualifikation
des Quantitativen diese, daß beide Seiten in höhern
Potenzenbestimmungen (wie s[hoch 3] = at[hoch 2] der Fall ist) sich
verhalten.
Anmerkung.
Das hier Erörterte in Rücksicht des Zusammenhangs der qualitativen
Natur eines Daseyns und seiner Quantitätsbestimmung im Maaße, hat seine
Anwendung in dem schon angedeuteten Beispiel der Bewegung, zunächst daß
in der Geschwindigkeit, als dem direkten Verhältnisse von durchlaufenem
Raume und verflossener Zeit, die Größe der Zeit als Nenner, die Größe
des Raums dagegen als Zähler, angenommen wird. Wenn Geschwindigkeit
überhaupt nur ein Verhältniß vom Raum und der Zeit einer Bewegung ist,
so ist es gleichgültig, welches von beiden Momenten als die Anzahl oder
als die Einheit betrachtet werden soll. Aber Raum, wie in der
specifischen Schwere das Gewicht, ist äußerliches, reales Ganzes
überhaupt, somit Anzahl, die Zeit hingegen, wie das Volumen, ist das
Ideelle, das Negative, die Seite der Einheit.—Wesentlich aber gehört
hierher das wichtigere Verhältniß, daß in der freien Bewegung,—zuerst
der noch bedingten—, des Falls, Zeitund Raum-Quantität, jene als
Wurzel, diese als Quadrat,—oder in der absolutfreien Bewegung der
Himmelskörper die Umlaufszeit und die Entfernung, jene um eine Potenz
tiefer als diese,—jene als Quadrat, diese als Kubus gegen einander
bestimmt seyen. Dergleichen Grundverhältnisse beruhen auf der Natur der
im Verhältniß stehenden Qualitäten, des Raums und der Zeit, und der Art
der Beziehung, in welcher sie stehen, entweder als mechanische Bewegung
d. i. als unfreie, durch den Begriff der Momente nicht bestimmte, oder
als Fall d. i. bedingtfreie, oder als absolutfreie himmlische
Bewegung;— welche Arten der Bewegung ebensowohl als deren Gesetze auf
der Entwicklung des Begriffs ihrer Momente, des Raums und der Zeit,
beruhen, indem diese Qualitäten als solche, an sich d. i. im Begriffe
sich als untrennbar erweisen, und ihr quantitatives Verhältniß das
Fürsichseyn des Maaßes, nur Eine Maaßbestimmung ist.
In Rücksicht auf die absoluten Maaßverhältnisse darf wohl erinnert
werden, daß die Mathematik der Natur, wenn sie des Namens von
Wissenschaft würdig seyn will, wesentlich die Wissenschaft der Maaße
seyn müsse,—eine Wissenschaft für welche empirisch wohl viel, aber
eigentlich wissenschaftlich d. i. philosophisch, noch wenig gethan ist.
Mathematische Principien der Naturphilosophie,—wie Newton sein Werk
genannt hat,—wenn sie diese Bestimmung in einem tiefern Sinn erfüllen
sollten, als er und das ganze bakonische Geschlecht von Philosophie und
Wissenschaft hatte, müßten ganz andere Dinge enthalten, um ein Licht in
diese noch dunkeln aber höchst betrachtungswürdigen Regionen zu
bringen.—Es ist ein großes Verdienst, die empirischen Zahlen der Natur
kennen zu lernen, z.B. Entfernungen der Planeten von einander; aber ein
unendlich größeres, die empirischen Quanta verschwinden zu machen, und
sie in eine allgemeine Form von Quantitätsbestimmungen zu erheben, so
daß sie Momente eines Gesetzes oder Maaßes werden;—unsterbliche
Verdienste, die sich z.B. Galilei in Rücksicht auf den Fall, und
Keppler in Rücksicht auf die Bewegung der himmlischen Körper erworben
hat. Sie haben die Gesetze, die sie gefunden haben, so erwiesen, daß
sie gezeigt haben, daß ihnen der Umfang der Einzelnheiten der
Wahrnehmung entspricht. Es muß aber noch ein höheres Beweisen dieser
Gesetze gefordert werden; nämlich nichts anders als daß ihre
Quantitätsbestimmungen aus den Qualitäten, oder bestimmten Begriffen,
die bezogen sind, (wie Zeit und Raum) erkannt werden. Von dieser Art
des Beweisens findet sich in jenen mathematischen Principien der
Naturphilosophie, so wie in den fernern Arbeiten dieser Art, noch keine
Spur. Es ist oben bei Gelegenheit des Scheins mathematischer Beweise
von Naturverhältnissen, der sich auf den Mißbrauch des Unendlichkleinen
gründet, bemerkt worden, daß der Versuch, solche Beweise eigentlich
mathematisch d. h. weder aus der Empirie noch aus dem Begriffe, zu
führen, ein widersinniges Unternehmen ist. Diese Beweise setzen ihre
Theoreme, eben jene Gesetze, aus der Erfahrung voraus; was sie leisten,
besteht darin, sie auf abstrakte Ausdrücke und bequeme Formeln zu
bringen. Das ganze reelle Verdienst, das Newton im Vorzug gegen Keppler
in Beziehung auf die nämlichen Gegenstände zugeschrieben wird, wird,
das Scheingerüste von Beweisen abgezogen,—ohne Zweifel bei
gereinigterer Reflexion über das, was die Mathematik zu leisten vermag
und was sie geleistet hat, einst mit deutlicher Kenntniß auf jene
Umformung des Ausdrucks[14] und der den Anfängen nach eingeführten
analytischen Behandlung, eingeschränkt werden.
[14] S Encyklop. der philos. Wissensch. Anm. zu §. 270. über die
Umformung des kepplerischen s[hoch 3]/t[hoch 2] in [s[hoch 2]./t[hoch
2] in das newtonische, indem der Theil s/t[hoch 2] die Kraft der
Schwere genannt worden ist.